LÓGICA PROPOSICIONAL

Docente: Huamaní Pillaca, Víctor

Correo: huamanipillaca@gmail.com

1.concepto.-Es una parte de la lógica que tiene por objeto de estudio de la proposición y la relación entre ellas , así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógica.

ENUNCIADO:

Es toda frase, u oración o expresión algebraica utilizada en el lenguaje común, es decir, es la expresión de una o varias ideas.

Enunciado cerrado o proposición lógica.

Es el significado de una expresión aseverativa que se caracteriza por tener solo un valor veritativo, es decir, el significado presenta la posibilidad de ser verdadero o falso, pero no los dos a la vez.Estas proposiciones se simbolizan con las letra minúsculas:P, q, r, s, …..A estas se le denomina variables proposicionales.

ejemplos

p: las estrellas iluminan.

q:todos los estudiantes no estudian.

r: las aves viven en los bosques.

Expresiones no proposicionales.

Son aquellos expresiones del lenguaje común que no puede ser calificado como verdadero o falso. Estas expresiones pueden ser:

interrogativas

¿Cuántos años tienes?

¿tienes hermanos?

Exclamativas o admirativas

¡ qué horror !

¡ auxilio !

Imperativas

Parece

ayúdala

Ejemplo 1

De los siguientes enunciados, indica cuales son proposiciones lógicas.

1. Mañana me iré.

2. Las aves son ovíparas.

3. 4 - 5 < 10

4. Alcánzame tu cuaderno.

5.¿Viajaras esta mañana?

6.El efecto invernadero está alterando las montañas.

7. ¡ Mira como corre !

8. Dormirás solo por las noches

9.2

8log 4

4

p.l

p.l

p.l

p.l

Ejemplo 2

De las siguientes proposiciones , señale cuales son verdaderas o falsas.

p: los reptiles son ovíparos.

q: el océano es infinito.

r: 2 + 5 < 20 - 8

s: La cordillera es tropical.

t: el desierto es un clima seco.

V

F

V

F

V

CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS

Proposición simple o atómica.

Es aquella proposición con un solo significado; carece de conjunciones gramaticales y del adverbio de negación. NO

Ejemplo:

El toro murió en el ruedo.

el cobre es un conductor de la corriente.

María es docente.

Ricardo es un pintor.

La matemática es una ciencia.

Marina es hermana de Ricardo.

Juana es la mamá de Luís.

Proposiciones compuestas o molecular.

Son aquellas que tienen dos o mas significados unidos por Conjunciones gramaticales o, en todo caso, contiene el adverbio de negación. NO.

Ejemplo.

San Martín cruzó los Andes o llego al Perú.

No es cierto que el perro arañe .

O Luís trabaja o estudia.

La nube cubrió la ciudad entonces no hay sol.

CONECTIVOS LÓGICOS

Son palabras o términos que enlazan proposiciones simples o niegan una proposición, es decir, son símbolos que reemplazan a las conjunciones gramaticales y al adverbio de negación. NO

Expresión en lenguaje común

símbolo Nombre.

No es el caso que…..

negación

….. y …… conjunción

….. O …… Disyunción débil

O …..o …… Disyunción fuerte

Si …entonces …. Condicional

…..si y solo si ….. Bicondicional

TABLA DE VALOR DE VERDAD

Son cuadros de doble entrada que nos permiten determinar el valor de verdad de un esquema molecular, considerando las posibles combinaciones entre los valore de verdad y falsedad.Para hallar el número de filas utilizaremos:

2n

Una proposición p :

p

V

F

Para dos proposiciones: p y q

p q

V V

V F

F V

F F

12 2 22 4

ANÁLISIS DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS

I.Conjunción.

Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico « y»

Forma típica:

………………….. Y ………………..

Ejemplo:

El gato es mamífero y felino.

Tabla de valor de verdad:

p q

V V V

V F F

F V F

F F F

p q

NOTA:

A continuación se tiene una lista de palabras que se entiende igual a « y» ,además completa los espacios en blanco.

Tanto la vaca como el gato son mamíferos.

El árbol es un vegetal así mismo da sombra.

Me despierto temprano pero llego tarde al colegio.

El agua da vida además …………….

El Perú está en crecimiento económico, sin embargo ………………

Juana estudia mucho también ……………….

La coca es una planta medicinal igualmente …………….

Pachacutec conquistó pueblos, no obstante ………………….

Santa Rosa de Lima fue una religiosa, incluso …………………..

II. La disyunción

Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico «o» u otras expresiones equivalentes. Estos son:

Forma típica:

………………. o ……………….

ejemplo:

Ana está feliz o triste.

El pez es de agua salado o dulce.

Tabla de valor de verdad

p q

V V V

V F V

F V V

F F F

p q

La disyunción inclusiva o débil:

La disyunción exclusiva o fuerte

Forma típica:

O …….. O ………

Ejemplo:

O trabajas o vas de paseo.

O nos ponemos a estudiar o jugamos.

Tabla de valor de verdad.

p q

V V F

V F V

F V V

F F F

p q

III. La condicional.

Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico «Si … entonces ..», o sus expresiones equivalentes.

Forma típica:

Si ……. entonces ………

Ejemplo:

Si entrenas entonces ganaras.

Si llueve entonces el rio aumentará su caudal

Tabla de valor de verdad

p q

V V V

V F F

F V V

F F V

p q

Palabras a fines a entonces para que complete la proposición

Hay trabajo por consiguiente, hay compras.

Es simpática de modo que agrada a todos.

………..de ahí qué …………….

…………por lo tanto………….

………..en consecuencia…………

……….luego…………..

………dado que………..

…………por que…………

…….cada ves que…………

IV.La bicondicional.

Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico «si y solo si» o sus expresiones equivalentes.

Forma típica:

……….si y solo si ……….

Ganaron si y solo entrenaron duro.

La economía mejorará cuando y solo cuando se tenga reglas claras.

Tabla de valor de verdad.

Ejemplo:

p q

V V V

V F F

F V F

F F V

p q

V.La negación.

San aquellas proposiciones que hacen uso del adverbio negativo NO o sus expresiones equivalentes.

Ejemplo:

El torero no mató al toro.

No es el caso que el toro murió.

No es cierto que el torero haya muerto.

Es falso que el toro haya vivido.

Tabla de valor de verdad

p

V F

F V

p

Ejemplos diversos

1.Simboliza las siguientes proposiciones:

La luna es un satélite y el sol es una estrella.

No es cierto que el avión cayó igualmente el piloto vivió.

O viajamos por tierra o por aire.

La papa esa un tubérculo también la yuca.

p q

p q

p q

p q

Cumpliremos nuestra misión si y solo si entrenamos a diario.

Llegaras tarde al colegio cada ves que duermas mucho.

p q

p q

El cielo está claro o no lloverá por la tarde.

No todos los peces viven en el mar cuando pueden vivir en el rio.

p q

p q

2.Simboliza las siguientes proposiciones y encuentra su valor de verdad.

Las carnes nos brinda proteínas y las verduras agua.

p q

V F

F

La tierra libera energías por lo tanto no hay temblores.

p q

V F

F

ESQUEMA MOLECULAR O FÓRMULA PROPOSICIONALES.

Llamamos así a las proposiciones compuestas no básicas, es decir la combinación de variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de agrupación.

Ejemplos:

p p q

p q p q

Conectivo que predomina o jerarquía.

Conectivo que predomina o jerarquía.

p q p r

Conectivo que predomina o de mayor jerarquía.

p q r q q Conectivo que predomina.

EVALUACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES POR TABLA DE VERDAD

Ejemplo 1: p q p q

p q p q P q

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

V

V

V

Ejemplo 2: p q q p

P q

V

V

F

F

V

F

V

F

p q q p

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

F

CLASIFICACIÓN DE LOS ESQUEMAS MOLECULARES

Según los valores obtenidos en el operador o matriz principal, los esquemas moleculares pueden ser:

Tautología ( T ).- Cuando los valores de la matriz principal son verdaderos. ( ver ejemplo 1 )

Contradictorio ( C ) .- Cuando los valores del operador o matriz principal, son falsos. ( ver ejemplo 2 )

Contingente .- Cuando en la matriz principal hay por lo menos un valor verdadero y por lo menos un valor falso.

Problemas resueltos:

1.Indica los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

I. 3 4 10 5 3 8

II. 9 4 5 6 4 9

8 5 50 4 3 3

8 7 8

III.

IV.

Desarrollo:

3 4 10 5 3 8 VF

V

3 4 10 5 3 8 II.

F F

F

III. 8 5 50 4 3 3 F V

F

IV. 8 7 8 V V

V

2.Halla el valor de verdad de las proposiciones «p» , «q» y «r», respectivamente. Si la proposición compuesta es falsa :

p q p r

Desarrollo:

p q p r v F

V F V V

Por lo tanto:

p = Vq = Fr = V

3.Simboliza :« O José es biólogo o dentista, así mismo Juan es ingeniero»

Desarrollo:

p: José es biólogo.

q: José es dentista

r : Juan es ingeniero.

p q r

Simboliza y luego analiza en la tabla de valores de verdad: « No iremos de viaje si hay mal tiempo, sin embargo el clima está mejorando»¿cuántos son verdaderos? .

Desarrollo:

p : iremos de viaje.

q : hay mal tiempo.

r : el clima está cambiando.

p q r

p q r p q r

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

F

F

F