Post on 24-Jan-2015
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Curso de Matemáticas II
Tema:
Cálculo Diferencial
Profesor: Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Definición de derivada
La derivada de una función es la razón de cambio de dicha función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores
de y, cuando x cambia una cierta cantidad.
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Primeros ejemplos
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan deduciendo un
procedimiento (regla) para resolverlas.
xxf 3)(
3dxdf
3)(
3xxf
512
)( x
xf
26)( xxf
2xdxdf
xdxdf
2
52
dxdf
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Regla para encontrar derivadas
dxdf
)x(f c x n
1n
dxdf 1ncnx
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Derivadas especiales
dxdf
)x(f c x 1
11
dxdf 0cx
cdxdf
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Sea la función:
Derivadas especiales
0dxdf
cxf )(
La derivada de esta función es:
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas
dxdf
)x(f 5 x 3
13
dxdf 215x
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas
dxdf
)x(f 3 x 4
14
dxdf 312x
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas
dxdf
)x(f 32 x
51
15
1
dxdf
5
4
152
x
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivada de una suma y diferencia de funciones
)()()( xhxgxf
Sea la función:
dxdh
dxdg
dxdf
La derivada de la suma o diferencia es:
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Ejemplos
675)( 2 xxxf
Sean las funciones:
710 xdxdf
1651034)( 256 xxxxxf
5201524 45 xxxdxdf
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Ejercicios propuestos
42
1
43
8)( xxxf
Deriva las siguientes funciones:
52
1
)4(43
21
)8(
xx
dxdf
xxxf 103)( 4
xxdxdf 512
5
5
34xxdx
df
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
)x(h)x(g)x(f
dxdh
xgxhdxdg
dxdf
)()(
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EjemploConsideremos el siguiente producto de funciones
dxdh
g)x(hdxdg
dxdf
)413)(58()( 22 xxxxf
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
)26)(58()413)(516( 22 xxxxxdxdf
2323 130208206564208 xxxxx 2064195416 23 xxx
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Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:
)3)(4()( 2xxxf
)2)(4()3)(1( 2 xxxdxdf
22 283 xxx
383 2 xx
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Deriva este otro producto de funciones:
)2)(3()( 2132 xxxxxf
)4)(3()2)(36( 232214 xxxxxxxxdxdf
253253 412363126 xxxxxx
34224 523 xxx
Ejercicios propuestos
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Derivada de un producto de varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir
)()()()( xhxgxexf
dxdh
xgxexhdxdg
xexhxgdxde
dxdf
)()()()()()(
su derivada será:
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Ejemplo
Derivemos la siguiente expresión:
)5)(2)(3()( xxxxf
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1( xxxxxxdxdf
)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx
)236()32)(5( 2xxxxxx
)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx
31203 2 xx
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Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
)x(h)x(g
)x(f
2)()(
xhdxdh
gxhdxdg
dxdf
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EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones
2354
)(xx
xf
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
223
)3)(54()23)(4(
x
xxdxdf
2)()(
xhdxdh
gxhdxdg
dxdf
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Ejemplo
223
)1512(812
x
xxdxdf
223
7
x
Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.
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Ejercicio propuesto
Sea
11168
)(2
xxx
xf
2
2
)1()1)(1168()1)(616(
xxxxx
dxdf
2
22
)1(1168161616
xxxxxx
2
2
)1(10168
xxx
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Ejercicio propuesto
Sea
11
)( 3
3
xx
xf
23
2332
)1()3)(1()1(3
xxxxx
dxdf
23
2525
)1(3333
xxxxx
23
2
)1(6
xx
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Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta
función.
nxhxf )()(
dxdh
xhndxdf n 1)(
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EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones
2)45()( xxf
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena
tenemos que
)5)(45(2 xdxdf
dxdh
xhndxdf n 1)(
)45(10 x
4050 x
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Ejemplo
Sea367)( 2 xxxf
61436721
2
12
xxx
dxdf
21
2 367
37
xx
x
367
372
xx
x
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
21
2 367)( xxxf
y
367)( 2 xxxf
21
2 367)( xxxf
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Ejemplo
Sea
23
2
)6(63
)(xx
xxf
223
232232
1
23
2
)6(
)63)(6(2)63()6)(6()6(63
21
xx
xxxxxxxxx
xdxdf
43
22332
1
2
23
)6()63()6(6)6(
63)6(
21
xxxxxxxx
xxx
43
24243
2
23
)6()36369(366)6(
63)6(
21
xxxxxxxx
xxx
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Ejemplo
43
24243
2
3
)6()36369366)(6(
63
)6(21
xxxxxxxx
x
xx
43
423
2 )6()363()6(
63
121
xxxxx
x
23
4
2 )6(363
63
121
xxx
x
63)6(
36321
223
4
xxx
x