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08/04/2016
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Metales
Conductores
Materiales
Eléctricos
+
-
ETOTAL
r
n = 5
n = 4
n = 3
n = 2
n = 1
Bandas de Energía
Materiales Eléctricos
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2
++++
E x
n = 5
n = 4
n = 3
n = 2
n = 1
Materiales Eléctricos
Banda de
Conducción
Materiales Eléctricos
Banda de
Conducción
En la Banda de Conducción los electrones pueden moverse libremente,
que seria análogo a moverse libremente dentro del metal, pero no
pueden escapar mas allá de su superficie por que inducirá una carga
positiva en dicha superficie por que el metal era inicialmente neutro
«L»
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3
22
nr
Materiales Eléctricos
Si aplicamos la Mecánica cuántica a la
Banda de Conducción las ondas de De
Broglie asociadas a los electrones deben
cumplir con la condición que debe
entrar un numero entero en la longitud
«L» del metal como sucede en los
orbitales atómicos
dimensión unaen 2
nL
dimensión unaen 222 L
nhp
p
nhnL
2
2222
822
1
mL
hn
m
pmvE
En las 3 dimensiones
Aplicando la ecuación de Schröedinger al
modelo energético, tenemos:
N(E) densidad de estados (número de
estados por electrón volt y por metro
cúbico)
Materiales Eléctricos
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4
2
1
2
1
2
3
192
3
3*)10*6,1()2(
4)( EEm
nEN
N(E)
E
E
N(E)
Materiales Eléctricos
¿Como se ocupan estos estados con electrones ?
Primeros los de menor energía
¿Hasta que nivel energético se ocupan?)
La respuesta nos da la Mecánica Estadística:
F(E) es la probabilidad de que un estado cuántico de
energía “E” esté ocupado por un electrón. Es la función
de Fermi Dirac
Materiales Eléctricos
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Materiales Eléctricos
Función de FERMI DIRAC
1
1)(
/)(
kTEE Fe
Ef
-1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 1E-EF
E<<EF E>>EF
T=0°K
T=300°K
F(E)
Materiales Eléctricos
Función de FERMI DIRAC
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Materiales Eléctricos
Función de FERMI DIRAC
Conductor Semiconductor
Materiales Eléctricos
)()()( EfENE
N(E)
ρ(E)
Nivel de Fermi
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Materiales Eléctricos
)()()( EfENE )(2
1
EfE
Para calcular el numero de electrones libres por m3,
en el metal: es el área bajo0 la curva (ρ(E))
2
3
0
2
1
03
2)( f
EfE
EdEEdEEn
2
3
2
3
nEf
Conociendo la densidad y el
numero de electrones libres por
átomo, se puede calcular Ef
Materiales Eléctricos
METAL
Ew
0
Energía
Función Trabajo
Ew: Función Trabajo, es la energía
necesaria para extraer un electrón del
metal.
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Materiales Eléctricos
Ejemplo
Encontrar la energia del Nivel de FERMI en el Cobre. Suponer un electron
libre por atom, por que su configuracion electronica termina en 4s1
La densidad del Cu is 8.94x103 kg/m3 y su masa atomica es 63.5 u.
Solution
La densidad de electrones N/V en Cu es el N° de Atomos de Cu por unidad
de Volumen. Como en 1 u = 1.66x1027 kg N° de Avogadro
La Energia de Fermi sera:EF= 7.04 eV
328328
27-
333
3
/melectrones x108.48atom/m x108.48
kg/u) 10 (1.66 x u) (63.5
kg/m 10 x 8.94
/
/
V
N
atommasa
mmasa
m
atom
Materiales Eléctricos
Mecanismo de ConducciónRepaso
Ley de Ohm Macroscópica: IRV
Ley de Ohm Microscópica:
A
I
L
VE
A
LIIRV
..
A
vd
L
EJJE Ley de Ohm Microscópica: La densidad de Corriente es
proporcional al campo Eléctrico por medio de la
conductividad
Donde es la resistividad y es la conductividad del material
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Materiales Eléctricos
Mecanismo de ConducciónRepaso
Ley de Ohm Macroscópica: IRV
Ley de Ohm Microscópica:
A
vd
L
JE
Donde N es el numero total de electrones en el volumen AL
n es la concentración de electrones [1/cm3] y vd es la velocidad
de deriva o velocidad promedio a la que cruzan la sección
transversal A
dnqvt
Lnq
ALt
NqL
At
NqJ
A
I
t
NqI
Analizando mas en detalle la corriente I:
Materiales Eléctricos
Mecanismo de ConducciónLa Conductibilidad: depende del material con el que esta
construido el conductor (Cobre, plata, Aluminio etc)
Material ρΩm (/α)/°C
Plata 1,62*10-84,1*10-3 PTC
Cobre 1,69*10-8 4,3*10-3 PTC
Aluminio 2,75*10-8 4,4*10-3 PTC
Platino 10,6*10-8 3,9*10-3 PTC
Hierro 9,68*10-8 6,5*10-3 PTC
Silicio
Intrínseco2,5*103 -70*10-3 NTC
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Materiales Eléctricos
Coeficiente de Temperatura)(
)(1
1
TTdT
d
Como puede observarse en la tabla anterior todos los metales
conductores tienen coeficiente de temperatura, α [1/°C]
positivo son PTC (Positive Temperature Coefficient) o sea que
aumenta la resistencia con el aumento de la temperatura.
El porque de esto se justifica mas adelante.
Mecanismo de Conducción
Dependencia con la temperatura
Materiales Eléctricos
Mecanismo de Conducción
Dependencia con la temperatura
Como puede observarse en la grafica en todos los metales
conductores la resistividad aumenta con la temperatura.
A la Conductividad Térmica le pasa lo mismo
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Materiales Eléctricos
Mecanismo de Conducción
• Representación esquemática del modelo de un metal
compuesto por los iones fijos positivos (red cristalina) y la
nube de electrones libres. Todo en un plano bidimensional.
• Los iones fijos vibran alrededor de su posición de equilibrio
por la acción de la temperatura
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
Materiales Eléctricos
• Los electrones se mueven por la acción de las fuerzas
Coulombianas en forma aleatoria chocando contra la
estructura cristalina.
• En este movimiento aleatorio los electrones recorren un
camino promedio llamado λ comino libre medio entre
choques.
• También demoran un tiempo promedio entre choque llamado
τ tiempo medio entre choques.
• La velocidad promedio con la que se mueven los electrones es
v llamada velocidad media entre choque y choque.
• En este movimiento aleatorio de los electrones no hay un
desplazamiento neto en alguna dirección del espacio.
• Los choques entre electrones no tiene peso por que son muy
poco probables.
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Materiales Eléctricos
x
E
Representando este movimiento de los electrones chocando con la red
cristalina:
av τ es el tiempo entre choque
y choque, entonces :
v
Clm
v
Si aplicamos una tensión que se manifiesta por un campo eléctrico
Aparece una fuerza sobre los electrones
m
qEaqEF
Que genera una componente en la
dirección del campo en el
movimiento de los electrones
Ahora aparece un desplazamiento neto
en el movimiento aleatorio de los
electrones en la dirección del campo pero
en el sentido contrario x que origina vd
Materiales Eléctricos
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Materiales Eléctricos
EJ
x
E
m
qEaqEF
Em
qtt
m
qEatvd
Em
qtt
m
qEvd
MovilidadE
vEv
dd
Definimos la MOVILIDAD como:
E
vd
Materiales Eléctricos
EJ
x
E
m
qEaqEF
Em
qtt
m
qEatvd
Em
qtt
m
qEvd
MovilidadE
vEv
dd
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Materiales Eléctricos
dd nqvJvLA
Nq
A
I
t
NqI
Movilidad
E
vEv
Em
qtt
m
qEv
qnvJ
EJ
dd
d
d
EEm
ntqJ
2
EqnJ
A
vd
L
Materiales Eléctricos
dd nqvJvLA
Nq
A
I
t
NqI
Em
nqE
m
ntqEJ
22
EqnJ
A
vd
L
fsegpsegxxCxm
Kgx21021.0101.2
)1069.1()106.1)(10(
101.9 13
8219328
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Materiales Eléctricos
τ puede ser del orden de 10-14 seg
λ puede ser del orden de 10-8 m
vd puede ser del orden de 10-5 m/seg
/v puede ser del orden de 106 m/seg
Linealidad de la Ley de Ohm
I
V
1/R
vd
E
Evd Se basa en que:
: Movilidad
Materiales Eléctricos
Ecuación balanceada para la energía de los electrones:
En el estado estacionario:
En los modelos continuos, asumimos que la dispersión de electrones es
suficientemente rápido que toda la energía lanzada a los electrones
es al azar, toda la energía adicional se pierde como calor.
Cómo relacionamos y T?
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Materiales Eléctricos
El teorema de equipartición de estados de energía que las moléculas dice
que en equilibrio térmico tienen la misma energía media asociada con
cada grado de libertad independiente de su movimiento.
De esta manera con esta teoría simple, y T son proporcionales entre sí.
Materiales Eléctricos
Calor Específico y Capacidad Calorífica
Nuevamente suponemos que el calor y el cambio de energía interna son los
mismos:
Capacidad Calorífica
Tomar volumen constante.
Calor Específico
El calor específico es independiente de la
temperatura. Ley de Dulong y Petit