UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR-

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS

QUIMICA FARMACEUTICA

CALCULO II

Integrantes: Grupo: N°1

• Aguinaga María Belén

• Bohórquez Samantha

• Cadena Diego

• Lema Diego

• Morales Margarita

• Zurita Alejandro

Tema: Método de arandelas

CÁLCULO DEL VOLUMEN EN SÓLIDOS EN

REVOLUCIÓN

MÉTODO DE ARANDELAS

*Este método consiste en

hallar el volumen de un sólido

generado al girar una región R

que se encuentra entre dos

curvas.

*Sí la región que giramos para formar un sólido

que no toca o no cruza el eje de rotación, el

sólido generado tendrá un hueco o anillo. Las

secciones transversales que también son

perpendiculares al eje de rotación son arandelas

en lugar de discos.

*Donde se tiene un radio interno r y un radio

externo R de la arandela

La integral que contiene el radio interno representa el

volumen del hueco y se resta de la integral que

contiene el radio externo.

siendo la siguiente, la expresión matemática para

calcular el volumen de un cilindro, en una arandela se

deduce lo siguiente:

𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2H

𝑉 = 𝜋h(R2 – r2)

𝑑𝑉 = 𝜋 𝑎

𝑏

[R2 – r2] 𝑑𝑥

EN DONDE:𝑅 = F(X)

Tomado de : Ing. Patricio Escobar González, M.Sc. Página 64

EJERCICIOS DE

APLICACIÓN:

Ej. 132: Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer

girar sobre el eje “x”, la región acotada por: y = x2 + 1 y la recta y = x + 3

x2 + 1 = x+3

X2 - x – 2 = 0

(x - 2) (x + 1) = 0

X1 = 2 x2 = -1

Ej. 133: Calcular el volumen del sólido de

revolución que se obtiene al hacer girar

sobre la recta 𝑥 = −4 , la región acotada por

𝑥 = 𝑦 − 𝑦2 y 𝑥 = 𝑦2 − 3

La cónica 1 es 𝑥 = 𝑦 − 𝑦2

La cónica 2 es 𝑥 = 𝑦2 − 3r es radio menor

R es el radio mayor

1. Igualar ambas ecuaciones para conocer el intervalo en el que se encuentra el sólido y poder calcular el volumen.

𝑦 − 𝑦2 = 𝑦2 − 3

−2𝑦2 + 𝑦 + 3 = 0

𝑦 =−1± 12−4(−2)(3)

2(−2)

𝑦 = −1 𝑦 =3

2

INTERVALO [-1,3

2]

2. Sabiendo que el volumen de la arandela es :𝑉 = 𝜋(𝑅2 − 𝑟2)ℎ

El radio mayor R está limitado por la cónica 𝑥1 = 𝑦 − 𝑦2

El radio menor r está limitado por la cónica 𝑥2 = 𝑦2 − 3

3. Sabiendo que 𝑥 = −4 y corresponde con el eje de revolución sustituimos en las en las ecuaciones que acotan el sólido de revolución:

𝑦 − 𝑦2 + 4 = 𝑅𝑦2 + 1 = 𝑟

4. Con las ecuaciones resultantes podemos proceder a calcular el volumen mediante el método de la arandela

𝑉 = 𝜋 −1

32(𝑦 − 𝑦2 + 4)2− 𝑦2 + 1 2 𝑑𝑦

𝑉 = 𝜋 −1

32(𝑦4 − 2𝑦3 − 7𝑦2 + 8𝑦 + 16 − 𝑦4 − 2𝑦2 − 1 ) 𝑑𝑦

𝑉 = 𝜋 −1

32(−2𝑦3 − 9𝑦2 + 8𝑦 + 15) 𝑑𝑦

𝑉 = 𝜋 (−𝑦4

2− 3𝑦3 + 4𝑦2 + 15𝑦)

𝑉 = 𝜋 −81

32−81

8+ 9 +

45

2− −

1

2+ 3 + 4 − 15 =

875

32𝜋 𝑢3

EJ. 135: Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar

sobre el eje y, la región limita por 𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑦 = 0 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1

𝑣 = 2π 𝑎

𝑏

𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = 2π 0

1

𝑥(𝑥2 + 1)𝑑𝑥

𝑣 = 2π𝑥4

4+𝑥2

210

𝑣 = 2π1

4+1

2

𝑣 = 2π3

4=

𝟑𝝅

𝟐𝒖𝟑

Ej. 136 Calcular el volumen del solido de revolución que

se obtiene al hacer girar sobre el eje “y”, la región

limitada por: y

x=y^2+ 1

x=3- y^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

Ej. 137.- Calcular el volumen del sólido de revolución que se

obtiene al hacer girar sobre el eje “y”, la región limitada por:f(x)=x^(1/2)

Relleno 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

f(x)=x^(1/2)

Relleno 1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

GRACIAS POR

SU ATENCION