Minimización de Costos

Una empresa minimiza costos si produce cualquier cantidad de su producto, Y 0, al menor costo posible.

C(Y) es el menor costo posible de producir Q unidades.

C(Y) e la función de costo total.

Si la empresa se enfrenta a los precios de los factores w = (w1,w2,…,wn) entonces la función de costo total se puede escribir como

CT(w1,…,wn,Y).

El problema de la minimización de costos

Suponga una empresa que emplea 2 factores para obtener un cierto producto.

La función de producción esY = f(x1,x2).

Asumimos el nivel de producción Y 0 como dado.

Dados los precios de los factores w1 y w2, el costo de la canasta de factores (x1,x2) es w1x1 + w2x2.

Dados w1, w2 y dado Y, el problema de minimización de costos es

min,x x

w x w x1 2 0

1 1 2 2

Sujeto a1 2( , )f x x Y

x1*(w1,w2,Y) y x2*(w1,w2,Y) es la demanda condicional de factor del bien 1 y el bien 2.

El menor costo de producir Y unidades es entonces

* *1 2 1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) ( , , ) ( , , ).C w w Y w x w w Y w x w w Y

Demanda condicional de factor

Dados w1, w2 y dado Y, ¿cuál es la canasta de factores de menor costo?

¿Y cómo se estima el costo total?

Rectas Iso-Costo

La recta que contiene todas las canastas de factores que tienen el mismo costo es una recta iso-costo.

En otras palabras, dados w1 y w2, la recta isocosto para un CT de $100 es

w x w x1 1 2 2 100 .

La recta iso-costo es

La pendiente es - w1/w2.

12 1

2 2

.w C

x xw w

1 1 2 2w x w x C

C’ w1x1+w2x2

C” w1x1+w2x2

C’ < C”

x1

x2

C’ w1x1+w2x2

C” w1x1+w2x2

C’ < C”

x1

x2 pendiente = -w1/w2.

La isocuanta de producción

x1

x2 De todas las canastas de factoresQue producen Q unidades¿cuál es la de menor costo?

f(x1,x2) Y

La minimización de costos

x1

x2

f(x1,x2) Y

x1

x2

f(x1,x2) Y

x1

x2

f(x1,x2) Y

x1

x2

f(x1,x2) Y

x1*

x2*

x1

x2

f(x1,x2) Y

x1*

x2*

En la canasta de factores de costo mínimo se cumple:

* *1 2( , )f x x Y

x1

x2

f(x1,x2) Y

x1*

x2*

Y :pendiente isocosto=pendiente isocuanta

x1

x2

f(x1,x2) Y

x1*

x2*

Es decir:

* *1 11 2

2 2

( , ).w PMg

TMgST en x xw PMg

Ejemplo de minimización de costos con una función de producción Cobb-Douglas

La función de producción Cobb-Douglas es

Los precios de los factores son w1 y w2.

¿Cuáles son las demandas condicionales de factor?

1/3 2/31 2 1 2( , )Y f x x x x

* 1/3 * 2/31 2( ) ( )Y x x

* 2/3 * 2/3 *1 1 1 2 2

* 1/3 * 1/3 *2 2 1 2 1

/ (1/ 3)( ) ( ).

/ (2 / 3)( ) ( ) 2

w Q x x x x

w Q x x x x

* 1/3 * 2/31 2( ) ( )Y x x

ww

x

x1

2

2

12

*

*.

* 1/3 * 2/31 2( ) ( )Y x x

ww

x

x1

2

2

12

*

*.

xww

x21

21

2* * .

* 1/3 * 2/31 2( ) ( )Y x x

ww

x

x1

2

2

12

*

*.

xww

x21

21

2* * .

2/3

* 1/3 *11 1

2

2( )

wY x x

w

* 1/3 * 2/31 2( ) ( )Y x x

ww

x

x1

2

2

12

*

*.

xww

x21

21

2* * .

2/3 2/3

* 1/3 * *1 11 1 1

2 2

2 2( )

w wY x x x

w w

* 1/3 * 2/31 2( ) ( )Y x x

ww

x

x1

2

2

12

*

*.

xww

x21

21

2* * .

2/3 2 /3

* 1/3 * *1 11 1 1

2 2

2 2( )

w wY x x x

w w

2/3

* 21

12

wx Y

w

es la demanda Condicional del Factor 1

xww

x21

21

2* *2/3

* 21

12

wx Y

w

Es la demanda condicional del factor 2

2/3 1/3

* 1 2 12

2 1 2

2 2

2

w w wx Y Y

w w w

Así la canasta de factores de menor costoPara producir Q unidades es

* *1 1 2 2 1 2

2/3 1/3

2 1

1 2

( , , ), ( , , )

2, .

2

x w w Y x w w Y

w wY Y

w w

x2

x1

Dados w1 y w2.

Curvas de Demanda Condicional de Factor

Y’Y’’

Y’’’

x2

x1

dados w1 y w2.

x y1*( )

x y2* ( )

yyy

y

y

x y2* ( )

x y1*( )

x2*

x1*

y

y

x2

x1

dados w1 y w2.

x y1*( )

x y1*( )

x y2* ( )

x y2* ( )

yyy

y

y

y

y

x y2* ( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x2*

x1*

y

y

x2

x1

dados w1 y w2.

x y1*( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y2* ( )

x y2* ( )

yyy

y

y

y

y

y

y

x y2* ( )

x y2* ( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y1*( )

x2*

x1*

y

y

x2

x1

dados w1 y w2.

x y1*( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y2* ( )

x y2* ( )

Ruta expansión producción

yyy

x y2* ( )

x y2* ( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y1*( )

y

y

y

y

y

y

x2*

x1*

y

y

x2

x1

dados w1 y w2.

x y1*( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y2* ( )

x y2* ( )

rutaexpansiónproducción

yyy

y

y

y

y

y

y

x y2* ( )

x y2* ( )

x y2* ( )

x y1*( )

x y1*( )

x y1*( )

Demanda cond.factor 2

Demandacond.Factor 1

x2*

x1*

y

y

Ejemplo de minimización de costos con la función de producción Cobb-Douglas

Dada la función de producción

La canasta de factores de menor costoque genera y unidades es

x w w y x w w y

ww

yww

y

1 1 2 2 1 2

2

1

2 31

2

1 3

22

* *

/ /

( , , ), ( , , )

, .

3/22

3/1121 xx)x,x(fy

En consecuencia, la función de costo total de la empresa es

c w w y w x w w y w x w w y( , , ) ( , , ) ( , , )* *1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

c w w y w x w w y w x w w y

www

y www

y

( , , ) ( , , ) ( , , )* *

/ /1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

12

1

2 3

21

2

1 3

22

c w w y w x w w y w x w w y

www

y www

y

w w y w w y

( , , ) ( , , ) ( , , )* *

/ /

// / / / /

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

12

1

2 3

21

2

1 3

2 3

11 3

22 3 1 3

11 3

22 3

22

12

2

c w w y w x w w y w x w w y

www

y www

y

w w y w w y

w wy

( , , ) ( , , ) ( , , )

.

* *

/ /

// / / / /

/

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

12

1

2 3

21

2

1 3

2 3

11 3

22 3 1 3

11 3

22 3

1 22 1 3

22

12

2

34

Ejemplo de minimización de costos con complementos perfectos

La función de producción de la empresa es

Los precios de los factores están dados, w1 y w2.

¿Cuáles son las demandas condicionales de los factores?

¿Cuál es la función de costo total de la empresa?

y x xmin{ , }.4 1 2

x1

x2

min{4x1,x2} y’

4x1 = x2

x1

x2 4x1 = x2

min{4x1,x2} y’

x1

x2 4x1 = x2

min{4x1,x2} y’

¿dónde está la canastade factores de costomínimo para produciry’ unidades?

x1

x2

x1*= y/4

x2* = y

4x1 = x2

min{4x1,x2} y’

¿dónde está la canastade factores de costomínimo para produciry’ unidades?

y x xmin{ , }4 1 2La demanda condicional de factores es

x w w yy

1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2

* ( , , ) .y

y x xmin{ , }4 1 2

x w w yy

1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2

* ( , , ) .y

Entonces la función de costos es:c w w y w x w w y

w x w w y

( , , ) ( , , )

( , , )

*

*1 2 1 1 1 2

2 2 1 2

y x xmin{ , }4 1 2

x w w yy

1 1 2 4*( , , ) x w w y y2 1 2

* ( , , ) .y

c w w y w x w w y

w x w w y

wyw y

ww y

( , , ) ( , , )

( , , )

.

*

*1 2 1 1 1 2

2 2 1 2

1 21

24 4

Costo Medio

Para niveles positivos de Y, el costo medio de producción es

1 21 2

( , , )( , , ) .

c w w yCMe w w y

y

Retornos a escala y costo medio

Las propiedades de los retornos a escala determinan cómo cambian los costos medios con el nivel de producción.

La empresa está produciendo y’ unidades.

¿cómo cambia el costo medio si la empresa produce 2y’ unidades?

Retornos Constantes a Escala y Costo Medio

Si la empresa presenta retornos constantes a escala entonces al duplicar la producción tiene que duplicar el empleo de los factores.

Si la empresa presenta retornos constantes a escala, entonces si se duplica la producción, de y’ a 2y’, se requiere duplicar todos los factores.

El costo total se duplica.

El costo medio no cambia.

Retornos decrecientes a escala y costo medio

Si la empresa presenta retornos decrecientes a escala, entonces si se duplica la producción, de y’ a 2y’, se requiere más del doble de todos los factores.

El costo total es más del doble.

El costo medio se incrementa.

Retornos crecientes a escala y costo medio

Si la empresa presenta retornos crecientes a escala, entonces si se duplica la producción, de y’ a 2y’, se requiere menos del doble de todos los factores.

El costo total es menos del doble.

El costo medio disminuye.

Retornos a escala y costo medio

y

r.a.e. constantes

r.a.e. decrecientes

r.a.e. crecientes

CMe(y)

Retornos a Escala y Costo Total

¿Qué implica esto en la forma de la función de costos?

y

$

y’ 2y’

c(y’)

c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’).

pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’).

El CMe se incrementa si la empresapresenta retornos a escala decrecientes.

y

$c(y)

y’ 2y’

c(y’)

c(2y’) pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’).

pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’).

El CMe se incrementa si laempresa presenta retornos a escaladecrecientes.

y

$

y’ 2y’

c(y’)

c(2y’)pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’).

pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’).

El CMe disminuye si la empresapresenta retornos a escala crecientes.

y

$c(y)

y’ 2y’

c(y’)

c(2y’)

El CMe disminuye si la empresapresenta retornos a escala crecientes.

pendiente = c(2y’)/2y’ = CMe(2y’).

pendiente = c(y’)/y’ = CMe(y’).

y

$c(y)

y’ 2y’

c(y’)

c(2y’)=2c(y’) pendiente = c(2y’)/2y’

= 2c(y’)/2y’ = c(y’)/y’entonces CMe(y’) = CMe(2y’).

El CMe es constante si la empresapresenta retornos a escala constantes.

Costos en el corto y en el largo plazo

En el largo plazo la empresa puede variar la cantidad que emplea de todos los factores.

Suponga una empresa que no puede cambiar la cantidad que emplea del factor 2, x2’ unidades.

¿Cómo es el costo de producir Y unidades en el corto plazo, comparado con el costo de producir Y unidades en el largo plazo?

El problema de minimización de costos en el largo plazo es

El problema de minimización de costos en el corto plazo es

min,x x

w x w x1 2 0

1 1 2 2

Sujeto a f x x y( , ) .1 2

minx

w x w x1 0

1 1 2 2

Sujeto a f x x y( , ) .1 2

El problema de minimización de costos en el largo plazo es el problema de minimización de costos en el largo plazo, sujeto a la restricción adicional que x2 = x2’.

Si el óptimo en el largo plazo para x2 es x2’ entonces la restricción x2 = x2’ no es realmente una restricción y los costos de producir Y unidades en el corto plazo y en el largo plazo son los mismos.

El problema de minimización de costos en el corto plazo es, en consecuencia, el problema de minimización de costos en el largo plazo, sujeto a la restricción adicional que x2 = x2”.

Pero, si el óptimo en el largo plazo es x2 x2” entonces la restricción x2 = x2” impide que la empresa alcance en el corto plazo los costos del largo plazo y provoca que el costo del corto plazo sea mayor que el costo del largo plazo.

x1

x2

y

y

y

Asuma tres niveles de producción.

x1

x2

y

y

y

En el largo plazo cuando la empresaes libre de escoger la cantidad a emplearde ambos factores, la canasta de factoresde menor costo es ...

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

Ruta expansión dela producción enel largo plazo

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

Los costos en el largo plazo sonc y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

Ruta expansión dela producción enel largo plazo

Ahora suponga que la empresa está sujeta a la restricción de corto plazo x1 = x1”.

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

Ruta expansiónen el cortoplazo

Los costos de largo plazo son

c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

Ruta expansiónen el cortoplazo

Los costos de largo plazo son

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2Los costos de corto plazo son

c y c ys ( ) ( )

Ruta expansiónen el cortoplazo

Los costos de largo plazo son

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

c y c yc y c ys

s

( ) ( )( ) ( )

Ruta expansiónen el cortoplazo

Los costos de largo plazo son

Los costos de corto plazo son

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

c y c yc y c ys

s

( ) ( )( ) ( )

Ruta expansiónen el cortoplazo

Los costos de largo plazo son

Los costos de corto plazo son

x1

x2

y

y

y

x1 x1 x1

x2x2x2

c y w x w xc y w x w xc y w x w x

( )( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

c y c yc y c yc y c y

s

s

s

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

Ruta expansiónen el cortoplazo

Los costos de largo plazo son

Los costos de corto plazo son

El costo de corto plazo es mayor al costo de largo plazo excepto en el nivel de producción donde la restricción de corto plazo es igual al óptimo del largo plazo.

Esto significa que la curva de costo total de largo plazo siempre tiene un punto en común con cada curva de costos de corto plazo.

y

$

c(y)

yyy

cs(y)

Fw x

2 2

La curva de costos de corto plazo siempretiene un punto en común con la curva decostos de largo plazo y en el resto de otrospuntos es mayor que la curva de costosde largo plazo.