Modelación Matemática en la Distritación

Miguel Ángel Gutiérrez AndradeUniversidad Autónoma Metropolitana

Contenido• Definición del problema• Técnicas heurísticas empleadas• Instancias• Comparaciones• Conclusiones

El problema de diseño de zonasAgrupar un conjunto de unidades geográficas en zonas, tales que minimizan una función objetivo y satisfacen ciertas restricciones

El problema de diseño de zonasAgrupar un conjunto de unidades geográficas en zonas, tales que minimizan una función objetivo y satisfacen ciertas restricciones

El problema de diseño de zonasAgrupar un conjunto de unidades geográficas en zonas, tales que minimizan una función objetivo y satisfacen ciertas restricciones

El problema de diseño de zonasAgrupar un conjunto de unidades geográficas en zonas, tales que minimizan una función objetivo y satisfacen ciertas restricciones

Características del problema• Problema de optimización combinatoria

• NP-Duro

• Crear un plan de zonificación conexo y con equilibrio poblacional es un problema NP-duro

• Crear un plan de zonificación que maximice la compacidad es un problema NP- duro

Complejidad computacional

Unidades geográficas 10 50 80 150 250

Número de planes 511 5.6 x 1014 6.04 x 1023 7.13 x 1044 9 x 1074

Años requeridos 6.4 x 10-21 7.1 x 10-9 7.6 9.0 x 1021 1.1 x 1052

Se considera una computadora capaz de realizar 2.5 x 1015 planes por segundo.

Se muestra el número posible de planes de zonificación para dividir un estado hipotético en dos zonas.

El número total de soluciones para dividir n UG en k zonas está dado por el número de Stirling del segundo tipo:

0

1 !, 1

! ! !

ki n

i

kS n k k i

k k i i

Zonas electorales

Diseño de zonas

electorales

Zonas electorales

Diseño de zonas

electorales

Equilibrio poblacional

Conexidad

Compacidad geométrica

Características del problema

Conexidad

Equilibrio poblacional

Compacidad geométrica

Características del problema

Conexidad

Equilibrio poblacional

Compacidad geométrica

Capacidad de conectar unidades geográficas de una zona mediante unidades que también formen parte de dicha zona.

Es una restricción del problema.

Características del problema

Conexidad

Equilibrio poblacional

Compacidad geométrica

Busca que todas las zonas contengan la misma cantidad de habitantes y penaliza las diferencias.

Se incluye en la función objetivo

Características del problema

Conexidad

Equilibrio poblacional

Compacidad geométrica

Busca que las zonas sean homogéneas y sin irregularidades o figuras confusas.

Se incluye en la función objetivo

Conforme al Acuerdo del Consejo General CG-104-2004

entidad. laen distritos de número

caso).según 15% o (10% distritopor aceptable

lpoblaciona desviación de porcentaje

entidad. la de totalpoblación

. distrito delpoblación

nacional. totalpoblación

:donde

)100()300()100()300(

n

d

P

sP

P

dP

nP

PdP

nP

T

s

N

NTs

NT

Equilibrio poblacional

Equilibrio poblacional

2 2

100 1

( 300)ST

s S N T

PP

d P P n

Compacidad geométrica

Donde

Ps es el perímetro de la zona s

As es el área de la zona s

1

24

S

s SS

P

A

Función objetivo

Minimizar C(P) = α1C1(P) + α2C2(P)

DondeZs = { i : xis = 1}, es el conjunto de UG en la zona s S

P = {Z1, Z2, Z3,…, Zn}, es un plan de zonificación

C1(P), es el costo de equilibrio poblacional del plan P

C2(P), es el costo de compacidad del plan P

α1, α2, factores de ponderación

Técnicas heurísticas• Para el proceso electoral del 2006 el IFE utilizó un algoritmo

basado en recocido simulado.• Se diseñaron:

• Recocido simulado• Optimización por Enjambre de Partículas (PSO).• Colonia de abejas artificiales (ABC).

• Se aplicaron a los estados de Baja California, Chiapas , Distrito Federal, Guanajuato y México.

Recocido simualdo• Heurística propuesta por Kirkpatrick en 1983.• Se basa en una analogía entre el proceso de optimización y el

recocido de sólidos.• Inicia con una solución y en cada iteración genera soluciones

vecinas.• La solución actual es reemplazada por la nueva si esta última

mejora el costo de la función objetivo.• En caso contrario, utilizar el criterio de Metrópolis para

aceptar o rechazar.

• Este proceso se repite hasta que la temperatura de enfriamiento es alcanzada.

exp A Bf P f P

pT

Optimización por enjambre de partículas

• Heurística de inteligencia colectiva (Kennedy, Eberhart, 1995)• Una población de partículas se mueve en el espacio de

soluciones• Cada partícula toma en cuenta dos factores:

• El conocimiento y habilidades propias adquiridas durante su vida.• La influencia del líder.

Optimización por enjambre de partículas

Movimiento actual

Mejor personal

Mejor global

Nueva dirección

Colonia de abejas artificiales

• Heurística inspirada en el proceso de recolección de las abejas (Karaboga, 2005).

• Cada fuente de alimento representa una solución.• Existe tres tipos de abejas:

• Recolectora: Tiene asignada una fuente de alimento, explora regiones vecinas, reporta la calidad de la fuente actual.

• Observadoras: Elige una fuente de alimento con base en su calidad, explora regiones vecinas, evalúa la calidad de las fuentes.

• Exploradoras: Buscan nuevas fuentes de alimento cuando se deben abandonar las fuentes agotadas.

Implementación

Estados Población UG´s ZonasBaja California 2, 487, 367 319 8Chiapas 3, 920, 892 229 12Distrito Federal 8, 605, 239 860 27Guanajuato 4, 663, 032 454 14Estado de México 13, 096, 686 836 40

Implementación• Se consideraron los factores de ponderación

α1 = {0.9, 0.8,…, 0.1, 0.01}, α2 = 1 - α1

• Para disminuir el efecto estocástico se realizaron 10 corridas para cada factor.

• Cada ejecución produce una solución. Las 100 soluciones de cada algoritmo fueron filtradas para obtener las soluciones no dominadas.

• Para promover igualdad en la comparación cada algoritmo puede realizar 200,000 llamadas a la función objetivo.

Chiapas

Chiapas

20.5 21.5 22.5 23.5 24.5 25.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

RSPSOABC

Compacidad

Equi

librio

pob

laci

onal

Estado de México

Estado de México

63 65 67 69 71 73 75 779.9

10.1

10.3

10.5

10.7

10.9

11.1

11.3

11.5

11.7

RSPSOABC

Compacidad

Equi

librio

pob

laci

onal

Distrito Federal

33 35 37 39 41 43 45 474

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

RSPSOABC

Compacidad

Equi

librio

pob

laci

onal

Baja California

11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.50.17

0.37

0.57

0.77

0.97

1.17

1.37

1.57

RSPSOABC

Compacidad

Equi

librio

pob

laci

onal

Guanajuato

25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 293.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

RSPSOABC

Compacidad

Equi

librio

pob

laci

onal

Conclusiones• Se presentaron 3 algoritmos basados en técnicas heurísticas.• Se aplicaron en 5 estados de la República Mexicana.• Los resultados de cada algoritmo fueron evaluados en

términos de su convergencia y dispersión.• Colonia de Abejas Artificiales presenta resultados de mejor

calidad.• Se propone implementar versiones multi-objetivo y

determinar si la calidad de las soluciones puede ser mejorada.

Gracias por su atención