Modelación Matemática en la Distritación Miguel Ángel Gutiérrez Andrade Universidad Autónoma...
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Modelación Matemática en la Distritación
Miguel Ángel Gutiérrez AndradeUniversidad Autónoma Metropolitana
Contenido• Definición del problema• Técnicas heurísticas empleadas• Instancias• Comparaciones• Conclusiones
El problema de diseño de zonasAgrupar un conjunto de unidades geográficas en zonas, tales que minimizan una función objetivo y satisfacen ciertas restricciones
El problema de diseño de zonasAgrupar un conjunto de unidades geográficas en zonas, tales que minimizan una función objetivo y satisfacen ciertas restricciones
El problema de diseño de zonasAgrupar un conjunto de unidades geográficas en zonas, tales que minimizan una función objetivo y satisfacen ciertas restricciones
El problema de diseño de zonasAgrupar un conjunto de unidades geográficas en zonas, tales que minimizan una función objetivo y satisfacen ciertas restricciones
Características del problema• Problema de optimización combinatoria
• NP-Duro
• Crear un plan de zonificación conexo y con equilibrio poblacional es un problema NP-duro
• Crear un plan de zonificación que maximice la compacidad es un problema NP- duro
Complejidad computacional
Unidades geográficas 10 50 80 150 250
Número de planes 511 5.6 x 1014 6.04 x 1023 7.13 x 1044 9 x 1074
Años requeridos 6.4 x 10-21 7.1 x 10-9 7.6 9.0 x 1021 1.1 x 1052
Se considera una computadora capaz de realizar 2.5 x 1015 planes por segundo.
Se muestra el número posible de planes de zonificación para dividir un estado hipotético en dos zonas.
El número total de soluciones para dividir n UG en k zonas está dado por el número de Stirling del segundo tipo:
0
1 !, 1
! ! !
ki n
i
kS n k k i
k k i i
Zonas electorales
Diseño de zonas
electorales
Zonas electorales
Diseño de zonas
electorales
Equilibrio poblacional
Conexidad
Compacidad geométrica
Características del problema
Conexidad
Equilibrio poblacional
Compacidad geométrica
Características del problema
Conexidad
Equilibrio poblacional
Compacidad geométrica
Capacidad de conectar unidades geográficas de una zona mediante unidades que también formen parte de dicha zona.
Es una restricción del problema.
Características del problema
Conexidad
Equilibrio poblacional
Compacidad geométrica
Busca que todas las zonas contengan la misma cantidad de habitantes y penaliza las diferencias.
Se incluye en la función objetivo
Características del problema
Conexidad
Equilibrio poblacional
Compacidad geométrica
Busca que las zonas sean homogéneas y sin irregularidades o figuras confusas.
Se incluye en la función objetivo
Conforme al Acuerdo del Consejo General CG-104-2004
entidad. laen distritos de número
caso).según 15% o (10% distritopor aceptable
lpoblaciona desviación de porcentaje
entidad. la de totalpoblación
. distrito delpoblación
nacional. totalpoblación
:donde
)100()300()100()300(
n
d
P
sP
P
dP
nP
PdP
nP
T
s
N
NTs
NT
Equilibrio poblacional
Equilibrio poblacional
2 2
100 1
( 300)ST
s S N T
PP
d P P n
Compacidad geométrica
Donde
Ps es el perímetro de la zona s
As es el área de la zona s
1
24
S
s SS
P
A
Función objetivo
Minimizar C(P) = α1C1(P) + α2C2(P)
DondeZs = { i : xis = 1}, es el conjunto de UG en la zona s S
P = {Z1, Z2, Z3,…, Zn}, es un plan de zonificación
C1(P), es el costo de equilibrio poblacional del plan P
C2(P), es el costo de compacidad del plan P
α1, α2, factores de ponderación
Técnicas heurísticas• Para el proceso electoral del 2006 el IFE utilizó un algoritmo
basado en recocido simulado.• Se diseñaron:
• Recocido simulado• Optimización por Enjambre de Partículas (PSO).• Colonia de abejas artificiales (ABC).
• Se aplicaron a los estados de Baja California, Chiapas , Distrito Federal, Guanajuato y México.
Recocido simualdo• Heurística propuesta por Kirkpatrick en 1983.• Se basa en una analogía entre el proceso de optimización y el
recocido de sólidos.• Inicia con una solución y en cada iteración genera soluciones
vecinas.• La solución actual es reemplazada por la nueva si esta última
mejora el costo de la función objetivo.• En caso contrario, utilizar el criterio de Metrópolis para
aceptar o rechazar.
• Este proceso se repite hasta que la temperatura de enfriamiento es alcanzada.
exp A Bf P f P
pT
Optimización por enjambre de partículas
• Heurística de inteligencia colectiva (Kennedy, Eberhart, 1995)• Una población de partículas se mueve en el espacio de
soluciones• Cada partícula toma en cuenta dos factores:
• El conocimiento y habilidades propias adquiridas durante su vida.• La influencia del líder.
Optimización por enjambre de partículas
Movimiento actual
Mejor personal
Mejor global
Nueva dirección
Colonia de abejas artificiales
• Heurística inspirada en el proceso de recolección de las abejas (Karaboga, 2005).
• Cada fuente de alimento representa una solución.• Existe tres tipos de abejas:
• Recolectora: Tiene asignada una fuente de alimento, explora regiones vecinas, reporta la calidad de la fuente actual.
• Observadoras: Elige una fuente de alimento con base en su calidad, explora regiones vecinas, evalúa la calidad de las fuentes.
• Exploradoras: Buscan nuevas fuentes de alimento cuando se deben abandonar las fuentes agotadas.
Implementación
Estados Población UG´s ZonasBaja California 2, 487, 367 319 8Chiapas 3, 920, 892 229 12Distrito Federal 8, 605, 239 860 27Guanajuato 4, 663, 032 454 14Estado de México 13, 096, 686 836 40
Implementación• Se consideraron los factores de ponderación
α1 = {0.9, 0.8,…, 0.1, 0.01}, α2 = 1 - α1
• Para disminuir el efecto estocástico se realizaron 10 corridas para cada factor.
• Cada ejecución produce una solución. Las 100 soluciones de cada algoritmo fueron filtradas para obtener las soluciones no dominadas.
• Para promover igualdad en la comparación cada algoritmo puede realizar 200,000 llamadas a la función objetivo.
Chiapas
Chiapas
20.5 21.5 22.5 23.5 24.5 25.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
RSPSOABC
Compacidad
Equi
librio
pob
laci
onal
Estado de México
Estado de México
63 65 67 69 71 73 75 779.9
10.1
10.3
10.5
10.7
10.9
11.1
11.3
11.5
11.7
RSPSOABC
Compacidad
Equi
librio
pob
laci
onal
Distrito Federal
33 35 37 39 41 43 45 474
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
RSPSOABC
Compacidad
Equi
librio
pob
laci
onal
Baja California
11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.50.17
0.37
0.57
0.77
0.97
1.17
1.37
1.57
RSPSOABC
Compacidad
Equi
librio
pob
laci
onal
Guanajuato
25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 293.7
3.8
3.9
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
RSPSOABC
Compacidad
Equi
librio
pob
laci
onal
Conclusiones• Se presentaron 3 algoritmos basados en técnicas heurísticas.• Se aplicaron en 5 estados de la República Mexicana.• Los resultados de cada algoritmo fueron evaluados en
términos de su convergencia y dispersión.• Colonia de Abejas Artificiales presenta resultados de mejor
calidad.• Se propone implementar versiones multi-objetivo y
determinar si la calidad de las soluciones puede ser mejorada.
Gracias por su atención