Post on 22-Jan-2016
Módulo N°4
Introducción a la Geometría
Plan de Nivelación
Para resolver ejercicios de geometría tipo PSU, es necesario recordar algunos conceptos básicos, los que facilitarán la comprensión y resolución de dichos ejercicios.
En esta guía de nivelación, definiremos conceptos como punto, recta, semirrecta, rayos, ángulo, etc., y los símbolos que se utilizan para referirse a ellos. También encontrarás aquellas fórmulas para cálculos de áreas y perímetros de polígonos, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, como cilindros, cubos, conos, etc.
Cabe recordar que ésta es una “nivelación” y que queda mucho por aprender y reforzar. Estoes sólo una invitación para continuar estudiando junto a tu profesor.
Introducción
I. Geometría Plana - Generalidades• Punto, recta, semirectas y rayos
• Trazo y segmento
Contenidos
II. Polígonos• Definición y Clasificación
• Área y Perímetro
• Rectas paralelas y perpendiculares
• Ángulos, relaciones angulares y clasificación
• Ángulos entre paralelas
III. Circunferencia y Círculo
IV. Cuerpos Geométricos
• Definición
• Radio y diámetro
• Área y perímetro
• Caras, aristas y vértices
• Áreas y Volúmenes
Aprendizajes esperados
• Definir conceptos como: recta, ángulo, cuerpo geométrico, etc.
• Aplicar fórmulas de áreas y perímetros, tanto de polígonos como de algunos cuerpos geométricos, en ejercicios propuestos.
• Descubrir formas didácticas para calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos como
prismas y cilindros.
I. Geometría Plana - Generalidades
Módulo N°4, página 6
• Ángulo:
Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común, llamado vértice.
Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego ( …) o números (1, 2, 3, 4…) en el interior del ángulo. Su lectura es en sentido antihorario.
• Relaciones angulares:
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
Ángulos Suplementarios:
Módulo N°4, página 7
100° y 80°
46° y 134°
20° y 160°
Ejemplos:
Ángulos Opuestos por el vértice: Son iguales.
Ángulos Complementarios:
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Módulo N°4, página 7
48° y 42°
60° y 30°
20° y 70°
Ejemplos:
• Ángulos entre paralelasCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos de los cuales algunos son congruentes (poseen igual medida).
Si L1 // L2 y L3 una transversal, entonces se forman ocho ángulos, que corresponden a un ángulo y su suplemento que se repiten.
Módulo N°4, página 9
II. Polígonos• Áreas y Perímetros
En la siguiente tabla se resumen las fórmulas para calcular las áreas y perímetros de los polígonos más comunes: triángulo, cuadrado y rectángulo (más adelante estudiaremos otros polígonos, como rombos, trapecios, pentágonos, hexágonos, etc.)
Módulo N°4, página 10
a
b
ch
a a
a
a
a
b
FIGURA ÁREA PERÍMETRO
P = a+b+c
A = a2 P = 4a
P = 2a + 2b
A= 2hb
baA =
Módulo N°4, página 11
Ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, página 19.
III. Circunferencia y Círculo
Circunferencia:Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de un puntofijo llamado “centro”.
• Definición
Círculo:Es la porción del plano limitado por una circunferencia.
Módulo N°4, página 13
Diámetro (d): Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasandopor el centro.
• Radio y diámetro
Radio (r): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella.
Módulo N°4, página 13
A
BC
OC: Radio(r)
AB: Diámetro (d)
• Área y Perímetro: Área⊗ = r2
Perímetro⊗ = 2r
Ejemplo:
Si el diámetro de una circunferencia mide 10,6 cm, entonces, ¿cuál es su área y perímetro?
Perímetro⊗ = 2∙(5,3)
Solución:
Si el diámetro de la circunferencia mide 10,6 cm, entonces el radio mide 5,3 cm. Luego:
Área⊗ = ∙(5,3)2
Área⊗ = ∙(28,09) cm2 Perímetro⊗ = 10,6 cm
Módulo N°4, página 13
IV. Cuerpos Geométricos
El área o superficie de un prisma se obtiene sumando las áreas de su(s) base(s) y las áreas de sus caras laterales.
Ejemplo:El área del prisma de base cuadrada de la figura, es:
• Áreas y volúmenes de algunos cuerpos geométricos
Módulo N°4, página 15
El área o superficie del prisma se obtiene sumando las áreas de sus 2 bases cuadradras de lado 8 cm, más sus 4 caras laterales (rectángulos).
A = 2·(82) + 4·(8·20)
A = 2·(64) + 4·(160)
A =128 + 640
A = 768 cm2
El lado de la base cuadrada de la pirámide mide 3 cm. Sus caras laterales son triángulos de altura 5 cm. ¿Cuál será su área total?
Ejercicio propuesto:
Módulo N°4, página 15
El área o superficie de la pirámide se obtiene sumando el área de su base (cuadrada), con sus 4 caras laterales.
A = (32) + 4·(3·5)2
A = 1 + 4
A = 39 cm2
Los cilindros están formados por dos bases circulares y una cara lateral, que al extenderla corresponde a un rectángulo de ancho igual al perímetro de la circunferencia basal (2r).
¿Cómo se calcula el área de un cilindro?
Luego, el área de un cilindro se expresa como:
A = 2·(r2) + 2r·h
Módulo N°4, página 16
¿Cuál es el área del cilindro cuya base circular tiene un radio de 10 cm y altura 15 cm?
Ejercicio propuesto:
A = 2·(r2) + 2rh
A = 2·(·102) + 2·10·15
A = 2·(·100) + 2·150A = 200 + 300A = 500
Módulo N°4, página 16
¿Cuál es el volumen del cilindro anterior?
Para calcular el volumen de un cilindro, se multiplica el área de la base circular (r2), por su altura (h).
Vcilindro = r2·h
Vcilindro = 100·15
Vcilindro = 1500cm3
Módulo N°4, páginas 16 y 17
Ejercicios propuestos:
Módulo N°4, página 18
1. ¿Cuál es la capacidad (volumen) de una caja cuyas aristas están en razón 2 : 3 : 6, si la arista mayor mide 12 cm?
Solución:
Si el alto, ancho y largo de la caja están en razón 2:3:6, entonces:
alto = 2k, ancho = 3k y largo = 6k
Luego, alto = 4, ancho = 6 y largo = 12
Por lo tanto, el volumen de la caja es:
V= 12·6·4
V= 288 cm3
2k
3k6k
Como la arista mayor (largo) mide 12 cm, entonces: 6k = 12 k = 2.
Módulo N°4, página 18
2. Si las bases triangulares del prisma de la figura tienen área igual a 12 cm2 y su altura h,mide 15 cm, entonces, ¿cuál es su volumen?
Solución:
V= 12·15 cm3
V= 180 cm3
Módulo N°4, página 18
Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, desde la página 19. (Solucionario en página 25)