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8/18/2019 Movimiento de Cuerpo Rígido
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APLICACIONES
TRANSPORTE DE LIQUIDOS
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ROTACION DE LIQUIDOS
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L a e cuac ió n d e m ov im ie nt o d e u n f l u i d o q ue
s e e nc ue ntra e n u n m ov im i ento tal q ue n oe x i s t e n e s f u e r z o s d e c o r t e e s :
FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO
O
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E s t a e c u a ci ó n s e c u m p l e n c u a n d o e l f l u i d o e s t á
e n m o v im i en t o, l i ne a l o rot at o ri o, tal c o m o sif ue r a u n c u er p o ríg i do . L a s c o m p o n e nt es d e es ta
e c u a c i ó n , p a r a u n s i s t e m a c a r t e s i a n o y
s u p o n i e n d o j v e rt i ca l h a c i a a r ri b a, s o n :
FLUIDOS EN MOVIMIENTO COMO CUERPO RÍGIDO
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La superficie libre generada es una superficie de equilibrio, por lo que
la fuerza total ejercida sobre las partículas de fluido es normal a la
superficie en todo punto de ésta. Lo anterior indica, y dada la curvatura
terrestre, que la superficie que se genera sobre un líquido que sólo esta
sometido a la aceleración de la gravedad tiene la forma de un casqueteesférico. Este fenómeno es, despreciable a escalas pequeñas, donde se
puede considerar que la superficie es plana, y sólo se puede apreciar
en superficies muy grandes como la de los océanos.
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Considerando el recipiente de la fig, el cual esta sometido a una
aceleración lineal constante= a:
a= ax i+ ay j . El diferencial de presión en un punto cualquiera x, yes:
Liquido sometido a una
aceleración lineal a constante
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Integrando entre los puntos 1 y 2 resulta
)Y)(Yaρ(g)X(XρaPP 12y12x12
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)Y)(Yaρ(g)X(XρaPP 12y12x12
Si los puntos 1 y 2 estan en la linea de presión constante como es
el caso de la superficie libres entonces P2-P1=0 y se obtiene
)a(g
a
XX
YY
y
x
12
21
Donde
es el ángulo que la línea de presión constante hace conla horizontal.
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El depósito de agua de la figura tiene una anchura de 12 cm
perpendicular al papel. Si el depósito se acelera hacia la derecha
con ax = 6,0 m/s2, calcule (a) la profundidad del agua en el lado AB y
(b) la fuerza que la presión ejerce sobre el panel AB. Suponga que laaltura del tanque es muy grande y no se derrama agua.
ax = 6,0 m/s2
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ax
= 6,0 m/s2
En la superficie libre dp=0
tan
y
x
a g
a
dx
dy
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En la superficie libre
tan
y
x
a g
a
dx
dy
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•Calculo de la fuerza
sobre la cara AB
N F
x x x F
mh
Ah P A P F
AB
AB
c
cC AB
682.15
12.01634.00817.09789
0817.02
1634.0
)(
A
B
FAB
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El deposito mostrado en la figura tiene un ancho de 2 pies y
contiene agua hasta el nivel mostrado cuando es acelerado hacia a
la derecha con ax = 80 pies/s2. Determine: a) Si existe derrame de
agua en el deposito b)Si hubiere derrame el volumen de aguaderramado y c) La presión en el punto A (psi).
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DOS SITUACIONES POSIBLES
1.Sin derrame
2. Con derrame
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Sin derrame
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Con derrame
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derrameexiste pies pies x
pies x xa g
a
y
x
4805.0
805.02
2.32
80tan
En la superficie libre
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b) Vol derramado= Vol inicial - Vol final
333
33
39.661.18
61.12
2*2*805.0;82*4*1
pies pies piesV
piesV piesV
derram
final inicial
pies x 805.0
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c) La presión
en el punto A (psi).
c)
psi pie
lb
P
pie
lb P y g P
x x P y y
y ya g x xa P P
A
A A A
o Aoo A
o A yo A xO A
865.055.124
55.124)2(*2.32*934.1);)((
;0,00,0,2
);)(()(
2
2
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El deposito anterior se tapa para evitar el derrame,
dejando únicamente un orificio de ventilación para
comunicar con la atmosfera tal como se indica en la
figura. Determine para este caso la presión en la esquinainferior izquierda (punto A) y la fuerza sobre la cara lateralizquierda.
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2
X2
X1
0A
ó
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presión en A
4025.2Xy1.5975X805.0)X(X
)X(X
2
32.2
80tanθlibresuperficielaen
4XXx222)X(X(4x1)2
)()(0
))(()(
2112
12
2121finalinicial
o Ao A xO A y
o A yo A xO A
y y g x xa P P a
y ya g x xa P P
2
X2
X1
0A
ió A
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2
2.4025
1.5975
0A
presión en A
ió A
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psi2.5894lb/pie372.8736.40751.936x80x2P
XρaP4075.2Xy0Y
0YXP );Yρg(Y)X(XρaPP
2
A
AxAAA
000oAoAxOA
2
2.4025
1.5975
F
0A
presión en A
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Fuerza sobre caraizquierda APF C
2
2.4025
1.5975
F
0
C
A
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Fuerza sobre cara izquierda
Lb1242.1376x2310.5344x2F
psi2.1565lb/pie310.5344x11.936x32.2-.40751.936x80x2P
4075.2Xy1YρgYXρaP
0YXP );Yρg(Y)X(XρaPPAPF
2
C
CCCCxC
000oCoCxOCC
2
2.4025
1.5975
F
0
C
Estudiaremos ahora el caso de un liquido que se encuentra en un
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Estudiaremos ahora el caso de un liquido que se encuentra en un
recipiente el cual gira con una velocidad angular constante como
se aprecia en la figura. Debido a que suponemos que no hay
movimiento relativo entre las partículas de líquido, cada partícula de
liquido tendrá la velocidad angular y se moverá como un bloquesólido
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La aceleración de una partícula situada a una distancia r del eje
tendrá una aceleración r 2 en dirección radial. Utilizando
coordenadas cilíndricas tenemos:
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)yρg(y)r (r
2
ρPP 12
2
1
2
2
2
12
2
Integrando entre dos puntos cualesquiera (r1, y1) y (r2, y2 )obtenemos
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Si los dos puntos están en un superficie de presión constante, como la
superficie libre, la colocación del punto 1 en el eje Y de manera que
r1=0 resulta:
)y(y2g
r ω
0)yρg(y)r (r 2
ρωPP
12
2
2
2
12
2
1
2
2
2
12
La superficie libre es un
paraboloide de revolución
2
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Un tanque presurizado de 0.6 m de radio y 0.8m de altura
lleno de agua hasta una profundidad de 0.60 m, como se
muestra en la figura, se pone a girar alrededor de su eje.
Calcule la presión en el punto A indicado y la fuerza en elfondo si la velocidad de rotación es de7 rad/s
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constante presióndelineaunaessuperficieladeLinea
g
r
y2
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m g yr
g r
g
r
g
r yr
airedevolumendeónConservaci
f
i f i
6.02
49.0*7;49.0
7
2.0*6.04;2.0*6.0
4;
42
2.0*6.0;
22
2
242
42422
2
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m g
yr 6.02
49.0*7;49.0
22
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kN F
F kPa P
P A
P P F PdA F
kPa P
Pa P P
gyr
P P
f
f c
cc A f
A
f
A
A A
A A
O A
48.35
6.02
962.26782.35962.262.0*81.925
6.02
782.35
2
782.35
35782)2.0(*81.9*10002
6.0*7*100025000
2
2
2
22
22
Cálculos de la presión en el
punto A indicado y de la fuerza
en el fondo para la velocidad de
rotación de7 rad/s
Cálculos de la presión en el punto A indicado y de la fuerza en el fondo
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Cálculos de la presión en el punto A indicado y de la fuerza en el fondo
para la velocidad de rotación de7 rad/s
m g yr
g r
g
r
g
r yr
airedevolumendeónConservaci
f
i f i
6.02
49.0*7;49.0
7
2.0*6.04;2.0*6.0
4;
42
2.0*6.0;
22
2
242
42422
2
g
r
y
r gydP
gyr P P
gdyrdr dP
A A
O A
2
222
;0
constante presióndeLineas
2
22
22
2
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El tubo en U contiene agua, gira alrededor de un eje vertical tal
como se muestra en la fig, a) determine la velocidad de rotación si
L= 6 pulg, b) Si se detiene la rotación determine el nivel z a que
bajará el agua en el brazo mas grande
a) Determinación de la velocidad de rotación si L= 6 pulg
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a) Determinación de la velocidad de rotación si L= 6 pulg,
222
2
1
2
2
122
12
2
1
2
2
2
2
2
)5.0()5.1(
22
2
2
0
l l
l g
r r
z z g
z z g r r
gdz rdr
gdz rdr dP
constantepresióndeLineas
1
2 349.11
5.0
2.32*22
2
4 sl
g
l
gl
b) Determinación del nivel z a que bajará el agua en el brazo mas
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b) Determinación del nivel z a que bajará el agua en el brazo mas
grande cuando se detiene la rotación.
cuando se detiene la rotación
2
2
22
2
1
2
2
2
1
21
21
4
44
2
z d
d z
d
D z
D z d z
l z z
volumendeonconservaci
pies pu z z
pies pul
z l z
l z z l z z z z
8.0lg6.94.2*44
2.0lg4.25
6*2
5
225
24;24
21
22
222121
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El deposito mostrado en la figura contiene aceite y es acelerado hacia a
la derecha con ax = 2.45 m/s2 y hacia arriba con ay= 4.90 m/s
2.
Determine las presiones en los puntos C, D y E.
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El deposito mostrado en la figura tiene un ancho de 1.5 m y
contiene agua hasta el nivel mostrado cuando es acelerado
hacia a la derecha con ax = 4.9 m/s2. Determine: a) ángulo
que forma la horizontal con la superficie libre b)si existederrame de agua y la cantidad de agua que se derrama, c)La fuerza sobre los laterales.