Fuerzas especiales:

• Normal

• Rozamiento

• Muelle

• Centrípeta (Movimiento circular)

• Gravedad

Ejemplos, ejemplos y ejemplos

Leyes de Newton (el regreso)

Una superficie ejerce fuerzas que descomponemos en:

𝑓𝑟

𝑁 F

Si fr=0, la única fuerza que puede ejercer la superficie es

Normal a la superficie.

Fuerza de rozamiento : 𝑓𝑟

Fuerza de rozamiento :

Fuerza de rozamiento :

𝑓𝑟𝑓𝑟

𝑓𝑟𝑑 = 𝜇𝑑𝐹𝑁

𝑓𝑟𝑒𝑚á𝑥

𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐1,3

1,3 2,6

2,6

𝑓𝑟𝑒𝑚á𝑥

Fuerza de rozamiento :

0

𝑓𝑟𝑒𝑚á𝑥= 𝜇𝑒𝐹𝑁

𝑓𝑟𝑑 = 𝜇𝑑𝐹𝑁

[N]

[N]

Fuerza de rozamiento :

Las fuerzas de rozamiento dinámica máxima y estática máxima,

vienen dadas por

𝑓𝑟𝑒 = 𝜇𝑒 𝐹𝑁

𝑓𝑟𝑑 = 𝜇𝑑 𝐹𝑁

𝑓𝑟𝑒 = − 𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 si 𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 < 𝜇𝑒 𝐹𝑁

Valor máximo

Valor único

𝜇𝑒 < 1 ; 𝜇𝑑 < 1𝜇𝑒 > 𝜇𝑑

Fuerza de rozamiento :

m1=1 kg

F= 20 N

a1=?

M2=6 kg

𝑖=1

𝑁

Ԧ𝐹𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒔 = 𝑚 Ԧ𝑎

Si quiero conocer a1, mi sistema deberá ser m1

m1=1 kg

P=mg

FN

𝑓𝑟𝑒

F= 20 N ???

𝜇𝑑 = 0,1

𝜇𝑒 = 0,2

Fuerza de rozamiento :

m1=1 kg

P1=m1g

FN

𝑓𝑟𝑒

𝑖=1

𝑁

Ԧ𝐹𝒆𝒙𝒕 = 𝑚 Ԧ𝑎

Sistema 1

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒙 = 𝑚1𝑎1𝑥

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒚 = 𝑚1𝑎1𝑦

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒙 = 𝑓𝑟𝑒 = 𝑚1𝑎1𝑥

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒚 = 𝐹𝑁 − 𝑃1 = 0

= 0

𝑓𝑟𝑒 = 𝑚1𝑎1𝑥

𝐹𝑁 = 𝑃1 = 𝑚1𝑔

𝐹𝑁 = 𝑃1 = 1𝑘𝑔 × 10𝑚

𝑠2= 10 𝑁

Fuerza de rozamiento :

𝑓𝑟𝑒𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑒 𝐹𝑁 = 𝑚1𝑎1𝑥𝐹𝑁 = 𝑃1 = 10 𝑁

𝑓𝑟𝑒𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑒 𝐹𝑁 = 0,2 × 10𝑁 = 2 𝑁

𝑎1𝑥 =2𝑁

1 𝑘𝑔= 2 𝑚/𝑠2

Como fr es la fuerza de rozamiento máxima, la aceleración a

será la máxima aceleración posible de la masa m1.

Fuerza de rozamiento :

m1=1 kg

F= 20 N

a2=?

M2=6 kg

𝑖=1

𝑁

Ԧ𝐹𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒔 = 𝑚 Ԧ𝑎

Si quiero conocer a2, mi sistema deberá ser M2

P2=M2g

F

m1=1 kg

𝑓𝑟𝑒

Fuerza de rozamiento :

𝑖=1

𝑁

Ԧ𝐹𝒆𝒙𝒕 = 𝑀2 Ԧ𝑎

Sistema 2

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒙 = 𝑀2𝑎2𝑥

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒚 = 𝑀2𝑎2𝑦

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒙 = 𝐹 − 𝑓𝑟𝑒 = 𝑀2𝑎2𝑥

= 0

𝐹 − 𝑓𝑟𝑒 = 𝑀2𝑎2𝑥

P2=M2g

F

m1=1 kg

𝑓𝑟𝑒

𝐹 − 𝑓𝑟𝑒𝑀2

= 𝑎2𝑥

𝐹 − 𝑓𝑟𝑒𝑀2

= 𝑎2𝑥 =20 − 2

6= 3𝑚/𝑠2

𝑎1𝑥 =2𝑁

1 𝑘𝑔= 2 𝑚/𝑠2 𝑎2𝑥 > 𝑎1𝑥 !!!

Entonces debo usar

𝑖=1

𝑁

Ԧ𝐹𝒆𝒙𝒕 = 𝑀2 Ԧ𝑎

Sistema 2

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒙 = 𝑀2𝑎2𝑥

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒚 = 𝑀2𝑎2𝑦

𝑖=1

𝑁

𝐹𝒙 = 𝐹 − 𝑓𝑟𝑑 = 𝑀2𝑎2𝑥

= 0

𝐹 − 𝑓𝑟𝑑 = 𝑀2𝑎2𝑥

P2=M2g

F

m1=1 kg

𝑓𝑟𝑒

𝐹 − 𝑓𝑟𝑑𝑀2

= 𝑎2𝑥

𝐹 − 𝑓𝑟𝑑𝑀2

= 𝑎2𝑥 =20 − 1

6= 3,166 𝑚/𝑠2

𝑎1𝑥 =2𝑁

1 𝑘𝑔= 2 𝑚/𝑠2

𝑓𝑟𝑑 𝑐𝑜𝑛 𝜇𝑑 = 0,1

Entonces la situacion es que las superficies deslizan una sobre otra, y por tanto

𝑎1𝑥 = 1𝑚/𝑠2

F

m1=1 kg 𝑎1𝑥

𝑎2𝑥

𝑓𝑟 = 𝑓𝑟𝑑

𝑎2𝑥 = 3,16 𝑚/𝑠2

Y obtenemos

Rozamiento I:Qué pasa aquí??

Tips:

✓ Inercia: La tendencia de un objeto a resistir aceleraciones.✓ Fr dinámica vs. estática.

✓ 𝑭 =∆𝒑

∆𝒕

https://youtu.be/PLpav01H_60

Trabajo tutelado ??

Rozamiento II:

Fuerza Normal y fuerza de rozamiento :

𝑓𝑟 , FN

Radians

For a full circle.

r

sradians )(

rad22

==r

r

r

sfullcircle

rad23601 0 ==revrad2

360rad1rad1

0

=

rs =

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_//cinematica/curvilineo/curvilineo/curvilineo1.html

Ԧ𝑎 =𝑑v

𝑑𝑡=𝑑v

𝑑𝑡𝒖𝑡 +

v2

𝑅𝒖𝑛

De cinemática…

𝑎𝑡 𝑎𝑛𝑎𝑡 = 𝛼𝑅

𝑎𝑛 =v2

𝑅

http://enc.edu/~john.u.free/PY%20201%202011-12/Frameset.htm

Ԧ𝑎 =𝑑v

𝑑𝑡𝒖𝑡 +

v2

𝑅𝒖𝑛

𝐹𝑡𝑚

𝐹𝑅𝑚

𝑎𝑡 𝑎𝑅

Remembering…

http://enc.edu/~john.u.free/PY%20201%202011-12/Frameset.htm

Entonces hay una aceleración!

𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 = 𝑚v2

𝑅𝐹𝑡 = 0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 = 𝑚 Ԧ𝑎σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥=0

σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔 =

𝑚𝑎𝑦=0

𝑵 = 𝒎𝒈

En este caso

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 = 𝑚 Ԧ𝑎σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥=0

σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔 =

𝑚𝑎𝑦=0

𝑵 = 𝒎𝒈

En este caso

y

x

N

Ny

Nx

mg

y

x

Ny

Nx

mg

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 = 𝑚Ԧ𝑎σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑎𝑐=

σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 = 𝑁 −𝑚𝑔 =

𝑚𝑎𝑦=0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 = 𝑁𝑥 = 𝑁 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚𝑎𝑛

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 = 𝑁𝑦 −𝑚𝑔 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑚𝑎𝑡

y

x

Ny

Nx

mg

𝑵 ≠ 𝒎𝒈En este caso

𝑁 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚𝑎𝑛 = 𝑚v2

𝑅𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑡 = 0

Pero además

𝑁 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑚v2

𝑅𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑚𝑔

𝑡𝑔𝛽 =v2

𝑅𝑔

Fuerzas especiales:

• Normal

• Rozamiento

• Muelle

• Centrípeta (Movimiento circular)

• Gravedad

Ejemplos, ejemplos y ejemplos

Leyes de Newton (el regreso)

Particularidades de la fuerza T (tension en una cuerda):

𝑇

La cuerda ideal que consideramos:

• Es inextensible pero compresible (sólo ‘tira’).

• No tiene masa (por ahora).

𝑇 𝑇

2𝑇

σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 = 2𝑇 − 𝑇 − 𝑇 = 𝑚𝑎𝑦=0

Tension en una cuerda: 𝑇

M1

M2

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 = 𝑇 − 𝑓𝑟 = 𝑀1𝑎1𝑥

Sistema 1

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 = 𝑁 −𝑀1𝑔 = 0

σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑥 =0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 = 2𝑇 −𝑀2𝑔 = 𝑀2𝑎2𝑦

Sistema 2

Tension en una cuerda: 𝑇

M1

M2

𝑎1𝑥 = 2𝑎2𝑦

∆𝑥1

∆𝑦2

∆𝑥1= 2∆𝑦2

∆𝑥1∆𝑡

= 2∆𝑦2∆𝑡

𝑣1𝑥 = 2𝑣2𝑦

Particularidades de la fuerza T (tension en una cuerda): 𝑇

??

Particularidades de la fuerza T (tension en una cuerda): 𝑇

T T

T T

✓ Fuerza gravitacional.

✓ Fuerza viscosa.

✓ Fuerza elástica.

Fuerzas Especiales (Cont.)

Ԧ𝐹 Ԧ𝑟

F v

F x

𝐹𝐺= 6,67 × 10−11𝑁𝑚

𝑘𝑔

2

×1 𝑘𝑔 × 1 𝑘𝑔

(1𝑚)2= 6,67 × 10−11𝑁

𝐹𝐺= GM.m

𝑅2

G = 6,6738x10-11 N (m/kg)2

𝐹𝐺= GM

𝑅2𝑚 ≈ 𝑔 𝑚

𝐹𝐺 𝑅 = G𝑀𝑚1

𝑅 2

1

𝑅 + ℎ 2≈

1

𝑅 2𝑅 + ℎ = 6371010 m

𝑅 = 6371000 m

𝐹𝐺≈ 𝑚𝑔

𝑆𝑖 𝑅 ≫ ℎ

𝐹𝐺 𝑅 + ℎ = G𝑀𝑚1

𝑅 + ℎ 2≈ G𝑀𝑚

1

𝑅2

𝐹𝐺 𝑅 + ℎ ≈ 𝐹𝐺 𝑅 = G𝑀𝑚1

𝑅2

𝐹𝐺= GM

𝑅2𝑚 = 𝑔 𝑚

𝑔 =6,67x10−11 × 5,98x1024

6,37x106 2𝑚/𝑠2 ≅ 9,8 𝑚/𝑠2

𝐹𝐺= 𝐹 𝑟 o bien F = mg

https://phet.colorado.edu/en/simulation/gravity-and-orbits

✓Fuerza viscosa.

Fuerzas Especiales (Cont.)

𝐹𝑣 = −𝑏𝑣

𝐹𝑔 = 𝑚𝑔

𝐹𝑣 = −𝑏𝑣𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 = 𝑚𝑔 − 𝑏𝑣 = 𝑚𝑎

+y

𝑚𝑔 − 𝑏𝑣 = 𝑚𝑎

𝑚𝑔 − 𝑏𝑣 = 𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡+ 𝑏𝑣 − 𝑚𝑔 = 0

𝑑𝑣

𝑑𝑡+𝑏

𝑚𝑣 − 𝑔 = 0

𝑑𝑣

𝑑𝑡+𝑏

𝑚𝑣 − 𝑔 = 0

𝑏

𝑚= 𝛽

𝑑𝑣

𝑑𝑡+ 𝛽𝑣 − 𝑔 = 0

𝜇 = 𝛽𝑣 − 𝑔

𝑑𝜇

𝑑𝑡= 𝛽

𝑑𝑣

𝑑𝑡

1

𝛽

𝑑𝜇

𝑑𝑡+ 𝜇 = 0

1

𝛽

𝑑𝜇

𝑑𝑡=𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝜇(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛽𝑡𝑑𝜇

𝑑𝑡+ 𝛽𝜇 = 0

1

𝛽

𝑑𝜇

𝑑𝑡+ 𝜇 = 0

𝑑𝜇

𝑑𝑡+ 𝛽𝜇 = 0

𝜇(𝑡) = 𝑒−𝛽𝑡

𝐴

𝛽−𝛽𝑒−𝛽𝑡 + 𝐴 𝑒−𝛽𝑡 = 0

𝜇(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛽𝑡

𝑑𝜇

𝑑𝑡= −𝛽𝐴𝑒−𝛽𝑡

−𝐴𝑒−𝛽𝑡 + 𝐴𝑒−𝛽𝑡 = 0

𝜇(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛽𝑡 es solución de la ecuación

Vamos a demostrar que Es una solución de la ecuación

𝑑𝜇

𝑑𝑡+ 𝛽𝜇 = 0

𝐴 = −𝑔

𝜇(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛽𝑡 𝜇 = 𝛽𝑣 − 𝑔

𝑣 𝑡 =1

𝛽𝜇(𝑡) + 𝑔

𝑣 𝑡 =1

𝛽𝐴𝑒−𝛽𝑡 + 𝑔 =

𝑚

𝑏(𝑔 + 𝐴𝑒−𝛽𝑡)

𝑏

𝑚= 𝛽

𝑣𝐿 =𝑚𝑔

𝑏𝑣 𝑡 = ∞ = 𝑣𝐿 =

𝑚𝑔

𝑏

𝑣 𝑡 = 0 = 0

𝑣 𝑡 = 𝑣𝐿 1 − 𝑒−𝛽𝑡

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑖 =𝑚𝑔 − 𝐸 − 𝐹𝑆 = 𝑚𝑎

𝑚𝑔 −𝑚𝑙𝑔 − 𝐹𝑆 = 𝑚𝑎

𝐹𝑆 = −𝑏v

𝐸 = 𝑚𝑙𝑔 = 𝜌𝑙𝑉𝑙𝑔 = 𝜌𝑙4

3𝜋𝑅3 𝑔

𝜌𝑒𝑉𝑒𝑔 − 𝜌𝑙𝑉𝑙𝑔 − 𝑏v = 𝑚𝑎

𝜌𝑒4

3𝜋𝑅3 𝑔 − 𝜌𝑙

4

3𝜋𝑅3 𝑔 − 𝑏v = 𝑚

𝑑v

𝑑𝑡

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/stokes/stokes.html

TERMINAL VELOCITY

𝜌𝑒4

3𝜋𝑅3 𝑔 − 𝜌𝑙

4

3𝜋𝑅3 𝑔 − 𝑏v = 𝜌𝑒

4

3𝜋𝑅3

𝑑v

𝑑𝑡

Si despreciamos el Empuje

𝑚𝑔 − 𝑏v = 𝑚𝑑v

𝑑𝑡

𝑔 −𝑏

𝑚v =

𝑑v

𝑑𝑡𝑑𝑡 =

𝑑v

𝑔 −𝑏𝑚 v

𝑏

𝑚= 𝛽 𝑑𝑡 =

𝑑v

𝑔 − 𝛽v

න0

𝑡

𝑑𝑡 = න0

v 𝑑v

𝑔 − 𝛽v

v = v𝑙 1 − 𝑒−𝛽𝑡 v𝑙 =𝑚𝑔

𝑏donde

v(t) = v𝑙 1 − 𝑒−𝛽𝑡 =

=𝑚𝑔

𝑏1 − 𝑒−

𝑏

𝑚𝑡

v(t) =𝑚𝑔

𝑏1 − 𝑒−

𝑏𝑚𝑡

0 50 100 150 200 250 300

0

300

600

900

1200

1500

m=10 kg

b=0,05 kg/s

m=1 kg

b=0,2 kg/s

m=1 kg

b=0,05 kg/s

v(t) (m/s)

t (s)

m=10 kg

b=0,2 kg/s

Felix Baumgartner

supersonic stratosphere freefall

Fuerzas Especiales (Cont.)

It took Baumgartner about 90 minutes to reach the target altitude and

his free fall was estimated to have lasted three minutes and 48

seconds before his parachutes were deployed.

On 14 October 2012, Baumgartner flew approximately 39 kilometres

(24 mi) into the stratosphere over New Mexico, United States, in a

helium balloon before free falling in a pressure suit and then

parachuting to Earth.

He sought to be the first free-falling human to break the sound barrier,

which he did handily. His top speed was calculated at 833.9 miles per

hour, or Mach 1.24. (The speed of sound is measured at 761.2 miles per

hour at sea level.)

Fuerzas Especiales (Cont.)

https://www.wired.com/2012/07/analysis-of-a-red-bull-stratos-practice-jump/

I made some more assumptions:

• The drag coefficient (C) for the

jumper was constant.

• I calculated the product of the drag

coefficient (C) and object surface

area (A) based on the terminal speed

of a skydiver at about 120 mph. It

was just a guess.

• The density of air (ρ) decreased with

altitude based on this model

described in Wikipedia.

• I originally used the universal (1/r2 )

model for the gravitational force, but

I am pretty sure you could just use a

constant mass times

little g where g is about 9.8 N/kg.

✓Fuerza elástica.

Fuerzas Especiales (Cont.)

La fuerza restauradora es

𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥0)

𝐹 = −𝑘∆𝑥 𝑘 > 0

Qué significa F = -kDx ?

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑚𝑎

−𝑘𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 = 𝐹𝑅 =𝑚𝑎

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 =𝑁 −𝑚𝑔 = 0

𝐹𝑅

𝐹𝑅

𝐹𝑅

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+

𝑘

𝑚𝑥 =0

Si llamo𝑘

𝑚= 𝜔2…

Esta es la ecuación diferencial

del movimiento del bloque

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+𝜔2𝑥 =0

Ecuación diferencial del

oscilador armónico

La solución de esta ecuación diferencial ordinaria deberá ser una función cuya

segunda derivada sea la misma función con el signo invertido.

Las únicas funciones (no complejas) que satisfacen esta condición son sen(x) y cos(x).

Pero estas dos opciones están relacionadas ya que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + Τ𝜋 2 = cos(𝑥)Por eso, escogemos arbitrariamente cos(x), sabiendo que podremos cambiar a sen(x) sumando una

constante.

La solución se escribe:

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿

𝑑

𝑑𝑡𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿 = −𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛿

Comprobemos que es una solución de la ecuación diferencial:

𝑑2

𝑑𝑡2𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿 =

𝑑

𝑑𝑡− 𝜔𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛿 =

= −𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛿

−𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛿 + 𝜔2 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿 = 0

Entonces𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝑥 = 0

Se cumple para todo valor de t.

𝑣 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿 = −𝜔𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛿

Si temenos la solución de

𝑎 𝑡 =𝑑2

𝑑𝑡2𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿 =

𝑑

𝑑𝑡− 𝜔𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝛿 =

= −𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝛿

Entonces Tambien temenos la velocidad y la aceleración en todo instante

Se cumple para todo valor de t.

𝑥(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝛿

EJEMPLO I

∆𝑦 = (𝑦𝑓 − 𝑦0)

𝑦

𝑦0

𝒚𝒇

EJEMPLO I

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑚𝑎

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 = 0 + 0 + 0 =0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 =− 𝑘𝑦 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑦

∆𝑦 = (𝑦𝑓 − 𝑦0)

N

P

-ky

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 =0

−𝑘𝑦𝑓 −𝑚𝑔 = 0

𝒚𝒇 = −𝒎𝒈

𝒌𝒚𝒇 < 𝟎

𝑆𝑖 𝑀 = 2𝑚, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 σ𝑖=1𝑁 𝐹𝑦 =0

−𝑘𝑦𝑓𝑀 −𝑀𝑔 = 0

𝒚𝒇𝑴 = −𝟐𝒎𝒈

𝒌 𝒚𝒇𝑴 = 𝟐𝒚𝒇𝒎

−𝑘𝑦 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑑2𝑦

𝑑𝑡2

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+

𝑘

𝑚𝑦 + 𝑔 =0

𝑘

𝑚= 𝜔2

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑚𝑎

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 =0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 =− 𝑘𝑦 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑦∆𝑦

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2+𝜔2𝑦 + 𝑔 =0

−𝑘𝑦′ = −𝑘 𝑦 + ∆𝐿 − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑑2𝑦′

𝑑𝑡2

𝑑2𝑦′

𝑑𝑡2+

𝑘

𝑚𝑦′ =0

𝑘

𝑚= 𝜔2

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑚𝑎

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑥 =0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑦 =− 𝑘𝑦′ − 𝑚𝑔 = 𝑚𝑎𝑦

𝑑2𝑦′

𝑑𝑡2+ 𝜔2𝑦′ =0

𝑦′ = 𝑦 + ∆𝐿

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 − 𝑘∆𝐿 − 𝑚𝑔 = 0

= −𝑘𝑦 − 𝑘∆𝐿 −𝑚𝑔 = 𝑚𝑑2𝑦′

𝑑𝑡2

Entonces

EJEMPLO II

Utilizar la estrategia del

Problema I y elegir el sistema

de coordenadas en la

posicion de equilibrio del

bloque.

Se sabe que una cuerda puede soportar una carga máxima colgada de 25 kg antes de romperse. A

dicha cuerda se la ata una masa de 3 kg y se la hace girar en una mesa horizontal sin rozamiento

en un circulo de 0,8 metros de radio como muestra la figura. Cual es la máxima velocidad a la

que puede girar dicha masa antes de romper la cuerda?

R

𝑣(𝑡)

Sistema: Bloque

R

𝑣(𝑡)

Carga máxima

𝑇 = 𝑚𝑔 = 25 𝑘𝑔 × 10𝑚

𝑠2= 250 𝑁 𝑇

𝑚𝑔

𝑇𝑁

𝑚𝑔

𝑦

𝑥

T

𝑎𝑡

𝑎𝑟

Sistema: Bloque

R

T

𝑎𝑡

𝑎𝑟

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑒𝑥𝑡 =𝑚𝑎

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑟 =𝑚𝑎𝑟

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑡 =0

𝑖=1

𝑁

𝐹𝑟 =𝑇 = 𝑚𝑎𝑟

𝑇 = 𝑚𝑎𝑟 = 𝑚𝑣2

𝑅250 𝑁 = 3 𝑘𝑔

𝑣2

0,8 𝑚 𝑣 =0,8 𝑚 × 250 𝑁

3 𝑘𝑔= 66,66

𝑚

𝑠