PLANTEAMIENTO GENERAL DEL ANÁLISISMATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ARTICULADAS

Prof. Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras

X

Y

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

2

2

1

1

2

2

1

1

000000000000

y

x

y

x

y

x

y

x

uuuu

kk

kk

SSSS

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA ARTICULADA

K’11 K’12

K’21 K’22

EsfuerzosNudo 1

EsfuerzosNudo 2

DesplazamientosNudo 1

DesplazamientosNudo 2

Llamando:

{ } { } { } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′2

22

1

11

2

22

1

11

y

x

y

x

y

x

y

x

uu

uuu

uSS

SSS

S

La ecuación anterior puede escribirse como:

Vector de esfuerzos en los nudos(ejes locales)

Vector de desplazamientos en los nudos(ejes locales)

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES LOCALES

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

2221

1211

2

1

''

''''

''

uu

KKKK

SS

{ } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′2

1

2

1

uu

uSS

S

{ } [ ]{ }uKS ′′=′

{ } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ }2221212

2121111

uKuKSuKuKS′′+′′=′′′+′′=′

{ }1S′ { }2S′

xy { }1u′

{ }2u′1

2

Esta última expresión desarrollada proporciona, en ejeslocales de la barra:

X

Y xy

TRANSFORMACIÓN DESDE EJES GLOBALES A LOCALES:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

2

2

1

1

2

2

1

1

0000

0000

Y

X

Y

X

y

x

y

x

SSSS

cssc

cssc

SSSS

Vector de fuerzas nodalesen coordenadas locales

Vector de fuerzas nodalesen coordenadas globales

{ } [ ] { } globalesejesT

localesejes STS =′

X

Y xy

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

2

2

1

1

2

2

1

1

0000

0000

Y

X

Y

X

y

x

y

x

uuuu

cssc

cssc

uuuu

Vector de desplazamientos nodalesen coordenadas locales

Vector de desplazamientosnodales en coordenadas globales

{ } [ ] { } globalesejesT

localesejes uTu =′

{ } { } { } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′⎭⎬⎫

⎩⎨⎧′′

=′2

22

1

11

2

22

1

11

y

x

y

x

y

x

y

x

uu

uuu

uSS

SSS

S

Esfuerzos y desplazamientos en ejes locales en los dos nudos de la barra:

{ } { } { } { }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

22

1

11

2

22

1

11

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uu

uuu

uSS

SSS

S

Esfuerzos y desplazamientos en ejes globales en los dos nudos de la barra:

{ } [ ] { } globalesejesiT

localesejesi STS =′ [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=cssc

T T{ } [ ] { } globalesejesiT

localesejesi uTu =′

{ } [ ]{ } localesejesiglobalesejesi uTu ′={ } [ ]{ } localesejesiglobalesejesi STS ′= [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

cssc

T

En definitiva, para pasar esfuerzos y deslazamientos, en un nudo concretode una barra la estructura, desde ejes locales a globales o viceversa tenemos:

{ } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ }2221212

2121111

uKuKSuKuKS′′+′′=′

′′+′′=′

{ } [ ][ ] { } [ ][ ] { }{ } [ ][ ] { } [ ][ ] { }2221212

2121111

uTKuTKS

uTKuTKSTT

TT

′+′=′

′+′=′

Relación entre esfuerzos en ejes locales con desplazamientos en ejes locales:

Relación entre esfuerzos en ejes locales con desplazamientos en ejes globales:

(Esta última expresión nos será de gran utilidad cuando deseemos obtenerlos esfuerzos en las barras (los cuales hay que expresar en ejes locales)a partir de los desplazamientos de los nudos obtenidos en ejes globales)

{ } [ ][ ] { } [ ][ ] { }{ } [ ][ ] { } [ ][ ] { }2221212

2121111

uTKuTKS

uTKuTKSTT

TT

′+′=′

′+′=′

Premultiplicando por [T]:

{ } [ ][ ][ ] { } [ ][ ][ ] { }{ } [ ][ ][ ] { } [ ][ ][ ] { }2221212

2121111

uTKTuTKTS

uTKTuTKTSTT

TT

′+′=

′+′=

(Relación entre esfuerzos en ejes globales y desplazamientos en ejes globales)

{ } [ ][ ][ ] { } [ ][ ][ ] { }{ } [ ][ ][ ] { } [ ][ ][ ] { }2221212

2121111

uTKTuTKTS

uTKTuTKTSTT

TT

′+′=

′+′=

{ } [ ]{ } [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ }2221212

2121111

uKuKSuKuKS

+=+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

2221

1211

2

1

uu

KKKK

SS

ó:

LEAk =siendo:

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

22

22

22

22

scsscscsccscscsscscsccsc

kK globalesejese

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

2

11 scscsc

kK [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=2

2

12 scscsc

kK

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=2

2

21 scscsc

kK [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

2

22 scscsc

kK

Como:

1

23

4

y24x13

x23=y34

x24x34

y12

y13

x12 = y23

{f3}{f2}

PROCESO DE ENSAMBLAJE

X

Y

{f1} {f4}

Barra nudo 1 nudo 21-2 1 21-3 1 32-3 2 32-4 2 43-4 3 4

{ } =mnS1 Vector de esfuerzos en el nudo inicialde la barra m-n referido a los ejesglobales de la estructura

{ } =mnS2 Vector de esfuerzos en el nudo finalde la barra m-n referido a los ejesglobales de la estructura

{ }=if Vector de cargas exteriores en el nudo ireferido a los ejes globales de la estructura

{S1}12

-{S1}12-{S1}13

{f1}

{S1}13

EQUILIBRIO NUDO 1:

{f1} = {S1}12 + {S1}13 == [K11]12 {u1} + [K12]12 {u2} + [K11]13 {u1} + [K12]13 {u3}

{f1} – {S1}12 – {S1}13 = 0Ecuación de equilibrio:

Barra 1-3Barra 1-2

{f2} – {S2}12 – {S1}23 – {S1}24 = 0EQUILIBRIO NUDO 2:

{f2} = {S2}12 + {S1}23 + {S1}24 =

=[K21]12 {u1} + [K22]12 {u2} + [K11]23 {u2} + [K12]23 {u3}+ [K11]24 {u2} + [K12]24 {u4}

EQUILIBRIO NUDO 3: {f3} – {S2}13 – {S2}23 – {S1}34 = 0

{f3} = {S2}13 + {S2}23 + {S1}34 =

=[K21]13 {u1} + [K22]13 {u3} + [K21]23 {u2} + [K22]23 {u3} + [K11]34 {u3} + [K12]34 {u4}

EQUILIBRIO NUDO 4: {f4} – {S2}24 – {S2}34 = 0

{f4} = {S2}24 + {S2}34 =

=[K21]24 {u2} + [K22]14 {u4} + [K21]34 {u3} + [K22]34 {u4}

f1 (K11)12+ (K12)12 (K12)13 0 u1 (K11)13

f2 (K21)12 (K22)12 + (K12)23 (K12)24 u2

+ (K11)23 = + (K11)24

f3 (K21)13 (K21)23 (K22)13 (K12)34 u3

+ (K22)34

+ (K11)34 f4 0 (K21)24 (K21)34 (K22)24 u4

+(K22)34

=

mnijK ][ = matriz de rigidez ij (i,j = 1 ó 2, según proceda) de la barra mn

Es decir:

- Un término de la diagonal principal de la fila i y columna j=i, es la suma de las submatrices [K11] ó [K22] de todaslas barras que concurran en el nudo i

[K11] si la barra tiene su extremo 1 en el nudo i ó[K22] si la barra tiene su extremo 2 en el nudo i

-Los términos fuera de la diagonal principal, por ejemplo de la fila i correspondientes a las columnas j, k, l, m, … (j, k, l, m…> i), son las submatrices [K12] de las barras que unen el nudo i con los nudos j, k, l, m, … Si un nudo no estuviere unido directamente con el nudo i su contribución sería una matriz nula.

{ } [ ]{ }uKf =[K] = Matriz de rigidez en ejes globales de la estructura,

que es una matriz simétrica y singular ya que, si la estructura

sufriera un movimiento de sólido rígido, las cargas {f} no se

deberían ver afectadas por el mismo

Vector de cargasen los nudos

Vector de desplazamientosen los nudos

X

Yq

¿Cómo proceder cuando, además, actúen cargas (*) directamente aplicadas a las barras?

P3

P5

P21

2

3

4

5

(*) Nota: Debemos entender “cargas en barras” como no sólo cargas mecánicas, sinotambién como cargas de origen térmico y como las debidas a errores de ejecución

X

Y q

X

Y q

X

Y

=

+

qR1

R2

R2

R1

En una barra que conecta los nudos i y j de la estructura(i < j) sobre la que actúan cargas en puntos intermedios,determinaríamos los vectores reacción {r ’1} y {r ’2}, en losextremos de la barra, en ejes locales, considerando apoyos fijos perfectos en los dos extremos de la barra (o barras).Las reacciones en los extremos se podrían expresar en ejesglobales como:

{r i} = [T] {r ’i}

El vector de cargas actuantes en el nudo i se obtendríasumando los vectores - {r i} de todas las barras que tuvieren el nudo inicial o final en el nudo i.Si en el nudo i ya actuase un vector de cargas {pi}, el vectorde cargas finalmente resultante en ese nudo sería:

{fi} = {pi} – Σ {ri}

(Σ extendido a todas las barras conectadas al nudo i)

Veamos cómo hacerlo en este ejemplo:

{fi} = {pi} – Σ {ri}

X

1

2

3

4

5P3

P5

P2

Y

α

V1

H1

H4

V4

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−=

5

4

4

3

2

1

1

0

00

P

VH

P

PVH

p

El vector de cargas directamente aplicadas a los nudos, {p} :

X

R2

R1

1

2

3

4

5Y

α

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

α−α−α−α−

=∑

sencossencos

1

1

2

2

000000

RRRR

r

El vector de reacciones en barras cargadas, Σ{r} :

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−ααα+α+

−=

51

1

24

24

3

2

1

1

00

PRR

RVRHP

PVH

f

sencos

sencos

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−=

5

4

4

3

2

1

1

0

00

P

VH

P

PVH

p { }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

α−α−α−α−

=∑

sencossencos

1

1

2

2

000000

RRRR

r- =

El vector de cargas resultante sobre la estructura, {f} :

{pi} – Σ {ri} = {fi}

XR2

R1

1

2

3

4

5P3

P5

P2

Y

α

V1

H1

H4

V4

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−ααα+α+

−=

51

1

24

24

3

2

1

1

00

PRR

RVRHP

PVH

f

sencos

sencos

En definitiva:

CONDICIONES DE CONTORNO

{ } [ ]{ }uKf =

En general:

- Conoceremos los vectores de carga {f}i en los nudos(probablemente ignoraremos los vectores de carga{f}j en aquellos nudos en los que existan apoyos)

- Conoceremos alguna de las componentes de {u},en aquellos nudos en los que existan ligaduras

n = número de nudosnº de g.d.l.= 2nr = número de coaccionesnº de movimientos desconocidos = 2n-r

Objetivo:

{ } [ ]{ }*** uKf =

Vector de cargasconocidas

Vector de movimientosincógnitas

Esto lo haremos eliminando filas y columnas correspondientes a gdl’s impedidos por las restricciones

{ } [ ] { }*** fKu 1−=

Resolución del sistema de ecuaciones:

Cálculo de esfuerzos en cada barra:

{ }{ }jj

Tiji

Tijj

ijT

ijiT

iji

ruTKuTKS

ruTKuTKS

'}{][]'[}{][]'[}'{

'}{][]'[}{][]'[}'{

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

2221

1211

Ya conoceríamos los desplazamientos en los gdl’s no impedidos, por los quepodríamos montar el vector de desplazamientos de toda la estructura en ejesglobales:

{ }u