Post on 27-Jan-2016
Procesamiento digital de ImágenesTomografía
Introducción
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• Rayos-X Positrones Rayos gama
Fundamentos• Concepto de proyección
Aplicación en Geología
hT
hR
TxRx
Concepto de proyección
X-RAY
1 2( , )c
L
f t t du
oI I e
Densidad de un objeto
Bidimensional
Intensidad atenuada de un rayo a medida que se propaga a través del objeto a lo largo
de una línea L(θ,t)
2t
1t
ut
θ = Angulo de la proyecciónt = Ubicación del detector
fc(t1,t2)
Concepto de proyección•
X-RAY
Fundamentos Proyección:
Es la operación matemática cuyo resultado es similar a la operación física de tomar una foto irradiada por un haz colimado de rayos X
Objetivo: Reconstruir el objeto en 2D a partir de proyecciones en diferentes ángulos
Fundamentos
Desconocido
Proyección
Projection Slice Theorem
X-RAY
Existe alguna relación
matematica entre la proyección
p(θ,t) y la función bidimensional
fc(t1,t2) ?
p(θ,t)
2t
1t
ut
fc(t1,t2)
Projection Slice Theorem
1 2( , )c
L
f t t du
oI I e
1 2ln ( , ) ( , )oc
L
If t t du p t
I
Projection Slice Theorem
2t
1t
ut
( )u sen
u
t
cos( )t
1t
1 cos( ) ( )t t u sen
Encontramos ahora la relación entre ambos sistemas coordenados.
Projection Slice Theorem
2t
1t
ut
cos ( )u u
t
( )t sen 2t
2 ( ) cos ( )t t sen u
Projection Slice Theorem
1
2
cos( ) ( )( ) cos( )
( , ) 1 2( , )t t u sent t sen uL
p t ducf t t
De aquí en mas nuestro objetivo será encontrar una relación entre la TF 2D de fc(t1,t2) y la TF 1D de p(θ,t).
Esto se puede hacer mediante lo que se conoce como Projection Slice Theorem
Projection Slice Theorem
Empecemos por encontrar la TF de fc(t1,t2)
1 2 1 2( , ) 2 ( , )c cF D CTFT f t t
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) j t j tc c
t t
F f t t e e dt dt
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2 1 22
1( , ) ( , )
4j t j t
c cf t t F e e d d
A su vez la 2D CIFTde Fc(Ω1Ω2) será:
Projection Slice Theorem
Por otro lado la TF 1D de p(θ,t) es:
( ) 1 ( , )P D CTFT p t
( ) ( , ) j t
t
P p t e dt
Projection Slice Theorem
Ahora el Projection Slice Theorem establece que:
1
2
cos1 2( ) ( , )csen
P F
( ) ( cos , )cP F sen
Slice of Fc
1
2
1 2( , )cF
( )P
Projection Slice Theorem
Este teorema es de gran utilidad ya que si tomamos múltiples proyecciones a diferentes ángulos podemos reconstruir la transformada de fourier de fc(t1,t2).Luego aplicando la Transfomada inversa obtenemos el objeto original.
1 2
1 2 3
( ) ( cos , ) ( , )
, ,c cP F sen f t t
Técnicas de reconstruccion
1. Simple : - Nearest Neighbor (interpolacion de orden cero)
- Interpolación de primer orden.
2. Formula de inversión de Radon
3. Técnicas Iterativas
Reconstrucción de la TransformadaPolar Sampling: Ej:. DFT de 9 puntos en cada direccion , 8 proyeccionesLas muestras están igualmente espaciadas
2
1
Debemos encontrar los valores de la transformada en La grilla cartesiana a partir delos valores de la misma enforma polar (puntos rojos).La solución es Interpolar.Los métodos mas simplesson:
Zeroth order Nearest NeighborFirst order Weighed Sum of
neighbor samples (Average)
Reconstrucción de la Transformada
Si modificamos la distancia entre las muestras en función del ángulo (obtenemos cuadrados concéntricos).
Formula de inversion de Radon
Partiendo de la IDFT 2D de Fc(Ω1, Ω2)
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2 1 22
1( , ) ( , )
4j t j t
c cf t t F e e d d
Vamos a convertirla a coordenadas polares esto
es: (Ω1, Ω2) (ω, θ). Para realizar la conversión deberemos hacer uso del jacobiano
2
1
Formula de inversion de Radon
Recordando que :
( , ) ( , ) :
( , ) ( ( , ), ( , ))
( ) ( )
( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
si x g u v y y h u v entonces
f x y dxdy f g u v h u v J dudv donde
x x
u vx y x y y xJ
y yu v u v u v
u v
Formula de inversion de Radon
Entonces fc(t1, t2) nos queda
1 2( , ) cos ( , )
:
cos( , )
cos( , )
si g y h sen
entonces
senx yJ
senu v
1 2( cos )1 2 2
0
1( , ) ( cos , )
4j t t sen
c cf t t F sen e d d
Formula de inversion de Radon Observemos que:
1 2( cos )1 2 2
0
1( , ) ( cos , )
4j t t sen
c cf t t F sen e d d
( )P
1 2( cos )1 2 2
0
1( , ) ( )
4j t t sen
cf t t P e d d
I
Formula de inversion de Radon Observemos que:
1 2( cos )1 2 2
0
1( , ) ( )
4j t t sen
cf t t P e d d
I
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
cos
G P IDFT G g t
y t t t sen
( ) :j tI G e d donde
Es una IDFT
Formula de inversion de Radon En definitiva nos queda que:
1 2cos( )
t t t senI g t
1 2( cos )I g t t sen
1 2 1 220
1( , ) ( cos )
4cf t t g t t sen d
Reemplazando en fc(t1, t2) nos queda:
Formula de inversion de Radon Interpretacion
1 2 1 220
1( , ) ( cos )
4cf t t g t t sen d
1 2
( ) ( ) ( ) ( , )
cos
G P g t p t IDFT
y t t t sen
Formula de inversion de Radon Resulta que:
( )( ) ( , )
Pdg t p t IDFT d
dt t
1- Encontramos2- Hallamos
3- Reemplazamos este resultado en fc(t1, t2)
( )( ) ( , )
Pdg t p t IDFT d
dt t
( , )p t
1 2 1 220
1( , ) ( cos )
4cf t t g t t sen d
Convolution Backprojection Interpretación
2t
1t
t
0t
0( )g t01t
02t
( )g t
0 01 2 0( , ) ( )cf t t g t
0t 02t
01t
1 2 20
1( , ) ( )
4cf t t g t d
Matlab Support
RADON TRANSFORM Obtiene las proyecciones a partir de la imagen
Matlab Support
RADON TRANSFORM Para ver la transformación para varios ángulos
se suele verlas como una imagen.
Matlab Support
INVERSE RADON TRANSFORM Podemos reconstruir la imagen a partir de las proyecciones.
Matlab Support
INVERSE RADON TRANSFORM Podemos reconstruir la imagen a partir de las proyecciones.