Producto de matrices aleatorias

(borrador)

Gabino Corona

1 de diciembre de 2015

1. Introduccion

El proposito de este capıtulo es dar una descripcion del comportamientode producto de matrices aleatorias. Analizar el comportamiento asintotico eintroducir teoremas analogos a los teoremas lımites clasicos para sumas devariables aleatorias independientes e identicamente distribuidas (por ejem-plo, la ley de los grandes numeros).

2. Notacion

DenotaremosM(m,R) como el conjunto de matrices de dimensionm×m

con entradas de numeros reales. GL(m,R) como el conjunto de elementosinvertibles de M(m,R) y a SL(m,R) como el conjunto de matrices condeterminante uno. Sean x y A elementos de Rm y M(m,R) respectivamente,entonces

||x|| ≡

√

√

√

√

(

m∑

i=1

x2i

)

(1)

||M || = Sup||Mx||; x ∈ Rm, ||Rm|| = 1 (2)

Tambien f+ denotara Sup(f, 0). Las variables aleatorias estan definidas so-bre un espacio de probabilidadΩ, A,P. E(X) sera el valor esperado de lavariable aleatoria X

3. El maximo exponente de Lyapunov

Sea Xn,Xn−1, ...X2,X1 una sucesion de matrices aleatorias indepen-dientes e identicamente distribuidas con distribucion comun µ. Si Sn =XnXn−1...X2X1,

||Sn|| ≤ ||Xn|| · ||Xn−1||...||X2|| · ||X1||. (3)

1

Por lo tanto, E(

ln+ ||X1||)

es finito y ln+ ||Sn|| es integrable. Si n, p ≥ 1entonces

E (ln ||Sn+p||) ≤ E (ln ||Xn+p...Xn+1)+E (ln ||Xn...X1) ≤ E (ln ||Sp||)+E (ln ||Sn||)(4)

Entonces la sucesion E (||Sn||) , n ≥ 1 y 1

nE (||Sn||) converge a inf

m≥1

1

mE (ln ||Sm||)

en R ∪ ∞.

DEFINICION. Si E(

ln+ ||X1||)

< ∞, el exponente maximo de Lyapu-nov asociado con µ es el elemento γ de R ∪ ∞ definido por

γ = lımn→∞

1

nE (ln ||Xn...X1||) (5)

Debido a que todas las normas sobre M(m,R) son equivalente, γ esindependiente de la norma que se tome. Nos gustarıa llegar a un resultadomas fuerte de convergencia casi segura:

γ = lımn→∞

1

nln ||Xn...X1|| (6)

TEOREMA DE FURSTENBERG Sea µ una medida definida so-bre el espacio. Sea G el subgrupo cerrado mas pequeno de SL(m.R) quecontiene el soporte de µ. Sea Xn una sucesion de elementos aleatoriosde G independientes e identicamente distribuidos. Si G es un subgrupo deSL(m.R) tal que

1. G no es compacto

2. G no contiene subgrupos de ındice finito reducibles

entonces resulta que

lımn→∞

ln ||Xn...X1u|| = γ > 0 (7)

con probabilidad uno para cualquier vector u ∈ Rm.

El teorema de Furstemberg no toma en cuenta las tazas de crecimiento ex-

ponenciales inferiores asociadas a los valores propios de la matriz(

P†nPn

)1

2n

2