Método de Gauss

Método de Gauss

Dado un sistema de ecuaciones lineales (SEL)

El método de Gauss para la resolución de SEL consiste en obtener un sistema de ecuaciones lineales equivalente al anterior que sea triangular superior (escalonado), es decir,

3333

2222

1111

DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

El SEL escalonado es muy sencillo de resolver

Para pasar de uno a otro se realizan operaciones que conservan la equivalencia de SEL

3333

2222

1111

DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

33

222

1111

dzcdzcybdzcybxa

Operaciones que conservan la equivalencia en un SEL

A. Intercambiar el orden de las ecuaciones i y j

B. Multiplicar la ecuación i por un nº k no nulo y sustituirla por el resultado

C. Sumar las ecuaciones i y j, multiplicadas por sendos números, y sustituir el resultado por la ecuación i o j.

ji FF

ii FKF .

jiji FtFkFóF ..

Problema: En una confitería envasan los

bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Cierto día envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más del tamaño pequeño que del mediano. Sabiendo que el precio del kilo de bombones son 24 € y que el importe de los bombones envasados ese día fue de 750 €. ¿Cuántas cajas se envasaron de cada tamaño?

Planteamiento:

1.- Definimos las incógnitas a utilizar:

○ x = Nº cajas de bombones de 250 g (pequeñas)○ y = Nº cajas de bombones de 500 g (medianas)○ z = Nº cajas de bombones de 1 kg (grandes)

Nota:- 250 g = ¼ de kg- 500 g = ½ de kg

Planteamiento de las ecuaciones:a. Cierto día envasaron 60 cajas en total

b. Habiendo 5 cajas más del tamaño pequeño que del mediano

c. El precio del kilo de bombones son 24 € y que el importe de los bombones envasados ese día fue de 750 €

60 zyx

5xy

750242

24

4

24 zyx

75024126 zyx

Resolución del SEL

75024126

5

60

zyxxy

zyx

75024126

5

60

zyxyxzyx

Mediante el Método de Gauss

75024126

5

60

zyxyxzyx

122 FFF

133 6 FFF

390186

552

60

zyzyzyx

390186

552

60

zyzyzyx

233 3 FFF

22515

552

60

zzyzyx

15

225z

15z

15

552

60

zzyzyx

55152 y

20y

15

20

60

zy

zyx 601520 x

25x

Solución:

La solución del sistema es:

Es decir, se envasan 25 cajas de 250 g, 20 cajas de 500 g y 15 cajas de 1 kg

15

20

25

zyx