S02 ad4001

Sesión 2Funciones de Probabilidad

TLC e Intervalos de confianza

Estadística en las organizaciones CD4001

Dr. Jorge Ramírez Medina

Dr Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School

Nuestro interés es el número de éxitos que ocurren en los n intentos.

Tomamos x como el número de éxitos que ocurren en los n intentos.

Distribución Binomial

donde: f(x) = La probabilidad de x éxitos en n intentos n = el número de intentos p = la probabilidad de éxito de cualquier intento

Función de probabilidad binomial

)()1()!(!

!)( xnx pp

Función de probabilidad binomial

Probabilidad de una secuencia particular de resultados

con x éxitos en n intentos

Número de resultados experimentales que dan

x éxitos en intentos

)()1()!(!

!)( xnx pp

Ejemplo

La empresa está preocupada por la alta rotación de sus empleados. Para un empleado seleccionado al azar, se estima una probabilidad de 0.1 de que la persona no esté el próximo semestre trabajando. Si se seleccionan 3 empleados al azar ¿cuál es la probabilidad de que uno de ellos no esté trabajando el próximo semestre en el CITEC?

Diagrama de árbol 1st Worker 1st Worker 2nd Worker2nd Worker 3rd Worker3rd Worker xx Prob.Prob.

Leaves (.1)Leaves (.1)

Stays (.9)Stays (.9)

Leaves (.1)Leaves (.1)

S (.9)S (.9)

Stays (.9)Stays (.9)

S (.9)S (.9)

L (.1)L (.1)

L (.1)L (.1) .0010.0010

.0090.0090

.7290.7290

.0090.0090

.0810.0810

Utilizando la función de probabilidad Binomial

tome: p = .10, n = 3, x = 1tome: p = .10, n = 3, x = 1

)()1()!(!

!)( xnx pp

243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0)!13(!1

!3)1( )13(1

utilizando Tablas de Probabilidad Binomial

n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50

3 0 .8574 .7290 .6141 .2430 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .12501 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .37502 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .37503 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250

X P(X)

0 0.729

1 0.243

2 0.027

3 0.001

Utilizando excelBinomial

El valor esperado;

La varianza;

La desviación estándar, s =

Var(x) = 2 = np(1-p)Var(x) = 2 = np(1-p)

E(x) = = npE(x) = = np

)1( pnp

E(x) = np = 3(.1) = .3 empleados de 3

Var(x) = 2 = 3(.1)(.9) = .27

empleados52.)9)(.1(.3

La larga cola

Una variable aleatoria con una distribución Poisson es útil para estimar el número de ocurrencias sobre un intervalo especificado de tiempo o espacio.

Es una variable aleatoria discreta que puede tomar una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).

Distribución Poisson

Ejemplo de variables aleatorias con distribución Poisson

La cantidad de fugas en 10 km. de un gaseoducto

Los automóviles que pasan por una caseta en una hora

Propiedades de los experimentos Poisson

La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no-occurrencia en cualquier otro intervalo.

La probabilidad de una ocurrencia es la mismapara dos intervalos cualesquiera de igual longitud

Función de probabilidad Poisson

en donde:f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalo µ= media de ocurrencias en un intervalo e = 2.71828

• Ejemplo: Hospital López Mateos

Los fines de semana en la tarde

a la sala de emergencias del

Hospital LM llegan en promedio

6 pacientes por hora .

Cuál es la probabilidad de que

lleguen 4 pacientes en 30 minutos

en la tarde de un fin de semana?

Utilizando la Función de Probabilidad Poisson

= 6/hora = 3/media-hora, x = 4 = 6/hora = 3/media-hora, x = 4

1680.0!4

)71828.2(3)4(

Utilizando las tablas de probabilidad Poisson

x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.00 .1225 .1108 .1003 .0907 .0821 .0743 .0672 .0608 .0550 .04981 .2572 .2438 .2306 .2177 .2052 .1931 .1815 .1703 .1596 .14942 .2700 .2681 .2652 .2613 .2565 .2510 .2450 .2384 .2314 .22403 .1890 .1966 .2033 .2090 .2138 .2176 .2205 .2225 .2237 .22404 .0992 .1082 .1169 .1254 .1336 .1414 .1488 .1557 .1622 .16805 .0417 .0476 .0538 .0602 ..0668 .0735 .0804 .0872 .0940 .10086 .0146 .0174 .0206 .0241 .0278 .0319 .0362 .0407 .0455 .05047 .0044 .0055 .0068 .0083 .0099 .0118 .0139 .0163 .0188 .02168 .0011 .0015 .0019 .0025 .0031 .0038 .0047 .0057 .0068 .0081

Utilizando excel; =POISSON(4,3,FALSO)

Dr Jorge Ramírez MedinaITESM EGADE Zona Centro

Poisson Distribution of Arrivals

Poisson Probabilities

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número de llegadas en 30 Minutos

La secuencia continua:11, 12, …

Una propiedad de la distribución Poisson es queLa media y la varianza son iguales.

m = s 2

Varianza de las llegadas durante el periodo de 30 minutos.

m = s 2 = 3

Distribución de probabilidad exponencial

• Útil para describir el tiempo que toma el completar una tarea.

• Las variables aleatorias exponenciales pueden ser utilizadas para describir:

Tiempo de llegada Entre vehículos

a una caseta.

Tiempo requerido para llenar un cuestionario

Distancia entre baches en una

autopista

• Función de densidad

donde: = media e = 2.71828

Para x ≥0, μ≥0

• Probabilidades acumulativas

donde: x0 = algún valor específico de x

exxP 1)( 0

• Ejemplo; gasolinera las Torres

El tiempo entre carros que llegan a la gasolinera las Torres sigue una distribución de probabilidad exponencial con una media entre llegadas de 3 minutos. Se quiere saber cuál es la probabilidad de que el tiempo entre 2 llegadas sea menor o igual de 2 minutos.

f(x)f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo entre llegadas (mins.)

P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866 P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3 = 1 - .5134 = .4866

Una propiedad de la distribución exponencial es que la media, m, y la desviación estándar, s, son iguales

La desviación estándar, s, y la varianza, s 2, para el tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:

s = m = 3 minutes

s 2 = (3)2 = 9

La distribución exponencial está sesgada positivamente.

La medición del sesgo para la distribución exponencial es 2.

La distribución Poissonda una descripción apropiadadel número de ocurrenciaspor intervalo

La distribución exponencialda una descripción apropiadade la longitud del intervaloentre las ocurrencias

Relación entre las distribuciones

exponencial y Poisson

Distribución Normal

𝑓 (𝑥)= 1𝜎 √2𝜋

𝑒−(𝑥−𝜇)2

Valores Z

Se interpreta como la cantidad de desviaciones estándar que dista xi del promedio.

Z-scores

¿cómo comparar peras con manzanas?

Un ejemplo

60 en estadística 60 en ética

Para entender; Grafiquémoslo

• Tipo de datos– Numéricos– Medidas de tendencia central (media)– Medidas de variabilidad (desviación estándar)

Primera idea

Nada es verdad, nada es mentiraTodo es según el cristal en que se mira

(Popular)

Segunda idea

Tercera idea

Cuarta idea

Z = (Score - Mean)/SDZ = (60 - 50) / 10Z = 1

Z = (Score - Mean)/SDZ = (84 - 50) / 10Z = 3.4

Z = (60 - 70) / 10Z = -1.0

Z-scores

• Z-score puede ser positivo o negativo– Positivo es arriba de la media– Negativo es abajo de la media

• La media de un Z-score es siempre cero• Si se tiene el promedio, el Z-score =0• La desviación estándar de una distribución Z =1

425 430 430 435 435 435 435 435 440 440440 440 440 445 445 445 445 445 450 450450 450 450 450 450 460 460 460 465 465465 470 470 472 475 475 475 480 480 480480 485 490 490 490 500 500 500 500 510510 515 525 525 525 535 549 550 570 570575 575 580 590 600 600 600 600 615 615

Para el ejemplo de la sesión 1

= .865

Valores z

• z-Score del valor más pequeño (425)

-1.20 -1.11 -1.11 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -0.93 -0.93-0.93 -0.93 -0.93 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.75 -0.75-0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.56 -0.56 -0.56 -0.47 -0.47-0.47 -0.38 -0.38 -0.34 -0.29 -0.29 -0.29 -0.20 -0.20 -0.20-0.20 -0.11 -0.01 -0.01 -0.01 0.17 0.17 0.17 0.17 0.350.35 0.44 0.62 0.62 0.62 0.81 1.06 1.08 1.45 1.451.54 1.54 1.63 1.81 1.99 1.99 1.99 1.99 2.27 2.27

Valores estandarizados

20.173.54

8.490425

xxz ii

La letra z es utilizada para designar a la variable normal aleatoria estandarizada.

Distribución de probabilidad Normal

estandarizada

Distribución de probabilidad Normal

estandarizadaFunción de densidad normal

estándar

donde:z = (x – m)/sp = 3.14159e = 2.71828

Asignación para la siguiente sesión

Dr. Jorge Ramírez MedinaEGADE Business School

Fin Sesión DosGracias por

su atención

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