Post on 24-Jan-2016
Secciones Cónicas
Shirley Bromberg
Raquel Valdés
Versión Preliminar
Secciones Cónicas
El tema de las secciones cónicas no pertenece a la geometría elemental.
El tratamiento más antiguo que ha llegado hasta nosotros es el que aparece en las Cónicas escrito por Apolonio de Perga, en el siglo II a.C.
Secciones Cónicas
Una SECCION CONICAes la curva que se traza sobre un cono, al ser intersectado por un plano.
Dada una recta D (directriz) y un punto F (foco) que no está en D, una cónica es el lugar geométrico de todos los puntos P tales que su distancia al foco entre su distancia a la directriz es constante. Esta constante se llama excentricidad.
Dentro de la Geometría Analítica, las cónicas están dadas por ecuaciones, que corresponden a la traducción analítica de un lugar geométrico descritosintéticamente.
Dada la directriz y el foco , la relación
F
P define la cónica de excentricidad
D
PDePF
DF
.eS
La recta , perpendicular a la directriz y que pasa por el foco es eje de simetría
S
SP
Cuando
x
y
F
P
la distancia al foco esjustamente igual a ladistancia la directriz,la cónica se llama parábola.
,1e
es decir,
PDPF
D
PARABOLAS
En la figura de la izquierdase trazaron parábolas con
foco en el origen y directrices x = 1x = 2x = 3
Notemos que, a medida que la directriz se aleja del foco, la parábola se “abre”
12222 xxyx
Ecuación de una parábola con foco y directriz
),1( yQ),( yxP
yComo PF = PQ,
222 )1( xyx
Por lo tanto,
Simplificamos,
122 xy
F x
1x
)0,0(F1x
Dada la directriz y el foco F y la relación
xF
P
con e < 1, describe la cónica que se llama elipse, pues ladistancia al foco se queda corta con respecto a la distancia a la directriz.
DPDePF
1244 222 xxyx
Ecuación de una elipse con foco F(0,0) , excentricidad e = 1/2 y directriz x = 1
),( yxP
yComo 2PF = PQ,
222 )1()(4 xyx
Por lo tanto,
Simplificamos,
1243 22 xyx
F x
),1( yQ),( yxP
F
ELIPSESEn la figura de la izquierda
se trazaron elipses con excentricidad .6, foco en el origen y con directrices
x = 1x = 2x = 3x = 4
Notemos ahora que a medidaque la directriz se aleja del focola elipse se agranda sin cambiarde forma
Dada la directriz y el foco F y la relación
x
y
F
P
cuando e > 1, es decir la distancia al foco excedela distancia a la directriz, la cónica se llama hipérbola.
D PDePF
En la gráfica queestá a la izquierdaaparecen las cónicas con directriz
1x
y con excentricidades
6.e1e2e
con foco
)0,0(F
Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad distinta de 1.
Una cónica con e 1, tiene dos puntos sobre el eje de simetría.
Para obtenerlos, debemos resolver el sistema de ecuaciones
0
)( 2222
y
dxeyx
dx
F
P
Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad distinta de 1.
De
obtenemos
0
)( 2222
y
dxeyx
dx
F
P
222 )( dxex
es decir,
)( dxex
Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad distinta de 1.
dx
F
Las expresiones:
edxe
edxe
)1(
)1(
producen dos puntos si
1e
eed
x
eed
x
1
1
P
Algunas consideraciones sobre la elipse.
dx
F
Cuando 10 e
eed
xeed
x
1
y 1
los puntos
x xcx
están del mismo lado de la directriz. El punto medio
)(21
xxxc
es un centro. La recta
cxx
es un eje de simetría
Algunas consideraciones sobre la elipse.
dx
Fx xcx
Sdx
Obtenemos un nuevo foco
SF
y una nueva directriz:
SF
Sdx
simétricos, respectivamente,de y de conrespecto al eje de simetría
F dx
cxx
.cxx
Algunas consideraciones sobre la elipse.
dx
Fx xcxSF
Sdx
PUn punto P sobre la elipsesatisface, por una parte
QSQ
ePQPF
y por la otra
SS PQePF
Por lo tanto:
)( SSS ddeQQePFPF
Algunas consideraciones sobre la elipse.
dx
Fx xcxSF
Sdx
P QSQ
La relación
)( SSS ddeQQePFPF
constante SPFPF
es decir,
da una definición alternativa deelipse:
Algunas consideraciones sobre la elipse.
Fx xcxSF
P Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos dados, llamados focos, es constante.
Algunas consideraciones sobre cónicas con excentricidad .
dx
F
En este caso :
están en lados opuestos dela directriz. Por simetría apareceotro foco y se obtiene, esta vez, que la diferencia de las distanciasa los focos es constante.
1
y 1
eed
xeed
xP
1e
xx