Post on 03-Jul-2015
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CLASE 2
SUCESIONES Y SERIESDE NUMEROS REALES
Claudia Rahmann
SUCESIONES
Una sucesión se puede ver como conjunto ordenado de términos, que cumplen una ley determinada
Formalmente, es una aplicación que representaremos por
nxn
N
nx
Números naturales Números reales
SUCESIONES
Ejemplos:
,1,,
6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
11
nnxn
,1,,
36
1,
25
1,
16
1,9
1,4
1,1
,1,,
6
1,
5
1,
4
1,
3
1,
2
1,
1
11
2
22222222
n
nnxn
SUCESIONES
En el conjunto de las sucesiones de números reales se definen las operaciones:
- Adición:
- Multiplicación:
- Multiplicación por escalares:
nnnn yxyx
nnnn yxyx
nn xx
SUMATORIAS
Símbolo de la SUMATORIA: Supóngase dada una cantidad finita de números y consideramos la suma
En ocasiones es conveniente más hacer breve esta expresión. Esto se logra mediante el símbolo de suma
llamado sumatoria
,,,, 4321 aaaa
naaaaa 4321
SUMATORIAS
Este símbolo se usa …
El elemento se llama término general de la sumaka
n
n
kk aaaaaa
43211
Límite inferior
Límite superior
Ejemplo de sumatorias I
Se quiere expresar la suma de los cuadrados de los primeros 10 naturales:
es decir
En este caso, es fácil ver que el término general es con lo que la suma (expresada con nuestro
“nuevo” símbolo) es
2222222222 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1
2222222222 10987654321
2kak
38510987654321 222222222210
1
2 k
k
Ejemplo de sumatorias I
Si se desea considerar solamente
Entonces se puede escribir
22222222 109876543
380109876543 2222222210
3
2 k
k
Este es el término que cambia
Ejemplo de sumatorias II
4636111.05
1
4
1
3
1
2
112222
5
22
k k
9375.02
1
2
1
2
1
2
1
2
14321
5
21
k
k
Propiedad
Un ejemplo sería
n
ii
n
ii aa
11
7703852109876543212
22
2222222222
10
1
210
1
2
kk
kk
SERIES
¿Qué es una serie? …. Consiste en encontrar funciones polinómicas que se aproximen (que se parezcan) a una cierta función f(x)…. ¿?
Por ejemplo, esta serie se conoce como binomio de Newton
32
!3
)2()1(
2
)1(11 x
nnnx
nnxnx n
0 !!)(
!1
k
kn
k
x
kn
nx
FACTORIAL
¿Pero que significa el símbolo ! ?
Este símbolo se llamaFACTORIAL
!
4321!4
321!3
21!2
1!1
1!0
SERIES
¿Cómo aplicamos esta fórmula?
• Para el caso n=1
xxx
k
x
kk
x
kn
nx
k
k
k
k
1!1!)11(
1
!0!)01(
1
!!)1(
1
!!)(
!1
10
00
1
k=0 k=1
¿Cuántos términos hay?
SERIES
¿Cómo aplicamos esta fórmula?
• Para el caso n=2
2210
0
2
21!2!)22(
12
!1!)12(
12
!0!)02(
12
!!)2(
121
xxxxx
k
x
kx
k
k
k=0 k=1
k=2
SERIES
¿Cómo aplicamos esta fórmula?
• Para el caso n=3
323210
0
3
331!3!)33(
123
!2!)23(
123
!1!)13(
123
!0!)03(
123
!!)3(
1231
xxxxxxx
k
x
kx
k
k
k=1k=0 k=2 k=3
SERIES
El binomio es para cualquier n real (positivo o negativo)
• Para el caso n = -1
32
321
11
1
!3
)21()11()1(
2
)11()1(11
xxxx
xxx
SERIES
Otro ejemplo de serie
Para n=1
yxnn
yxn
xyx nnnn 21
!2
)1(
!1
yxyxxyx 011
SERIES
Algunas series tienen infinitos ( ) términos, pero convergen a un número finito...
¿Cómo vemos esto?
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
13210
0
j
kk
Infinitos términos Se puede demostrar!
SERIES
Existen muchas series conocidas que se usan en Física.Aquí hay más ejemplos
!7!5!3
)(753
1 sen
!6!4!2
1)cos(642
72.2!4!3!2!1
1 14321
exxx
e x
está en RADIANES
Número e de Euler
SERIES
Una serie muy usada en física es
Esta serie está definida si
0
3211
1
k
kxxxxx
1x
Este símbolo significa MODULO
MODULO
Ejemplos de módulo serían.
55
55
22
22
11
11
MODULO
Para el caso en que
Verifíquenlo en el computador!
1x
)1(1
1x
x