TED-17

2

Series de Fourier.Clasificación de

Funciones

No-PeriódicasPeriódicas

Serie de Fourier Transformada de Fourier

Se puede aplicar* Se puede aplicar

* Siempre que cumplan las condiciones de Dirichlet* Siempre que cumplan las condiciones de Dirichlet

3

Serie de FourierDe acuerdo a la descripción anterior se

puede aplicar la serie de Fourier a todas las funciones periódicas.

Primero que nada una función periódica es aquella función, continua o discreta que cumpla con estas características.

F(t)=F(t+T), donde T es el periodo, para el caso de las funciones continuas.

F[N]=F[N+T], donde T es el periodo , para el caso de las funciones discretas.

4

Ejemplo de funciones periódicas.Ejemplo de Ejemplo de funciones funciones periódicas.periódicas.

Arriba: función Arriba: función periódica periódica

continua por continua por tramostramos

Abajo: función Abajo: función periódica periódica discreta. discreta.

5

+ Ejemplo de funciones periódicas.

6

Serie de Fourier.Se puede aplicar a cualquier función continua por partes que cumpla las siguientes condiciones.

1. Siendo discontinua, tenga un número finito de discontinuidades en el periodo T;

2. Tenga un valor, medio finito en el período T;3. Incluya un número finito de máximos positivos y

negativos en el período T.Cumpliéndose 1,2,3(*) se puede tener dos maneras de escribir la serie de Fourier, estas son:

Serie de Fourier Trigonométrica Y

Serie de Fourier Exponencial.

7

Serie Trigonométrica de Fourier.Cumpliéndose las condiciones de Dirichlet, se

puede escribir a la función F(t) como una serie trigonométrica de Fourier.

...sen3sen2sen

....3cos2coscos)(

321

3210

tbtbtb

tatataatf

Como se puede observar, la idea de expresar una función Como se puede observar, la idea de expresar una función que cumpla las condiciones de Dirichlet, es que se pueda que cumpla las condiciones de Dirichlet, es que se pueda

escribir como una suma de funciones sinusoidales.escribir como una suma de funciones sinusoidales.

8

Serie Trigonométrica de Fourier

Identificación de elementos de la serie de Fourier

1. Llamaremos a w la frecuencia.2. Cada vez que la frecuencia se multiplique

por un factor k, donde k=1,2,… llamaremos armónico k, por ejemplo si k=3, tendremos una frecuencia de 3w, a eso llamaremos el tercer armónico.

...sen3sen2sen

....3cos2coscos)(

321

3210

tbtbtb

tatataatf

9

Obtención de los coeficientes

Para obtener los coeficientes, a0, ak, bk, k=1,2,… y de la serie trigonométrica de Fourier, tendremos que realizar las siguientes operaciones:

...sen3sen2sen

....3cos2coscos)(

321

3210

tbtbtb

tatataatf

,...2,1,sen)(2

,...2,1,cos)(2

)(1

2

2

2

2

2

2

0

kdtkttfT

b

kdtkttfT

a

dttfT

a

t

tk

t

tk

t

t

10

Ejercicio 1Obtener la serie trigonométrica de Fourier para

la función dientes de sierra, dibujar el espectro de frecuencia y la onda resultante

Fig1.Fig1. Acá se tiene Acá se tiene una función que una función que tiene un periodo tiene un periodo

22con una con una amplitud de 1. los amplitud de 1. los

valores de la valores de la función varían función varían entre 0 a 1.entre 0 a 1.

11

Solución Primero definimos la función

20;2

tVtV

tV

Ahora buscamos los coeficientes aAhora buscamos los coeficientes aoo, a, akk y b y bkk

222

1

22

11

2

0

2

2

2

0

2

2

0

VtV

tV

tVdtV

tdtfT

a

T

T

12

0

2

2cos

2cos

22

2

cos2

2222

2

0

2

2

k

kV

k

VtdtkVt

V

tdtktfT

aT

Tk

k

V

k

kV

k

VtdtkVt

V

tdtktfT

bT

Tk

22

2

0

2

2

2

2sensin

22

2

sin2

Solución Solución

13

Mediante matlab podemos obtener los resultados de ak y bk

kk akak bk bk CkCk

11 00 0.3183 0.3183 0.3183 0.3183

22 00 0.1592 0.1592 0.1592 0.1592

33 00 0.1061 0.1061 0.1061 0.1061

44 00 0.0796 0.0796 0.0796 0.0796

55 00 0.0637 0.0637 0.0637 0.0637

66 00 0.0531 0.0531 0.0531 0.0531

77 00 0.0455 0.0455 0.0455 0.0455

88 00 0.03980.0398 0.03980.0398

99 00 0.0354 0.0354 0.0354 0.0354

1010 00 0.0318 0.0318 0.0318 0.0318

1111 00 0.02890.0289 0.02890.0289

Tabla #1. los Tabla #1. los primeros 11 primeros 11

coeficientes de la coeficientes de la serie de Fourier serie de Fourier para el ejercicio para el ejercicio

planteado.planteado.

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Finalmente obtenemos la serie de fourier con los datos planteados

...t3sen

3

1t2sen

2

1tsen

1

2)(

V

tV

Gráfico del Gráfico del espectro de onda.espectro de onda.

15

La Figura muestra una aproximación de la señal mediante la serie de Fourier.

Esto se obtuvo Esto se obtuvo con los con los

primeros tres primeros tres armónicos. armónicos.

16

Aproximación con 6 ArmónicosAproximación con 6 Armónicos

17

Aproximación con 9 ArmónicosAproximación con 9 Armónicos

18

Aproximación con 12 ArmónicosAproximación con 12 Armónicos

19

Ejercicio 2• Determinar la serie Determinar la serie trigonométricatrigonométrica de de FFourier para la ourier para la onda cuadrada de la siguiente onda cuadrada de la siguiente señalseñal::

)/(1

2

0)(5

0)(5)(

segrad

T

tvV

tvVtV

20

Solución

)5sin(4

)3sin(3

20)sin(

20)(

)5sin(5

4)3sin(

3

4)sin(

4)sin()(

,3,2,11242

2

12

ttttV

tV

tV

tV

tnbtf

iconinn

V

n

Vb

inn

n

21

Graficas

En esta grafica se En esta grafica se superpuso la Serie superpuso la Serie trigonométrica de trigonométrica de Fourier con 60 Fourier con 60 armónicos versus armónicos versus la onda cuadrada.la onda cuadrada.

Logrando un Logrando un buena buena aproximación de aproximación de la onda cuadrada.la onda cuadrada.