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Senales y Sistemas 1Sesion 3
Jan Bacca R.Andres Olarte D.
Universidad Nacional de Colombiasede Bogota
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 1 / 90
Agenda
1 Sistemas LIT:La suma de convolucion
2 Sistema LIT continuos: La integral de convolucion
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 2 / 90
Creditos
MIT OpenCourseWare, 6003 signals and systems, lecture 8:2010.Disponible en http://ocw.mit.edu/courses/
electrical-engineering-and-computer-science/
6-003-signals-and-systems-fall-2011/.
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 3 / 90
Ejercicio
Busque y [3]
X + +
R R
Y
Cuando la entrada es
1
x[n]
n
Respuesta
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 4 / 90
Ejercicio
+ +
1
n
0 0
0 0
x[n]
n
y[n]
RR
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 5 / 90
Ejercicio
+ +
n
1 1
0 0
x[n]
n
y[n]
RR
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 6 / 90
Ejercicio
+ +
n
1 2
1 0
x[n]
n
y[n]
RR
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 7 / 90
Ejercicio
+ +
n
1 3
1 1
x[n]
n
y[n]
RR
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 8 / 90
Ejercicio
+ +
n
0 1
0 1
x[n]
n
y[n]
RR
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 9 / 90
Ejercicio
+ +
n
0 1
0 1
x[n]
n
y[n]
RR
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 10 / 90
Ejercicio
+ +
n
0 0
0 0
x[n]
n
y[n]
RR
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 11 / 90
Ejercicio
y [3] = 2
+ +
n
0 0
0 0
x[n]
n
y[n]
RR
Respuesta
a)1 b)2 c)3 d.)3 e.)5
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 12 / 90
Ejercicio
n
x[n]
n
n
n
=
+
+
-1 0 21 3 4 5
+ +0 0
0 0RR
.
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 13 / 90
Ejercicio
n
x[n]
y[n]
n
n
n
n
=
+
+
-1 0 21 3 4 5
+ +0 0
0 0RR
.
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 14 / 90
Ejercicio
n
x[n]
y[n]
n
n
n
n
n
n
=
+
+
+
+
-1 0 21 3 4 5
+ +0 0
0 0RR
.
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 15 / 90
Ejercicio
n
x[n]
n
y[n]
n
n
n
n
n
n
=
+
=
+
+
+
-1 0
1
2
3 4 5-1 0 2
1 3 4 5
+ +0 0
0 0RR
.
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 16 / 90
Representacion de senales discretas en terminos deimpulsos
El impulso unitario discreto sepuede usar para construircualquier senal discreta
x [−1]δ[n+1] =
{x [−1], n = −1
0, n 6= −1
x [0]δ[n] =
{x [0], n = 0
0, n 6= 0
x [1]δ[n − 1] =
{x [1], n = 1
0, n 6= 1
x[n]
n
n
n
n
0-1 1
Figura: Representacion desenal en terminos de impulsos
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 17 / 90
Respuesta al impulso unitario y representacion de sistemasLIT como suma de convolucion
Si un sistema es lineal e invariante en el tiempo (LIT), su salida es lasumatoria ponderada de cada respuesta.
Sistemaδ[n] h[n]
. .
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 18 / 90
Respuesta al impulso unitario y representacion de sistemasLIT como suma de convolucion
Si un sistema es lineal e invariante en el tiempo (LIT), su salida es lasumatoria ponderada de cada respuesta.
Sistemaδ[n] h[n]
Sistemaδ[n− k]h[n− k]
. .
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 19 / 90
Respuesta al impulso unitario y representacion de sistemasLIT como suma de convolucion
Si un sistema es lineal e invariante en el tiempo (LIT), su salida es lasumatoria ponderada de cada respuesta.
Sistemaδ[n] h[n]
Sistema
Sistema
δ[n− k]h[n− k]
x[k]δ[n− k] x[k]h[n− k]
. .
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 20 / 90
Respuesta al impulso unitario y representacion de sistemasLIT como suma de convolucion
Si un sistema es lineal e invariante en el tiempo (LIT), su salida es lasumatoria ponderada de cada respuesta.
Sistemaδ[n] h[n]
Sistema
Sistema
Sistema
δ[n− k]h[n− k]
x[k]δ[n− k] x[k]h[n− k]
x[n] =∞∑
k=−∞x[k]δ[n− k] y[n] =
∞∑k=−∞
x[k]h[n− k] = x[n] ∗ y[n]. .
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 21 / 90
Respuesta al impulso unitario y representacion de sistemasLIT como suma de convolucion
La respuesta de un sistema LIT a una entrada arbitraria
x[n] y[n]LIT
y[n] = x[n] ∗ h[n] =∞∑
k=−∞x[k]h[n− k]
Donde h[n] es la respuesta al impulso del sistema.Esta operacion es llamada convolucion
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 22 / 90
Ejemplo
y[n] =∞∑
k=−∞x[k]h[n− k]x[n]
n
h[n]
n
∗
1 3 4 5-1 0 2-2 1 3 4 5-1 0 2-2
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 23 / 90
Ejemplo
y[0] =∞∑
k=−∞x[k]h[0− k]x[k]
k
h[k]
k
∗
1 3 4 5-1 0 2-2 1 3 4 5-1 0 2-2
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 24 / 90
Ejemplo
y[0] =∞∑
k=−∞x[k]h[0− k]
Desplazada y escalada
x[k]
k
h[k]
k
∗
h[−k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2 1 3 4 5-1 0 2-2
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 25 / 90
Ejemplo
y[0] =∞∑
k=−∞x[k]h[0− k]
Multiplicada
x[k]
k
h[k]
k
∗
h[0− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2 1 3 4 5-1 0 2-2
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 26 / 90
Ejemplo
y[0] =∞∑
k=−∞x[k]h[0− k]
Multiplicada
x[k]
k
h[k]
k
∗
h[0− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
x[k]h[0− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 27 / 90
Ejemplo
y[0] =∞∑
k=−∞x[k]h[0− k]
Sumatoria
x[k]
k
h[k]
k
∗
h[0− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
x[k]h[0− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
∞∑k=−∞
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 28 / 90
Ejemplo
y[0] =∞∑
k=−∞x[k]h[0− k]
Sumatoria
x[k]
k
h[k]
k
∗
h[0− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
x[k]h[0− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
∞∑k=−∞
= 1
y[n]
n
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 29 / 90
Ejemplo
y[1] =∞∑
k=−∞x[k]h[1− k]x[k]
k
h[k]
k
∗
h[1− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
x[k]h[1− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
∞∑k=−∞
= 2
y[n]
n
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 30 / 90
Ejemplo
y[2] =∞∑
k=−∞x[k]h[2− k]x[k]
k
h[k]
k
∗
h[2− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
x[k]h[2− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
∞∑k=−∞
= 3
y[n]
n
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 31 / 90
Ejemplo
y[3] =∞∑
k=−∞x[k]h[3− k]x[k]
k
h[k]
k
∗
h[3− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
x[k]h[3− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
∞∑k=−∞
= 2
y[n]
n
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 32 / 90
Ejemplo
y[4] =∞∑
k=−∞x[k]h[4− k]x[k]
k
h[k]
k
∗
h[4− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
x[k]h[4− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
∞∑k=−∞
= 1
y[n]
n
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 33 / 90
Ejemplo
y[5] =∞∑
k=−∞x[k]h[5− k]x[k]
k
h[k]
k
∗
h[5− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
x[k]h[5− k]
k
1 3 4 5-1 0 2-2
∞∑k=−∞
= 0
y[n]
n
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 34 / 90
Ejercicio
0 5 10 15 200
0.5
1x[n]
0 5 10 15 200
0.5
1h[n]
Si x [n] =
(2
3
)n
u[n] y h[n] =
(2
3
)n
u[n], determine y [n]
0 5 100
0.5
111.
0 5 100
0.5
12.
0 5 100
0.5
1
1.53.
0 5 100
0.5
14.
5. Ninguno de los anteriores.Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 35 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[n]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[n]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[n]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 36 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[n]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 37 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[0]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 38 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[1−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[1]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 39 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[2−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[2]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 40 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[3−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[3]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 41 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[4−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[4]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 42 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[5−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[5]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 43 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[6−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[6]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 44 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[7−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[7]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 45 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[8−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[8]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 46 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[9−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[9]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 47 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[10−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[10]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 48 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[11−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[11]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 49 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[12−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[12]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 50 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[13−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[13]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 51 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[14−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[14]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 52 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[15−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[15]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 53 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[16−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[16]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 54 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[17−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[17]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 55 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[18−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[18]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 56 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[19−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[19]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 57 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1x[k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1 1h[20−k]
−10 −5 0 5 10 15 200
0.5
1
1.5y[20]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 58 / 90
Ejercicio
0 5 10 15 200
0.5
1x[n]
0 5 10 15 200
0.5
1h[n]
Expresado matematicamente como:
((23
)nu[n]
)∗((
23
)nu[n]
)=
∞∑k=−∞
((23
)ku[k]
)×((
23
)n−ku[n − k]
)
=n∑
k=0
((23
)k ×(
23
)n−k)
=n∑
k=0
(23
)n=(
23
)n n∑k=0
1
= (n + 1)(
23
)nu[n]
= 1, 43 ,
43 ,
3227 ,
8081 , . . .
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 59 / 90
Ejercicio
0 5 10 15 200
0.5
1x[n]
0 5 10 15 200
0.5
1h[n]
Si x [n] =
(2
3
)n
u[n] y h[n] =
(2
3
)n
u[n], determine y [n]. respuesta 3
0 5 100
0.5
111.
0 5 100
0.5
12.
0 5 100
0.5
1
1.53.
0 5 100
0.5
14.
5. Ninguno de los anteriores.Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 60 / 90
Resumen convolucion discreta
La representacion de un sistema LIT dado por una senal
x[n] y[n]h[n]
La respuesta al impulso unitario h[n] es una descripcion completa de unsistema LIT.Dado h[n] se puede determinar la respuesta y [n] a una entrada arbitrariax [n]:
y [n] = x [n] ∗ h[n] =∞∑
k=−∞x [k]h[n − k]
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 61 / 90
Representacion de senales continuas en terminos deimpulsosDe manera similar que en tiempo discreto se hace una aproximacion pormedio de impulsos.
−5 0 50
5
10
15
20
25
30x(t)
t
p(t)
1∆
∆
t
x(t) =lim
∆→ 0
∑kx(k∆)p(t − k∆)∆
Como ∆→0, k∆→ dτ , ∆→dτ , y p(t)→δ(t)
x(t)→∞∫−∞
x(τ)δ(t − τ)dτ
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 62 / 90
Estructura de superposicion
Si un sistema es lineal e invariante en el tiempo (LIT), su salida es laintegral desplazada y escalada de la respuesta de impulsos unitariosunitarios
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 63 / 90
Convolucion en tiempo continuo
La convolucion de una senal en tiempo continuo es analoga a laconvolucion de una senal en tiempo discreto.
DT:y [n] = x [n] ∗ h[n] =∞∑
k=−∞x [k]h[n − k]
CT:y(t) = x(t) ∗ h(t) =
∫ ∞
−∞x(τ)h(t − τ)dτ
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 64 / 90
Ejercicio
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x(t)
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1h(t)
¿Cual grafico muestra el resultado de la convolucion de las senales?x(t) = h(t) = e−tu(t)
0 5 100
0.5
11.
0 5 100
0.5
12.
0 5 100
0.5
1
1.53.
0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.44.
5. Ninguno de los anteriores.Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 65 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(t)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(t)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 66 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 67 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 68 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(0.3−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 69 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(0.6−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 70 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(1−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 71 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(2−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 72 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(3−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 73 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(4−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 74 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(5−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 75 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(6−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 76 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(7−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 77 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(8−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 78 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(9−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 79 / 90
Ejercicio
−10 −5 0 5 100
0.5
1
x(τ)
−10 −5 0 5 100
0.5
1
h(10−τ)
−10 −5 0 5 100
0.2
0.4
t
y(t)
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 80 / 90
Ejercicio¿Cual grafico muestra el resultado de la convolucion de las senales?x(t) = h(t) = e−tu(t)
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x(t)
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1h(t)
(e−tu(t)) ∗ (e−tu(t)) =∫∞−∞ e−τu(τ)e−(t−τ)u(t − τ)dτ
=∫ t
0 e−τe−(t−τ)dτ = e−t∫ t
0 dτ = te−tu(t)
0 2 4 6 8 100
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
t
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 81 / 90
Ejercicio
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1x(t)
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1h(t)
¿Cual grafico muestra el resultado de la convolucion de las senales?x(t) = h(t) = e−tu(t) 4
0 5 100
0.5
11.
0 5 100
0.5
12.
0 5 100
0.5
1
1.53.
0 5 100
0.1
0.2
0.3
0.4
t
4.
5. Ninguno de los anteriores.Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 82 / 90
Convolucion
La convolucion es una importante herramienta computacional Ejemplo:
Caracterizacion de un sistema LIT
Determinar la respuesta al impulso unitario h[n].
Calcular la salida para una entrada arbitraria usando la convolucion:
y [n] = x [n] ∗ h[n] =∑
x [k]h[n − k]
Ademas es una importante herramienta conceptual: Es un nuevo caminopara pensar acerca del comportamiento de los sistemas.
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 83 / 90
Respuesta al impulso de una lente
La senal borrosa a lo largo del eje optico se visualiza mejor mediante unnuevo muestreo de la respuesta de impulso de tres dimensiones.
Fuente: MIT OpenCourseWare fall 2011.
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 84 / 90
Microscopio
Las imgenes de incluso el mejor microscopio son borrosas
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 85 / 90
MicroscopioUn lente perfecto transforma una onda de luz esferica de un objetivo enuna onda esferica que converge a la imagen
La imagen borrosa es inversamente relacionada con el diametro del lente.
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 86 / 90
MicroscopioLa imagen borrosa puede ser representada por la convolucion de la imagencon el punto de difusion de funcion (respuesta al impulso 3D).
La imagen borrosa es inversamente relacionada con el diametro del lente.Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 87 / 90
MicroscopioLa imagen borrosa puede ser representada por la convolucion de la imagencon el punto de difusion de funcion (respuesta al impulso 3D).
La imagen borrosa es inversamente relacionada con el diametro del lente.Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 88 / 90
Resumen de sesion
Sistemas LIT discretos: La suma de convolucion
Sistemas LIT continuos: La integral de convolucion
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 89 / 90
Siguiente sesion
Sistemas LIT causales descritos por ecuaciones diferenciales.
Lecturas recomendadasI Secciones 2.4.1I Secciones 2.4.2
del libro Senales y Sistemas, Alan V. Oppenheim, Segunda Edicion.
Jan Bacca R. Andres Olarte D. (UN) Senales y Sistemas 1 Sesion 3 90 / 90