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La Carta de Smith La Carta de Smith
Se aplica a líneas de transmisión c/s pérdidas.
Considere el coeficiente de reflexión en la carga L, para una línea cualquiera:
irj
LL
LL je
ZZ
ZZL
0
0
Como L 1
La C.S. consiste en la gráfica de la impedancia o admitancia normalizada en el plano definido por .
Todos los valores de L están circunscritos al círculo unitario ( radio=1).
Todos los valores de L están circunscritos al círculo unitario ( radio=1).
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Para un punto cualquiera de la línea de transmisión, ubicado a una distancia d de la carga:
djdL
dLd
Leee 222 Definiendo la impedancia normalizada en este punto se tiene:
dL
dL
d
d
e
e
Z
Zz
2
2
0 1
1
1
1
Para el caso d=0 ( Z = ZL)
jxrZ
jXR
Z
Zz LL
L
LL
00 1
1
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O bien:
irL
LL j
Z
Z
1
1
Combinando estas dos últimas ecuaciones se obtiene:
22
22
1
1
ir
irr
22
2
1
2
ir
ix
Arreglando estas dos últimas ecuaciones, se tiene:
22
2
1
1
1
rr
rir
(*)
22
2 111
xxir(**)
Ecuación que representa una familia de círculos que decriben el lugar geométrico de resistencia constante.
La Carta de Smith La Carta de Smith
RadioCentro
i
r
Obs: A lo largo del eje real de , r varia desde 0 .
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(*)
r1
1
r
r
1
Grafica de círculos
de resistenciaconstante
en el planocomplejo
paradistintos
radios
La Carta de Smith La Carta de Smith
i
r
r =1r =0.5r =2 r =0
(*)
Círculounitario
Considerando ahora la segunda ecuación (**):
22
2
1
1
1
rr
rir
22
2 111
xxir
(*)
(**)
Ecuación que representa una familia de círculos que decriben el lugar geométrico de reactancia constante.
Radio
La Carta de Smith La Carta de Smith
Centro
x
1,1
r
i
La Carta de Smith La Carta de Smith
(**)
x
1
x
1,1
Grafic
a de círc
ulos
de rea
ctancia
consta
nte
Obs: Con - < x <
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La superposición de estas dos familias de círculos da origen a
La superposición de estas dos familias de círculos da origen a
La Carta de SmithLa Carta de Smith
Resistencias (conductancias)
constantes
Hacia el Generador
Hacia la Carga
Circuitoabierto(Z=)
CortoCircuito(Z=0 )
Círculo unitario
(r=1/g=1)
Reactancias (suceptancias)
constantes
Círculo r=0
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Adaptación de impedancias.
Cuando una línea de Transmisión es terminada en una impedancia distinta de su impedancia característica:
Se originan reflexiones que se traducen en ondas estacionarias indeseadas.
En el caso general de posible desadaptación, se considera:
ZG Z0 y ZL Z0. Es necesario ubicar elementos adaptadores de impedancia en ambos extremos de la línea.
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Mallade
Adapt.
Mallade
Adapt.
ZG
ZLVG
Z0 ,
ZG Z0
ZL Z0
donde:
ZG Z0 Z0 ZLZ*
G Z0 Z0Z*
L
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Elementos de Adaptación de impedancias.
Diversos son los dispositivos que pueden conformar las mallas de adaptación de impedancia, por ejemplo:
- Transformador /4
- Stubs
- Mallas , T y L
Secciones de líneas
Elementos concentrados
Obs: Cada uno de estos elementos se utiliza según la aplicación y el tipo de desadaptación.
Obs: Cada uno de estos elementos se utiliza según la aplicación y el tipo de desadaptación.
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TransformadorTransformador /4./4. TransformadorTransformador /4./4.
Se utiliza principalmente si ZL es resistiva pura.
Consiste en un trozo de cable coaxial (línea de Tx.) de longitud /4, localizada a una distancia d de la carga.
Z0 ZL
dZT
/4
zt
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Si ZL es carga resistiva pura:
Se utiliza un Transformador de /4 entre Z0 y ZL:
i) d = 0 LT ZZZ 0ii)
Si ZL es carga compleja:
Se utiliza un Transformador de /4 a una distancia
d (dada por la C.S.) y
tT ZZZ 0 ; tt zZZ 0
Obs: Normalmente, para cargas complejas se emplean los elementos restantes.
Obs: Normalmente, para cargas complejas se emplean los elementos restantes.
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Stub Simple.Stub Simple. Stub Simple.Stub Simple.
Consiste en ubicar un elemento de línea de Tx. en algún punto P de la línea, a cierta distancia d de la carga, como muestra la siguiente figura:
ZLZ0
d
P
Elemento de línea
de transmisión
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Este elemento (sección) debe proveer una reactancia (suceptancia) tal que anule la reactancia (suceptancia) vista en dicho punto P.
Estas secciones pueden ser terminadas en c.c. o c.a.
La conexión es como sigue:
Z0ZL
P
Pd
yLyd
l
ys
y11
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Dado que la conexión del stub es paralelo, se trabaja con admitancias.
El stub debe ubicarse a una distancia d de la carga, donde:
jbyd 1 esto es:
De esta forma el valor de la suceptancia que marca el stub, para producir la adaptación en P- P debe ser
jbys
dyj
djy
Y
Yy
L
Ldd
tg1
tg
0
(*)
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Así, entonces en P- P
O bien
El valor de , lo determina la longitud l del stub según:
jbys
111 y
011 YY 011 YY 011 ZZ 011 ZZ
ljySCs cot ljy
OCs tg (**)
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Procedimiento de adaptación usando C.S.Procedimiento de adaptación usando C.S.
Dado que resolver las ecuaciones anteriores (*) y (**) resulta complicado, se utiliza un método expedito y rápido empleando la Carta de Smith.
1° La impedancia de carga se lleva a admitancia y se ubica en la C.S.
ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
0Z
Zz L
L L
L zy
1
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2° Se traza el círculo de la ROEV constante para yL.
ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
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3° Se va desde yL en el círculo de ROEV, en dirección al
generador hasta interceptar con g=1.
ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
2° Se traza el círculo de la ROEV constante para yL.
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
2° Se traza el círculo de la ROEV constante para yL.
4° Se obtiene la distancia d, desde yL hasta el punto A.
3° Se va desde yL el círculo de ROEV, en dirección al
generador hasta interceptar con g=1.
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3° Se va desde yL el círculo de ROEV, en dirección al
generador hasta interceptar con g=1.
ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
2° Se traza el círculo de la ROEV constante para yL.
5° Del punto A se leeyd = gd+jbd ; gd=1
El stub entonces deberá sustraer la suceptancia jbd, al conectarse en paralelo en dicho punto.
Debe proveer una suceptancia de
valor -jbd
4° Se obtiene la distancia d, desde yL hasta el punto A.
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
6° Se grafica ys = -jbd
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
6° Se grafica ys = -jbd
7° La intersección de ys con el círculo r =0 da el puntoD .
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
6° Se grafica ys = -jbd
7° La intersección de ys con el círculo r =0 dá el punto P´.
8° La determinación del largo del stub ls, dependerá si este es
un stub en c-c o c-a. Suponiendo que es del primer tipo, entonces su largo, en términos de será el arco desde ZL=0, hasta el puntoP´. (en este caso se ha supuesto así).
Por ejemplo: Si el stub termina en un corto circuito
se debe venir desde ZS = 0.
Por ejemplo: Si el stub termina en un corto circuito
se debe venir desde ZS = 0.
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El diseño del stub se enfrenta como una línea de transmisión cualquiera terminada en un c.c. o c.a.
De esta forma, la admitancia resultante, despues de ubicar el stub, en el punto P- P es:
Línea adaptada Línea
adaptada
Por tanto,
111 y
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Stub Doble.Stub Doble. Stub Doble.Stub Doble.
A veces la adaptación con un único stub es complicada, debido a que no siempre es posible tener acceso al punto en que este debe ser colocado.
La solución a este problema es utilizar dos stub en paralelos, separados a una distancia x fija,como muestra la figura:
ZLZ0 Stub 1Stub 2
x
Obs: x generalmente es /8, 3(/8) o 5(/8).
Obs: x generalmente es /8, 3(/8) o 5(/8).
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ZLZ0
Stub 1Stub 2
n(/8)
El stub más cercano a la carga, ubicado a una distancia d1 prefijada, es utilizado para ajustar la susceptancia de manera de “caer” en el círculo unitario g=1, desplazado algún múltiplo de /8 (hacia la carga).
d1
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De esta forma, cuando se coloque el segundo stub, a una distancia n/8 del primero, la admitancia normalizada en este punto tendrá una conductancia unitaria. Este segundo stub sustraerá la susceptancia que hay en dicho punto.
Stub 1: permite estar en cualquier punto de círculo unitario.
Stub 1: permite estar en cualquier punto de círculo unitario.
Stub 2: permite llegar a colocarnos en el centro de la C.S.
Stub 2: permite llegar a colocarnos en el centro de la C.S.
Se tendrá resuelto el problema.
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Procedimiento de adaptación usando C.S.Procedimiento de adaptación usando C.S.
ZLZ0
S1S2
n(/8)
d1
Esquema general de conexión:
yLyd1l1
yS1
y11
yd2l2
yS2
y22
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
1° Se debe identificar yL y trazar el círculo de ROEV
constante.
Determinación de Stub 1
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
1° Se debe identificar yL y trazar el círculo de ROEV
constante.2° Dibujar el círculo g=1, desplazado n/8 en dirección de la carga.
Obs: En el ejemplo 3/8.
Determinación de Stub 1
ROEV cte
Admitancia normalizada
yL
2/8
Círculo unitariodesplazado en
3/8
Círculo unitario
(r=1/g=1)/8
3/8
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
1° Se debe identificar yL y trazar el círculo de ROEV
constante.2° Dibujar el cículo g=1, desplazado n/8 en dirección de la carga.
Obs: En el ejemplo 3/8.
3° Ir desde yL a través de ROEV constante, en sentido
del generador, una distancia d1 conocida.
Stub 1
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
1° Se debe identificar yL y trazar el círculo de ROEV
constante.2° Dibujar el cículo g=1, desplazado n/8 en dirección de la carga.
Obs: En el ejemplo 3/8.
3° Ir desde yL a través de ROEV constante, en sentido
del generador, una distancia d1 conocida.
4° Se obtieneyd1= gd1+ jbd1
Y se dibuja gd1 en la C.S.
Stub 1
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
5° A partir de yd1 , moverse hacia el generador a través
de gd1 hasta interceptar el círculo unitario desplazado.
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
5° A partir de yd1 , moverse hacia el generador a través
de gd1 hasta interceptar el círculo unitario desplazado.
yy11= gd1- jb11
6° De esta forma se obtiene
y11’= gd1 -jb11’
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
5° A partir de yd1 , moverse hacia el generador a través
de gd1 hasta interceptar el círculo unitario desplazado.
y
6° De esta forma se obtiene
y11’= gd1 - jb11’
7° Luego, se obtiene yS1 despejando:
y11= gd1- jb11
y11 = yd1+yS1 yS1 = y11 - yd1
yS1 = gd1-jb11 - gd1-jbd1
yS1 = -j (b11+bd1)yS1 = - jbS1 bS1
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
8° Se grafica yS1 en la C. S.
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
8° Se grafica yS1 en la C. S.
9° Se traza una recta desde el centro hasta el punto en
que yS1 intercepta el círculo r = 0, obteniéndose así el
punto D.
La Carta de Smith La Carta de Smith
ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
8° Se grafica yS1 en la C. S.
9° Se traza una recta desde el centro hasta el punto en
que yS1 intercepta el círculo r = 0, obteniéndose así el
punto D.
10° Desde punto D, moviéndose hacia la carga hasta la
terminación del stub, se obtiene el largo del stub 1 (l1),.
Por ejemplo: Si el stub1 termina en un corto circuito
se debe ir hasta ZS1 = 0.
Por ejemplo: Si el stub1 termina en un corto circuito
se debe ir hasta ZS1 = 0.
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
1° Se regresa el círculo unitario a su origen y se
identifica y11 .
Stub 2
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
1° Se regresa el círculo unitario a su origen y se
identifica y11.
Stub 2
2° Dibujar la ROEV constante para y11.
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
1° Se regresa el círculo unitario a su origen y se
identifica y11.
Stub 2
2° Dibujar la ROEV constante para y11.
3° Moverse desde y11 hacia el generador por la ROEV
constante, hasta interceptar el círculo unitario, obteniéndose
yd2= 1+ jbd2
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
1° Se regresa el círculo unitario a su origen y se
identifica y11.
Stub 2
2° Dibujar la ROEV constante para y11.
3° Moverse desde y11 hacia el generador por la ROEV
constante, hasta interceptar el círculo unitario, obteniéndose
yd2= 1+ jbd2
4° Luego, se obtiene yS2 despejando: y22 = yd2+yS2 =1
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
yS2 = y22 - yd2
yS2 = 1 - 1-jbd2
yS2 = - j bd2
yS2 = - jbd2
5° Se grafica yS2 en la C.S.
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
yS2 = y22 - yd2
yS2 = 1 - 1-jbd2
yS2 = - j bd2
yS2 = -jbd2
5° Se grafica yS2 en la C.S.
6° Se traza una recta desde el centro hasta el punto en
que yS2 intercepta el círculo r = 0, obteniéndose así el
punto H.
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ProcedimientoProcedimientoProcedimientoProcedimiento
7° Desde H, moviéndose hacia la carga hasta la
terminación del stub, se obtiene el largo del stub 2 (l2).
Por ejemplo: Si el stub2 termina en un circuito abierto
se debe ir hasta ZS2 = .
Por ejemplo: Si el stub2 termina en un circuito abierto
se debe ir hasta ZS2 = .
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Malla L.Malla L. Malla L.Malla L.
Pasabajos:
Pasa altos:
Obs: El Q de estas mallas es determinado por la relación Z0 y RL.
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Procedimiento de adaptación usando C.S.Procedimiento de adaptación usando C.S.
Es el caso más simple y se trabaja superponiendo la carta de impedancia y de admitancia simultáneamente.
Su procedimiento de adaptación depende de la forma (serial/paralelo) en que el elemento se conecta a la carga.
Conexión serie.Conexión serie.Conexión serie.Conexión serie.
-jx2
jx1
ZL LLLL xjrz
Z
Z
0
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Al agregar un elemento en serie a ZL, implica
Trabajar con la carta de impedancia
Desplazarse por el círculo de resistencia cte rL.
Como el elemento siguiente se conecta en paralelo, y sabiendo que su efecto sólo será sobre la susceptancia
Es necesario situarse antes sobre el círculo de conductancia g =1.
Se debe dibujar simultáneamente g =1 y r =1.
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Conexión paralela.Conexión paralela.Conexión paralela.Conexión paralela.
-jx1
jx2
ZL
Se procede en forma análoga al caso anterior, excepto que :
Ahora se agrega primero un elemento en paralelo.
El primer desplazamiento es sobre el círculo de g = cte., hasta interceptar el círculo g = 1
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Malla T.Malla T. Malla T.Malla T.
Esta malla impone como primer elemento uno en serie lo que implica desplazarse por un círculo r = cte.
Como existen dos elementos más a agregar, se dan infinitas posibilidades de adaptación.
Un parámetro que restringe el nº de soluciones es el Q de la malla.