Post on 29-Jan-2016
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Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías.
Universidad de Guadalajara
Seminario de Solución de Problemas de Métodos
Matemáticos I
Actividad 3: Campos Finitos
Sandoval Olivares Jesús Eduardo Código: 215254521
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica Mtra. Miriam Ileana Flores Sandoval
Introducción En esta actividad además de poner en práctica y uso los conocimientos adquiridos en las actividades anteriores también veremos ejercicios sobre los campos finitos y aprenderemos un poco más acerca del tema. Marco Conceptual Sea 𝐹 un conjunto no vacío y +,∙ ∶𝐹×𝐹→𝐹 dos operaciones binarias sobre 𝐹. Decimos que 𝐹 es un campo si se cumplen los siguientes axiomas para cualesquiera 𝑎,,∈𝐹:
1. Asociativa: 𝑎+(𝑏+𝑐)=(𝑎+𝑏)+𝑐 𝑦 𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)=(𝑎⋅𝑏)⋅𝑐
2. Conmutativa: 𝑎+𝑏=𝑏+𝑎 𝑦 𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎
3. Distributiva: 𝑎⋅(𝑏+𝑐)=(𝑎⋅𝑏)+(𝑎⋅𝑐)
4. Identidad aditiva: Existe un elemento 0∈𝐹 tal que 0+𝑎=𝑎, para cualquier 𝑎∈𝐹
5. Identidad multiplicativa: Existe un elemento 1∈𝐹,1≠0,𝑙 𝑞𝑢𝑒 1⋅𝑎=𝑎 para cualquier 𝑎∈𝐹
6. Inversos aditivos: Para cualquier 𝑎∈𝐹 existe un 𝑏∈𝐹 tal que 𝑎+𝑏=0
7. Inversos multiplicativos: Para cualquier 𝑎∈𝐹,≠0,𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑏∈𝐹 tal que 𝑎⋅𝑏=1 Si ℤ𝑚 es el conjunto de las clases de equivalencia módulo 𝑚∈ℕ,≠0, podemos definir una suma y una multiplicación de la siguiente forma:
[𝑎]𝑚+[𝑏]𝑚=[𝑎+𝑏]𝑚 [𝑎]𝑚∙[𝑏]𝑚=[𝑎∙𝑏]𝑚
Los campos finitos juegan un rol crucial en varios algoritmos criptográficos. El orden de un campo finito (número elementos) debe ser potencia de un
número primo 𝑝: , (donde 𝑛 es un entero positivo).
Demuestra de las siguientes ternas cuales son campos finitos
a. (ℱ4,+,∙),ℱ4={0,𝑎,𝑏,𝑐} y las operaciones (+ 𝑦 ∙) de la terna están definidas de
la siguiente manera:
+ 0 a b c x 0 a b c
0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c d a 0 a b c
b b c 0 a b 0 b c a
c c d a 0 c 0 c a b
Asociativa
𝑎+(𝑏+𝑐)=a, (𝑎+𝑏)+𝑐 𝑦 𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)=(𝑎⋅𝑏)⋅𝑐 =a
Conmutativa
𝑎+𝑏=c,+𝑎 𝑦 𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎 =c
Distributiva
𝑎⋅(𝑏+𝑐)=a,(𝑎⋅𝑏)+(𝑎⋅𝑐)=a
Identidad aditiva
0+a=a
Identidad multiplicativa
1⋅𝑎=𝑎 equivalente a *a=a
No es campo
b. (ℤ5,+,∙),ℤ5={0,1,2,3,4} y las operaciones (+ 𝑦 ∙) de la terna están definidas
de la siguiente manera:
c. (ℤ10,+,∙),ℤ10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
+
0
1
2
3
4
+
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
0
1
0
1
2
3
4
2
2
3
4
0
1
2
0
2
4
1
3
3
3
4
0
1
2
3
0
3
1
4
2
4
4
0
1
2
3
4
0
4
3
2
1
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7
d. (ℤ6,+,∙),ℤ10={0,1,2,3,4,5,}
9 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 0 8 6 4 2 5 8 6 4 2
9 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
. 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
e. (ℤ11,+,∙),ℤ10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,𝑋}
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1
3 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
4 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3
5 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4
6 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5
7 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6
8 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7
9 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8
10 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Realiza una investigación completa sobre los campos finitos o campos de
Galois.
Sea un número primo. es un campo y la colección de polinomios
con coeficientes en él es un anillo. Si es un polinomio cualquiera
de grado , el cociente es el introducido por la relación de
equivalencia de polinomios:
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9
3 0 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8
4 0 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7
5 0 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6
6 0 6 1 7 2 8 3 9 4 10 6
7 0 7 4 10 6 2 9 5 1 8 4
8 0 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3
9 0 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2
10 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y es un anillo con las operaciones heredadas de . De hecho, puede
verse que el cociente posee exactamente elementos. Si
es además un polinomio irreducible de grado entonces el cociente
es un campo, llamado de Galois. Se puede ver que
no depende del polinomio irreducible (si se toma algún otro polinomio
irreducible de grado , el cociente es isomorfo al
cociente ). es un campo finito con elementos, es
cíclico y es de suma importancia en aplicaciones relativas a las
Telecomunicaciones, específicamente en la Teoría de Códigos y en
Criptografía. Todo esto se puede ver con más detalle en los libros [Li] y [Sch].
es pues una -
Sea F[7] el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y multiplicación
módulo 7. Es decir, los elementos de F[7] son las clases de equivalencia
representadas por los elementos [0], [1], [2], [3], [4], [5] y [6] donde:
[a] + [b] = [j], siendo [j] el resto de la división de (a+b)/7 ( por ejemplo
[5] + [6] = [4], puesto que 5+6=11, que dividido por 7, da resto 4).
[a] x [b] = [k] donde [k] es el resto de la división de (h x i)/7 (Por
ejemplo, [5] x [6] = [2], puesto que 5 x 6 = 30 y 30 entre 7, da como
resto 2).
Además se cumple:
[1] x [1] = [1] = [6] x [6].
[2] x [4] = [1] = [4] x [2].
[3] x [5] = [1] = [5] x [3].
Los elementos de F[7] distintos de cero forman un grupo abeliano bajo la
multiplicación. F[7] es, pues, un campo. Puesto que tiene un número finito de
elementos es un campo finito.
Bibliografía
http://www.repositoriodigital.ipn.mx/bitstream/handle/123456789/7
845/DOC6.pdf?sequence=6
http://www.mat.uc.cl/~ldissett/cursos/iic2252-022/clase14.pdf
http://www.miscelaneamatematica.org/Misc53/5306.pdf