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Fundamentos Tecnología Eléctrica
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Fundamentos de Tecnología Eléctrica
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Bloques Temáticos
1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CIRCUITOS
2. CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
3. POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA SENOIDAL
4. CIRCUITOS TRIFÁSICOS
5. TRANSFORMADORES ELÉCTRICOS
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Tema 1: Introd. Teoría Circuitos
1.1. Introducción.1.2. Variables. Convenio de signos.1.3. Elementos pasivos.1.4. Impedancia y admitancia operacional.1.5. Elementos activos: fuentes o generadores.1.6. Tipos de excitación y formas de onda.1.7. Topología de redes: conceptos fundamentales.1.8. Lemas de Kirchhoff.1.9. Asociación de elementos pasivos.1.10. Asociación y transformación de fuentes.1.11. Análisis de circuitos por el método de las mallas.1.12. Análisis de circuitos por el método de los nudos.1.13. Principio de superposición.1.14. Teoremas de Thevenin y Norton.
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1.1 Introducción
La teoría de circuitos se fundamenta en los mismos hechos experimentales de las leyes de Maxwell (electromagnetismo)
Fundamentalmente interesa la relación entre la tensión y la corriente
Aproximación: corrientes de carácter cuasiestacionario
Circuito Eléctrico: conjunto de elementos combinados de tal forma que existe la posibilidad de que se origine una corriente eléctrica.
• Activos: suministran energía eléctrica
• Pasivos: disipan o almacena energía eléctrica
CircuitoEléctrico
Excitación Respuesta
Continua Alterna Naturalno f(exc.)
Forzadaf(exc.)
si R
Transit. Perman.
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1.2 Variables. Convenio de signos
Corriente eléctricaRepresenta la variación de carga con el
tiempo que se produce en la sección transversal de un conductor
( ) ( )dt
tdqti =
a
b
5
a
b
i(t)
corriente de 5A que circula de ‘a’ hacia ‘b’
a
b
-5
5
corriente de 5A que circula de ‘b’ hacia ‘a’
corriente variable en el tiempo que circula de ‘a’ hacia ‘b’
Tensión. Dif. potencial ( ) ( )dw tv t
dq= trabajo realizado al mover la carga
unidad entre dos puntos
Circuitoeléctrico
A
B
+
−+5V
la tensión en A es 5V superior a la tensión en B
, ,AB A masa B masav v v= −masa ≡ punto de origen del potencial
(vmasa=0)
Circuitoeléctrico
A
B
+
−vAB
AB A B BAv v v v= − = −diferencia de potencial entre el terminal A y B
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1.2 Variables. Convenio de signos
Potencia eléctricatrabajo realizado por unidad de tiempo
( ) dw dw dqp t
dt dq dt= = → ( ) ( ) ( )·p t v t i t=
M
A
B
v(t)
i(t)+
-N
A
B
v(t)
i(t)+
-
Dipolo receptor
Si p(t)>0 absorbe potencia Si p(t)>0 entrega potencia
Dipolo generadorCorriente
entra por el +Corriente
sale por el +
DIPOLO 1
(GENERADOR)
DIPOLO 2
(RECEPTOR)
3 A
5 V
+
-
SENTIDO DE TRANSFERENCIA DE LA ENERGÍA
5 ·3 15genP V A W= = 5 ·3 15recepP V A W= =
entregada absorbidaP P=
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1.3 Elementos Pasivos
• Son componentes que disipan o almacenan energía eléctrica (receptores o cargas)
• Pueden presentar las siguientes propiedades:
- Disipación de energía eléctrica (R: resistencia)
- Almacenamiento de energía en campos magnéticos (L: inductancia)
- Almacenamiento de energía en campos eléctricos (C: capacidad)
• Es necesaria una fuente de energía externa para que aparezcan tensiones y corrientes
• Simplificaciones:
- Respuesta independiente de amplitud y frecuencia de V e I
- Relación v=f(i) ecuaciones diferenciales con coeficientes ctes.
- Unidad concentrada
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1.3 Elementos Pasivos
Resistencia
A
R
B
i(t)
+ -v(t)A
R
B
i(t)
+ -v(t)
Fija Variable
• Material: carbón, película metálica, hilo bobinado, liquidas, etc.
Efecto resistivo
Efecto inductivoR L
resistencia real de hilo bobinado
1ª Cifra significativa (5)
Multiplicador (106)
Tolerancia (5%)
2ª Cifra significativa (0)Coef. de temperat.
R = 50 M 5%
• Valor: unidades Ohmio [Ω], código de colores
• Potencia:
- tensión (VDR)- luz (fotorresistor)- temp. (NTC, PTC…)- deformación (galgas)- posición (potenciómetro,
reostato)lR
Sρ=
1G
R= conductancia
(Siemens [S] ó [Ω-1])
• Relación v-i: ( ) ( )·v t i t R=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22·
v tp t v t i t R i t
R= = =
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1.3 Elementos Pasivos
Bobina. Inductancia Fija Variable
• Conductor arrollado sobre un núcleo
inductancia real
• Valor: unidades Henrio [H]
• Potencia:
- núcleo vble.- entrehierro vble.- geometría vble.
• Relación v-i: ( ) ( )di tv t L
dt=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )·
di tp t v t i t L i t
dt= =
A
L
B
i(t)
+ -v(t) v(t)A
L
B
i(t)
+ -R
Efecto resistivo
Efecto inductivo
Efecto capacitivo
L
C
si i(t)=cte → v(t)=0 , equivalente a cortocircuito
i(t) no puede tener discontinuidades: i(t0+)=i(t0
-)
( ) ( )0
0
1( )
t
t
i t i t v t dtL
= + ∫
energía almacenada entre 0 y t
( ) ( )21·
2w t L i t=
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1.3 Elementos Pasivos
Condensador Fijo Variable
• Dos conductores separados por un dieléctrico
condensador real
• Valor: unidades Faradio [F]
• Potencia:
- dieléctrico vble.- área vble.- separación vble.
• Relación v-i:Q
Cv
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )·
dv tp t v t i t C v t
dt= =
si v(t)=cte → i(t)=0 , equivalente a circuito abierto
v(t) no puede tener discontinuidades: v(t0+)=v(t0
-)
( ) ( )0
0
1( )
t
t
v t v t i t dtC
= + ∫
energía almacenada entre 0 y t
( ) ( )21·
2w t C v t=
A
C
B
i(t)
+ -v(t)A
C
B
i(t)
+ -v(t)R
CS
Ce
ε= condensador plano de placas paralelas
( )( )
dv ti t C
dt=
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1.4 Impedancia Operacional
Se define el operador
• Resistencia
dp
dt≡
1 t
p≡ ∫
Impedancia operacional ( ) ( )
( )
v tZ p
i t= ( )( ) ( )v t Z p i t→ =
• Bobina
• Condensador
( )Z p R=
( )Z p Lp=
( ) 1Z p
Cp=
unidades [Ω] A B+ -v(t)
i(t) Z(p)
Admitancia operacional ( ) ( )
( )
i tY p
v t= unidades [S]
inversa de la impedancia
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1.5 Elementos Activos
• También denominados fuentes o generadores. Son los encargados de suministrar energía al circuito.
Corriente
Tensión
Indepen.
Depend.
Reales
Ideales
Reales
Ideales
Reales
Ideales
Reales
Ideales
Indepen.
Depend.
Fuentes
corriente desconocidadepende del circuito
tensión desconocidadepende del circuito
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1.5 Elementos Activos
Corriente
Tensión
Indepen.
Depend.
Indepen.
Depend.
Fuentes
FUENTES IDEALES
vg(t)
+
-
i(t)a
b
VG
+
-
Ia
b
corriente desconocidadepende del circuito
tensión desconocidadepende del circuito
+ig(t)o IG -
a
b
v(t)
Circ.eléc.
+
-vg=α·v
+ -v
Circ.eléc.
+
-vg=β·i
i
Circ.eléc.
ig=γ·v
+ -v
Circ.eléc.
ig=δ·i
i
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1.5 Elementos Activos
Corriente
Tensión
Ideal
Real
Ideal
Real
Fuentes
FUENTES IDEALES vs REALES
-b
+V
Ia
VG
corriente desconocidadepende del circuito
tensión desconocidadepende del circuito
+IG
-
a
b
V
V
IIG
V
I
VG
V
I
VG
b
VG
+
-
I
a+
-
V
+
IG
-
a
b
V
I
I1V
IIG
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1.6 Tipos de Excit. Formas Onda
Bidireccionales
Unidireccionales
• La magnitud toma valores positivos y negativos
• La magnitud tiene una única polaridad (positiva o negativa)
y(t)
t
Periódicas
No periódicas
• Se repiten a intervalos iguales de tiempo y en el mismo orden
• No tienen ciclos de repetición. Onda arbitraria
Ty(t)
tT
y(t)
t
T ≡ periodo
t
y(t)
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1.6 Tipos de Excit. Formas Onda
Ondas Periódicas. Valores Asociados
• Periodo: tiempo mínimo necesario para que se repita la forma de ondaT ≡ periodo [s] ( ) ( ) ( 2 )...y g t g t T g t T= = + = +
• Ciclo: parte de la onda comprendida en el intervalo de tiempo de un periodo
• Frecuencia: número de ciclos que tiene lugar por segundo
1f
T=
• Valor medio: promedio integral en un periodo T
0
1( )
T
medY g t dtT
= ∫
• Valor eficaz: valor cuadrático medio (RMS). Valor medio del cuadrado de la función en un periodo T
[ ]2
0
1( )
T
efY g t dtT
= ∫
[Hz]
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1.6 Tipos de Excit. Formas Onda
Ondas Periódicas. Valores Asociados
10A
0 0.01 0.02 0.03 0.04
t (s)
Ejemplo de aplicación
• El periodo es de 0.03 s
• La frecuencia es la inversa del periodo:1 1
33.30.03
f HzT s
= = =
La ecuación de la onda es:
0<t<0.01s
0.01s<t<0.02s
0.02s<t<0.03s
10· 1000 ·
0.01
A Ai t tss= =
10i A=
0i A=
i(t)
• El valor medio viene dado por:0.01 0.02 0.03
0 0.01 0.02
11000 · 10 0 5
0.03
s s s
med s s
AI t dt Adt Adt A
s s⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫
• El valor eficaz es: ( ) ( )2
0.01 0.02 0.032 2
0 0.01 0.02
1 201000 · 10 0
0.03 3
s s s
ef s s
AI t dt A dt A dt A
s s
⎡ ⎤⎛ ⎞= + + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
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1.7 Topologías de redes
Nudo
• Punto de unión entre tres o más elementos de un circuito. Nudo secundario unión de 2 elementos de un circuito
A B A B CA y B: Nudos
3 ramas
A y B: Nudos secundarios
Rama
• Elemento o grupo de elementos conectado entre dos nudos
Red plana
• Red que puede dibujarse sobre una superficie plana sin que se cruce ninguna rama
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1.7 Topologías de redes
Lazo
• Conjunto de ramas que forman una línea cerrada, de tal forma que si se elimina cualquier rama del lazo, el camino queda abierto
Malla
• (sólo para circuitos planos). Lazo que no contiene ningún otro en su interior.
c
b
A
+
-
B
C
D
a
M
N
Lazos:
• camino ‘a’
• camino ‘b’
• camino ‘c’
• camino MADCN
• camino ADCB
• camino MABCN
• camino MABDCN
Mallas:
• camino ‘a’
• camino ‘b’
• camino ‘c’
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1.7 Topologías de redes
Grafo
• Dibujo simplificado de un circuito en el que cada rama se representa por un segmento
Árbol• Parte de un grafo formado por ramas que no contengan a todos los nudos, sin que
se formen lazos
2,3,4 forman árbol
1,5,6 son eslabones
Eslabones• Ramas del grado no incluidas en el árbol. También llamadas cuerdas y ramas de
enlace
+-
1
2 3
45 6
Grafo
En una red de ‘r’ ramas y ’n’ nudos:
•nº ramas árbol=n-1
•nº eslabones=r-n+1
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1.8 Lemas de Kirchhoff
Primer Lema de Kirchhoff
• La suma algebraica de todas las corrientes que entran a un nudo es igual a cero
( ) 0i t =∑i1
i2
+
-
i3
i4i5
1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0i t i t i t i t i t− + − + =
1 3 5 2 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )i t i t i t i t i t+ + = ++iva si entrante-iva si saliente
• Generalización: La suma algebraica de las corrientes que entran en cualquier superficie cerrada es igual a cero.
+
-bd
a
c
ib(t)
ia(t)
id(t)
ic(t)
N
2
N1
-+
N1 N2
i1(t)
i2(t)
i3(t)
i4(t)
C
( ) ( ) ( ) ( ) 0a b c di t i t i t i t− + − = 1 2 3 4 0i i i i− − + =
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1.8 Lemas de Kirchhoff
Segundo Lema de Kirchhoff
• La suma algebraica de todas las tensiones a lo largo de un camino cerrado (lazo, malla) es igual a cero
( ) 0v t =∑
1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0v t v t v t v t v t− − + + − =
+iva si vamos de + a --iva si vamos de - a +
+
-v5(t) v2(t)
v4(t) v3(t)
v1(t)A B
CD
-
+
+-
++ --1 2 5 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t v t v t v t v t+ + = +
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1.8 Lemas de Kirchhoff
Kirchhoff para la resolución de circuitos
+
-
+
-
- +
a b
c
I1 I3
I4 I5
I6
I2
R1 R3
R5
R6
R4
vg1 vg2
vg3
+-
+ -
+ -
++ --
-
+
R2
E A F
CB D
H G
6 ramas → 6 incógnitas → 6 ecuac. indep.
4 nudos → 1ª LK, 4 ecc.
1 2 3 0Nudo A I I I− − =
2 4 5 0Nudo B I I I− − =
4 6 1 0NudoC I I I+ − =
3 5 6 0Nudo D I I I+ − =
3 ecc. indep
(1 siempre es la suma de las otra s 3)
7 lazos, 3 mallas → 2ª LK, 3 ecc.
En una red de ‘r’ ramas y ’n’ nudos:
•nº ramas árbol=n-1
•nº eslabones=r-n+1
1 1 2 2 4 4 1) 0ga R I R I R I V+ + − =
3 3 2 5 5 2 2) 0gb R I V R I R I+ − − =
4 4 5 5 6 6 3) 0gc R I R I R I V− + + − =
3 ecc. indep
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1.9 Asociación de Elem. Pasivos
Conexión Serie
• Cuando circula por ellos la misma corriente
+
-
+ -
vT(t)
v2+ +
+
- -
--
+vT(t)
vn
Z2
v1
Zeq
Z1 Zn
i(t)i(t)
1 2 1 22ª ... ...T i n nLK v v v v v iZ iZ iZ→ = = + + + = + + +∑( )1 2· ... ·T n eqv i Z Z Z i Z= + + + =
eq iZ Z= ∑
Divisor de tensión (en ramas):i
i Teq
Zv v
Z=
• Resistencias
eq iR R= ∑• Inductancias
eq iL L= ∑• Condensadores
1 1
eq iC C= ∑
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1.9 Asociación de Elem. Pasivos
Conexión Paralelo
• Cuando están sometidos a la misma tensión
1 2 1 21ª ... ...T i n T T T nLK i i i i i v Y v Y v Y→ = = + + + = + + +∑( )1 2· ... ·T T n T eqi v Y Y Y v Y= + + + =
1 1
eq iZ Z= ∑
Divisor de corriente (entre 2 nudos):i
i Teq
Yi i
Y=
• Resistencias1 1
eq iR R= ∑
• Inductancias
eq iC C= ∑• Condensadores
1 1
eq iL L= ∑
+
-
vT(t)+
--
+vT(t) Yeqi(t)
+
-
Y1
+
-
Y2
+
-
YN
i1 i2 iNiT
eq iY Y= ∑
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1.9 Asociación de Elem. Pasivos
Conexión Estrella y Triángulo
• Conexión entre tres terminales externos que se unen en un nudo común; y que se unen formando una malla común (respectivamente)
ESTRELLA TRIÁNGULO
3
Z1
Z3
2
1
ZB ZC
ZA 23
1
Z2
• Equivalencias:
C A B1 2
A B C
Z ·(Z Z )Z Z
Z Z Z
++ =
+ +
A B C2 3
A B C
Z ·(Z Z )Z Z
Z Z Z
++ =
+ +
B C A3 1
A B C
Z ·(Z Z )Z Z
Z Z Z
++ =
+ +
impedancia 1-2
impedancia 2-3
impedancia 1-3
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1.9 Asociación de Elem. Pasivos
Conexión Estrella y Triángulo
• Conexión entre tres terminales externos que se unen en un nudo común; y que se unen formando una malla común (respectivamente)
ESTRELLA TRIÁNGULO
3
Z1
Z3
2
1
ZB ZC
ZA 23
1
Z2
• Conversión:
CBA
BA3
CBA
AC2
CBA
CB1 ZZZ
·ZZ Z;
ZZZ
·ZZ Z;
ZZZ
·ZZZ
++=
++=
++=
triángulodel simpedancia treslas de suma
i nudo al conectadas triángulodel simpedancia dos las de productoZi =
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1.9 Asociación de Elem. Pasivos
Conexión Estrella y Triángulo
• Conexión entre tres terminales externos que se unen en un nudo común; y que se unen formando una malla común (respectivamente)
ESTRELLA TRIÁNGULO
3
Z1
Z3
2
1
ZB ZC
ZA 23
1
Z2
• Conversión:
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1A B C
1 2 3
Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·Z Z ·ZZ ; Z ; Z
Z Z Z
+ + + + + += = =
ii Za opuesto nudo al conectada estrella la de impedancia
estrella la de simpedancia las todasde binarios productos los de sumaZ =
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1.10 Conv. y Transf. de Fuentes
F. de Tensión Ideales en Serie+- +- +- +- +-
v2v1 v3 vn veq = ∑ vi
eq iv v= ∑
F. de Corriente Ideales en Paralelo
eq ii i= ∑i1 i2 i3 in
ieq =∑ii
F. de Tensión Ideal en Paralelo con un Elemento
vg(t)vg(t)
+
--
+
-
i1(t) i(t)+
ig
B
A
vg(t)
+A
-B
+
-
i1(t ) i(t)+ +
--
Z
iZ
B
Ai(t)
Equivalente a efectos ‘externos’ del circuito
No se estaría considerando la potencia disipada en Z o
en la fuente ig
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1.10 Conv. y Transf. de Fuentes
F. de Corriente Ideal en Serie con un Elemento
Equivalente F. Tensión Real- F. Corriente Real
No se estaría incluyendo la potencia disipada en Z
-B
v(t)
+A
B
+
A
Z
v(t)vg
-
ig(t)
+
-
ig(t)
ig(t)
+
-
++
--
Z1i1(t)
+ i(t)
A
B
AZ
v(t)
-
vg(t)
+
- B
v(t)
i(t)
A’
IZ Z= ·g gv Z i=
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1.10 Conv. y Transf. de FuentesEjemplo de aplicación
2Ω
2Ω
1Ω3Ω
4 V
3 V6 V
1 A+
+
+
-
-
-
a
b
Sustituir la siguiente red por un generador real de tensión o de corriente
15/4 V
+
-
7/4Ω
7/4 Ω
15/7 A
a a
b b
Solución
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1.11 Método de las Mallas
Formulación General
1ai i=
• Sustituir (en lo posible) generadores de corriente por generadores de tensión
• Se tendrán ‘m’ mallas →’m’ ecuaciones independientes: m=r-n+1
• Definir (y dibujar) una corriente por cada malla circulando en sentido horario
• Las corrientes en cada rama quedarán definidas como:
1 2ci i i= −
2bi i=
a) La intensidad en ramas externas será igual a ± la intensidad de la malla a que pertenece (‘+’ si coinciden la polaridad de las intensidades de rama y malla y ‘-’ en caso contrario)
b) La intensidad en ramas internas será la diferencia entre las corrientes de dichas mallas, el resultado vendrá afectado de signo + o - según que su referencia de polaridad coincida o no con la de rama.
+
-
vg2
Z1
+ - -
-
+
+
Z2
i1 i2Z3
ia ib+
-
vg1 ic
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1.11 Método de las Mallas
Formulación General
• Aplicar la 2ª LK a cada malla y expresar las ecuaciones en función de las corrientes de malla, dejando las fuentes de tensión al otro lado de la igualdad
1 1 3g a cv i Z i Z− + + → ( )1 1 1 1 2 3gv i Z i i Z= + −
3 2 2 0c b gi Z i Z v− + + = → ( )2 2 2 1 2 3gv i Z i i Z− = − −• Agrupar los términos asociados a cada corriente de malla
( )1 1 3 1 3 2·gv Z Z i Z i= + −
( )2 3 1 2 3 2·gv Z i Z Z i− = − + +
+
-
vg2
Z1
+ - -
-
+
+
Z2
i1 i2Z3
ia ib+
-
vg1 ic
1ai i=1 2ci i i= −
2bi i=
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1.11 Método de las Mallas
Formulación General
• Reformular las ecuaciones:
+
-
vg2
Z1
+ - -
-
+
+
Z2
i1 i2Z3
ia ib+
-
vg1 ic
sumatorio fuentes de tensión en la malla ‘i’
( ) 1 1 2 2· · ... · ... ·g i i ii i im miv Z i Z i Z i Z i= + + + +∑
Impedancia mutua.-Z común entre malla
‘i’ y cada una del resto
autoimpedancia de la malla ‘i’. Z total de dicha malla
[ ] [ ]
g 1 11 12 1m 1
g 2 21 22 2m 2g
m1 2 mm mg m
(v ) Z Z ... Z i
(v ) Z Z ... Z iv · Z · i
... ... ......
Z ... Z i(v ) mZ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
∑∑
∑Matriz simétrica (si no hay fuentes depend.) y de diagonal +iva.
[ ] [ ] 1
gm mxm mi Z v
− ⎡ ⎤= ⎣ ⎦
• Resolver
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1.11 Método de las Mallas
Formulación General
• Reformular las ecuaciones:
( ) 11 1 12 21· ·gv Z i Z i= +∑
( ) 21 1 22 22· ·gv Z i Z i= +∑
g 1 11 12 1
g 2 21 22 2
(v ) Z Z i·
(v ) Z Z i
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∑∑
11 1 3Z Z Z= +
12 21 3Z Z Z= = −
22 2 3Z Z Z= +
+
-
vg2
Z1
+ - -
-
+
+
Z2
i1 i2Z3
ia ib+
-
vg1 ic
1ai i=1 2ci i i= −
2bi i=
( )1 1 3 1 3 2·gv Z Z i Z i= + −
( )2 3 1 2 3 2·gv Z i Z Z i− = − + +
• Resolver
1
2
i
i
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
Fundamentos Tecnología Eléctrica
36
1.11 Método de las MallasEjemplos de aplicación
Solución
1) D.d.p entre los nudos A y C2) Potencia en la resistencia de 3Ω
1) VAC=-2V2) P3Ω=108W
4 Ω
1 Ω 3 Ω
+
-
7V
10 A
A B
2 Ω2 Ω
C
3 Ω
9 Ω 5 Ω
+
-
55 V
0,5·v1
1 Ω
+
-
v1
1) Potencia en la resistencia de 9Ω
Solución
1) P9Ω=260.11W
Fundamentos Tecnología Eléctrica
37
1.11 Método de las Mallas
Con f.d. corriente ideales
• Se considera un vg (desconocida) en bornes de la f.d. corriente
( )1 3 228 1 · 0gV i i v− + Ω − + =
i3
i2i1 3 Ω
1 Ω 2 Ω+ +
+
- -
-
vg128V
vg2
vg3
1 A
5 A
A B
G F
C
E
• Se obtienen las ecuaciones de malla
( ) ( )3 3 2 3 12 · 1 · 0gv i i i i+ Ω − + Ω − =( )2 2 3 22 · 3 · 0gv i i i− + Ω − + Ω =
• Se relaciona las corrientes de malla con las de las f.d. corriente
3 5i A= −
1 2 1i i A− = −
3 ecc., 5 incóg
5 ecc., 5 incóg
Se pueden plantear ecuaciones de lazo evitando los generadores de
corriente para resolver las corrientes de malla (evitando las vg incógnita)
( ) ( )1 3 2 3 228 1 2 3 · 0V i i i i i− + Ω − + Ω − + Ω =
Fundamentos Tecnología Eléctrica
38
1.11 Método de las MallasEjemplos de aplicación
Solución
1) Corriente por resistencia de 20Ω
1) i20Ω=1A
1) Corriente en la resistencia de 4Ω2) D.d.p. en bornes de la resistencia de 2Ω
Solución
1) i4Ω=-1.151 A2) VMN=-3.042V
1 Ω
1 Ω
2 Ω+
-
16V
5 A
A
B
GF
C
E
20 Ω
DH
4 A
6 Ω 3 Ω
+
-
10 V
3 A
4 Ω 2 Ω
5 Ω
M
NIa
100 Ω
Fundamentos Tecnología Eléctrica
39
1.12 Método de los Nudos
Formulación General
• Sustituir los generadores de tensión reales por generadores de corriente equival.
• Se elige un nudo como referencia (masa o tierra), y quedarán n-1 nudos indep.
13 1 3 1v v v v= − =ig2Y1
Y2
Y3ig1
1 2
3
v1
2v13v23
i12
i13i23
++ +
- -
-
12 1 2v v v= −23 2 3 2v v v v= − =
No sería necesario dibujar las tensiones. La notación queda clara.
• Se aplica 1ª LK sobre los nudos independientes.
g1 12 13Nudo 1: i - i - i = 0
12 23 g2Nudo 2: i - i - i = 0
• Se aplica la ley de Ohm en cada rama y se sustituyen las ’iij’ por su relación con ‘vij’
12 2 1 2i = Y ·(v - v )
23 3 2i = Y ·v13 1 1i = Y ·v
g1 2 1 2 1 1Nudo 1: i =Y ·(v - v )+Y ·v
g2 2 1 2 3 2Nudo 2: i =-Y ·(v - v ) +Y ·v−
Fundamentos Tecnología Eléctrica
40
1.12 Método de los Nudos
Formulación General
• Reformular las ecuaciones:
sumatorio fuentes de corriente en el nudo ‘i’
( ) 1 1 2 2 1 1· · ... · ... ·g i i ii i in nii Y v Y v Y v Y v− −= + + + +∑
Admitancia mutua.-Y común entre nudo
‘i’ y cada una del resto
autoadmitancia del nudo ‘i’. Y suma de las ramas conectadas
[ ] [ ]
g 1 1(n-1)11 12 1
2(n-1)g 2 21 22 2g
(n-1)(n-1) n-1n-1,1 1,2g n-1
(i ) ... YY Y v... Y(i ) Y Y v
· Y · v... .........
... Y vY(i ) n
i
Y −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
∑∑
∑
Matriz simétrica (si no hay fuentes indepen.)
y de diagonal +iva.
[ ] [ ] 1
1 1 1 1gn n xn nv Y i
−
− − − −⎡ ⎤= ⎣ ⎦
• Resolver
ig2Y1
Y2
Y3ig1
1 2
3
v1
2v13v23
i12
i13i23
++ +
- -
-
Fundamentos Tecnología Eléctrica
41
1.12 Método de los Nudos
Formulación General
• Reformular las ecuaciones:
ig2Y1
Y2
Y3ig1
1 2
3
v1
2v13v23
i12
i13i23
++ +
- -
-
( ) 11 1 12 21· ·gi Y v Y v= +∑
( ) 21 1 22 22· ·gi Y v Y v= +∑
g 1 11 12 1
g 2 21 22 2
(i ) Y Y v·
(i ) Y Y v
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
∑∑
11 1 2Y Y Y= +
12 21 2Y Y Y= = −
22 2 3Y Y Y= +
• Resolver
1
2
v
v
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
( )g1 1 2 1 2 2i = Y Y ·v -Y ·v+( )g2 2 1 2 3 2i =-Y ·v + Y +Y ·v−
13 1 3 1v v v v= − =
12 1 2v v v= −23 2 3 2v v v v= − =
Fundamentos Tecnología Eléctrica
42
1.12 Método de los Nudos
[ ] [ ]1 1 11g n xn nni Y v
− − −−⎡ ⎤ =⎣ ⎦
Analogía Método de las Mallas vs Nudos
[ ] [ ]g mxm mmv Z i⎡ ⎤ =⎣ ⎦
Malla ⇔ Nudo
Generador de tensión ⇔ Generador de corriente
Impedancia ⇔ Admitancia
Tensión ⇔ Corriente
Corriente malla ⇔ Tensión de nudo
Met. MALLAS Met. NUDOS
Fundamentos Tecnología Eléctrica
43
1) D.d.p entre los nudos A y C2) Potencia en la resistencia de 3Ω
1.12 Método de los NudosEjemplos de aplicación
1) Potencia en la resistencia de 5Ω
4 Ω
1 Ω
3 Ω
+
-
7V
10 A
A B
2 Ω2 Ω
C
1) VAC=-2V2) P3Ω=108W
Solución
1) P5Ω=80W
Solución
5Ω10A
B
2Ω 9A
A
C
2Ω
Ib
2,5·Ib
Fundamentos Tecnología Eléctrica
44
1.12 Método de los Nudos
Con f. de tensión ideales
• Se considera un ig (desconocida) circulando por la f.d. tensión
• Se obtienen las ecuaciones de nudos
4Ω
2Ω
6V
+
-
10V
ig2
6A
10A
12
+-
5Ω
2Ω
3
4
ig1
v2 v3v1
g1 1 2 3
1 1 1 1N1: i 10 ·v ·v ·v
2 5 2 5⎛ ⎞− = + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
g2 1 2
1 1 1N2: 6 i ·v ·v
2 2 2⎛ ⎞− = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
g2 1 3
1 1 1N3: 10 i ·v ·v
5 4 5⎛ ⎞+ = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
• Se relaciona las tensiones de nudo con las de las f.d. tensión
3 ecc., 5 incóg
5 ecc., 5 incóg
Se pueden plantear ecuaciones suma de distintos nudos lazo
evitando las ig incógnita
1v 10V=
3 2v 6v V− =
P.ej. N2+N3
1 2 3v 10 ; 14 ; 20V v V v V= = =
Fundamentos Tecnología Eléctrica
45
1) Potencia en la resistencia de 6Ω
1.12 Método de los NudosEjemplo de aplicación
VA=-28V; VB=-18V; VC=2V
• P6Ω=54W
Solución
1Ω
2 Ω
+
-
28 V
4 V
6 Ω
5 Ω+ -
4 Ω6 Α
VA
AVB
BVC
C
D
Fundamentos Tecnología Eléctrica
46
1.13 Principio de Superposición
La respuesta de un circuito lineal, a varias fuentes de excitación actuando simultáneamente, es igual a la suma de las respuestas que se obtendrían cuando actuase cada una de ellas por separado.
Cuando se tiene una red excitada con generadores de diferentes frecuencias, constituye el único procedimiento válido para determinar la respuesta del circuito.
Las fuentes dependientes se mantienen intactas
20Ω
-
+
20 Ω32 V 4 A
30 Ω
64 V+-
20Ω
-
+
20 Ω32 V 4 A
30 Ω
64 V+-
20Ω
-
+
20 Ω32 V
4 A
30 Ω
20Ω
30 Ω
20 Ω
ia 20Ω
30 Ω
20 Ω
ib
+-64 V
ic
+ +20Ω
-
+
20 Ω32 V
4 A
30 Ω
20Ω
30 Ω
20 Ω
ia 20Ω
30 Ω
20 Ω
ib
+-64 V
ic
+ +
En términos de tensiones y corrientes. No para potencias!Anular f.d. tensión → V=0 → cortocircuito
Anular f.d. corriente → I=0 → circuito abierto
Fundamentos Tecnología Eléctrica
47
1) Potencia en la resistencia de 3Ω
1.13 Principio de SuperposiciónEjemplo de aplicación
i3Ω1=2A; i3Ω2=3A
• P6Ω=75W
Solución
12V
+-
1Ω3Ω
+
-2·i
i
6 A
12V
+-
1Ω3Ω
+
-2·i1
i1
1Ω3Ω
+
-2·i2
i2
6 A+i2+6
Fundamentos Tecnología Eléctrica
48
1.14 Teoremas Thevenin y Norton
Teorema de Thevenin
• Cualquier red lineal, compuesta de elementos pasivos y activos (independientes o dependientes) puede sustituirse (desde el punto de vista de sus terminales externos AB) por un generador de tensión vTh denominado generador de Thévenin, más una impedancia en serie ZTh.
+
-
A
B
A+
- B
+
-
Red Lineal
v
i i
vZL ZL
ZTh
vTh
Th .v c abiertov= .ThZ c abierto
corto
v
i=
circ. abierto ↔ ZL=∞cortocircuito ↔ ZL=0
No se puede obtener el equivalente de Thevenin, si el circuito tiene fuentes dependientes de la i o v en la carga
Fundamentos Tecnología Eléctrica
49
1.14 Teoremas Thevenin y Norton
Teorema de Norton
• Cualquier red lineal, compuesta de elementos pasivos y activos (independientes o dependientes) puede sustituirse (desde el punto de vista de sus terminales externos AB) por un generador de corriente iN denominado generador de Norton, más una impedancia en paralelo ZN.
ThN
vcorto
Th
i iZ
= =Th=ZNZ
circ. abierto ↔ ZL=∞cortocircuito ↔ ZL=0
+
-
A
B
ZLv
iA
i+
- B
v ZLZN
iN
RedLineal
No se puede obtener el equivalente de Norton, si el circuito tiene fuentes
dependientes de la i o v en la carga
Fundamentos Tecnología Eléctrica
50
1) Obtener el equivalente de Thevenin del circuito
1.14 Teoremas Thevenin y NortonEjemplo de aplicación
Solución
8A
10V+-
2Ω
4Ω4Ω
RiR
A
B16V
10V+-
2Ω
4Ω4Ω
RiR
A
B+-
4Ω
RiR
+
--11V
A
B
mediante transformaciones
8A
10V+-
2Ω
4Ω4Ω
A
B
C
D
E F
2Ω
4Ω4Ω
A
B
ZTh
( )110 4 4 0V i− + + =
1 1.25i A=
14 8·2 11ABv i V= − = −
4 4 2ThZ = Ω Ω+ Ω4·4
2 44 4ThZ = + = Ω+
Fundamentos Tecnología Eléctrica
51
1) Corriente ‘i’ por T. Thevenin
1.14 Teoremas Thevenin y NortonEjemplos de aplicación
1) Corriente iR por a) met. mallas y b) T. Thevenin
1) i=2.2A
Solución
20Ω
-
+
20 Ω32 V 4 A
30 Ω
64 V+-
A
B
10Ω
30Ωi
+
-88V
A
B
i
R6A
B
1Ω
A
iR
3·i1
+-i1
-2Ω
RiR
+
--12V
A
B
12
2R
Vi
R
−=
−
Solución