Para las siguientes curvas determine puntos de corte, mximos, mnimos y puntos de inflexin (grafica ejercicio 3)

1. () = (2 + )4

Puntos de corte: se determinan anulando tanto la variable independiente como la dependiente = (), ya que estos puntos seran (0,0) y (0, 0). Grficamente, se entienden como los cortes con el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas.

Cuando = 0:

(0) = (2 + 0)4 = 24 = 16 : (0,16) Cuando = 0: 0 = (2 + )4 = 2 : (2,0) Mximos y mnimos: se calculan hallando previamente puntos crticos de la funcin, es

decir, aquellos puntos en los que () = 0.

() = 0 4(2 + )3 = 0 = 2 = 2 es un punto crtico. Ahora bien, para toda < 2 se tiene que () =4(2 + )3 es negativa, y para toda > 2 se tiene que () = 4(2 + )3 es positiva. Por

tanto, (2) es un mnimo. No existen mximos en la funcin Puntos de inflexin: se determinan calculando primero la segunda derivada de la

funcin. () = 12(2 + )2

Como la segunda derivada es una funcin par, se tiene que no existe punto de inflexin, pues la concavidad es siempre hacia arriba

2. () = 63 + 2 + 2

Puntos de corte: se determinan anulando tanto la variable independiente como la dependiente = (), ya que estos puntos seran (0,0) y (0, 0). Grficamente, se entienden como los cortes con el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas.

Cuando = 0:

(0) = 6(0)3 + (0)2 + 2 = 2 : (0,2) Cuando = 0: 0 = 63 + 2 + 2 Aplico Ruffini para obtener las races, pero no gener resultado posible mediante tanteo

manual. Se introdujo la ecuacin en WolfranAlpha y se obtuvo 0 = 63 + 2 + 2 0.7536 : (0.7536 , 0)

Mximos y mnimos: se calculan hallando previamente puntos crticos de la funcin, es decir, aquellos puntos en los que () = 0.

() = 0 182 + 2 = 2(9 + 1) = 0 1 = 0 2 = 1/9

= 0 y = 1/9 son puntos crticos. Ahora bien, para estudiar la existencia de

mximos y/o mnimos, creo cuadro comparativo para definir en cules intervalos () es creciente y decreciente

< < 0 0 < < 19 19 < < () Negativa Positiva Negativa () Decreciente Creciente Decreciente

Por tanto, por el criterio de la primera derivada, en = 0 hay un mnimo local y en

= 1/9 un mximo local Puntos de inflexin: se determinan calculando primero la segunda derivada de la

funcin. () = 36 + 2

() = 0 = 118 Para estudiar la concavidad por el criterio de la segunda derivada, construyo cuadro

comparativo

< < 118 118 < < () Positiva Negativa () Cncava hacia arriba Cncava hacia abajo

Por tanto, = 1/18 es punto de inflexin y la funcin es cncava hacia arriba para todo

menor y es cncava hacia abajo para todo mayor

3. () = 2 6 + 10

Puntos de corte: se determinan anulando tanto la variable independiente como la dependiente = (), ya que estos puntos seran (0,0) y (0, 0). Grficamente, se entienden como los cortes con el eje de las abscisas y el eje de las ordenadas.

Cuando = 0:

(0) = 02 6(0) + 10 = 10 : (0,10) Cuando = 0: 0 = 2 6 + 10 Aplicando la resolvente, resulta

1 = 3 + 19 2 = 3 19 : 3 + 19, 0 3 19, 0

Mximos y mnimos: se calculan hallando previamente puntos crticos de la funcin, es decir, aquellos puntos en los que () = 0.

() = 0 2 6 = 0 = 3

= 3 es un punto crtico. Ahora bien, para toda < 3 se tiene que () = 2 6 es positiva, y para toda > 3 se tiene que () = 2 6 es negativa. Por tanto,

(3) es un mximo. No existen mnimos en la funcin Puntos de inflexin: se determinan calculando primero la segunda derivada de la

funcin. () = 2

Como la segunda derivada es una funcin constante, se tiene que no existe punto de inflexin, pues la concavidad es siempre hacia abajo (criterio de la segunda derivada)