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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS
SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
TELEMÁTICA
PRÁCTICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES DIFERENCIALES Y
TRANSFORMADAS DE LAPLACE.
CON APLICACIONES EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS V
REALIZÓ:
ANTONIO SILVA MARTÍNEZ
3
PRESENTACIÓN
El presente manual de prácticas fue realizado, para la asignatura de Matemáticas V, el
cual, intenta proporcionar a los docentes y estudiantes un material de apoyo que facilite el
proceso enseñanza-aprendizaje, a través del trabajo en el laboratorio de cómputo,
reforzando de esta manera, la teoría mostrada en el salón de clases.
Las prácticas de este manual, son presentadas para que el estudiante logre un
aprendizaje significativo, debido a que están diseñadas de forma que el docente actúe
como guía y el alumno participe activamente, haciendo ejercicios de forma habitual y con
el software Matemático denominado Scientific WorkPlace, versión 5.0, comparando
ambos resultados.
Con lo anterior, se pretende brindar a los alumnos un manual que los encamine a la
aplicación de los conceptos teóricos, permitiendo profundizar más en los casos prácticos.
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TECNÓLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC
DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA
ÍNDICE
Página
1. Introducción al Scientific WorkPlace
1.1 Una Breve descripción del programa
1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace
1.21.Editor de Scientific WorkPlace
1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace
1.2.3 Exportación y importación de contenidos y figuras
1.2.4 Presentación de resultados.
1.2.5 Scientific WorkPlace. Una sesión de trabajo
6
7
7
8
11
11
12
2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2.1 Definición y Clasificación
14
2.2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de Primer Orden
2.2.1 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
2.2.2 Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables con Scientific WorkPlace
2.2.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
2.2.4 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Scientific WorkPlace
2.2.5 Ecuaciones Diferenciales Exactas
2.2.6 Ecuaciones Diferenciales Exactas con Scientific WorkPlace
2.2.7 Ecuaciones Diferenciales Lineales
2.2.8 Ecuaciones Diferenciales Lineales con Scientific WorkPlace
2.2.9 Ecuación de Bernoulli
2.2.10 Ecuación de Bernoulli con Scientific WorkPlace
2.2.11 Aplicaciones. Circuitos RC y RL
16
16
18
19
21
23
25
27
30
31
34
35
5
3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
3.1 Definición y Propiedades
3.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Coeficientes Constantes
3.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Scientific WorkPlace
3.4 Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas con Coeficientes Constantes
3.5 Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas con Scientific WorkPlace
3.6 Aplicaciones. Circuitos RCL en Serie
41
42
46
47
53
54
4 La Transformada de Laplace
4.1 Definición y Propiedades
4.2 La Transformada de Laplace con Scientific WorkPlace
4.3 La Transformada Inversa de Laplace
4.3.1 Definición y Propiedades
4.4 La Transformada Inversa de Laplace con Scientific WorkPlace
4.5 Aplicaciones de la Transformada de Laplace
4.5.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
4.5.2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales con Scientific WorkPlace
58
62
64
68
69
76
4.5.3 Circuitos RCL en Paralelo 78
5 Prácticas de Ecuaciones Diferenciales y Transformadas de Laplace con Scientific WorkPlace
Práctica No. 1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
Práctica No. 2 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
Práctica No. 3 La Transformada de Laplace y la Transformada Inversa de Laplace
Práctica No. 4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Práctica No. 5 Aplicaciones. Circuitos RC, RL y RCL en serie y en paralelo
89
91
93
95
97
6. Apéndices
Apéndice A. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales
Apéndice B. Tablas Transformadas de Laplace
Apéndice C. Reporte de Práctica
7. Bibliografía
99
101
103
105
6
1. SCIENTIFIC WORKPLACE
1.1 Una Breve Descripción del Programa
Scientific Workplace es un software creado en la Universidad de New México, E.E. U.U.,
con antecedentes desde 1984, formalizado y patentado por MacKichan Software, Inc., en
el año de 1994. Con este software se pueden editar textos, graficar ecuaciones y resolver
problemas matemáticos de gran variedad y con notable facilidad. El programa está
basado en un sencillo procesador de textos que integra completamente matemáticas
complejas y textos técnicos en un único entorno de trabajo. Además, con el sistema de
álgebra computacional integrado en el propio programa, puede también realizarse
cálculos precisos desde el mismo editor. Finalmente, el software cuenta con tópicos
relevantes de Física y Química en una librería al final de la sección que describe el
contenido del software.
Scientific WorkPlace combina la facilidad de edición de expresiones matemáticas en su
notación natural, sin notaciones complejas, con la posibilidad de realizar cálculos desde
el mismo entorno de trabajo, gracias a la inclusión del potente motor de álgebra
computacional MuPAD 2.5, mediante el cual se pueden editar documentos y realizar
cálculos sin la necesidad de utilizar algún programa externo. Las prestaciones y
capacidades disponibles son muy amplias.
Con Scientific WorkPlace se pueden realizar cálculos simbólicos y numéricos, integrar,
diferenciar funciones, resolver ecuaciones diferenciales y algebraicas, resolver problemas
de álgebra matricial, Transformadas y Transformadas Inversas de Laplace y Fourier, etc.
Además, sencillas instrucciones, es posible crear gráficas en dos dimensiones y en tres
dimensiones en varios estilos, en sistemas de coordenadas rectangulares, cilíndricas y
esféricas, y en diferentes orientaciones.
Este software permite además componer complejos documentos técnicos con LaTex, la
aplicación estándar en composición matemática. Gracias a su enorme precisión y calidad,
se puede utilizar de manera confiable en el desarrollo de trabajos de investigación y
profesionales. En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos a formatos
RTF para ser importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas incluidas en
sus documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type 5. Además se
pueden generar presentaciones en formatos PDF.
7
1.2 Herramientas de Scientific WorkPlace
1.2.1 Editor de Scientific WorkPlace
La intención de los creadores de Scientific WorkPlace es la de poder usar la
computadora para cálculos matemáticos de forma casi natural, con notación matemática
estándar, sin la necesidad de otro lenguaje más complejo. Por ejemplo, permite graficar
una ecuación en dos dimensiones o en tres dimensiones, editar una expresión
matemática, simplificarla o factorizarla, resolver un sistema de ecuaciones lineales,
evaluar límites, derivadas e integrales de funciones, etc. Además de resolver ecuaciones
diferenciales, sistemas de ecuaciones diferenciales, Transformadas y Transformadas
Inversas de Laplace. Esto último parte del trabajo a realizar.
Con Scientific WorkPlace se puede editar y realizar cálculos matemáticos de manera
casi familiar a como lo realiza un editor de texto actualidad. Con la ayuda del mouse de la
computadora, para elegir los símbolos del panel principal del editor, haciendo un “clic”
sobre los necesarios para el documento, ver Figura 1.
Figura 1. Panel principal del editor Scientific WorkPlace
“click” mouse,
botón izquierdo
8
1.2.2 Sintaxis de Scientific WorkPlace
En ciertos sistemas y programas de cómputo, es necesario determinado arreglo de
comandos y notaciones para representar una entrada para un cálculo o evaluación de
expresiones matemáticas. En algunos de ellos, se necesitan más de 2000 operadores,
por ejemplo, para integrar la expresión:
Se necesita editar, en un sistema tradicional de computación, la expresión:
int(x^3/ (x^4-3),x)
La cual es de forma más compleja, lo que puede generar con mayor posibilidad, un error
en su sintaxis y resultado, lo cual se evita obviamente con la sencilla notación que utiliza
Scientific WorkPlace, como se verá en seguida con los siguientes ejemplos:
1. Para la edición de una integral a evaluar mediante Scientific WorkPlace, como la
anterior, se lleva a cabo mediante los siguientes pasos:
Paso Acción Resultado
1 Click
2 Click
3 Click , después 3
4 Click en el denominador
5 Repetir el paso 3
6 Escribir dx
Finalmente, se pueden adicionar límites a la integral, aplicando subscript y superscript al
operador.
9
2. Entre otra gran variedad de usos en las matemáticas y como parte fundamental de este
trabajo, puede escribir una ecuación diferencial ordinaria con Scientific WorkPlace y
obtener su solución. Mostrando su resultado, de la siguiente forma:
Editar la expresión:
dy
dx xy xy2
Elegir la operación factor del menú compute ODE, dando como resultado:
y 1
C8e12
x2
1
En el caso de una ecuación diferencial con condiciones iniciales o de frontera, se sigue el
proceso anterior, insertando la ecuación a resolver y sus condiciones iniciales en un
formato matricial, dando como resultado:
d 2y
dx2 dy
dx 6y 0
y0 7
y0 1
Dando como resultado:
y 4e2x 3e3x
3. Para graficar expresiones como la anterior, elegir plot 2D del menú compute. Scientific
WorkPlace creará una gráfica como la siguiente:
Para variar los rangos de x y y de la gráfica, ( y ) de la gráfica
hacer “click” en Edit / Properties.
10
4. Para expresiones matemáticas más complejas, se pueden utilizar radicales, paréntesis y
corchetes, contenidos en la siguiente ventana, figura 2:
Figura 2. Ventana de corchetes para expresiones matemáticas
5. Para operadores matemáticos más complejos, por ejemplo de integración, se pueden
utilizar los contenidos en la siguiente ventana figura 3:
Figura 3. Ventana de operadores para expresiones matemáticas
6. Para aplicar decoraciones a una expresión matemática, se tiene la siguiente ventana,
Figura 4.
11
Figura 4. Ventana de decoraciones para expresiones matemáticas
1.2.3 Exportación e importación de contenidos y figuras.
Debido a su compatibilidad con Windows, textos, ecuaciones y gráficas y cálculos
matemáticos en general, creados en Scientific WorkPlace, se pueden importar y
exportar directamente a otros programas de Windows.
1.3 Presentación de resultados
Se puede editar e imprimir su trabajo en pantalla e impresión con una gran variedad de
colores, con ayuda de la siguiente ventana, figura 5:
Figura 5. Ventana de colores para expresiones del Scientific WorkPlace
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Estas aplicaciones son sólo algunas de la gran versatilidad que ofrece el Scientific
WorkPlace, las cuales se pueden ir conociendo en detalle y profundizando a medida que
se practique con el mismo.
En su versión 5.5, Scientific WorkPlace exporta documentos a formatos RTF para ser
importados a Microsoft Word. De este modo, las matemáticas incluidas en sus
documentos pueden convertirse a formato Microsoft Editor o Math Type 5. Además se
pueden generar presentaciones en formatos PDF.
Como se puede apreciar, la sencillez y utilidad del Scientific WorkPlace es muy notoria,
lo que genera un alto grado de confianza y satisfacción en el estudiante. Mediante
instrucciones sencillas y prácticamente iguales al lenguaje matemático común y corriente
que se utiliza desde cursos básicos de matemáticas. Como se verá a detalle en las
aplicaciones que se le den al programa en los ejemplos y ejercicios a tratar en este
trabajo.
Finalmente, para imprimir un documento del Scientific WorkPlace, el programa utiliza
prácticamente la misma rutina que un programa en Windows.
1.4 Scientific Workplace. Una sesión de trabajo
Para comenzar a trabajar en el Scientific WorkPlace, se deben llevar a cabo los siguientes
pasos:
1. Activar Scientific WorkPlace del menú de programas, o bien del escritorio de su PC
2. Hacer “click” el ícono New de la barra:
Open Print Spelling Copy Undo Show/Hide Table
New Save Preview Cut Paste Properties Math/Text Zoom Factor
Del menú principal para generar una sesión de trabajo
3. Del menú principal de Scientific WorkPlace, elegir la sección view y activar las
siguientes barras de trabajo:
13
Unit BigFraction Superscript Parentheses Sum Name Operators Matrix Binomial Decoration
Radical Subscript Square Integral Display Brackets Math LabelBrackets Name
Math Templates Math Objects
Lowercase Binary Negated Miscellaneous GeneralGreek Operations Relations Symbols Latin-1 Punctuation
Uppercase Binary Arrows Special LatinGreek Relations Delimiters Extended-A
4. En la sección view del menú principal se localizan más barras, que se podrán activar
de acuerdo a las necesidades de trabajo, siendo las anteriores las más elementales.
Solve Plot 3D ShowEvaluate Exact Expand Rectangular Definitions
Evaluate Simplify Plot 2D NewNumerically Rectangular Definition
14
2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
2.1 Definición y Clasificación
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen derivadas o diferenciales. Si
una ecuación contiene solo derivadas de una función de una variable, entonces se dice
que es Ordinaria. Una ecuación diferencial parcial contiene derivadas parciales. En este
capítulo se desarrollan algunos métodos para resolver los tipos básicos de ecuaciones
diferenciales ordinarias. La intención de este análisis no es una disertación sobre el tema
sino bien servir de introducción a esta área tan vasta y a la vez tan importante de las
matemáticas.
2.1.1 Orden de la Ecuación
Una ecuación en la que aparecen x, y, y´, y´´,..., y(n) , donde y es una función de x y y (n) es la n-esima derivada de y con respecto a x, es una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden n. Los siguientes ejemplos son ecuaciones ordinarias del orden especificado:
Orden 1: y´=2x
Orden 2: d²y / dx² + x²( dy / dx )³ - 15y= 0
Orden 3: ( y¨¨)4 – x²(y¨ )5 + 4xy = x ex
Orden 4: (d 4y /dx4 ) - 1 = x³ dy/ dx
2.1.2 Grado de la Ecuación
Se llama grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. La ecuación debe tener una forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
2.1.3 Linealidad de la Ecuación
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma
)()()(.............)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
, es decir:
a) Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.
b) En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
c) Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
2.1.4 Tipo de la Ecuación
El tipo de la ecuación diferencial lo determina el tipo de derivadas que contiene la misma: derivada total o derivada parcial
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2.1.5 Solución de una Ecuación Diferencial
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación. Hay tres tipos de soluciones:
1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución
particular de la ecuación completa.
2. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(x0,y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por
lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, este recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(x0,y0) recibe el nombre de condición
Inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
Fig. 2.1 Familia de curvas que representan la solución general de una ecuación diferencial. Por un punto P(x0,y0) perteneciente a un intervalo, sólo pasa una curva de la familia, generando la solución particular de la ecuación diferencial.
xo
P(xo,yo)
X
Y
yo
16
3. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.
2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Para emprender la tarea de hallar la solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
)()()( 01 xgyxadx
dyxa
Se deben conocer diversos métodos. El método que se emplee para resolverla depende de la forma particular que presente la ecuación. Las formas más comunes son: variables separables, ecuaciones homogéneas, Ecuaciones exactas, ecuaciones lineales y la ecuación de Bernoulli. Las cuales tienen como fundamento los siguientes conceptos importantes. a) Problema de valor inicial: cuando se va a resolver una ecuación diferencial ordinaria
de primer orden sujeta a la condición inicial y(x0)=y0, donde x0 ϵ I (I: intervalo de valores posibles para x) y y0 es un número real arbitrario, se dice que se va a resolver un problema de valor inicial. En la práctica, lo que se hace es sustituir los valores iniciales dados en la familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial y encontrar el valor particular correspondiente del parámetro Figura 2.1)
b) Existencia y unicidad de las soluciones: un problema con condiciones iniciales de
la forma y’= f(x,y), y=y0 puede tener o no solución, o tener varias soluciones. Por eso, antes de abordar un problema con valor inicial es bueno saber si la solución existe y es única.
2.2.1. Ecuación Diferencial de Variables Separables.
Definición. Se dice que una ecuación diferencial de la forma
)y(h
)x(g
dx
dy
es separable o que tiene variables separables si puede escribirse como:
dx)x(gdy)y(h
e integrado de ambos lados se tiene:
Cdxxgdyyh )()(
17
Dando como resultado de la integración, una familia paramétrica de soluciones, la cual
queda expresada de manera explícita o de manera implícita.
Nótese que como resultado de la integración, no es necesario usar dos constantes de
integración, ya que la suma algebraica de tales constantes, da solo una constante C.
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
1)
CxLnxxy
Cxxxy
Cuuxy
duu
duduu
udy
dx
xx
xu
dxx
xdy
dxx
xdy
xdx
dyx
du
uuu
32)(
32ln)32()(
ln)(
13
33
32
32
3
32
3
3)32(
4
3
21
4
3
41
4
3
41
4
3
41
41
2
2
3
2
3
2
3
2)
CxsenCsenuuduxy
dudx
dxdu
xu
xdxdy
xdxdy
xdx
dy
22
3
2
3cos
2
3)(
2
2
2
2cos3
2cos3
2cos3
3)
Cxsenxy
Cxsenxy
dxx
y
xdxsenydy
xdxsenydy
x
dx
y
dy
ydxxdy
ydxxdy
)24
1
2
1(cos
24
1
2
1cos
2
2cos1cos
cos
cos
seccsc
cscsec
0cscsec
1
2
2
2
2
2
4)
2
2
)(
2)(2
2
2
02
22
Cxxy
Cxeeee
CLnxCLnxLny
x
dx
y
dy
x
dx
y
dy
ydx
dyx
cLnxCLnxLny
18
2.2.2. Ecuación Diferencial de Variables Separables con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria de Variables Separables con Scientific
WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria en la forma: , sombreando
la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
c) Cuando vaya a resolver una ecuación diferencial ordinaria, con condiciones iniciales o
de frontera. Se editarán cada una de ellas en campos de en un espacio matricial de
una columna y dos renglones.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1) 2x 3 dy
dx x 3, Exact solution is: C2 1
2x 3
4ln x 3
2
2)dy
dx 3cos2x, Exact solution is: C4 3
2sin2x
3) 1
cos2x
dy
dx 1
sin y, Exact solution is: arccos C2 1
2x 1
4sin2x
4) xdy
dx 2y 0, Exact solution is: C8x 2
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Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO VARIABLES. SEP.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
2.2.3. Ecuación Diferencial Homogénea.
Definición. Si una función tiene la siguiente propiedad:
f(tx,ty)= tn f(x,y)
Para un número real n, entonces se dice que f es una función homogénea de grado n.
Por lo tanto, para una ecuación diferencial de la forma:
0),(),( dyyxNdxyxM
Se dice que es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Método de solución. Una ecuación diferencial homogénea de la forma anterior puede
ser resuelta por medio alguna de las siguientes sustituciones algebraicas:
y = u x ó x = v y
con sus respectivas diferenciales:
dy = u dx +x du ó dx = v dy + y dv
Donde u y v son nuevas variables dependientes que transformarán la ecuación original en
una ecuación diferencial de primer orden con variables separables.
20
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
1)
xLnxCxy
Cx
yLnx
CuLnx
dudxx
dudxx
duxxdx
duxxdx
duxdxuxuxx
duxuxdxuxdxxdx
xduudxxdxuxx
x
yu
xduudxdyuxy
xdydxyx
1
1
0
0)(
0
0)()(
0)(
2
2
2
2
2)
Cxyx
Cxxyx
xy
xCx
xy
xC
x
xyCx
x
yCuCx
Ceee
CuLnLnww
dwLnx
u
dwduududw
uw
duu
udx
x
duu
udx
x
duuxdxux
duuxdxxdxxu
dxxudxxduuxdxxu
dxxuxxduudxux
x
yu
xduudxdyuxy
dxyxyxdy
uLnuLnLnxC
422
2624
22
24
41
22
2
41
2
22
41
2
2
41
2
)12()12(
2
2
2
2
322
3222
222322
2222
22
2
2
)2
(
)2
()2
(
)12()12(
)12(4
1
4
1
4
1
44
12
12
1
12
1
)12(
02
0
0)()(
0)(
41
241
2
21
3)
Cyxxy
Cyxyx
xCx
Cx
CLnLnCLnLnLnx
CLnLnLnx
CLnuuLnLnx
obtienese
uLnLnuuLnLnx
parcialesfraccionesporparteúltimaLa
duuu
duu
duuu
u
x
egrando
duuu
udx
x
duuxdxuxu
duuxdxuux
duuxduxxdxuxudx
uxdxduuxduxxdxuxudx
uxdxxduudxuxx
x
yu
xduudxdyuxy
ydxdyyx
yxyC
yxyx
yx
yxx
x
y
x
yx
x
y
x
yx
x
y
x
yx
x
y
x
y
22
22
2
2
2
2
212
21
21
21
21
21
21
21
2
22
222
222
2
)2
)(
)2(
)2(
:
)2()2(
:,
)2(
1
2
1
)2(
11
:int
)2(
11
)1()2(
0)1(2
02
0
0))((
0)(
2
21
21
21
4)
Cx
x
xC
Cxy
CxCxyCxCyyx
CxCyxyCyxCyx
Cu
ux
LnCu
uxLn
CuLnLnxLnu
uLnLnuLnx
duuu
Lnx
parcialesfraccionesPor
duuu
dxx
duxdxuux
dxxuduxdxux
dxuxxduudxx
x
yu
xduudxdyuxy
dxydyx
ydx
dyx
x
xy
x
y
x
y
1
)(
)(1
1
1
)1(
)1(
1
11
.
)1(
11
0
0)(
0
0
322
2232
22
22
22
2.2.4 Ecuación Diferencial Homogénea con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria Homogénea con Scientific WorkPlace,
seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria en la forma: , sombreando
la expresión y hacer “click” en el icono:
22
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1) yxdy
dx x 2 y2, Exact solution is: 1
2
2
x 2C3 x 4 , 1
2
2
x 2C3 x 4
2) xdy
dx x y 0, Exact solution is: C5x x lnx
3)dy
dx y
xy 0, Exact solution is: x x 2 C3 , x 2 C3 x
4) x 2 dy
dx y2 0, Exact solution is: 0, x
C5x1
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO HOMOGENEAS.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “clik” en el botón izquierdo del
mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
Es importante aclarar que las soluciones de las EDO Homogéneas en Scientific
Work Place se presentan de forma explícita, es decir, despejada a la variable
dependiente (y) de las independientes (x).
23
2.2.5. Ecuación Diferencial Exacta.
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
dyyxNdxyxM ),(),(
Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total
de alguna función f(x,y). Una ecuación diferencial de la forma:
0),(),( dyyxNdxyxM
se dice que es una ecuación exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial
exacta, donde se debe cumplir a su vez:
x
N
y
M
Método de solución. Si se cumple la última condición, entonces:
),( yxMx
f
ó también ),( yxN
y
f
Separando variables, de cualquiera de una de las ecuaciones anteriores, resulta,
respectivamente:
)(),(),( xhdyyxNyxf & )(),(),( ygdyyxMyxf
Donde:
dxyxN
xyxMyh ),(),()(' &
dyyxM
yyxNyg ),(),()('
24
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Exactas
1)
Cyyxx
Cyyxx
yyxx
yxf
yydyyyg
yyg
ygygxx
yy
f
ygxx
yxf
xxf
xxfxx
f
exactaEsx
N
y
M
yxx
N
xyy
M
dyydxx
42
462
22
232
2
22
232
2),(
22
2)24()(
24)('
)('))(32
2(
)(32
2),(
)3(
)3(3
0)24(
0)3(
0)24()3(
2)
Cyxyx
yxyxyxf
ydyyg
yg
yxygyx
ygyxy
f
ygxyxyy
f
ygxyxyxf
xxyf
xxyfxyx
f
exactaEsx
N
y
M
xyyxxx
N
xyxyyy
M
dyyxdxxy
222
222),(
22)(
2)('
222)('22
)('22
))(22(
)(22),(
)122(
)122(122
4)22(
4)122(
0)222()122(
2
25
3)
Cyyx
yyxyxf
yydyyg
yyg
xyygx
ygxy
f
ygyxyy
f
ygyxyxf
xxyf
xxyfxyx
f
exactaEsx
N
y
M
xxyxx
N
xxyyy
M
xydxdyxy
xydx
dyxy
2
212
2
212
2
21
2
2
),(
)(
)('
2)('2
)('2
))((
)(),(
)2(
)2(2
2)2(
2)2(
02)2(
2)2(
4)
Cy
xyx
yxy
xyxf
yydyyg
yyg
xyyygxy
ygxyy
f
ygxyx
yy
f
ygxyx
yxf
xyxfyxx
f
exactaEsx
N
y
M
yxyyxx
N
yyxyy
M
dyxyydxyx
23
23),(
2)(
)('
2)('2
)('2
))(3
(
)(3
),(
)(
2)2(
2)(
0)2()(
22
3
22
3
2
23
23
2222
22
22
2.2.6 Ecuación Diferencial Exacta con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria Exacta con Scientific WorkPlace, seguir
el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria en la forma: , sombreando
la expresión y hacer “click” en el icono:
26
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1) 4y 2 dy
dx 3 x, Exact solution is: 1
2 1
2x 2 6x 4C2 1 , 1
2x 2 6x 4C2 1 1
2
2)dy
dx 2y2x1
2x2y2 0, Exact solution is: 1
x2x 3 C39x 2 1 1 , 1
x2x 3 C39x 2 1 1
3)dy
dx 2xy
yx2, Exact solution is: x 4 2C84 x 2 ,x 2 x 4 2C84
4)dy
dx x2y2
y2xy 0, Exact solution is:
6
6x32x 4 x 3 6C5x 3C5 , 6
6x32x 4 x 3 6C5x 3C5
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO EXACTAS.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
Es importante aclarar que las soluciones de las EDO Exactas en Scientific Work
Place se presentan de forma explícita, es decir, despejada a la variable dependiente
(y) de las independientes (x).
27
2.2.7. Ecuación Diferencial Lineal.
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
)()()(01
xgyxadx
dyxa
Es una diferencial lineal en una región R del plano xy .
Método de solución. Despejando y simplificando:
)(
)(
)(
)(
11
0
xa
xgy
xa
xa
dx
dy
Dando una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
)()( xfyxPdx
dy
La cuál se podrá hacer ecuación diferencial exacta con un factor (x) integrante de la
forma:
dxxP
ex)(
)(
Multiplicando a la última ecuación obtenida en todos sus términos por el factor integrante
(x) e integrando la diferencial exacta obtenida, se obtiene la siguiente solución general:
dxxPdxxPdxxP
cedxxfeexy)()()(
)()(
La cual constituye una familia uniparamétrica de soluciones.
28
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales
1)
xeCxy
Cx
e
dxxyed
dxx
e
dxx
eydxx
edyx
e
yx
edx
dyxe
xe
dxexxP
ydx
dy
ydx
dy
y
yd
)(
0)(
0)
0
0
)(,1)(
0
(
2)
xe
Cx
ex
ye
dxxexyed
dxx
ex
yed
dxx
eydxx
edyx
e
xey
xye
dx
dyxe
xe
dxexxP
ydx
dy
Cxy
3)(
3
3)(
3)(
3
3
)(,1)(
3
3)
3
3
2)(
3
3
2223
3
2
23
3
3
3
22)3
3
(
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
22)(
222
)22()2(
222
22)2(
2)(,2)(
222
x
eCxy
C
x
eCueduue
x
ye
x
dudx
dxxdux
u
dx
x
ex
x
yed
dxexyed
dxexydxexdye
dxexyexdx
dyedx
exyexdx
dye
exyxdx
dye
edxx
exxxP
xyxdx
dy
xx
xxx
xxx
xxx
xx
x
29
4)
x
C
x
Lnxxy
CLnxyx
dxx
xyd
xyd
xx
edx
xexx
xP
dxx
dxx
ydxxdy
xy
dx
dyx
xxy
xx
dx
dyx
xy
xdx
dy
xydx
dyx
)(
1)(
)(
ln
1
)(,1
)(
1
1
1
11
11
1
2
2
2
5)
3
3
3
3
3
3
2
3332
3
323
323
3223
323
333
3
3
27
21
9
21
3
1)(
27
2
9
2
3
:int
)(
)(
3
3
3
3
3
33ln3
13
)(,)(
x
Ce
xe
xe
xxy
Cexeex
yx
partesporegrando
dxexyxd
exyxd
exyxdx
dyx
exx
exy
xx
dx
dyx
x
x
ey
xdx
dy
eydx
dyx
xxx
xxx
x
x
x
xx
x
x
xLnx
ex
edx
xexxP
30
2.2.8 Ecuación Diferencial Lineal con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal con Scientific WorkPlace, seguir
el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria en la forma: , sombreando
la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1)dy
dx y 0, Exact solution is: C3ex
2)dy
dx y 3, Exact solution is: C6ex 3
3)dy
dx x 2y 2x 2 , Exact solution is: C8e
1
3x3
2
4) x 2 dy
dx xy 1, Exact solution is:
C12
x 1x lnx
5) xdy
dx 3y e3x, Exact solution is:
C2
x3 1
27x3e3x9x 2 6x 2
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO LINEALES.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
31
2.2.9. Ecuación de Bernoulli.
Definición. Una expresión diferencial de la forma:
nyxfyxPdx
dy)()(
Donde n es cualquier número real, se le llama ecuación de Bernoulli.
La cuál, con la sustitución:
nyxw 1)(
y su respectiva derivada, da como resultado:
dx
dyyn
dx
dw n )1(
Método de solución. La ecuación de Bernoulli se simplifica a una ecuación diferencial lineal de
la forma:
)()1()()1( xfnwxPndx
dw
La cual podrá resolverse por el Método del Factor Integrante dxxP
e)(
para Ecuaciones
Diferenciales Lineales
32
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli
1)
Cxyx
x
Cy
ywconx
Cw
Cx
dxx
dxxwdxxdwx
xwxdx
dwx
xw
xdx
dw
xw
xdx
dw
xw
xdx
dw
endosustituyen
dx
dw
dx
dyy
despejando
dx
dyy
dx
dw
yyw
xy
xdx
dyy
xyyy
xdx
dyy
n
yx
yxdx
dy
xyy
xdx
dy
yy
dx
dyx
wx
dxxwxd
wxd
xx
edx
xexx
xP
333
3
3
3
3
3
2
223
223
2
2
321
32
2
22
2
2
2
1
1
3
33
33
13
13
13
13
11
3
1
24
43
1
3
3
211
11
2
11
11
11
3
233
3
331
313
,
:)()(
)(.....
:
)(.....
).....(
)()(
)(.....
)(
)(
ln)(,)(
)(
2)
xx
xx
xx
xx
x
xx
xxx
xxxxx
x
x
x
x
x
Ceey
Ceey
ywconCeew
Cewe
we
dxewe
dxedxwedwe
eeewedx
dwe
ewdx
dw
ewdx
dw
endosustituyen
dx
dw
dx
dyy
despejando
dx
dyy
dx
dw
yyw
eydx
dyy
yyeydx
dyy
n
yeydx
dy
dxxed
d
xe
dxexxP
2
11
2
1
2
1
2
1
24
4
3
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
121
12
222
2
2
1
)(
)(
)(,)(
.
.
:)()(
)(.....
:
)(.....
).....(
)()(
)(.....
33
3)
xx
xx
xx
xx
Ceexy
ywconCeexw
Cexe
dxeex
x
xwdx
xwdx
dw
xwdx
dw
xwdx
dw
endosustituyen
dx
dw
dx
dy
y
despejando
dx
dy
ydx
dw
yyw
xydx
dy
y
xyy
ydx
dy
y
n
xyydx
dy
xyydx
dy
wx
e
wx
e
dxxxewx
ed
dxx
ewx
ed
dxx
ex
edwx
e
xe
xe
xe
xe
dxexxP
33
3
333
33
33
4
4
341
3
4
4
44
4
3
3
11
,3
1
3
1
)3
1
3(3
3
33
33
33
3
1
:)2()4(
)4(.....3
11
:
13
)3(.....
)2.....(1
)(1
)(1
4
)1().....1(
3
3
33)3
(
3)
3(
333
333
33)(,3)(
4)
x
x
x
x
x
xe
C
xy
ywconxe
C
xw
Cxe
Cxe
x
wdxxe
wx
x
dx
dw
wx
x
dx
dw
wx
x
dx
dw
endosustituyen
dx
dw
dx
dy
y
despejando
dx
dy
ydx
dw
yyw
yx
x
dx
dy
y
n
yyx
x
dx
dy
xyyxdx
dyx
xxe
w
wx
xe
dxxxewx
xed
dxx
ewx
xed
dxx
xedwx
xe
xxe
xxe
xxe
xxex
xLnxe
dxx
x
exx
xxP
11
1
11
1
1
1
1
11
11
24
41
1
3
2111
2
1
11
1
2
2
121
1
2
2
2
11
,
)(
)(
(
)(
:)()(
)(.....
:
)(.....
).....(
)(.....)(
)(
)(
)
)(
)(,)(
34
2.2.10 Ecuación Diferencial de Bernoulli con Scientific WorkPlace.
Para evaluar una Ecuación Diferencial Ordinaria de Bernoulli con Scientific WorkPlace,
seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial ordinaria de Bernoulli en la forma:
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, elegir solve ODE y exact del submenú para
evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1)dy
dx 1
x y 1x y2 , Exact solution is: 3
1
x3x 3 C4 1
2i 3 1
2, 3
1
x3x 3 C4 , 3
1
x3x 3 C4 1
2i 3 1
2
2)dy
dx y exy2 , Exact solution is: 0,2 ex
2C7e2x
3)dy
dx y xy4 , Exact solution is:
1
2i 3 1
2
3 C11e3xx 1
3
, 1
3 C11e3xx 1
3
,1
2i 3 1
2
3 C11e3xx 1
3
4) xdy
dx 1 xy xy2 , Exact solution is: 0,x ex
C13exxex
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO DE BERNOULLI.tex
35
R
E(t)
C
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
Es importante aclarar que las soluciones de las EDO de Bernoulli en Scientific Work
Place se presentan de forma explícita, es decir, despejada a la variable dependiente
(y) de las independientes (x).
2.2.11. Aplicaciones. Circuitos RC y RL.
Circuitos RC
En el simple acto de cargar o descargar un capacitor en un circuito de esta naturaleza, se
tiene que las corrientes, voltajes y potencias cambian con el tiempo. Muchos dispositivos
importantes incluyen circuitos en los que se carga y se descarga alternativamente un
capacitor. Entre ellos se cuentan los marcapasos cardiacos, los semáforos intermitentes,
las señales direccionales de automóviles y las unidades de destello electrónico. Por
consiguiente, es de gran importancia práctica comprender lo que ocurre en circuitos de
este tipo.
La siguiente figura muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuito como
éste, con un capacitor y un resistor en serie, se denomina circuito R-C.
Analizando éste circuito por la ley de conservación de la energía, se tiene:
0:0 CRE VVVsV
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación
diferencial lineal de primer orden:
)( tEqCdt
dqR
1
36
Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden, la que se puede resolver
mediante el método estudiado en la sección 2.2.7.
Ejemplo. Encontrar la corriente i(t) del siguiente circuito RC en serie, dadas las siguientes
magnitudes de sus componentes y sujeto a la siguiente condición inicial, respectivamente:
R= 500 ohms
E= 50 volts
C= 5 microfaradios
q(t=0 seg)=0 Coulombs
Solución:
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación
diferencial lineal de primer orden:
)(1 tEqdt
dqR
c
Entonces:
tCetq
Cteqte
dtteqted
dtteqted
dttetedqte
tetete
tedt
ettP
qdt
qdt
dq
qdt
dq
qxdt
dq
400
4000
1)(
400
4000
1400
400
10
1)400(
400)400(
400400400
400400400
400400)(,400)(
10
1
10
1400
10
1400
)2(.....10
1400
)1(.....50105
1500
6
)4(.....400
10
1)(
)4001(4000
1)(
)3().....4001(4000
1)(
400
4000
1
4000
1)(
:tan
0
4000
1
)0(400
4000
10
:0)0(
teti
tedt
d
dt
dqti
tetq
tetq
toloPor
CeC
eC
qcon
Cuya gráfica es la siguiente:
37
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
-1.0e-4
-8.0e-5
-6.0e-5
-4.0e-5
-2.0e-5
2.0e-5
4.0e-5
6.0e-5
8.0e-5
1.0e-4
t
i(t)
Resolviendo la ecuación diferencial (2) del circuito RC anterior mediante Scientific WorkPlace, se
tiene:
dq
dt 400q 1
10
q0 0, Exact solution is: 1
4000e400te400t 1
Derivando con SWP V 5.0:
it d
dt
1
4000e400te400t 1 1
10e400t
Resultado idéntico al obtenido de manera manual (ecuación 4)
Tal solución se encuentra en el siguiente archivo:
APLICACIONES. CIRCUITOS RC Y RL.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos
38
E(T)
L
R
Circuitos RL
Un circuito que contiene un inductor (bobina) y un resistor en serie, se denomina circuito R-L.
Fundamentalmente un inductor en el circuito dificulta que ocurran cambios rápidos de corriente en el
mismo, gracias a los efectos de la fuerza electro-motriz autoinducida. Fundamentalmente, cuanto
mayor es la rapidez de cambio de corriente, tanto más grandes son la fuerza electro-motriz
autoinducida y la diferencia de potencial entre los bornes del inductor.
La siguiente figura muestra un circuito simple que incluye un resistor y un inductor en serie.
Analizando éste circuito por la ley de conservación de la energía, se tiene:
0:0 LRE VVVsV
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación diferencial
lineal de primer orden:
)( tEiRdt
diL
Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden, la que se puede resolver mediante
el método estudiado en la sección 2.2.7
Ejemplo. Encontrar la corriente i(t) del siguiente circuito RL en serie, dadas las siguientes magnitudes
de sus componentes y sujeto a la siguiente condición inicial, respectivamente:
R= 2 ohms
E= 120 volts
L= 20 Henrys
i(t=0 seg)=0 Amp.
39
Solución:
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación diferencial
lineal de primer orden:
)(tEiRdt
diL
Entonces:
tCeti
Ceie
dteied
dteied
dteedie
eee
eettP
tt
tt
tt
ttt
ttt
tdt
idt
idt
di
idt
di
idt
di
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
60)(
60
6)(
)(
)(10
1)(
6
610
1
610
1
)2.....(610
1
)1.....(120220
Aplicando la condición inicial i(0)=0:
)3).....(1(60)(
6060)(
:tan
060
600
10
1
10
1
)0(10
1
t
t
eti
eti
toloPor
CeC
eC
40
Cuya gráfica es la siguiente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
t
i(t)
Resolviendo la ecuación diferencial (2) del circuito RL anterior mediante Scientific
WorkPlace, se tiene:
di
dt 1
10i 6
i0 0, Exact solution is: 1
e110
t60e
1
10t 60
Resultado similar al obtenido de manera manual (ecuación 4)
Tal solución se encuentra en el siguiente archivo:
APLICACIONES. CIRCUITOS RC Y RL.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos
41
3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR
3.1 Definición y Propiedades
Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es de la forma:
)()()(.............)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
Sujeta a las condiciones iniciales:
100
10000
nn yxyyxyyxy )(,........,)(',)( )('
Donde 1
000nyyy ,........,, '
son constantes arbitrarias y se busca una solución en algún
intervalo I que contenga a x0.
En el caso específico de una ecuación lineal de segundo orden, con problema del valor
inicial:
')(',)(),()()()( 0000012
2
2 yxyyxyxgyxadx
dyxa
dx
ydxa
Tiene como solución general yg , la forma:
)()()( xyxyxy phg
Siendo )(xyg & )(xy p soluciones de la parte homogénea y particular, respectivamente
Con
)(.........)(22)(11)( xkykCxyCxyCxh
y
Y )(xy p estará determinada por el Método de Coeficientes Indeterminados y por el
Método de Variación de Parámetros.
42
3.2 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Coeficientes Constantes.
Una ecuación diferencial ordinaria homogénea de de orden n, con coeficientes constantes
es de la forma:
Cuya solución es una combinación de funciones exponenciales linealmente
independientes, de la forma general y=emx.
Para el caso específico de una ecuación diferencial de segundo orden, de la forma:
a y´´+ b y´+ c y = 0
Se puede probar que existe una solución de la forma general, con y = emx. Y por lo tanto
y´= memx, y´´= m2emx, de tal manera que la ecuación anterior se convierte en:
a m2em+ b memx.+ c emx = 0
factorizando:
emx.(a m2+ b m.+ c ) = 0
Debido a que el factor emx nunca es igual a cero para valores reales de x, entonces:
a m2+ b m.+ c = 0
Ecuación que es llamada ecuación auxiliar o ecuación característica, que es en sí una
ecuación algebraica cuadrática, cuya solución será el buscar sus respectivas raíces. Tales
raíces se encontrarán entre alguno de los tres casos siguientes: raíces reales diferentes,
raíces reales iguales y raíces complejas conjugadas.
Caso I) Raíces reales diferentes
En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1= α1 y m2= α2, dando
como solución la siguiente ecuación diferencial ordinaria homogénea:
xx
h eCeC)x(y 22
11
0)(............. 011
1
1
yxadx
dya
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n
43
Caso II) Raíces reales iguales
En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1 = m2 = α, dando como
solución la siguiente ecuación diferencial ordinaria homogénea:
xx
h xeCeC)x(y 21
Caso III) Raíces complejas conjugadas
En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma compleja m1= α + iβ y m2= α - iβ,
dando como solución la ecuación diferencial ordinaria homogénea:
)xsenCxcosC(e)x(y x
h 21
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales homogéneas de orden
superior:
1)
x
mx
mxmxmx
mxmxmx
eCxeCxhy
Finalmente
mmsonraícescuyas
mm
dofactorizan
auxiliarecmm
mme
emeem
doSustituyen
emymeyey
oproponiend
yyy
521
21
2
2
2
2
)(
:
5,1:
0)5(1
:
.056
0)56(
056
:
´´,´,
:
05´6´´
2)
)4
7
4
7cos()(
:
4
7
4
3,
4
7
4
3:
)2(2
)2)(2(433
:
.0232
0)232(
0232
:
´´,´,
:
02´3´´2
214
3
21
2
2
2
2
2
xsenCxCexh
y
Finalmente
imimsonraicescuyas
m
generalformulalaAplicando
auxiliarecmm
mme
emeem
doSustituyen
emymeyey
oproponiend
yyy
x
mx
mxmxmx
mxmxmx
44
3)
xsenCxCCxy
xsenCxCeeCxy
Finalmente
imimm
sonraicescuyas
mm
mm
dofactorizan
auxiliarecmm
mme
meem
doSustituyen
emyemymeyey
oproponiend
yy
h
xx
mx
mxmx
mxmxmxmx
22cos)(
)22cos()(
:
220
:
)1(2
)2)(1(400,0
0)2(
:
.02
0)2(
02
:
´´´,´´,´,
:
0´2´´´
321
32
00
1
321
2
1
2
3
3
3
3´2
4)
xxx
h
mx
mxmxmx
mxmxmxmx
eCeCeCxy
Finalmente
mmm
raices
mm
mmm
R
r
q
pr
qyp
téticadivisiónutilizando
auxiliarecmmm
mmme
meemem
doSustituyen
emyemymeyey
oproponiend
yyyy
3
3
2
2
2
1
321
2
1
2
23
23
23
32
)(
:
32
1
2
5,2
2
1
2
5,2
:
)1(2
)6)(1(455,2
0)65)(2(
0651
12102
124312
12,6,4,2,1
112,6,4,2,1
:sin
.01243
0)1243(
01243
:
´´´,´´,´,
:
012´4´´3´´´
45
5)
xx
h
xx
h
h
xx
h
h
xx
h
xxx
h
mx
mxmxmx
mxmxmxmx
eexy
Finalmente
CCCCC
AenyBenCecladosustituyen
CCCCC
ydeinicialesscondicionelasaplicando
eCeCxy
xyaderivando
BCC
ydeinicialesscondicionelasaplicando
eCeCxy
yaderivando
ACCC
EDOladeinicialesscondicionelasaplicando
eCeCCxy
eCeCeCxy
mmmraices
mm
mmm
dofactorizan
auxiliarecmmm
mmme
meemem
doSustituyen
emyemymeyey
oproponiend
yyyyasujeta
yyy
2
23
1221
333
3232
2
32
32
2
32
321
2
321
2
32
0
1
321
2
3,21
2
23
23
23
32
2
12
2
3)(
:
22)4(1
:)()()(.
)..(..........440
´´:
4)´´(
:)´(
)..(..........21
´:
2)(´
:
)(..........0
:
)(
)(
210:
2
893
)1(2
)2)(1(433,0
0)23(
:
.023
0)23(
023
:
´´´,´´,´,
:
0)0´´(1)0´(,0)0(:
0´2´´3´´´
46
3.3 Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con Scientific WorkPlace
Para evaluar una Ecuación Diferencial de orden superior homogénea con Scientific
WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial de orden superior no homogénea, en la forma:
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, enseguida elegir solve ODE y exact del submenú
para evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1) y 6y 5y 0, Exact solution is: C7ex C8e5x
2) 2y 3y 2y 0, Exact solution is: C10 cos 1
47 x e
3
4x C11 sin 1
47 x e
3
4x
3) y 2y 0, Exact solution is: C15 cos 2 x 1
2C14 C16 sin 2 x
4) y 3y 4y 12y 0, Exact solution is: C18e2x C19e2x C20e3x
y 3y 2y 0
y0 0
y0 1
y0 0
, Exact solution is: 1
2e2x 2ex 3
2
0)(............. 011
1
1
yxadx
dya
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n
47
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO HOMOG SUP.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
3.4 Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas con Coeficientes Constantes.
3.4.1 Introducción
A una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden superior de la forma:
)()()(.............)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n
Con g(x)≠0
Y sujeta a las condiciones iniciales:
100
10000
nn yxyyxyyxy )(,........,)(',)( )('
Se lo conoce como Ecuación Diferencial Ordinaria no homogénea de Orden Superior con
coeficientes constantes. Para la cual existen dos métodos de solución: El Método de los
Coeficientes Indeterminados y el Método de Variación de Parámetros. Debido a que
el Método de Variación de Parámetros es mucho más versátil que el Método de los
Coeficientes Indeterminados, en esta parte se utilizará al primero para la solución de
Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas de Orden Superior con Coeficientes
Constantes.
3.4.2. Método de Variación de parámetros.
El Método de Variación de Parámetros es un método adicional para resolver ecuaciones
lineales no homogéneas de orden superior. El procedimiento básico es esencialmente el
siguiente:
La solución particular para una ecuación diferencial ordinaria de segunda grado, no
homogénea es de la forma:
)x(y)x(u)x(y)x(u)x(yp 2211
48
Donde y1(x) y y2(x) son soluciones linealmente independientes obtenidas en la solución de
la ecuación homogénea respectiva:
)x(yC)x(yC)x(yh 2211
Y las funciones u1(x) y u2(x) están definidas mediante:
dxW
W)x(uydx
W
W)x(u 2
21
1
Donde:
)x(fy
yWy
y)x(f
yW
yy
yyW
´´´´ 1
1
2
2
21
21 0021
El determinante W se conoce como el Wronskiano de y1 y y2. Por la independencia lineal
de y1 y y2 en I, se sabe que W(y1(x),y2(x))≠0 para toda x en el intervalo.
Este Método, que se acaba d examinar para ecuaciones diferenciales no homogéneas de
segundo orden, puede generalizarse para ecuaciones diferenciales lineales de orden n
que sean de la forma
)x(gyadx
dya......
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n
011
1
1
Si : yh(x)=C1 y1(x)+C2y2(x)+……….+Cnyn(x)
es la solución homogénea, entonces la solución particular será de la forma:
)x(y)x(u........)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y nnp 332211
Donde las uks son funciones que se determinan mediante:
,n,........,,kdxW
W)x(u k
k 21
donde W es el Wronskiano de y1, y2, ………..yn y Wk es el determinante obtenido al sustituir
la k-ésima columna del Wronskiano por la columna:
49
)x(f
.
.
.0
0
El Método de Variación de Parámetros tiene una clara ventaja sobre el método de
Coeficientes Indeterminados, la cual consiste en que siempre proporciona una solución
particular yp, a condición de que la ecuación homogénea correspondiente se pueda
resolver. El presente método no se limita a una función f(x) que sea una combinación
lineal de los cuatro tipos de funciones con los que sólo trabaja el Método de los
Coeficientes Indeterminados.
50
Ejemplos. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales no homogéneas de orden
superior:
1)xeCeCyyxy
xxxexeexeyuyuxy
finalmente
xedxxedxxe
dxW
Wu
xedxxedxxe
dxW
Wu
xexe
eW
xeex
eW
eeeeee
eeW
eyey
ogéneahomnopartelaPara
eCeCxh
y
essolucióncuya
mmsonraícescuyas
mm
oresolviend
auxiliarecm
me
eem
doSustituyen
emymeyey
oproponiend
yy
ogéneahomecuaciónlasolviendo
xyy
xxphg
xxxxp
xxx
xxx
x
x
x
x
x
x
xxxx
xx
xx
xx
xx
mx
mxmx
mxmxmx
21
21
21
21
21
2211
21
212
2
21
211
1
2
1
21
21
21
2
2
2
2
2,
)(
)1()1()1()1()(
:
)1(2
)1(2
0
0
2
,
:
)(
:
1,1:
11
:
.01
0)1(
0
:
´´,´
:
0´´
:Re
´´
51
2)
)()(
)()(
:
10
2
10
2
2225
0
2252
0
105555
)(
5,5
:
25
:
.025
0)25(
025
:
´´,´,
:
025´´
:
225´´
1015
515
2
5
1
1015
515
5015
51510
5015
51
2211
10
50110
51
102
1
51
511
1
1055
55
5
2
55
55
5
1
5555
55
55
52
51
52
51
21
2
2
2
2
2
5
xeeCeCyyxy
xeexeeexeyuyuxy
finalmente
edxedxe
dxW
Wu
xdxdxdxW
Wu
eeeee
eW
eeee
eW
eeeeee
eeW
eyey
ogéneahomnopartelaPara
eCeCxy
:essoluciónla
mm
sonraícescuyas
m
oresolviend
auxiliarecm
me
eem
doSustituyen
emymeyey
oproponiend
yy
ogéneahomecuaciónlapara
eyy
xxxphg
xxxxxxp
xxx
xxx
xx
x
xx
xx
x
xxxx
xx
xx
xx
xxh
mx
mxmx
mxmxmx
x
52
3)
21
61
21
21
61
22cos12
22cos1
312
22cos1
31424
2211
3232
2
321
1
3
22
2
21
22
21
21
21
2
2
2
2
2,
2
2coscos)(
2cos)(
3
1cos
3
1)(
:
3
1)1(coscos
cos3
1cos
coscos
0cos
coscoscos
0
1coscos
cos
,cos
:
cos)(
:
,:
1
:
.01
0)1(
0
:
´´,´
:
0´´
:
cos´´
xsenxCxCyyxy
xxy
xsenxsenxyuyuxy
finalmente
xsensenxdxxsenxdxxdxW
Wu
xdxxsenxdxW
Wu
xxsenx
xW
xsenxxx
senxW
xsenxsenx
senxxW
senxyxy
ogéneahomnopartelaPara
senxCxCxy
essolucióncuya
imimsonraícescuyas
imm
despejando
auxiliarecm
me
eem
doSustituyen
emymeyey
oproponiend
yy
ogéneahomecuaciónlapara
xyy
phg
p
xxxp
h
mx
mxmx
mxmxmx
53
3.5 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior no Homogéneas con Scientific
WorkPlace
Para evaluar una Ecuación Diferencial de orden superior no homogénea con Scientific
WorkPlace, seguir el siguiente procedimiento:
a) Escribir la Ecuación diferencial do orden superior no homogénea, en la forma:
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
b) Elegir Compute del menú principal, enseguida elegir solve ODE y exact del submenú
para evaluar la Ecuación Diferencial.
Los resultados en forma explícita de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se
pueden comprobar con Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
1) y y x, Exact solution is: C2ex x C3ex
2) y 25y 2e5x, Exact solution is: C5e5x C6e5x 1
5xe5x 1
50e5x
3) y y cos2x, Exact solution is: C9 cosx 1
6cos2x C10 sinx 1
2
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
EDO NO HOMOG SUP.tex
)()(............. 011
1
1 xfyxadx
dya
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n
54
E
R
C
L
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
3.6 APLICACIONES. CIRCUITOS RCL EN SERIE
Una gran cantidad de sistemas físicos pueden describirse por medio de una Ecuación
Diferencial Lineal de Orden Superior, entre ellos se encuentran los Circuitos Eléctricos
Transitorios, concretamente los circuitos RCL en serie, cuyo esquema se presenta en la
siguiente figura:
Analizando éste circuito por la ley de conservación de la energía, se tiene:
0:0 LRE
Vc
VVVsV
Con los voltajes de cada elemento y las Leyes de Kirchhoff, se tiene la siguiente ecuación
diferencial lineal de primer orden:
)(1
tEqC
iRdt
diL
Pero la carga q(t) en el capacitor está relacionada con la corriente i(t) mediante i= dq/dt. Y
así la ecuación anterior se convierte en una ecuación diferencial lineal de segundo grado:
Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de segundo orden, la que se puede
resolver mediante el método estudiado en la sección 3.4.2.
)(1
2
2
tEqCdt
dqR
dt
qdL
55
Ejemplo. Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el resistor del siguiente
circuito RCL en serie, con:
L=0.5 henrys
R=10 ohms
C= 1x10-3 Faradios
E= 60 Volts
q(0)=1 Coulomb. e i(0)= 0 Amp.
)59.4359.43cos()(
:
191010:
.0200020
0200020
:)2(
)´´(,)´(,)(
:
0200020
:
120200020
601000105.0
:
0101
1105.060
01
0
0
2110
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
2
,
tsenCtCetq
complejasraícespara
imsonraícescuyas
auxiliarecmm
emeem
endosustituyen
emtqmetqetq
oproponiend
qdt
dq
dt
qd
géneahomopartelaPara
qdt
dq
dt
qd
qdt
dq
dt
qd
Arreglando
qxdt
dq
dt
qd
qC
Ridt
diLV
VVVVV
V
th
mtmtmt
mtmtmt
E
CRLE
s
56
)6.059.4313.4359.43cos10215.3()(
106)59.432156.059.43cos94.0()(
2156.0)94.0(59.43
10
59.43
10
1059.430
)00cos(10
)0cos59.43059.43(0
94.01061
106)00cos(1
:
)59.4359.43cos(10
)59.43cos59.4359.4359.43()´()(
106)59.4359.43cos()(
106)(
59.43)59.4310659.43cos103764.1(
59.43cos)59.43103764.159.43cos106()(
:
)59.4310659.43cos103764.1(
59.43cos86
59.43cos60
)59.43103764.159.43cos106(
59.4359.43
59.43120
59.43cos120120)59.4359.4359.43cos10(
059.43cos
59.43120)59.43cos59.4359.4310(120
59.430
59.43
)59.43cos59.4359.4310()59.4359.4359.43cos10(
59.4359.43cos
59.43,59.43cos
:
510
210
12
12
210
210
21
221
0
2110
2110
221
10
2
102210
1022102211
2210
10
59.43120
20
102
2
2210
10
59.43120
20
101
1
10
10
10
2
10
10
10
1
20
1010
1010
10
2
10
1
tsentxedt
dqti
xtsentetq
CC
CC
senCCe
CsenCe
xC
xsenCCe
inicialesscondicioneaplicando
tsenCtCe
tCtsenCetqti
xtsenCtCeqqxq
xxq
tsenetsenxtxe
tetsenxtxeququxq
finalmente
tsenxtxe
dttedte
tedx
W
Wu
tsenxtxe
dttsenedte
tsenedx
W
Wu
tetsente
teW
tsenettsene
tseneW
eW
ttsenetsente
tseneteW
tseneqteq
ogéneahomnopartelaPara
t
t
t
t
tphg
p
tt
ttp
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
tt
tt
tt
Resolviendo la ecuación diferencial del circuito RCL anterior mediante Scientific
WorkPlace, se tiene:
57
0.5d 2q
dt2 10
dq
dt 1000q 60
q0 1
q0 0
, Exact solution is: 0.94e10.0t cos43. 589t 0.21565e10.0t sin43. 589t 0.06
Derivando con SWP V 5.0:
it d
dte10.0t0.94cos43. 589t 0.21565sin43. 589t 0.06 e10.0t3. 215 105 cos43. 589t 43. 13sin43. 589t 0.6
Resultado igual al obtenido de manera manual
Tal solución se encuentra en el siguiente archivo:
CIRCUITOS RCL.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos.
58
4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.1. Definición y Propiedades
La transformada de Laplace L {f(t)} es una integral que ayudará principalmente en la
transformación de una ecuación diferencial de orden n, en una ecuación diferencial lineal,
bajo las condiciones y(0), y´(0), y´´(0),……y(n-1)(0). Como consecuencia de esta propiedad,
la Transformada de Laplace L {f(t)} resulta muy adecuada en la solución de ciertos
problemas físicos de valor inicial. Por ejemplo, en el análisis de circuitos eléctricos
transitorios en serie y en paralelo, que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias y
sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, respectivamente.
Sea f(t) se define para t 0, entonces la integral
{ } ∫∞
0
st f(t)dte=f(t) L
Se denomina Transformada de Laplace de f(t), siempre que la integral sea convergente, y
su resultado es una función de s. En términos generales, se utilizará una letra minúscula
para denotar la función que se transforma, y la correspondiente letra mayúscula para
representar su transformada de Laplace. Por ejemplo:
{ } F(s)=f(t) L
La Transformada de Laplace es una transformación lineal, ya que:
{ } { } { } )βG(s+αF(s)=g(t)βL+f(t) αL=βg(t)+αf(t) L
Con α y β constantes.
Enseguida se muestran Las Transformadas de Laplace de algunas funciones.
59
f(t) F(s)
1 1 / s
tn, n=1, 2, 3, …….. n! / (sn+1)
eat 1 / (s-a)
sen kt k / (s2+k2)
cos kt s / (s2+k2)
senh kt k / (s2-k2)
cosh kt s / (s2-k2)
Ejemplos. Encontrar las Transformadas de Laplace de las siguientes funciones
1)
{ }
{ } { }s
5=
s
15=1 5L=5 ==F(s)
s
1=1L
:utilizando
5=f(t)
2)
{ }
{ } { }5
1+n
s
72=
s
4!3=t 3L=3t L=F(s)
s
n!=t L
:utilizando
3t=f(t)
1+4
44
n
4
3)
{ } { }
{ } { } { }
s
5+
s
1=
s
15+
s
1!=F(s)
1 5L+t L=5+t L=F(s)
s
n!=t Ly
s
1=1 L
:utilizando
5+t=f(t)
21+1
1+n
n
60
4)
{ } { }
{ }
{ } { } { }
s
4+
s
4+
s
2=
s
14+
s
1!4+
s
2!=F(s)
1 4L+t 4L+t L=
=4+4t+t L=F(s)
s
n!=t Ly
s
1=1 L
4+4t+t=f(t)
:utilizando
2)+(t=f(t)
23
1+11+2
2
2
1+n
n
2
2
5)
{ }
{ }36+s
s5=
6+s
s5=cos6t 5L=F(s)
k+s
s=ktsen L
:utilizando
6t5cos=f(t)
222
22
6)
{ }
{ }4-s
1=e L=F(s)
α-s
1=e L
:utilizando
e=f(t)
4t
4t
αt
7)
{ }
{ } { }
( ) 5+s
3s=
5+s
s3=F(s)
5tcos 3L=5t3cos L=F(s)
k+s
s=ktcos L
:utilizando
t53cos=f(t)
222
22
8)
{ }
{ }
{ } { } { } { }
{ } { }
{ }
16)+s(s
8s
16)+2s(s
162s
16+s
s
2
1+
s
1
2
1=2tcos L
4tcos L2
1+1 L
2
1=
L+ L= L=2tcos L
k+s
s=ktcos Ly
s
1=1 L,
2
cos4t+1=2tcos
:utilizando
2tcos=f(t)
2
2
2
2
2
2
2
cos4t
2
1
2
+cos4t12
22
2
2
+=
+=
9)
{ } { }
{ } { }
3
6-ss
6-ss226t
at
1+n
n
6t2
6)-(s
2=F(s)
s
2!=t L=te L
a)-F(s=f(t)e Lys
n!=t L
:utilizando
et=f(t)
3
→
→
61
10)
{ }
( )25-s
1=
5-s
1
ds
d= }e{ L
ds
d= }et{ L
a-s
1=e L
yF(s)ds
d(-1)= }f(t)t{ L
:utilizando
et=f(t)
5t5t
at
n
n
nn
5t
--
11)
{ }
( ) ( )229+s
s6=
9+s
3(2s)=
9+s
3
ds
d= 3t}sen{ L
ds
d= 3t}sent{ L
as
a=senkt L
yF(s)ds
d(-1)= }f(t)t{ L
:utilizando
3tsent=f(t)
22
2
22
n
n
nn
-
+
12)
{ }
222
222122
22
22
n
n
nn
)1-(s
2s=F(s)
)1-2s(s=)1-(sds
d=
1-s
1
ds
d= ht}sen{ L
ds
d= ht}sent{ L
k-s
k=ktsenh L
yF(s)ds
d(-1)= }f(t)t{ L
:utilizando
htsent=f(t)
-- -
62
4.2. La Transformada de Laplace con Scientific WorkPlace
Para evaluar una Transformada de Laplace con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente
procedimiento:
a) Escribir la función f(t) a Transformar
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el
ícono:
b) Elegir compute del menú principal, elegir en seguida el submenú Transforms y
finalmente elegir Laplace.
Los resultados de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con
Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
63
1) 5, Laplace transform is: 5s
2) 3t4, Laplace transform is: 72
s5
3) t 5, Laplace transform is: 5s 1
s2
4) t 22, Laplace transform is: 4s 4
s2 2
s3
5) 5 cos 6t, Laplace transform is: 5 s
s236
6) e4t , Laplace transform is: 1
s4
7) 3 cos 5 t, Laplace transform is: 3 s
s25
8) cos22t, Laplace transform is: 1s
s28
s216
9) t2e6t , Laplace transform is: 2
s63
10) te5t , Laplace transform is: 1
s52
11) t sin 3t, Laplace transform is: 6 s
s292
12) t sinh t, Laplace transform is: 2 s
s212
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
TRANSF. LAPLACE.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo
del mouse sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y
ejercicios a resolver.
64
4.3. LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
4.3.1 Definición y Propiedades
Anteriormente se transformó una función f(t) en una función F(s) mediante la transformada
de Laplace, simbólicamente esto se representó mediante L {f(t)}= F(s). .Ahora en esta
sección se trabajará con el problema inverso: dada una función F(s) hallar una función f(t)
que corresponde a esta transformada, en otras palabras se dice que f(t) es la
Transformada inversa de F(s) y se escribe de la siguiente manera:
{ }F(s) L=f(t) -1
La Transformada inversa de Laplace es en sí misma una transformación lineal, ya que
{ } { } { }G(s) βL+F(s) αL=βG(s)+αF(s) L -1-1-1
donde F(s) y G(s) son transformadas de algunas funciones f (t) y g(t).
En seguida se muestran las Transformadas Inversas de Laplace de algunas funciones.
L -1 { F(s)} f(t)
1 / s 1
n! / (sn+1) tn, n=1, 2, 3, ……..
1 / (s-a) eat
k / (s2+k2) sen kt
s / (s2+k2) cos kt
k / (s2-k2) senh kt
s / (s2-k2) cosh kt
65
Ejemplos. Encontrar las Transformadas Inversas de Laplace de las siguientes funciones:
1)
{ }
{ } { }2
21
1+2
1-2!1
3
1-
nn+1
!1-
3
t=f(t)
=s
2! L=
s1
L
t=sn L
:utilizando
s
1=F(s)
2)
{ }{ } { } { }
{ }
32
1+3
1-
12+
1-
1+1
1-1-
n
1n+
432
4
23
4
3
t6
1+t
2
3+3t+1=f(t)
s
3! L
3!
1
+s
2! L
2!
3+
s
1! L
1!
3+
s
1 L=F(s)
t=s
n! L
:utilizando
s
1+
s
3+
s
3+
s
1=
s
1+3s+3s+s=
s
1)+(s=F(s)
1-
3)
{ }
{ } { }4
1+4
1-
5
1-
5
1-
nn+1
!1-
5
2t=f(t)
s
4! L
4!
48
s1
48L=s48
L
t=sn L
:utilizando
s
48=F(s)
=
4)
{ }{ } { }
t4
1
1-
1-
ta1-
e4
1=f(t)
(--s
1L
4
1=
+s
1
4
1 L
e=a-s
1 L
:utilizando
+s
1
4
1=
1+4s
1=F(s)
1+4s
1=F(s)
41
41
41
)
66
5)
{ }{ } { }
7tsen7
5=f(t)
49+s
7 L
7
5=
49+s
5 L
ktsen=k+s
k L
:utilizando
49+s
5=F(s)
2
1-
2
1-
22
1-
2
6)
{ }
{ }( )
{ }tcos=f(t)
+s
s L
+s
s L
ktcosk+s
s L
utilizando
s
s
1s4
s4sF
1s4
s4sF
21
2
4122
2
212
1-
412
1-
22
1-
==
=
+=
+=
+=
:
)(
)(
7)
{ }{ } { }
t8senh8
3tf
8s
8 L
8
3
64s
3 L
hktsenk-s
k L
utilizando
64s
3sF
2
1-
2
1-
22
1-
2
=
=-
=-
=
-=
2
)(
:
)(
8)
{ } { }{ } { }
{ } { }{ } { }{ } { }
3t2sen-3t2cos=f(t)
9+s
3 L-
9+s
s 2L=
9+s
1 6L-
9+s
s 2L=
9+s
6 L-
9+s
2s L=
9+s
6
9+s
2s L=
9+s
62s L
ktsen=k+s
k Lyktcos=
k+s
s L
:utilizando
9+s
6-
9+s
2s=
9+s
6-2s=F(s)
9+s
6-2s=F(s)
2
1-36
2
1-
2
1-
2
1-
2
1-
2
1-
22
1-1-
22
1-
22
1-
222
2
2-
-
67
9)
{ }{ }{ } { }
{ } { }3t-
3
1
3
1
2
1-
ta1-
1-
e-=f(t)
(-3)-s
1 L-
s
1 L=
3+ss L=
3s+s
1 L
e=a-s
1 L
y1=s
1 L
:utilizando
3+s-
s=
3s+s
1=F(s)
:parcialesfraccionescon
3s+s
1=F(s)
1-3
11-3
1
31
31
1-
31
31
2
2
-
10)
{ }{ } { }
{ } { }3t-
4
3+
t
4
1
43
41
1-1-
at-1-
ee=f(t)
3+s
1 L+
1-s=
=3+s
+1-s
L=3-2s+s
s L
e=a-s
1 L
:utilizando
3+s+
1-s=
3)+1)(s-(s
s=F(s)
:parcialesfraccionescon
3)+1)(s-(s
s=
3-2s+s
s=F(s)
:dofactorizan
3-2s+s
s=F(s)
1-4
1
43
41
2
43
41
2
2
68
4.4. La Transformada Inversa de Laplace con Scientific WorkPlace
Para evaluar una Transformada Inversa de Laplace con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente
procedimiento:
c) Escribir la función F(s) a Transformar
sombreando la expresión y hacer “click” en el icono:
Editándose la ecuación diferencial en forma matemática (color rojo), indicado con el ícono:
d) Elegir compute del menú principal, elegir en seguida el submenú Transforms y finalmente elegir
Inverse Laplace.
Los resultados de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con
Scientific WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
69
1) 1
s3 , Is Laplace transform of 1
2t2
2)s13
s4 , Is Laplace transform of 3t 3
2t2 1
6t3 1
3) 48
s5 , Is Laplace transform of 2t4
4) 1
4s1, Is Laplace transform of 1
4e
14
t
5) 5
s249, Is Laplace transform of 5
7sin7t
6) 4s
4s21, Is Laplace transform of cos 1
2t
7) 3
s264, Is Laplace transform of 3
8sinh8t
8) 2s6
s29, Is Laplace transform of 2 cos 3t 2 sin 3t
9) 1
s23s, Is Laplace transform of 1
3 1
3e3t
10) s
s22s3, Is Laplace transform of 1
4et 3
4e3t
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
TRANSF. INV. LAPLACE.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y ejercicios a resolver.
4.5 APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.4.1. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Cuando se especifican condiciones iniciales, la Transformada de Laplace reduce un sistema de
ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de la forma:
70
)x(fy)x(adx
dya.............
dx
yda
dx
yda
)x(fy)x(adx
dya.............
dx
yda
dx
yda
n,n,nn
n
n
n,nn
n
n
n,n
n,n,nn
n
n
n,,nn
n
n
n,n
10011
111
1
1
111
001
11
1
1
1
.
.
..
)x(fy)x(adx
dya.............
dx
yda
dx
yda ,,n
n
n
n,,n
n
n
n, 00001
101
1
1
100
Sujetas bajo las condiciones iniciales o de frontera siguientes:
0010
2
10
1 y)x(y,.........y)x(y,y)x(y ón
n
nn
n
n
A un sistema de ecuaciones lineales bajo las funciones trasformadas bajo la variable s. Las cuales
se resolverán por los métodos conocidos (igualación, sustitución, suma y resta, Gauss, Cramer,
etc). Finalmente se aplicará la trasformada inversa para encontrar la solución al sistema de
ecuaciones diferenciales lineales.
Ejemplos. Utilice el método de la Transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales.
71
1)
{ } { } { } { }
[ ]
{ } { }
[ ]
[ ]
[ ]
{ } { }{ } { } { }
t23
1t3
1
2s
11
1s
113
11
2s
31
1s
31
11
2
s
2s2s
dt
dy
dtdx
eetx
L31LsXL
LsXL
parcialesfraccionescon
31s2s
1
2ss
1sX
s
1sX
s
11ssX
s
1sX2sY1ssX
2y1igualando
2s
1sX2sY
sX21ssY
sX20yssY
xL2 L
1sY1ssX
sYsX0ssX
sYsX0xssX
yLxLyxL L
x2dt
dy
10y00xyxdt
dx
-
+
-
-
--
+-
-
--
-+
s2
-=
-=
==
-+=
-+=
=
=-+
+==+
+=
=-
=-
=
=+
+=-
+=-
+=+=
=
==+=
)(
)(
)(
:
).....())((
)(
)(
)(
)()()(
:)()(
)......(..............................)(
)(
)()(
)()()(
).........(....................).........()(
)()()(
)()()()(
)(,)(,
( ) ( )
{ } { } { }{ }
{ } { } { }{ }
{ } { } { }{ } { }
t23
1t3
2
t23
13
1t3
23
2
s11
2s11
3
s
1131
1s
1132
s11
32
s
11
2s+
21
s
21
13
21s
1+
s
11321
s
11
)2s(s+
113
)1s(s
113
21
32
32
2s
31
1s
31
s2
eey(t)=
1+e+e+y(t)=
+LL+
LL+Ly(t)=
+L
LL=Y(s)y(t)=L
parciales:fraccionescon
+L
LL=Y(s)y(t)=L
s
1+
)2s(s+
1
)1s(s
1=
s
1+Y(s)=
:(2)en(3)endosustituy
--
--
-
-
-
--
-
-+
-1
-
-
--
-
- -
-
--
-
-2
-
--
+s2
-
2)
72
)t6cosht6(cosh2
1)t(x
6s
6
62
1 L
2
1
6s
s L
2
1)t(x
6s
6
62
1
6s
s
2
1 L)s(X L)t(x
6s
6
62
1
6s
s
2
1
6s
1s
2
1
s6
1s
2
1)s(X
2
1
1s
s6)s(X
1s
5s1)s(X
2
1
1s
5)s1)(s1()s(X
2
1
1s
5s1)s(X
1s
)s(X5)s(Y)s1)(s(X
2
1
:)2(y)1(igualando
)2....(1s
)s(X5)s(Y
)s(X5)s(Y)1s(
)s(Y)s(X5)s(sY
)s(Y)s(X5)0(y)s(sY
yLxL5yx5Ldt
dy L
)1)....(s1)(s(X2
1
2
)1s)(s(X1)s(Y
)1s)(s(X1)s(Y2
)s(Y211s)s(X
)s(Y2)s(X)1()s(sX
)s(Y2)s(X)0(x)s(sX
yL2xLy2xLdt
dx L
yx5dt
dy
0)0(y,1)0(x,y2xdt
dx
2
1-
2
1-
22
1-1-
2222
22
tttt
11
11
111
2
1
2
11
22
e3
1e3
21e3
13
1e3
23
2)t(y
2s
1L
31
s
1L
31
1s
1L
32
s
1L
32
2s
21
s
21
L3
21s
1
s
1L
32)s(YL
:parcialesfraccionescon
)6s)(1s(
6L
62
5
)6s)(1s(
sL
2
5)s(YL
6s
6
62
1
6s
s
2
1
1s
5
1s
)s(X5)s(Y
:)2(en)3(dosustituyen
73
3)
s1
1
s
1 L
2
3)t(y
s1
1
s
1
)s1(s
1
:parcialesfraccionescon
)s1(s
1
2
3 L)s(Y L)t(y
)3....()s1(s
1
2
3)s(Y
s
3s22)s(Y
___________________
s
4)s(sY2)s(sX2
s
1)s(Y2)s(sX2
)2por)2(ndomultiplicaepreviament(
:)1(de)2(dotanres
)2....(s
2)s(sY)s(sX
s
2)0(y)s(sY)0(x)s(sX
1 L2dt
dyL
dt
dx L
2 Ldt
dy
dt
dx L
)1....(s
1)s(Y2)s(sX2
s
1)s(Y2)0(x2)s(sX2
1 Ly L2dt
dx L2y2
dt
dx2 L
2dt
dy
dt
dx
0)0(y,0)0(x,1y2dt
dx2
1-
1-1-
t
1-1-
2
1-
2
1-
1-
2
22
22
22
22
t
1-1-
1-
e2
3
2
3t2)t(x
s1
1 L
2
3
s
1 L
2
3
s
1 L2)t(x
s1
1
2
3
s
1
2
3
s
12 L)t(x
X(s) L)t(x
s1
1
2
3
s
1
2
3
s
12)s(X
s1
1
2
3
s
1
2
3
s
1
2
3
s
1
2
1)s(X
s1
1
s
1
s
1
2
3
s
1
2
1)s(X
s1
1
s
1
s
1
)s1(s
1
:parcialesfraccionescon
)s1(s
1
2
3
s
1
2
1)s(X
s
1
)s1(s
1
2
32)s(sX2
:)1(en)3(dosustituyen
e2
3
2
3)t(y
s1
1 L
2
3
s
1 L
2
3
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1
s
1 L
2
3)t(y
74
4)
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{ } { } { }
{ } { }
{ } { } { }
( ){ } { }
{ } { } { } { }34
13s
31
14s
41
4s
21
5s
11
4s
2
5s
111
452s
4
3s
22s2
1
23
2
2
22
3
22
2
22
2
2
2
2dt
y2d
2dt
x2d
2dt
y2d
2dt
x2d
3
22
3
2
2
2
2dt
y2d
2dt
x2d
2
2dt
y2d
2dt
x2d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t3
1t
24
1ty
L3
2L
4
1LLty
LsYLty
3s
2
s
1sY
s
4
s
2sYs2
s
4sYss8sXs
s
2sYss8sXs
1a2dotanres
2s
4sYss8sXs
s
40y0sysYs
0x0sxsXs
t L4L L
t4 L L
1s
2sYss8sXs
s
20y0sysYs
0x0sxsXs
t L L L
t L L
00y00yt4dt
yd
dt
xd
00x80xtdt
yd
dt
xd
-=
=-=
===
-==
-=
=--
=+-
=--
=--
---
=-
=
=+-
=--
+--
=+
=
===-
===+
+
--
+
---
- --
-
-
+
)(
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)....()(
)(
___________________
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)....()()(
))´()()((
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)....()()(
)´()()(
)´()()(
)´(,)(,
)´(,)(,
!!
43
14
11
13
1
5
11
4
1
54
1
54
322
232
2
245
22
t24
18t
3
1)t(x
s
!4L
!4
1
s
1L8
s
!3L
!3
2)t(x
s
1L
s
8L
s
2L)t(x
s
1
s
8
s
6L)t(x
s
1
s
8
s
2)s(X
s
1s8
s
2
s
1)s(X
s
4
s
1
s
2s8)s(Xs
s
4
s
2
s
1ss8)s(Xs
:)2(en)3(dosustituyen
75
5)
tt
1
2
11
2
11
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
2
2
t
2
2
2
2
2
2
2
2
t
2
2
2
2
e3
1te
3
1
3
1)t(y
1s
1L
3
1
1s
1L
3
1
s
1L
3
1)t(y
1s3
1
1s3
1
s3
1L)s(YL)t(y
)3....(1s3
1
1s3
1
s3
1
1ss3
1)s(Y
:parcialesfraccionescon
1ss3
1)s(Y
1s
1)s(sY3
_____________________________
1s
1)s(Y32)s(Xs
0)s(Y)1s(32)s(Xs
:)1(a)2(dotanres
)2....(1s
1)s(Y32)s(Xs
1s
1)s(Y3)0´(x)0(sx)s(Xs
te LyL3dt
xd L
te Ly3dt
xd L
)1....(0)s(Y)1s(32)s(Xs
0)s(Y3)0(y3)s(sY3)0´(x)0(sx)s(Xs
0 Ly L3dt
dy L3
dt
xd L
0 Ly3dt
dy3
dt
xd L
0)0´(y,0)0(y,tey3dt
xd
2)0´(x,0)0(x,0y3dt
dy3
dt
xd
t2
1
3
1
2
11
32
1
1
32
232
22
232
2
22
2
22
2
et2
1t1)t(x
1s
1L
s
!2L
!2
1
s
!1L
!1
1
s
1L)t(x
1s
1
s
1
s
1
s
1L)t(x
)s(XL)t(x
1s
1
s
1
s
1
s
1)s(X
1s
1
s
1
s
1
s
1
s
2)s(X
1s
1
s
1
s
1
)1s(s
1
:pàrcialesfraccionescon
)1s(s
1
s
1
s
2)s(X
1s
1
s
12)s(Xs
1s
1
1s
1
)1s(
1
s
12)s(Xs
1s
1
1s3
1
1s3
1
s3
132)s(Xs
:)2(en)3(dosustituyen
76
4.4.2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales con Scientific WorkPlace.
Para evaluar un Sistema de Ecuaciones Diferenciales con Scientific WorkPlace, seguir el siguiente
procedimiento:
a) Escribir el Sistema de Ecuaciones Diferenciales en un campo matricial previamente insertado, de
una columna y los renglones necesarios para las ecuaciones diferenciales del sistema y sus
condiciones iniciales correspondientes. Bajo la siguiente secuencia, en el editor del Scientific
WorkPlace:
Dimensions
sombreando las expresiones con sus condiciones iniciales, y hacer “click” en el icono:
Editándose el sistema de Ecuaciones Diferenciales en forma Matemática (color rojo), indicado con
el ícono:
b) Elegir compute del menú principal, elegir en seguida el submenú Solve ODE y finalmente elegir el
submenú Solve Exact.
Los resultados de los ejemplos resueltos de la sección anterior, se pueden comprobar con Scientific
WorkPlace, tal como se muestra en seguida:
Insert
Matrix…
Rows______
Columns____
77
1)
dx
dt x y
dy
dt 2x
x0 0
y0 1
, Exact solution is: yt 2
3et 1
3e2t , xt 1
3e2t 1
3et
2)
dx
dt x 2y
dy
dt 5x y
x0 1
y0 0
, Exact solution is: yt 5
2211 et 11 5
2211 et 11 , xt 1
2211 et 11 1
2et 11 1
2211 et 11 1
2et 11
3)
2 dx
dt 2y 1
dx
dt dy
dt 2
x0 0
y0 0
, Exact solution is: xt 2t 3
2et 3
2, yt 3
2 3
2et
4)
d2x
dt2 d2y
dt2 t2
d2x
dt2 d2y
dt2 4t
x0 8
x0 0
y0 0
y0 0
,Exact solution is: xt 1
3t3 1
24t4 8, yt 1
24t4 1
3t3
Los cuales se encuentran en el siguiente archivo:
SISTEMAS DE EDO..tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior. En este archivo se presentan más ejemplos resueltos y ejercicios a resolver.
78
E
R
L
C
4.4.3. Aplicaciones. Circuitos RCL en Paralelo
Un sistema físico se puede describir por medio de una sola ecuación diferencial, por ejemplo el
movimiento de un sistema masa-resorte o la respuesta de un circuito en serie. Sin embargo si se
sujetan dos (o mas resortes juntos o si se forma un circuito en paralelo o con más de una malla,
como el de la figura, se necesitará un sistema de dos o más ecuaciones diferenciales
simultáneas para describir la respuesta del circuito.
Es importante recordar que se deben cumplir los principios de conservación de la energía, expresadas
mediante los teoremas de Nodos y Mallas de las Leyes de Kirchhoff:
Para cualquier nodo del circuito:
0si
Para cualquier malla del circuito:
0sV
79
E=120 V
L=1 H
C=0.2 F
R1=10 Ώ
i1
i2
i3
A
I II
R2=5 Ώ
Ejemplos.
1) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
Amp)(i)(i)(i 0000 321
Aplicando las Leyes de Kirchhoff:
Nodo A:
)....(iii
is
1
0
321
Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:
Malla I:
80
)....(idt
di
:ordenando
dt
dii
dt
diLEiR
V
212010
012010
0
0
21
12
121
Malla II:
81
055155
05501505
0515
055155
7120
10
0000
120100
112010
12010
62
6055155
0555510
05510
45
5
1
401055
01055
301055
01
0
2121
212211
2121
2121
21
3211
211
21
21
2121
21212
21212
213
23
3
233
233
21332
)s(I)s(I)s(sI)s(sI
)s(I)s(I)(i)s(sI)(i)s(sI
iidt
di
dt
di
iidt
di
dt
di
)....(s
)s(I)s(sI
:)(i)(i)(iinicialesscondicionelasde
s)s(I)(i)s(sI
idt
di
idt
di
:)(y)(aLaplacededaTransformalaaplicando
)....(iidt
di
dt
di
iidt
di
dt
di
dt
di
)ii(iidt
d
dt
di
:)(en)(dosustituyen
)....(iii
:)(ecuacionlade
)....(dt
dii
dt
di
dt
didt)t(ii
dt
d
:derivando
)....(idt)t(ii
iRdt)t(iC
iR
V
L 5L L L 5L-
L L
L L L
L L
82
:)(en)(dosustituyen
)....(et)s(i
sss
)s(i
sss
)s(I)s(i
:)(aInversadaTransformalaaplicando
)....(
sss
ss
s)s(I
:parcialesfraccionesaplicando
)....(
ss
s)s(I
)s(s
s)s(I
ss
s
ss
s)s(I
s
s)s(Is
s
s)s(Is
s
s)s(I)s()s(
)s(I)s()s(I)s(s
s
)s(I)s(s
)s(I
s)s(
s
)s(I
s)s(I
:)(endosustituyeny)s(Idespejando
)....()s(I)s()s(I)s(
t
710
11121
26
11
13
121
26
13
11
1
121
261
11
131
121
26
13
11
1
121
261
11
131
121
26
10
10
13
11
1
121
261
11
131
121
26
13
11
1
13
120
9
13
11
1
13
120
1113
1120
1113
11120
1113
11
5
600
160011135
16005565
1600135150
01351501
600
013510120
15
10120
8
8013515
13
11
2
22
222
22
2
2
2
22
222
22
22
22
222
22
21
1
21
L L L
L L
1-1-1-
1-1-
83
213
13
11
2
1
321
3211
321
321
321
321
21
21
51511
151331
3380
1331
3380
22
130
121
14780
13
11
1
1331
33801
1331
33801
11
1301
121
14780
13
11
1
1331
33801
1331
33801
11
1301
121
14780
10
14
13
11
1
1331
33801
1331
33801
11
1301
121
14780
13
11
1
11
131
11
13
121
2601
11
1301
121
14780
13
11
1
11
131
11
13
121
2601
11
1301
121
14780
1213
13
13
11
1
11
131
11
13
13
11
1
12
12
13
11
1
121
2601
11
1301
121
14780
13
11
1
121
2601
11
1301
121
260120
120
13
11
1
121
261
11
131
121
2610
iii
:)(en)(y)(dosustituyen
)....(ett)t(i
ssss
)t(i
ssss
)s(I)t(i
:)(aInversadaTransformalaaplicando
)....(
ssss
)s(I
ssss
)s(I
ssss
)s(I
:)(en)(dosustituyen
)...(
ss
ss
:)(deominterultimoalparcialesfraccionesaplicando
)....(
ssss
)s(I
ssss
)s(sI
ss
ss)s(sI
t
L L L L
L L
1-1-1-1-
1-1-
84
E=10 V
R1=1 Ώ
C=0.2 F
L=2 H
i1
i2
i3
A
I II
R2=2 Ώ
)....(ett)t(i
etett)t(i
t
tt
161331
3094
22
130121
1331
3094
121
26
11
13
121
26
1331
3380
1331
3380
22
130
121
14780
13
11
2
3
13
11
13
11
2
3
2) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
Amp)(i)(i)(i 1000 321
Aplicando las Leyes de Kirchhoff:
Nodo A:
)....(iii
is
1
0
321
Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:
Malla I:
85
)....(idt
di
:ordenando
idt
di
iRdt
diL
V
202
02
0
0
12
12
112
Malla II:
02212
002202
02
022
6352
01522
1000
005022
05
052
53
5022
02
24
4
1
3052
1052
52
01
0
131
13311
131
131
13
133
321
11333
13
3
13
3
131
131
312
13
3
331
331
11332
)s(I)s(sI)s(sI
)s(I)(i)s(sI)(i)s(sI
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di
dt
di
idt
di
dt
di
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)s(sI)s(I)s(sI
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dt
di
dt
dii
dt
di
:)(y)(aLaplacededaTransformalaaplicando
)....(idt
di
dt
di
i)ii(dt
d
:)(en)(dosustituyen
)....(iii
:)(ecuacionlade
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dt
di
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ddt)t(iii
dt
d
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V
L L L 2L
L L
L L L 2L
L L
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)....(
ssss
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:)(de)s(Idespejando
)....()s(sI)s(I)s(
)s(I)s(sI)s(sI
tt
14
2
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2
5
2
152
2
3
52
3
2
5
1
2
5
2
1
1
2
3
5252
3
811
132
5
2
3
12
2
5
1
2
5
2
1
1
2
3
2
5
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2
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2
1
1
2
3
11
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1
2
5
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1
1
2
3
2
5
2
1
54
10
2
5
2
1
54
5124
54
5124
522
522
54
5124
522
2
1
52
3
522
5124
2
1
52
3
2
12
522
1
52
3
2
1
2
12
5252
3
2
112
52
3
98
92
112
7
852
3
6
71212
122
3
2
5
2
1
11
11
1
221
21
1
2
1
1
11
11
13
3
13
3
31
131
L
L L L L
1-
1- 1-1-1-
87
)....(etee)t(i
eteeeei
iii
:)(en)(y)(dosustituyen
)....(etee)t(i
sss
)t(i
sss
)s(I)t(i
sssss
)s(I)t(i
:)(aInversadaTransformalaaplicando
)....(
ssss
s
)s(I
ssss
s
)s(I
:)(en)(y)(dosustituyen
)....(
ssss
s
s)s(
s
)...(
ss
s)s(
s
:parcialesfraccionesaplicando
ttt
ttttt
ttt
192
25
2
7
2
25
2
16
2
5
2
3
41813
182
25
2
16
2
1
1
2
25
2
1
1
2
1
2
5
16
2
5
1
2
25
2
1
1
2
1
2
5
16
2
5
1
2
25
2
5
15
2
1
1
2
1
2
5
15
2
5
16
17
17
2
5
1
2
25
2
5
15
2
1
1
2
1
52
1
2
5
2
5
16
2
5
15
2
5
12
2
5
2
1
1
3
1
52
1
3
5
2
3
2
5
16
141615
16
2
5
15
2
5
12
2
5
2
5
2
552
15
2
1
1
3
1
52
1
3
5
2
152
2
1
2
5
2
1
2
2
1
2
1
2
5
2
5
2
1
2
312
2
1
2
1
2
5
1
23
233
233
23
23
2
L L L
L L
L L
1-1-1-
1-
1-
1-
1-
88
Resolviendo los sistemas de ecuaciones diferenciales de los circuitos RCL en paralelo anteriores
mediante Scientific WorkPlace, se tiene:
1)
di1
dt i2 120
5 di1
dt 15 di2
dt 5i1 5i2 0
i10 0
i20 0
, Laplace solution is: i1t 120 120e13
t cos 1
3t 2 2 sin 1
3t 2 , i2t 120 120e
13
t cos 1
3t 2
i3 i1 i2 120 120e13
t cos 1
3t 2 2 sin 1
3t 2 120 120e
13
t cos 1
3t 2 120 2 e
13
t sin 1
3t 2
2)
2di3
dt 5i3 di1
dt 0
2di3
dt 2 di1
dt i1 0
i10 1
i30 1
, Laplace solution is: i3t et cosh 1
6t 6 1
26 sinh 1
6t 6 , i1t 61 s6
12s66s625
i2 i1 i3 et cosh 1
6t 6 1
26 sinh 1
6t 6 61 s6
12s66s625
Tal solución se encuentra en el siguiente archivo:
CIRCUITOS RCL EN PARALELO.tex
Al que se puede tener acceso directamente haciendo doble “click” en el botón izquierdo del mouse
sobre el ícono anterior.
89
5. PRÁCTICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADAS DE LAPLACE Y
APLICACIONES, CON SCIENTIFIC WORKPLACE.
INSTRUCCIONES. Para prácticas siguientes se recomienda seguir la estructura, formato y detalles
que se dan en el Apéndice C. Reporte de Práctica, en la página 103.
PRÁCTICA NO. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Objetivo: El alumno evaluará Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden mediante
Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y Papel.
Actividad con el docente. Evaluar de forma manual las siguientes Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias de Primer Orden. Corroborando los resultados con Scientific WorkPlace, que se dan en
seguida:
1) 2x 3 dy
dx x 3, Exact solution is: C2 1
2x 3
4ln x 3
2
2)dy
dx 3cos 2x, Exact solution is: C4 3
2sin2x
3)dy
dx y
xy 0, Exact solution is: x x2 C3 , x2 C3 x
4) x2 dy
dx y2 0, Exact solution is: 0, x
C 5x1
5) 3x 2 dy
dx 2x 3y 0, Exact solution is: 1
3x2x2 C2
6) 6y x dy
dx 4x y 0, Exact solution is: 1
6x 1
623x2 12C6 , 1
6x 1
623x2 12C6
7)dy
dx 1
x y 3, Exact solution is: 3
2x C 4
x
8)dy
dx 2y x, Exact solution is: 1
2x 1
4, C2e2x 1
2x 1
4
9) xdy
dx 6y 3xy
43 , Exact solution is: 1
C 26x2x3
90
Planeación de Trabajo. Evaluar, bajo la dinámica de trabajo anterior, las siguientes Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias de Primer Orden
1) ex dx
dy 1
x2
2)
dy
dx ysec x 0
y0 4
3) x y dy
dx x y
4) xdy
dx y 2 xy
5) ex dx
dy 1
x2
6)
dy
dx ysec x 0
y0 4
7)dy
dx y tanx sec x
8) xdy
dx x 2y ex
9) y2 dy
dx 2xy3 6x
10) 3xy2 dy
dx 3x4 y3
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los ejercicios anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
91
PRÁCTICA NO. 2 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR
Objetivo: El alumno evaluará Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden Superior mediante
Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y papel.
Actividad con el docente. Evaluar de forma manual las siguientes Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias de Orden Superior. Corroborando los resultados con Scientific WorkPlace, que se dan en
seguida.
1) y 6y 5y 0, Exact solution is: C7ex C8e5x
2) 2y 3y 2y 0, Exact solution is: C10 cos 1
47 x e
34
x C11 sin 1
47 x e
34
x
3) y 2y 0, Exact solution is: C15 cos 2 x 1
2C14 C16 sin 2 x
4) y 3y 4y 12y 0, Exact solution is: C18e2x C19e2x C20e3x
5)
y 3y 2y 0
y0 0
y0 1
y0 0
, Exact solution is: 1
2e2x 2ex 3
2
6) y y x, Exact solution is: C2ex x C3ex
7) y 25y 2e5x, Exact solution is: C5e5x C6e5x 1
5xe5x 1
50e5x
8) y y cos2x, Exact solution is: C9 cos x 1
6cos 2x C10 sin x 1
2
9) y 3y 4y 12y 0, Exact solution is: C18e2x C19e2x C20e3x
10)
y 3y 2y 2x2 1
y0 0
y0 1
, Exact solution is: x2 2ex e2x 3x 3
92
Planeación de Trabajo. Evaluar bajo la dinámica de trabajo anterior, las siguientes Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias de Orden Superior
1) 2d2y
dx2 6dy
dx 11y 0
2)d2y
dx2 121y 0
3)d2y
dx2 5dy
dx 2y 0
4)d3y
dx3 2d2y
dx2 4dy
dx y 0
5)
d2y
dx2 5dy
dx 6y 0
y0 0
y0 2
6)d2y
dx2 6dy
dx 16y x 3
7)d2y
dx2 16y cos 2x
8)d2y
dx2 10dy
dx 8y ex
9)d3y
dx3 d2y
dx2 2dy
dx y x2 9
10)
d2y
dx2 14dy
dx 33y 0
y0 1
y0 1
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los ejercicios anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
93
PRÁCTICA NO. 3 LA TRANSFORMADA Y LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Objetivo: El alumno evaluará Transformadas de Laplace de funciones f(t) y Transformadas Inversas
de Laplace de funciones F(s) mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y
rapidez del mismo.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y papel.
Actividad con el docente. Evaluar las siguientes Transformadas de Laplace de funciones f(t) y
Transformadas Inversas de Laplace de funciones F(s). Corroborando los resultados con Scientific
WorkPlace, que se dan en seguida.
1) 5, Laplace transform is: 5s
2) 3t4, Laplace transform is: 72
s5
3) t 5, Laplace transform is: 5s 1
s2
4) t 22, Laplace transform is: 4s 4
s2 2
s3
5) 5cos 6t, Laplace transform is: 5 s
s236
6) e4t , Laplace transform is: 1
s4
7) 3cos 5 t, Laplace transform is: 3 s
s25
8) 2s6
s29, Is Laplace transform of 2cos 3t 2sin 3t
9) 1
s23s, Is Laplace transform of 1
3 1
3e3t
10) s
s22s3, Is Laplace transform of 1
4et 3
4e3t
11) 1
1s2, Is Laplace transform of sinh t
12) 2
s22s1, Is Laplace transform of 2tet
13) 1
ss21, Is Laplace transform of 1 cos t
14) 2s
ss1, Is Laplace transform of 2 et
94
Planeación de Trabajo. Evaluar bajo la dinámica anterior, las siguientes Transformadas de Laplace
de funciones f(t) y Transformadas Inversas de Laplace de funciones F(s).
1) 1 3t 4t2
2) t 23
3) e1t
4) cos 7tsin 4t
3
5) t sin22t
6) te4t
7) t cosh 3t sinh 4t
8) s6
ss22s
9) s
s9 s2
s210s
10) 1
s4 3s
4s2s
11) s2
s2s
12) s1
s29
13) s4
s35s2
14) s1
2s22s
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los ejercicios anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
95
PRÁCTICA NO. 4 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Objetivo: El alumno evaluará El alumno evaluará Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
mediante Scientific WorkPlace, resaltando la facilidad de manejo y rapidez del mismo.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y papel.
Actividad con el Docente. Evaluar de forma manual los siguientes Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias. Corroborando los resultados con ScientificWorkPlace, que se dan en
seguida.
1)
dx
dt x y
dy
dt 2x
x0 0
y0 1
, Exact solution is: yt 2
3et 1
3e2t , xt 1
3e2t 1
3et
2)
dx
dt x 2y
dy
dt 5x y
x0 1
y0 0
, Exact solution is: yt 5
2211 et 11 5
2211 et 11 , xt 1
2211 et 11 1
2et 11 1
2211 et 11 1
2et 11
3)
2 dx
dt 2y 1
dx
dt dy
dt 2
x0 0
y0 0
, Exact solution is: xt 2t 3
2et 3
2, yt 3
2 3
2et
4)
d2x
dt2 d2y
dt2 t2
d2x
dt2 d2y
dt2 4t
x0 8
x0 0
y0 0
y0 0
,Exact solution is: xt 1
3t3 1
24t4 8, yt 1
24t4 1
3t3
5)
d2x
dt2 3dy
dt 3y 0
d2x
dt2 3y tet
x0 0
x0 2
y0 0
y0 0
,Exact solution is: xt 1
2t2 3t et 1, yt 1
3et 1
3tet 1
3
96
Planeación de Trabajo. Evaluar bajo la dinámica de trabajo anterior, los siguientes Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
1)
dx
dt y
dy
dt x 2y
x0 0
y0 1
2)
dx
dt y 0
dy
dt 3x y
x0 1
y0 0
3)
dx
dt dy
dt 1
dy
dt y 0
x0 1
y0 1
4)
d2x
dt2 2dy
dt t
d2x
dt2 dy
dt 1
x0 0
x0 0
y0 0
y0 0
5)
d2x
dt2 dy
dt 0
2 d2x
dt2 dy
dt t2
x0 0
x0 1
y0 0
y0 0
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los ejercicios anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
97
E=100 V
L=5 H
C=0.02 F
R1=100 Ώ
i1
i2
i3
A
I II
R2=50 Ώ
PRÁCTICA NO. 5 APLICACIONES. CIRCUITOS RC, RL Y RCL EN SERIE Y EN PARALELO
Objetivo: El alumno Analizará Circuitos Eléctricos RC, RL y RCL en serie y en paralelo y resolverá sus
respectivas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias resultado de tal análisis, mediante Scientific
WorkPlace.
Equipo y Material: PC, Software Scientific WorkPlace, Impresora y papel.
Planeación de Trabajo. Analice los siguientes Circuitos Eléctricos Transitorios. Calculando lo que se
te pide y corroborando los resultados con Scientific WorPlace.
1.- A un circuito R-C en serie en el que la resistencia es de 50 ohms y la capacitancia es de 3x10-6
Faradios, se le aplica una tensión de 120 volts. (a) Calcular la carga q(t) en el capacitor y la corriente
i(t) en la resistencia si q(0) = 0. (b) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la resistencia,
respectivamente cuando t=0.015 seg. (c) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la
resistencia, respectivamente cuando t→∞
2.- A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de 0.5 Henrys y la resistencia es de 100
ohms, se le aplica una tensión de 60 volts. (a) Calcular la corriente i(t) si i(0)=0. (b) Determine también
la corriente cuando t= 0.05 seg. y cuando t→∞.
3.- Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=6/4 Henrys,
R=20 ohms, C= 1/100 Faradios, E= 210 Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.
4.- Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=5 Henry, R=10
ohms, C= 1/25 Faradios, E= 10cos t (Volts). Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.
5.- Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
98
E=30 V
R1=2 Ώ
C=0.01 F
L=5 H
i1
i2
i3
A
I II
R2=3 Ώ
Amp)(i)(i)(i 0000 321
6.- Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:
Bajo las siguientes condiciones iniciales:
Amp20i0i0i 321 === )()()(
Desarrollo de la Práctica. Reportar y comparar sus procedimientos y resultados manuales con los
resultados del software, de los circuitos anteriores.
Observaciones y Conclusiones. Reportar sugerencias para mayor provecho y utilidad del software
utilizado, de acuerdo a tus necesidades. Para finalmente reportar Conclusiones.
Bibliografía. Reportar bibliografía consultada
99
6. APENDICES
Apéndice A. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales
udxd
uarcsenu
dxd
udxduuu
dxd
udxduuu
dxd
udxduu
dxd
udxduu
dxd
udxdsenuu
dxd
udxdusenu
dxd
vdxdvvuu
dxdvvuvu
dxd
udxdnnunux
d
v
vdxduu
dxdv
vu
dxd
udxdvv
dxduuv
dxd
nnxnxdxd
udxdccu
dxd
vdxdu
dxdvu
dxd
xdxd
h
xfhxf
h
eesenhh
eeh
ee
ee
senh
ee
eesenh
ee
eesenh
h
h
senh
21
1 .63
cotcsccsc .62
tansecsec .61
2csccot .60
2sectan .59
cos .58
cos .57
ln1 .56
1 .55
25 .54
)( .53
1.52
.51
)( .50
1 .49
,)()(
0lim
dx
df(x) .48
21csc .47
2
cosh
1sec .46
coshcoth .45
coshtanh .44
2cosh .43
2 .42
2csc12coth .41
2sec2tanh1 .40
122cosh 39.
AS.HIPERBÓLIC
RICASTRIGONOMÉT SIDENTIDADE .III
DERIVADALA
DE DEFINICIÓN
.DERIVACIÓN DE REGLAS IV.
0.x lnxe 36. xe
prerp
(e 38. q-p
eq
e
pe
35. qp
eq
ep
e 31
ua 34.
n(ab) 37. u(a
6. 5.
3.
2.
xx
ub
vuava
ua
ubuuvvvuavaua
sensen
sensensen
sensensen
sensen
sensensen
sensensen
sensen
sensen
sensen
sensensen
sensen
sensensen
ca
sen
hipco
sen
oc
ac
ac
hip
oc
hip
ac
oc
hip
ac
hip
ocsen
ln .32
).
b
a .30
aa) 33. 29.
AS.LOGARITMIC Y
CIÓNEXPONENCIA DE REGLAS II.
222coscos .28
22cos2 27.
2cos
2cos2coscos .26
2cos
22 .25
)cos()cos(21 .24
)cos()cos(21coscos .23
)()(21cos .22
)()(21cos .21
2tan1
tan22tan 20.
12cos222122cos2cos .19
cos22 .18
tantan1
tantan)tan(.17
coscos)cos( 16.
coscos)( 15.
tantan1
tantan)tan( 14.
coscos)cos( 13.
coscos .12
2cos1212cos 11.
cos2-1212 .10
2csc2cot1 .9
2sec2tan1 .8
12cos2 7.
..
.cot
.sec
..csc .4
.
..tan
.cos
.. .1
RICAS.TRIGONOMÉT SIDENTIDADE I.
θ
100
cuuudu
cuuudu
csenuudu
cuudu
cuuduu
cuuduu
cuudu
cuudu
csenuudu
cuduusen
udxduhuhu
dxd
udxduhuhu
dxd
udxduhu
dxd
udxduhu
dxd
udxdsenhuu
dxd
udxdusenhu
dxd
xgdxdxgf
dxdxgf
dxd
udxdueue
dxd
udxdauaua
dxd
udxd
auua
dxd
udxd
uu
uarcdxd
udxd
uu
uarcdxd
udxd
uuarc
dxd
udxd
uu
dxd
udxd
u
udxd
cotcsclncsc .88
tanseclnsec .87
lncot .86
seclntan .85
csccotcsc .84
sectansec.83
cotcsc .82
tansec .81
cos .80
cos .79
N.INTEGRACIÓ DE REGLAS V.
cothcsccsc.78
tanhsecsec.77
2csccoth.76
2sectanh.75
cosh.74
cosh.73
,)()))((())(( .72
.71
ln .70
ln1 log .69
12
1 csc .68
12
1 sec .67
21
1 cot .66
21
1 arctan .65
21
1 arccos .64
2
2
CADENA
LA DEREGLA
ba
afbfdxxf
cau
aaudu
auuaauudxau
cauarcsenauaudxua
cauau
aaudu
cauau
auadu
cau
aauu
du
cau
auadu
causen
ua
du
caa
dua
cee
cuudu
cucuduru
cun
duu
vduuvudu
chuuduhu
chuuduhu
cuuduh
cuuduh
cuhudu
csenhuhudu
csenhuudu
cuudu
csenhuudu
cusenhudu
uu
uu
r
nn
)()()( .113
arctan1 .112
ln22
.111
22 .110
ln21 .109
ln21 .108
sec1 .107
tan1 .106
.105
ln1 .104
.103
ln .102
-1r ,ln , -1r , .101
11 .100
, .99
csccothcsc .98
sectanhsec .97
coth2csc .96
tanh2sec .95
21tanhlncsc .94
1tansec .93
lncoth .92
coshlntanh .91
cosh .90
cosh 89.
22
222
2222
22222
22
22
1
22
1
22
1
22
1
1
PARTES PORNINTEGRACIÓ
101
Apéndice B. Tablas de Transformadas de Laplace
f(t) F(s)
1
1 s
1
2
t 2
1
s
3
tn 1ns
!n
4
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103
Apéndice C. Reporte de Práctica (1)
Descripción de los puntos a desarrollar en la estructura del reporte de una práctica
de matemáticas
I. CARÁTULA
1. Escribir con mayúscula y negrita el nombre de la institución correspondiente,
centrada y con su logotipo a la izquierda.
2. Escribir en seguida con mayúscula y negrita el nombre de la división
correspondiente, centrada y con su logotipo a la derecha. Al mismo nivel del logotipo
de la institución.
3. Escribir el nombre de la práctica, centrada, a tres interlineados.
4. Escribir el número de la práctica alineado a la izquierda, a tres interlineados.
5. Escribir los integrantes del equipo de alumnos que realizó la práctica, a un
interlineado cada integrante, centrados.
6. Escribir la fecha en que se realizó la práctica (dd/mm/aa) alineada a la izquierda, a
tres interlineados.
7. Escribir el periodo escolar correspondiente (año-semestre) en que se realizó la
práctica, a tres interlineados.
II. OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA
1. Describir detalladamente los objetivos generales de la práctica.
2. Describir detalladamente los objetivos específicos de la práctica, si existen.
III. MARCO TEÓRICO.
Desarrollar manera detallada (evitando demostraciones matemáticas) el marco teórico
mediante el cual se sustenta el tema a tratar. Así como la descripción breve del software
utilizado, con las rutinas y librerías del mismo utilizadas específicamente en el tema a
tratar.
IV. MATERIAL Y EQUIPO
Enlistar y describir de manera breve el material y equipo a utilizar (tipo, serie, cantidad,
etc.)
104
V. CONTENIDO DEL REPORTE DE PRÁCTICA
El reporte de la práctica deberá contener de manera detallada los siguientes puntos:
a) Ejemplos
Realizar junto con el docente y de manera detallada por lo menos 5 ejemplos de inducción
al tema de la práctica correspondiente, con el software propuesto.
b) Ejercicios de práctica
Resolver de manera individual y/o colectiva, en la sesión correspondiente, una serie de 20
ejercicios por lo menos, del tema la práctica correspondiente.
c) Cotejo de resultados
Cotejar algunos de los resultados de algunos ejercicios obtenidos en la práctica
correspondiente, en forma manual (hoja-lápiz), con los obtenidos mediante el software
elegido.
d) Ejercicios complementarios
Con el objetivo de seguir ejercitando, resolver por lo menos 5 ejercicios la práctica
correspondiente, mediante las dos formas: manual y mediante el software propuesto,
comparando sus resultados.
Nota: Los problemas resueltos de las secciones anteriores se deberán integrar al reporte
de práctica, exportándolos como dibujos al procesador de texto mediante el cual se edite
la práctica, ya que Scientific WorkPlace es compatible con Microsoft.
VI. CONCLUSIONES
Escribir las conclusiones obtenidas de la práctica correspondiente, analizando las
características y viabilidad de Scientific WorkPlace, describiendo sus ventajas y
desventajas en la solución de problemas de abordados en la práctica correspondiente.
VII. BIBLIOGRAFÍA
Escribir la bibliografía consultada el desarrollo y reporte de la práctica correspondiente.
(1) El formato del reporte será con letra Arial, tamaño 12 e interlineado de 1.5
espacios.
105
6. BIBLIOGRAFIA DE APOYO
1. Autor: ZILL DENNIS G.
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES
Editorial: THOMPSON
Edición: QUINTA
2. Autor: EDWARDS JR. C. H. Y PENNEY DAVID E.
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES CON APLICACIONES
Editorial: ED. PRENTICE-HALL
Edición: PRIMERA
3. Autor: KREYSIG ERWIN.
Titulo: MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA, VOL. 1 Y II (5.1 EDICIÓN)
Editorial: ED. LIMUSA
Edición: PRIMERA
4. Autor: BORELLI/COLEMAN
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES
Editorial: ED. OXFORD
Edición: PRIMERA
5. Autor: MARCUS
Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES
Editorial: CECSA
Edición: PRIMERA
106
6. Autor: SWOKOWSKI EARL W.
Título: CALCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA
Editorial: GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA
Edición: PRIMERA.
10. SCIENTIFIC WORKPLACE V. 5.50 BUILD 2953. MACKICHAN SOFTWARE, INC.
WEB SITE: http://www.makichan.com