Mecànica Fonamental

Luis Carlos PardoLuis Carlos Pardo Despatx C2.4, EEBE

Tema3: Mecànica d’N cossos

1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules

2.- Centre de masses

3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules

4.- Energia d’un sistema de partícules

5.- Xocs5. Xocs

Tema3: Mecànica d’N cossos

1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules

2.- Centre de masses

3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules

4.- Energia d’un sistema de partícules

5.- Xocs5. Xocs

Forces sobre un sistema de N partículesForces externes

són causades per agents físics que no pertanyen al sistema considerat

Forces internessón causasdes per les forces que es fan

entre les partícules dins el sistema

iF

m

ji ijF F

F

im

imjmijF

Apliquem la segona llei

N

Apliquem la segona llei

1i ji i i

jF F m a

Per a cada partícula i es cumpleix :

N N N Si ara sumem per TOTES les partícules i :

1 1 1i ji i

i j i

F F F F

1 1 , 1 , 10

N N N N

ji ij ji ij iji j i j i j

F F F F F

Per la tercera llei Fij=-Fji

1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules

2.- Centre de masses

3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules

4.- Energia d’un sistema de partícules

5.- Xocs5. Xocs

Ens diu el centre de gravetatcondicions d’equilibri

Ens permet dividir els moviments en Centre de masses + moviments interns

(MOLT important per estudiar moviments moleculars)(MOLT important per estudiar moviments moleculars)

N

Centre de Masses (CM)

1

1 1 1 1

··

i iN N N Ni

ext i i i i i CM CMNi i i i

i

m aF F m a m m a Ma

m

Definim per tant:

1 N

1i

ext CMF Ma 1

1 ·CM i ii

a m aM

Acceleració del CM

1

1 ·N

CM i ii

v m vM

Velocitat del CM

1

1 ·N

CM i ii

R m rM

La lluna NO orbita al voltant de la terra!!! Orbiten tots dos al voltant del CM

1iPosició del CM

Mlluna=7·1022kg

d t ll=3.84·105 km 1 ·0 · 1100

N

i ii terra lluna t ll

CM t llN

m rm m dr i d

M terra=6·1024kg

d t-ll 3.84 10 km

1

100CM t llNterra lluna

ii

m mm

T11

Kepler+CM+Periode de l’estel (visible)=massa del forat negre!!!GAA: gaa.upc.edu

1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules

2.- Centre de masses

3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules

4.- Energia d’un sistema de partícules

5.- Xocs5. Xocs

Quantitat de moviment per un sistema de partícules:N

i iN N m v

Quantitat de moviment per un sistema de partícules:

dP

1

1 1

1

i iN Ni

i i CM CMNi i

ii

P p m Mv Pm

CMexterna

dPFdt

dP

(recordem:Fint=0 per la 3ª llei de Newton!)

Si la força externa es nul·la el moment linial es conserva 0CMdPdt

Exemplep

m v m v vi=1

El centre de masses es mou amb el moment de la bola inicial!!!

blanca blanca i ii totselscolors

m v m v

Quantitat de moviment total respecte el centre de massesQ p

Sabem (hem demostrat) : TOTALCM PP

Sabem (hem demostrat) : TOTALCM

La posició del CM respecte del CM es (0,0,0) SEMPRE. 0VLa posició del CM respecte del CM es (0,0,0) SEMPRE.

(és la posició d’ell respecte a ell mateix)Per tant no es mou i la velocitat del CM respecte al CM és (0,0,0)

0 CMCMV

Per tant el moment TOTAL respecte al CM és:Per tant, el moment TOTAL respecte al CM és:

0 CMCMCMCMTOTALCM VMPP

El moment total PTOTAL respecte al CM es ZERO

P1, P3, T1, T4, T5, T6, T12, T14, T18

1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules

2.- Centre de masses

3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules

4.- Energia d’un sistema de partícules

5.- Xocs5. Xocs

Estenem les defincions d’un cos a N cossosun cos n cossos

2 21 1N

E M21E m v Energia cinètica

un cos n cossos

2 2

1 2 2c i i CMi

E m v M v

, 2c iE m v Energia cinèticaSi el moviment és de translació!

Energia Potencial “interna”

1 1 1

12

N N N N

ij iji j i j i

U U U

W U 1 1,1

N

i i jj

U U

Si Fext=0!!!!

212 CME mv U 21

2E mv U

dE

Energia MecànicaSi el moviment és de translació

220dE

dt

1 F b i t d tí l1.- Forces sobre un sistema de partícules

2.- Centre de masses

3.- Quantitat de moviment en un sistema de partícules

4.- Energia d’un sistema de partícules

5.- Xocs5. Xocs

XocUn xoc és el procés en el que dos o més partícules només interactuenUn xoc és el procés en el que dos o més partícules només interactuen molt intensament i a molt curta distància: això implica que Fext es pot considerar zero.

1m1( )iniv

1( )fiv1m

2m 2( )iniv 2( )fiv2m

( ) ( )ini fiP P

Si Fext=0!!!!!!

1 1, 2 2, 1 1, 2 2,ini ini fi fim v m v m v m v

ext

Large Hadron Colliderhttp://lhc.web.cern.ch/lhc/

TOFTOF en FRMIIwww.frm2.tum.de/en/science/spectrometry/toftof/index.html

Suposem un xoc elàstic unidimensional

1m 2m1iv 2iv Per exemple un xoc frontalv1i>0 ; v2i<0

1m 2m1iv 2iv Per exemple un xoc per darrerav1i>0 ; v2i>0 i v1i>v2i

1m 2m1iv 2 0iv Per exemple un xoc amb m2 quieta

V2i=0V2i 0

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 12 2 2 2i i f f

i i f f

m v m v m v m v

m v m v m v m v

Fext=0Conservació del moment

ElàsticConservació de energia

1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v Fext=0Conservació del moment

Calculem la velocitat final... Però el sistema és horrible

Objectiu: canviar l’equació de conservació per una sense quadrats

2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2i f f im v m v m v m v

m v m v m v m v

Simplifiquem el “1/2”i

Agrupem termes amb1 1 1 1 2 2 2 2i f f im v m v m v m v Agrupem termes amb

m1 i m2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

i f i f f i f i

i f f i

m v v v v m v v v v

m v v m v v

Apliquem:

2 2a b a b a b

1 1 2 2i f f iv v v v

Dividim la primera equacióentre la segona f f

v v v v

g

I ja està...Però normalment agrupem

P t t t i ió d “ ió” d l’ i é li l

2 1 2 1f f i iv v v vPerò normalment agrupem Les velocitats inicials i finals

Per tant tenim una nova equació de “conservació” de l’energia que és lineal en v

Què significa això:SI EL XOC ÉS ELÀSTIC

Per exempleSI EL XOC ÉS ELÀSTIC

1 2imv 3mvINICIAL

2 1i iv vVelocitat relativa d’aproximació inicial1m 2m

1 2iv s 2 3imv s

2 1 5i imv v s

Velocitat relativa d’allunyament final 2 1f fv v 1 ?imv s 2 ?i

mv s

FINAL

v v v v

1m 2m

2 1 5f fmv v 2 1 2 1f f i iv v v v 2 1 5f fv v s

No sabem les velocitats finals, però s’allunyaran a la mateixa velocitat relativa

Calculem, per fi, les velocitats finals

Elà ti C ió d i 2 1 2 1

1 1 2 2 1 1 2 2

f f i i

i i f f

v v v vm v m v m v m v

Fext=0Conservació del moment

ElàsticConservació de energia

2 2 1 2 11

1 2

2 i if

m v m m vv

m m

Aïllant: 1 1 1 2 22

1 2

2 i if

m v m m vv

m m

Suposem que v2i=0

1 12 im v1iv 2 0iv 1 2 1im m v

Obt i 1 12

1 2

ifv

m m

1m 2m1iv 1 2 1

11 2

ifv

m m

Obtenim

Si volem que la segona partícula tingui velocitat màxima: m2 mooolt petita

1 2 11 1

1 2

if i

m m vv v

m m

1 12 1

1 2

2 2if i

m vv vm m

1 2m m

Si m1=m2: transferència total de moment! Moderador en centrals nuclears

2m v 1 2 11

1 2

0if

m m vv

m m

1 12 1

1 2

2 if i

m vv vm m

... I si el xoc NO es elàstic... I si el xoc NO es elàstic

2 1 2 1f f i iv v v v ElàsticConservació de energia No es cumpleix

1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v Fext=0Conservació del moment

Si el xoc no és elàstic i es perd energia: la velocitat relativa final serà més petita que la inicial

2 1 2 1f f i iv v v v

Si el xoc no és elàstic i es perd energia: la velocitat relativa final serà més petita que la inicial

Si el xoc no és elàstic i es guanya energia: la velocitat relativa final serà més gran que la inicial

2 1 2 1f f i iv v v v

En qualsevol cas no es igual la velocitat relativa inicial i final

2 1 2 1f f i iv v v v

Definim el coeficient de restitució per quantificar la pèrdua “de velocitat relativa”

2 1f fv ve

v v

2 1i iv v

Coeficient de restitució

Classificació dels xocsClassificació dels xocs

El sistema és conservatiuElàstics 1e Inelàstics 1e

El sistema no és conservatiu

i i fiP P No hi ha forces externes

ini fiP P

L’energia cinètica es conserva L’energia cinètica no es conserva

El moment es conserva

( ) ( )c ini c fiE E ( ) ( )c ini c fiE E

Completament inelàstics

Implosiól tí l d id

Explosiótí l d ll é tí lles partícules queden unides una partícula dona lloc a més partícules

1( ) 2( )fi fiv v1( ) 2( )ini iniv v

v v v v2 1

2 1

0f f

i i

v ve

v v

2 1

2 1

f f

i i

v ve

v v

P5, P9, P14, P19, P24, t2, t3

Xocs de dues partícules des del sistema centre de masses:

1 2 2 2

1 2CM

m v m vvm m

La velocitat de la partícula 1, respecte al CM:La velocitat de la partícula 1, respecte al CM:

21 1 1 2

1 2CM

mu v v v vm m

La velocitat de la partícula 1, respecte al CM:

12 2 1 2

1 2CM

mu v v v vm m

Les dues partícules es mouen en la mateixa direcció però en sentit contrari!!!!

Des de “fora” Des del C.M.

m1( )iniv

1( )fiv1m

1m 1m

2m 2( )iniv 2( )fiv2m

El Jardín de las delicias Hieronymus Bosch (1480)El Jardín de las delicias, Hieronymus Bosch (1480)

El Jardin de las delicias, El bosco, 1480