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16.Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.
Índice
16.Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.......................................................1
16.1.Introducción........................................................................................................................................................................1
16.2.Sistemasdeecuacioneslineales.................................................................................................................................2
16.3.Sistemasequivalentes.....................................................................................................................................................3
16.4.Rangoocaracterísticadeunamatriz.......................................................................................................................3
16.5.MétododeGauss...............................................................................................................................................................4
16.6.MétododeGauss-Jordan................................................................................................................................................5
16.7.RegladeCramer................................................................................................................................................................6
16.8.TeoremadeRouché-Frobenius..................................................................................................................................6
16.9.Eliminacióndeparámetros..........................................................................................................................................7
16.10.Resolucióngráficadesistemasdeecuacioneslineales.Interpretacióngráfica..................................8
16.11.Resumen.............................................................................................................................................................................9
16.12.Conclusión.......................................................................................................................................................................10
16.13.Bibliografía......................................................................................................................................................................10
Oposiciones de Secundaria (Matemáticas)
Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.
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16. Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.
16.1. Introducción
LEGISLACIÓN Actualmente, el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato viene
determinadoporelsiguientemarcolegislativoestatalyautonómico:
•RealDecreto1105/2014,de26dediciembre.
•Decreto48/2015de14demayodelConsejodeGobierno.
•Decreto52/2015,de21demayo,delConsejodeGobierno.
CURRÍCULO
EnÁlgebra, lamayoríadelosproblemasdiariossepuedenresolveratravésdeexpresionespolinómicas lineales (de primer grado), repartir una cantidad en partes proporcionales, etc. Lospolinomioscuadráticosserepresentanenlosproblemasbidimensionales(áreas,sistemasdeadicióny producto de dos variables, etc.). Los cúbicos se presentan en los problemas tridimensionales(volúmenes,pesos,etc.).
En términos curriculares, las bases del presente tema comienzan en la introducción delconceptodeÁlgebraen1ESOyseacentúanen2ESOconlaincorporacióndesistemasdeecuacionesque van consolidándose hasta el final del segundo ciclo de Educación Secundaria y se refuerzan ycompletanenBachilleratoconlaintroduccióndelconceptodematrizysusaplicaciones.
EncuantoaloscontenidosyprocedimientosrelacionadosconlasEcuacionesenlaetapadelaESO,destacanel empleodel lenguaje algebraicoparageneralizarpropiedades sencillas, simbolizarrelacionesyresolverproblemasatravésdeecuaciones–enunprimermomentodeprimergradoyaumentandosudificultadamedidaqueseavanzaenloscursos-ysistemas.EnBachillerato,porsuparte, lasenseñanzas tienencomo finalidadproporcionaralalumnado lasherramientasnecesariasparalainterpretacióngráficadeecuacionesysuutilizaciónenresolucióndeproblemas.
O.D.
Lasecuacionesnospermitenresolverproblemasmuylaboriosos,latraduccióndeunproblemapodrásermásomenosdifícilenfuncióndelacomplejidaddelplanteamientodelproblema,perounavez trasladadoaunsistemadeecuaciones, la resoluciónse reducea la resolucióndel sistema,pormétodosquedependendelnúmerodeecuacioneslinealesydeincógnitas,paradosotresincógnitasusaremos los métodos clásicos como sustitución, igualación y reducción, pero si aumentamos elnúmero de incógnitas y/o ecuaciones necesitaremos otrosmétodos para resolver sistemas conmecuacionesynincógnitastalescomolaRegladeCramer,elTeoremadeRouché,elMétododeGauss,etc.
ProyectoGauss, asícomootrasaplicaciones,esunaherramientaquenospuede facilitar laintroducción de todos estos conceptos en los distintos niveles de Secundaria y Bachillerato, quecomienzanconunaintroducciónalÁlgebrayalcanzanecuacionesyrepresentacióndelasmismasdesegundogrado.
HISTORIA
Desdeloscomienzosdelahistorianoesdifícilencontrarlanecesidadderesolverecuacionesparaencontrarlarespuestaaalgunacuestión.Encontramosejemplosderesolucióndesistemasenlasantiguastablillasbabilónicas,enlasquehaysistemasresueltosmedianteunmétodosimilaralquehoyconocemos como el método de reducción. También tenemos ejemplos de métodos geométricosutilizadospor losgriegosde laantigüedadpara laresolucióndesistemasounmétodo,enun librochinoquedatadelsigloIIIa.C.queequivalealmétodomatricialhoyconocidoporlaregladeCramer.PeroaligualqueocurrióentodaslasramasdelasMatemáticasfueesenciallaevolucióndellenguajealgebraicoparaeldesarrollodelosestudiossobreecuacionesysistemasdeecuaciones.
Apartirdel sigloXVII seencuentranestudios sobre la resoluciónydiscusiónde sistemasdeecuacioneslineales,queiránligadosaconceptosrelacionadosconlasmatrices.
Acontinuación,desarrollaremoseltemasiguiendoelíndiceanteriormenteexpuesto.
Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.
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16.2. Sistemasdeecuacioneslineales
16.2.1. DefinicionespreviasUnaexpresiónalgebraicaesunconjuntodenúmerosy letras ligadaspor lossignosde lasoperaciones
algebraicas.Unaecuaciónesunaigualdaddeexpresionesalgebraicas.
Seaunaexpresióndelaforma: , sonvariables, ,con uncuerpoconmutativo,,esunaecuaciónlinealconnincógnitas,llamándosemiembrosalasexpresionesqueestánaamboslados
de la igualdadytérminosa lasexpresionesseparadaspor lossignosdesumayresta, sinoestándentrodeparéntesis.
Lasvariables sellamanincógnitas; ,coeficientes;y ,eltérminoindependiente.
Así,sellamasistemadeecuacionesconnincógnitasycoeficientesenKaunconjuntodemecuacioneslineales:
,donde denotaelcoeficientede enlai-ésimaecuación
Surepresentaciónmatriciales:AX=b,siendoA= ,donde:
AeslamatrizdecoeficientesyA|beslamatrizampliada.
Ejemplo:
Resolverelsistemaesencontrarunan-upla queverifiquelasecuaciones,yadichan-uplaselellamasoluciónoraízdelsistema.
Llamamos sistema incompatible al que carece de soluciones y si admite alguna solución se dicecompatible, quepuede tenerunaúnica solución, llamándosesistemacompatibledeterminado, o infinitassolucionessiendounsistemacompatibleindeterminado.
Sellamasolucióngeneraldelsistemaalconjuntodesolucionesdelsistema,ydentrodeellascadaunaenparticularesunasoluciónparticulardelsistema.
16.2.2. SistemasdeecuacioneslinealeshomogéneosynohomogéneosSeaAx=b,sediceunsistemahomogéneosibesigualacero,ynohomogéneosibesdistintodecero.
Propiedades1) Si essolucióndeunsistemahomogéneo tambiénessolución
2) Si sonsolucionesdeunsistemahomogéneo tambiénessolución
3) essolucióndetodosistemahomogéneo
4) Elconjuntodetodaslassolucionesdeunsistemadeecuacioneslinealeshomogéneo,esunsubespacio
vectorialdeKn.
1 1 ... n na x a x b+ + = ix ,ia b KÎ KK R=
ix ia b
11 1 1 1
21 1 2 2
1 1
...
...
...
n n
n n
m mn n m
a x a x ba x a x b
a x a x b
+ + =ìï + + =ïíïï + + =î
!ija KÎ jx
( ) 1( ,..., )ij n mxna a a K= Î
1a =
111 12 1
21 22 2 21 2
1 2
, , , y b
n
nn
m m mmn
aa a ba a a b
a a a
a a ba
æ öæ ö æ ö æ öç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷= = = =ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷
è ø è ø è øè ø
!" " ""
1 2
2
1 2
2 523 7
x xxx x
+ =ìï =íï + =î
3 2
1 20 11 3
xA Kæ öç ÷= Îç ÷ç ÷è ø
3
527
b Kæ öç ÷= Îç ÷ç ÷è ø
1( ,..., )na a
1( ,..., )ny y y= 1( ,..., )nky ky kyÞ =
, ´y y ´ ´ky k yÞ +
0 (0,...,0)=
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16.3. Sistemasequivalentes
Dossistemasconelmismonúmerodeincógnitas(aunquenotenganelmismonúmerodeecuaciones)sedicenequivalentessitienenlasmismassoluciones,esdecir,sitodasolucióndelprimeroessolucióndelsegundoyviceversa.Ejemplo:x+y=2y2x+2y=4.
Propiedadfundamentaldeequivalencia:Unsistemadeecuacioneslinealesesequivalenteacualquiersistema que resulte de realizar en él alguna operación elemental. Se llaman operaciones elementales a lassiguientestransformaciones:
1) Cambiardeordenlasecuaciones.
2) Multiplicarlosdosmiembrosdelaecuaciónporunnúmerodistintodecero.
3) Sustituirunaecuacióndelsistemaporunacombinaciónlinealdeellaydelasrestantessiemprequeel
coeficientedelaecuaciónsustituidaseadistintodecero.
4) Aplicar, reiteradamente, cualesquiera de las operaciones anteriores, en particular, sumarle a una
ecuacióncualquiercombinaciónlinealdelasdemás).
Demostración: Simplificamos la notación, llamando , el sistema deecuacionesSseescribe: .Loscasos1)y2)sonobviosyel4)eslaaplicaciónreiteradade1)y2).Paraelcaso3), essolucióndelsistema siysolosi ,peroestoesequivalentea:
16.4. Rangoocaracterísticadeunamatriz
Sea A una matriz de orden mxn, cualquier matriz que se obtenga de ella suprimiendo ciertas filas ycolumnas se llama submatriz de A, y se llamamenor de ordenh deA al determinante de una submatrizcuadradaqueseobtienedeAeliminandom-hfilasyn-hcolumnas.
UnmenoresnonulosidichodeterminanteesdistintodeceroytodomenornonulodeordenhdeAsedenominamenorprincipaldeordenh.
SedicequeAtienerangoh(rg(A)=h)cuandoenellaexiste,porlomenosunmenordeordenhdistintodecero,siendonuloslosmenoresposiblesdeordensuperiorah.
Ejemplo:Verificamosprimerotodoslosmenoresdeorden3yluegolosdeorden2.
Consecuencias1) Siintercambiamosfilas(ócolumnas)novaríaelrango.
2) Siunafila(ócolumna)estáformadaporceros,suprimimosesafilayelrangonovaría.
3) rg(matriznula)=0.
4)
5) rg(A)=rg(At).
6)
1 1 2 2( ) -i i i in n ie x a x a x a x bº + +…+!
( ) 0, para i=1,...,mie x º!
a!
( ) 0, para i=1,...,mie x º! ( ) 0, para todo iie x º
!
1 2 1 2( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0, es decir, es solución del sistema
( ) 0, para i=2,...,m ( ) 0, para i=2,...,mi i
e e e x e xe e xa a
aa
+ = + =ì ìí íº ºî î
! ! ! !!
! !
1 2 1 23 0 1 41 1 1 1
A- -æ ö
ç ÷= -ç ÷ç ÷- -è ø
1 2 1 1 2 2
3 0 1 0 3 0 4 0
1 1 1 1 1 1
- -
= - =
- - -
2 1 2 1 1 2
0 1 4 0 3 1 4 0
1 1 1 1 1 1
- - - -
- = - =
- - -
1 20 6 6 0
1 0= - = - ¹
, 0 rg(A) min(m,n)A Mmxn" Î £ £
, rg(A)=n detA 0A Mnxn" Î Û ¹
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DadaslfilasdeA ,siningunadeellassepuedeexpresarcomocombinaciónlinealdelasotras,sedicequeesasfilassonlinealmenteindependientes(llii).
Teorema: La característica de una matriz coincide con el número máximo de sus filas ó columnaslinealmenteindependientes.
Demostración:ParaprobarelteoremavamosaverquesilacaracterísticadeA(matrizdadaanteriormente)eshyαrepresentaunmenorprincipaldeordenhdelamisma,cadaunadelasfilasdeAquenofiguranenαes una combinación lineal de las h filas que constituyen dicho menor, las cuales son linealmenteindependientes.Enefecto,supongamosparasimplificarlanotaciónqueunmenorprincipalestáconstituidopor loselementoscomunesa lashprimeras filasy columnasdeA.Entonces—paraunvalor cualquiera Icomprendidoentreh+1ym,ambosinclusive,ytodoslosvaloresj=1,...,nsetiene:
puesparaj=1,...,h,estedeterminantetienedoscolumnasiguales,yparaj=h + 1, ..., n, es un menor de la matriz A cuyo orden es mayor que lacaracterísticah.Desarrollado (5)por loselementosde laúltimacolumna,tendremos: a1j α1 + ... + ahj αh + aIj α = 0, donde α1, ..., αh denotan,respectivamente,losadjuntosdeloshprimeroselementosdedichacolumna.
Comoα≠0,sesiguequeparatodoslosvaloresj=1,...,nseverifica: esdecir,
cada elemento de la fila I-resulta de sumar sus correspondientes de las filas 1ª, ..., hª, previamente
multiplicadosporlosnúmeros .PortantoesafilaIesunacombinaciónlinealdelashprimeras.
QueningunadelashprimerasfilasdelamatrizAsepuedeexpresarmedianteunacombinaciónlinealdelasotrash–1esinmediato,puesentalcasounadelasfilasdelmenorαseríacombinaciónlinealdelasrestantesy,enconsecuencia(recordarpropiedadesdelosdeterminantes),α=0encontradeloquehemossupuesto.Análogamentesedemuestraelresultadoparacolumnas,conloquequedademostradoelteorema.
16.5. MétododeGauss
ElmétododeGaussconsisteentransformarelsistemadeecuacionesdadoenotroequivalente,peroconlacondicióndequecadaecuacióncontengaunaincógnitamenos.
Deestaforma,encontrandolasolucióndelsegundo(cuyométododeresoluciónessencillo),tendremoslasolucióndelsistemaoriginal.
Así pues, si partimos de un sistema de m ecuaciones
con n incógnitas tal que:
Setratadeobtenerunsistemademecuacionesconnincógnitasequivalentealdado(1)ycuyaresoluciónseamássencilla.ElmétododeGaussmuestra la formadehacerestatransformacióndeunsistemaaotrodemásfácilresolución.
Elsistemaequivalenteaobtener,conmecuacionesynincógnitastendrálaprimeraecuaciónconnincógnitas,lasegundaconn-1incógnitas, laterceraconn-2,yasísucesivamente, hasta lam-ésima ecuación que tendráunasolaincógnita.
Se trata, pues, de transformar un sistema en otroequivalente de forma que sean nulos todos loscoeficientes que estén por debajo de la diagonalprincipalenlamatrizdecoeficientes.Seobtieneasí,unsistematriangularoescalonadodeformageneral(2).
Evidentemente,porel teorema fundamentaldeequivalenciadesistemas,desdeunprincipio, sepuedesuprimircualquierecuaciónquepuedaobtenerseapartirdelasotrasecuaciones.
ElmétododereduccióndeGausseselmásrápidopararesolverunsistemadenecuacioneslinealesconnincógnitascuandoloscoeficientessonnuméricos.
(1 l m)£ £
11 1 1
1
1
0 (5)
h j
h hh hj
I Ih ij
a a a
a a aa a a
=
!
" # # "
#
!
11
hIj j hja a a aa
a a= - - -!
1 , , haaa a
-!
11 1 1 1
21 1 2 2
1 1
......
(1)
...
n n
n n
m mn n m
a x a x ba x a x b
a x a x b
+ + =ìï + + =ïíïï + + =î
!
11 1 12 2 1 1
22 2 2 2
' ' ... ' ' ' ... ' '
(2)
' '
n n
n n
mn n m
a x a x a x ba x a x b
a x b
+ + + =ìï + + =ïíïï =î
!
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Pararazonarloalgebraicamenteutilizaremosunsistemade3ecuacionescon3incógnitasporcomodidad
yclaridadenlaescritura:
1. Suponiendo :
a.
b. c.
2. Suponiendo ,(denotandolosnuevoscoeficientescomobij)resulta:
a.
b.
3. Obteniendo el siguiente sistema escalonado: , que se resuelve fácilmente
despejandoenlaterceraecuación: ,ysucesivamente:
Se suele hacer también escalonado directamente en forma matricial sin necesidad de escribir lasincógnitas.
16.5.1. Discusióndelsistemaa. Puedeacontecerquecomoresultadodelaaplicacióndelastransformacionesanterioresalasecuaciones
de un sistema, aparezca alguna ecuación absurdade primermiembro idénticamente nulo y segundomiembro distinto de cero (0 · xi = dij,dij ≠ 0), entonces el sistema dado es equivalente a un sistemaincompatibley,portanto,incompatible.
b. Ningunaecuaciónesdelaforma0·xi=dij≠0;entonceselsistemaescompatibleydeterminadosielnúmerodeincógnitasesigualalnúmerodeecuacionesnotriviales.
c. Puedesucedertambiénqueaparezcaalgunaecuaciónenlaqueelprimermiembroseaidénticamentenuloyelsegundomiembroigualacero(0·xi=0),entonceselsistemadadoesequivalenteaunsistemaenelqueunaomásincógnitaspuedentomarvaloresarbitrariosy,portanto,indeterminado.Estoes,elnúmero de incógnitas esmayor que el número de ecuaciones no triviales, y por tanto, el sistema escompatibleindeterminado(admiteinfinitassoluciones).
16.6. MétododeGauss-Jordan
Consiste en transformar el sistema de ecuaciones en otro equivalente, de forma que cada ecuacióncontengaunasolaincógnita,convirtiendoelsistemaconmatrizAenunadiagonalmediantetransformacioneselementalesquenoalteranelrangonilasolucióndelsistema,comohemosvisto.
Seaelsistema3x3:
1. Suponiendo :a. b. c.
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b
+ + =ìï + + =íï + + =î
11 0a ¹
1312 11 11 1 2 3 1
11 11 11
/ ´aa bF a x x x Fa a a
® + + = ®
2 1 21 22 12 21 11 2 23 13 21 11 3 2 21 1 11 2´ 0 ( / ) ( / ) / ´F F a a a a a x a a a a x b a b a F- ® + - + - = - ®
3 1 31 32 12 31 11 2 33 13 31 11 3 3 31 3 11 3´ 0 ( / ) ( / ) / ´F F a a a a a x a a a a x b a b a F- ® + - + - = - ®
22 0b ¹1 12 2 13 3 14
22 2 23 3 24
32 2 33 3 34
b
x b x b x bx b x b
b x b x b
+ + =ìï + =íï + =î
232 22 2 3 24 22 2
22
/́ / ´́bF b x x b b Fb
® + = ®
3 2 32 33 32 23 22 3 34 32 24 22 3´ ´́ ( / ) / ´́F F b b b b b x b b b b F- ® - = - ®
1 12 2 13 3 14
2 23 3 24
33 3 34
x c x c x cx c x c
c x c
+ + =ìï + =íï =î
343
33
cxc
= 13 34 23 341 14 12 24
33 33
( )c c c cx c c cc c
= - - -
11 12 13 14 12 13 14 12 13 14 12 13 14
21 22 23 24 22 23 24 23 24 23 24
31 32 33 34 32 33 34 33 34 34
1 1 1
( ) ( ) 0 ( ) 0 1 ( ) 0 1
0 0 0 0 0 1
a a a a b b b c c c d d d
M A a a a a M B b M C c c M D d d
a a a a b b b c c d
b b= ® = ® = ® =
æ ö æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b
+ + =ìï + + =íï + + =î
11 0a ¹
1 11 1 12 2 13 3 14 1/ ´F a x b x b x b F® + + = ®
2 1 21 22 2 23 3 24 2´ ´F F a b x b x b F- ® + = ®
3 1 31 32 2 33 3 34 3´ ´F F a b x b x b F- ® + = ®
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2. Suponiendo ,resulta:a. b. c.
3. Y,porúltimo:a. b. c.
ElmétododeeliminacióndeGauss-Jordánpresentalaventajadequeobtenemosdirectamentelasolucióndelsistema.Enlaprácticaserealizaconlasmatricesampliadas,así:
16.7. RegladeCramer
SedicequeunsistemadeecuacioneslinealesAX=BesunsistemadeCramersielnúmerodeecuacionesesigualalnúmerodeincógnitasyeldeterminante∆delamatrizdecoeficientesesdistintodecero,porlotanto,escuadrada.
Regla de Cramer: Todo sistema de Cramer AX=B tiene solución única: ,
donde∆ieseldeterminantedelamatrizqueseobtienealsustituirena,lacolumnai-ésimaporlacolumnadelostérminosindependientes,parai=1,…,n.
Demostración:ElsistemaAX=B,conAmatrizregular,esequivalenteaX=A-1B(bastapermultiplicarporA-1enAX=ByporAenX=A-1B),luegotienesoluciónúnicaX=A-1B,asíesquesiαijeseladjuntodelelemento(i,j)enA,lasoluciónes:
Ejemplo:
Nota:Comopodemosobservar,pararesolverunsistemadeCramerdenecuacionesconnincógnitasesprecisocalcularn+1determinantes.Poreso,paralaresoluciónnuméricadesistemasenlosquenmayorque3serecomiendaelmétododeGauss-Jordan.
16.8. TeoremadeRouché-Frobenius
Seaunsistemademecuacionesconnincógnitas,AX=B,siendo:
, ,
Teorema:Secumplenlassiguientesafirmaciones:
i) AX=Bescompatiblesi,ysólosi,rang(A|B)=rangA.ii) AX=Btienesoluciónúnicasi,ysólosi,rang(A|B)=rangA=n.iii) AX=B,tienemásdeunasolución(y,portanto,infinitas)si,ysólosi,rang(A|B)=rangA<n.
22 0b ¹
2 22 2 23 3 24 2/́ ´́F b x c x c F® + = ®
3 2 32 33 3 34 3´ ´́ ´́F F b c x c F- ® = ®
1 2 12 1 13 3 14 1´ ´́ ´́F F b x c x c F- ® + = ®
3 33 3 34 3´́ / ´́ ´F c x d F® = ®
2 23 3 2 24´́ ´́ ´F c F x d- ® =
1 13 3 1 14´́ ´́ ´F c F x d- ® =
11 12 13 14 12 13 14 13 14 14
21 22 23 24 22 23 24 23 24 24
31 32 33 34 32 33 34 33 34 34
1 1 0 1 0 0
( ) ( ) 0 ( ) 0 1 ( ) 0 1 0
0 0 0 0 0 1
a a a a b b b c c d
M A a a a a M B b M C c c M D d
a a a a b b b c c d
b b= ® = ® = ® =
æ ö æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø
1 21 2, , , n
nx x x DD D= = =D D D
!
1 11 1 1 11 1 1 11
1 1 1
1 1 1n n n
n n nn n n nn n n
x b b bX A B
x b b b
a a a a
a a a a
-
Dæ ö æ öæ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷= = = = =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷D D Dç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷Dè ø è øè ø è ø è ø
! !
" " # " " " # " "
! !
1 2 1 2 1 1 2 2 12 1 1 2 2 1 2 1 2
3 - 2 1 2 2 10 3 1 1 0 1 1 3 0
2 2 2 1 1 7 0, 1, z 37 7 7
3 0 1 3 1
x z zx y z A x yx y z
- - - - -- -
+ = - -ì- -ï + - = Þ = - = - Þ = = = = - = = -í - - -ï - + = -î
( )11 1
1
... ( ) ...
...
n
ij mxn
m mn
a aM A a K
a a
æ öç ÷= = Îç ÷ç ÷è ø
1
.
.
m
b
B K
b
æ öç ÷ç ÷= Îç ÷ç ÷è ø
11 1 1 11 1 1 1
( 1)
1 1 1
... ...'( | ) ... ....
... ...
n n n
mx n
m mn m m mn n m
a a b a x a x bM A B K
a a b a x a x b+
+ + =æ ö ìïç ÷= Î ® íç ÷ïç ÷ + + =è ø î
Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.
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Esdecir,lacondiciónnecesariaysuficienteparaqueunsistemadeecuacioneslinealestengasoluciónesquelamatrizdeloscoeficientesylamatrizampliadaseandeigualrango.
Demostración:Supongamosqueelsistemaadmitesolución,estoes,queexistenunconjuntodevaloresξ1,...,ξntalesquemultiplicandoporelloslascolumnas1,2,...,n,deMysumandoacontinuaciónseobtienelacolumnaformadaporlostérminosindependientesb1,b2,bm.Entoncesestacolumnaescombinaciónlinealdelasanterioresynoinfluye,porconsiguiente,enlacaracterísticadeM’y,portanto,lasdosmatricesMyM’tienenelmismorango.
Recíprocamente,veamosquesiambasmatricestienenelmismorangoh,elsistemaadmitesolución.
SeaentoncesαunmenorprincipaldelamatrizM,quetambiénes,entonces,menorprincipaldelamatrizM’.Sinperdergeneralidadpodemossuponerqueαestáformadoporloselementoscomunesalashprimerasfilas y columnas, pues siemprepodremos ordenar las ecuaciones y las incógnitas para que sea así. En estascondicionesllamaremosincógnitasprincipalesalashprimerasyecuacionesprincipalesalashprimeras.Comocadaunadelasfilas(h+1),(h+2),...,mdelamatrizM’escombinaciónlinealdelashprimeras,laecuacióncorrespondienteeslamismacombinaciónlinealdelashprimerasecuacionesy,portanto,consecuenciadeellas.Suprimiendolasecuaciones(h+1),...,mdelsistemaseobtieneunsistemaequivalenteaésteformadoporlash-ecuacionesprincipales.
Estenuevosistemalopodemosescribirasí:
Elcualparacadaconjuntodevaloresqueasignemosarbitrariamentealasincógnitasxh+1,xh+2,...,xn,pasaaserunsistemadeCramer(hecuacionesconhincógnitasycuyamatrizdeloscoeficientesesno-singular)y,portanto,escompatible.Enconsecuencia,porserequivalentealdado,éstetambiénescompatible.Enresumenparalaresolucióndeunsistemadeecuacioneslinealesseprocederádelaformasiguiente:
CalculadalacaracterísticadelamatrizMsegúnlasnormasdadas,parahallarlacaracterísticadeM’bastaráorlarelmenorprincipalαconlacolumna(b1,...,bm)ycadaunadelas(m-h)filasquenofiguranenél.Seobtiene
asídeterminantesdelaforma: .
Siestosdeterminantes(llamadosdeterminantescaracterísticosdelaecuacióncorrespondiente)sontodosnulos,lacaracterísticadeM’estambiénhpuestoquelacolumnadelostérminosindependientesescombinaciónlinealdelasqueentranenelmenorprincipal.Elsistemaesportantocompatible.Si,porelcontrario,hayalgunodistintodecero,lacaracterísticadeM’esmayorquehyelsistemaesentoncesincompatible.
Enelcasodequeelsistemaseacompatiblesilacaracterísticahesmenorqueelnúmerondeincógnitaselsistemaesindeterminado,obteniéndosecadasoluciónasignandounconjuntodevaloresarbitrariosalasn-hincógnitasnoprincipalesycalculandoacontinuaciónelvalor,yadeterminado,quecorrespondeacadaincógnitaprincipal.Si lacaracterísticaesigualalnúmerodeincógnitas, lasoluciónesúnica,puesnohayincógnitasnoprincipales.
En el estudio de un sistema de ecuaciones lineales, los diversos casos se pueden resumir de la formasiguiente,dondehyh’representan,respectivamente,lascaracterísticasdelasmatricesMyM’:
a. h<h’⇒SistemaIncompatible
b. h=h’⇒SistemaCompatible
16.9. Eliminacióndeparámetros
Discutir o estudiarun sistemade ecuaciones lineales en cuyos coeficienteso términos independientesaparecenunoovariosparámetrosesclasificarloen funcióndeestos,esdecir,averiguarparaquévaloresdedichosparámetroselsistemaescompatible,determinadooindeterminado,oincompatible.
11 1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1
... ... ... ' .... ( ') ...
... ... ...
n n h n
r hn n h h hh hn
a x a x b a a aA rang A rang
a x a x b a a a
+
+
+ + =ì æ öï ç ÷= ® = ®í ç ÷ï ç ÷+ + =î è ø
11 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
... .......
... ...
h h h h n n
h hh h r hh h hn n
a x a x b a x a x
a x a x b a x a x
+ +
+ +
+ + = - - -ìïíï + + = - - -î
11 1
1
1
1
( 1,..., )
h
hh h
I Ih I
a a b
I h ma a ba a b
æ öç ÷ç ÷ = +ç ÷ç ÷è ø
!
" # " "
#
!
Sistema Determinado Sistema Indeterminado
h nh n= ®ì
®í < ®î
Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.
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Paraelloseestudiaelrangodematrizdecoeficientesyelrangodelamatrizampliadaconlostérminosindependientes,yseaplicaelteoremadeRouché-Frobeniusparadiscutirlasoluciónencadaunodeloscasosposiblesenfuncióndelosdistintosvaloresdelosparámetros.
Ejemplo:Discutirsegúnlosdistintosvaloresdekelsistema: .Paraellocalculamosel
determinantedelamatrizdecoeficientes: ,cuyasraícessonk=1yk=−2.Paraestos
valoresdelparámetroconsideramosloscasos:
a)∀κ∈ℝ≠{–2,1}rg(M)=rg(M’)=3⇒Sistemacompatibledeterminado.
b)Sik=−2entoncesrg(M)=2,rg(M’)=3⇒Sistemaincompatible.
c)Sik=1entoncesrg(M)=rg(M’)=1⇒Sistemacompatibleindeterminado.
16.10. Resolucióngráficadesistemasdeecuacioneslineales.Interpretacióngráfica
Recordemosquelaecuaciónalgebraicadeunarectaenelplanoesax+by+c=0.Deigualforma,laecuaciónalgebraicadeunplanoenelespacioesax+by+cz+d=0.
Elestudiogeométricodelaposiciónrelativaderectasyplanosydelcálculodelospuntosdeinterseccióndeellossetraduceenelproblemaalgebraicodediscutiryresolversistemasdeecuacioneslinealesdedosotresincógnitasdependiendodesiestamosenelplanooenelespaciotridimensional.
16.10.1. PosiciónrelativadedosrectasenelplanoSeanr/ax+by+c=0ys/a'x+b'y+c'=0dosrectasenelplano.Paraestudiarsuposiciónrelativa,consideramos
el sistema . Consideramos lasmatrices: asociadas al
sistema.
Puedenpresentarselossiguientescasos:
r(A)=r(A*)=2,entonceselsistemaes compatible determinado. Tienesolución única, y por tanto lasrectassecortanenunpunto.
r(A)=r(A*)=1,entonceselsistemaes compatible indeterminado.Tiene infinitas soluciones, y portantolasrectassoncoincidentes.
r(A)=1, r(A*)=2, entonces elsistema es incompatible, es decirlas dos rectas no tiene ningúnpunto en común y por tanto sonparalelas.
16.10.2. PosiciónrelativadedosplanosenelespacioSeanπ/Ax+By+Cz+D=0;π'/A'x+B'y+C'z+D'=0dosplanosdelespacio.Consideramoselsiguientesistema:
,cuyasmatricesasociadasson .
Puedenpresentarseloscasos:
r(A)=r(A*)=2<3=nº de incógnitas,entonces el sistema es compatibleindeterminado. El sistema tiene infinitas
r(A)=r(A*)=1, entonces el sistemaes compatible indeterminado, estoes,tieneinfinitassoluciones,peroen
r(A)=1 y r(A*)=2,entonces el sistema esincompatible,esdecir,los
2
1kx y zx ky z kx y kz k
ì + + =ï + + =íï + + =î
2
1 11 1 ( 1) ( 2)1 1
kk k kk= - +
0' ' ' 0ax by ca x b y c
+ + =ìí + + =î
y *' ' ' ' 'a b a b c
A Aa b a b c
-æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷-è ø è ø
0' ' ' 0Ax By Cz DA x B y C z D
+ + + =ìí + + + =î
y *' ' ' ' ' ' 'A B C A B C D
A AA B C A B C D
-æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷-è ø è ø
Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.
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soluciones.Peroenestecaso lavariedadlinealsoluciónesdedimensión1,yaquesolohayunaincógnitalibre,yportantolosplanossecortanenunarecta.
estecasolavariedadlinealsoluciónesdedimensióndos,yaquehayunasolaincógnitaprincipalydoslibres.Por tanto, los planos soncoincidentes.
planos no tienen ningúnpunto en común y portantosonparalelos.
16.10.3. PosiciónrelativadetresplanosenelespacioSean π/Ax+By+Cz+D=0; π'/A'x+B'y+C'z+D'=0 π''/A''x+B''y+C''z+D''=0 3 planos del espacio, y
consideremos el siguiente sistema: , cuyas matrices asociadas son
.
Puedenpresentarseloscasos:
r(A)=r(A*)=3=nº de incógnitas,entonceselsistemaescompatibledeterminado. Los tres planos secortanenunpunto.
r(A)=2y r(A*)=3, entonces el sistemaes incompatible. Como r(A)=2,tenemosquehay2planosquesonlinealmenteindependientes,yqueportanto se cortan en una recta. Al ser el sistema incompatible, el tercerplanodebeserparaleloadicharecta.
r(A)=2=r(A*), entonces escompatible indeterminado. Alhaber 2 incógnitas principales yuna secundaria, la variedad linealafínsoluciónesdedimensiónuno,es decir, los tres planos se cortanenunarecta.
r(A)=1 y r(A*)=2, entonces elsistema es incompatible. Los tresplanos no tiene ningún punto encomún,nisiquieradosados,yaquer(A)=1 y por tanto son paralelos(puedequedosdeelloscoincidan).
r(A)=r(A*)=1entonceselsistemaes compatible indeterminado. Alhaberunasóloincógnitaprincipaly dos secundarias, la variedadlineal afín solución es dedimensión 2 y por tanto es unplano, por lo que concluimos quelostresplanossoncoincidentes.
16.11. Resumen
Como conceptos en el primer apartado de sistemas de ecuaciones lineales se definen: expresiónalgebraica,ecuaciónalgebraica,ecuaciónlinealyhomogéneaysecaracterizanestasúltimas.Sedefinesistema
0' ' ' 0'' '' '' 0
Ax By Cz DA x B y C z DA x B y C z D
+ + + =ìï + + + =íï + + + =î
' ' ' y * ' ' ' ''' '' '' '' '' '' ''
A B C A B C DA A B C A A B C D
A B C A B C D
-æ ö æ öç ÷ ç ÷= = -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷-è ø è ø
Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.
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de ecuaciones lineales así como su clasificación y los diferentes tipos (homogéneos y no homogéneos). Seintroducelanotaciónmatricialysuterminología:matrizdecoeficientes,matrizincógnita,matrizdetérminosindependientes,matrizampliada.Secaracterizanfinalmentelossistemaslinealeshomogéneos.
Enelapartadodesistemasequivalentes,sedefinequedossistemasdeecuacioneslinealesconelmismonúmero de incógnitas se dice que son equivalentes si tienen lasmismas soluciones. Se demuestra que todosistemadeecuacioneslinealespuedesertransformadoenotroequivalenteaélmedianteloqueseconocecomotransformacioneselementales.Enrangoocaracterísticadeunamatrizsedefinenlosconceptosdesubmatriz,menor,menorprincipalyrango.Ysepresentaydemuestraelsiguienteteorema:elrangodeunamatrizcoincideconelnúmerodesusfilasocolumnaslinealmenteindependientes.
ElmétododeGaussconsisteentransformarelsistemadeecuacionesdadoenotroequivalentequeseannulostodosloscoeficientesqueesténpordebajodeladiagonalprincipalenlamatrizdecoeficientesobteniendoasí,unsistematriangularoescalonado.Estemétodopermiteasimismocalcularelrangodeunamatriz.Asimismo,elmétododeGauss-JordanesunamodificacióndelmétododeeliminacióndeGauss,consistenteeneliminarcadaincógnitanosólodelasecuacionesposterioresalasqueestamosutilizandosino,también,delasecuacionesanteriores.EnelapartadodelaregladeCramerseestudiauntipoparticulardesistemasdeecuacioneslinealesque son los llamados sistemas de Cramer aportando un método para su resolución. Estos sistemas soncompatiblesdeterminados.SedefineSistemadeCramerysecaracterizasusoluciónmediantelallamadaRegladeCramer.ElteoremadeRouché-Frobeniusestablecelacondiciónnecesariaysuficienteparaqueunsistemadeecuacioneslinealestengasoluciónenfuncióndelrango.
Discutir o estudiarun sistemade ecuaciones lineales en cuyos coeficientes o términos independientesaparecenunoovariosparámetrosesclasificarloenfuncióndeestosaveriguandoparaquévaloresdedichosparámetroselsistemaescompatible,determinadooindeterminado,oincompatible.Estetipodediscusionesseplanteanenelapartadodeeliminacióndeparámetros.Porúltimo,seplanteanlasaplicacionesdelestudioydiscusión del rango de las matrices en la resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales:interpretacióngráfica.
16.12. Conclusión
DESARROL
LOTEM
A El objeto de este tema es dar métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, ycondicionesquepermitandeterminarsihaysoluciones,yensucasolacantidaddedichassolucionesylaformadehallarlas.Parasudesarrollohemosseguidoelesquemaexpuestoalinicio.
APLICACION
ES
Juntoconlasecuaciones,lossistemaslinealesconstituyenunadelaspartesmejorestudiadadelálgebratradicional,yaquemuchosproblemasdematemáticasseformulanoresuelvenutilizandoellenguajedelospolinomios,ydeahísugranimportancia.
Ademásdelaevidenteaplicaciónyamencionadaenlaintroduccióndeladiscusiónyresoluciónde lossistemasdeecuacionesparapoderresolverproblemasyestudiar lasposicionesrelativasderectasyplanosenelplanoyelespaciotalycomosehadescritoenelpresentetema,enlavidacotidianacomoenlavidalaboralfacilitasuaplicacióneneldesarrollodeproblemasdeunamaneramásfácilpero a su vez compleja, con lo cual se llega a dar una solución exacta ymejores resultados en undeterminadoproceso.
16.13. Bibliografía
BORGES: Álgebra lineal y geometría cartesiana. McGraw-Hill, 2000.
BURGOS: Curso de Álgebra y Geometría. Pearson Education, 1992.
LIPSCHUTZ: Álgebra lineal. MacGraw-Hill, 1991.
GARCÍA GARCÍA; LÓPEZ PELLICER: Álgebra lineal y Geometría: teoría y práctica. Ed. Marfil, 1992.
TEMARIO DEIMOS
TEMARIO GAMBOA
Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.
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TEMARIO MATEMÁTICAS DIVERTIDAS
TEMARIO CLAUSTRO