Post on 26-Dec-2015
INSTITUTO TECNOLOGICO DE ZITACUARO
TEOREMA DE BAYES
POR: ACEVES MARTINEZ JOSE RICARDO
H. Zitácuaro Michoacán a 6 de Junio del 2014
En la teoría de probabilidad el teorema de bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 que viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).Teorema de Bayes: a partir de que a ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?)
Thomas Bayes
La fórmula de bayes es:
Donde:
• P(Ai) son las probabilidades a priori.
• P(B/Ai) es la probabilidad condicional.
• P(Ai/B) son las probabilidades a posteriori.
• P(B) probabilidad total.
Ejemplo 1
A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Solución; definamos que:
H: Sea un hombre
M: Sea una mujer
E: La persona sea especialista en computación
P(E|H )=0 .1
P(M )=35100
=0.35 P(E|H )=0 .06
=(0 .35)(0 .06 )
( 0.65 )(0.10 )+(0 .35)(0 .06 )=0 .0210 .086
=0 .2442
Ejemplo 2
En cierta planta de montaje, tres máquinas B1, B2, B3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada que 2%, 3%, y 2% de los productos ensamblados por cada máquina, respectivamente, tiene defectos. Ahora, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado y se encuentra que es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que esté ensamblado por la máquina B3?
Solución; Considere los eventos siguientes:
Al aplicar el teorema, podemos escribir:
De los datos del problema sabemos que:
Entonces:
Así, al seleccionar de forma aleatoria un producto terminado y encontrar que es defectuoso, la probabilidad de que esté haya sido ensamblado por la máquina B es del 20%.
Ejemplo 3
Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso P: seleccionar el primer aparato
Suceso S: seleccionar el segundo aparato
Suceso T: seleccionar el tercer aparato
Suceso E: seleccionar un resultado con error