Teorema de Pitágoras
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Considerado el primer matemático, Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural. Sus seguidores, llamados pitagóricos, fueron los primeros en formular la teoría que decía que la Tierra es una esfera que gira en torno al Sol.
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Considerado el primer matemático, Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural. Sus seguidores, llamados pitagóricos, fueron los primeros en formular la teoría que decía que la Tierra es una esfera que gira en torno al Sol.
El teorema de Pitágoras establece que en todo
triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el
lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual
a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados
menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras de Samos
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO?
90º
Es un triangulo que tiene un ángulo recto, esta formado por dos catetos y la hipotenusa
Cateto: Son los lados adyacentes al ángulo de 90º
La hipotenusa es más grande que cualquiera de los catetos. y es el lado opuesto al angulo de 90º
Por tanto: 32 + 42 = 52
Consideramos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm
El área del cuadradoconstruido sobre elprimer cateto vale 9
Hay 3·3 = 9 cuadraditos
El área del cuadradoconstruido sobre el
segundo cateto vale 16
Hay 4·4 = 16 cuadraditos
Hallemos el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Observa:1. El área del triángulo es 6
2. El cuadrado sobre la hipotenusa contiene 4 triángulos de área 6. Además contiene un cuadradito de área 1.
3. Su área total es 6·4 + 1 = 25. Luego es un cuadrado de lado 5
3
4
En un triángulo rectángulo los catetos miden 5 y 12 cm, calcula la hipotenusa.
Como c2 = a2 + b2 se tiene:
c2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 c = 13 cm
Haciendo la raíz cuadrada
Tenemos un cuadrado de 7 cm de lado.
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm cada uno.
Luego, d2 = 49 + 49 = 98
¿Cuánto mide su diagonal?
Cumplirá que: d2 = 72 + 72
9,998d
Tenemos un rectángulo cuyos lados miden 6 y 8 cm.
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm, respectivamente.
Luego, d2 = 36 + 64 = 100
¿Cuánto mide su diagonal?
6
8
d
Cumplirá que: d2 = 62 + 82
d = 10
Aquí tienes otro ejercicio de muestra: Dado las medidas en el siguiente triángulo encontraremos el valor del cateto b, que en este caso esta determinado por x
Determina el valor de x en:
La formula es:
c2 = a2 + b2
Entonces reemplazamos tanto el valor de c como el de a, cojiendo los datos dados en el triángulo...
102 = 62 + x2
Despeja x:
102 – 62 = x2
Esto es igual a:
100 – 36 = x2
a = 6c = 10
b = x
90º
Se resta:64 = x2
Aplicamos raíz para despejar x: 8 = x
El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
Por ejemplo: El famoso Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares.
APLICACIONES DEL TEOREMA
Conocer la altura de un
edificio, sabiendo la
medida de la sombra
que proyecta y la
distancia del punto más
alto del edificio al
extremo de la sombra.
Se desean bajar frutos de un
árbol de naranjas, para ello se
quiere construir una escalera
que sea capaz de alcanzarlos,
sabiendo la altura a la que se
encuentran los frutos y la
distancia del árbol a la base de
la escalera.
Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:
= +
Ejercicio: Cálculo de la diagonal de un cuadrado
La diagonal es la hipotenusa de cada uno de los triángulos.
Aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos el valor de la diagonal en función del lado del cuadrado:
l
ll
l
Si trazamos la diagonal de un cuadrado de lado l obtenemos dos triángulos rectángulos iguales.
Aplicando el Teorema en un cuadrado de 6 cm de lado:
6 cm 6 c.m.
6 c.m.
Ejercicio:Cálculo de la altura de un triángulo isósceles
Sea un triángulo isósceles cuya base mide 12 cm y sus lados laterales 10 cm.
Al trazar la altura se obtienen dos triángulos rectángulos iguales de hipotenusa 10 cm y de cateto horizontal 6 cm
La altura del triángulo es uno de los catetos.
Aplicando el Teorema de Pitágoras:
