FUNCIONES TRASCENDENTES

En el estudio de Funciones Reales, denominamos funciones trascendentes, aquellas funciones que admiten otros operadores diferentes del operador, suma, resta, multiplicación, división y potenciación como son La función Exponencial, Función Logarítmica y Función trigonométrica.

FUNCIONES TRASCENDENTES

Exponencial Logarítmica Trigonométrica

FUNCION EXPONENCIAL y=ax donde a>0 y a≠1

Ejemplos

1 . y=2x Base 2

2 . y=(12 )x

Base12

3 . y=73 x+2 Base 7

Grafica de la Función Exponencial: y=ax donde a>0 y a≠1

Si la base de la función exponencial es mayor que 1 (a>1 ), su gráfica es creciente.

Ejemplo: Graficar y=2x

Tabla de valores

x y

Si la base de la función exponencial es mayor que 0 y menor que 1 (0<a<1 ), su gráfica es decreciente.

Ejemplo: Graficar y=( 1

2 )x

Tabla de valoresX y

PROPIEDADES

1. El Dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.

D= (−∞ , +∞ )2. El Rango o conjunto de imágenes, son los números reales positivos

Rango: (0 , +∞ )3. El eje horizontal o eje x, es una asíntota.

Ejemplo1: Obtener la derivada para y=( 5

3 )x

dydx

=( 53 )

x

ln( 53 )

Ejemplo2: Halle la derivada para

y=x32x

h( x )=x3 h´ ( x )=3 x2

g( x )=2x g ´ ( x )=2x Ln2 Aplicando la derivada de un producto de funciones

dydx

=( x3 )(2x Ln2)+(2x )(3 x2)

dydx

=2x x2 (xLnx+3 )

Derivada de la función Exponencial y=ax donde a>0 y a≠1

dydx

=ax ln ( a)

Se lee “La misma función, por el logaritmo natural de la base”

Ejemplo3

: Halle la derivada para y= 5x

2 x+1

h( x )=5x h´ ( x )=5x Ln5

g( x )=2x+1 g ´ ( x )=2 Aplicando la derivada de un cociente de funciones

dydx

=(2x+1 )(5x Ln5 )−(5x)(2 )(2x+1 )2

dydx

=5x [(2x+1 )Ln5−2 ](2x+1 )2

Aplicación Geométrica

Ejemplo

: Halle la ecuación de la recta tangente en x = 0 a la curva y=3 x+4x

Para hallar la ecuación de la recta tangente, debemos realizar los siguientes pasos.

1.

Determinar la pendiente en el punto de tangencia. La pendiente se obtiene al sustituir

el valor de x en la derivada.

Si y=3 x+4 x entonces y ,=3+4x Ln4Luego para x=0 y ,=3+40 Ln 4=3+Ln4La pendiente m=3+2 Ln2

2.

Determinar el punto de tangencia. Para obtener el punto de tangencia, sustituimos el

valor de x en la función inicial.

Ln4=Ln22=2Ln2ya que LnAB=BLnA

Si x=0 entonces y=3(0 )+40

Luego y=1Punto de tan gencia A (0 , 1 )

3.

Aplicar la fórmula Punto - Pendiente

y− y1=m( x−x1 )

Datos ¿ {m=3+2 Ln2¿ ¿¿

Luego y− y1=m( x−x1)y −1=(3+2 Ln2)( x−0 )y−1=3x+2 xLn2

Ecuación 2xLn2+3 x− y+1=0

Ejemplo1: Halle la derivada para

y=34 x+7

Solución

Si y=34 x−7 entonces u=4 x−7 ydudx

=4

Luego la derivada es y ,=34 x−7 Ln3 (4 )

Derivada de la función Exponencial y=au

donde a>0 , a≠1 y u=g( x )

dydx

=au ln (a ) dudx

Se lee “La misma función por el logaritmo natural de la base, por la derivada del

exponente o argumento”.

Ejemplo2: Halle la derivada para

y=95 x2+3 x−1

Solución

Si y=95 x2−3 x−1 entonces u=5 x2−3 x−1 y

dudx

=10 x−3

Luego la derivada es y ,=95 x2−3 x−1(Ln9)(10 x−3 )y ,=2⋅95 x2−3 x−1 (Ln3 )(10 x−3)

Ejemplo3: Halle la derivada para

y=7 x⋅23 x3

h( x )=7 x h ´ ( x )=7

g( x )=23 x3

g ´ ( x )=23 x3(Ln2 )(9 x2) Aplicando la derivada de un producto de

funciones

dydx

=(7 x )[ 23 x3

(Ln2 )(9x2) ]+(2

3x3

)(7 )

dydx

=7⋅23 x3

(9 x3Ln2+1)

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

y=ex donde e>1 y e=Base de los log aritmos naturales

El número e (Euler) o base de los

logaritmos naturales, tiene como

valor aproximado

e = 2.718281828

Ejemplos

1 . y=e3 x

2 . y=e2 x Base e3 . y=e3 x+2

Grafica de la Función Exponencial: y=ex donde e>1

Como la base de la función exponencial es mayor que 1 (e>1 ), su gráfica es creciente.

Ejemplo: Graficar y=ex

Tabla de valoresx y

PROPIEDADES:

1. El Dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.

D= (−∞ , +∞ )2. El Rango o conjunto de imágenes, son los números reales positivos

Rango: (0 , +∞ )3. El eje x es una asíntota horizontal

Ejemplo1: Halle la derivada de la siguiente función y=4 x2ex

h( x )=4 x2 h ´ ( x )=8 x

g( x )=ex g ´ ( x )=ex Aplicando la derivada de un producto de funciones

dydx

=( 4 x2)( ex)+(ex )(8 x )=4 xex( x+2 )

dydx

=4 xe x( x+2)

Ejemplo2: Halle la derivada de la siguiente función y=3 x2+1

ex

h( x )=3 x2+1 h ´ (x )=6 x

g( x )=ex g ´ ( x )=ex Aplicando la derivada de un cociente de funciones

dydx

=ex (6x )−(3 x2+1 )ex

(e x)2

dydx

=ex [6 x−(3 x2+1)](e x)2

=−3 x2+6 x−1

ex

Aplicación Geométrica

Derivada de la función Exponencial y=ex donde e>1

dydx

=ex ln (e )=e x ya que ln e=1

Se lee “La derivada de la función es la misma función”

Ejemplo: Halle la ecuación de la recta tangente en x = 0 a la curva

y=2xex

Para hallar la ecuación de la recta tangente, debemos realizar los siguientes pasos.

1.

Determinar la pendiente en el punto de tangencia. La pendiente se obtiene al sustituir

el valor de x en la derivada.

Si y=2 xex entonces y ,=e x(2x+2 )Luego para x=0 y ,=e0 (2⋅0+2)=2La pendiente m=2

2.

Determinar el punto de tangencia. Para obtener el punto de tangencia, sustituimos el

valor de x en la función inicial.

Si x=0 entonces y=2(0 )e0

Luego y=0Punto de tan gencia A (0 , 0)

3.

Aplicar la fórmula Punto - Pendiente

y− y1=m( x−x1 )

Datos ¿ {m=2 ¿ ¿¿

Luego y− y1=m( x−x1)y −0=2( x−0)y−0=2 x

Ecuación 2x− y=0

Aplicamos para la

derivada la

Regla del producto.

Recuerde e0 = 1

Ejemplo1: Halle la derivada para la siguiente función y=e1−4 x 2

Solución

Ejemplo2: Halle la derivada de la

siguiente función y=x3 e7 x

Derivada de la función Exponencial y=eu donde e>1 y u=g( x )

dydx

=eu ln( e ) dudx

=eu dudx

ya que ln e=1

Se lee “La derivada de la función es la misma función por la derivada del exponente”

h( x )=x3 h´ ( x )=3 x2

g( x )=e7 x g ´ (x )=7e7 x Aplicando la derivada de un producto de funciones

dydx

=( x3 )(7e7 x )+(e7 x )(3x2 )=x2e7 x(7 x+3 )

dydx

=x2e7 x(7 x+3)

Ejemplo3: Halle la derivada de la siguiente función y= e3 x

x2

h( x )=e3 x h´ ( x )=3e3 x

g( x )=x2 g ´ ( x )=2x Aplicando la derivada de un cociente de funciones

dydx

=x2(3e3 x )−e3 x(2 x )

(x2)2=xe 3 x (3x−2 )x 4

dydx

=e3 x(3 x−2 )x3

FUNCIONES LOGARITMICAS

Importante: Los dos sistemas más comunes que se estudian de los logaritmos, son aquellos que tienen como base el número 10 y se les identifica como logaritmos comunes y los que tienen como base el número e denominado logaritmos naturales o neperianos.

Logaritmos comunes log10 x Base = 10Logaritmos Naturales loge x = ln x Base=e

Im por tan te : La notación loge se exp resa como ln ( log aritmo Natural )

FUNCION LOGARITMO NATURAL

y=ln x donde x>0 y e=Base de los log aritmos naturales

Grafica de y=ln x

Tabla de valoresx y

PROPIEDADES

1. El Dominio de la función logaritmo Natural es el conjunto de los números reales positivos.

D= (0 , +∞ )2. El Rango o conjunto de imágenes, son los números reales.

Rango: (−∞ , +∞ )3. El eje y es una asíntota Vertical.4. Si x > 1 el lnx es positivo.

5. Si 0 < x < 1 el lnx es negativo.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Si A , B son números reales positivos

1 . ln (A⋅B)=ln A+ln B ital El `` log ital aritmo ` ital de ` ital un` ital producto `` ital es ` ital igual `a` ital la `` ital suma ` ital de ` ital los ` log ital aritmos `} {} # size 12{`````````````````````````````````````` ital de ` ital sus ` ital factores .Ejemplo : ln(18 )=ln (9⋅2 )=ln 9+ ln 2

2 . ln(AB )= ln A− lnB ital El ` log ital aritmo` ital de ` ital un ` ital cociente ,`` ital es ` ital igual `` ital al ` log ital aritmo` ital del` ital numerador `} {} # size 12{```````````````````````````````````` ital menos ` ital el`` log ital aritmo` ital del ` ital deno min ital ador .

Ejemplo : ln(18 )=ln(362 )= ln36−ln 2

3 . ln AB=B ln A ital El ` log ital aritmo` ital de ` ital una ` ital potencia ,`` ital es ` ital igual `` ital al ``exp ital onente `` ital por ` ital el ` log ital aritmo `} {} # ``````````````````````````` ital natural ` ital de ` ital la ` ital base . ¿ Ejemplo : ln (16 )=ln (2 )4=4 ln2

4 . lnn√ A=ln A

nsiendo n un número natural (n>1)

Ejemplo : ln3√5=ln 5

3

4 . ln1=0 ital el `` log ital aritmo `` ital natural ` ital del` ital número `1`` ital es `` ital cero

5 . ln e=1

Derivada de la función logaritmo Natural y=ln x donde x>0

dydx

=1x

Se lee “La derivada de la función es igual a 1 dividido por el argumento

Ejemplo1: Halle la derivada de la siguiente función y=x2 ln ( x )

h( x )=x2 h ´ ( x )=2x

g( x )=ln( x ) g´ ( x )=1x Aplicando la derivada de un producto de funciones

dydx

=( x2 )(1x )+( ln x )(2 x )=x+2 x ln x

dydx

=x (1+2 ln x )

Ejemplo2: Halle la derivada de la siguiente función y=ln x

e x

h( x )=ln x h´ ( x )=1x

g( x )=ex g´ ( x )=ex Aplicando la derivada de un cociente de funciones

IMPORTANTE: En el estudio de los logaritmos no se cumple

1 . ln ( A+B )=ln A+ln B ital El `` log ital aritmo ` ital de ` ital una ` ital suma ,` ital es ` ital igual `a` ital la ` ital suma ` ital de ` ital los` log ital aritmos} {} # size 12{``````````````````````````````````` ital de ` ital los` ital sumandos

2 . ln (AB )= ln AlnB

ital El ` log ital aritmo ` ital de ` ital un` ital cociente ,` ital es ` ital igual ` ital al ` log ital aritmo ` ital del ` ital numerador ,` ital dividido} {} # size 12{```````````````````````` ital por ` ital el` log ital aritmo` ital del` ital deno min ital ador .

dydx

=ex (1 x)−( ln x )ex

(e x)2

dydx

=ex [(1 x)−ln x ](e x)2

=

1x

−ln x

ex=1−x ln xxex

dydx

=1−x ln xxex

Ejemplo3: Halle la derivada de la siguiente función y=5 x4+ ln x

dydx

=20 x3+1x=20 x4+1x

dydx

=20 x4+1x

Ejemplo1: Halle la derivada de la siguiente función y=ln (6 x2+x+2 )

dydx

=1

6 x2+x+2(12x+1 )=12 x+1

6 x2+ x+2

dydx

=12x+16 x2+x+2

Ejemplo2: Halle la derivada de la siguiente función

y=ln(13 x2x−3 )

Importante: Cuando el argumento de la función, es un producto o un cociente, podemos

aplicar las propiedades bien sea del logaritmo de un producto o logaritmo de un cociente para

obtener la derivada

y=ln(13 x2 x−3 )=ln (13x )−ln (2x+3 )

dydx

=1313 x

−22 x+3

=13(2 x+3)−2(13x )13 x (2x+3 )

=26 x+39−26x13 x (2x+3 )

=3913 x(2 x+3)

=32 x2+3 x

dydx

=3

2x2+3x

Derivada de la función logaritmo Natural y=ln u donde u=g( x )

dydx

=1ududx

Se lee “La derivada de la función es igual a 1 sobre el argumento, por la derivada del

Recuerde:

ln ( AB )=ln A−ln B

Ejemplo3: Halle la derivada de la siguiente función

y=ln (x3ex )

Aplicando propiedades sobre los logaritmos, tenemos

y=ln (x3ex )=ln (x2 )+ ln (ex )=2 ln x+x ln e=2 ln x+xLuegodydx

=21x

+1=2x

+1=2+xx

dydx

=x+2x

Aplicaciones Geométricas

Ejemplo1: Halle la ecuación de la recta tangente en x =2 a la curva y=ln (3x−5 )

Paso1: Hallamos la derivada de la función

Si y=ln (3 x−5 ) entonces y ,=33 x−5

Valor de la derivada en x=2

y ,=33 (2)−5

=36−5

=31=3

Luego la pendiente m=3

Paso2: Sustituimos x = 2 en la función inicial, para obtener el punto de tangencia

Si x=2 entonces y=ln (3(2 )−5 )=ln(1)=0Punto de tan gencia A (2, 0 )

Paso3: Aplicar la fórmula Punto - Pendiente

y− y1=m( x−x1 )

Datos ¿ {m=3 ¿ ¿¿

Luego y− y1=m( x−x1)y −0=3 (x−2)y−0=3 x−6

Ecuación 3x− y−6=0

Ejemplo2: Halle los valores en los cuales la derivada de la función y=ln (2x3−6 x ) es igual

a cero.

Para hallar los valores en los cuales la derivada es igual a cero, realizamos los siguientes pasos.

Paso1: Derivamos la función

Si y=ln ( 2x3−6 x ) entonces dydx

=6 x2−62 x3−6 x

=6( x2−1)2x ( x2−3)

=3( x2−1)x ( x−3)

dydx

=3( x2−1 )x (x−3)

Paso2: Igualamos a cero la derivada

3( x2−1)x ( x−3 )

=0 ⇒3( x2−1 )=0

Se cumple para x=1 ∨ x=−1

El valor x = 1 no cumple ya que no pertenece al dominio de la función

Geométricamente para x = -1, el punto es A(-1, ln4), es el punto donde al trazar la tangente,

es paralela al eje horizontal (o eje x).

Un logaritmo que tenga como base un número diferente al número e, se puede expresar en términos de logaritmos naturales.

Ejemplo:

log3 12 =ln12ln3 es igual al logaritmo natural del número, dividido por logaritmo natural

de la base

La anterior afirmación nos permite obtener la derivada de la función y=logb x

Si y=logb x entonces y=logb x=

ln xln b ahora aplicamos la regla del cociente

Seleccionando las funciones y sus derivadas

h( x )=ln x h ´ ( x )=1x

g( x )=ln b g´ ( x )=0

Derivada de la función logaritmo en la base b de x y=logb x donde b>0

dydx

= 1x ln b

Se lee “La derivada de la función es igual a 1 sobre el argumento, por el logaritmo

natural de la base”.

dydx

=( lnb )(1x )−( ln x )(0 )

(ln b )2=

lnbx

( lnb )2=ln b

x ( lnb )2=1x lnb

dydx

=1x lnb

Ejemplo2: Halle la derivada de la siguiente función y=2x2 log4 x

Aplicamos la regla del producto de funciones

h( x )=2x2 h ´ ( x )=4 x

g( x )=log4 x g´ ( x )=1x ln 4

dydx

=(2 x2)(1x ln 4 )+(log 4 x) (4 x )

dydx

=(2 x2)(1x ln 4 )+( ln xln 4 ) (4 x )=(1ln 4 )(2x2

x+4 x ln x)

=(1ln 4 ) (2x+4 x ln x )=(2 xln 4 ) (1+2 ln x )

=(2 x2 ln 2 )(1+2 ln x )=(xln 2 )(1+2 ln x )

Ejercicios sobre derivadas: Hallar la derivada para las siguientes funciones

1) y=(3−7 x2 )( ln x ) 2 ) y=(2x+9 x3 )(5x)

3 ) y=(7x)( ex) 4 ) y=8 x2−x4x

5 ) y=20 x4−5 x3

5 x36 ) y=12x

6 x2+7 x

7 ) y=(4−10 x3 )+3x(2x+1 ) 8 ) y=9x+ 4 x

x2+7

9 ) y=6 x−2x

−5 x310 ) y=(3−7 x2 )(e4 x )

11) y=3x3+ ln x 12) y= ln x4 x

13 ) y=5 x4 ln x 14 ) y=2x log10 x

15 ) y=( ln x )(log3 x ) 16 ) y=7 x ln x+ln x

17 ) y=14 x3+log2 x 18 ) y=1−3 xx ln x

19 ) y=4x ln x 20 ) y=1−ln x

3x

21. Halle la ecuación de la recta tangente en x =1 a la curva y=ln (4 x2−3 ).

22. Halle la ecuación de la recta tangente en x =0 a la curva

y=e3 x2−2 x

.

23: Halle la ecuación de la recta tangente para cada una de las curvas en el valor indicado.

a ) y=(3x3−4 )e x en x=0

b ) y= ex

4 x−1en x=0

c ) y=2x+ ln x en x=1

d ) y=x3 ln x en x=1