FUNCIONES TRASCENDENTES · también desempeñan un papel importante en el desarrollo y las...

7FUNCIONES TRASCENDENTES

INTRODUCCIÓN Las funciones pueden clasificarse en dos grandes grupos complementariosdenominados funciones algebraicas y funciones trascendentes (véase la sección l.1). Exceptopor las funciones trigonométricas, hasta ahora nuestro estudio se ha concentrado en las fun-ciones algebraicas. En este capítulo estudiaremos el cálculo de importantes funciones trascen-dentes, que incluyen las funciones logarítrnicas, las exponenciales, las trigonométricas inversasy las hiperbólicas. Éstas aparecen con frecuencia en muchos escenarios matemáticos y en apli-caciones científicas.

7.1 Funciones inversas y sus derivadas

Una función que deshace, o invierte, el efecto de una función f se denomina inversa de fMuchas funciones comunes, aunque no todas, están aparejadas con una inversa. Con frecuen-cia, importantes funciones inversas aparecen en diversas aplicaciones. Las funciones inversastambién desempeñan un papel importante en el desarrollo y las propiedades de las funcioneslogarítmicas y exponenciales, como veremos en la sección 7.3.

Funciones inyectivas (uno a uno)Una función es una regla que asigna un valor, dentro de su rango, a cada uno de los puntos desu dominio. Algunas funciones asignan el mismo valor del rango a más de un elemento del do-minio. La función f(x) = X2 asigna el mismo valor, 1,a ambos números -1 y + 1; tanto el senode 7T/3 como el de 27T/3 tienen el valor 0/2. Otras funciones asumen cada valor en su rangono más de una vez. La raíz cuadrada y el cubo de números diferentes son siempre diferentes.Una función con valores distintos en elementos distintos en su dominio se denomina inyectiva(o uno a uno). Estas funciones toman exactamente una vez cada valor de su rango.

DEFINICIÓN Una funciónf(x) es inyectiva en el dominio D si f(XI) * f(X2)

siempre que Xl * X2 en D.

EJEMPLO 1 Algunas funciones son inyectivas en todo su dominio natural. Otras funcionesno son inyectivas en todo su dominio, pero al restringir la función a un dominio más pequeño,es posible crear una función que sea inyectiva. Las funciones, la original y la restringida, no sonla misma función, pues sus dominios son diferentes. Sin embargo, las dos funciones tienen losmismos valores en el dominio pequeño, así que la función original es una extensión de la fun-ción restringida de su dominio menor al dominio más grande.

(a) f(x) = Vx es inyectiva en cualquier dominio de números no negativos porque Vx;' *VX; siempre que XI * X2.

(b) g(x) = senx no es inyectiva en el intervalo [O, 7T],porque sen(7T/6) = sen(57T/6). De he-cho, para cada elemento Xl en el subintervalo [O, 7T/2), existe un elemento correspondienteX2 en el subintervalo (7T/2, 7T]que satisface sen Xl = sen X2, así que a elementos distintos

361

7.1

7 FUNCIONES TRASCENDENTES

INTRODUCCIÓN Las funciones pueden clasificarse en dos grandes grupos complementarios denominados funciones algebraicas y funciones trascendentes (véase la sección 1.1). Excepto por las funciones trigonométricas, hasta ahora nuestro estudio se ha concentrado en las funciones algebraicas. En este capítulo estudiaremos el cálculo de importantes funciones trascendentes, que incluyen las funciones logarítmicas, las exponenciales, las trigonométricas inversas y las hiperbólicas. Éstas aparecen con frecuencia en muchos escenarios matemáticos y en aplicaciones científicas.

Funciones inversas y sus derivadas

Una función que deshace, o invierte, el efecto de una función f se denomina inversa de f Muchas funciones comunes, aunque no todas, están aparejadas con una inversa. Con frecuencia, importantes funciones inversas aparecen en diversas aplicaciones. Las funciones inversas también desempeñan un papel importante en el desarrollo y las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales, como veremos en la sección 7.3.

Funciones inyectivas (uno a uno)

Una función es una regla que asigna un valor, dentro de su rango, a cada uno de los puntos de su dominio. Algunas funciones asignan el mismo valor del rango a más de un elemento del dominio. La función f(x) = X2 asigna el mismo valor, 1, a ambos números -1 y + 1; tanto el seno de 7T /3 como el de 27T /3 tienen el valor 0/2. Otras funciones asumen cada valor en su rango no más de una vez. La raíz cuadrada y el cubo de números diferentes son siempre diferentes. Una función con valores distintos en elementos distintos en su dominio se denomina inyectiva (o uno a uno). Estas funciones toman exactamente una vez cada valor de su rango.

DEFINICIÓN Una funciónf(x) es inyectiva en el dominio D si f(Xl) * f(X2)

siempre que Xl * X2 en D.

EJEMPLO 1 Algunas funciones son inyectivas en todo su dominio natural. Otras funciones no son inyectivas en todo su dominio, pero al restringir la función a un dominio más pequeño, es posible crear una función que sea inyectiva. Las funciones, la original y la restringida, no son la misma función, pues sus dominios son diferentes. Sin embargo, las dos funciones tienen los mismos valores en el dominio pequeño, así que la función original es una extensión de la función restringida de su dominio menor al dominio más grande.

(a) f(x) = Vx es inyectiva en cualquier dominio de números no negativos porque v.x;- * \IX; siempre que Xl * X2.

(b) g(x) = senx no es inyectiva en el intervalo [O, 7T], porque sen(7T/ 6) = sen(57T/ 6). De hecho, para cada elemento Xl en el sub intervalo [O, 7T / 2), existe un elemento correspondiente X2 en el subintervalo (7T /2, 7T] que satisface sen Xl = sen X2, así que a elementos distintos

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362 Capítulo 7: Funciones trascendentes

y

(a) Inyectiva: la gráfica corta a cada rectahorizontal a lo más en un punto.

y El mismovalor para y

0.5 / \

y = senx(b) No es inyectiva: la gráfica corta a una o

más rectas horizontales más de una vez.

FIGURA 7.1 (a)y = x3yy = vXsoninyectivas en sus dominios ( - ex), ex) y

[O, ex). (b) Y = x2 y y = senx no soninyectivas en sus dominios ( - ex), ex).

en el dominio se les asigna el mismo valor en el rango. Sin embargo, la función seno es in-yectiva en [O, -tt /2], ya que el seno es una función estrictamente creciente en [O, -tt /2], loque da salidas distintas para entradas distintas. _

La gráfica de una función inyectiva y = j(x) puede intersecar a lo más una vez a una rectahorizontal dada. Si la cruza más de una vez, toma el mismo valor de y para al menos dos valoresdiferentes de x; por lo tanto, no es inyectiva (figura 7.1).

Prueba de la recta horizontal para funciones inyectivasUna función y = j(x) es inyectiva si y sólo si su gráfica interseca cada recta horizon-tal a lo más una vez.

Funciones inversasComo cada resultado de una función inyectiva proviene sólo de una entrada, invertimos el efectode la función para enviar una salida de regreso a la entrada de donde provino.

DEFINICIÓN Suponga quejes una función inyectiva en un dominio D con rango R.La función ínversa j":"! se define como

rl(b) = a si fea) = b.

El dominio de r:' es R y el rango de j-I es D.

El símbolo r:' para la inversa de j se lee "inversa de j". El "-1" de r:' no es un ex-ponente: j-I(x) no significa l/j(x). Observe que los dominios y rangos de j y j-I se inter-cambian.

EJEMPLO 2valores

Suponga que se da una función inyectiva, y = j(x), por medio de una tabla de

xii 1~_2 __ 1 37

1 4 5 __ +-__6 _MT3I 4.5 171 10.5 15 20.5

87

27 34.5

De esta forma, una tabla para los valores de x = j-I(X) se puede obtener con sólo intercambiarlos valores en las columnas de la tabla para j:

y

-Si aplicamosjpara enviar una entrada x a la salidaj(x) y en seguida aplicamos r: aj(x),

obtenemos nuevamente x, justo donde iniciamos. De manera análoga, si tomamos algúnnúmero y en el rango de j, le aplicamos r: y luego aplicamos j al valor resultante j-I(y),obtenemos una vez más el valor y con el que iniciamos. Componer una función y su inversaanula cualquier trabajo.

(j-I o j)(x) = x,

(j o rl)(y) = y,

para toda x en el dominio de fpara toda y en el dominio de r' (o rango de j)

Sólo una función que sea inyectiva puede tener una inversa. La razón es que si j(xI) = yy j(x2) = y para dos entradas distintas XI y X2, entonces no existe forma de asignar un valor aj-I(y) que satisfaga al mismo tiempo j-I(f(XI» = XI y j-I(f(X2» = X2.


y

(a) Inyectiva: la gráfica corta a cada recta horizontal a lo más en un punto.

y El mismo valor para y

0.5 / \

y = sen x

(b) No es inyectiva: la gráfica corta a una o más rectas horizontales más de una vez.

FIGURA 7.1 (a)y = x3 yy = vXson

inyectivas en sus dominios ( - 00 , 00) y

[0 ,00 ). (b)y = X2 y y = senxno son

inyectivas en sus dominios ( - 00, 00).

en el dominio se les asigna el mismo valor en el rango . Sin embargo, la función seno es inyectiva en [O, 7r /2], ya que el seno es una función estrictamente creciente en [O, 7r /2], lo que da salidas distintas para entradas distintas. _

La gráfica de una función inyectiva y = f(x) puede intersecar a lo más una vez a una recta horizontal dada. Si la cruza más de una vez, toma el mismo valor de y para al menos dos valores diferentes de x; por lo tanto, no es inyectiva (figura 7.1).

Prueba de la recta horizontal para funciones inyectivas Una función y = f(x) es inyectiva si y sólo si su gráfica interseca cada recta horizontal a lo más una vez.

Funciones inversas

Como cada resultado de una función inyectiva proviene sólo de una entrada, invertimos el efecto de la función para enviar una salida de regreso a la entrada de donde provino.

DEFINICIÓN Suponga quefes una función inyectiva en un dominio D con rango R. La función inversaf-I se define como

rl(b) = a si j(a) = b.

El dominio de f- I es R y el rango de f - I es D.

El símbolo f- I para la inversa de f se lee "inversa de f". El " -1" de f - I no es un exponente: f - I(x) no significa l/f(x). Observe que los dominios y rangos de f y f- I se intercambian.

EJEMPLO 2 valores

Suponga que se da una función inyectiva, y = f(x) , por medio de una tabla de

x 2 3 4 5 6 7 8

j(x) 3 4.5 7 10.5 15 20.5 27 34.5

De esta forma, una tabla para los valores de x = f - I(X) se puede obtener con sólo intercambiar los valores en las columnas de la tabla para f:

4.5 7 10.5 15 20.5 27 34.5

2 3 4 5 6 7 8 -Si aplicamosfpara enviar una entrada x a la salidaf(x) y en seguida aplicamos f - I af(x),

obtenemos nuevamente x, justo donde iniciamos. De manera análoga, si tomamos algún número yen el rango de f, le aplicamos f - I y luego aplicamos f al valor resultante f - I(y), obtenemos una vez más el valor y con el que iniciamos. Componer una función y su inversa anula cualquier trabajo.

(j- I o f)(x) = x,

(j o rl)(y) = y,

para toda x en el dominio de j

para toda y en el dominio de j - I (o rango de f)

Sólo una función que sea inyectiva puede tener una inversa. La razón es que si f(xI) = Y Y f(x 2) = y para dos entradas distintas XI y X2, entonces no existe forma de asignar un valor a f-I(y) que satisfaga al mismo tiempo f-I(f(XI» = XI Y f - I(f(X2» = X2.

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7.1 Funciones inversas y sus derivadas 363

Una función que es creciente en un intervalo, de manera que satisface la desigualdad¡(X2) > ¡(XI) cuando X2 > XI, es inyectiva y tiene una inversa. Las funciones decrecientestambién tienen una inversa. Las funciones que no son crecientes ni decrecientes aún pueden serinyectivas y tener una inversa, como la función ¡(x) = l/x para X =1= ° Y¡(O) = 0, definida en(-00, (0) que pasa la prueba de la recta horizontal.

Determinación de la función inversaLas gráficas de una función y su inversa están relacionadas de manera muy estrecha. Para leercon base en su gráfica el valor de una función, iniciamos con un punto x en el eje x, vamos ver-ticalmente hasta la gráfica y luego nos movemos horizontalmente al eje y para leer el valorde y. La función inversa puede leerse a partir de la gráfica si se revierte dicho proceso. Ini-ciamos con un punto y en el eje y, vamos horizontalmente a la gráfica de y = ¡(x) y luego nosmovemos de forma vertical al eje x para leer el valor de x = ¡-I(y) (figura 7.2).

y y

y = J(x)l.,

UJoo~ y

8

x =rl(y)

xDOMINIODEJ

--~----~----~~----~xO xRANGO DEJ-I

(a) Para determinar el valor dejen x, iniciamosen x, subimos a la curva y luego nos dirigimosal eje y.

(b) La gráfica deJ-1 es la gráfica áef, perocon x y y intercambiadas. Para determinar xdada y, iniciamos en y y vamos hacia la curva,luego bajamos al eje x. El dominio deJ-1 es elrango de! El rango deJ-1 es el dominio de!

x y

t.UJoooz;2

(e) Para dibujar la gráfica derl dela manera más usual, reflejamos elsistema con respecto a la recta y = x.

(d) Después intercambiamos las letras x y y.Ahora tenemos una vista normal de la gráficadeJ-1 como una función de x.

FIGURA 7.2 Determinación de la gráfica de y = f-I(x) a partir de la gráfica de y = f(x).

La gráfica de r:' se obtiene reflejando la gráfica de f con respecto a la recta y = x.

Queremos establecer la gráfica de¡-Ide manera que sus valores de entrada estén en el eje x,como se hace comúnmente para las funciones, en vez de ubicados en el eje y. Para realizaresto, intercambiamos los ejes x y y para reflejar, con respecto a la recta de 45°, y = x. Despuésde esta reflexión, tenemos una nueva gráfica que representa r:'. El valor de ¡-I(x) ahora pue-de leerse de la gráfica de la manera usual, pero hay que iniciar con un punto x en el eje x, querecorre en sentido vertical la gráfica y luego de forma horizontal hacia el eje y para obtener el


Una función que es creciente en un intervalo, de manera que satisface la desigualdad f(X2) > f(xI) cuando X2 > XI, es inyectiva y tiene una inversa. Las funciones decrecientes también tienen una inversa. Las funciones que no son crecientes ni decrecientes aún pueden ser inyectivas y tener una inversa, como la función f(x) = l /x para x =1= O Y feO) = O, definida en (-00, (0) que pasa la prueba de la recta horizontal.

Determinación de la función inversa

Las gráficas de una función y su inversa están relacionadas de manera muy estrecha. Para leer con base en su gráfica el valor de una función, iniciamos con un punto x en el eje x , vamos verticalmente hasta la gráfica y luego nos movemos horizontalmente al eje y para leer el valor de y. La función inversa puede leerse a partir de la gráfica si se revierte dicho proceso. Iniciamos con un punto yen el eje y, vamos horizontalmente a la gráfica de y = f(x) y luego nos movemos de forma vertical al eje x para leer el valor de x = f - I(y) (figura 7.2).

y

y = f(x)

x DOMINIODEf

(a) Para determinar el valor defen x, iniciamos en x , subimos a la curva y luego nos dirigimos al eje y.

x

(c) Para dibujar la gráfica de.r-I de la manera más usual, reflejamos el sistema con respecto a la recta y = x.

y

x = .r-I (y)

--4-----~~--__ ----------~x x RANGODEf - 1

(b) La gráfica def-I es la gráfica dej; pero con x y y intercambiadas. Para determinar x dada y, iniciamos en y y vamos hacia la curva, luego bajamos al ejex. El dominio def- I es el rango de! El rango de f- I es el dominio de!

y

(d) Después intercambiamos las letras x y y. Ahora tenemos una vista normal de la gráfica def- I como una función de x.

FIGURA 7.2 Determinación de la gráfica de y = ¡-I(x) a partir de la gráfica de y = ¡(x). La gráfica de ¡-I se obtiene reflejando la gráfica de ¡ con respecto a la recta y = x.

Queremos establecer la gráfica de f - I de manera que sus valores de entrada estén en el eje x, como se hace comúnmente para las funciones, en vez de ubicarlos en el eje y . Para realizar esto, intercambiamos los ejes x y y para reflejar, con respecto a la recta de 45°, y = x. Después de esta reflexión, tenemos una nueva gráfica que representa f-I. El valor de f - I(x) ahora puede leerse de la gráfica de la manera usual, pero hay que iniciar con un punto x en el eje x, que recorre en sentido vertical la gráfica y luego de forma horizontal hacia el eje y para obtener el



y y=2x-2

~~--~~r-----------~x

FIGURA 7.3 Al graficar juntas ¡(x) =(1/2)x + 1 Y¡-¡(x) = 2x - 2 se muestrala simetría de las gráficas con respectoa la rectay = x (ejemplo 3).

y

valor de ¡-l(x). La figura 7.2 indica la relación entre las gráficas de ¡ y j :', Las gráficas seintercambian por medio de la reflexión con respecto a la recta y = x. Aunque este enfoquegeométrico no es una demostración, vuelve razonable el hecho de que la inversa de una fun-ción continua e inyectiva definida en un intervalo también es continua.

El proceso de pasar de ¡ a ¡-l puede resumirse como un proceso de dos pasos.

1. Despeje x de la ecuación y = ¡(x). Lo anterior proporciona una fórmula x = rn». don-de x está expresada como una función de y.

2. Intercambie x y y para obtener una fórmula y = ¡-l(x), donde ¡-l se expresa en el formatoconvencional con x como la variable independiente y y como la variable dependiente.

y=x/

//

/ y=Vxs->fY

~~----------------~x/6FIGURA 7.4 Las funciones y = Vxy y = x?, x ~ O, son inversas una dela otra (ejemplo 4).

EJEMPLO 3 Determine la inversa de y = ~ x + 1 expresada como función de x.

Solución

1. Despeje a x en términos de y: y = ~ x +2y = x + 2

x = 2y - 2.2. Intercambie x y y: y = 2x - 2.

La inversa de la función ¡(x) = (1/2)x + 1 es la función ¡-l(x) = 2x - 2. (Véase la fi-gura 7.3). Para comprobarlo, veremos si las dos composiciones producen la función identidad:

rl(f(x» = 2(~X + 1) - 2 = x + 2 - 2 = x

f(f-l(x»=~(2X-2)+ 1 =x-l + 1 =x.

EJEMPLO 4 Determine la inversa de la función y = X2, x 2: O, expresada como una funcióndex.

-Solución Primero despejamos a x en términos de y:

y = x2

vY = w = Ixl =x Ixl = xyaquex ~ O

Luego intercambiamos x y y, para obtener

y = Vx.La inversa de la función y = x2, x 2: O es la función y = Vx (figura 7.4).

Observe que la función y = x2, X 2: O, con dominio restringido a los números realesno negativos, es inyectiva (figura 7.4) Y tiene una inversa. Por otra parte, la función y = x2 condominio no restringido, no es inyectiva (figura 7.1 b); por lo tanto, no tiene inversa. _

Derivadas de inversas de funciones derivables

Si calculamos las derivadas de ¡(x) = (1/2)x + 1 Y su inversa ¡-l(x) = 2x - 2, del ejemplo 3,veremos que

d d (1 ) 1--f(x)=-- -x+l =-dx dx 2 2


FIGURA 7.3 Al graficar juntas ¡(x) =

(1/ 2)x + 1 Y ¡ - ¡(x) = 2x - 2 se muestra

la simetría de las gráficas con respecto a la recta y = x (ejemplo 3).

y

y = ~,x~ O

/

y=x /

/

/ y=Vx ¡;----Ó

~~------------------+ x

/6

FIGURA 7.4 Las funciones y = Vx y y = ~,x ~ 0 , son inversas una de la otra (ejemplo 4).

valor de ¡ - I(x). La figura 7.2 indica la relación entre las gráficas de ¡ y ¡ - l. Las gráficas se intercambian por medio de la reflexión con respecto a la recta y = x. Aunque este enfoque geométrico no es una demostración, vuelve razonable el hecho de que la inversa de una función continua e inyectiva definida en un intervalo también es continua.

El proceso de pasar de ¡ a ¡ - l puede resumirse como un proceso de dos pasos.

1. Despeje x de la ecuación y = ¡(x). Lo anterior proporciona una fórmula x = ¡ - leY), donde x está expresada como una función de y .

2. Intercambie x y y para obtener una fórmula y = ¡-l(x), donde ¡ - l se expresa en el formato convencional con x como la variable independiente y y como la variable dependiente.

EJEMPLO 3 Determine la inversa de y = ~ x + 1 expresada como función de x.

Solución

1. Despeje a x en términos de y: y = Ix + 2

2y=x + 2

x = 2y - 2.

2. Intercambie x y y: y = 2x - 2.

La inversa de la función ¡(x) = (1/2)x + 1 es la función ¡-l(x) = 2x - 2. (Véase la figura 7.3). Para comprobarlo, veremos si las dos composiciones producen la función identidad:

r\f(x» = 2(~X + 1) - 2 = x + 2 - 2 = X

f(f - l(x)) = ~(2X - 2) + 1 = x - 1 + 1 = x. -EJEMPLO 4 Determine la inversa de la función y = x2, x 2: 0, expresada como una función de x.

Solución Primero despejamos a x en términos de y:

y = X2

vY = w = Ixl =x Ixl = xya quex ~ O

Luego intercambiamos x y y, para obtener

y = \IX.

La inversa de la función y = x2, x 2: ° es la función y = \IX (figura 7.4). Observe que la función y = x2, X 2: 0, con dominio restringido a los números reales

no negativos, es inyectiva (figura 7.4) Y tiene una inversa. Por otra parte, la función y = x2 con dominio no restringido, no es inyectiva (figura 7.1 b); por lo tanto, no tiene inversa. _

Derivadas de inversas de funciones derivables

Si calculamos las derivadas de ¡(x) = (1 / 2)x + 1 Y su inversa ¡ - l(x) = 2x - 2, del ejemplo 3, veremos que

d d (1 ) 1 -- f(x)= -- - x + l = -dx dx 2 2



Las derivadas son recíprocas mutuamente, por lo que la pendiente de una recta es el recíprocode la pendiente de su recta inversa. (Véase la figura 7.3).

Éste no es un caso especial. Siempre que cualquier recta no horizontal o no vertical se re-fleja con respecto a la recta y = x, se invierte su pendiente. Si la recta original tiene pendientem -=1=- O,la recta reflejada tendrá pendiente l/m.

y

b =f(a) ---1 (a, b)11111 a = rl(b)111

X X

° a 0/Las pendientes son recíprocas: (j-I)'(b) = _1_ o (rl)'(b) = \

j'(a) r.r (b))

FIGURA 7.5 Las gráficas de funciones inversas tienen pendientesrecíprocas en puntos correspondientes.

La relación recíproca entre las pendientes de f y f -1 también es válida en el caso de otrasfunciones, pero debemos tener cuidado de comparar pendientes en puntos correspondientes.Si la pendiente de y = f(x) en el punto (a, f(a» es l' (a) y t" (a) -=1=- O,entonces la pendiente dey = f-I(X) en el punto correspondiente (f(a), a) es el recíproco 1/1'(a) (figura 7.5). Entonces,si establecemos que b = fea)

(f-I)'(b) - _1_ _ 1f'(a) f'(f-I(b))

Si Y = f(x) tiene una recta tangente horizontal en (a, fea»~, entonces la función inversa t:'tiene una recta tangente vertical en (f(a), a), pendiente infinita que implica que r:' no es de-rivable en fea). El teorema l indica las condiciones en las cuales r:' es derivable en su do-minio, que es el mismo que el rango de f.

TEOREMA 1: Regla de la derivada para inversas Si f tiene un intervalo 1como dominio, y l' (x) existe y nunca es cero en 1, entonces f-I es derivable en cadapunto de su dominio (el rango de f). El valor de (f-I)' en un punto b en el dominiode f-I es el recíproco del valor de l' en el punto a = f-I(b):

(f-I)'(b) - 1f'(f-I(b))

(1)

o

drildx x=b

1

:/xl Fr'(b)

El teorema l hace dos afirmaciones. La primera de éstas tiene que ver con las condicionesen las cuales f-I es derivable; la segunda afirmación es una fórmula para la derivada de r '.



y

4 Pendiente 4 (2, 4)I

3 : . 1I pendlente~

2 :~,2)~: I

II,

~O~--~--~--~--4~--------+x

FIGURA 7.6 La derivada de rl(x) = \IXen el punto (4,2) es el recíproco de la

derivada de f(x) = x2 en (2. 4) (ejemplo 5).

y

6 (2,6)y=x3-2Pendiente3x2 = 3(2)2 = 12

Pendiente recíproca: f21(6,2),,

-_~2----~--.r-------------67-~X

FIGURA 7.7 La derivada de f(x) = x3 - 2en x = 2, nos da la derivada de r: en x = 6

(ejemplo 6).

cuando ésta existe. Aunque omitimos la demostración de la primera afirmación, la segunda sedemuestra de la siguiente forma:

f(J-l(X)) = x

!f(J-l(X)) = 1

1'(J-l(x))·!1. rl(x) = 1dx

Relación de la función inversa

Derivando ambos lados

Regla de la cadena

Despejando la derivada.

EJEMPLO 5 La función j(x) = x2, X 2: 0, Y su inversa rl(x) = Vx tienen derivadas1'(x) = 2xy (f-l),(x) = 1/(2Vx).

Verificamos que el teorema 1 proporciona la misma fórmula para la derivada de j-l(x):

(f-l),(X) = 1'(J~l(X))

1 f'(x) = 2x con x remplazadapor r'(x)2(rl(x))

12(Vx)'

El teorema I proporciona una derivada que coincide con nuestros cálculos usando la reglaconocida para la derivada de la función raíz cuadrada.

Examinemos el teorema 1 en un punto específico. Tomamos x = 2 (el número a) yj(2) = 4 (el valor b). El teorema 1 indica que la derivada de j en 2,1'(2) = 4 Y la derivadadej-l enj(2), (f-l)'(4), son recíprocos. Esto establece que

(J-l)'(4) - I 1 1 I1'(J-l(4)) = 1'(2) = 2x x=2

Véase la figura 7.6. •A lo largo de este capítulo, utilizaremos el procedimiento ilustrado en el ejemplo 5 para calcu-lar fórmulas para las derivadas de muchas funciones inversas. En ocasiones, la ecuación (1) nospermite determinar valores específicos de dj-l / dx sin conocer la fórmula para j :'.

EJEMPLO 6 Sea j(x) = x3 - 2. Halle el valor de dj-l / dx en x = 6 = j(2) sin encontrar lafórmula de j-l(x).

Solución Aplicamos el teorema 1 para obtener el valor de la derivada de r:' en x = 6:

df I I-- = 3~ = 12dx x=2 x=2

drIldx x=J(2)

112

Ecuación (1)

Véase la figura 7.7. •


y

4

3

2

1

: . 1 : pendle\~

: ~¡'(4, 2) Y - Vx 1 1 1 I

__ ~ __ L-__ L-__ L-__ L-______ ~x

O 2 3 4

FIGURA 7.6 La derivada de r l(x) = \IX en el punto (4, 2) es el recíproco de la

derivada de ¡(x ) = x2 en (2, 4) (ejemplo 5).

y

6 (2, 6) y=x3 -2 Pendiente 3x2 = 3(2)2 = 12

Pendiente recíproca: b: 1 (6, 2) I I

-_l2----~Or-~~------------6L-~ X

- 2

FIGURA 7.7 La derivada de ¡(x) = x3 - 2

en x = 2, nos da la derivada de ¡ - I en x = 6

(ejemplo 6).

cuando ésta existe. Aunque omitimos la demostración de la primera afirmación, la segunda se demuestra de la siguiente forma:

f(j - l(X) ) = x

! f(j - l(X)) = 1

1'(j - l(x))' ~ r1(x) = 1 dx

Relación de la función inversa

Derivando ambos lados

Regla de la cadena

Despejando la derivada.

EJEMPLO 5 La función j(x) = x2, X 2: O, Y su inversa ¡-l(X) = Vx tienen derivadas 1'(x) = 2xy (f - l),(x) = 1/(2Vx).

Verificamos que el teorema 1 proporciona la misma fórmula para la derivada de j-l(x):

(j-l ),(X) = 1'(f~I(X)) 1

2(¡-I(X))

1 2(Vx) '

f'(x) = 2x con x remplazada

por rl(x)

El teorema 1 proporciona una derivada que coincide con nuestros cálculos usando la regla conocida para la derivada de la función raíz cuadrada.

Examinemos el teorema 1 en un punto específico. Tomamos x = 2 (el número a) y j(2) = 4 (el valor b) . El teorema 1 indica que la derivada de j en 2,1'(2) = 4 Y la derivada dej-I enj(2), (f- 1)'(4), son recíprocos. Esto establece que

(¡-1)'(4) - 1 1 1 I 1'(rl (4)) = 1'(2) = 2x x =2

Véase la figura 7.6. • A lo largo de este capítulo, utilizaremos el procedimiento ilustrado en el ejemplo 5 para calcular fórmulas para las derivadas de muchas funciones inversas. En ocasiones, la ecuación (1) nos permite determinar valores específicos de dj - I / dx sin conocer la fórmula para j - I.

EJEMPLO 6 Sea j(x) = x3 - 2. Halle el valor de dj - I / dx en x = 6 = j(2) sin encontrar la fórmula de j-l(X).

Solución Aplicamos el teorema 1 para obtener el valor de la derivada de j - l en x = 6:

Véase la figura 7.7.

-- = 3~ = 12 df I I dx x=2 x =2

d¡-II dx x= f (2)

1 12

Ecuación (1)

•



11. 12.

Ejerddos 7.1

y yy = f{x) = 1 - ~, x> O

Identificación gráfica de funciones inyectivas¿Cuál de las funciones, cuyas gráficas se muestran en los ejercicios 1 a 6,son inyectivas y cuáles no?

1. 2.y = f{x) = _1_, x ~ O

x2 + 1y~O~--~-------------+x

y = -3-2

----""'"--+-.....,---+ X

--+-------~L-------~xO

13. 14.

3. 4.y yy y

y =f{x) = senx,7T 7T

-"2sxs"2y = entx

y = f{x) = tan x,_:!!:<x<:!!:2 2

--'----..I"'--~~ x7T"2--------~r-----~x

--------'1'------- ..•.x

6.5.

2

15. 16.

y

y y

{X+1,-lSXSO

f{x) = 2- 2 + 3" x, O < x < 3

y = ~

6

--~-r------~)~x3

--+---------~-->-xO

==---+-------"'~ x

En los ejercicios 7 a lO, con base en su gráfica, determine si la función esinyectiva.

¡(x) = {3 - x, x<O7.

3, X 2:: O

8. ¡(x) = {2X + 6, x s -3x + 4, x> -3r ~~'x s O

9. ¡(x) =x> O

x + 2'{2 -~ xS

10. ¡(x) = 2 'x>x,

Gráficas de funciones inversasEn los ejercicios 11 a 16 se presenta la gráfica de una función y = ¡(x).Copie la gráfica y dibuje la recta y = x. Luego, utilice la simetría con res-pecto a la recta y = x para agregar la gráfica de ¡-1 (No es necesario ha-llar la fórmula de ¡-I).Identifique el dominio y el rango de ¡-1

17. a. Trace la gráfica de la función ¡(x) = vI1=7, O s x s l.¿Qué simetría tiene la gráfica?

b. Muestre que ¡es su propia inversa. (Recuerde que W = xsi x 2:: O.)

18. a. Trace la gráfica de la función ¡(x) = l/x. ¿Qué simetría tiene?

b. Muestre que ¡ es su propia inversa.

FórmuLas para funciones inversasEn cada uno de los ejercicios 19 a 24 se presenta una fórmula de una fun-ción y = ¡(x) y se muestran gráficas de ¡ y ¡-1 En cada caso, determineuna fórmula para ¡-119. ¡(x) = x2 + 1, x 2:: O 20. ¡(x) =~, x s O

y y

------~+--'L--------->-x

--+---~------------~xO



21. ¡(x) = x3 - 1

y

-------+-4--~-------+x

22. ¡(x) = x2 - 2x + 1, x 2: 1

y

--+---~~-----------+xo

23. ¡(x) = (x + 1)2, X 2: -1 24. ¡(x) = X2/3, X 2: O

y y

y = j(x) y = rl(x)

Derivadas para funciones inversasEn los ejercicios 25 a 34 se presenta una fórmula de una función y = f(x).En cada caso, determine f-I(x) e identifique el dominio y el rango dej :', Para comprobar, demuestre que f(f-I(X)) = f-I(f(X)) = x.

25. ¡(x) = x5 26. ¡(x) = x4, X 2: O

27. ¡(x) = x3 + 1 28. ¡(x) = (l/2)x - 7/2

29. ¡(x) = 1/x2, X > O 30. ¡(x) = 1/x3, X * O

x+3 Vx31. ¡(x) = --2 32. ¡(x) = < r

x - v x - 333. ¡(x) = x2 - 2x, x oS 1

(Sugerencia: Complete el cuadrado).34. ¡(x) = (2x3 + 1)1/5

~,JI;I.".

y = ¡-I(x)I~

-1 0,/1 x

-1 --~~~-------------+xO

En los ejercicios 35 a 38:

a. Determine ¡-I(x).

b. Trace juntas las gráficas de f y j:'.

c. Evalúe df/ dx en x = a, df :! / dx en x = f(a), para mostrar que en esospuntos df-I/dx = l/(df/dx).

35. ¡(x) = 2x + 3, a = -1 36. ¡(x) = (l/5)x + 7, a = -1

37. ¡(x) = 5 - 4x, a = 1/2 38. ¡(x) = 2~, x 2: O, a = 5

39. a. Demuestre que ¡(x) = x3 y g(x) = -\YX son inversas.

b. Trace las gráficas de f y g sobre un intervalo en el eje x losuficientemente grande para mostrar que se intersecan en (1,1)Y (-1, -1). Asegúrese de que el dibujo muestre la simetríarequerida con respecto a la recta y = x.

c. Determine las pendientes de las tangentes a las gráficas de fy g en (1, 1) Y(-1, -1 ) (cuatro tangentes en total).

d. ¿Qué rectas son tangentes a las curvas en el origen?

40. a. Demuestre que h(x) = x3/4 y k(x) = (4X)I/3 son inversas.

b. Trace las gráficas de h y k sobre un intervalo en el eje x lo sufi-cientemente grande para mostrar que se intersecan en (2, 2) Y(- 2, -2). Asegúrese de que el dibujo muestre la simetría re-querida con respecto a la recta y = x.

c. Determine las pendientes de las tangentes a las gráficas de h y ken (2, 2) Y (-2, -2).

d. ¿Qué rectas son tangentes a las curvas en el origen?41. Sea f(x) = x3 - 3x2 - 1, x 2: 2. Determine el valor de df-I / dx en el

punto x = -1 = f(3).

42. Sea f(x) = x2 - 4x - 5, x > 2. Determine el valor de df-I / dx enel punto x = O= f(5).

43. Suponga que la función derivable y = f(x) tiene inversa y que la grá-fica de f pasa por el punto (2, 4), donde tiene pendiente igual a 1/3.Determine el valor de df-I / dx en x = 4.

44. Suponga que la función derivable y = g(x) tiene inversa y que la grá-fica de g pasa por el origen con pendiente 2. Determine la pendientede la gráfica de g-I en el origen.

Inversas de rectas45. a. Determine la inversa de la funciónf(x) = mx, donde m es una

constante diferente de cero.

b. ¿Qué conclusión obtiene a partir de la inversa de y = f(x) cuyagráfica es una recta que cruza el origen con pendiente m diferentede cero?

46. Demuestre que la gráfica de la inversa de f(x) = mx + b, con m yb constantes y m i= O,es una recta con pendiente l/m, y ordenadaal origen -b/m.

47. a. Determine la inversa de f(x) = x + l. Trace juntas las gráficasde f y su inversa. Agregue la recta y = x con guiones o puntospara que destaque.

b. Determine la inversa de f(x) = x + b (b constante). ¿Cómo es lagráfica de f-I en relación con la de f?

c. ¿Que concluye sobre las inversas de funciones cnyas gráficas sonrectas paralelas a la recta y = x?

48. a. Determine la inversa de f(x) = -x + l. Trace juntas las gráficasde las rectas y = -x + 1 YY = x. ¿Qué ángnlo forman?

b. Determine la inversa def(x) = -x + b (b constante). ¿Quéángulo forman las rectas y = -x + b y Y = x?

c. ¿Qué concluye sobre las inversas de funciones cuyas gráficas sonrectas perpendiculares a la recta y = x?

Funciones crecientes y funciones decrecientes49. Demuestre que tanto las funciones crecientes como las decrecientes

son inyectivas. Es decir, para cualquiera XI y X2 de I, X2 i= XI implicaque f(X2) i= f(xI).

Utilice los resultados del ejercicio 49 para mostrar que las funciones de losejercicios 50 a 54 tienen inversas en sus dominios. Determine una fórmulapara df -1 / dx con el teorema 1.

50. ¡(x) = (l/3)x + (5/6)

52. ¡(x) = 1 - 8x3

54. ¡(x) = x5/3

51. ¡(x) = 27x3

53. ¡(x) = (1 - X)3


21. f(x) = x3 - 1

y

22. f(x) = X2 - 2x + 1, x 2: 1

Y y = j(x)

-------+-4--~-------+x

--+---~~-----------+x

O

23. f(x) = (x + 1)2, X 2: -1 24. f(x) = X2/3, X 2: O

y y

/ Fft<l Y = ¡-l(x)

1 y = ¡ - I(x)

~X - 1 0 ,/ 1

-1 x O

Derivadas para funciones inversas En los ejercicios 25 a 34 se presenta una fórmula de una función y = f(x). En cada caso, determine f - l(x) e identifique el dominio y el rango de f -] Para comprobar, demuestre que f(f- l(X)) = f- l(f(x)) = x.

25. f(x) = x5 26. f(x) = x4, X 2: O

27. f(x) = x3 + 1 28. f(x) = (l/2)x - 7/2

29. f(x) = l/x2, X > O 30. f(x) = l /x3, X *" O

31. f(x) = ; ~ ~ 32. f(x) = ¿ 3

33. f(x) = x2 - 2x, x oS l (Sugerencia: Complete el cuadrado).

34. f(x) = (2x3 + 1)1/5

En los ejercicios 35 a 38:

a. Determine f-l(x).

b. Trace juntas las gráficas de f y f -] c. Evalúe df/ dx en x = a, df-l / dx en x = f(a), para mostrar que en esos

puntos df - l/dx = l/(df/dx).

35. f(x) = 2x + 3, a = - 1 36. f(x) = (l/5)x + 7, a = -1

37. f(x) = 5 - 4x, a = 1/2 38. f(x) = 2x2, X 2: O, a = 5

39. a. Demuestre que f(x) = x3 y g(x) = "\YX son inversas.

b. Trace las gráficas de f y g sobre un intervalo en el eje x lo suficientemente grande para mostrar que se intersecan en (1, 1) Y (-1 , -1). Asegúrese de que el dibujo muestre la simetría requerida con respecto a la recta y = x.

c. Determine las pendientes de las tangentes a las gráficas de f y g en (1, 1) Y (-1, - 1 ) (cuatro tangentes en total).


40. a. Demuestre que h(x) = x3/4 y k(x) = (4X)I/3 son inversas.

b. Trace las gráficas de h y k sobre un intervalo en el eje x lo suficientemente grande para mostrar que se intersecan en (2, 2) Y (- 2, - 2). Asegúrese de que el dibujo muestre la simetría requerida con respecto a la recta y = x.

c. Determine las pendientes de las tangentes a las gráficas de h y k

en (2, 2) Y (- 2, -2).


41. Sea f(x) = x 3 - 3x2 - 1, x 2: 2. Determine el valor de df - l / dx en el punto x = -1 = f(3).

42. Sea f(x) = x2 - 4x - 5, x > 2. Determine el valor de df -l / dx en el punto x = O = f(5).

43. Suponga que la función derivable y = f(x) tiene inversa y que la grá

fica de f pasa por el punto (2, 4), donde tiene pendiente igual a 1/3 .

Determine el valor de df - l / dx en x = 4.

44. Suponga que la función derivable y = g(x) tiene inversa y que la gráfica de g pasa por el origen con pendiente 2. Determine la pendiente de la gráfica de g - l en el origen.

Inversas de rectas 45. a. Determine la inversa de la funciónf(x) = mx, donde m es una

constante diferente de cero.

b. ¿Qué conclusión obtiene a partir de la inversa de y = f(x) cuya gráfica es una recta que cruza el origen con pendiente m diferente de cero?

46. Demuestre que la gráfica de la inversa de f(x) = mx + b, con m y

b constantes y m *" O, es una recta con pendiente l/m, y ordenada

al origen -b/m.

47. a.

b.

c.

48. a.

b.

c.

Determine la inversa de f(x) = x + l. Trace juntas las gráficas de f y su inversa. Agregue la recta y = x con guiones o puntos para que destaque.

Determine la inversa de f(x) = x + b (b constante). ¿Cómo es la gráfica de f- l en relación con la de f?

¿Que concluye sobre las inversas de funciones cnyas gráficas son rectas paralelas a la recta y = x?

Determine la inversa de f(x) = -x + l. Trace juntas las gráficas

de las rectas y = -x + l Y Y = x. ¿Qué ángulo forman?

Determine la inversa de f(x) = - x + b (b constante). ¿Qué ángulo forman las rectas y = -x + b y Y = x?

¿Qué concluye sobre las inversas de funciones cuyas gráficas son rectas perpendiculares a la recta y = x?

Funciones crecientes y funciones decrecientes 49. Demuestre que tanto las funciones crecientes como las decrecientes

son inyectivas. Es decir, para cualquiera X l y X2 de l , X2 * Xl implica

que f(X2) * f(Xl).

Utilice los resultados del ejercicio 49 para mostrar que las funciones de los ejercicios 50 a 54 tienen inversas en sus dominios. Determine una fórmula para df - 1 / dx con el teorema 1.

50. f(x) = (l/3)x + (5/6)

52. f(x) = 1 - 8x3

54. f(x) = x5/3

51. f(x) = 27x3

53. f(x) = (l - X)3


Teoría y aplicaciones55. Si f(x) es inyectiva, ¿qué puede decir de g(x) = -f(x)? ¿También es

inyectiva? Justifique su respuesta.

56. Si f(x) es inyectiva y f(x) nunca es 0, ¿qué puede decir de h(x) = 1/f(x)? ¿También es inyectiva? Justifique su respuesta.

57. Suponga que el rango de g está en el dominio de f, por lo cual la com-posición f o g está definida. Si j Yg son inyectivas, ¿qué puede decirde f o g? Justifique su respuesta.

58. Si una composición f o g es inyectiva, ¿también g debe serlo? Justi-fique su respuesta.

59. Suponga que f y g son funciones derivables e inversas entre sí, demanera que (g o f)(x) = x. Derive ambos lados de la ecuación conrespecto a x, con la regla de la cadena, para expresar (g o f)'(x)como un producto de derivadas de g y f. ¿Qué encontró? (Ésta noes una demostración del teorema 1, porque aquí hemos supuesto laconclusión del teorema, es decir, que g = f-I es derivable).

60. Equivalencia de los métodos de las arandelas y los cascaronespara calcular volúmenes Sea f derivable y creciente en el intervaloa ~ x ~ b, con a > 0, y suponga que f tiene inversa derivable, i:'.Haga girar alrededor del eje y la región acotada por la gráfica de f ylas rectas x = a y y = f(b), para generar un sólido. Entonces, los va-lores de las integrales obtenidas por los métodos de las arandelasy los cascarones para calcular el volumen tienen valores idénticos:

7.2 Logaritmos naturales 369

EXPLORACIONES CON COMPUTADORAEn los ejercicios 61 a 68 explorará algunas funciones y sus inversas, juntocon sus derivadas y funciones lineales de aproximación en puntos especí-ficos. Realice los siguientes pasos con el manejo de su SAC:

a. Trace la función y = f(x) junto con su derivada en el intervalo dado.Explique por qué sabe que f es una función inyectiva en el intervalo.

b. Despeje a x de la ecuación y = f(x) como una función de y, luegollame a la función inversa resultante g.

c. Determine la ecuación para la recta tangente a f en el puntoespecífico (xo,f(xo)).

d. Determine la ecuación para la recta tangente a f en el punto (f(xo), xo),que está ubicado simétricamente con respecto a la recta de 450 y = x(que es la gráfica de la función identidad). Utilice el teorema J parahallar la pendiente de dicha recta tangente.

e. Trace las funciones f y g, la identidad, las dos rectas tangentes yel segmento de recta que une a los puntos (xo, f(xo)) y (f(xo), xo).Analice las simetrías que vea con respecto a la diagonal principal.

61. y=~, ~<x<4 xo=33 - - ,

1f(b) lb7T((j-I(y))2 - a2) dy = 27Tx(j(b) - f(x)) dx.

f(a) a

3x + 262. y = 2x _ 11' -2 ~ x ~ 2, Xo = 1/2

4x63. y = ~ + l ' -1 -s x ~ 1, Xo = 1/2

x364. Y = -2~-' -1 ~ x ~ 1, Xo = 1/2

x + 1

2765. y = ~ - 3~ - 1, 2 ~ x ~ 5, Xo = \O

66. y = 2 - x - x3, - 2 ~ X ~ 2, 3Xo ="2

Para demostrar esta igualdad, defina

1MW(t) = 7T((¡-I(y))2 - a2) dy

f(a)

S(t) = [27TX(j(t) - f(x)) dx.

Ahora demuestre que las funciones W y S coinciden en un punto de[a, b] y tienen derivadas idénticas en [a, b]. Como vio en el ejercicio90 de la sección 4.7, esto garantiza que W(t) = S(t) para toda t en[a, b]. En particular, W(b) = S(b). (Fuente: "Disks and Shells Re-visited", por Walter Carlip, American Mathematical Monthly, vol. 98,núm. 2, febrero de 1991, pp. 154-156).

7.2 Logaritmos naturaLes

67. Y = e', - 3 ~ x ~ 5, Xo = 1

68. y = senx,

En los ejercicios 69 y 70, repita los pasos anteriores para las funcionesy = f(x) y x = f-I(y) definidas de manera implícita por medio de lasecuaciones dadas en el intervalo.69. yl/3 - 1 = (x + 2)3, -5 ~ x ~ 5, Xo = -3/2

70. cosy = XI/5, ° ~ X ~ 1, Xo = 1/2

Históricamente los .Iogaritmos desempeñaron un papel importante en cálculos aritméticos, locual hizo posible los grandes avances del siglo XVII en la navegación en alta mar y la mecá-nica celeste. En esta sección definiremos ellogaritmo natural como una integral, empleando elteorema fundamental del cálculo. Aunque tal vez este enfoque indirecto le parezca extrañoa primera vista, ofrece una manera elegante y rigurosa de obtener las características claves delas funciones logarítmicas y exponenciales.

Definición de la función logaritmo naturalEllogaritmo natural de un número positivo x, escrito como In x, es el valor de una integral.

Teoría y aplicaciones 55. Si ¡(x) es inyectiva, ¿qué puede decir de g(x) = -¡(x)? ¿También es

inyectiva? Justifique su respuesta.

56. Si ¡(x) es inyectiva y ¡(x) nunca es O, ¿qué puede decir de h(x) = 1/ ¡(x)? ¿También es inyectiva? Justifique su respuesta.

57. Suponga que el rango de g está en el dominio de ¡ , por lo cual la composición f o g está definida. Si I y g son inyectivas, ¿qué puede decir de f o g? Justifique su respuesta.

58. Si una composición f o g es inyectiva, ¿también g debe serlo? Justifique su respuesta.

59. Suponga que ¡ y g son funciones derivables e inversas entre sí, de manera que (g o f)(x) = x. Derive ambos lados de la ecuación con respecto a x, con la regla de la cadena, para expresar (g o f)'(x)

como un producto de derivadas de g y f. ¿Qué encontró? (Ésta no es una demostración del teorema 1, porque aquí hemos supuesto la conclusión del teorema, es decir, que g = ¡-1 es derivable).

60. Equivalencia de los métodos de las arandelas y los cascarones pan calcular volúmenes Sea ¡ derivable y creciente en el intervalo a :s; x :s; b; con a > O, Y suponga que ¡ tiene inversa derivable, ¡ - l. Haga girar alrededor del eje y la región acotada por la gráfica de ¡ y las rectas x = a y y = ¡(b), para generar un sólido. Entonces, los valores de las integrales obtenidas por los métodos de las arandelas y los cascarones para calcular el volumen tienen valores idénticos:

11(h) l h 7T«(j -l(y))2 - a2) dy = 27Tx(j(b) - f(x)) dx.

I(a) a

Para demostrar esta igualdad, defina

1M W(t) = 7T«(j - l(y))2 - a2) dy

I(a)

S(t) = [27TX(j(t) - f(x)) dx.

Ahora demuestre que las funciones W y S coinciden en un punto de [a, b] y tienen derivadas idénticas en [a, b]. Como vio en el ejercicio 90 de la sección 4.7, esto garantiza que W(t) = S(t) para toda t en [a, b]. En particular, W(b) = S(b). (Fuente: "Disks and Shells Revisited", por Walter Carlip, American Mathematical Monthly, vol. 98, núm. 2, febrero de 1991, pp. 154-156).

7.2 Logaritmos naturaLes


EXPLORACIONES CON COMPUTADORA En los ejercicios 61 a 68 explorará algunas funciones y sus inversas, junto con sus derivadas y funciones lineales de aproximación en puntos específicos. Realice los siguientes pasos con el manejo de su SAC:

a. Trace la función y = ¡(x) junto con su derivada en el intervalo dado. Explique por qué sabe que ¡ es una función inyectiva en el intervalo.

b. Despeje a x de la ecuación y = ¡(x) como una función de y, luego llame a la función inversa resultante g.

c. Determine la ecuación para la recta tangente a ¡ en el punto específico (xo , ¡(¡col).

d. Determine la ecuación para la recta tangente a ¡ en el punto (f(xo) , xo),

que está ubicado simétricamente con respecto a la recta de 45 0 y = x (que es la gráfica de la función identidad). Utilice el teorema l para hallar la pendiente de dicha recta tangente.

e. Trace las funciones ¡ y g, la identidad, las dos rectas tangentes y el segmento de recta que une a los puntos (xo, ¡(xo)) y (f(xo), xo) .

Analice las simetrías que vea con respecto a la diagonal principal.

61. y=~, Xo = 3

3x + 2 62. y = 2x - 11' - 2 :s; x:S; 2, Xo = 1/ 2

4x 63. y = ~ + l ' - 1 :s; x :s; 1, Xo = 1/ 2

x3

64. y = -2~-' - 1 :S; x :s; 1, Xo = 1/ 2 x + 1

27 65. y = ~ - 3~ - 1, 2:s; x :s; 5, Xo = 10

66. y = 2 - x - x3, - 2 :s; x :s; 2,

67. Y = ec, -3:s; x :s; 5, Xo = 1

68 Y = sen x - ~ < x < ~ Xo = . , 2 - - 2'

3 Xo ="2

En los ejercicios 69 y 70, repita los pasos anteriores para las funciones y = ¡(x) y x = ¡-ley) definidas de manera implícita por medio de las ecuaciones dadas en el intervalo.

69. yl/3 - 1 = (x + 2)3, - 5:S; x :s; 5, Xo = -3/2

70. cosy = Xl/5

, O :s; X :s; 1, Xo = 1/2

Históricamente los .logaritmos desempeñaron un papel importante en cálculos aritméticos, lo cual hizo posible los grandes avances del siglo XVII en la navegación en alta mar y la mecánica celeste. En esta sección definiremos el logaritmo natural como una integral, empleando el teorema fundamental del cálculo. Aunque tal vez este enfoque indirecto le parezca extraño a primera vista, ofrece una manera elegante y rigurosa de obtener las características claves de las funciones logarítmicas y exponenciales.

Definición de la función logaritmo natural

El logaritmo natural de un número positivo x, escrito como In x, es el valor de una integral.



I;!,ii •.•.•

TABLA 7.1 Valores comunes,con dos decimales, de ln x

x Inx

O no definido0.05 -3.000.5 -0.69l O2 0.693 l.l0

4 1.39

10 2.30

DEFINICIÓN Ellogaritmo natural es la función dada por

lx 1lnx = 1 -¡dt, x> O. (1)

A partir del teorema fundamental del cálculo, In x es una función continua. Geométrica-mente, si x > 1, entonces In x es el área debajo de la curva y = l/t desde t = 1 hasta t = x(figura 7.8). Para O < x < 1, In x proporciona el negativo del área bajo la curva desde x hasta l.Para x ::; O, la función no está definida. Con base en la regla del intervalo de ancho cero paraintegrales definidas, también tenemos

1'1In 1 = 1 -¡dt = O.

y

Si O< x < 1, entonces In x =lX~dt = _11

~ dt

da el negativo de esta área.

Si x> 1, entonces In x =lX~dt

da esta área. I y = Inx

1

:/~--~-7J~--------~--------------+)xO x 1\ x I

Si x = 1, entonces In x =1~dt = O.

1y=:x

FIGURA 7.8 La gráfica de y = In x y su relacióncon la función y = l/x, x> O.La gráfica dellogaritmo se eleva por arriba del eje x cuando x semueve desde I hacia la derecha, mientras desciendepor debajo del eje x cuando x se mueve desde 1 haciala izquierda.

Observe que en la figura 7.8 mostramos la gráfica de y = l/x, pero utilizamos y = l/ten la integral. Al usar x para todo, habríamos escrito

lx 1lnx = , xdx,

con x con dos significados diferentes. Así que cambiamos a t como variable de integración.Para obtener aproximaciones finitas del área debajo de la gráfica de y = l/t en el inter-

valo entre t = 1 Y t = x, por medio de rectángulos, como en la sección 5.1, podemos aproximarlos valores de la función In x. En la tabla 7.1 se presentan varios valores especiales. Existeun número importante entre x = 2 Y x = 3 cuyo logaritrno natural es igual a 1. Este número,que ahora definimos, existe, ya que In x es una función continua y por lo tanto satisface el teo-rema del valor intermedio en [2, 3].

DEFINICIÓN Así que el número e está dentro del intervalo [2, 3] Y satisface

In (e) = l.


7.2 Logaritmos naturaLes 371

Así que el número e está dentro del intervalo [2, 3] Ysatisface

¡e 11 tdt = l.

Al interpretarlo de manera geométrica, el número e corresponde al punto en el eje x para el cualel área debajo de la gráfica de y = 1/ t Y sobre el intervalo [1, e] tiene el área exacta de uncuadrado unitario. Esto es, el área de la región sombreada en naranja en la figura 7.8 es 1unidad cuadrada cuando x = e. En la siguiente sección veremos que el número e puede calcu-larse como un límite y tiene el valor numérico e ~ 2.718281828459045 a 15 lugares decimales.

La derivada de y = ln x

Según la primera parte del teorema fundamental del cálculo (sección 5.4),

d d¡X1 1dx In x = dx 1 t dt = x'

ASÍ, para todos los valores positivos de x, tenemos

d 1dxlnx = x'

y la regla de la cadena extiende dicha fórmula para funciones positivas u(x):

d d du-lnu = -Inu'-dx du dx

d 1 du-lnu =--dx u dx ' u> O. (2)

EJEMPLO 1 Utilizamos la ecuación (2) para determinar derivadas,

d 1 d 1 1(a) dx In 2x = 2x dx (2x) = 2x (2) = x' x > O

(b) La ecuación (2) con u = x2 + 3 da

iLln(x2 + 3) = _l_.iL(~ + 3) = _1_·2x =~.dx ~+3 dx ~+3 x2+3

Observe el caso extraordinario del ejemplo la. La función y = In 2x tiene la misma de-rivada que y = In x. Esto es válido para y = In bx, para cualquier constante b, siempre quebx> O:

•

d 1 d 1 1-]nbx = -'-(bx) = -(b) = -.dx bx dx bx x (3)

Si x < O Y b < O, entonces bx > O, por lo que la ecuación (3) sigue siendo válida. En particular,si x < O Y b = - 1 obtenemos

d 1dx In (-x) = x

Puesto que Ixl = x, cuando x > O Y Ixl = -x cuando x < O, tenemos el siguiente resultado im-portante, el cual indica que In Ixl es una antiderivada de l/x, x *- O.

parax < O.

x =1= O (4)


Así que el número e está dentro del intervalo [2, 3] Y satisface

¡e 1 1 t dt = l .

Al interpretarlo de manera geométrica, el número e corresponde al punto en el eje x para el cual el área debajo de la gráfica de y = l / t y sobre el intervalo [1 , e] tiene el área exacta de un cuadrado unitario. Esto es, el área de la región sombreada en naranja en la figura 7.8 es 1 unidad cuadrada cuando x = e. En la siguiente sección veremos que el número e puede calcularse como un límite y tiene el valor numérico e ~ 2.718281828459045 a 15 lugares decimales.

La derivada de y = ln x

Según la primera parte del teorema fundamental del cálculo (sección 5.4),

d d ¡X 1 1 dx In x = dx 1 t dt = x'

Así, para todos los valores positivos de x, tenemos

d 1 dx Inx = x'

y la regla de la cadena extiende dicha fórmula para funciones positivas u(x):

d d du - lnu = - lnu' dx du dx

d 1 du -Inu = - -dx udx'

u> O.

EJEMPLO 1 Utilizamos la ecuación (2) para determinar derivadas,

d 1 d 1 1 (a) dx In 2x = 2x dx (2x) = 2x (2) = x' x > O

(b) La ecuación (2) con u = x2 + 3 da

iL ln (x2 + 3) = _l_.iL(~ + 3) = _ 1_· 2x = ~. dx ~+3 dx ~+3 x2+3

(2)

• Observe el caso extraordinario del ejemplo la. La función y = In 2x tiene la misma de

rivada que y = In x . Esto es válido para y = In bx, para cualquier constante b, siempre que bx> o:

d 1 d 1 1 - Inbx = - '-(bx) = -(b) = -. dx bx dx bx x

(3)

Si x < O Y b < O, entonces bx > O, por lo que la ecuación (3) sigue siendo válida. En particular, si x < ° y b = - 1 obtenemos

d 1 dx In (-x) = x parax < O.

Puesto que Ix l = x, cuando x > ° y Ix l = - x cuando x < 0, tenemos el siguiente resultado importante, el cual indica que In Ixl es una antiderivada de l /x, x *- O.

x =1= O (4)



BIOGRAFÍA HISTÓRICA

101m apier(1550-1617)

.,

Propiedades de los logaritmos

Los logaritmos fueron inventados por John Napier y fueron el avance individual más importan-te en el cálculo aritmético antes de las modernas computadoras electrónicas. Lo que los hacetan útiles es que las propiedades de los logaritmos permiten la multiplicación de números po-sitivos por medio de la suma de sus logaritmos, la división de números positivos por medio dela resta de sus logaritmos y la exponenciación de un número por medio de la multiplicaciónde su logaritmo por el exponente.

TEOREMA 2: Propiedades aLgebraicas de LosLogaritmos naturaLes Para cuales-quiera números b> OYx > 0, ellogaritmo natural satisface las siguientes reglas:

1. Regla del producto: In bx = In b + In x

2. Regla del cociente: bIni" = Inb - Inx

3. Regla del recíproco: IIni" = -Inx Regla2 conb =

4. Regla de la potencia: ln x" = r Inx Parar racional

Por ahora sólo consideraremos exponentes racionales en la regla 4. En la sección 7.3 veremosque la regla también se cumple para todos los exponentes reales.

EJEMPLO 2

(a) In 4 + In sen x = In(4senx) Producto

(b) x + I 1) - In(2x - 3)In 2x _ 3 = In (x + Cociente

(e)IIn- = -ln8 Recíproco8

= +ln 23 = -31n2 Potencia •Ahora haremos la demostración del teorema 2. Las propiedades se demuestran aplicando

a cada una de ellas el corolario 2 del teorema del valor medio.

Demostración de que Lnbx = Lnb + Lnx El argumento inicia con la observación de queIn bx y In x tienen la misma derivada:

d biddx In (bx) = bx = i" = dx In x.

Entonces, de acuerdo con el corolario 2 del teorema del valor medio, las funciones debendiferir por una constante, lo cual significa que

Inbx = Inx + epara alguna constante C.

Como esta última ecuación se cumple para todos los valores positivos de x, debe satisfa-cerse para x = l. De aquí que,

In (b· 1) = In 1 + eIn b = ° + e In I = O

e = In b.

Al sustituir, concluimos que

Inbx = Inb + lnx. •


y1

Y = X


Demostración de que ln x' = r ln x (suponiendo que r sea racional) Nuevamente utiliza-mos el argumento de la misma derivada. Para todos los valores positivos de x,

Ecuación (2) con u = x'

l r-l= xrx

Regla de la potenciageneral para derivadas, res racional

1 f-- __ I----~--'='=¡_2

O~--------~1-----------2~~x

(a)

y

l d= r'x = dx (r ln x).

Como In x" y r In x tienen la misma derivada,

ln x" = rlnx + epara alguna constante C. Tomando x igual a 1, se deduce que e es cero, con lo cual concluye lademostración. (En el ejercicio 46 de la sección 3.7 se pide una demostración de la regla generalpara derivadas de potencias cuando r es racional).

En el ejercicio 86 se le pedirá demostrar la regla 2. La regla 3 es un caso especial de laregla 2, que se obtiene estableciendo que b = 1 Y observando que In 1 = O. Esto cubre todos loscasos del teorema 2. •

Aún no hemos demostrado la regla 4 para r irracional; sin embargo, la regla se cumple paratoda r, racional o irracional. En la siguiente sección demostraremos esto después de definir lasfunciones exponenciales y los exponentes irracionales.

La gráfica y el rango de ln xEn la figura 7.8 mostramos la gráfica de y = In x. Verifiquemos sus propiedades. La derivadad(1n x)/dx = l/x es positiva para x> O; por lo tanto, In x es una función creciente de x. La se-gunda derivada, -1/x2, es negativa, por lo cual la gráfica de In x es cóncava hacia abajo.

Podemos estimar el valor de In 2, si consideramos el área debajo de la gráfica de l/x yarriba del intervalo [1,2]. En la figura 7.9a un rectángulo de altura 1/2 sobre el intervalo [1,2]cabe debajo de la gráfica. Por lo tanto, el área bajo la gráfica, que es In 2, es mayor que el áreadel rectángulo, 1/2. Así, In 2 > 1/2. Sabiendo esto, tenemos,

In2/1 = nln2 > n(~) = ~

y

lnT" = -nln2 < -n(l) =_!Ie2 2'

Se sigue que

lím Inx = 00x~OO

y lím lnx = -00x~o+

Definimos In x para x > O, de manera que el dominio de In x es el conjunto de los númerosreales positivos. El análisis anterior y el teorema del valor intermedio indican que su rango estoda la recta real, con lo que se obtiene la gráfica de y = In x que se presenta en la figura 7.9b.

La integral J(l/u) duLa ecuación (4) conduce a la siguiente fórmula integral.

Si u es una función derivable que nunca es cero,

--+-__~~----------------~x

(b)

FIGURA 7.9 (a) El rectángulo de alturay = 1/2 cabe exactamente debajo de lagráfica de y = l/x para el intervalo1 ~ x ~ 2. (b) La gráfica dellogaritmonatural.

J fzdu = In Iu I + c. (5)

y

1~ _________ -4 ________ -=~.

2

o~---------7----------~--~ x

y

--+-~~~----------------~x O

(b)

FIGURA 7.9 (a) El rectángulo de altura y = 1/ 2 cabe exactamente debajo de la gráfica de y = l / x para el intervalo 1 :s; x:s; 2. (b) La gráfica del logaritmo natural.


Demostración de que ln x' = r ln x (suponiendo que r sea racional) Nuevamente utilizamos el argumento de la misma derivada. Para todos los valores positivos de x,

Ecuación (2) con u = x'

1 r - l = x rx

1 d = r· x = dx (rlnx).

Como In xr y r In x tienen la misma derivada,

In xr = r In x + C

Regla de la potencia general para derivadas, r

es racional

para alguna constante C. Tomando x igual a 1, se deduce que C es cero, con lo cual concluye la demostración. (En el ejercicio 46 de la sección 3.7 se pide una demostración de la regla general para derivadas de potencias cuando r es racional).

En el ejercicio 86 se le pedirá demostrar la regla 2. La regla 3 es un caso especial de la regla 2, que se obtiene estableciendo que b = 1 y observando que In 1 = O. Esto cubre todos los casos del teorema 2. •

Aún no hemos demostrado la regla 4 para r irracional; sin embargo, la regla se cumple para toda r, racional o irracional. En la siguiente sección demostraremos esto después de definir las funciones exponenciales y los exponentes irracionales.

La gráfica y el rango de ln x

En la figura 7.8 mostramos la gráfica de y = In x. Verifiquemos sus propiedades. La derivada d(ln x)/ dx = l / x es positiva para x> O; por lo tanto, In x es una función creciente de x. La segunda derivada, -1 / x2, es negativa, por lo cual la gráfica de In x es cóncava hacia abajo.

Podemos estimar el valor de In 2, si consideramos el área debajo de la gráfica de l /x y arriba del intervalo [1 , 2]. En la figura 7.9a un rectángulo de altura 1/ 2 sobre el intervalo [1 ,2] cabe debajo de la gráfica. Por lo tanto, el área bajo la gráfica, que es In 2, es mayor que el área del rectángulo, 1/ 2. ASÍ, In 2 > 1/ 2. Sabiendo esto, tenemos,

y

Se sigue que

ln2/1 = n ln2 > n(~) = ~

In T" = - n In 2 < - n (1) = _ 12 2 2·

lím Inx = 00 x----?oo

y lím Inx = - 00 x~o+

Definimos In x para x > O, de manera que el dominio de In x es el conjunto de los números reales positivos. El análisis anterior y el teorema del valor intermedio indican que su rango es toda la recta real, con lo que se obtiene la gráfica de y = In x que se presenta en la figura 7. 9b.

La integral J (l/u ) du

La ecuación (4) conduce a la siguiente fórmula integral.

Si u es una función derivable que nunca es cero,

J .ftdu = In lul + C. (5)



La ecuación (5) dice que las integrales de cierta forma conducen a logaritmos. Si u = f(x),entonces du = f' (x)dx y

J ~(~;dx = In [f(x) [ + C

siempre que f(x) sea una función derivable que nunca sea cero.

EJEMPLO 3 Aquí reconocemos una integral de la forma J d::.

12 1-1 ]-1J2x dx = ~ = In tulo .x- - 5 -5 -5

u = x2 - 5,u(O) = -5,

du = 2x dx,u(2) = -1

= In [- 1[ - In [- 5[ = In 1 - In 5 = -In 5 •

Las integraLes de tan x, eot x, see x y ese xLa ecuación (5) nos indica cómo integrar estas funciones trigonométricas.

J J senx J -dutan x dx = cosx dx = -u-u = cosx > Oen (-7T/2, 71/2),du = -senx dx

"= -In tul + C = -In [cos x]

1= In-[--[ + C = In [sec x]cosx

+C+ C. Regla del recíproco

Para la cotangente,

= J d:: = In lul + C = In Isec x + tan xl + Cu = secx + tanxdu = (secx tan x + sec'' x) dx

J J cosxdx J ducotx dx = senx = uti = senx,du = cosxdx

= In tul + C = In [sen x] + C = -In [cscx[ + c.

Para integrar sec x, multiplicamos por y dividimos entre (sec x + tan x).

J J (sec x + tan x) J sec2 x + sec x tan xsec x dx = sec x dx = dx(secx + tanx) secx + tanx

Para el caso de ese x, multiplicamos por y dividimos entre (ese x + cot x).

J J (cscx + cotx) J csc2 x + ese x cotxcsc x dx = cscx dx = dx

(cscx + cotx) cscx + cotx

= J -íu = -In lul + C = -In jcscx + cotxl + Cu = csex + eotxdu = (-ese x col x - csc' x) dx

J tan u du = In [sec u [ + C

J cot u du = In [sen u [ + C

J sec u du = In [sec u + tan u [ + C

J ese u du = -In [ese u + cot u [ + C

Integrales de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante


La ecuación (5) dice que las integrales de cierta forma conducen a logaritm·os. Si u = f(x) , entonces du = f' (x)dx y

J ~(~; dx = In [f(x) [ + C

siempre que f(x) sea una función derivable que nunca sea cero.

EJEMPLO 3 Aquí reconocemos una integral de la forma J d::.

12 1-1 ]-1 J2x dx = d:: = In tul o .x- - 5 - 5 -5

u = x2 - 5, du = 2r dx, u(O) = - 5, u(2) = - 1

= In [-1[ - In [- 5[ = In 1 - In 5 = -In 5 •

Las integraLes de tan x, eot x, see x y ese x

La ecuación (5) nos indica cómo integrar estas funciones trigonométricas.

J J senx J - du tan x dx = cos x dx = - u-u = cosx > Oen( - 7T/ 2,7T/ 2), du = - senx e/x

= -In tul + C = -In [cosx[ + C

1 = In~[-~ + C = In [secx[ + C. cos x[

Regla del recíproco

Para la cotangente,

J J cosxdx J du cot x dx = senx = u

u = senx, du = cosxdx

= In tu l + C = In [sen x[ + C = -In [cscx[ + C.

Para integrar sec x, multiplicamos por y dividimos entre (sec x + tan x).

sec x dx = sec x dx = dx J J (sec x + tan x) J sec2 x + sec x tan x (secx + tanx) secx + tan x

= J d:: = In lul + C = In Isec x + tan xl + C u = secx + tanx elu = (secx tan x + sec2 x) e/x

Para el caso de csc x, multiplicamos por y dividimos entre (csc x + cot x) .

cscx dx = cscx dx = dx J J (cscx + cotx) J csc2 x + csc x cotx (cscx + cotx) cscx + cotx

= J -íu = -In lul + C = - In lescx + cotxl + C

u = cscx + cotx elu = ( - cscx cotx - csc2 x) dx

Integrales de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante

J tan u du = In [sec u [ + C

J cot u du = In [sen u [ + C

J sec u du = In [sec u + tan u [ + C

J csc u du = -In [csc u + cot u [ + C



EJEMPLO 4

{7r/6 {7r/3 d 1 r/3

lo tan 2x dx = lo tan u· ; = 2lo tan u du

1 ]7r/3 1 1= 2 In 1sec u 1 o = 2 (ln 2 - In 1) = 2 In 2

Sustituya u = 2x,dx = du/2,u(O) = O,u(-re/6) = 7(/3 •

Derivación logaritmicaCon frecuencia, las derivadas de funciones positivas cuyas fórmulas incluyen productos, cocien-tes y potencias se obtienen más rápidamente al calcular los logaritmos naturales de ambos ladosantes de hacer la derivación. Lo anterior nos permite utilizar las leyes de los logaritmos parasimplificar las ecuaciones antes de obtener sus derivadas. Este proceso se denomina deriva-ción logarítmica y se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 5 Determine dy/dx si

y=(~ + 1)(x + 3)1/2

X - 1x> 1.

Solución Tomamos el logaritmo natural en ambos lados y simplificamos el resultado con laspropiedades de los logaritmos:

(x2 + 1)(x + 3)1/2Iny = In 1x-

= In ((x2 + 1)(x + 3)1/2) - In (x - 1)

= In(x2 + 1) + In (x + 3)1/2 - In (x - 1)

= In (x2 + 1) + ~ In (x + 3) - In (x - 1).

Regla 2

Regla I

Regla 4

Luego, derivamos ambos lados con respecto a x, con la ecuación (2) en la izquierda:

1 dy 1 1 1 1-- = --- ·2x + -. -- ---Y dx ~+1 2 x+3 x-l·

Ahora despejamos dyf dx:

dy = (~+ _1 1_)dx Y ~+1 2x+6 x-l·

Por último, sustituimos la y de la ecuación original:

dy = (~+ 1)(x + 3)1/2 ( 2x + _1 1_)dx x-l ~+1 2x+6 x-l· •

Un cálculo directo en el ejemplo 5 utilizando las reglas del cociente y del producto sería muchomás largo.

Ejercicios ~7-=--.2~.,--- _

Uso de las propiedades algebraicas: Teorema 21. Exprese los siguientes logaritmos en términos de In 2 y In 3.

a. In 0.75

d.lnV9

b.ln(4/9)

e. In3Y2

c. In (1/2)

f. In Vi3.5

2. Exprese los siguientes logaritmos en términos de In 5 y In 7.

a. In (1/125) b. In 9.8 c. In rJid. In 1225 e. In 0.056

f. (In 35 + In (l/7»/(ln 25)


EJEMPLO 4

{7r/6 {"'/3 d 1 {rr/3 Jo tan 2x dx = Jo tan u· ; = 2Jo tan u du

1 ]7T/3 1 1 = 2 In 1 sec u 1 o = 2 (In 2 - In 1) = 2 In 2

Derivación logaritmica

Sustituya u = 2x,

e/x = e/u/ 2, u(O) = O,

u( 'Tr/ 6) = 'Tr/ 3

•

Con frecuencia, las derivadas de funciones positivas cuyas fórmulas incluyen productos, cocientes y potencias se obtienen más rápidamente al calcular los logaritmos naturales de ambos lados antes de hacer la derivación. Lo anterior nos permite utilizar las leyes de los logaritmos para simplificar las ecuaciones antes de obtener sus derivadas. Este proceso se denomina derivación logarítmica y se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 5 Determine dy/dx si

y= (~ + l)(x + 3)1/2

x - 1 x> 1.

Solución Tomamos el logaritmo natural en ambos lados y simplificamos el resultado con las propiedades de los logaritmos:

(x2 + 1)(x + 3)1/2 Iny = In 1 x -

= In ((x2 + 1)(x + 3)1/2) - In (x - 1) Regla 2

= In (~ + 1) + In (x + 3) 1/2 - In (x - 1) Regla I

= In (~ + 1) + ~ In (x + 3) - In (x - 1) . Regla 4

Luego, derivamos ambos lados con respecto a x, con la ecuación (2) en la izquierda:

1 dy 1 1 1 1 - - = -- .2x + - . - - ---Y dx x2+1 2 x+3 x-l '

Ahora despejamos dy/dx:

dy = (~ + _1 _ __ 1_) dx Y ~+1 2x+6 x - l'

Por último, sustituimos la y de la ecuación original:

dy = (~ + I )(x + 3)1/2 (~ + _1 _ __ 1_) dx x- l ~ +1 2x+6 x - l ' •

Un cálculo directo en el ejemplo 5 utilizando las reglas del cociente y del producto sería mucho más largo.

Uso de las propiedades algebraicas: Teorema 2 2. Exprese los siguientes logaritmos en términos de In 5 y In 7. 1. Exprese los siguientes logaritmos en términos de In 2 y In 3.

a. In 0.75

d.lnV9

b.ln(4/ 9)

e. In3V2

c. In (1 / 2)

f. In Vl3.5

a. In (1 / 125) b. In 9.8 c. In r J i d. In 1225 e. In 0.056

f. (ln35 + In (l/7))/(ln25)



Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar las expresionesen los ejercicios 3 y 4.

3.3. Insen8 -In (se~8) b. In (3x2 - 9x) + In C~)1c. 2In(4(1) - In2

4. 3. In sec 8 + Incos8 b. Ln(8x + 4) - 21n2

c. 31n~ -In(t+ 1)

Determinación de derivadasEn los ejercicios 5 a 36, determine la derivada de y con respecto a x, t o 8,según corresponda.

23. Y = In (In x) 24. y = In (In (In x)

25. y = 8(sen (In 8) + cos (In 8»

26. Y = In (sec 8 + tan 8)I

5. Y = In 3x

7. y = In (r)3

9. Y = Ini"

11.y=ln(8+1)

13. y = Inx3

15. y = t(In t?x4 x4

17. y = -¡Inx - J6

19 =~. y t

Inx21. y = 1 + Inx

..,

27. Y = In ,~xvx + 1

29 = 1 + Int. y 1 - Int

31. Y = In (sec (In 8»

_ ((X2 + 1)5)33. Y -In ,~

vl-x

35. y = [' In VidtJ"/2

6. Y = In kx, k constante

8. y = In (¡3/2)

1010. Y = In-X

12. y = In (28 + 2)

14. Y = (ln x}'

16. y= t~

18. Y = (~lnx)4

20 = I + In t. Y t

xlnx22. y = 1 + Inx

I 1 + x28. y = 2 In I - x

30. Y = Vln Vt

32 = I (vsen 8 cos 8).y n 1+21n8

(x + 1)534. Y = ln

(x + 2)20

j.,y;

36. Y = ln t dt-r:

Evaluación de integralesEvalúe las integrales en los ejercicios 37 a 54.

1~~ 1° 3~37. 38.-3 x -1 3x - 2

J 2ydy39.- .2-

Y - 25

[" sent d41. Jo 2 - cos t t

e 21nx dJI x x

r ~J2 x(lnxf

43.

45.

40.J~4,1 - 5

171"/342. 4 sene de° 1 - 4 cos e

1444 ~

. 2 xlnx i

116 d46. ~

2 2x Inx

J 3sec2t d 48.

J secytany47. 6+3tant t 2 + secy dy

171"/2 171"/249. o tan~~ 50. cot t dt

71"/4

171" 8 17r

/

1251. 2 cot3d8 52. o 6 tan 3x dx

71"/2

53 J dx 54. J secxdx. 2vX + 2x Vln(secx + tanx)

Derivación logaritmicaEn los ejercicios 55 a 68, utilice derivación logarítmica para determinar laderivada de y con respecto a la variable independiente dada.

55. y = Vx(x + 1) 56. Y = V(x2 + I)(x - 1)2

57 = ~ t 58 = ~ 1.y t+l .y t(t+l)

59. Y = ve+3 sen8 60. y = (tan8)V:28+l

61. y = t(t + 1)(t + 2) 62. y = 1(1 + 1~(t + 2)

8 + 563. y =."--------,,

(J cOSu

65. y = xv?"+!(x + 1?/3

3¡xrx-=--2J67. Y=~7+l

64. Y = e sen8~

(x + 1)10

(2x + 1)566. Y =

3 x(x + 1)(x - 2)68. Y =

(x2 + 1)(2x + 3)

Teoria y aplicaciones69. Localice e identifique los valores extremos absolutos de

3. In (cos x) en [-1T/4, 1T/3],

b. cos (In x) en [1/2, 2].

70. 3. Demuestre que ¡(x) = x - In x es creciente para x > l.

b. Utilice el inciso (a) para demostrar que In x < x, si x > l.

71. Determine el área entre las curvas y = In x y y = In 2x desde x = 1hasta x = 5.

72. Determine el área entre la curva y = tan x y el eje x desde x = -1T / 4hasta x = 1T/3.

73. La región en el primer cuadrante acotada por los ejes coordenados, larecta y = 3 Y la curva x = 2/vY+l se hace girar alrededor del ejey para generar un sólido. Determine el volumen del sólido.

74. La región entre la curva y = ~ y el eje x desde x = 1T/6 hastax = 1T/2 se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido. De-termine el volumen del sólido.

75. La región entre la curva y = 1/x2 y el eje x desde x = 1/2 hasta x = 2se hace girar alrededor del eje y para generar un sólido. Determine elvolumen del sólido.

76. En el ejercicio 6 de la sección 6.2 hicimos girar alrededor del eje y

la región entre la curva y = 9x/~ y el eje x desde x = O hastax = 3 para generar un sólido de volumen de 361T. Si hacemos girarla región alrededor del eje x, ¿qué volumen se obtendría? (Para cono-cer la gráfica, véase el ejercicio 6 de la sección 6.2).

77. Determine las longitudes de las siguientes curvas.

3. y = (x2/8) - Inx, 4:5 X :5 8

b. x = (y/4f - 21n (y/4), 4:5 Y :5 12


78. Determine una curva que pase por el punto (1, O) cuya longitud desdex = I hasta x = 2 sea

L = J2)1 + ~dx.D 79. a. Determine el centroide de la región entre la curva y = l/x y el

eje x desde x = I hasta x = 2. Indique las coordenadas con dosdecimales.

b. Elabore un bosquejo de la región y en el dibujo muestre elcentroide.

80. a. Determine el centro de masa de una placa delgada de densidadconstante que cubre la región entre la curva y = I/Vx Y el eje xdesde x = I hasta x = 16.

b. Determine el centro de masa si la densidad, en vez de serconstante, es 8(x) = 4/Vx.

81. Utilice una derivada para demostrar que f(x) = In(x3 - 1) es inyectiva.

82. Uti 1ice una derivada para demostrar que g(x) = V~ + In x esinyectiva.

Resuelva los problemas con valor inicial en los ejercicios 83 y 84.

dy I83. dx I + x' y(l) = 3

d2y84. -2 = sec2 x, y(O) = O Y y'(O) = Idx

7.3 Funciones exponenciaLes

Una vez que hemos desarrollado la teoría de la función In x, introduciremos la función exponen-cial exp x = eX como la inversa de In x. Estudiaremos sus propiedades y calcularemos su deri-vada y su integral. Demostraremos la regla de la potencia para derivadas que incluyen exponentesreales generales. Por último, estudiaremos funciones exponenciales generales, a', y funcioneslogarítrnicas generales, log,»,

y

8 y = In-Ixo

x = Iny

7.3 Funciones exponenciales 377

o 85. Linealización de In(l + x) en x = O En vez de aproximar In xalrededor de x = 1, aproximamos In(l + x) alrededor de x = O.De esta manera obtendremos una fórmula más sencilla.

a. Deduzca la linealización de In( I + x) ~ x en x = O.

b. Estime a cinco decimales el error en el que se incurre alremplazar In(l + x) por x en el intervalo [0,0.1].

c. Trace juntas la gráfica de In(1 + x) y x para O :5 X :5 0.5. Si esposible, utilice colores diferentes. ¿En qué puntos es mejor laaproximación de In(l + x)? ¿Menos buena? Por medio de lalectura directa de las coordenadas en las gráficas, determine,tan bien como su graficadora le permita, una cota superiorpara el error.

86. Utilice el argumento de igual derivada, como cuando demostramoslas reglas I y 4 del teorema 2, para probar la propiedad del cocientede los logaritmos.

O 87. a. Grafique juntas y = sen x y las curvas y = In(a + sen x) paraa = 2,4,8,20 Y50 para 0:5 x :5 23. O :5 x :5 23.

b. ¿Por qué las curvas se aplanan cuando aumenta a? (Sugerencia:Determine una cota superior para ly'l que dependa de a).

O 88. La gráfica de y = Vx - Inx, x > O, ¿tiene un punto de inflexión?Trate de responder la pregunta (a) por medio de graficación, (b) pormedio de cálculo.

6Inversa de ln x y el número e

er = exp r (1)

La función In x, al ser una función creciente de x con dominio (O,(0) Yrango (-00, (0), tiene unainversa, ln-1 x, con dominio (-00, 00) y rango (O, (0). La gráfica de ln-1 x es la gráfica de In xreflejada con respecto a la recta y = x. Como vemos en la figura 7.10,

Iím In-1 x = 00 y Iím ln-1 x = O.X---»OO X.....,)o-oo

La función In-[ x también se denota con exp x. Ahora demostramos que exp x es una funciónexponencial con base e.

El número e se definió por medio de la ecuación lrue) = 1; aSÍ, e = exp(l). De la manerausual, podemos elevar el número e a una potencia racional:

e2 = e :e, e-2 =~, e1/2 = Ve,e

y así sucesivamente. Como e es positivo, e' también es positivo, por lo que podemos tomar ellogaritrno de e". Cuando lo hacemos, determinamos que para r racional

In er = r In e = r : 1 = r. Teorema 2, regla 4

Luego, aplicando la función ln-1 a ambos lados de la ecuación In e" = r, determinamos que

7

5

4

--="---'---::->1''----7-'---'----<11-'---'---+ X

FIGURA 7.10 Las gráficas dey = Inx yy = In-I x = expx. El número e esIn-I I = exp(l).

para r racional.

Aún no hemos encontrado una manera que nos permita dar un significado obvio a eX para x irra-cional. Pero In-[ x tiene significado para cualquier x, racional o irracional. ASÍ, la ecuación (1)


78. Determine una curva que pase por el punto (1, O) cuya longitud desde x = I hasta x = 2 sea

o 85. Linealización de In(l + x) en x = O En vez de aproximar In x alrededor de x = 1, aproximamos In(l + x) alrededor de x = O. De esta manera obtendremos una fórmula más sencilla.

L = J2)1 + ~dX. a. Deduzca la linealización de In(l + x) C::J x en x = O.

0 79. a. Determine el centroide de la región entre la curva y = l / x y el eje x desde x = 1 hasta x = 2. Indique las coordenadas con dos decimales.

b. Estime a cinco decimales el error en el que se incurre al remplazar !n(l + x) por x en el intervalo [0, 0.1 J.

c. Trace juntas la gráfica de In(l + x) y x para O :5 X :5 0.5. Si es posible, utilice colores diferentes. ¿En qué puntos es mejor la aproximación de In(1 + x)? ¿Menos buena? Por medio de la lectura directa de las coordenadas en las gráficas, determine, tan bien como su graficadora le permita, una cota superior para el error.

b. Elabore un bosquejo de la región yen el dibujo muestre el centroide.

80. a. Determine el centro de masa de una placa delgada de densidad constante que cubre la región entre la curva y = I / Vx Y el eje x desde x = 1 hastax = 16.

b. Determine el centro de masa si la densidad, en vez de ser constante, es 8(x) = 4/Vx .

86. Utilice el argumento de igual derivada, como cuando demostramos las reglas 1 y 4 del teorema 2, para probar la propiedad del cociente de los logaritmos.

81. Utilice una derivada para demostrar que f(x) = In(x3 - 1) es inyectiva. O 87. a. Grafique juntas y = sen x y las curvas y = In(a + sen x) para a = 2,4,8,20 Y 50 para 0:5 x :5 23. ° :5 x :5 23. 82. Utilice una derivada para demostrar que g(x) = V~ + In xes

inyectiva. b. ¿Por qué las curvas se aplanan cuando aumenta a? (Sugerencia:

Resuelva los problemas con valor inicial en los ejercicios 83 y 84. Determine una cota superior para ¡y'¡ que dependa de a).

dy 1 83. dx I + x ' y (i) = 3

d2y 84. d~ = sec2 x, y(O) = O Y y/(O) = 1

O 88. La gráfica de y = Vx - Inx, x > O, ¿tiene un punto de inflexión? Trate de responder la pregunta (a) por medio de graficación, (b) por medio de cálculo.

7.3 Funciones exponenciales

y

8

7

6

5

4

y = In- Ix o

x = In y

4

FIGURA 7.10 Las gráficas dey = In xy

y = In- I x = exp x. El número e es In - I 1 = exp(1).

Una vez que hemos desarrollado la teoría de la función In x, introduciremos la función exponencial exp x = eX como la inversa de In x. Estudiaremos sus propiedades y calcularemos su derivada y su integral. Demostraremos la regla de la potencia para derivadas que incluyen exponentes reales generales. Por último, estudiaremos funciones exponenciales generales, aX

, y funciones logarítmicas generales, log,x.

Inversa de ln x y el número e

La función In x, al ser una función creciente de x con dominio (O, (0) y rango ( -00, (0), tiene una inversa, In - 1 x, con dominio ( -00, 00) y rango (O, (0). La gráfica de In - 1 x es la gráfica de In x reflejada con respecto a la recta y = x. Como vemos en la figura 7.10,

lím In-1 x = 00 y lím ln- I x = O. X ---»OO X ---')o -oo

La función ln- I x también se denota con exp x . Ahora demostramos que exp x es lilla función exponencial con base e.

El número e se definió por medio de la ecuación ln(e) = 1; aSÍ, e = exp(J). De la manera usual, podemos elevar el número e a una potencia racional:

e2 = e"e, e-2 = ~, e l/2 = Ve,

e

y así sucesivamente. Como e es positivo, e r también es positivo, por lo que podemos tomar el logaritmo de ero Cuando 10 hacemos, determinamos que para r racional

In er = r In e = r ' 1 = r . Teorema 2, regla 4

Luego, aplicando la función ln- I a ambos lados de la ecuación In e r = r, determinamos que

er = exp r para r racional. exp es In- l. (1)

Aún no hemos encontrado una manera que nos permita dar un significado obvio a eX para x irracional. Pero In - 1 x tiene significado para cualquier x, racional o irracional. Así, la ecuación (1)


DEFINICIÓN Para todo número real x, definimos la función exponencial naturalcomo eX = exp x.


ofrece una manera de extender la definición de eX a valores irracionales de x. La función exp xse define para toda x, así que la utilizamos para asignar un valor a eX en todo punto.

Valores comunes de eX

eX (redondeado)Por primera vez hemos dado una definición precisa para un exponente irracional: elevamos unnúmero específico e a cualquier potencia x, racional o irracional. Ya que las funciones In x y eXson inversas una de la otra, tenemos las siguientes relaciones.

x

0.37

12.72

7.39

220262.6881 X 1043

(para toda x > O)

(para toda x)

-1

OI2

10

100

Ecuaciones inversas para eX y Inx

e1nx = x

EJEMPLO 1 Resuelva para x la ecuación e2x-6 = 4.

•••Solución Tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación y utilizamos la se-gunda ecuación inversa:

In (e2x-6) = In 4

2x - 6 = In 4 Relaciones inversas

2x=6+ln4

x = 3 + .!.ln4 = 3 + In 41/22

x=3+1n2 •

Si u es cualquier función derivable de x, entonces

La derivada y la integral de eXDe acuerdo con el teorema 1, la función exponencial natural tiene derivada porque es la inversade una función derivable, cuya derivada nunca es cero. Calculamos su derivada por medio de larelación inversa y la regla de la cadena:

In (e") = x Relación inversa

ddx In (e") = 1 Derivar ambos lados.

I dC . dx (e") = 1 La ecuación (2) de la sección 7.2, con u = e'

ddx C = C. Despejar la derivada.

Esto es, para y = eX encontramos que dy/ dx = e", así que la función exponencial natural es supropia derivada. Además, si f(x) = e+, entonces f' (O) = eO = l. Esto significa que la funciónexponencial natural, es, tiene pendiente 1 cuando cruza el eje y en x = O.

La regla de la cadena extiende el resultado de la derivada para la función exponencial na-tural a una forma más general que incluye a la función u(x):

(2)


Valores comunes de eX

x eX (redondeado)

-1 0.37

O 1

1 2.72

2 7.39

10 22026

100 2.6881 X 1043

ofrece una manera de extender la definición de eX a valores irracionales de x. La función exp x se define para toda x, así que la utilizamos para asignar un valor a eX en todo punto.

DEFINICIÓN Para todo número real x, definimos la función exponencial natural como eX = exp x.

Por primera vez hemos dado una definición precisa para un exponente irracional: elevamos un número específico e a cualquier potencia x, racional o irracional. Ya que las funciones In x y eX son inversas una de la otra, tenemos las siguientes relaciones.

Ecuaciones inversas para eX y In x

e1nx = x (para toda x > O)

(para toda x)

EJEMPLO 1 Resuelva para x la ecuación e2x- 6 = 4.

Solución Tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación y utilizamos la se-gunda ecuación inversa:

In (e2x - 6 ) = In 4

2x - 6 = ln4 Relaciones inversas

2x = 6 + ln4

x = 3 + .1 In 4 = 3 + In 41/2

2

x=3+ 1n2

La derivada y la integral de eX

•

De acuerdo con el teorema 1, la función exponencial natural tiene derivada porque es la inversa de una función derivable, cuya derivada nunca es cero. Calculamos su derivada por medio de la relación inversa y la regla de la cadena:

In (¿ ) = x Relación inversa

d dx In (¿) = 1 Derivar ambos lados.

1 d ¿ . dx (¿) = 1 La ecuación (2) de la sección 7.2, con u = e'

! ¿ = ¿. Despejar la derivada.

Esto es, para y = eX encontramos que dy / dx = eX, así que la función exponencial natural es su propia derivada. Además, si f(x) = eX, entonces f' (O) = eO = l. Esto significa que la función exponencial natural, eX, tiene pendiente 1 cuando cruza el eje y en x = O.

La regla de la cadena extiende el resultado de la derivada para la función exponencial natural a una forma más general que incluye a la función u(x) :

Si u es cualquier función derivable de x, entonces

d 1I _ u du dx e -e dx. (2)



EJEMPLO 2 Por medio de la ecuación (2), determine la derivada de cada función exponencial.

d d(a) dx (Se") = S dx e" = Se"

(b) !Ie-x = e-x!I(-x) = e-X(-I)dx dx

Ecuación (2) con u = -x

(e) !I esenx = esenx!I (sen x) = esenx• cos Xdx dx

(d) 1(evh+i) = evh+i·1(V3x+l)

= e vh+i·1..(3x + 1)-1/2.3 = 3 evh+i2 2V3x+l

Ecuación (2) con u = sen x

Ecuación (2) con u = yI3;+l

•Como eX es su propia derivada, también es su propia antiderivada. Así que la integral equi-

valente de la ecuación (2) es la siguiente.

La antiderivada general de la función exponencial

J e" du = e" + e

EJEMPLO 3

(a) 11n2 11n8 le3xdx = e" • - duo o 3

l11n8= - e" du

3 o

= 1..eu]ln8

3 o

= 1..(8 - 1) = 23 3

1u = 3x, 3du = dx, u(O) = O,

u(In 2) = 3 In 2 = In 23 = In 8

(b) 11T12 esenxcosx dx = esenx]:/2= el - eO = e - 1

Antiderivada del ejemplo 2c

•La derivada de eX existe y siempre es positiva, lo cual confirma que es una función con-

tinua y creciente, como se mostró en la figura 7.10. Ya que la segunda derivada de e' tambiénes eX y positiva siempre, entonces la gráfica es cóncava hacia arriba. Además, la figura 7.10 in-dica que la función exponencial tiene los límites

líme"=Ox-?-oo y lím e" = oo.

x-? 00

En el primero de estos límites, vemos que el eje x es una asíntota horizontal de la gráfica dey = e=.

Leyes de los exponentes

Aunque e' se define en una forma un tanto compleja como In-I x, obedece las más conocidasleyes del álgebra para los exponentes. El teorema 3 nos muestra que tales leyes son consecuen-cia de las definiciones de In x y eX.


EJEMPLO 2 Por medio de la ecuación (2), determine la derivada de cada función exponencial.

d d (a) dx (S e") = S dx e" = Se"

(b) !I e-x = e-x !I (-x) = e-X ( - 1) dx dx

Ecuación (2) con u = - x

(e) !I e senx = esenx !I (senx) = esen x • cos x dx dx

Ecuación (2) con u = sen x

(d) 1(eVhll) = eVhll ·1(V3x+l) Ecuación (2) con l/ = y'3;+l

= e Vhll ·1..(3x + 1)-1/2.3 = 3 e Vhll 2 2V3x+l • Como eX es su propia derivada, también es su propia antiderivada. Así que la integral equi

valente de la ecuación (2) es la siguiente.

La antiderivada general de la función exponencial

J e" du = e" + e

EJEMPLO 3

(a) e3x dx = e" · - du l

1n 2 l1n 8 1

o o 3

= - e" du l11n 8

3 o

= 1..ell]ln 8 3 o

= 1.. (8 - 1) = 1. 3 3

(b) 17T

/

2 e sen x cosx dx = e senx ]:/2

I u = 3x, 3 du = dx , l/(O) = O,

u(In 2) = 3 In 2 = In 23 = In 8

Antiderivada del ejemplo 2c

= el - eO = e - 1 • La derivada de eX existe y siempre es positiva, lo cual confirma que es una función con

tinua y creciente, como se mostró en la figura 7.10. Ya que la segunda derivada de eX también es eX y positiva siempre, entonces la gráfica es cóncava hacia arriba. Además, la f igura 7.10 indica que la función exponencial tiene los límites

lím e" = O y lím e" = oo . x-,»-oo x~oo

En el primero de estos límites, vemos que el eje x es una asíntota horizontal de la gráfica de y = eX.

Leyes de los exponentes

Aunque eX se define en una forma un tanto compleja como ln- I x, obedece las más conocidas leyes del álgebra para los exponentes . El teorema 3 nos muestra que tales leyes son consecuencia de las definiciones de In x y eX.


1. eX, • eX2 = eX¡+X2 2. -x 1e =-eX

3. eX¡ _ XI-X2 4. (eX1)r = erx1, si r es racionaleX2 - e

380 Capítulo 7: Funcionestrascendentes

TEOREMA 3 Para todos los números x, XI y X2, la exponencial natural eX cumple lassiguientes leyes:

Demostración de la ley 1 Sea Y¡ = e' y Y2 = e2• Por consiguiente,

XI = lny¡ y X2 = InY2

XI + X2 = InYI + InY2

= InYIY2

Ecuaciones inversas

Regla del producto para logaritmos

Exponenciar.

•••• Demostración de la ley 4 Seay = (ex,)'. Entonces

lny = In (ex,)'

= r In (eX') Regla de la potencia para logaritmos, con r racional.

= rXI In e" = u con u = XI

Así, si tomamos exponenciales de ambos lados,

elny = y •Las leyes 2 y 3 se deducen de la ley 1. Al igual que la regla de la potencia para logaritmos, laley 4 se cumple para todo número real r.

La función exponencial general aX

Como a = e In a para cualquier número positivo a, es posible considerar aX como (e In a)x = eX In a.Por lo tanto, utilizamos la función eX para definir las otras funciones exponenciales, las cualesnos permiten elevar cualquier número positivo a un exponente irracional.

DEFINICIÓNbase a es

Para cualesquiera números a > O Y X, la función exponencial con

Cuando a = e, la definición da aX = eX In a = eX In e = e=: I = es.

El teorema 3 también es válido para a", la función exponencial con base a. Por ejemplo,

aX, • aX2 = eX, In a • eX21n a

= eXl In a+X2ln a

= e(xI+x2)lna

Definición de aX

Ley I

Factorizar In a

Definición de a-'

En particular, a" . a-I = a"-1 para cualquier número real n.



Demostración de la regla de la potencia (versión general)La definición de la función exponencial general nos permite darle sentido a elevar cualquier nú-mero positivo a una potencia real n, racional o irracional. Esto es, podemos definir la funciónpotencia y = X" para cualquier exponente n.

DEFINICIÓN Para cualquier x > ° y para cualquier número real n,

Puesto que las funciones logaritmo y exponencial son inversas una de la otra, la defini-ción da

In X" = n In x, para cualquier número real n.

Esto es, la regla de la potencia para ellogaritmo natural se cumple para todo exponente real n,no sólo para exponentes racionales, como se estableció en el teorema 2.

La definición de la función potencia también nos permite establecer la regla de la derivadapara potencias, con potencias que sean cualquier número real n, como se estableció en la sec-ción 3.3.

.!!:... x" = nx'l-ldx .

Regla de la derivada para potencias generalesPara x > ° y cualquier número real n,

Si x :::;0, entonces la fórmula se cumple siempre que la derivada, x", y X"-1 existan.

Demostración Al derivar xn con respecto a x se obtiene

Definición de x", x > O

d= en1nx• - (n lnx)

dxRegla de la cadena para e", ecuación (2)

= x".!!:.x Definición y derivada de In x

En resumen, siempre que x > 0,

Para x < 0, si existen y = xn,y' y xn-1, entonces

Inlyl = ln]x]" = n ln]x].

Mediante derivación implícita (la cual supone la existencia de la derivada y') y la ecuación 4 dela sección 7.2, tenemos

y'y

nX·

Al despejar la derivada,

Y x"y' = ni" = n-X = nx"-l.


Demostración de la regla de la potencia (versión general)

La definición de la función exponencial general nos permite darle sentido a elevar cualquier número positivo a una potencia real n, racional o irracional. Esto es, podemos definir la función potencia y = x" para cualquier exponente n.

DEFINICIÓN Para cualquier x > ° y para cualquier número real n,

Puesto que las funciones logaritmo y exponencial son inversas una de la otra, la definición da

In x" = n In x, para cualquier número real n.

Esto es, la regla de la potencia para el logaritmo natural se cumple para todo exponente real n, no sólo para exponentes racionales, como se estableció en el teorema 2.

La definición de la función potencia también nos permite establecer la regla de la derivada para potencias, con potencias que sean cualquier número real n, como se estableció en la sección 3.3 .

Regla de la derivada para potencias generales Para x > ° y cualquier número real n,

.!!:... x" = x',-l d

n. x

Si x :::; 0, entonces la fórmula se cumple siempre que la derivada, x", y x,, - l existan.

Demostración Al derivar x" con respecto a x se obtiene

En resumen, siempre que x > 0,

d = e" ln x ·-(nlnx)

dx

= x".!!. x

.!!:...x" = nx,, - l dx .

Definición de x", x > O

Regla de la cadena para e", ecuación (2)

Definición y derivada de In x

Para x < 0, si existen y = x", y' y x n- I, entonces

Inlyl = In lxl" = n In lx l·

Mediante derivación implícita (la cual supone la existencia de la derivada y' ) y la ecuación 4 de la sección 7.2, tenemos

Al despejar la derivada,

y' y

Y x" y' = ni" = nX- = nx', - I.



Se puede demostrar directamente, con base en la definición de la derivada, que la derivadaes igual a cero cuando x = O Y n 2: l. Esto completa la demostración de la versión general dela regla de la potencia para todos los valores de x. •

EJEMPLO 4 Derive f(x) = xx, x > O.

Soludón Aquí no podemos aplicar la regla de la potencia, ya que el exponente es la variable x,en vez de ser un valor constante n (racional o irracional). Sin embargo, en la definición de lafunción exponencial general notamos que J(x) = XX = eX In x, y al derivar se obtiene

f'(x) = ~(¿lnX)dx

= ¿In x ~ (x In x) Ecuación (2) con u = x In xdx

= ¿lnX(lnx + xoi-)=x-'"(lnx+1). x>O •

El número e expresado como un limite

..Hemos definido el número e como el número para el cual In e = 1 o, de forma equivalente, elvalor de exp(1). Vemos que e es una constante importante para las funciones logarítrnica y ex-ponencial, pero ¿cuál es su valor numérico? El siguiente teorema muestra una manera de calcu-lar e como un límite .

e = Iím O + x)l/x.x->O

TEOREMA 4: ELnúmero e como un Limite El número e puede calcularse como ellímite

Demostradón SiJ(x) = In x, entonces J'(x) = l/x, porlo que J'(1) = l. Pero, porla defini-ción de derivada,

, fO + h) - f(1) ,fO + x) - fO)f' (1) = lím = Iírn '------:-;---h->O h x->O x

ln(l+x)-ln1 1= Iím x = Iím x In (1 + x)

x->O X->O

= lím In O + x)l/x = In [límO + x)I/X]x->O x->O

Ya que f' (1) = 1, tenemos

In I = O

In es continua; utilizar elteorema 10 del capítulo 2.

In [lím(l + "".x->O

Por lo tanto, al exponenciar ambos lados obtenemos

Iím (1 + x)l/x = e.x->O •

Si aproximamos el límite en el teorema 4 tomando x muy pequeña se obtienen aproximacionesa e. Su valor es e;:::; 2.718281828459045 con 15 decimales de precisión, como se había obser-vado antes.

~d' = ~¿lna = ¿lna o~ (x In a)dx dx dx

Derivada de a"Para determinar dicha derivada, comenzamos con la definición aX = exlna. Entonces, tenemos

= aXlna.


Se puede demostrar directamente, con base en la definición de la derivada, que la derivada es igual a cero cuando x = O Y n 2: l. Esto completa la demostración de la versión general de la regla de la potencia para todos los valores de x. •

EJEMPLO 4 Derive j(x) = x", x > O.

Soludón Aquí no podemos aplicar la regla de la potencia, ya que el exponente es la variable x, en vez de ser un valor constante n (racional o irracional). Sin embargo, en la definición de la función exponencial general notamos que f(x) = XX = eX In x, y al derivar se obtiene

f'(x) = .1:...- (¿In x) dx

= ¿ ln x.1:...-(xlnx) dx

Ecuac ión (2) con 11 = x In x

= ¿ ln X(lnx + x.i-) = x"(lnx + 1). x > O •

El número e expresado como un limite Hemos definido el número e como el número para el cual In e = 1 o, de forma equivalente, el valor de exp(1). Vemos que e es una constante importante para las funciones logarítmica y exponencial, pero ¿cuál es su valor numérico? El siguiente teorema muestra una manera de calcular e como un límite.

TEOREMA 4: EL número e como un Limite El número e puede calcularse como el límite

e = Iím (1 + x)l /x . x->O

Demostradón Sif(x) = In x, entonces f'(x) = l / x , por lo que f'(1) = l. Pero, por la definición de derivada,

j(l + h) - j(1) j(l + x) - JO) f' (1) = Iím = Iím "--'-----::-----"---'---'-

h-> O h x-> O x lnO+x)-ln1 1

= lím x = Iím x In O + x) x->O x->O

= Iím In O + x)l /x = In [ lím O + X)I /X ] x->O x->O

Ya que f' (1) = 1, tenemos

In [ lím O + x)I /X] x->O

Por lo tanto, al exponenciar ambos lados obtenemos

Iím O + x)l /x = e. x->O

In I = O

In es continua; utili zar e l teorema 10 del capítu lo 2.

• Si aproximamos el límite en el teorema 4 tomando x muy pequeña se obtienen aproximaciones a e. Su valor es e ~ 2.718281828459045 con 15 decimales de precisión, como se había observado antes.

Derivada de aU

Para determinar dicha derivada, comenzamos con la definición aX = exlna. Entonces, tenemos

.1:...-~ = .1:...-¿lna = ¿lna • .1:...- (x In a) dx dx dx

= aXlna.


(1 )Xy = 10 y

(~):Gry = 2: \

y = IX

FIGURA 7.11 Las funciones exponencialesdecrecen si O < a < 1 Y crecen si a > l.Cuando x ---'> 00 , tenemos a' ---'> O siO < a < 1 Y ¿ ---'> 00 si a > l. Cuandox ---'> -00, tenemos que ¿ ---'> 00 siO < a < 1 Y ¿ ---'> O si a > l.


Ahora vemos por qué eX es la función exponencial preferida en cálculo. Si a = e, entoncesIn a = 1 Y la derivada de aX se simplifica a

.!i...-e'=¿lne=¿dx .

Con la regla de la cadena, obtenemos la siguiente forma para la derivada de la función ex-ponencial general.

Si a > O Y u es una función derivable de x, entonces a" es una función derivabledexy

.!i...-a" = a" In a dudx dx (3)

La integral equivalente de este último resultado da la antiderivada general

j a"a"du = -- + C.In a (4)

Con base en la ecuación (3) con u = x, vemos que la derivada de a" es positiva si In a > Oo a > 1, Y negativa si In a < O, o bien, O < a < 1. Así, aX es una función creciente de x sia > 1 Y una función decreciente de x, si O < x < 1. En cada caso, aX es inyectiva. La segundaderivada

d2 d-(¿) = -(<<'lna) = (lna)2¿dx: dx

es positiva para toda x, por lo que la gráfica de aX es cóncava hacia arriba para todo intervalo dela recta real. La figura 7.11 presenta las gráficas de varias funciones exponenciales.

EJEMPLO 5 Determinamos las derivadas y las integrales usando las ecuaciones (3) y (4).

(a) .!i...-3x = J' In 3dx

Ecuación (3) con a = 3, u = x

(b) .!i...-rx = rX(ln3).!i...-(-x)dx dx

(e) .!i...-3senx = 3senx(ln 3).!i...- (sen x) = 3senx(ln 3) cosxdx dx

-rXln3 Ecuación (3) con a = 3, u = -x

... , u = seo x

j2Xdx=L+c

In2

(e) j2senxcosxdX = j2"dU = L + Cln2

(d) Ecuación (4) con a = 2, u = x

u = senx,du = cosxdx,yec.(4)

2senx=--+ c

In2u se remplaza con sen x •

Logaritmos con base aSi a es cualquier número positivo diferente de 1, la función aX es inyectiva y tiene una derivadadiferente de cero en todo punto. Por lo tanto, posee una inversa derivable. A esta inversa la lla-mamos logaritmo de x con base a y la designamos con Iog, x.

(1 )X y = - y 10

( I)X

(~): 3 y = 2 \

y = 1-'

FIGURA 7.11 Las funciones exponenciales

decrecen si O < a < 1 Y crecen si a > l. Cuando x -'> 00 , tenemos ¿ -'> O si O < a < l Y ¿ -'> 00 si a > l. Cuando x -'> - 00 , tenemos que ¿ -'> 00 si

O < a < I Y ¿ -'> O si a > l.


Ahora vemos por qué eX es la función exponencial preferida en cálculo. Si a = e, entonces In a = 1 Y la derivada de a X se simplifica a

~ e'= ¿ln e= ¿ dx .

Con la regla de la cadena, obtenemos la siguiente forma para la derivada de la función exponencial general.

Si a > O Y u es una función derivable de x, entonces a" es una función derivable de x y

~ a" = a" In a du dx dx'

La integral equivalente de este último resultado da la antiderivada general

j a" a" du = -- + C.

In a

(3)

(4)

Con base en la ecuación (3) con u = x, vemos que la derivada de a X es positiva si In a > O o a > 1, Y negativa si In a < O, o bien, O < a < 1. Así, aX es una función creciente de x si a > 1 Y una función decreciente de x, si O < x < 1. En cada caso, aX es inyectiva. La segunda derivada

d 2 d - (¿) = - (<<' lna) = (lna)2¿ d~ dx

es positiva para toda x, por lo que la gráfica de aX es cóncava hacia arriba para todo intervalo de la recta real. La figura 7.11 presenta las gráficas de varias funciones exponenciales.

EJEMPLO 5 Determinamos las derivadas y las integrales usando las ecuaciones (3) y (4).

(a) ~3x = J ' ln3 dx

-rX ln3

(e) ~ 3senx = 3sen x (In 3) ~ (senx) = 3senx (In 3) cos x dx dx

(d) j 2x 2x dx= -+ C

ln2

(e) j2senx cos x dX = j2 11 dU = L + C ln2

2sen x =--+ C

In 2

Logaritmos con base a


Ecuación (3) con a = 3, u = - x

... , u = senx


u = sen x, du = cosx dx, y eco (4)

u se remplaza con sen x •

Si a es cualquier número positivo diferente de 1, la función a X es inyectiva y tiene una derivada diferente de cero en todo punto. Por lo tanto, posee una inversa derivable. A esta inversa la llamamos logaritmo de x con base a y la designamos con loga x.



FIGURA 7.12log- ».

La gráfica de 2 x y su inversa,

1."111

TABLA 7.2 Reglas paralogaritmos de base a

Para cualesquiera números x > Oyy> O

1. Regla del producto:log, xy = log, x + log, Y

2. Regla del cociente:

3. Regla del recíproco:

Ilog, y = -Iogay

4. Regla de la potencia:log, xY = y log, x

DEFINICIÓN Para cualquier número positivo a =1= 1,

log, x es la función inversa de a".

La gráfica de y = log, x se obtiene reflejando la gráfica de y = aX con respecto a la rectade 45°, y = x (figura 7.12). Cuando a = e, tenemos log, x = inversa de e" = In x. (En oca-siones, la función log.¿ x se escribe simplemente como log x y se denomina logaritmo comúnde x). Como log, x y aX son inversas una de otra, la composición de ellas en cualquier orden dala función identidad.

Ecuaciones inversas para a" y log, x

a1og,X = x (x > O)

log, (¿) = x (para toda x)

En realidad, la función log, x es sólo un múltiplo numérico de In x. Para ver esto, con-sideramos y = log, x y luego tomamos el logaritmo natural en ambos lados de la ecuaciónequivalente aY = x para obtener y In a = In x. Si despejamos y obtenemos

Inxlog;.» = -1 -.na (5)

Las reglas algebraicas que satisface log, x son las mismas que las de In x. Tales reglas, quese presentan en la tabla 7.2, pueden demostrarse si se usa la ecuación (5) y se dividen las reglascorrespondientes para la función logaritmo natural entre In a. Por ejemplo,

Inxy = Inx + Iny

Inxy Inx Iny--=-+-Ina Ina Ina

Regla 1 para logaritmos naturales ..

dividiendo entre In a ...

se obtiene la regla 1 para logaritmos de base a.

Derivadas e integrales que incluyen loga xPara determinar derivadas o integrales que incluyan logaritmos de base a, los convertimos alogaritmos naturales. Si u es una función positiva derivable de x, entonces

d d (In u) 1 d 1 1 du-(logau) = - - = --(lnu) = -.--.dx dx lna lna dx Ina u dx

d ( ) = _1_.1 dudx log, u In a u dx


FIGURA 7.12

log2 x. La gráfica de 2 x y su inversa,

TABLA 7.2 Reglas para logaritmos de base a

Para cualesquiera números x > O

yy > O

1. Regla del producto:

loga xy = loga x + loga Y

2. Regla del cociente:

3. Regla del recíproco:

1 loga)! = - Iogay

4. Regla de la potencia:

loga xY = y loga x

DEFINICIÓN Para cualquier número positivo a =f. 1,

loga x es la función inversa de a X•

La gráfica de y = loga x se obtiene reflejando la gráfica de y = aX con respecto a la recta de 45°, y = x (figura 7.12). Cuando a = e, tenemos loge x = inversa de eX = In x. (En ocasiones, la función loglO x se escribe simplemente como log x y se denomina logaritmo común de x). Como loga x y aX son inversas una de otra, la composición de ellas en cualquier orden da la función identidad.

Ecuaciones inversas para aX y loga x

a1og,X = x (x > O)

loga (¿) = x (para toda x)

En realidad, la función loga x es sólo un múltiplo numérico de In x. Para ver esto, consideramos y = loga x y luego tomamos el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación equivalente aY = x para obtener y In a = In x. Si despejamos y obtenemos

Inx loga x = -1 -.

na (5)

Las reglas algebraicas que satisface loga x son las mismas que las de In x. Tales reglas, que se presentan en la tabla 7.2, pueden demostrarse si se usa la ecuación (5) y se dividen las reglas correspondientes para la función logaritmo natural entre In a. Por ejemplo,

Inxy = Inx + Iny

Inxy Inx Iny --=- + Ina Ina Ina

Regla 1 para logaritmos naturales .

dividiendo entre In a ...

se obtiene la regla I para logaritmos de base a.

Derivadas e integrales que incluyen loga x

Para determinar derivadas o integrales que incluyan logaritmos de base a, los convertimos a logaritmos naturales. Si u es una función positiva derivable de x, entonces

d d (In u) 1 d 1 1 du -(logau) = - - = --(lnu) = -.--. dx dx Ina Ina dx Ina u dx

d ( ) = _1_.1 du dx loga u In a u dx



EJEMPLO 6

•

Ejercicios 7.3

Resolución deecuaciones exponencialesEn los ejercicios 1 a 4, despeje t. l1n9

35. i'/2 dxIn4 l1nl6

36. i'/4 dxo

1. a. e-o·31 = 27 b. é' = ~ c. e(ln 02)1 = 0.4

2. a. e-o.oll = 1000 b. e'" = -.-L c. e(ln2)1 = ~10

3. e y; = xZ 4. e(x2)e(2x+1) = el

Determinación de derivadasEn los ejercicios 5 a 24, determine la derivada de y con respecto a x, t o e,según sea el caso.

5. y = e-sx 6. Y = e2x/3

8. y = e (4Vx+x2)

10. y = (I + 2x)e-2x

12. y = (9~ - 6x + 2)e3x

14. y = In (3ee-o)

16. y = e3e-ZO cos se18. y = In (2e-1 sen t)

20. Y = In e :-~)22. Y = esen '(In F + 1)

¡ea

24. y = In t dte4Vx

7. Y = eS-7x

9. y = xe' - i'

11. Y = (x2 - 2x + 2)i'

13. Y = eO(sen e + cos e)15. y = cos(e-02

)

17. y = In (3te-l)

19. y= ln(~)1 + e

21. y = e(coS/+ln 1)

23. Y =llnx

sen e' dt

46. J e= (,,+1) ese (7T + t) cot (7T + t) dt

1y¡;:;;:2 2

48. o 2x eX cos (eX) dxt:47. 2ev cos e" dvIn (,,/6)

49. J _e_r- dr

1 + er 50. J 1 ~ i'

Problemas con valor inicialEn los ejercicios 51 a 54, resuelva los problemas con valor inicial.

dy51. dt = el sen (e' - 2), y(ln 2) = O

52. : = e-Isec2(7Te-I), y(ln4) = 2/7T

dZy53. dxz = 2e-X, y(O) = 1 Y y/(O) = O

dZy54. dF = 1 - eZI, y(I) = + l y y/(I) = O

En los ejercicios 25 a 28, determine dy/dx.25. lny = eYsenx 26. lnxy = i'+Y

27. e2x = sen (x + 3y) 28. tany = i' + lnx

Determinación de integralesEvalúe las integrales de los ejercicios 29 al 50.

30. J (2eX- 3e-2x

) dx

32. ¡o e-x dxJ-In2

DerivaciónEn los ejercicios 55 a 82, determine la derivada de y con respecto a la va-riable independiente dada.

55. y = 2x 56. y = rx

57. y = 5Vs 58. Y = 2(S2)

l1n3

31. i' dxIn2

33. J 8e(x+I) dx 34. J 2e(2x-I) dx


--------------------------------------------======---------- •••• -=••386 Capítulo 7: Funciones trascendentes

59. Y = x"

61. y = (cos e)V2

63. y = 7seeOln 7

65. Y = 2sen 31

60. Y = tl-e

62. Y = (In e)"

64. y = 3tanOln 3

66. Y = S-eos ZI

67. Y = log , se69. y = loga x + log4xZ

71. y = ~ loglox

73. y = log, ( (; ~ :r3)

68. Y = log3(I + e In 3)

70. Y = logz5 e' - log5Vx

72. Y = Iog, r- log, r

75. Y = e sen (lOg7e)

(~)lnS74. Y = log, 3x + 2

76 = I (senecose). y Og7 e020

eso78. y = 2 I e- Og5

80. Y = 3 log , (Iog , t)

82. y = t log 3 (e(sen I)(ln3»)

77. Y = 10glOe'

79. Y = 310g,I

81. Y = logz(8tlnZ)

IntegraciónEvalúe las integrales en los ejercicios 83 a 92.

.., 83. J SXdx J 3'84. 3 _ 3x dx

85. 11

TO de 86. 1:5-0 de

jV2 j42Vx87. 1 x2(x') dx 88. 1 vxdx

1"/2 17T

/

4e rnl89. o T?" sen t dt 90. o :3 sec/ t dt

91. 14xz.'(1 + Inx) dx 92. J x2

x'---dx

1 + 2x'

:I~I'.. Evalúe las integrales en los ejercicios 93 a 106.

93. J 3x v'3 dx 94. ¡x V2-1 dx

95. 13(Vi + l)x v'2 dx 96. le x(lnZ)-I dx

J loglox 98. 1410gZX97. --dx --dxx 1 X14In 210gzx100.

le 21n 10 loglox99. X dx X dx

1 1 -12log, (x + 2)102.

¡lO 10glO(IOx)101. 2 dx dx

O x + 1/10 X19210glO (x + 1)104.

132 log, (x - 1)103. dx

2 x-I dxO x + I

105. J dx 106. J dxx loglox x(Iogg x?

Evalúe las integrales en los ejercicios 107 a 110.

107. Inx idt, x> 1 108. le" idt

11/x1 1 IX 1109. 1 -¡dt, x> O 110. ~ 1 -¡dt, x> O

Derivación logaritmicaEn los ejercicios 111 a 118, utilice la derivación logarítmica para determi-nar la derivada de y con respecto a la variable independiente dada.

111. y = (x + 1)' 112. Y = ~ + ~,113. Y = (Vt)' 114. Y = tVl

115. y = (sen x)" 116. y = xsenx

117. y = sen x" 118. y = (ln x)!":'

Teoria y aplicaciones119. Determine los valores máximo y mínimo absolutos de

f(x) = e - 2x en [O, 1].

120. La función periódica f(x) = 2esen(x/2), ¿en dónde alcanza sus va-lores extremos? ¿Cuáles son esos valores?

121. Sea f(x) = xe-x.

a. Determine todos los valores extremos absolutos para!

b. Determine todos los puntos de inflexión para!¿

122. Sea f(x) = --Zx'1 + e

a. Determine todos los valores extremos absolutos para!

b. Determine todos los puntos de inflexión para!

123. Determine el valor máximo de f(x) = xZ ln(l/x) y diga dónde sealcanza.

D 124. Trace juntas las gráficas de f(x) = (x - 3)Ze y dé su primera de-rivada. Comente acerca del comportamiento def en relación con lossignos y valores de f'. Identifique los puntos significativos de lasgráficas por medio de cálculo, según se requiera.

125. Determine el área de la región "triangular" en el primer cuadranteque está acotada arriba por la curva y = eZ", abajo por la curvay = e' ya la derecha por la recta x = In 3.

126. Determine el área de la región "triangular" en el primer cuadranteque está acotada arriba por la curva y = e/2, por abajo por la curvay = e=t? y a la derecha por la recta x = 2 In 2.

127. Determine una curva que pase por el origen en el plano xy, cuya lon-gitud desde x = O hasta x = 1 sea

L = 11)1 + ¡¿dx.

128. Determine el área de la superficie generada al hacer girar, alrededordel eje y, la curva x = (eY + e-Y)/2, O,,; y,,; In 2.

y eY + e-Yx=---

2

x


7.4 Cambio exponenciaL y ecuaciones diferenciaLes con variabLes separabLes 387

En los ejercicios 129 a 132, determine la longitud de cada curva.

129. Y = ~ (eY + e-X) desde x = O hasta x = 1.

130. Y = In(eY- 1) - In (e< + 1), desde x = In 2 hasta x = In 3.

131. Y = In( cos x) desde x = O hasta x = 7T / 4.

132. Y = In(cscx) desde x = 7T/6 hasta x = 7T/4.

133. a. Demuestre que J Inxdx = xlnx - x + C.

b. Determine el valor promedio de In x en (1, e].

134. Determine el valor promedio de f(x) = l/x en (1, 2].

135. Linealización de e' en x = O

a. Deduzca la aproximación lineal e' ~ 1 + x en x = O.

O b. Calcule a cinco decimales la magnitud del error al sustituir e<

por 1 + x en el intervalo (O, 0.2].

O c. Trace juntas las gráficas de e< y 1 + x para -2 :5 x :5 2. Si esposible, utilice colores diferentes. ¿En qué intervalo pareceque la aproximación sobreestima el valor de e''! ¿En dóndela subestima?

136. Desigualdades de las medias aritmética, geométrica y logarítmica

a. Demuestre que la gráfica de e-' es cóncava hacia arriba en todointervalo de valores de x.

b. Demuestre, haciendo referencia a la siguiente figura, que siO < a < b entonces

137. Determine el área de la región entre la curva y = 2x/O + x2) y elintervalo - 2 ::S x ::S 2 del eje x.

138. Determine el área de la región entre la curva y = 21-x y el intervalo-1 ::S x ::S 1del eje x.

O 139. La ecuación x2 = 2x tiene tres soluciones: x = 2, x = 4 Y otra. Pormedio de una gráfica, calcule la tercera solución con la mayor pre-cisión posible.

O 140. ¿Es posible que xln 2 sea igual a 21nx para x > O? Grafique las dosfunciones y explique lo que vea.

141. Linealización de 2x

a. Determine la linealización de f(x) = 2x en x = O. Luegoredondee los coeficientes a dos decimales.

O b. Trace juntas las gráficas de la Iinealización y de la función para-3:5 x:5 3 Y -1:5 x:5 1.

142. Linealización de Iog, x

a. Determine la linealización de f(x) = log, x en x = 3. Luegoredondee los coeficientes a dos decimales.

O b. Trace juntas las gráficas de la linealización y de la función en laventana O :5 x :5 8 y 2 :5 X :5 4.

O 143. ¿Cuál es más grande, ne o e"? Las calculadoras han develado unpoco del misterio de ésta, alguna vez, desafiante pregunta. (Con-tinúe y compruebe; verá que es un resultado sorprendentemente cer-cano). Aunque puede responder la pregunta sin calculadora.

a. Determine una ecuación para la línea que pasa por el origen y estangente a la gráfica de y = In x.

[-3,6] por [-3, 3]

b. Con base en las gráficas de y = In x y la recta tangente, dé unargumento para explicar por qué In x < x/e para toda xpositiva, x =Fe.

c. Demuestre que ln(xe) < x para toda x positiva, x =Fe.

d. Concluya que xe < e-' para toda x positiva, x =Fe.

e. Por lo tanto, ¿cuál es más grande, 7Te o e"'?

O 144. Una representación decimal de e Por medio de la resoluciónde la ecuación In x = 1, determine e con tantos decimales como sucalculadora lo permita; para ello, utilice el método de Newton dela sección 4.6.

7.4 Cambio exponenciaL y ecuaciones diferenciaLes con variabLes separabLes

Las funciones exponenciales aumentan o disminuyen muy rápidamente con cambios en la varia-ble independiente. Éstas describen crecimiento o decaimiento en una amplia variedad de situa-ciones naturales e industriales. La variedad de modelos que tienen como base dichas funcionesexplican en parte su importancia. Ahora estudiaremos la suposición básica de proporcionalidadque conduce a tal cambio exponencial.

llnb elna + elnbe(lna+lnb)/2'(lnb - Ina) < e' dx < 2 ·(lnb - Ina).

In a

__ ~~ -LI L-__~)X

In a + In b2

NO ESTÁ A ESCALA

c. Utilice la desigualdad del inciso (b) para concluir que

-v;;b< b-a <a+bInb-lna 2'

Esta desigualdad indica que la media geométrica de dos númerospositivos es menor que su media logarítmica, la cual a la vez esmenor que su media aritmética.

7.4 Cambio exponenciaL y ecuaciones diferenciaLes con variabLes separabLes 387

En los ejercicios 129 a 132, determine la longitud de cada curva.

129. y = ~ (e-T + e-X) desde x = O hasta x = 1.

130. Y = In(eT - 1) - In(eX + 1), desde x = In 2 hasta x = In 3.

131. Y = In( cos x) desde x = O hasta x = 7T / 4.

132. Y = In(cscx) desde x = 7T/6 hasta x = 7T/4.

133. a. Demuestre que J In x dx = x Inx - x + C.

b. Determine el valor promedio de In x en [1, e].

134. Determine el valor promedio de f(x) = l / x en [1 , 2].

135. Linealización de eT en x = O

a. Deduzca la aproximación lineal eT ~ 1 + x en x = O.

O b. Calcule a cinco decimales la magnitud del error al sustituir eX

por 1 + x en el intervalo [O, 0.2].

O c. Trace juntas las gráficas de eX y 1 + x para - 2 :5 x :5 2. Si es posible, util ice colores diferentes. ¿En qué intervalo parece que la aproximación sobre estima el valor de eT7 ¿En dónde la subestima 7

136. Desigualdades de las medias aritmética, geométrica y logarítmica

a. Demuestre que la gráfica de eT es cóncava hacia arriba en todo intervalo de valores de x .

b. Demuestre, haciendo referencia a la siguiente figura, que si O < a < b entonces

¡ Inb eloa + elob e(loa+lob)/2 '(Inb - In a) < ¿dx < 2 ·(In b - Ina).

In a

y = ¿

I I

M I 1

B 1 1 I

A l :D I ) X In a In a + In h Inh

2

NO ESTÁ A ESCALA

c. Utilice la desigualdad del inciso (b) para concluir que

-v;;!;< b-a < a + b lnb - Ina 2

Esta desigualdad indica que la media geométrica de dos números positivos es menor que su media logarítmica, la cual a la vez es menor que su media aritmética.

137. Determine el área de la región entre la curva y = 2x/O + x2) y el intervalo - 2 :S x :5 2 del eje x.

138. Determine el área de la región entre la curva y = 2 1- x y el intervalo - 1 :5 x :5 I del eje x.

O 139. La ecuación x2 = 2x tiene tres soluciones: x = 2, x = 4 Y otra. Por medio de una gráfica, calcule la tercera solución con la mayor precisión posible.

O 140. ¿Es posible que xln 2 sea igual a 210 X para x > 07 Grafique las dos

funciones y explique lo que vea.

141. Linealízación de 2x

a. Determine la linealización de f(x) = 2x en x = O. Luego redondee los coeficientes a dos decimales.

O b. Trace juntas las gráficas de la Iinealización y de la función para -3 :5 x:5 3 Y - 1 :5 x:5 1.

142. Linealización de log3 x

a. Determine la linealización de f(x) = log3 x en x = 3. Luego redondee los coeficientes a dos decimales.

O b. Trace juntas las gráficas de la linealización y de la función en la ventana O :5 X :5 8 y 2 :5 X :5 4.

O 143. ¿Cuál es más grande, n e o e"? Las calculadoras han develado un poco del misterio de ésta, alguna vez, desafi ante pregunta. (Continúe y compruebe; verá que es un resultado sorprendentemente cercano). Aunque puede responder la pregunta sin calculadora .

a. Determine una ecuación para la línea que pasa por el origen y es tangente a la gráfica de y = In x.

[- 3, 6] por [- 3, 3]

b. Con base en las gráficas de y = In x y la recta tangente, dé un argumento para explicar por qué In x < x/e para toda x positiva, x =F e.

c. Demuestre que ln(xe) < x para toda x positiva, x =F e.

d. Concluya que xe < eT para toda x positiva, x =F e.

e. Por lo tanto, ¿cuál es más grande, 7Te o e"7

O 144. Una representación decimal de e Por medio de la resolución de la ecuación In x = 1, determine e con tantos decimales como ' su calculadora lo permita; para ello, utilice el método de Newton de la sección 4.6.

7.4 Cambio exponenciaL y ecuaciones diferenciaLes con variabLes separabLes

Las funciones exponenciales aumentan o disminuyen muy rápidamente con cambios en la variable independiente. Éstas describen crecimiento o decaimiento en una amplia variedad de situaciones naturales e industriales. La variedad de modelos que tienen como base dichas funciones explican en parte su importancia . Ahora estudiaremos la suposición básica de proporcionalidad que conduce a tal cambio exponencial.


Cambio exponencial

Al modelar muchas situaciones de la realidad, una cantidad y aumenta o disminuye a una tasaproporcional a su magnitud en un instante dado t. Ejemplos de tales cantidades incluyen la can-tidad de un material radiactivo que decae, el tamaño de una población, y la diferencia de tem-peraturas entre una taza de café caliente y la de la habitación. Las cantidades varían de acuerdocon el cambio exponencial.

Si denominamos yo a la cantidad presente en el instante t = O, entonces determinamos ycomo una función de t, resolviendo el siguiente problema de valor inicial:


Condición inicial:

dydt = ky

y = yo cuando t = O.

(la)

(lb)

Ecuación diferencial:

Si Y es positiva y creciente, entonces k es positiva y utilizamos la ecuación (1a) para decir quela tasa de crecimiento es proporcional a lo acumulado. Si y es positiva y decreciente, entoncesk es negativa y utilizamos la ecuación (la) para decir que la tasa de decaimiento es propor-cional a la cantidad que aún queda.

Es claro que si yo = O,la función constante y = Oes una solución de la ecuación (1a). Paradeterminar las soluciones distintas de cero, dividimos la ecuación (la) entre y:

.-11. dy = ky dt

J1dy dt = Jkdty dt

In Iyl = kt + eIyl = ét+C

Iyl = é·él

y = ±éét

y = Ae",

Integrar con respecto a t;

J( l/u) du = In lul + c.

Exponenciar.

Si Iyl = Y, entonces y = ±r.

A es una forma abreviada para ±ec

Al permitir que A tome el valor de cero, además de todos los valores posibles ±ec, en lafórmula podemos incluir la solución y = O.

El valor de A para el problema de valor inicial se determina despejando A cuando y = Yoy t = O:

yo = Aé·o = A.

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es

y = yoét. (2)

Se dice que las cantidades que cambian de esta manera experimentan un crecimiento ex-ponencial si k> O,y decaimiento exponencial si k < O.El número k se denomina tasa cons-tante de cambio.

La deducción de la ecuación (2) indica que las únicas funciones que son su propia deri-vada son múltiplos constantes de la función exponencial.

Antes de presentar varios ejemplos de cambio exponencial, consideraremos el procesoque utilizamos para hacerlo.

dydx = f(x,y),

Ecuaciones diferenciales separables

El cambio exponencial se modela mediante una ecuación diferencial de la forma dyf dx = ky,para alguna constante k diferente de cero. Con mayor generalidad, suponga que tenemos unaecuación diferencial de la forma

(3)


Cambio exponencial

Al modelar muchas situaciones de la realidad, una cantidad y aumenta o disminuye a una tasa proporcional a su magnitud en un instante dado t. Ejemplos de tales cantidades incluyen la cantidad de un material radiactivo que decae, el tamaño de una población, y la diferencia de temperaturas entre una taza de café caliente y la de la habitación. Las cantidades varían de acuerdo con el cambio exponencial.

Si denominamos Yo a la cantidad presente en el instante t = O, entonces determinamos Y como una función de t, resolviendo el siguiente problema de valor inicial:

Ecuación diferencial:

Condición inicial:

dy dt = ky

Y = Yo cuando t = O.

(la)

(lb)

Si Y es positiva y creciente, entonces k es positiva y utilizamos la ecuación (la) para decir que la tasa de crecimiento es proporcional a lo acumulado. Si Y es positiva y decreciente, entonces k es negativa y utilizamos la ecuación (la) para decir que la tasa de decaimiento es proporcional a la cantidad que aún queda.

Es claro que si Yo = O, la función constante Y = O es una solución de la ecuación (1 a). Para determinar las soluciones distintas de cero, dividimos la ecuación ( 1 a) entre y:

1..dY =k Y dt

J ~ d; dt = J k dt

In Iy l = kt + e Iyl = é t+C

Iyl = é ·é l

Y = ±éél

Y = Aél.

Integrar con respecto a t;

J( I/ u)du = In lul + c .

Exponenciar.

e(l+h = é ' . eb

Si Iyl = r , entonces y = ±r.

A es una forma abreviada para ±ec

Al permitir que A tome el valor de cero, además de todos los valores posibles ±ec, en la fórmula podemos incluir la solución y = O.

El valor de A para el problema de valor inicial se determina despejando A cuando Y = Yo Y t = O:

Yo = Aé · o = A.

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es

Y = YOé l. (2)

Se dice que las cantidades que cambian de esta manera experimentan un crecimiento exponencial si k > O, y decaimiento exponencial si k < O. El número k se denomina tasa constante de cambio.

La deducción de la ecuación (2) indica que las únicas funciones que son su propia derivada son múltiplos constantes de la función exponencial.

Antes de presentar varios ejemplos de cambio exponencial, consideraremos el proceso que utilizamos para hacerlo.

Ecuaciones diferenciales separables

El cambio exponencial se modela mediante una ecuación diferencial de la forma dy/ dx = ky, para alguna constante k diferente de cero. Con mayor generalidad, suponga que tenemos una ecuación diferencial de la forma

dy dx = f(x,y), (3)


7.4 Cambio exponencial y ecuaciones diferenciales con variables separables 389

donde f es una función tanto de la variable independiente como de la variable dependiente. Unasolución de la ecuación es una función derivable y = y(x) definida en un intervalo de valoresde x (quizás infinito), tal que

ddx y(x) = f(x,y(x))

en ese intervalo. Esto es, cuando y(x) y su derivaday'(x) se sustituyen en la ecuación diferen-cial, la ecuación resultante es verdadera para toda x en el intervalo de solución. La solucióngeneral es una solución y (x) que contiene a todas las soluciones posibles y siempre tiene unaconstante arbitraria.

La ecuación (3) es separable, si f puede expresarse como un producto de una función dex y una función de y. Así, la ecuación diferencial tiene la forma

dydx = g(x)H(y).

g es una función de x;H es una función de y.

Cuando rescribimos esta ecuación en la forma

dy g(x)

dx h(y)'1H(y)=-

h(y)

su forma diferencial nos permite agrupar todos los términos de y con dy y todos los términos dex con dx:

h(y) dy = g(x) dx.

Ahora simplemente integramos ambos lados de la ecuación:

J h(y) dy = J g(x) dx. (4)

Después de completar la integración obtenemos la solución y definida de manera implícitacomo una función de x.

La justificación de que basta con que integremos ambos lados en la ecuación (4), tienecomo base la regla de sustitución (sección 5.5):

J h(y) dy = J h(y(x)) : dx

J g(x)= h(y(x)) h(y(x)) dx

= J g(x) dx.

dy g(x)

dx h(y)

EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación diferencial

dydx = (1 + y)e", Y > + l .

SoLución Como 1+ Y nunca es cero para y > -1, podemos resolver la ecuación mediante laseparación de variables.

dy- = (1 + y)eX

dx Trate a dy/dx como un cociente de diferenciales ymultiplique ambos lados por dx.dy = (1 + y)eX dx

dy-- = e' dx1 + Y

J~=JeXdx1 + Y

In (1 + y) = eX+ e

Divida entre (1 + y).

Integre ambos lados.

e representa la constantecombinada de integración.

La última ecuación da y como una función implícita de x. •


donde f es una función tanto de la variable independiente como de la variable dependiente. Una solución de la ecuación es una función derivable y = y (x) definida en un intervalo de valores de x (quizás infinito), tal que

d dx y(x) = f(x,y (x))

en ese intervalo. Esto es, cuando y(x) y su derivada y '(x) se sustituyen en la ecuación diferencial, la ecuación resultante es verdadera para toda x en el intervalo de solución. La solución general es una solución y (x) que contiene a todas las soluciones posibles y siempre tiene una constante arbitraria.

La ecuación (3) es separable, si f puede expresarse como un producto de una función de x y una función de y. Así, la ecuación diferencial tiene la forma

dy dx = g(x)H(y).

Cuando rescribimos esta ecuación en la forma

dy g(x)

dx h(y)'

g es una función de x; H es una función de y .

H( ) _ _ 1_ Y - h(y)

su forma diferencial nos permite agrupar todos los términos de y con dy y todos los términos de x con dx:

h(y) dy = g(x) dx .

Ahora simplemente integramos ambos lados de la ecuación:

J h(y) dy = J g(x) dx. (4)

Después de completar la integración obtenemos la solución y definida de manera implícita como una función de x.

La justificación de que basta con que integremos ambos lados en la ecuación (4), tiene como base la regla de sustitución (sección 5.5):

J h(y) dy = J h(y(x)) : dx

J g(x) = h(y(x)) h(y(x)) dx

dy g(x)

dx h(y)

= J g(x) dx .

EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación diferencial

dy dx = (1 + y )¿, y>- l.

SoLución Como 1 + Y nunca es cero para y > -1 , podemos resolver la ecuación mediante la separación de variables .

dy = (1 + y )eX dx

dy = (1 + y )eX dx

dy -- = eXdx 1 + Y

J~=JeX dx 1 + Y

In (1 + y) = eX + e

Trate a dy/dx como un cociente de diferenciales y multiplique ambos lados por dx.

Divida entre (1 + y).

Integre ambos lados .

e representa la constante combinada de integración .

La última ecuación da y como una función implícita de x. •


EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación y(x + 1): = x(i + 1).

390 CapítuLo 7: Funciones trascendentes

Solución Cambiamos a la forma diferencial, separamos las variables e integramos.

y (x + 1) dy = x(i + 1) dx

ydy xdxi+l x+l

J~ = J (1 __ 1 )dXl+i x+l

1"lInO + i) = x -lnlx + 11 + c.

x 01= -1

Divida x entre x + \.

La última ecuación brinda la solución y como una función implícita de x. •El problema de valor inicial

dydt = ky, y(O) = Yo

incluye una ecuación diferencial separable, y la solución y = yoekt expresa un cambio exponen-cial. Ahora presentamos varios ejemplos de tal cambio ....Crecimiento ilimitado de población

I ."' ,;:,:\1i,,1.·¡

En sentido estricto, el número de individuos en una población (por ejemplo, de personas, plan-tas, animales o bacterias) es una función no continua del tiempo, ya que adopta valores discre-tos. Sin embargo, cuando el número de individuos se vuelve bastante grande, la poblaciónpuede aproximarse por medio de una función continua. En muchos contextos, otra hipótesis ra-zonable es la diferenciabilidad de la función que se usa para aproximar, porque permite el usode cálculo para modelar y predecir el tamaño de la población.

Si suponemos que la proporción de individuos que se reproducen se mantiene constante yque hay una fecundidad constante, entonces la tasa (o razón) de nacimientos es proporcional alnúmero y(t) de individuos presentes en cualquier instante t. También supondremos que la tasade mortalidad de la población es estable y proporcional a y(t). Si, además, ignoramos el fenó-meno de la migración (emigración e inmigración), entonces la tasa de crecimiento dyf dt es latasa de nacimiento menos la tasa de mortalidad, que es igual, de acuerdo con nuestras hipótesis,a la diferencia de las dos proporciones. En otras palabras, dyf dt = ky, por lo que Y = yoekt,

donde Yo es el tamaño de la población en el instante t = O. Como sucede con todo fenómeno decrecimiento, éste podría tener limitaciones debido al entorno, pero no nos ocuparemos de ello.La proporcionalidad dy/ dt = ky modela un crecimiento ilimitado de población.

En el siguiente ejemplo suponemos este modelo demográfico para ver cómo en una po-blación el número de individuos infectados por una enfermedad disminuye cuando la enfer-medad se trata de manera adecuada.

Solución Utilizamos la ecuación Y = yoekt. Hay tres cosas por determinar: el valor de Yo, elvalor de k y el tiempo cuando Y = 1000.

Valor de Yo.Tenemos libertad de iniciar la cuenta del tiempo en cualquier instante. Si con-tamos a partir de hoy, entonces y = 10,000 cuando t = O, así que Yo = lO,OOO. Ahora nuestraecuación es

EJEMPLO 3 Un modelo para la forma de erradicar una enfermedad, cuando se trata de ma-nera adecuada, supone que la tasa dy/ dt a la cual cambia el número de individuos infectados esproporcional al número y. El número de personas sanadas es proporcional al número y de indi-viduos infectados. Suponga que en el curso de cualquier año dado, el número de casos de unaenfermedad se reduce en 20 por ciento. Si actualmente hay 10,000 casos, ¿cuántos años seránnecesarios para reducir el número a 1000?

y = 10,000ét. (5)


EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación y(x + 1): = x(i + 1).

Solución Cambiamos a la forma diferencial, separamos las variables e integramos.

y (x + 1) dy = x(i + 1) dx

ydy

i + 1

xdx x + I

J~ = J (1 -_1 )dX l+ i x +1

I "2 In (I + i ) = x - In lx + 11 + c.

x * - 1

Divida x entre x + l.

La última ecuación brinda la solución y como una función implícita de x.

El problema de valor inicial

dy dt = ky, y(O) = Yo

•

incluye una ecuación diferencial separable, y la solución y = yoe k! expresa un cambio exponencial. Ahora presentamos varios ejemplos de tal cambio.

Crecimiento ilimitado de población

En sentido estricto, el número de individuos en una población (por ejemplo, de personas, plantas, animales o bacterias) es una función no continua del tiempo, ya que adopta valores discretos. Sin embargo, cuando el número de individuos se vuelve bastante grande, la población puede aproximarse por medio de una función continua. En muchos contextos, otra hipótesis razonable es la diferenciabilidad de la función que se usa para aproximar, porque permite el uso de cálculo para modelar y predecir el tamaño de la población.

Si suponemos que la proporción de individuos que se reproducen se mantiene constante y que hay una fecundidad constante, entonces la tasa (o razón) de nacimientos es proporcional al número y(t) de individuos presentes en cualquier instante t. También supondremos que la tasa de mortalidad de la población es estable y proporcional a y(t). Si , además, ignoramos el fenómeno de la migración (emigración e inmigración), entonces la tasa de crecimiento dy/dt es la tasa de nacimiento menos la tasa de mortalidad, que es igual, de acuerdo con nuestras hipótesis, a la diferencia de las dos proporciones. En otras palabras, dy/dt = ky, por lo que Y = yoét ,

donde Yo es el tamaño de la población en el instante t = O. Como sucede con todo fenómeno de crecimiento, éste podría tener limitaciones debido al entorno, pero no nos ocuparemos de ello. La proporcionalidad dy / dt = ky modela un crecimiento ilimitado de población .

En el siguiente ejemplo suponemos este modelo demográfico para ver cómo en una población el número de individuos infectados por una enfermedad disminuye cuando la enfermedad se trata de manera adecuada.

EJEMPLO 3 Un modelo para la forma de erradicar una enfermedad, cuando se trata de manera adecuada, supone que la tasa dy / dt a la cual cambia el número de individuos infectados es proporcional al número y. El número de personas sanadas es proporcional al número y de individuos infectados. Suponga que en el curso de cualquier año dado, el número de casos de una enfermedad se reduce en 20 por ciento. Si actualmente hay 10,000 casos, ¿cuántos años serán necesarios para reducir el número a 1000?

Solución Utilizamos la ecuación y = yoé!. Hay tres cosas por determinar: el valor de Yo, el valor de k y el tiempo cuando y = 1000.

Valor de Yo. Tenemos libertad de iniciar la cuenta del tiempo en cualquier instante. Si contamos a partir de hoy, entonces y = 10,000 cuando t = O, así que Yo = 10,000. Ahora nuestra ecuación es

(5)



Valor de k. Cuando t = 1 año, el número de casos será 80% de su valor actual, esto es,8000. De ahí que,

8000 = 10,000é(1)

é = 0.8

In (ek) = In 0.8

k= lnO.8 < o.

Ecuación (5) con t =

Y Y = 8000Tomar logaritrno deambos lados.

En cualquier instante dado t,

y = 10,000e(ln08)!. (6)

El valor de t que hace y = 1000. En la ecuación (4) igualamos ya 1000 y despejamos a t:

1000 = 1O,OOOe(ln 08)!

e(ln 0.8)! = 0.1

(In 0.8)t = In 0.1 Tomar logaritmo de ambos lados.

InO.1 1032-t = In 0.8 ~ . anos.

Tardará un poco más de 10 años reducir el número de casos a 1000. •Radiactividad

I En el caso del gas radón 222, t se mide endías y k = 0.18. En el caso del radio 226,que se uti Iizaba en las carátulas de losrelojes para hacer que brillaran en la noche(una práctica peligrosa), t se mide en añosy k = 4.3 X 10-4

Algunos átomos son inestables, lo que significa que, de forma espontánea, son capaces de emi-tir masa o radiación. Este proceso se denomina decaimiento radiactivo, y el elemento cuyosátomos sufren espontáneamente este proceso se conoce como radiactivo. En ocasiones, cuandoun átomo emite parte de su masa en este proceso de radiactividad, el resto de los átomos sereestructuran para formar un átomo de algún nuevo elemento. Por ejemplo, el carbono 14 ra-diactivo decae en nitrógeno, mientras que el radio, a lo largo de varios pasos radiactivos inter-medios, se transforma en plomo.

Los experimentos han demostrado que, en cualquier instante, la tasa a la que decae un ele-mento radiactivo (medido como el número de núcleos que cambian por unidad de tiempo) esaproximadamente proporcional al número de núcleos radiactivos presentes. En consecuencia,el decaimiento de un elemento radiactivo se describe por medio de la ecuación dyf dt = -ky,k> o. Por convención, aquí se utiliza -k, con k > O,para enfatizar que y decrece. Si yo es elnúmero de núcleos radiactivos presentes en el instante cero, entonces su número en cualquierinstante posterior t será

k> O.

La vida media de un elemento radiactivo es el tiempo que se requiere para que la mitad delos núcleos en una muestra se desintegren. Es un hecho interesante que la vida media es unaconstante que no depende del número de núcleos radiactivos iniciales en la muestra, sino sólode la sustancia radiactiva.

Para ver por qué, sea yo el número de núcleos radiactivos en la muestra al inicio. Entoncesel número y de núcleos en cualquier instante t será y = YOe-kt. Buscamos el valor de t en elque el número de núcleos radiactivos presentes sea igual a la mitad del número original:

1-kt = In- = -ln22

t = In 2k

Regla del recíproco para logaritmos

I En el caso del gas radón 222, t se mide en días y k = 0.18. En el caso del radio 226, que se utilizaba en las carátulas de los relojes para hacer que brillaran en la noche (una práctica peligrosa), t se mide en años y k = 4.3 X 10- 4


Valor de k. Cuando t = 1 año, el número de casos será 80% de su valor actual, esto es, 8000. De ahí que,

En cualquier instante dado t,

8000 = 10,000 é(l)

é = 0.8

In (é ) = In 0.8

k = lnO.8 < O.

y = 10,000 e(In08)t .

Ecuación (5) con t =

Y Y = 8000 Tomar logaritmo de ambos lados.

(6)

El valor de t que hace y = 1000. En la ecuación (4) igualamos ya 1000 y despejamos a t:

1000 = 1 O,OOOe(In 08)t

e(In 0. 8)t = 0.1

(In 0.8)t = In 0.1 Tomar logaritmo de ambos lados.

InO.l 1032-t = InO.8 ~ . anos .

Tardará un poco más de 10 años reducir el número de casos a 1000. • Radiactividad

Algunos átomos son inestables, lo que significa que, de forma espontánea, son capaces de emitir masa o radiación. Este proceso se denomina decaimiento radiactivo, y el elemento cuyos átomos sufren espontáneamente este proceso se conoce como radiactivo. En ocasiones, cuando un átomo emite parte de su masa en este proceso de radiactividad, el resto de los átomos se reestructuran para formar un átomo de algún nuevo elemento. Por ejemplo, el carbono 14 radiactivo decae en nitrógeno, mientras que el radio, a lo largo de varios pasos radiactivos intermedios, se transforma en plomo.

Los experimentos han demostrado que, en cualquier instante, la tasa a la que decae un elemento radiactivo (medido como el número de núcleos que cambian por unidad de tiempo) es aproximadamente proporcional al número de núcleos radiactivos presentes. En consecuencia, el decaimiento de un elemento radiactivo se describe por medio de la ecuación dy/dt = -ky, k> O. Por convención, aquí se utiliza - k, con k > O, para enfatizar que y decrece. Si Yo es el número de núcleos radiactivos presentes en el instante cero, entonces su número en cualquier instante posterior t será

k > O.

La vida media de un elemento radiactivo es el tiempo que se requiere para que la mitad de los núcleos en una muestra se desintegren. Es un hecho interesante que la vida media es una constante que no depende del número de núcleos radiactivos iniciales en la muestra, sino sólo de la sustancia radiactiva.

Para ver por qué, sea Yo el número de núcleos radiactivos en la muestra al inicio. Entonces el número Y de núcleos en cualquier instante t será Y = yoe -kt. Buscamos el valor de t en el que el número de núcleos radiactivos presentes sea igual a la mitad del número original:

-kt = In l = - ln2 2

In 2 t = -

k

Regla del recíproco para logaritmos


V'd di In2I ame la = k (7)


Por ejemplo, la vida media del radón 222 es

id di In 2 3 9 diVI ame la = 0.18 ~ . las.

EJEMPLO 4 En ocasiones, el decaimiento de elementos radiactivos puede utilizarse paradatar hechos del pasado de la Tierra. En un organismo vivo, la razón de carbono radiactivo, car-bono 14, a carbono ordinario permanece constante durante la vida del organismo, que es apro-ximadamente igual a la razón del entorno del organismo en su época. Sin embargo, al morir elorganismo ya no ingiere carbono 14, por lo que la proporción de carbono 14 en los restosdel organismo disminuye conforme el carbono 14 decae.

Para el fechado con carbono 14, los científicos emplean la cifra de 5700 años para la vidamedia. Determine la edad de una muestra en la que el 10% del núcleo radiactivo original seha desintegrado.

nISolución Utilizamos la ecuación de decaimiento y = yoe -kt. Debemos determinar dos cosas:el valor de k y el valor de t cuando y es 0.9yo (aún se conserva el 90% de los núcleos radiac-tivos). Esto es, determinamos t cuando yoe-kt = 0.9yo o e :" = 0.9.

Valor de k: Utilizamos la ecuación (7) de la vida media:

k = ln2vida media

ln25700

(alrededor de l.2 X 10-4)

Valor de t que hace e-kt = 0.9:

e-kt = 0.9

e-(In 2/5700)1 = 0.9

In2- 5700 t = In 0.9

5700 In 0.9t = - ln2 ~

Tomamos logaritmos en ambos lados.

866 años

La muestra tiene una antigüedad de aproximadamente 866 años. •

Cuando se deja sopa en un tazón metálico, el contenido se enfría hasta llegar a la temperaturaambiente. Un lingote de plata caliente inmerso en agua se enfría a la temperatura de ésta. Entales situaciones, la velocidad a la que la temperatura de un objeto cambia en cualquier instantees casi proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del medio que lo ro-dea. Dicha observación se denomina ley de Newton del enfriamiento, aunque también se aplicapara calentamiento.

Si H es la temperatura del objeto en el instante t, y Hs es la temperatura constante del am-biente, entonces la ecuación diferencial es

Transferencia de calor: Ley de Newton del enfriamiento

dHdt

-k(H - Hs). (8)


V 'd d' In2 I ame la = k

Por ejemplo, la vida media del radón 222 es

'd d' In 2 3 9 d' VI ame la = 0.18 >:::: • las.

(7)

EJEMPLO 4 En ocasiones, el decaimiento de elementos radiactivos puede utilizarse para datar hechos del pasado de la Tierra. En un organismo vivo, la razón de carbono radiactivo, carbono 14, a carbono ordinario permanece constante durante la vida del organismo, que es aproximadamente igual a la razón del entorno del organismo en su época. Sin embargo, al morir el organismo ya no ingiere carbono 14, por lo que la proporción de carbono 14 en los restos del organismo disminuye conforme el carbono 14 decae.

Para el fechado con carbono 14, los científicos emplean la cifra de 5700 años para la vida media. Determine la edad de una muestra en la que el 10% del núcleo radiactivo original se ha desintegrado.

Solución Utilizamos la ecuación de decaimiento y = yoe - kl. Debemos determinar dos cosas: el valor de k y el valor de t cuando y es 0.9yo (aún se conserva el 90% de los núcleos radiactivos). Esto es, determinamos t cuando yoe - kl = 0.9yo o e - kl = 0.9.

Valor de k: Utilizamos la ecuación (7) de la vida media:

In2 k = ---==--=----vida media

ln2 5700

(alrededor de 1.2 X 10-4 )

Valor de t que hace e - kt = 0.9:

e-kt = 0.9

e - (in2/ 5700)t = 0.9

ln2 - 5700 t = In 0.9

5700 In 0.9 t = - ln2 ~

Tomamos logaritmos en ambos lados.

866 años

La muestra tiene una antigüedad de aproximadamente 866 años.

Transferencia de calor: Ley de Newton del enfriamiento

•

Cuando se deja sopa en un tazón metálico, el contenido se enfría hasta llegar a la temperatura ambiente. Un lingote de plata caliente inmerso en agua se enfría a la temperatura de ésta. En tales situaciones, la velocidad a la que la temperatura de un objeto cambia en cualquier instante es casi proporcional a la díferencia entre su temperatura y la temperatura del medio que lo rodea. Dicha observación se denomina ley de Newton del enji'iamiento, aunque también se aplica para calentamiento.

Si H es la temperatura del objeto en el instante t, y Hs es la temperatura constante del ambiente, entonces la ecuación diferencial es

dH dt

-k(H - Hs). (8)


'.


Si sustituimos y por (H - Hs), entonces

dy d dH d- = - (H - Hs) = - - - (Hs)dt dt dt dt

= dH _ OdtdHdt

= -k(H - Hs)

= -ky.

Hs es una constante

Ecuación (8)

H - Hs = Y

Ahora sabemos que y = YOe +kt es la solución de dy / dt = - ky, donde y(O) = Yo. La sustituciónde (H - Hs) por Y nos indica que

(9)

donde Ho es la temperatura en t = O. Ésta es la ecuación para la ley de Newton del enfria-miento.

EJEMPLO 5 Un huevo cocido a 98 "C se pone en agua a 18 "C. Después de 5 minutos, latemperatura del huevo es de 38 "C. Suponiendo que el agua no se calienta de forma apreciable,¿cuánto tardará el huevo en llegar a 20 "C]

Solución Determinamos cuánto tarda el huevo en enfriarse de 98 "C a 20 "C y restamos los5 minutos ya transcurridos. Por medio de la ecuación (9) con Hs = 18 y Ha = 98, la tempe-ratura del huevo al cabo de t minutos, después de colocarlo en el agua, es

H = 18 + (98 - 18)e-kt = 18 + 80e-kt.

Para hallar k, utilizamos la información de que H = 38 cuando t = 5:

38 = 18 + 80e-5k

-5k 1e = ¡-5k = In..!. = -ln4

41k = SIn 4 = 0.2 In 4 (aproximadamente 0.28) .

La temperatura del huevo en el instante t es H = 18 + 80e -(0.2In4)/. Ahora determinamos elinstante t cuando H = 20:

20 = 18 + 80e -(0.2In4)/

80e-(0.2In4)1 = 2

e-(0.2ln4)1 = ~40

1-(0.21n4)t = In 40 = -In40

In40 .t = 0.21n4 ~ 13 mm ,

La temperatura del huevo será de 20 "C al cabo de 13 minutos después de colocarlo en el aguapara enfriarlo. Puesto que tomó 5 minutos en llegar a 38 "C, entonces tardará casi 8 minutosmás en llegar a 20 "C. •


Si sustituimos y por (H - Hs), entonces

dy d dH d dt = dt (H - Hs) = di - dt (Hs)

= dH _ O dt

dH dt

= - k(H - Hs)

= - 1..)1.

Hs es una constante

Ecuación (8)

H - f-ls= y

Ahora sabemos que y = yoe - k/ es la solución de dy / dt = - ky, donde y(O) = Yo. La sustitución de (H - Hs) por Y nos indica que

H - Hs = (Ha - Hs)e- k l , (9)

donde Ho es la temperatura en t = o. Ésta es la ecuación para la ley de Newton del enfriamiento.

EJEMPLO 5 Un huevo cocido a 98 oC se pone en agua a 18 oC. Después de 5 minutos, la temperatura del huevo es de 38 oc. Suponiendo que el agua no se calienta de forma apreciable, ¿cuánto tardará el huevo en llegar a 20 OC?

Solución Determinamos cuánto tarda el huevo en enfriarse de 98 oC a 20 oC y restamos los 5 minutos ya transcurridos. Por medio de la ecuación (9) con Hs = 18 y Ha = 98, la temperatura del huevo al cabo de t minutos, después de colocarlo en el agua, es

H = 18 + (98 - 18)e- kl = 18 + 80e- k / .

Para hallar k, utilizamos la información de que H = 38 cuando t = 5:

38 = 18 + 80e- 5k

-5k 1 e = -4

1 -5k = ln- = -ln4

4

1 k = Sin 4 = 0.2 In 4 (aproximadamente 0.28).

La temperatura del huevo en el instante t es H = 18 + 80e - (0.2 In 4)/. Ahora determinamos el instante t cuando H = 20:

20 = 18 + 80e-(02 In4)/

80e -(0.2 In 4)1 = 2

e- (a.2In4)t = ~ 40

1 -(0.2 In4)t = In

40 = - ln40

In40 . t = 0.2 1n4 ~ 13 mm .

La temperatura del huevo será de 20 oC al cabo de 13 minutos después de colocarlo en el agua para enfriarlo. Puesto que tomó 5 minutos en llegar a 38 oC, entonces tardará casi 8 minutos más en llegar a 20 oC. •



Ejerddos 7.4

23. La evolución humana continúa El análisis de la reducción del ta-maño de los dientes, realizada por c. Loring Brace y sus colegas delMuseo de Antropología de la Universidad de Michigan, indica que eltamaño de los dientes humanos decrece de manera continua y queel proceso de evolución no se detuvo hace aproximadamente 30,000años, como muchos científicos aseguran. Por ejemplo, el tamaño delos dientes de los europeos septentrionales actualmente disminuyea razón de 1% por cada 1000 años.

a. Si t representa el tiempo, en años, y y representa el tamaño de losdientes, utilizamos la condición y = 0.99yo cuando t = 1000 paradeterminar el valor de k en la ecuación y = yoekl• Luego utiliza-mos este valor de k para responder las preguntas restantes.

b. ¿En cuántos años los dientes humanos serán del 90% de sutamaño actual?

c. ¿Cuál será el tamaño de los dientes de nuestros descendientesdentro de 20,000 años (como un porcentaje del tamaño actual)?

24. Presión atmosférica La presión atmosférica de la Tierra p con fre-cuencia se modela suponiendo que la tasa dp/dh a la cual cambia pcon la altura sobre el nivel del mar h es proporcional a p. Supongaque la presión al nivel del mar es de 1013 milibares (aproximada-mente 14.7 libras por in-) y que la presión a una altura de 20 km es de90 milibares.

a. Resuelva el problema de valor inicialEcuación diferencial: dpf dñ = kp (k una constante)Condición inicial: p = Po cuando h = O

para expresar p en términos de h. Determine los valores de Po Yka partir de la información de la altura y la presión dadas.

b. ¿Cuál es la presión atmosférica en h = 50 km?

c. ¿A qué altura la presión es igual a 900 milibares?

25. Reacciones químicas de primer orden En algunas reacciones quí-micas, la tasa a la cual la cantidad de una sustancia cambia con eltiempo es proporcional a la cantidad presente. Por ejemplo, para latransformación de o-glucono lactona en ácido glucónico tenemos

Verificación de solucionesEn los ejercicios l a 4, demuestre que cada función y = f(x) es una solu-ción de la ecuación diferencial que le acompaña.

1. 2y' + 3y = e-x

a. y = e-x b. y = e-x + e-(3/2)x

c. y = e-x + Ce-(3/2)x

2. y' =l1

a. y =-xl (, el

3. y = X JI t dt,

4. y = k. tV1+7 dt, y' + 12+x3

x4Y =1 + x4J[

lb. y=-x+3

lc. y = - x + C

Problemas con valor inicialEn los ejercicios 5 a 8, demuestre que cada función es una solución delproblema con valor inicial dado.

Ecuacióndiferencial

Condicióninicial

Solucióncandidata•••

2S.y' +y=-~-=--1 + 4e2,

6. y' = e-x' - 2xy

y(-ln2) = ~2

y(2) = O

y(f) = O

y = (x - 2)e-x'

cosxy=-x-7. xy' + Y = -senx,

x>O

8. x2y' = xy - l,x > I

y(e) = e xy = Inx

Ecuaciones diferenciales separablesEn los ejercicios 9 a 22, resuelva la ecuación diferencial.

• ~ dy9.2vxYdx=l, x,y>O

11 dy = '-y. dx e

dy 2. r10. dx = x V y, Y > O

dy12. - = 3x2 e-Y

dx

13. : = vY cos2 vY• /: dy Vx

15. Vx - = eY+ xdx '

dy • ¡-;---;¡17. - = 2..-:V 1 - l,

dxdy e2'-y

18. dx

x> O

• ~ dy14. v2xy dx = l

dy16. (secx) dx = eY+senx

-1 <y < 1

dy19. l dx = 3~l - 6x2

1 dy _,' • r '21. x dx - ye + 2 V Y e'

dy20. dx = xy + 3x - 2y - 6

22. : = e'-Y + ¿ + e-Y +

Aplicaciones y ejemplosD Las respuestas de la mayoría de los siguientes ejercicios están en términos

de logaritmos y exponenciales. Sería útil usar una calculadora que permitaexpresar las respuestas en forma decimal.

dydt = -0.6y

cuando t se mide en horas. Si cuando t = Ohay 100 gramos de o-glu-cono lactona, ¿cuántos gramos quedarán después de la primera hora?

26. Inversión del azúcar El procesamiento de azúcar sin refinar inclu-ye un paso denominado "inversión", que modifica la estructura mo-lecular del azúcar. Una vez que el proceso inicia, la tasa de cambio dela cantidad de azúcar sin refinar es proporcional a la cantidad de azú-car que queda sin refinar. Si durante las primeras 10 horas, 1000 kgde azúcar sin refinar se reducen a 800 kg, ¿qué cantidad de azúcar sinrefinar quedará después de otras 14 horas?

27. Trabajo submarino La intensidad de la luz, L(x), a x ft bajo la su-perficie del océano satisface la ecuación diferencial

dL = -kLdx .

Como buzo, usted sabe por experiencia que la intensidad de la luz sereduce a la mitad a 18 ft de profundidad en el mar Caribe. Cuando laintensidad de la luz se reduce a menos de un décimo de su valor enla superficie no es posible trabajar sin luz artificial. ¿Hasta que pro-fundidad espera trabajar sin luz artificial?


Ejerddos 7.4

Verificación de soluciones En los ejercicios I a 4, demuestre que cada función y = f(x) es una solución de la ecuación diferencial que le acompaña.

1. 2y' + 3y = e-x

a. y = e - x b. y = e-x + e-(3/ 2)x

c. y = e-x + C e-(3/ 2)x

2. y ' =i l l l

a. y =- :x b. y =- x+3 c. y=-x + C

I {X e' 3. y = :x JI t dt,

4. y = k. /'V1+7 dI, I + x4 J¡

2X3 JI' + ---y =

l + x4

Problemas con valor inicial En los ejercicios 5 a 8, demuestre que cada función es una solución del problema con valor inicial dado.

Ecuación diferencial

2 5. y ' + Y = - ---=

l + 4e2,

6. y' = e-x' - 2xy

7. xy' + Y = - senx,

x > O

8. ~y' = xy - i, x > 1

Condición inicial

y( - ln 2)=7!.. 2

y (2) = O

y(f) = O

y(e) = e

Solución candidata

y = (x - 2)e- X'

cosx y =-x-

x y = In x

Ecuaciones diferenciales separables En los ejercicios 9 a 22, resuelva la ecuación diferencial.

• / dy 9. 2 V xy dx = 1, x,y> O

11. : = ¿ -y

13.: vY cos2 vY

15. Vx : = eY+Vx, x>O

dy _ 2. í 10. dx - x V y, Y > O

dy 12. dx = 3x2 e-Y

~dy 14. 2.y dx = l

dy 16. (secx) - = eY+ sen x

dx

dy • ¡-:---;; 17. -d = 2x v I - i,

x -1 <y < I

dy é'-Y 18. -d

x e'"+Y

dy 19. i - = 3~i - 6~

dx

I dy , • í ' 21. :x dx = ye-'"" + 2 V Y e-'""

Aplicaciones y ejemplos

dy 20. dx = xy + 3x - 2y - 6

22 dy = e-'-Y + ¿ + e-Y + . dx

D Las respuestas de la mayoría de los siguientes ejercicios están en términos de logaritmos y exponenciales. Sería útil usar una calculadora que permita expresar las respuestas en forma decimal.

23. La evolución humana continúa El análisis de la reducción del tamaño de los dientes, realizada por C. Loring Brace y sus colegas del Museo de Antropología de la Universidad de Michigan, indica que el tamaño de los dientes humanos decrece de manera continua y que el proceso de evolución no se detuvo hace aproximadamente 30,000 años, como muchos científicos aseguran. Por ejemplo, el tamaño de los dientes de los europeos septentrionales actualmente disminuye a razón de 1% por cada 1000 años.

a. Si t representa el tiempo, en años, y y representa el tamaño de los dientes, utilizamos la condición y = 0.99yo cuando t = 1000 para determinar el valor de k en la ecuación y = yoé'. Luego utili zamos este valor de fe para responder las preguntas restantes.

b. ¿En cuántos años los dientes humanos serán del 90% de su tamaño actual?

c. ¿Cuál será el tamaño de los dientes de nuestros descendientes dentro de 20,000 años (como un porcentaje del tamaño actual)?

24. Presión atmosférica La presión atmosférica de la Tierra p con frecuencia se modela suponiendo que la tasa dp / dh a la cual cambia p con la altura sobre el nivel del mar h es proporcional a p . Suponga que la presión al nivel del mar es de 1013 milibares (aproximadamente 14.7 libras por in2) y que la presión a una altura de 20 km es de 90 milibares.

a. Resuelva el problema de valor in icial

Ecuación diferencial: dp/ dh = kp (k una constante)

Condición inicial: p = Po cuando h = O

para expresar p en términos de h. Determine los valores de Po Y k a partir de la información de la altura y la presión dadas.

b. ¿Cuál es la presión atmosférica en h = 50 km?

c. ¿A qué altura la presión es igual a 900 milibares?

25. Reacciones químicas de primer orden En algunas reacciones químicas, la tasa a la cual la cantidad de una sustancia cambia con el tiempo es proporcional a la cantidad presente. Por ejemplo, para la transformación de 8-glucono lactona en ácido glucónico tenemos

26.

27.

dy dt = - 0.6y

cuando t se mide en horas. Si cuando t = O hay 100 gramos de 8-glucono lactona, ¿cuántos gramos quedarán después de la primera hora?

Inversión del azúcar El procesamiento de azúcar sin refinar incluye un paso denominado "inversión", que modifica la estructura molecular del azúcar. Una vez que el proceso inicia, la tasa de cambio de la cantidad de azúcar sin refinar es proporcional a la cantidad de azúcar que queda sin refinar. Si durante las primeras 10 horas, 1000 kg de azúcar sin refinar se reducen a 800 kg, ¿qué cantidad de azúcar sin refinar quedará después de otras 14 horas?

Trabajo submarino La intensidad de la luz, L(x), a x ft bajo la supetficie del océano satisface la ecuación diferencial

dL = - kL dx .

Como buzo, usted sabe por experiencia que la intensidad de la luz se reduce a la mitad a 18 ft de profundidad en el mar Caribe. Cuando la intensidad de la luz se reduce a menos de un décimo de su valor en la superficie no es posible trabajar sin luz artificial. ¿Hasta que profundidad espera trabajar sin luz artificial?



28. Voltaje en un condensador que se descarga Suponga que la elec-tricidad fluye desde un condensador a una velocidad que es pro-porcional al voltaje V que cruza sus terminales y que, si t se mide ensegundos,

dV 1di = - 40 V.

29.

Despeje V de esta ecuación; para ello, use Vo como el valor de Vcuando t = O. ¿Cuánto tardará el voltaje en reducirse al 10% de suvalor original?

Bacteria del cólera Suponga que las bacterias en una colonia cre-cen desenfrenadamente, por la ley de cambio exponencial. La coloniainicia con I bacteria y se duplica cada media hora. ¿Cuántas bacteriastendrá la colonia al término de 24 horas? (En condiciones favorablesde laboratorio, el número de bacterias de cólera puede duplicarsecada 30 minutos. En una persona infectada, muchas bacterias se des-truyen, pero este ejemplo ayuda a explicar por qué una persona que sesiente bien en la mañana, por la noche puede estar muy grave).

Crecimiento de bacterias Una colonia de bacterias crece en con-diciones ideales en un laboratorio, de manera que la población au-menta con el tiempo de forma exponencial. Después de 3 horas, hay10,000 bacterias. Después de 5, hay 40,000. ¿Cuántas bacterias habíaal principio?

Incidencia de una enfermedad (Continuación del ejemplo 3). Su-ponga que en cualquier año dado, el número de casos puede reducirseen 25% en vez del 20 por ciento.

a. ¿Cuánto tardará en reducirse el número de casos a 1000?

b. ¿Cuánto tardará en erradicarse la enfermedad, esto es, en redu-cirse el número de casos a menos de 1?

Población de Estados Unidos La Oficina de Censos de EstadosUnidos lleva un registro permanente de la población del país. El 26 demarzo de 2008 el total crecía a razón de 1 persona cada 13 segundos.La cifra de ese día a las 2:31 P.M., hora del Este, fue de 303,714,725.

a. Si suponemos crecimiento exponencial a una tasa constante,determine la constante para la tasa de crecimiento de la población(personas por año de 365 días).

b. A esa tasa, ¿cuál será la población de Estados Unidos a las2:31 P.M. horas del Este el26 de marzo de 2015?

Agotamiento del petróleo Suponga que la cantidad de petróleobombeado desde un pozo en Whittier, California, disminuye a unarazón continua del 10% anual. ¿Cuándo disminuirá la producción auna quinta parte de su valor actual?

Descuento continuo en precio Para alentar a los clientes a hacercompras de 100 unidades, el departamento de ventas de su compañíaaplica un descuento continuo, lo que hace del precio unitario una fun-ción p(x) del número x de unidades compradas. El descuento reduceel precio a razón de $0.01 por unidad adquirida. El precio por unidadpara un pedido de 100 unidades esp(lOO) = $20.09.

a. Determine p(x) resolviendo el siguiente problema de valor inicial:

de 90. Asegúrese de demostrar que r tiene un valor máximoenx = 100.

d. Elabore la gráfica de la función de ingresos r(x) = xp(x) paraO :s x:s 200.

35. Plutonio 239 La vida media del isótopo de plutonio es de 24,360años. Si en un accidente nuclear se liberan a la atmósfera 10 g deplutonio, ¿cuántos años pasarán para que decaiga el 80% de los isó-topos?

36. Polonio 210 La vida media del polonio es de 139 días, pero la mues-tra ya no será útil cuando se haya desintegrado el 95% de los núcleosradiactivos presentes en ella al recibirse la muestra. ¿Hasta cuántosdías después de recibida la muestra de polonio podrá utilizarse?

37. La vida media de un núcleo radiactivo Los físicos que usan laecuación de la radiactividad y = YOe-k' llaman vida media de un nú-cleo radiactivo al número l/k. Para el radón, la vida media es alrede-dor de 1/0.18 = 5.6 días. La vida media de un núcleo de carbono 14es de más de 8000 años. Demuestre que el 95% de los núcleos radiac-tivos presentes en la muestra se desintegrarán antes de tres vidas me-dias, es decir, en el instante t = 3/k. Así, la vida media del núcleorepresenta un método sencillo para estimar cuánto dura la radiactivi-dad de una muestra.

38. Californio 252 ¿Qué elemento cuesta 27 millones de dólares porgramo y sirve para combatir el cáncer cerebral, para analizar el con-tenido de azufre del carbón y para detectar explosivos en el equipaje?La repuesta es el californio 252, un isótopo radiactivo tan raro queen el mundo occidental sólo se han obtenido 8 g desde que GlennSeaborg lo descubrió en 1950. La vida media del isótopo es de 2.645años: bastante larga para ser útil y bastante corta para tener alta ra-diactividad por masa unitaria. Un microgramo del isótopo libera170 millones de neutrones por segundo.

a. ¿Cuál es el valor de k en la ecuación de decaimiento de esteisótopo?

b. ¿Cuál es la vida media del isótopo? (Véase el ejercicio 37).

c. ¿Cuánto tardará en desintegrarse el 95% de los núcleos radiactivosde una muestra?

39. Cómo se enfría la sopa Suponga que un tazón de sopa se enfría de90°C a 60°C en 10 minutos, en una habitación a 20 ° C. Responda lassiguientes preguntas usando la ley de Newton del enfriamiento.

a. ¿Cuánto más tardará la sopa en enfriarse a 35°C?

b. En vez de dejada en la habitación, la sopa a 90°C se guarda enun congelador a -15°C. ¿Cuánto tardará en enfriarse de 90°Ca 35°C?

40. Una viga a temperatura desconocida Una viga de aluminio ex-puesta al frío exterior entra en un taller de troquelado donde la tem-peratura se mantiene a 65°F. A los 10 minutos, la viga se calienta a35°F, y en otros 10 llega a 50°F. Estime la temperatura inicial dela viga con la ley de Newton del enfriamiento.

41. Un entorno de temperatura desconocida En un refrigerador seguarda una olla de agua tibia (46°C). A los 10 minutos, la tempera-tura del agua es de 39°C; 10 minutos después, su temperatura es de33 °C. Con base en la ley de Newton del enfriamiento, estime a quétemperatura está el refrigerador.

42. Enfriamiento de plata en el aire La temperatura de un lingote deplata es ahora 60°C más alta que la temperatura ambiente. Hace 20minutos era 70 °C más alta que ésta. ¿Cuánto más alta que la tempe-ratura ambiente estará la plata

a. ¿Dentro de 15 minutos? b. ¿Dentro de 2 horas?

c. ¿Cuándo estará a 10°C más que la temperatura ambiente?

30.

31.

32.

33.

34.

Ecuación diferencial:dp 1dx = - lOOP

p(100) = 20.09.Condición inicial:

b. Determine el precio unitario p( 1O) para un pedido de 10 unidades,y el precio unitario p(90) para un pedido de 90 unidades.

c. El departamento de ventas le ha preguntado si este descuento estan grande que el ingreso de la compañía, r(x) = x . p(x) seríamenor para un pedido de 100 unidades que, digamos, para uno


28. Voltaje en un condensador que se descarga Suponga que la electricidad fluye desde un condensador a una velocidad que es proporcional al voltaje V que cruza sus terminales y que, si t se mide en segundos,

Despeje V de esta ecuación; para ello, use Vo como el valor de V cuando t = O. ¿Cuánto tardará el voltaje en reducirse al 10% de su valor original?

29. Bacteria del cólera Suponga que las bacterias en una colonia crecen desenfrenadamente, por la ley de cambio exponencial. La colonia inicia con 1 bacteria y se duplica cada media hora. ¿Cuántas bacterias tendrá la colonia al término de 24 horas? (En condiciones favorables de laboratorio, el número de bacterias de cólera puede duplicarse cada 30 minutos. En una persona infectada, muchas bacterias se destruyen, pero este ejemplo ayuda a explicar por qué una persona que se siente bien en la mañana, por la noche puede estar muy grave).

30. Crecimiento de bacterias Una colonia de bacterias crece en condiciones ideales en un laboratorio, de manera que la población aumenta con el tiempo de forma exponencial. Después de 3 horas, hay 10,000 bacterias. Después de 5, hay 40,000. ¿Cuántas bacterias había al principio?

31. Incidencia de una enfermedad (Continuación del ejemplo 3). Suponga que en cualquier año dado, el número de casos puede reducirse en 25% en vez del 20 por ciento.

a. ¿Cuánto tardará en reducirse el número de casos a 1000?

b. ¿Cuánto tardará en erradicarse la enfermedad, esto es, en reducirse el número de casos a menos de l?

32. Población de Estados Unidos La Oficina de Censos de Estados Unidos lleva un registro permanente de la población del país. El 26 de marzo de 2008 el total crecía a razón de 1 persona cada 13 segundos. La cifra de ese día a las 2:3 1 P.M., hora del Este, fue de 303,714,725.

a. Si suponemos crecimiento exponencial a una tasa constante, determine la constante para la tasa de crecimiento de la población (personas por año de 365 días).

b. A esa tasa, ¿cuál será la población de Estados Unidos a las 2:31 P.M. horas del Este el26 de marzo de 2015?

33. Agotamiento del petróleo Suponga que la cantidad de petróleo bombeado desde un pozo en Whittier, California, disminuye a una razón continua del 10% anual. ¿Cuándo disminuirá la producción a una quinta parte de su valor actual?

34. Descuento continuo en precio Para alentar a los clientes a hacer compras de 100 unidades, el departamento de ventas de su compañía aplica un descuento continuo, lo que hace del precio unitario una función p(x) del número x de unidades compradas. El descuento reduce el precio a razón de $0.01 por unidad adquirida. El precio por unidad para un pedido de 100 unidades es p(lOO) = $20.09.

a. Determine p(x) resolviendo el siguiente problema de valor inicial:

Ecuación diferencial: dp 1 dx = - J.OOP

Condición inicial: p(lOO) = 20.09.

b. Determine el precio unitario p( 1 O) para un pedido de 10 unidades, y el precio unitario p(90) para un pedido de 90 unidades.

c. El departamento de ventas le ha preguntado si este descuento es tan grande que el ingreso de la compañía, r(x) = x . p(x) sería menor para un pedido de 100 unidades que, digamos, para uno

de 90. Asegúrese de demostrar que r tiene un valor máximo enx = 100.

d. Elabore la gráfica de la función de ingresos r(x) = xp(x) para O :s x:s 200.

35. Plutonio 239 La vida media del isótopo de plutonio es de 24,360 años. Si en un accidente nuclear se liberan a la atmósfera 10 g de plutonio, ¿cuántos años pasarán para que decaiga el 80% de los isótopos?

36. Polonio 210 La vida media del polonia es de 139 días, pero la muestra ya no será útil cuando se haya desintegrado el 95% de los núcleos radiactivos presentes en ella al recibirse la muestra. ¿Hasta cuántos días después de recibida la muestra de polonio podrá utilizarse?

37. La vida media de un núcleo radiactivo Los físicos que usan la ecuación de la radiactividad y = YOe-k' llaman vida media de un núcleo radiactivo al número l/k. Para el radón, la vida media es alrededor de 1/0.18 = 5.6 días. La vida media de un núcleo de carbono 14 es de más de 8000 años. Demuestre que el 95% de los núcleos radiactivos presentes en la muestra se desintegrarán antes de tres vidas medias, es decir, en el instante t = 3/ k. Así, la vida media del núcleo representa un método sencillo para estimar cuánto dura la radiactividad de una muestra.

38. Californio 252 ¿Qué elemento cuesta 27 millones de dólares por gramo y sirve para combatir el cáncer cerebral, para analizar el contenido de azufre del carbón y para detectar explosivos en el equipaje? La repuesta es el california 252, un isótopo radiactivo tan raro que en el mundo occidental sólo se han obtenido 8 g desde que Glenn Seaborg lo descubrió en 1950. La vida media del isótopo es de 2.645 años: bastante larga para ser útil y bastante corta para tener alta radiactividad por masa unitaria. Un microgramo del isótopo libera 170 millones de neutrones por segundo.

a. ¿Cuál es el valor de k en la ecuación de decaimiento de este isótopo?

b. ¿Cuál es la vida media del isótopo? (Véase el ejercicio 37).

c. ¿Cuánto tardará en desintegrarse el 95% de los núcleos radiactivos de una muestra?

39. Cómo se enfría la sopa Suponga que un tazón de sopa se enfría de 90 oC a 60 oC en 10 minutos, en una habitación a 20 ° C. Responda las siguientes preguntas usando la ley de Newton del enfriamiento.

a. ¿Cuánto más tardará la sopa en enfriarse a 35 OC?

b. En vez de dejarla en la habitación, la sopa a 90 oC se guarda en un congelador a - 15 oC. ¿Cuánto tardará en enfriarse de 90 oC a 35 OC?

40. Una viga a temperatura desconocida Una viga de aluminio expuesta al frío exterior entra en un taller de troquelado donde la temperatura se mantiene a 65 °E A los 10 minutos, la viga se calienta a 35 °F, y en otros 10 llega a 50 °E Estime la temperatura inicial de la viga con la ley de Newton del enfriamiento.

41. Un entorno de temperatura desconocida En un refrigerador se guarda una olla de agua tibia (46 oC). A los 10 minutos, la temperatura del agua es de 39 oC; 10 minutos después, su temperatura es de 33 oC. Con base en la ley de Newton del enfriamiento, estime a qué temperatura está el refrigerador.

42. Enfriamiento de plata en el aire La temperatura de un lingote de plata es ahora 60 oC más alta que la temperatura ambiente. Hace 20 minutos era 70 oC más alta que ésta. ¿Cuánto más alta que la temperatura ambiente estará la plata

a. ¿Dentro de 15 minutos? b. ¿Dentro de 2 horas?

c. ¿Cuándo estará a 10 oC más que la temperatura ambiente?


..;


43. La edad del lago Cráter El carbón vegetal de un árbol caído du-rante la erupción volcánica que formó el lago Cráter, en Oregon, con-tenía el 44.5% del carbono 14 que se encuentra por lo regular en lamateria viva. ¿Cuál es la edad del lago Cráter?

44. Sensibilidad del fechado con carbono 14 a la medición Paraapreciar el efecto de un error relativamente pequeño en la estimacióndel contenido de carbono 14 de una muestra cuya antigüedad deseadeterminarse, considere esta situación hipotética:

a. Un hueso fósil descubierto en el centro de lIIinois en el año2000 d.C. conserva el 17% de su carbono 14 original.Estime en qué año murió el animal.

b. Repita el inciso (a), pero ahora suponga el 18% en vez del17 por ciento.

c. Repita el inciso (a), pero ahora suponga el 16% en vezdel 17 por ciento.

7.5 Formas indeterminadas y la regla de l'Hopital

45. Carbono 14 La momia humana congelada más antigua conocida,descubierta en el glacial Schnalstal en los Alpes italianos en 1991 yllamada Otzi, se encontró con unos zapatos de paja y un abrigo depiel con pelo de cabra puestos; además, la momia se encuentra suje-tando un hacha de cobre y un cuchillo de piedra. Se estima que Otzimurió 5000 años antes de que fuera descubierto en el glacial. ¿Cuántodel carbono 14 permanecía en Otzi en el momento en el que fue des-cubierto?

46. Falsificaciones de arte Un cuadro atribuido a Vermeer (1632-1675),que hoy no podría contener más del 96.2% de su carbono 14 original,contiene 99.5 por ciento. ¿Cuál es la antigüedad de la falsificación?

Forma indeterminada O/O

Si queremos conocer cómo se comporta la función

F(x) = x - senxx3

Johann Bernoulli descubrió una regla para calcular límites de fracciones cuyos numeradores ydenominadores tendían a cero o a +co. La regla ahora se conoce como regla de L'Hopital, enhonor de Guillaume de LHópital, un noble francés que escribió el primer texto introductorio decálculo diferencial, en el que apareció impresa esta regla. Con frecuencia, los límites que in-cluyen funciones trascendentes requieren el uso de la regla para su cálculo.

BIOGRAFÍA H.ISTÓRlCA

Guillaume Francois Antoine de l'Hópital(1661-1704)Johann Bernoulli(1667-1748)

cerca de x = O (donde no está definida), podemos examinar el límite de ¡(x) cuando x ---i> O.No podemos aplicar la regla del cociente para límites (teorema I del capítulo 2), porque ellímite del denominador es cero. Además, en este caso, ambos (numerador y denominador) tien-den a O, y O/O no está definido. En general, tales límites pueden existir o no, pero el límite síexiste para la función ¡(x) bajo estudio aplicando la regla de L'Hópital, como veremos en elejemplo Id.

Si las funciones continuas ¡(x) y g(x) son ambas cero en x = a, entonces

lím f(x)x=+a g(x)

no puede determinarse sustituyendo x = a. La sustitución produce O/O, una expresión carentede significado, que no podemos evaluar. Utilizamos O/O como una notación para una expre-sión conocida como forma indeterminada. Con frecuencia aparecen otras expresiones ca-rente s de significado, tales como co/co, co . O, co - co, 00 Y 1"', que no es posible evaluar de unamanera sistemática; estas formas también se denominan formas indeterminadas. En ocasiones,no siempre, los límites que llevan a formas indeterminadas pueden encontrarse mediante can-celación, reacomodo de términos u otras manipulaciones algebraicas. Tal fue nuestra expe-riencia en el capítulo 2. Nos tomó un trabajo considerable en la sección 2.4 determinarlímx-->O(sen x)/x. Pero tuvimos éxito con el límite

f'( ) = lí f(x) - fea)a rm xa'

x-->a


43. La edad del lago Cráter El carbón vegetal de un árbol caído durante la erupción volcánica que formó el lago Cráter, en Oregon, contenía el 44.5% del carbono 14 que se encuentra por lo regular en la materia viva . ¿Cuál es la edad del lago Cráter?

45. Carbono 14 La momia humana congelada más antigua conocida, descubierta en el glacial Schnalstal en los Alpes italianos en 1991 y llamada Otzi, se encontró con unos zapatos de paja y un abrigo de piel con pelo de cabra puestos; además, la momia se encuentra sujetando un hacha de cobre y un cuchillo de piedra. Se estima que Otzi murió 5000 años antes de que fuera descubierto en el glacial. ¿Cuánto del carbono 14 permanecía en Otzi en el momento en el que fue descubierto?

44. Sensibilidad del fechado con carbono 14 a la medición Para apreciar el efecto de un error relativamente pequeño en la estimación del contenido de carbono 14 de una muestra cuya antigüedad desea determinarse, considere esta situación hipotética:

a. Un hueso fósil descubierto en el centro de lIIinois en el año 2000 d.C. conserva el 17% de su carbono 14 original. Estime en qué año murió el animal.

46. Falsificaciones de arte Un cuadro atribuido a Vermeer (1632-1675), que hoy no podría contener más del 96.2% de su carbono 14 original, contiene 99.5 por ciento. ¿Cuál es la antigüedad de la falsificación?

b. Repita el inciso (a), pero ahora suponga el 18% en vez del 17 por ciento.

c. Repita el inciso (a), pero ahora suponga el 16% en vez del 17 por ciento.

7.5 Formas indeterminadas y La regLa de l'HopitaL

BIOGRAFÍA HISTÓRlCA

Guillaume Franc;:ois Antoine de I' Hopital (1661 - 1704)

Johann Bernoulli (1667- 1748)

Johann Bernoulli descubrió una regla para calcular límites de fracciones cuyos numeradores y denominadores tendían a cero o a +00. La regla ahora se conoce como regla de L'Hopital, en honor de Guillaume de eHopital, un noble francés que escribió el primer texto introductorio de cálculo diferencial, en el que apareció impresa esta regla. Con frecuencia, los límites que incluyen funciones trascendentes requieren el uso de la regla para su cálculo.

Forma indeterminada O/ O

Si queremos conocer cómo se comporta la función

F(x) = x - sen x x3

cerca de x = ° (donde no está definida), podemos examinar el límite de ¡(x) cuando x ---i> O. No podemos aplicar la regla del cociente para límites (teorema I del capítulo 2), porque el límite del denominador es cero. Además, en este caso, ambos (numerador y denominador) tienden a 0, y O/O no está definido. En general, tales límites pueden existir o no, pero el límite sí existe para la función ¡(x) bajo estudio aplicando la regla de eHopital, como veremos en el ejemplo Id.

Si las funciones continuas ¡(x) y g(x) son ambas cero en x = a, entonces

lím f(x) x --> a g(x)

no puede determinarse sustituyendo x = a. La sustitución produce O/ O, una expresión carente de significado, que no podemos evaluar. Utilizamos O/ O como una notación para una expresión conocida como forma indeterminada. Con frecuencia aparecen otras expresiones carentes de significado, tales como 00/00, 00 . 0,00 - 00, 0° Y 1"', que no es posible evaluar de una manera sistemática; estas formas también se denominan formas indeterminadas. En ocasiones, no siempre, los límites que llevan a formas indeterminadas pueden encontrarse mediante cancelación, reacomodo de términos u otras manipulaciones algebraicas. Tal fue nuestra experiencia en el capítulo 2. Nos tomó un trabajo considerable en la sección 2.4 determinar límx-->ü (sen x) / x. Pero tuvimos éxito con el límite

f '( ) = l' f(x) - fea) a 1m xa'

x-->a


l

I ¡Precaución!Para aplicar la regla de L'Hópital af/g,divida la derivada de f entre la derivada

de g. No caiga en la trampa de tomar

la derivada de f/g. El cociente a utilizares f' /g', no (f/g)'.

s

7.5 Formas indeterminadas y la regla de l'Hópital 397

a partir de que calculamos derivadas y el cual produce la forma indeterminada O/O cuandosustituimos x = a. La regla de L'Hópital nos permite recurrir a nuestro éxito con las derivadaspara evaluar los límites que, de otra forma, conducirían a formas indeterminadas.

TEOREMA 5: Regla de L'Hopital Suponga que fea) = g(a) = O, que f y g sonderivables en un intervalo abierto 1 que contiene a a, y que g'(x) =FO en 1 si x =Fa.ASÍ,

Iím f(x) = Iím f'(x)x->a g(x) x->a g'(x) ,

suponiendo que existe el límite de la derecha de esta ecuación.

Al final de esta sección damos una demostración del teorema 5.

EJEMPLO 1 Los siguientes límites incluyen las formas indeterminadas O/O, así que aplica-mos la regla de I.;Hópital. En algunos casos, debe aplicarse de manera repetida.

(a) Iím 3x -xsenx = Iím 3 - cosx = 3 - = = 2x-r+Ü x->O 1 1 x=O

(b) lí ~ - 1 = Iímx~ x x->O

2~1

12

~-1-x/2(e) lím -------

x->O x2oO

(1/2)(1 + xrl/2 - 1/2= Iím ----------

x->O 2x

-(1/4)(1 + xr3/2 1=lím-------

x->O 2 8

Todavía %; derivar otra vez.

No aparece %; el límite se encuentra.

(d) 1, x - senxrm

x-e-O x3O"O

1, 1 - cos x= Hfl

x->O 3x2 Aún QUeda%

= Iím senxx->O 6x Aún queda %

= Iím cosx = 1x->O 6 6

No aparece %; el límite se encuentra. •

A continuación se presenta un resumen del procedimiento seguido en el ejemplo l.

Uso de la regla de UHñpitalPara determinar

Iím f(x)x->a g(x)

mediante la regla de LHópital, continuamos derivando f y g, mientras se tenga laforma O/O en x = a. Pero tan pronto como una o la otra de las derivadas sea diferentede cero en x = a, detenemos la derivación. La regla de L'Hópital no se aplica cuandoel numerador o el denominador tienen un límite finito distinto de cero.

I ¡Precaución! Para aplicar la regla de L'Hopital a f / g,

divida la derivada de f entre la derivada

de g. No caiga en la trampa de tomar

la derivada de f / g. El cociente a utilizar

es f' /g' , no (f/g)' .

7.5 Formas indeterminadas y la regla de LHopital 397

a partir de que calculamos derivadas y el cual produce la forma indeterminada O/ O cuando sustituimos x = a. La regla de I.:Hópital nos permite recurrir a nuestro éxito con las derivadas para evaluar los límites que, de otra forma, conducirían a formas indeterminadas.

TEOREMA 5: Regla de l'Hopital Suponga que fea) = g(a) = O, que f y g son derivables en un intervalo abierto 1 que contiene a a, y que g' (x) -=F O en 1 si x -=F a. Así,

lím f(x) = lím j'(x) x->a g(x) x->a g'(x) ,

suponiendo que existe el límite de la derecha de esta ecuación.

Al final de esta sección damos una demostración del teorema 5.

EJEMPLO 1 Los siguientes límites incluyen las formas indeterminadas O/ O, así que aplica-mos la regla de I.:Hópital. En algunos casos, debe aplicarse de manera repetida.

(a) r 3x-senx r 3-COSX=3 - COSX! =2 x~ x = x~ 1 1 x=O

(b)r~-l x~ x 2~ = lím -=-..:........::-...:..:...

x->O 2

~-I-x/2 (e) lím 2

x->O X

o O

(d) 1, x - senx 1m

x"'" O x3

(1 / 2)(1 + xrl /2 - 1/ 2 = lírn ---------

x"'" O 2x

- (1 / 4)(1 + xr3/2

=lím ----..,...---x"'" O 2

= lím 1 - cosx x->o 3x2

= lím senx x"'" O 6x

= Iím cosx = .1 x"'" O 6 6

1 8

Todavía %; derivar otra vez.


O "O

Aún QUeda%

Aún queda %

No aparece %; el límite se encuentra. •

A continuación se presenta un resumen del procedimiento seguido en el ejemplo l.

Uso de la regla de L'Hopital

Para determinar

lím f(x) x ..... a g(x)

mediante la regla de I.:Hópital, continuamos derivando f y g, mientras se tenga la forma O/ O en x = a. Pero tan pronto como una o la otra de las derivadas sea diferente de cero en x = a, detenemos la derivación. La regla de I.:Hópital no se aplica cuando el numerador o el denominador tienen un límite finito distinto de cero.



EJEMPLO 2 Tenga cuidado de aplicar correctamente la regla de L'Hópital:

1, 1 - cosxun

x--->O X +:X?-

= Iím senx = Q = o.x--->O 1 + 2x 1

o(5


Hasta ahora, el cálculo es correcto, pero si continuamos derivando en un intento de aplicar unavez más la regla de L'Hópital, obtendremos

lí cosx - .1x~ 2 - 2'

que no es el límite correcto. La regla de L'Hópital sólo puede aplicarse a límites que dan formasindeterminadas, y 0/1 no es una forma indeterminada. •

La regla de L'Hópital también se aplica a límites laterales.

EJEMPLO 3 En este ejemplo los límites laterales son diferentes.

I Recuerde que 00 y +00 significan lo mismo.

(a) Iím senxx--->O+ :x?-

= Iím cosxx--->O+ 2x

oO

00 Positivo para x > O

~,

(b) Iím senxx--->O- :x?-

= Iím cosxx--->O- 2x

OO

-00 Negativo para x < O •

j•• 11,

Formas indeterminadas 00 /00, 00 •O, 00 - 00

Algunas veces, cuando tratamos de evaluar un límite cuando x ~ a y sustituimos x = a, obte-nemos una forma indeterminada como 00/00, 00 . O, 00 - 00, en vez de O/O. Primero consi-deramos la forma 00/00.

En tratamientos de cálculo más avanzados se demuestra que la regla de L'Hópital se aplicaa la forma indeterminada 00/00, así como a O/O. Si ¡(x) ~ ±oo y g(x) ~ ±oo, cuando x ~ a,entonces

Iím f(x) = Iím f'(x)xr+a g(x) x=+a g'(x)

siempre que exista el límite del lado derecho. En la notación x ~ a, a puede ser finito o in-finito. Además, x ~ a puede remplazarse por los límites laterales x ~ a+ o x ~ a",

(a) Iímx--->7T/2

secx (b) Iím lnxx--->oo 2Vx (e) lím ~.

X~OO x-

EJEMPLO 4 Determine los límites de estas formas 00/00:

+ tanx

SoLución

(a) El numerador y el denominador son discontinuos en x = 7T /2, así que allí analizamos loslímites laterales. Para aplicar la regla de L'Hópital, seleccionamos 1como cualquier inter-valo abierto con x = 7T /2 como uno de sus extremos.

Iím secxx--->(7T/2)- 1 + tan x

CXJ ..CXJ del lado izquierdo

secxtanxsec/ x

lím senx =x--->(7T/2)-


I Recuerde que 00 y +00 significan lo mismo.

EJEMPLO 2 Tenga cuidado de aplicar correctamente la regla de I.;H6pital:

1, 1 - cosx 1m

x-->O X + .x?-

= Iím senx = Q = O. x-->O 1 + 2x 1

o O

No aparece %; el límite se encuentra .

Hasta ahora, el cálculo es correcto, pero si continuamos derivando en un intento de aplicar una vez más la regla de I.;H6pital, obtendremos

r cos x - .1 x~ 2 - 2'

que no es el límite correcto. La regla de I.;H6pital sólo puede aplicarse a límites que dan formas indeterminadas, y 0/1 no es una forma indeterminada. •

La regla de I.;H6pital también se aplica a límites laterales.

EJEMPLO 3 En este ejemplo los límites laterales son diferentes.

(a) Iím senx x -->O+ x 2

= Iím cosx x-->O+ 2x

(b) Iím sen x x-->O- .x?-

= Iím cosx x -->O- 2x

00

- 00

o O

Positivo para x > O

O O

Negativo para x < O

Formas indeterminadas 00 / 00, 00 • O, 00 - 00

•

Algunas veces, cuando tratamos de evaluar un límite cuando x ~ a y sustituimos x = a, obtenemos una forma indeterminada como 00/00, 00 . O, 00 - 00, en vez de O/ O. Primero consideramos la forma 00/00.

En tratamientos de cálculo más avanzados se demuestra que la regla de I.;H6pital se aplica a la forma indeterminada 00/00, así como a O/O. Si f(x) ~ :too y g(x) ~ :too, cuando x ~ a, entonces

lím f(x) = lím f'(x) x --> a g (x) x-->a g' (x)

siempre que exista el límite del lado derecho. En la notación x ~ a, a puede ser finito o infinito . Además, x ~ a puede remplazarse por los límites laterales x ~ a+ o x ~ a- .

EJEMPLO 4 Determine los límites de estas formas 00/00 :

(a) lím x -->7T/ 2

secx (b) lím ln x x-->oo 2Vx (e) lím ~.

X~OO .x-+ tan x

Solución

(a) El numerador y el denominador son discontinuos en x = 7T / 2, así que allí analizamos los límites laterales. Para aplicar la regla de I.;H6pital, seleccionamos 1 como cualquier intervalo abierto con x = 7T / 2 como uno de sus extremos.

Iím secx x-->(7T/ 2)- 1 + tan x

<Xl . . <Xl del lado lzqUlerdo

lím sec x tan x lím sen x = X-->(7Tj2) - sec2 x x-->(7T/2)-


7.5 Formas indeterminadas y la regla de LH6pital 399

El límite por la derecha también es 1, con (-00)/(-00) como la forma indeterminada.Por lo tanto, el límite bilateral es igual a l.

(b) lím Inx = lím ~ = lím _1_ = Ox->OO 2Vx x->OO l/Vx x->OO Vx

l/x

l/Vx x1

Vx

(e) lím ¿x->OO :l- lím s: = lím ¿ = 00

x->OO 2x x->OO 2 •Ahora ponemos nuestra atención en las formas indeterminadas 00 . O Y 00 - co En oca-

siones, tales formas pueden manejarse mediante manipulaciones algebraicas para convertirlasa una forma O/O o 00/00. Una vez más, no queremos sugerir que 00 • O 000 - 00 es un número.Sólo son notaciones para comportamientos funcionales cuando consideramos los límites.A continuación se presentan ejemplos de cómo trabajar con tales formas indeterminadas.

EJEMPLO 5 Determine los límites de estas formas 00 . O:

(a) lím (x sen :k)x->OO

(b) lím Vx In xX---'l>O+

Solución

lím (x sen:k) = lím (-h1sen h)x-HX) h~O+

(a) oo'O;seah = l/x.

(b) 1, ,í I l' Inxun V x nx = im ,íx->O+ x->O+ 1/ V x

00 •Oconvertido a 00/00

l/x= lím

x->O+ -1/2x3/2Regla de L'Hópital

lím (-2Vx) = Ox->O+ •

EJEMPLO 6 Determine el límite de esta forma 00 - 00:

lím (se~ x - :k).x->O

Solución Si x --;.0+ , entonces sen x --;. 0+ Y

1 1sen x - x --;.00 - oo.

De manera similar, si x --;.0- , entonces sen x --;.0- y

_1 __ 1.--;. _ 00 - (-00) = -00 + oo.senx x

Ninguna forma revela lo que sucede en el límite. Para determinarlo, primero combinamos lasfracciones:

1----senx x

x - senxxsenx El denominador común es x sen x.

Luego aplicamos la regla de L'Hópital al resultado:

(1 1 ) ,x - sen x

lím sen x - x = lím x sen xx->O x->O

OO

1 - cosx= límx+-O senx + x cos x

= lím senx - Q - Ox->O 2cosx - xsenx - 2 - .

A' . Oun se llene O

•


El límite por la derecha también es 1, con (- 00)/ (-00) como la forma indeterminada. Por lo tanto, el límite bilateral es igual a l .

(b) lím In x = lím ~ = lím _ 1_ = O x ..... oo 2Vx x ..... oo l/Vx x ..... oo Vx

(e) lím ¿ x ..... oo :l-

lím ¿ = lím ¿ = 00 x ..... oo 2x x ..... oo 2

l / x

l/Vx l

x Vx

• Ahora ponemos nuestra atención en las formas indeterminadas 00 . O Y 00 - oo. En oca

siones, tales formas pueden manejarse mediante manipulaciones algebraicas para convertirlas a una forma O/ O o 00/00. Una vez más, no queremos sugerir que 00 . O 0 00 - 00 es un número. Sólo son notaciones para comportamientos funcionales cuando consideramos los límites. A continuación se presentan ejemplos de cómo trabajar con tales formas indeterminadas.

EJEMPLO 5 Determine los límites de estas formas 00 . O:

(a) lím (x sen :k) x"'" 00

(b) lím Vx lnx X----3> O+

Solución

(a) lím (x sen:k) = lím (-hl sen h) x ..... oo h ..... O+

(b) 1, , í I l ' In x 1m V x n x = 1m ,í

x"'" 0+ x ..... o+ 1/ V x

EJEMPLO 6

Solución

l /x = lím - - -

x ..... o+ - 1/ 2x3/ 2

lím (-2Vx) = O x"'" 0+

Determine el límite de esta forma 00 - 00:

lím (se~ x - :k). x->O

Si x -ó> 0+ , entonces sen x -ó> 0+ y

1 1 sen x - x -ó> 00 - oo.

De manera similar, si x -ó> 0- , entonces sen x -ó> 0- y

oo · O; sea h = l / x .

00 • O convertido a 00/00

Regla de C Hopital

_ 1_ - 1. -ó> _ 00 - (-00 ) = -00 + oo. sen x x

•

Ninguna forma revela lo que sucede en el límite. Para determinarlo, primero combinamos las fracciones:

- - - -sen x x

x - senx xsenx El denominador común es x sen x .

Luego aplicamos la regla de L'Hopital al resultado:

( 1 1 ) ,x - sen x

lím sen x - x = hm x sen x x"'" o x-o

= lím 1 - cos x

x-> o sen x + x cos x

= lím sen x - Q - O x ..... o 2cos x - xsenx - 2 - .

O O

A ' . O un se tlene O

•



Potencias indeterminadasLos límites que llevan a las formas indeterminadas 1"",0° e 000 en ocasiones pueden manejarsetomando primero el logaritmo de la función. Utilizamos la regla de L'Hópital para determinarel límite de la expresión logarítmica y luego exponenciamos el resultado para determinar ellímite de la función original. Tal procedimiento se justifica por la continuidad de la función ex-ponencial y el teorema 10 de la sección 2.5; además, se formula como sigue. (La fórmula tam-bién es válida para límites laterales).

Si límx->aIn f(x) = L, entonces

lím f(x) = lím eln ¡(xl = é.x~a xr+a

Aquí a puede ser finito o infinito.

EJEMPLO 7 Aplique la regla de L'Hópital para demostrar que límx->o+ (1 + X)I/X = e.

Solución El límite conduce a la forma indeterminada 1"". Dejamos que f(x) = (1 + X)I/x ydeterminamos límx->o+In f(x). Como

In f(x) = In (1 + X)I/x = iIn (1 + x),

Ahora la regla de L'Hópital se aplica para obtener

In (1 + x)lím In f(x) = lím X

x----+O+ x~o+oO

11 + x

= límx-->O+ 1

1=1=l.

Por lo tanto, lím (1 + X)I/x = lím f(x) = lím eln ¡(xl = el = e.x~o+ x-?o+ x-?o+ •

EJEMPLO 8 Determine límx->oo xl/x.

Solución El límite conduce a la forma indeterminada 00°. Dejamos que f(x) = x l/x y deter-minamos límx->""lnf(x). Como

Inf(x) = Inxl/x = I~x,

la regla de L'Hópital da

lím In f(x) = lím I~xx-?oo x-?oo

00

00

l/x= lím-

x-->oo 1

-Q-O- 1 - .

Por lo tanto, lím Xl/x = lím f(x) = lím eln ¡(x) = eO = l.x-? 00 x-? 00 .x-r+ 00 •

Demostración de la regla de L'HópitalLa demostración de la regla de L'Hópital tiene como base el teorema del valor medio deCauchy, una extensión del teorema del valor medio que incluye dos funciones en vez de una.Primero demostramos el teorema de Cauchy y luego mostramos cómo éste conduce a la reglade LH6pital.


Potencias indeterminadas

Los límites que llevan a las formas indeterminadas 100, 00 e coa en ocasiones pueden manejarse tomando primero el logaritmo de la función. Utilizamos la regla de l:Hópital para determinar el límite de la expresión logarítmica y luego exponenciamos el resultado para determinar el límite de la función original. Tal procedimiento se justifica por la continuidad de la función exponencial y el teorema 10 de la sección 2.5; además, se formula como sigue. (La fórmula también es válida para límites laterales).

Si límx->a In f(x) = L, entonces

lím f(x) = lím eln ¡(xl = cf. x~a x~a

Aquí a puede ser finito o infinito.

EJEMPLO 7 Aplique la regla de l:Hópital para demostrar que límx->o+ (1 + X)I /X = e.

Solución El límite conduce a la forma indeterminada 100. Dejamos que j(x) = (1 + X)I /x y determinamos lírnx->o+ In f(x). Como

In f(x) = In (1 + X)I /x = :k In (1 + x),

Ahora la regla de l:Hópital se aplica para obtener

In (1 + x) O lím In f(x) = lím x O

x~o+ X-70 +

1, 1 + x lm --

x --->O+ 1

1 =1 = l.

Por lo tanto, lím (1 + X) I/x = lím f(x) = lím eln ¡(xl = el = e. X-70 + X-7o+ X-70+

EJEMPLO 8 Determine límx->oo xl/x .

•

Solución El límite conduce a la forma indeterminada coa. Dejamos que f(x) = x l /x y deter-minamos límx->oo In f(x). Como

la regla de l:Hópital da

lnf(x) = lnxl /x = l~x ,

lím In f(x) = lím l~ x x----+ oo x ----+oo

l / x = lírn -

x --->oo 1

-Q - O - 1 - .

00

00

Por lo tanto, lím xlix = lím f(x) = lím eln f(x) = ea = l. x----+ oo X----,)o OO x----+ oo

Demostración de la regla de L'Hópital

•

La demostración de la regla de l:Hópital tiene como base el teorema del valor medio de Cauchy, una extensión del teorema del valor medio que incluye dos funciones en vez de una. Primero demostramos el teorema de Cauchy y luego mostramos cómo éste conduce a la regla de l:Hópital.



Augustin-Louis Cauchy(1789-1857)

y

. f'Cc)pendiente ="Z(c)


TEOREMA 6: Teorema de vaLor medio de Cauchy Suponga que las funciones fy g son continuas en [a, b] y derivables en todo el intervalo (a, b); también supongaque g'(x)::/= O en (a, b). Entonces existe un número e en (a, b) en el que

~----------------------~xO

FIGURA 7.13 Existeal menosun puntoPen la curva e para el que la pendientede latangentea la curvaen P es igual que lapendientede la recta secantequeune a lospuntosA(g(a), fea»~ y B(g(b), f(b».

f'(c) f(b) - fea)g'(c) g(b) - g(a)·

Demostración Aplicamos dos veces el teorema del valor medio de la sección 4.2. Primero lousamos para mostrar que g(a)::/= g(b). Puesto que si g(b) fuera igual ag(a), entonces el teoremadel valor medio daría

g'(c) = g(b) - g(a) = O. b - a

para alguna e entre a y b, lo cual no puede suceder, ya que g'(x)::/= O en (a, b).Ahora aplicamos el teorema del valor medio a la función

f(b) - fea)F(x) = f(x) - fea) - () ( ) [g(x) - g(a)].

g b - g a

Esta función es continua y derivable dondefy g lo sean, mientras F(b) = F(a) = O. Por lo tanto,existe un número e entre a y b para el que F'(c) = O. Cuando expresamos esto en términos def y g, la ecuación se convierte en

F'(c) = f'(c) - f(b) - fea) [g'(c)] = Og(b) - g(a)

por lo que

f'(c)g'(c)

f(b) - fea)g(b) - g(a)· •

Observe que el teorema del valor medio de la sección 4.2 es el teorema 6 con g(x) = x.El teorema del valor medio de Cauchy tiene una interpretación geométrica para una curva

general e en el plano que une a los dos puntos A = (g(a), fea»~ y B = (g(b), f(b». En el capí-tulo 11 aprenderá cómo la curva e puede formularse de manera que exista al menos un punto Pen la curva para el que la tangente a la curva en P sea paralela a la recta secante que une a lospuntos A y B. La pendiente de esa recta tangente resulta ser el cociente f' / g', evaluado en elnúmero e en el intervalo (a, b), como se asegura en el teorema 6. Puesto que la pendiente dela recta secante que une a A y B es

f(b) - fea)g(b) - g(a)'

la ecuación en el teorema del valor medio de Cauchy dice que la pendiente de la recta tangentees igual a la pendiente de la recta secante. Tal interpretación geométrica se muestra en la figura7.l3. En la figura observe que es posible que más de un punto en la curva e tenga una rectatangente que sea paralela a la recta secante que une a A y B.

Demostración de LaregLade L'HópitaL Primero establecemos la ecuación límite para el casox - a+. El método casi no necesita cambio para aplicarse a x - a", mientras la combinaciónde estos dos casos establece el resultado.

Suponga que x está a la derecha de a. Entonces, g'(x)::/= O, Yaplicamos el teorema del va-lor medio de Cauchy al intervalo cerrado de a a x. Este paso produce un número e entre a y x,tal que

f'(c) f(x) - fea)g'(c) g(x) - g(a)·


Augustin-Louis Cauchy ( 1789-1857)

y

. f'(e) pendiente = ~(e)

-4----------------------~x o FIGURA 7.13 Existe al menos un punto P

en la curva e para el que la pendiente de la tangente a la curva en P es igual que la pendiente de la recta secante que une a los puntos A(g(a), fea»~ y B(g(b), f(b» .


TEOREMA 6: Teorema de vaLor medio de Cauchy Suponga que las funciones f y g son continuas en [a, b] y derivables en todo el intervalo (a, b); también suponga que g'(x):I= O en (a, b). Entonces existe un número e en (a, b) en el que

f'(e) f(b) - fea)

g'(e) g(b) - g(a)·

Demostración Aplicamos dos veces el teorema del valor medio de la sección 4.2. Primero 10 usamos para mostrar que g(a):I= g(b). Puesto que si g(b) fuera igual ag(a), entonces el teorema del valor medio daría

g'(e) = g(b) - g(a) = O . b - a

para alguna e entre a y b, lo cual no puede suceder, ya que g'(x):I= O en (a, b). Ahora aplicamos el teorema del valor medio a la función

f(b) - fea) F(x) = f(x) - fea) - () ( ) [g(x) - g(a) ].

g b - g a

Esta función es continua y derivable dondefy g lo sean, mientras F(b) = F(a) = O. Por 10 tanto, existe un número e entre a y b para el que F'(e) = O. Cuando expresamos esto en términos de f y g, la ecuación se convierte en

por lo que

F'(e) = f'( e) - f(b) - fea) [g'(e)] = O g(b) - g(a)

f'(e)

g'(e)

f(b) - fea)

g(b) - g(a)"

Observe que el teorema del valor medio de la sección 4.2 es el teorema 6 con g(x) = x.

•

El teorema del valor medio de Cauchy tiene una interpretación geométrica para una curva general e en el plano que une a los dos puntos A = (g(a), fea)) y B = (g(b), f(b)). En el capítulo 11 aprenderá cómo la curva e puede formularse de manera que exista al menos un punto P en la curva para el que la tangente a la curva en P sea paralela a la recta secante que une a los puntos A y B. La pendiente de esa recta tangente resulta ser el cociente f' / g', evaluado en el número e en el intervalo (a, b), como se asegura en el teorema 6. Puesto que la pendiente de la recta secante que une a A y B es

f(b) - fea)

g(b) - g(a)'

la ecuación en el teorema del valor medio de Cauchy dice que la pendiente de la recta tangente es igual a la pendiente de la recta secante. Tal interpretación geométrica se muestra en la figura 7.13. En la figura observe que es posible que más de un punto en la curva e tenga una recta tangente que sea paralela a la recta secante que une a A y B.

Demostración de La regLa de L'HópitaL Primero establecemos la ecuación límite para el caso x ~ a+ . El método casi no necesita cambio para aplicarse a x ~ a-, mientras la combinación de estos dos casos establece el resultado.

Suponga que x está a la derecha de a. Entonces, g'(x):I= O, Y aplicamos el teorema del valor medio de Cauchy al intervalo cerrado de a a x. Este paso produce un número e entre a y x, tal que

f'(e) f(x) - fea)

g'(e) g(x) - g(a)·



Pero,f(a) = g(a) = O,por lo que

f'(c)g'(c)

¡(x)g(x)"

Cuando x tiende a a, e se aproxima a a, ya que siempre está entre a y x. Por lo tanto,

lím ¡(x) = lím f'(c) = lím f'(x)x->a+ g(x) c->a+ g'(c) x->a+ g'(x)'

que establece la regla de L'Hópital para el caso donde x tiende a a por arriba. El caso dondex tiende a a por abajo se demuestra al aplicar el teorema del valor medio de Cauchy al intervalocerrado [x, a], x < a. _

Ejercicios 7.5

Productos y potencias indeterminadasDetermine los límites en los ejercicios 51 a 66.

51. lím Xl/(l-x) 52. lím xl/(x-I)x-)o1+ x--+I+

53. lím (In x) l/x 54. lím (In x)I/(x-e)X->(Xl x-)oe+

55. lím x-I/lnx 56. lím Xl/Inxx---+O+ x-->OO

57. lím (1 + 2x)I/(2In x) 58. lím (e" + X)I/xx-->OO x-e-O

59. lím x" 60. lím (1 + ~yx-)oo+ x---+O+

Determinación de límites de dos formasEn los ejercicios 1 a 6, utilice la regla de L'Hópital para evaluar el límite.Luego evalúe el límite usando un método estudiado en el capítulo 2.

1. lím x + 2 2. lím sen 5xx-->- 2 x2 -- 4 x-s-O x

29 1, x2x.lm----

x-->O ZX -- I.., In (x + 1)31. lím ----:---

x-->OO log- x

In(~ + 2x)33. lím ---:---

x-->O+ In x

vsy:¡:25 -- 535. lím y

y-->O

r-;'j 3. lím

5x2 -- 3x4. lím

x3 -- 1x-->OO 7x2 + 1 x--> I 4~ -- x -- 3

5. límI -- cosx

6. lím 2~ + 3xx---+O ~ x-->OO x3 + X + 1

37. lím (In 2x -- In (x + 1»x-->OOAplicación de la regla de t'Hópital

Utilice la regla de LHópital para determinar los límites en los ejercicios7 a 50. 39.

(lnxflím -,---

x-->O+ In (sen x)

lím (_1 1 )x-->I+ x -- 1 Inx

7. lí x -- 2 8. límx2 -- 25lm--

;1 x-->2 x2 -- 4 x-)o - 5 x + 5:I.!

¡3 -- 4t + 15 ¡3--1.1.11

9. lím 10. lím1-->-3 ? -- t -- 12 1-->I 4t3 -- t -- 3

11. lím5x3 -- 2x

12. límx -- 8x2

x-->OO 7x3 + 3 x-->OO 12x2 + 5x

13. u sen r' 14. r sen 5tIm-- lm--1-->0 t (-->0 2t

15. lím8x2

16. límsenx -- x

x-->O cos x -- x---4O ,i1

17. lím 28 -- 7T18. lím 38 + 7T

8-->7r/2cos (27T -- 8) 8-->-7r/3 sen (8 + (7T/3»

19. lím1 -- sen8

20. lím x -- 18-->7r/21 + cos 28 x--> I In x -- sen 7TX

21. lím ,.z 22. límIn (ese x)

x-->O In (sec x) x-->7r/2(x -- (7T/2»2

23. límt(1 -- cos t)

24. li t sen t

1-->0 t -- sen t l!!!ó 1 -- cos t

25. lím G--!!..)secx 26. lím (~--x)tanxx-->(7r/2)- 2 x-->(7r/2)-

27. lím3sen8 -- 1

28. lím(1/2)8 -- 1

8-->0 8 8-->0 8

41.

43. lí cos 8 -- 18~ e8 -- 8 -- 1

u l +?lm--l-HXJ el - t45.

47. lí x -- senxX~ xtanx

49. lím 8 -- sen8 cos88-->0 tan 8 -- 8

30. lím 3x

-- 1x-->O2x -- 1

IOg2x32. lím ----=:::...-...-x-->OO log, (x + 3)

In (e" -- 1)34. lím 1

x--}oo+ n x

~--a36. lím y , a > O

y-->O

38. lím (In x -- In sen x)x---+O+

40. x~"6+ ex: 1 -- se~x)

42. lím (cscx -- cotx + cosx)x--).o+

eh -- (1 + h)44. lím --'----'-

h-->O h2

(e" -- 1?48. lím x sen xx-->O

r sen 3x -- 3x + ~50. x~ sen x sen 2x


u (x + 2y 62. ' (X2 + 1y/x61. 1m -- 11m ---x--->OO x - 1 x--->OO x + 2

63. lím x21nx 64. lím x (lnx)2x~o+ x--+O+

65. lím xtan(I - x) 66. lím sen x • In xx--+O+ x---+O+

Teoria y aplicacionesLa regla de L'Hópital no ayuda con los límites de los ejercicios 67 al 74.Inténtelo, sólo se quedará en ciclos. Determine los límites de alguna otraforma.

67. límV9x+l

68.u -r:1m --_~~

x---+oo Vx+l x---+O+ Ysenx

secx 70. ' cotx69. lím 11m cscxx--->(",/2)- tanx x---+O+

2X- 3x

72. 2x + 4x71. lím y 4x lím x 2X

X-)oOO + x--->-OO5 -

73.(!.(l

74. lím _x_lím xx---+ooxe x--->O+e-l/x

75. ¿Cuál es correcto y cuál es incorrecto? Justifique sus respuestas.

a. lím x - 3 = lím -.L = 1x--->3 x2 - 3 x--->3 2x 6

b. lím x - 3 = Q = °x--->3 Xl - 3 6

76. ¿Cuál es correcto y cuál es incorrecto? Justifique sus respuestas.

,Xl-2x , 2x-2a. lim = 11m --==-----==--x--->Ox2 - sen x x-e-O 2x - cos x

= lím 2x-r-O 2 + senx

_2_=2 + °

Ii Xl - 2x lí 2x - 2 _ -2 - 2b. x~Xl _ senx = x~o 2.:, - cosx - ~-

77. Sólo uno de estos cálculos es correcto. ¿Cuál es? ¿Por qué son inco-rrectos los otros? Justifique sus respuestas.

a. lím xlnx = 0'(-00) = °x--+o+

b. lím x In x = O· ( - 00) = - 00x---+o+

, ,lnx-ooc. lím x In x = 11m -- = -- = -1

x--->O+ x--->O+(l/x) 00

1, I u lnxd. BTI X n x = im -/-x--->O+ x--->O·(l x)

, (l/x) ,= 11m --- = 11m (-x) = °x--->O+(-I/x2) x--->O+

78. Determine todos los valores de e que satisfagan la conclusión delteorema del valor medio de Cauchy para las funciones y el intervalodados.

a. f(x) = x, g(x) = Xl, (a,b) = (-2,0)

b. f(x) = x, g(x) = x2, (a, b) arbitrario

c. f(x) = x3/3 - 4x, g(x) = x2, (a,b) = (0,3)

79. Extensión continua Determine un valor de x que hace que lafunción

{

9x - 3 sen 3x cfe °3 ,x

f(x) = 5xe, x = °

sea continua en x = O. Explique por qué su valor de c funciona.

7.5 Formas indeterminadas y la regla de l'Hópital 403

80. ¿Para qué valores de a y b es

lím (tan 2x + s. + sen bX) = O?x--->O x3 x2 X

o 81. Forma 00 - 00

a. Estime el valor de

x~~(x- ~)

graficando f(x) = x - ~ en un intervalo conveniente-mente grande de valores de x.

b. Ahora confirme su estimación determinando el límite con la

regla de L'Hópital. Como primer paso, multiplique f(x) por la

fracción (x + Vx2 + xl/ex + ~) y simplifique el

nuevo numerador.

82. Determine lím (~ - Vx).x--->OO

o 83. Forma O/O Estime el valor de

2x2 - (3x + l)Vx + 2lím ------.:.-----'----

x--->I X - 1

graficando. Luego confirme su estimación con la regla de UHópital.

84. Este ejercicio explora la diferencia entre el límite

lím (1 + ~)xx---+oo X

yellímite

lím (1 + ~)X = e.x--->oo

a. Utilice la regla de L'Hópital para demostrar que

( I)Xlím 1 + - = e.x---+OO x

o b. Grafique

(I )X (I)Xf(x) = I + x2 y g(x) = 1 + x

juntas para x 2:: O. Compare el comportamiento de f con el de g.Estime el valor de límx--->oof(x).

c. Confirme su estimación de límx--->oof(x) calculándolo con la reglade L'Hópital.

85. Demuestre que

lím (1 + _kr)k = el'.!c--+oo

86. Puesto que x > 0, determine el valor máximo, si existe, de

a. xl/x

b. Xl/x'

c. Xl/X" (n es un entero positivo)

d. Demuestre que límx--->ooXl/X" = 1 para cada entero positivo n.

87. Utilice límites para determinar las asíntotas horizontales de cadafunción.

a. y = x tan (~ )3x + e2T

b. y =2x + e3x

88. Determine I' (O) para f(x) {e-l/x',

0,

xcfeOx = O.



D 89. Extensión continua de (sen xY para [O, 'lTI

a. Grafique J(x) = (sen x)X en el intervalo O :S x :S 7T.¿Qué valorasignaría a J para hacerla continua en x = O?

b. Verifique su conclusión del inciso (a) determinando límx_o+ ¡(x)con la regla de L'Hópital.

c. Regrese a la gráfica; ahora estime el valor máximo dejen [O, p].¿Aproximadamente en dónde se alcanza máx f?

d. Afine su estimación del inciso (e) graficando J' en la mismaventana para ver en dónde su gráfica cruza al eje x. Para simpli-ficar su trabajo, debería borrar el factor exponencial de la expre-sión para f' y sólo graficar el factor que tiene un cero (raíz).

7.6 Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas surgen cuando queremos calcular ángulos con base enlas medidas de un triángulo. También proporcionan antiderivadas útiles y con frecuencia apare-cen en las soluciones de ecuaciones diferenciales. Esta sección muestra cómo dichas funcionesse definen, grafican y evalúan, cómo se calculan sus derivadas y por qué aparecen como anti-derivadas importantes.

Definición de las inversas

y

,x = seny\

,,"1

\\

\7T \ Y = sen!x"2 )v Dominio: -1:5 x :5 1

Rango: -7TI2:S Y :5 7T/2-¡; 1 '

\ 2\\\

\

D 90. La función (se n x)tan x (Continuación del ejercicio 89)

a. Grafique J(x) = (sen x)tan x en el intervalo -7 :S x :S 7. ¿Cómoexplica los huecos en la gráfica? ¿De qué ancho son los huecos?

b. Ahora grafique J en el intervalo ° :S x :S 7T.La función no estádefinida en x = 7T/2, pero la gráfica no se corta en este punto.¿Hacia dónde va? ¿Qué valor parece que tiene la gráfica paraJenx = 7T/2? (Sugerencia: Utilice la regla de L'Hópital para determi-nar lím J cuando x ---> (7T/2)- Y cuando x ---> (7T/2)+].

c. Continuando con las gráficas en el inciso (b), determine máxJymín J de manera tan precisa como sea posible y estime los valoresde x en los cuales se alcanzan tales valores.

Las seis funciones trigonométricas básicas no son inyectivas (sus valores se repiten de maneraperiódica). Sin embargo, podemos restringir sus dominios a intervalos en los que sean inyecti-vas. La función seno aumenta desde -1 en x = = tr /2 hasta + 1en x = -tt /2. Al restringir sudominio al intervalo [-7r /2, -tt /2] la hacemos inyectiva, de manera que tiene una inversa,sen-1 x (figura 7.14). De manera similar, pueden aplicarse restricciones a los dominios de lasseis funciones trigonométricas.

~,o',

y

Restricciones de los dominios que hacen inyectivas a las funciones trigonométricas

y y tan x

FIGURA 7.14 La gráfica dey = sen '! x.

sen x;1:t.!."

y = senxDominio: [-7T/2, 7T/2]Rango: [-1, 1]

y

y = cotxDominio: (O, 7T)Rango: (-00, (0)

y = cosxDominio: [O, 7T]Rango: [-1, 1]

y

y=tanxDominio: (-7T/2, 7T/2)Rango: (-00,00)

y cscx

\JsecxIIIIIII

~O+---~7T~---7T~~X

2

i(--7TL-----O+-----~7T--+X-i\ ¡

y = secxDominio: [O, 7T/2) U (7T/2, 7T]Rango: (-00, -1] U [1, 00)

y = cscxDominio: [-7T/2, O) U (0, 7T/2]Rango: (-00, -1] U [1, 00)


D 89. Extensión continua de (sen xY para [O, 'lTI D 90. La función (sen x)tan x (Continuación del ejercicio 89)

a. Grafique f(x) = (sen x)X en el intervalo O eS x eS 11". ¿Qué valor asignaría a f para hacerla continua en x = O?

a. Grafique f(x) = (sen x)tan x en el intervalo - 7 eS x eS 7. ¿Cómo explica los huecos en la gráfica? ¿De qué ancho son los huecos?

b. Verifique su conclusión del inciso (a) determinando límx_o+ f(x) con la regla de LHópital.

b. Ahora grafique f en el intervalo O eS x eS 11". La función no está definida en x = 11"/ 2, pero la gráfica no se corta en este punto. ¿Hacia dónde va? ¿Qué valor parece que tiene la gráfica para f en x = 11" / 2? (Sugerencia: Utilice la regla de LHópital para determinar Iím f cuando x --> (11"/2)- Y cuando x --> (11" /2)+].

c. Regrese a la gráfica; ahora estime el valor máximo defen [O, p]. ¿Aproximadamente en dónde se alcanza máx f?

d. Afine su estimación del inciso (c) graficando f' en la misma ventana para ver en dónde su gráfica cruza al eje x. Para simplificar su trabajo, debería borrar el factor exponencial de la expresión para f' y sólo graficar el factor que tiene un cero (raíz).

c. Continuando con las gráficas en el inciso (b), determine máxfy mín f de manera tan precisa como sea posible y estime los valores de x en los cuales se alcanzan tales valores.


y

, x = sen y \

\ \

\ 7T \ Y = sen- Ix "2 )v Dominio: - 1 :5 x :5 1

Rango: - 7T12 eS Y :5 7T/2

-¡; I <

\ 2 \

\ \

\

FIGURA 7.14 La gráfica de y = sen- I x.

Las funciones trigonométricas inversas surgen cuando queremos calcular ángulos con base en las medidas de un triángulo. También proporcionan antiderivadas útiles y con frecuencia aparecen en las soluciones de ecuaciones diferenciales. Esta sección muestra cómo dichas funciones se definen, grafican y evalúan, cómo se calculan sus derivadas y por qué aparecen como antiderivadas importantes.

Definición de las inversas

Las seis funciones trigonométricas básicas no son inyectivas (sus valores se repiten de manera periódica). Sin embargo, podemos restringir sus dominios a intervalos en los que sean inyectivas. La función seno aumenta desde -1 en x = - 7r / 2 hasta + 1 en x = 'lT / 2. Al restringir su dominio al intervalo [- 7r / 2, 'lT / 2] la hacemos inyectiva, de manera que tiene una inversa, sen- 1 x (figura 7.14). De manera similar, pueden aplicarse restricciones a los dominios de las seis funciones trigonométricas.

Restricciones de los dominios que hacen inyectivas a las funciones trigonométricas

y sen x

---:lb---+:----,':---+ x

y = sen x Dominio: [- 11"/ 2, 11"/ 2] Rango: [-1 , 1]

y

y = cot x Dominio: (0,11") Rango: (- 00 , 00 )

y

y = cosx Dominio: [0, 11"] Rango: [-1,1]

y

y = secx

sec x I I I I I I I

2

ir Dominio: [0, 11"/ 2) U (11"/ 2, 11"] Rango: (-00, - 1] U [1, (0 )

y tan x

y = tanx Dominio: (-11"/ 2, 11"/ 2) Rango: (- 00,00 )

y cscx

\J -L---+---~-+ x

O

i\ y = cscx Dominio: [-11"/ 2, O) U (O, 11"/ 2] Rango: (- 00, - 1] U [1, (0 )


El "arco" en arco seno y arco cosenoLa siguiente figura da una interpretacióngeométrica de y = sen-I x y y = cos "! xpara ángulos medidos en radianes, queestán en el primer cuadrante. Para unCÍrculo unitario, la ecuación s = ri) seconvierte en s = (),por lo que los ánguloscentrales y los arcos que subtienden tienenla misma medida. Si x = sen y, entonces,además de ser el ángulo cuyo seno es x, lavariable y también es la longitud del arcosobre el CÍrculo unitario que subtiende unángulo cuyo seno es x. Así, llamamos a y"el arco cuyo seno es x".

y

Arco cuyo seno es x

--~----------,r+---~~--+_--~x

:F

7.6 Funciones trigonométricas inversas 405

Como ahora estas funciones restringidas son inyectivas, tienen inversas, que denotamoscon

y= sen"' x o y = arcsenxy= cos-I x o y = arccosxy= tan " x o y= arctanxy= coel x o y= arccotxy= sec"! x o y= arcsecxy= csc" x o y= arccscx

Estas ecuaciones se leen "y igual al arco seno de x" o "y igual al arco sen de x" y así sucesiva-mente.

Precaución El -1 en las expresiones de la inversa significa "inversa". No significa recíproco.Por ejemplo, el recíproco de sen x es (sen x) -1 = 1/ sen x = ese x.

Las gráficas de las seis funciones trigonométricas inversas se presentan en la figura 7.15.Obtenemos tales gráficas reflejando las gráficas de las funciones trigonométricas restringidascon respecto a la recta y = x, como en la sección 7.1. Ahora analizaremos con mayor detalleestas funciones y sus derivadas.

Dominio: -1 :Sx:S 1Rango: ;:s y:S I

y

Dominio: -1 :s x :s 1Rango: O :s y :s 7T

Dominio: -00 <x <Lec

Rango: ; <y < Iy

_______ 2

(e)

Dominio: -eoc <x < oo

Rango: O <y < 7T

y

7T------- -------

---L--~--+_--~~~-+x-2 -1 2

(d) (e) (f)

FIGURA 7.15 Gráficas de las seis funciones trigonométricas inversas básicas.

Definimos el arco seno y el arco coseno como funciones cuyos valores son ángulos (medidosen radianes) que pertenecen a dominios restringidos de las funciones seno y coseno.

DEFINICIÓN

y = sen -1 x es el número en [-'TT/2, 'TT/2] para el cual sen y = x.

y = cos "! x es el número en [O, 'TT] para el cual cosy = x.

y

--~--~--~---+x

--~---t--~---+x

(a) (b)

Dominio: x:S -1 ox;o,: 1Rango: O :s y :s 7T, y '1= I

y

Dominio: x:S -1 OX;o,: 1R 7T 7T Oango: -2 :Sy:S 2'Y'I= .

y

-2 -1 2

7!.2-~lx

-~--~--~I-_~_--~7T--~2--~X

2---L--~--+-~~~---+x

Las funciones arco seno y arco coseno


."u

.,",


7T 7TY Y = sen x, -"2 :s x :s "2Dominio: [-1TI2,7TI2]Rango: [-1, 1]

<, -, -,~--~~--~--~L---~"~x

""2

(a)

y

" x=seny

"" y = sen-Ix-,7T \ Dominio: [-1,1]"2 ) Rango: [-17/2,17/2]

-t; ° 1 x

\ 2

(b)

FIGURA 7.16 Las gráficas de(a) y = sen x, -7T /2 :s x :s 7T/2 Y(b) su inversa, y = sen -1 x. La gráfica desen=! x, que se obtuvo por medio de unareflexión con respecto a la recta y = x,es una parte de la curva x = sen y.

y y = cos x, ° :s x :s 17

Dominio: [0, 17]

Rango: [-1, 1]

La gráfica de y = sen -1 x (figura 7.16) es simétrica con respecto al origen (coincide con la grá-fica de x = seny). Por lo tanto, el arco seno es una función impar:

/"/"

/"

~/"L---~--~~--~--~/~x/ O ~//

-1

(a)

y/

/

/ x=cosyI

17y = cos!»Dominio: [-1,1]Rango: [0, 17]

sen-I( -x) = +sen " x.

La gráfica de y = cos "! x (figura 7.17) no tiene tal simetría.

(1)

17

2

-1 °(b)

FIGURA 7.17 Las gráficas de(a)y = cosx, O:s x:S 7T y(b) su inversa, y = cos-I x. La gráfica decos-l x, que se obtuvo por medio de lareflexión con respecto a la recta y = x,es una parte de la curva x = cos y.

EJEMPLO 1 Evalúe (a) sen" (-¿) y (b) cos" ( -±).Solución

(a) Vemos que

ya que sen(7T/3) = V3/2 y 7T/3pertenece al rango [-7T/2, 7T/2]de la función arco seno.Véase la figura 7.18a.

(b) Tenemos

ya que cos (27T/3) = -1/2 y 27T/3 pertenece al rango [O,7T]de la función arco coseno.Véase la figura 7.18b. •

Usando el mismo procedimiento que se ilustró en el ejemplo 1, podemos crear la siguientetabla de valores comunes para las funciones arco seno y arco coseno.

x sen"! x cos-1 x

V3/2 7T/3 7T/6

V2/2 7T/4 7T/4

1/2 7T/6 7T/3-1/2 -7T/6 27T/3

-V2/2 -7T/4 37T/4

-V3/2 -7T/3 57T/6

y_1 v'3 17

sen 2 =)y

-+----~~L--+-+x -+--~-+~---+_+x

17 v'3sen) = 2

(a)

FIGURA 7.18 Valores de las funciones arco seno y arco coseno(ejemplo 1).

COS(~17) = -~

(b)

EJEMPLO 2 Durante el vuelo de una aeronave de Chicago a San Luis, el piloto consideraque el avión está 12 millas fuera de curso, como se indica en la figura 7.19. Determine el án-gulo a para un curso paralelo al curso original correcto, el ángulo b, y el ángulo de corrección,e = a + b.



Solución De acuerdo con la figura 7.19 y con geometría básica, vemos que 180 sen a = 12Y 62 sen b = 12, por lo que

a = sen " 11820~ 0.067 radianes ~ 3.8°

b = sen " ~; ~ 0.195radianes ~ 11.2°

e = a + b ~ 15°. •

Identidades que incluyen areo seno y areo eoseno

Como vimos en la figura 7.20, el arco coseno de x satisface la identidad

cos " x + cos-I( -x) = 7T, (2)FIGURA 7.19 Diagrama para la correccióndel curso (ejemplo 2), con distancias redon-deadas a la milla más próxima (el dibujono está a escala).

y

ocos " (-x) = 7T - cos " x.

Además, con base en el triángulo de la figura 7.21, vemos que para x > O,

sen " x + cos " X = 7T/2.

(3)

(4)

FIGURA 7.20 cos-Ixycos-I (-x)son ángulos suplementarios (así quesu suma es 7T).

FIGURA 7.21 sen"! x y cos '! x sonángulos complementarios (así que susuma es 7T/2).

x tan " x

V3 7T/31 7T/4

V3/3 7T/6

-V3/3 -7T/6-1 -7T/4

-V3 -7T/3

La ecuación (4) también se cumple para los otros valores de x en [-1, 1], pero no lo podemosconcluir a partir del triángulo en la figura 7.21. Sin embargo, es una consecuencia de las ecua-ciones (1) y (3) (ejercicio 113).

Inversas de tan x, eot x, see x y ese x,El arco tangente de x es un ángulo cuya tangente es x. El arco cotangente de x es un ángulocuya cotangente es x. Los ángulos pertenecen a los dominios restringidos de las funciones tan-gente y cotangente.

DEFINICIÓN

y = tan " x es el número (-7T/2, 7T/2) para el que tany = x.

y = coC1xeselnúmero(0,7T)paraelquecoty = x.

Para evitar valores en los que la tangente o la cotangente estén indefinidas, utilizamos interva-los abiertos.

La gráfica de y = tan -1 x es simétrica con respecto al origen, ya que es una rama de la grá-fica x = tan y, que es simétrica con respecto al origen (figura 7.15c). Algebraicamente, estosignifica que

tan-I (-x) = -tan-I x;

el arco tangente es una función impar. La gráfica de y = cor I x no tiene tal simetría (figura7 .15t). En la figura 7 .15c, observe que la gráfica de la función arco tangente tiene dos asíntotashorizontales: una eny = 7T/2 Y otra eny = -7T/2.

EJEMPLO 3 Las siguientes figuras muestran dos valores de tan-I x.

y tan-I-l- = tan-I \13 = 7!.\13 3 6

tan 7!. = _1_6\13

Los ángulos provienen del primero y cuarto cuadrantes, ya que el rango de tan -1 xes (-7T /2, 7T/2). •



Dominio: Ixl 2:: 1R 0< <; -s- 1Tango: - y - 1T, Y -r- 2

y

B

---

31T------------2

1TJ---\------ ------------1y = sec!x -j---------

-1 O----~--1_--~----+x

1T-------------2-1T

./31T-------------2

FIGURA 7.22 Hay varias elecciones lógicaspara la rama izquierda de y = sec "! x. Con laopción A, sec-I XI = cos '! (l/x), una iden-tidad útil, empleada en muchas calculadoras.

'D .,,"11

y

,,,\ y = sen''!x

Dominio: -1 :s x:s lRango: -1T/2 :s y :s 1T/2

1T

2

-~-~-~----+x

FIGURA 7.23 La gráfica de y = sen-I xtiene tangentes verticales en x = - 1Y x = 1.

Las inversas de las formas restringidas de sec x y ese x se eligen para que resulten las fun-ciones graficadas en las figuras 7.15d Y 7.15e.

Precaución No hay consenso general acerca de cómo definir sec" x para valores negativosde x. Elegimos ángulos en el segundo cuadrante entre 7T'/2 Y 7T'.Esta elección hace que sec" x= cos" (l/x); también hace que sec"! x sea una función creciente en cada intervalo de su do-minio. En algunas tablas, para x < O, se elige sec "! x en [-7T', -7T'/2), Y en algunos textosse toma en [7T', 37T'/2) (figura 7.22). Tales elecciones simplifican la fórmula para la derivada(nuestra fórmula necesita signos de valor absoluto), pero no se cumple la ecuación sec1 x =

cos"! (l/x). Con base en esto, deducimos la identidad

= 7T'_ sen"2

(5)

aplicando la ecuación (4) .

Derivada de y = sen? uSabemos que la función x = sen y es derivable en el intervalo -7T'/2 < Y < 7T'/2 Yque su de-rivada, el coseno, es positiva ahí. Por lo tanto, el teorema 1 de la sección 7.1 nos asegura que lafunción inversa y = sen" x es derivable en todo el intervalo -1 < x < 1. No podemos esperarque sea derivable en x = 1 o x = - 1, ya que en esos puntos las tangentes a la gráfica son verti-cales (figura 7.23).

Determinamos la inversa de y = sen"! x aplicando el teorema 1 con ¡(x) = sen x y ¡-I(X)= sen"! x:

(¡-I)'(X) Teorema 1

f'(u)=cosucos (sen'" x)

1 cos u = VI - serr' u\/1 - sen2(sen-1x)

1sen (sen" x) = x

Si u es una función derivable de x con lul < 1, aplicamos la regla de la cadena paraobtener

d 1 du- (sen" u) = -====dx ~dx' lul < 1.

EJEMPLO 4 Por medio de la regla de la cadena, calculamos la derivada

2x •\/1-=-7'


Dominio: Ixl 2:: 1 R 0

< < ___ 7T ango: - y - 7T, Y -r- 2

y

3 7T --------- --- 2 B

7T

J \

7T --- ------ ------------2 y = sec- 1x -+--~

------~----1_----~-------+ x - 1 O

---7T ------------ -2

-7T

3 7T ----------- - -2

FIGURA 7.22 Hay varias elecciones lógicas

para la rama izquierda de y = sec- I x. Con la

opción A, sec- I x, = cos- I (l /x) , una iden

tidad útil , empleada en muchas calculadoras.

y

FIGURA 7.23 La gráfica dey = sen- I x

tiene tangentes verticales en x = - 1

Y x = 1.

Las inversas de las formas restringidas de sec x y csc x se eligen para que resulten las funciones graficadas en las figuras 7 .15d Y 7.l5e.

Precaución No hay consenso general acerca de cómo definir sec- I x para valores negativos de x. Elegimos ángulos en el segundo cuadrante entre 'TT' / 2 Y 'TT'. Esta elección hace que sec- I x

= cos- I (l /x); también hace que sec- I x sea una función creciente en cada intervalo de su dominio. En algunas tablas, para x < O, se elige sec- I x en [ - 'TT' , -'TT' / 2), Y en algunos textos se toma en ['TT', 3'TT' / 2) (figura 7.22). Tales elecciones simplifican la fórmula para la derivada (nuestra fórmula necesita signos de valor absoluto), pero no se cumple la ecuación sec l x =

cos- 1 (l /x). Con base en esto, deducimos la identidad

= 'TT' _ sen- I

2 (5)

aplicando la ecuación (4).

Derivada de y = sen- 1 u

Sabemos que la función x = sen y es derivable en el intervalo -'TT' / 2 < Y < 'TT' / 2 Y que su derivada, el coseno, es positiva ahí. Por lo tanto, el teorema 1 de la sección 7. 1 nos asegura que la función inversa y = sen- I x es derivable en todo el intervalo - 1 < x < 1. No podemos esperar que sea derivable en x = 1 o x = -1 , ya que en esos plmtos las tangentes a la gráfica son verticales (figura 7.23).

Determinamos la inversa de y = sen- 1 x aplicando el teorema 1 con f(x) = sen x y f - I(X) = sen- 1 x :

cos (sen- I x)

1

\/1 - sen2 (sen- 1x)

1

Teorema 1

f'(u) = cosu

cos u = V I - sen2 u

sen (sen- I x) = x

Si u es una función derivable de x con lul < 1, aplicamos la regla de la cadena para obtener

! (sen- I u) du -==== ~dx'

lul < 1.

EJEMPLO 4 Por medio de la regla de la cadena, calculamos la derivada

2x •



Derivada de y = tan " uDeterminamos la derivada dey = tan "! x aplicando el teorema 1 conf(x) = tan x yf-I(x) = tan -1 x. El teorema 1 puede aplicarse, ya que la derivada de tan x es positivapara -7T/2 < x < 7T/2:

j'(f-I(X))

1

Teorema I

f'(u) = sec'' u

+ tarr' (tan-I x)

1

1 + x2

sec2 u = I + tan2 u

tan (tan-I x) = x

La derivada está definida para todos los números reales. Si u es una función derivable de x, conbase en la regla de la cadena obtenemos:

d ( _1 ) _ 1 du-d tan u - ---2-d·x 1 + u x

Derivada de y = sec" uComo la derivada de la sec x es positiva para O< x < 7T/2 Y7T/2 < x < 7T, el teorema 1 nos in-dica que la función inversa y = sec-[ x es derivable. En vez de aplicar la fórmula del teorema 1de manera directa, determinamos la derivada de y = sec-[ x, Ixl > 1, por medio de derivaciónimplícita y la regla de la cadena como sigue:

y = sec"" x

secy = x Relación de la función inversa

d d-(secy) =-xdx dx Derivar en ambos lados.

dysec y tan y dx = Regla de la cadena

dydx secy tany

Como Ixl > I,yestáen(O, 7T/2) U (7T/2, 7T) Ysecytany #O O

Para expresar el resultado en términos de x, utilizamos las relaciones

secy = x y tany = ±Vsec2y - 1 = ±vT-"l

para obtener

dy ± 1dx xvT-"l·


Derivada de y = tan- 1 u

Determinamos la derivada de y = tan- I x aplicando el teorema 1 conf(x) = tan x y f - I(x) = tan - 1 x . El teorema 1 puede aplicarse, ya que la derivada de tan x es positiva para -7T/ 2 < x < 7T/ 2:

(f - I),(X) j'(f-I(X))

Teorema I

f'(u) = sec2 u

1 + tan2 (tan- I x) sec2

LI = I + tan2 LI

tan (tan- 1 x) = x

La derivada está definida para todos los números reales. Si u es una función derivable de x, con base en la regla de la cadena obtenemos:

d ( _ 1 ) _ 1 du -d tan u - - --2 -d . x 1 + u x

Derivada de y = sec- 1 u

Como la derivada de la sec x es positiva para O < x < 7T / 2 Y 7T / 2 < x < 7T, el teorema 1 nos indica que la función inversa y = sec- I x es derivable. En vez de aplicar la fórmula del teorema l de manera directa, determinamos la derivada de y = sec -1 x, Ixl > 1, por medio de derivación implícita y la regla de la cadena como sigue:

y = sec- I x

secy = x

d d -(sec y ) = - x dx dx

dy sec y tany dx =

dy

dx secy tan y

Relación de la fu nción inversa

Derivar en ambos lados.

Regla de la cadena

Como Ixl > 1, yestáen (O, 7r/ 2) U (7r/ 2, 7r) Y

secytany * O

Para expresar el resultado en términos de x, utilizamos las relaciones

secy = x y

para obtener

tany = ±Vsec2 y - 1 = ±~

dy

dx ± 1 x~·


~.oo •.~

------------~-------------------------------------~~


y ¿Podemos hacer algo con respecto al signo ±? Al observar la figura 7.24 se ve que la pendientede la gráfica y = sec -1 x siempre es positiva. Así,

----L--~~~---+x

{

+ 1-.!Lsec-1 x = x~dx 1

x~

7T---------2six>

-1 Osi x < -1.

FIGURA 7.24 La pendiente de la curvay = sec : ¡ x es positiva, tanto para x < -1como para x > 1. Con el símbolo de valor absoluto, escribimos una sola expresión que elimina la ambigüedad

del signo "±":

-.!L sec"' x = 1dx Ixl~·

Si u es una función derivable de x con I u I > 1, tenemos la fórmula

!(sec" u)1 du

lul~dx'lul > 1.

EJEMPLO 5namos que

Mediante la regla de la cadena y la derivada de la función arco secante, determi-

I dd (5x4)

15x4IY(5x4? - 1 x

1 (20x3)5x4Y25x8 - 1

5x4> 1 > O

4 •

Derivadas de las otras tres funcionesPodríamos utilizar las mismas técnicas para determinar las derivadas de las otras tres funcionestrigonométricas inversas: arco coseno, arco cotangente y arco cosecante. Sin embargo, existeuna forma mucho más sencilla, gracias a las siguientes identidades.

Identidades de cofunción inversa-función inversa

cos-1 x = 7r/2 - sen" x

cae1 x = 7r/2 - tan" x

csc" x = 7r/2 - sec" x

En la ecuación (4) vimos la primera de estas identidades. Las otras se deducen de unamanera análoga. Fácilmente se deduce que las derivadas de las cofunciones inversas son las


y

7T --------- "2

-------L----r---~-----+x - 1 O

FIGURA 7.24 La pendiente de la curva y = sec- ¡ x es positiva, tanto para x < -1

como para x > 1.

¿Podemos hacer algo con respecto al signo ±? Al observar la figura 7.24 se ve que la pendiente de la gráfica y = sec -1 x siempre es positiva. Así,

{

+ 1

'!!:"'sec- 1x = x~ dx 1

x~

six >

si x < -1.

Con el símbolo de valor absoluto, escribimos una sola expresión que elimina la ambigüedad del signo "±":

.!!:... sec- I x = 1 dx Ix l~ ·

Si u es una función derivable de x con I u I > 1, tenemos la fórmula

! (sec- I u) 1 du

lul~dx' lul > 1.

EJEMPLO 5 namos que

Mediante la regla de la cadena y la derivada de la función arco secante, determi-

5x4 > 1 > O

4 •

Derivadas de las otras tres funciones

Podríamos utilizar las mismas técnicas para determinar las derivadas de las otras tres funciones trigonométricas inversas: arco coseno, arco cotangente y arco cosecante. Sin embargo, existe una forma mucho más sencilla, gracias a las siguientes identidades.

Identidades de cofunción inversa-función inversa

cos- I x = 7r/2 - sen- I x

cee l x = 7r/2 - tan- I x

csc- I x = 7r/2 - sec- I x

En la ecuación (4) vimos la primera de estas identidades. Las otras se deducen de una manera análoga. Fácilmente se deduce que las derivadas de las cofunciones inversas son las



negativas de las derivadas de las funciones inversas correspondientes. Por ejemplo, la derivadadel cos-I x se calcula como sigue:

!L (cos"' x) = !L (71' - sen" x)dx dx 2 Identidad

Derivada de arco seno

Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas se resumen en la tabla 7.3.

TABLA 7.3 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

d(sen-I u)dx

l du~dx' lul < 11.

d(cos-I u)dx

l du~dx' lul < l2.

d(tan-I u)dx

l du----+ u2 dx

3.

d(coel u)dx

l du-----+ u2 dx

4.

d(sec-I u)

dxl du

lul~dx'lul > 15.

d(csc-I u)

dx1 du

lul~dx'lul > l6.

Fórmulas de integraciónLas fórmulas de derivadas de la tabla 7.3 dan tres útiles fórmulas de integración de la tabla 7.4.Las fórmulas se verifican con facilidad derivando las funciones del lado derecho.

TABLA 7.4 Integrales evaluadas con funciones trigonométricas inversas

Las siguientes fórmulas se cumplen para cualquier constante a *- o.

J k = sen-I (~) + e

J a2 ~ u2 = ~ tan-1 (~) + e

1.

(Válida para toda u)2.

J du = 1 -llli I + e,~ asec auvu2-a2(Válida para lul > a > O)3.

Las fórmulas de derivadas de la tabla 7.3 tienen a = 1, pero en la mayoría de las integra-ciones a*-I Ylas fórmulas de la tabla 7.4 son más útiles.


negativas de las derivadas de las funciones inversas correspondientes. Por ejemplo, la derivada del cos- I x se calcula como sigue:

.!L (cos- I x) = .!L (71" - sen- I x) dx dx 2

Identidad

Derivada de arco seno

Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas se resumen en la tabla 7.3.

TABLA 7.3 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

d(sen- I u)

dx

d(cos- 1 u)

dx

d(tan- 1 u)

dx

d(coC I u)

dx

d(sec-1 u)

dx

d(csc- I u)

dx

du -=== ~dx'

lul < 1

1 du ~dx'

lul < 1

du

du

1 du

lul~dx' lu l > 1

1 du

lul~dx' lul > 1

Fórmulas de integración Las fórmulas de derivadas de la tabla 7.3 dan tres útiles fórmulas de integración de la tabla 7.4. Las fórmulas se verifican con facilidad derivando las funciones del lado derecho.

TABLA 7.4 Integrales evaluadas con funciones trigonométricas inversas

Las siguientes fórmulas se cumplen para cualquier constante a *- O.

1. J k = sen-1 (~) + e

2. J du - 1 -1 (u) a2 + u2 - a tan a + e (Válida para toda u)

3. J du = 1. -11 Y.. I + e ,~ a sec a

uvu2 - a2 (Válida para lul > a > O)

Las fónnulas de derivadas de la tabla 7.3 tienen a = 1, pero en la mayoría de las integraciones a *- 1 Y las fórmulas de la tabla 7.4 son más útiles .



EJEMPLO 6 Los siguientes ejemplos ilustran cómo utilizar la tabla 7.4.

Fórmula 1, tabla 7.4

fV3/2 d ]V3/2(a) x = sin".» a=l,u=xenlafórmulal,tabla7.4

V2/2 ~ V2/2

= sen" (~) - sen-I (~) = ~ - ; = ~

(b) a = \13, u = 2x, y du/2 = dx

= t sen-1 (~) + e

(e) J ~ = J V::/~a2

u = e", du = e' dx,dx = duf e' = dul u,

a = V6

••"O

"

J du- uVu2 - a2

= ~sec-II*I + e

= ~sec-I (~) + e

Fórmula 3, tabla 7.4,.".,

•EJEMPLO 7 Evalúe

(a) J dxV4x - x2

Solución (a) La expresión V4x - x2 no coincide con ninguna de las fórmulas de la tabla7.4, por 10 que primero rescribimos 4x - x2 para completar el cuadrado:

4x - x2 = - (x2 - 4x) = - (x2 - 4x + 4) + 4 = 4 - (x - 2)2.

Luego sustituimos a = 2, u = x - 2, Ydu = dx para obtener

a = 2, u = x - 2, Ydu = dx

Fórmula 1 de la tabla 7.4

(b) Completamos el cuadrado en el binomio 4x2 + 4x:

4~ + 4x + 2 = 4(x2 + x) + 2 = 4 (x2 + X + ±) + 2 - ¡= 4 (x + tY + 1 = (2x + 1)2 + l.


EJEMPLO 6 Los siguientes ejemplos ilustran cómo utilizar la tabla 7.4.

j V3/2 d ]V3/2 (a) V2/2 ~ = sin-

I x V2/2 a = 1, u = x en la fórmula 1, tabla 7.4

= sen-I (~) - sen-

I (~) = f - : = ~

(b)

_ 1 - 1 (2X ) + e - - sen --2 v3

J du - uVu2 - a2

= ~sec- I I *I + e

= ~sec-I (~) + e

EJEMPLO 7 Evalúe

a = \13, u = 2x, y duj 2 = dx


u = e'", du = e' dx, dx = duje' = duju,

a = v6


(a) J dx V4x - X2

(b) J dx 4x2 + 4x + 2

•

Solución (a) La expresión V 4x - x2 no coincide con ninguna de las fórmulas de la tabla 7.4, por 10 que primero rescribimos 4x - x2 para completar el cuadrado:

4x - x2 = - (x2 - 4x) = - (x2 - 4x + 4) + 4 = 4 - (x - 2)2.

Luego sustituimos a = 2, u = x - 2, Y du = dx para obtener

J dx J dx V 4x - X2 = V 4 - (x - 2)2

J du - Va2 - u2

a = 2, u = x - 2, Y du = dx

= sen-I (*) + e Fórmula I de la tabla 7.4

= sen - 1 (x ; 2) + e

(b) Completamos el cuadrado en el binomio 4x2 + 4x:

4~ + 4x + 2 = 4(x2 + x) + 2 = 4 (x2 + X + i) + 2 - ¡ = 4(X + ~y + 1 = (2x + ¡f + 1.



Entonces,

J dx J dx . 1J du4x2 + 4x + 2 - (2x + 1? + 1 = 2" u2 + a2

a=l,u=2x+I,y du/2 = dx

1 1 -1 (u)= - . -tan - + e2 a a Tabla 7.4, fórmula 2

= ltan-I (2x + 1) + e2

a=l,u=2x+1 •

Ejercicios 7.6

Valores comunesUtilice triángulos de referencia como los de los ejemplos I al 3 para deter-minar los ángulosen los ejercicios I a 12.

23. Y = sen-1v'2 t

25. Y = sec" (2s + 1)

27. Y = csc" (~ + 1), x > O

28. Y = ese"! ~

29. Y = sec" +, O < t < 30. Y = sen" j31. Y = cot"! Vt 32. Y = coel Vt=l33. Y = In (tan " x) 34. y = tan-I (ln x)

35. y = ese"! (e') 36. y = cos" (e-I)

37. y = s~ + cos-Is 38. y = ~ - secl s

39. y = tan-I~ + csc-I X, x> 1

24. Y = sen"" (l - t)

26. Y = sec " 5s

1. a. tan"! I b. tan-le -v'3) -1 ( I )c. tan \13

2. a. tan-le -1) b. tan-l\13 -1 (-1 )c. tan \13

3. _1 (-1) b. sen" (~) -1 (-\13)a. sen 2 c. sen -2-

4. a. sen"! (~) b -1 ( -1 ) -1 (\13)· sen v'2 c. sen -2-

5. a. cos" (~) b -1 ( -1 ) -1 (\13)· cos v'2 c. cos -2-

6. a. csc" v'2 b -1 ( -2) c. csc-12· ese \13

7. a. sec"] -\12) b. sec" (~) c. sec-I( -2)

8. cor ' (-1) b. coel (v'3) -1 (-1 )a. c. cot \13EvaluacionesEn los ejercicios 9 a 12,determine los valores.

9. sen (cos-I (~)) 10. sec (cos-I D11. tan (sen-I (-~)) 12. cot (sen-I (- ¿))


43./b 44/ dx9-~ . ~

45/

dx 46./~· 17 + ~ 9 + 3~

47 / dx 48 / dx· x\h5x2 - 2 • x~

lol 13'/2/4 d49. 4 ds 50. so~ o ~

51 (2_d_t_ 52 t' :«:· lo 8 + 2r . l-2 4 + 3r

¡-ViI2 dy ¡-ViI3 dy

9. ~-1 y\l'4y2 - 1 -2/3 y\l'9y2 - 1

55 / 3 dr 56 / 6 dr· Vl-4(r-1)2 . V4-(r+1)2

57 / dx 58 / dx·2+(x-lf ·1+(3x+l)2

59 / dx• (2x - I)V(2x - 1)2- 4

40. Y = cot"! ~ - tan"' x 41. Y = x sen ".» + ~

42. Y = ln(~ + 4) - x tan" (~)

LímitesDetermine los límites en los ejercicios 13 a 20. (Si tiene duda, vea la grá-fica de la función).

13. lím sen" x 14. lím cos" xx--+ 1- x--+-l +

15. lím tan"! x 16. lím tan"! xx--+oo x--+-oo

17. lím sec'" x 18. lím sec " xx--+oo x--+-oo

19. lím CSC-Ix 20. lím csc" xx--+oo x--+-oo

Determinación de derivadasEn los ejercicios 21 a 42, determine la derivada de y con respecto a la va-riable apropiada.21. y = cos-I (x2) 22. y = cos-I (l/x)



60 ¡ dx· (x + 3)V(x + 3)2 - 25

61 {7r/2 2 cos e de· J-7r/2 1 + (sen ef

lln\13 r d63. .s.ss:

o 1 + e2x

¡ ydy65 .• ~

vi -l

17r/4 2 d62 csc x x• 7r/6 I + (cot x r'

r64 4 dt• l t(l + ln2 t)

¡ sec2ydy66.

VI - tan2y

Fórmulas de integraciónEn los ejercicios 99 a 102, verifique las fórmulas de integración.

¡tan-I x 12 tan"! x99. ------;z-dx = Inx - 2" In (I + x-) - -x- + e

100. Í: cos" 5x dx = ~ cos" 5x + %¡ x4

dxVI - 25~

101.¡(scn! x)2 dx = x(sen-1 xf - 2x + 2~ sen"! x + e

102. ¡In (a2 + ~) dx = x In (a2 + X2) - 2x + 2a tan"! ~ + eEvalúe las integrales en los ejercicios 67 a 80.

67 ¡ dx 68 ¡ dx· V -x2 + 4x - 3 . V2x - x2

69 r 6 dt 70 t 6 dt· J-I V3 - 21 - ? . JI/2 V3 + 41 - 4?

71 ¡ dy 72 ¡ dy· l -2y + 5 . l + 6y + 10

TI {2 8dx ~ {4 2dx· JI x2 - 2x + 2 . J2 x2 - 6x + 10

75. ¡x + 4 dx 76. ¡ t - 2 dtx2 + 4 ? - 6t + 10

77. ¡x2

; ~ ; I dx 78. ¡f - 2: : ~t - 4 dt

79 ¡ dx 80 ¡ dx· (x + I)V~ + 2x . (x - 2)Vx2 - 4x + 3

Problemas con valor inicialEn los problemas 103 al 106, resuelva los que tienen valor inicial.

dy 1103. dx • ¡:---;)' y(O) = O

vi - x2

dy 1104. -d = -2-- - 1, y(O) = 1

x x + 1

dy105. dx 1 x > 1; y(2) = 7T

x~'

dy106. dx

I---I +~

2 y(O) = 2~'

Aplicaciones y teoria107. Usted se encuentra en un salón de clases, sentado junto a una pared,

mirando la pizarra que se encuentra al frente. Ésta mide 12 ft delargo y empieza a 3 ft de la pared que está junto a usted.

a. Demuestre que su ángulo de visión esEvalúe las integrales en los ejercicios 81 a 90.

¡esen-¡ x dx ¡eCos-¡ x dx81. • ¡:---;) 82. • ¡:---;)

vi -x2 vi -x2

J (sen-I xf dx ¡~ dx83. • ¡:---;) 84. 2v I - x2 1 + x

j. dy ¡ dy85. _1 2 86 .

(tan y)(I + y ) (sen " y)~

/

2 sec2 (sec-I x) dx 12 cos (sec-1 x) dx87. .~ 88. .~

V2 x V x2 - 1 2/\13 x v x2 - 1

".¡ 1 dxYx(x + I)((tan-I Yx)2 + 9)

a = COCI~ - COC1~15 3

si usted está a x ft de la pared del frente.

b. Determine x de manera que a sea tan grande como sea posible.f.1.,

T12' "l t:

"Np:;

3'-±-lE x '1

Regla de L'HópitalDetermine los límites en los ejercicios 91 a 98.

91 u sen-15x 92 l' ~

. x~--x- . x-'-.~+ sec " x

93 1, -1 2 94. lím 2 tan-I

3~. x-'-.~x tan x x->O 7~

95. lím tan-I

xl

296. lím ¿~n-I ¿

x->O X sen" x x->OO e + x

108. La región que está entre la curva y = sec " x y el eje x, desde x = Ihasta x = 2 (como se ilustra aquí), se hace girar alrededor del eje ypara generar un sólido. Determine el volumen del sólido .

y

7T'3

-l~98. lím -,s::.::e:::nc........:,,---x->O+ (sen " x?

__+- L- L-~xO 2


109. La altura inclinada del cono que aparece aquí es de 3 m. ¿Cuál debeser el ángulo señalado para maximizar el volumen del cono?

11O. Determine el ángulo a

111. Ésta es una demostración informal de que tan-1 1 + tan"! 2 +tan-13 = 7T. Explique por qué.

112. Dos deducciones de la identidad sec-1( -x) = 1T - sec-1 x.

a. (Geométrica) Esta ilustración prueba que sec '! (-x)= 7T - sec-I x. Trate de averiguar por qué.

y


-x -1 x

114. Demuestre que la suma tan-I x + tan-I (l/x) es constante.

115. Utilice la identidad

csc"' U = 7!.- - sec" u2

para deducir la fórmula de la tabla 7.3, para la derivada de csc '! ucon base en la fórmula de la derivada de sec"! u.

116. Deduzca la fórmula

dy 1dx 1 + ~

para la derivada de y = tan -1 x por medio de la derivación de amboslados de la ecuación equivalente tan y = x.

117. Utilice la regla de derivación del teorema 1 para deducir

iLsec-1x = 1 Ixl > l.dx Ixl~'


coel u = 7!.- - tan-1 u2

para deducir la fórmula para la derivada de cot "! u en la tabla 7.3con base en la fórmula para la derivada de tan -1 u.

119. ¿Qué tienen de especial las funciones

f( ) -1 X - 1x = sen x + l ' x ~ O, y g(x) = 2 tan"! Vx?

~--1T___ 1 _

1 7T

1 "2

Explique.


f(x) = sen" 1 y g(x) = tan"' ~?W+1

Explique.

121. Determine el volumen del sólido de revolución que se ilustra acontinuación.

122. Longitud de arco Determine la circunferencia de un círculo de ra-dio r; para ello, utilice la ecuación (3) de la sección 6.3.

Determine los volúmenes de los sólidos en los ejercicios 123 y 124.

123. El sólido se encuentra entre los planos perpendiculares al eje x enx = -1 Y x = 1. Las secciones transversales perpendiculares aleje x son

a. círculos cuyos diámetros se extienden desde la curva y =

-I/~alacurvay = 1/~.b. cuadrados verticales cuyos lados de su base van desde la curva

y = -I/~alacurvay = I/~.

b. (Algebraica) Deduzca la identidad sec-1 (-x) = 7T - sec "! xcombinando las siguientes dos ecuaciones, tomadas del texto:

cos " (-x) = 7T - cos-I x

sec" x = cos"' (l/x)

Ecuación (3)

Ecuación (5)

113. La identidad sen " x + cos"! X = 1T/2 La figura 7.21 establecela identidad para O < x < l. Con la finalidad de establecerla para elresto del intervalo [-1, 1],verifique por medio de cálculo directoque se cumple para x = 1, O Y - l. Luego, para los valores de x en(-1, O), sea x = = a, a > O y aplique las ecuaciones (1)y (3) a lasuma sen-1 (-a) + cos-I (-a).

109. La altura inclinada del cono que aparece aquí es de 3 m. ¿Cuál debe ser el ángulo señalado para maximizar el volumen del cono?

II O. Determine el ángulo a

111. Ésta es una demostración informal de que tan- 1 1 + tan- 1 2 + tan- 1 3 = 71'. Explique por qué.

112. Dos deducciones de la identidad sec- 1( -x) = 7T - sec- 1 x.

a. (Geométrica) Esta ilustración prueba que sec- 1 (-x) = 7T - sec- I x. Trate de averiguar por qué.

y

~- -7T

__ -.J __ ____ _ 1 7T 1 2'

__ ~ ____ L_ __ _+----J----L--+ x -x - 1 O x

b. (Algebraica) Deduzca la identidad sec- I (-x) = 7T - sec- I x combinando las siguientes dos ecuaciones, tomadas del texto:

cos- I (-x) = 7T - cos- I x

sec- I x = cos- I (l / x)

Ecuación (3)

Ecuación (5)

lB. La identidad sen- I x + cos- 1 X = 7T/ 2 La figura 7.21 establece la identidad para O < x < l . Con la finalidad de establecerla para el resto del intervalo [-1 , 1] , verifique por medio de cálculo directo que se cumple para x = 1, O Y - l. Luego, para los valores de x en (-1, O), sea x = -a, a > O Y aplique las ecuaciones (1) y (3) a la suma sen- I ( - a) + cos- I ( - a).


114. Demuestre que la suma tan- I x + tan- I (l /x) es constante.


csc- I U = !!.- - sec- I u 2

415

para deducir la fórmula de la tabla 7.3, para la derivada de csc- 1 u con base en la fórmu la de la derivada de sec- I u.

116. Deduzca la fórmula

dy 1

dx 1+~

para la derivada de y = tan - 1 x por medio de la derivación de ambos lados de la ecuación equivalente tan y = x.

117. Utilice la regla de derivación del teorema 1 para deducir

iLsec-1x = 1 Ixl > l. dx I x l~'


coe l u = !!.- - tan- 1 u 2

para deducir la fórmula para la derivada de cot- I u en la tabla 7.3 con base en la fórmula para la derivada de tan -1 u.


f ( ) - 1 X - 1 x = sen ~, x:::O: O, y g(x ) = 2 tan- I Vx?

Explique.


f(x) = sen- I 1 y g(x) = tan- I ~? W+1

Explique.

121. Determine el volumen del sólido de revolución que se ilustra a continuación.

y

y= __ 1_

~

122. Longitud de arco Determine la circunferencia de un círculo de radio r; para ello, utilice la ecuación (3) de la sección 6.3.

Determine los volúmenes de los sólidos en los ejercicios 123 y 124.

123. El sólido se encuentra entre los planos perpendicuJares al eje x en x = - 1 Y x = l. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son

a. círculos cuyos diámetros se extienden desde la curva y =

- 1/~a lacurvay = 1/~.

b. cuadrados verticales cuyos lados de su base van desde la curva

y = -1/~alacurvay = 1/~.



124. El sólido se encuentra entre los planos perpendiculares al eje x enx = - V2/2 y x = V2/2. Las secciones transversales perpendicu-lares al eje x son

a. círculos cuyos diámetros se extienden desde el eje x a la curvay=2/~.

b. cuadrados cu as diagonales van desde el eje x a la curvay = 2/ 4 I - x2.

D 125. Determine los valores de

a. sec " 1.5 b. csc " (-1.5) C. coCl2


a. sec-I( -3) b. csc" 1.7 c. coCI (-2)

D En los ejercicios 127 a 129, determine el dominio y el rango de cada fun-ción compuesta. Luego trace la gráfica de las composiciones en pantallasseparadas. En cada caso, ¿tienen sentido las gráficas? Explique. Comentecualquier diferencia que vea.

127. a. y = tan"! (tan x)

128. a. y = sen" (sen x)

b. Y = tan (tan"! x)

b. y = sen (sen " x)

.'

7.7 Funciones hiperbóLicas

129. a. y = cos" (cosx) b. Y = cos (cos " x)

D Utilice su utilería de graficación para los ejercicios 130 a 134.

130. Elabore la gráfica de y = sccisec"! x) = sec( cos-I (l/x». Expliquelo que vea.

131. La serpentina de Newton Trace la gráfica de y = 4x/(x2 + 1), co-nocida como la serpentina de Newton. Luego elabore la gráfica dey = 2 sen(2 tarr ! x) en la misma ventana de graficación. ¿Qué ob-serva? Explique.

132. Trace la gráfica de la función racional y = (2 - x2)/x2 Luego tracela gráfica y = cos(2 sec " x) en la misma ventana de graficación.¿Qué observa? Explique.

133. Trace la gráfica de f(x) = sen '! x junto con sus primeras dos deri-vadas. Comente sobre el comportamiento de f y la forma de su grá-fica en relación con los signos y valores de f' y f".

134. Trace la gráfica de f(x) = tan "! x junto con sus primeras dos de-rivadas. Comente sobre el comportamiento de f y la forma de sugráfica en relación con los signos y valores de f' y f" .

Las funciones hiperbólicas se forman por medio de combinaciones de dos funciones exponen-ciales eX y e-X. Las funciones hiperbólicas simplifican muchas expresiones matemáticas y sonimportantes en aplicaciones matemáticas. En esta sección damos una breve introducción a lasfunciones hiperbólicas, sus gráficas y sus derivadas.

Definiciones e identidades

Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico se definen por las ecuaciones

eX - e-xsenhx = 2 y

eX + e-xcoshx = 2, .

Con base en este par básico, definimos las funciones tangente, cotangente, secante y cosecantehiperbólicas. Las ecuaciones que las definen y las gráficas de tales funciones se muestran en latabla 7.5. Veremos que las funciones hiperbólicas cuentan con muchas similitudes con las fun-ciones trigonométricas a partir de las cuales se nombran.

Las funciones hiperbólicas satisfacen las identidades de la tabla 7.6. Salvo por la diferen-cia de signo, ya conocíamos dichas identidades para funciones trigonométricas. Las identi-dades se demuestran directamente de las definiciones, como lo mostramos a continuación parala segunda:

(eX - e-X) (eX + e-X)2 senh x cosh x = 2 2 2

2senh2x.

Las otras identidades se obtienen de manera análoga, sustituyendo las definiciones de lasfunciones hiperbólicas y usando el álgebra. Al igual que muchas funciones estándar, las fun-ciones hiperbólicas y sus inversas se evalúan con facilidad mediante las calculadoras, que confrecuencia tienen teclas especiales para ese propósito.


124. El sólido se encuentra entre los planos perpendiculares al eje x en

x = - V2/ 2 y x = V2/ 2. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son

129. a. y = cos-I (cosx) b. Y = cos (cos- I x)

D Utilice su utilería de graficación para los ejercicios 130 a 134.

a. círculos cuyos diámetros se extienden desde el eje x a la curva 130. Elabore la gráfica de y = sec(sec - I x) = sec( cos- I(I Ix»~. Explique lo que vea.

y = 2/\Y"17. b. cuadrados cu as diagonales van desde el eje x a la curva

y = 2/ 4 1 - x2.

131. La serpentina de Newton Trace la gráfica de y = 4x/(x2 + 1), co

nocida como la serpentina de Newton. Luego elabore la gráfica de

y = 2 sen(2 tan- I x ) en la misma ventana de graficación. ¿Qué ob

serva? Explique. D 125. Determi ne los valores de

a. sec- I 1.5 b. csc- I (- 1.5)


a. sec- I(-3) b. csc- I 1.7

c. coC l 2

c. coC I (-2)

132. Trace la gráfica de la función racional y = (2 - x2)/x2 Luego trace

la gráfica y = cos(2 sec- I x) en la misma ventana de graficación.

¿Qué observa? Explique.

D En los ejercicios 127 a 129, determine el dominio y el rango de cada función compuesta. Luego trace la gráfica de las composiciones en pantallas separadas. En cada caso, ¿tienen sentido las gráficas? Explique. Comente cualquier diferencia que vea.

133. Trace la gráfica de J(x) = sen- I x junto con sus primeras dos derivadas. Comente sobre el comportamiento de J y la forma de su gráfica en relación con los signos y valores de J' y J".

134. Trace la gráfica de J(x) = tan- I x junto con sus primeras dos derivadas. Comente sobre el comportamiento de J y la forma de su gráfica en relac ión con los signos y valores de J' y J".

127. a. y = tan- I (tan x) b. y = tan (tan- I x)

128. a. y = sen- I (sen x) b. Y = sen (sen- I x)

7.7 Funciones hiperbóLicas

Las funciones hiperbólicas se forman por medio de combinaciones de dos funciones exponenciales eX y e-X Las funciones hiperbólicas simplifican muchas expresiones matemáticas y son importantes en aplicaciones matemáticas. En esta sección damos una breve introducción a las funciones hiperbólicas, sus gráficas y sus derivadas.

Definiciones e identidades

Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico se definen por las ecuaciones

¿ - e- x senhx = 2 y

¿ + e-x coshx = 2, .

Con base en este par básico, definimos las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas. Las ecuaciones que las definen y las gráficas de tales funciones se muestran en la tabla 7.5. Veremos que las funciones hiperbólicas cuentan con muchas similitudes con las funciones trigonométricas a partir de las cuales se nombran.

Las funciones hiperbólicas satisfacen las identidades de la tabla 7.6. Salvo por la diferencia de signo, ya conocíamos dichas identidades para funciones trigonométricas. Las identidades se demuestran directamente de las definiciones, como lo mostramos a continuación para la segunda:

(¿ - e-X) (¿ + e-X) 2 senh x cosh x = 2 2 2

Las otras identidades se obtienen de manera análoga, sustituyendo las definiciones de las funciones hiperbólicas y usando el álgebra. Al igual que muchas funciones estándar, las funciones hiperbólicas y sus inversas se evalúan con facilidad mediante las calculadoras, que con frecuencia tienen teclas especiales para ese propósito.


TABLA 7.6 Identidades parafunciones hiperbóLicas

cosh2x - senh2x = 1

senh 2x = 2 senh x cosh x

cosh 2x = coslr' X + senh/ x

h2 cosh 2x +cos x = 2

nh2 cosh 2x - 1se x = 2

tanlr' x = 1 - sech/ x

coth? x = 1 + csch/ X

7.7 Funciones hiperbólicas 417

TABLA 7.5 Las seis funciones hiperbóLicas básicas

y Yy=eoshx

(e)

Tangente hiperból.ica:

tanhx = senhx = ti' - e-xcoshx ti' + e-x

Cotangente hiperbólica:

cothx = coshx = ti' + e-xsenh x ti' - e-x

y= ~2

L-3 -2-1 r \ti :-x x

v_2 y=-T

-3

(a)

Seno hiperbólico:

ti' - e-xsenh x = --2--

(b)

Coseno hiperbólico:

ti' + e-xcosh x = --2--

TABLA 7.7 Derivadas de funcioneshiperbóLicas

d dudx (senh u) = cosh u dx

d ) dudx (cosh u = senh u dx

d 2 dudx (tanh u) = sech u dx

ddx (coth u)

ddx (sech u)

ddx (csch u)

2 du-csch u-dx

du-sech u tanh u dx

du-csch u coth u dx

y y

Para cualquier número real u, sabemos que el punto con coordenada (cos u, sen u) está enla circunferencia unitaria x2 + y2 = 1, por lo que las funciones trigonométricas se denominanfunciones circulares. Como consecuencia de la primera identidad

2

1

y = csch x

con u sustituida por x en la tabla 7.6, el punto que tiene coordenadas (cosh u, senh u) está en larama derecha de la hipérbola x2 - y2 = l. De aquí toman su nombre las funciones hiperbolicas(véase el ejercicio 86).

(e)(d)

Secante hiperbólica:

sech x = _1_ = __ 2__coshx ti' + e-x

Cosecante hiperbólica:

1 2csch x = -nb =-:::x--=;:se x .,-e'

Las seis funciones hiperbólicas, como son combinaciones racionales de las funciones deriva-bles eX y e-x, tienen derivadas en todos los puntos donde estén definidas (tabla 7.7). Nueva-mente, existen semejanzas con las funciones trigonométricas.

Las fórmulas de las derivadas se deducen de la derivada de e":

coslr' U - senh/ u = 1,

Derivadas e integrales de funciones hiperbólicas

d d (ell - e-U)dx (senh u) = dx 2

eU du/dx + e-u du/dx2

du= cosh u dx

Definición de senh u

Derivada de e"

Definición de eosh u.

TABLA 7.6 Identidades para funciones hiperbóLicas

cosh2 X - senh2 x = 1

senh 2x = 2 senh x cosh x

cosh 2x = cosh2 X + senh2 x

h2 cosh 2x + 'cos x = 2

h2 cosh 2x - 1 sen x = 2

tanh2 x = - sech2 x

coth2 x = 1 + csch2 X

TABLA 7.7 Derivadas de funciones hiperbóLicas

d du dx (senh u) = cosh u dx

d ) du dx (cosh u = senh u dx

d 2 du dx (tanh u) = sech u dx

d dx (coth u)

d dx (sech u)

d dx (csch u)

2 du -csch u dx

du -sech u tanh u dx

du -csch u coth u dx


TABLA 7.5 Las seis funciones hiperbóLicas básicas

y

(a)

Seno hiperbólico:

¿ - e- x senh x = - -2- -

y

2

y = sech x

(d)

Secante hiperbólica:

sech x = _ 1_ = _ _ 2 __ cosh x ¿ + e- x

yy=eoshx

(b)

Coseno hiperbólico:

¿ + e-x eosh x = --2- -

y

2

y = csch x

(e)

Cosecante hiperbólica:

1 2 esch x = - nh = ~

se x '" - e

(e)

Tangente hiperbólica:

tanhx = senhx = ¿ - e-x coshx ¿ + e- x

Cotangente hiperbólica:

cothx = coshx = ¿ + e- x senhx ¿ - e-x

Para cualquier número real u, sabemos que el punto con coordenada (cos u, sen u) está en la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1, por lo que las funciones trigonométricas se denominan funciones circulares. Como consecuencia de la primera identidad

cosh2 U - senh2 u = 1,

con u sustituida por x en la tabla 7.6, el punto que tiene coordenadas (cosh u, senh u) está en la rama derecha de la hipérbola x2 - y2 = l . De aquí toman su nombre las funciones hiperbólicas (véase el ejercicio 86).

Derivadas e integrales de funciones hiperbólicas Las seis funciones hiperbólicas, como son combinaciones racionales de las funciones derivables eX y e -x, tienen derivadas en todos los puntos donde estén definidas (tabla 7.7). Nuevamente, existen semejanzas con las funciones trigonométricas.

Las fórmulas de las derivadas se deducen de la derivada de e":

d d (eU - e-" )

dx (senh u) = dx 2

eU du/ dx + e-u du/ dx

2

du = cosh u dx

Definición de senh ti

Derivada de e"

Definic ión de eosh ti.



..,

..,'"~:"

TABLA 7.8 Fórmulas de integralespara funciones hiperbólicas

J senh u du = cosh u + e

J cosh u du = senh u + e

J sech? u du = tanh u + e

J csclr' u du = -coth u + e

J sech u tanh u du = -sech u + e

J csch u coth u du = -csch u + e

Esto proporciona la primera fórmula de derivada. A partir de la definición, calculamos la de-rivada de la función cosecante hiperbólica como sigue:

d d ( 1 )-(cschu) = - --dx dx senh u

Definición de csch u

Definiciones de csch u y coth u

Las otras fórmulas en la tabla 7.7 se obtienen de manera análoga.Las fórmulas de las derivadas conducen a las fórmulas de integral en la tabla 7.8.

u = senh 5x,du = 5 cosh 5x dx

cosh u du-----senh2 u dx

1 cosh u du--------senh u senh u dx

du= -csch u coth u dx

Regla del cociente

Reacomodar términos.

Tabla 7.6

Evalúe con unacalculadora

•

Las inversas de las seis funciones hiperbólicas básicas son muy útiles en integración (véase elcapítulo 8). Como d(senh x)jdx = cosh x> O, el seno hiperbólico es una función crecientede x. Denotamos su inversa por

Para todo valor de x en el intervalo -00 < x < 00, el valor de y = senh " x es el númerocuyo seno hiperbólico es x. Las gráficas de y = senh x y y = senh -1 x se muestran en la figura7.25a.

La función y = cosh x no es inyectiva porque su gráfica en la tabla 7.5 no pasa la pruebade la recta horizontal. Sin embargo, la función restringida y = cosh x, x 2: Oes inyectiva; por lotanto, tiene una inversa, denotada por

EJEMPLO 1

(a) :t (tanh Vl+7) = seclr' Vl+7. :t (Vl+7)

= ~ seclr' Vl+71 + ?

(b) J th 5 d = J cosh 5x dx = 1J duco x x senh 5x 5 u

1 1= "5 In I u I + e = "5 in I senh 5x I + e

(e) 11 nh2 d 11cosh 2x - 1 dse x x = 2 x

o o

= 1t (cosh2x _ l)dx = 1[senh2X _ x]lz]; 2 2 o

= senh 2 _ 1~O406724 2 .r: t'" i' -x t'"

(d) lo 4i' senhx dx = lo 4i' ~ e dx = lo (2e2X- 2) dx

= [e2x- 2xl~2 = (e21n2 - 21n2) - (1 - O)

= 4 - 21n 2 - 1 ~ 1.6137

Funciones hiperbólicas inversas

y = senh" x.

y = cosh" X.


TABLA 7.8 FórmuLas de integraLes para funciones hiperbóLicas

J senh u du = cosh u + e

J cosh u du = senh u + e

J sech2 u du = tanh u + e

J csch2 u du = -coth u + e

J sech u tanh u du = - sech u + e

J csch u coth u du = -csch u + e

Esto proporciona la primera fórmula de derivada. A partir de la definición, calculamos la derivada de la función cosecante hiperbólica como sigue:

d d ( 1 ) - (csch u) = - - -dx dx senh u

Definición de csch u

cosh u du Regla del cociente

senh2 u dx

cosh u du Reacomodar términos.

senh u senh u dx

du = -csch u coth u dx Definiciones de csch u y coth u

Las otras fórmulas en la tabla 7.7 se obtienen de manera análoga. Las fórmulas de las derivadas conducen a las fórmulas de integral en la tabla 7.8.

EJEMPLO 1

(a) :t (tanh Vl+t2) = sech2 Vl+t2. :t (Vl+t2)

= ~ sech2 Vl+t2 1 + ?

(b) J th 5 dx = J cosh 5x d = 1J du co x senh 5x x 5 u

1 1 = "5 In I u I + e = "5 In I senh 5x I + e

(e) 11 senh2 xdx = 11

COSh2; - 1 dx

= 1 { I (cosh2x _ 1) dx = 1 [senh2X _ x]1 2Jo 2 2 o

= senh 2 _ 1 ~ O 40672 4 2 .

f'o 2 f'o 2 ¿ -x f'o 2 (d) Jo 4¿ senhx dx = Jo 4¿ ~ e dx = Jo (2e

2x - 2) dx

= [e2x - 2xl~02 = (e2102 - 2ln2) - (1 - O)

= 4 - 2ln 2 - 1 ~ 1.6137

Funciones hiperbólicas inversas

u = senh 5x, du = 5 cosh 5x dx

Tabla 7.6

Evalúe con una calculadora

•

Las inversas de las seis funciones hiperbólicas básicas son muy útiles en integración (véase el capítulo 8). Como d(senh x)/ dx = cosh x> O, el seno hiperbólico es una función creciente de x. Denotamos su inversa por

y = senh- I x .

Para todo valor de x en el intervalo - 00 < x < 00, el valor de y = senh- I x es el número cuyo seno hiperbólico es x . Las gráficas de y = senh x y y = senh - 1 x se muestran en la figura 7.25a.

La función y = cosh x no es inyectiva porque su gráfica en la tabla 7.5 no pasa la prueba de la recta horizontal. Sin embargo, la función restringida y = cosh x, x ~ O es inyectiva; por lo tanto, tiene una inversa, denotada por

y = cosh- I x .



Para todo valor de x 2: 1, Y = cosh " x es el número en el intervalo O :S Y < 00, cuyo cosenohiperbólico es x. Las gráficas de y = cosh x, x 2: O Y Y = cosh " x se muestran en la figura7.25b.

y y = cosh x,y y = senhx y=x x"": O y=x y y=x

/ 8 / Y = sech " x // /

/ 7 /(x = sech y, /

/ / // Y = senh " x 6 / 3 /

/ / "": O) // (x = senh y) 5

/ // / /

/ 4/ 2 /

/ / //.

3/ /

/ /

X/ /

Y = sech x2 / /2 4 6 //

1 ./ x"": O/x

O 1 2 3 4 5 6 7 8 O 2 3I (b) (e)

I(a)

FIGURA 7.25 Gráficas de seno, coseno y secante hiperbólicos inversos de x, Observe las simetrías con respectoa la recta y = x.

Al igual que y = cosh x, la función y = sech x = 1/ cosh x no es inyectiva, pero su restric-ción a valores no negativos de x tiene una inversa, denotada por

y = sech " x.

Para cada valor de x en el intervalo (O, 1], Y = sech "! x es el número no negativo cuya secantehiperbólica es x. Las gráficas de y = sech x, x 2: O Y Y = sech -1 x se muestran en la figura7.25c.

La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios; porlo tanto, tienen inversas, denotadas por

y = tanh-1 x, y = coth " x, y = csch " X.

Estas funciones se grafican en la figura 7.26.

y y y1 1 1 lx =Itanhy 1 x = cothy 1 x = csch y

••y =:tanh-Ix

1 y = coth-1x y = cschlx11 11 11 11 1 1

X x

\X

-11 11 1O 111 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1

(a) (b) (e)

FIGURA 7.26 Gráficas de seno, coseno y secante hiperbólicos inversos de x. Observe las simetrías con

respecto a la recta y = x.TABLA 7.9 Identidades para lasfunciones hiperbólicas inversas

Identidades útilessech " x = cosh-11

x Las identidades de la tabla 7.9 las utilizamos para obtener con una calculádora los valores desech -1 x, csch -1 x y coth -1 x, que sólo dan cosh -1 x, senh -1 x y tanh -1 x. Tales identidades sonconsecuencia directa de las definiciones. Por ejemplo, si O < x :S 1, entoncescsch " X = senh-11

x

coth-1 x = tanh-11x



También sabemos que seclusech "! x) = x; como la secante hiperbólica es inyectiva en (O, 1],tenemos

cosh" (i) = sech? x.

Derivadas de funciones hiperbóLicas inversasLa mayor utilidad de las funciones hiperbólicas inversas está en la integración para revertir lasfórmulas de derivadas de la tabla 7.10.

Las restricciones I ti I < 1 y I ti I > 1 en las fórmulas de la derivada de tanh -1 u y coth -1 ti

provienen de las restricciones naturales en los valores de dichas funciones. (Véase las figuras7.26a y b). La distinción entre I ti I < 1 y Iu I > 1 se vuelve importante cuando convertimos lasfórmulas de derivadas en fórmulas de integrales.

En el ejemplo 2, ilustramos cómo se deducen las derivadas de las funciones hiperbóli-cas inversas, donde calculamos d(cosh-I u)/dx. Las otras derivadas se obtienen por medio decálculos similares.

.,

.,'"'C:

TABLA 7.10 Derivadas de Las funciones hiperbóLicas inversas

d(senh-I u) 1 dudx ~dx

d(cosh-I u) 1 duu > 1

dx ~dx,

d(tanh-I u) du lul < 1---- ,dx - u2 dx

d(coth-I u) du lul > 1----dx - u2 dx. '

d(sech-I u) 1 duO < u < 1dx u~dx'

d(csch-I u) 1 du u =f. Odx lul~dx.'

EJEMPLO 2 Demuestre que si u es una función derivable de x, cuyos valores son mayoresque 1, entonces

d ( _)) _ 1 du-d cosh u -, ~ d .

X vu2 - 1 x

Solución Primero determinamos la derivada de y = cosh " x para x> 1, para 10 cual apli-camos el teorema 1 con ¡(x) = cosh x y ¡-I(x) = cosh -1 x. Este teorema puede aplicarse, yaque la derivada de cosh x es positiva para x > O.

(rl),(x) = f'(f!1 (x))

1

Teorema 1

j'(u) = senh u'

\!cosh2(cosh 1 x) - 1

1

cosh? U - senh? u = 1,

senh u = Vcosh2U - 1

senh (cosh " x)

1

cosh(cosh-Ix) = X



Sonya Kovalevsky(1850-1891)

Ejerddos 7.7


La regla de la cadena produce el resultado final:

d ( h-I) _ 1 du-d cos u - , r=r:': -d .x V u2 - 1 x

Con sustituciones adecuadas, las fórmulas de las derivadas en la tabla 7.10 conducen a lasfórmulas de integración en la tabla 7.11. Cada una de las fórmulas en la tabla 7.11 puede veri-ficarse derivando la expresión del lado derecho.

•

TABLA 7.11 Integrales que conducen a funciones hiperbólicas inversas

J V du = senh " (*) + C,a2 + u2

a> O1.

J du = h-1 (lJ:) + CV cos a 'u2 - a2

2. u> a > O

3.

O<u<a4.

J du = _1 h-1!lJ:! + cV a ese a 'u a2 + u2

uo;éOya>O5.

EJEMPLO 3 Evalúe

Solución La integral indefinida es

J 2dx J duV3 + 4x2 - Va2 + u2

= senh -1 (*) + c

= senh" (~) + C.

u = 2x, du = 2 dx, a = v3

Fórmula de la tabla 7.11

Por lo tanto,

(1 2dx = senh " (~)]I = senh " (~) - senh " (O)lo V3 + 4~ V3 o V3

= senh " (~) - O ~ 0.98665. •

Valores e identidadesCada uno de los ejercicios I a 4 da un valor de senh x o cosh x. Utilice lasdefiniciones y la identidad cosh? x - senh? x = 1 para determinar los va-lores de las restantes cinco funciones hiperbólicas.

1. senhx = -¡ 42. senhx = "3

173. coshx = 15' x > O

134. cosh x = 5' x > O

Rescriba las expresiones en los ejercicios 5 a 10 en términos de exponen-ciales y simplifique los resultados tanto como sea posible.

5. 2 cosh (In x) 6. senh (2 In x)


Sonya Kovalevsky (1850- 1891)

Ejercidos 7.7

Valores e identidades


La regla de la cadena produce el resultado final:

d ( h-I ) _ 1 du -d cos u - , ¡;¡---: -d .

x V u2 - 1 x • Con sustituciones adecuadas, las fórmulas de las derivadas en la tabla 7.10 conducen a las

fórmulas de integración en la tabla 7.11. Cada una de las fórmulas en la tabla 7.11 puede verificarse derivando la expresión del lado derecho.

TABLA 7.11 Integrales que conducen a funciones hiperbólicas inversas

1. 1 V du = senh-I (*) + e, a > O a2 + u2

2. 1 du = h- I C~) + e u > a > O V cos a ' u2 - a2

J du { ,ltaoh-' (*) + e u2 < a2

3. a

2 - u

2 = 1zcoth- ' (*) + e, u2 > a2

4. 1 du = - 1z sech- I (*) + e, uV a2 - u2

O < u < a

5. 1 du = - 1zcsch- ' I*1 + e, uV a2 + u2

u;toOya>O

EJEMPLO 3 Evalúe

Solución La integral indefinida es

u = 2x, du = 2 dx, a = v3

Fórmula de la tabla 7.11

Por lo tanto,

(1 2 dx = senh-I (~)]I = senh- I (~) - senh-I (O) Jo V3 + 4~ v'3 o v'3

= senh- I (~) - O ~ 0.98665. •

17 13 Cada uno de los ejercicios 1 a 4 da un valor de senh x o cosh x. Utilice las definiciones y la identidad cosh2 x - senh2 x = 1 para determinar los valores de las restantes cinco funciones hiperbólicas.

3. coshx = 15' x > O 4. cosh x = 5 ' x > O

Rescriba las expresiones en los ejercicios 5 a 10 en términos de exponenciales y simplifique los resultados tanto como s(ja posible.

1. senhx = -¡ 4 2. senhx = "3 5. 2 cosh (In x) 6. senh (2 In x)



7. cosh 5x + senh 5x 8. cosh 3x - senh 3x

9. (senhx + COShX)4

10. In (coshx + senhx) + In (coshx - senhx)

11. Demuestre las identidades

senh (x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y,

cosh (x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y.

Luego utilícelas para demostrar que

a. senh 2x = 2 senh x cosh x.

b. cosh 2x = cosh/ X + senlr' x .

12. Utilice las definiciones de cosh x y senh x para demostrar que

cosh/ X - senlr' x = l.

Determinación de derivadasEn los ejercicios 13 a 24, determine la derivada de y con respecto a la va-riable apropiada.

114. Y = "2senh(2x + 1)

116. Y = Ptanht18. y = In (cosh z)

20. y = csch /:1(1 - In csch /:1)

122. Y = In senh v - "2 cotlr' v

13. Y = 6 senh ~

15. Y = 2Vttanh Vt

17. Y = In (senhz)

19. y = sech /:1(1 - In sech /:1)

21. Y = In cosh v - ± tanh? v

23. y = (x2 + l lsech Iln x)

(Sugerencia: Antes de derivar, exprese en términos de exponencialesy simplifique).

24. y = (4x2 - 1) csch (In 2x)

.,..,'",,:'1

En los ejercicios 25 a 36, determine la derivada de y con respecto a la va-riable apropiada.

25. y = senh" Vx27. Y = (J - /:1)tanh-I /:1

29. Y = (1 - t) coth " Vt

31. Y = cos " X - x sech " x

33. y = csch " GY35. Y = senh " (tan x)

36. y = cosh " (sec x), O < x < 7r/2

26. Y = cosh-12Vx+l

28. y = (/:12 + 2/:1)tanh-I (/:1+ 1)

30. Y = (1 - P) coth " t

32. Y = Inx + ~ sech " x

34. Y = csch-12e

Fórmulas de integraciónVerifique las fórmulas de integración en los ejercicios 37 a 40.

37. a. l sechx dx = tan"! (senh x) + e

b. l sechxdx = sen-I(tanhx) + e

38. Ix sech " xdx = ~sech-I x - ±~ + e

l -1 _.¿- - 1 -1 X e39. xcoth xdx = --2-coth x +"2 +

40. l tanh-I x dx = x tanh " x + ±ln(1 -~) + e

Evaluación de integralesEvalúe las integrales de los ejercicios del 41 a 60.

41. l senh2xdx 42. l senh~dx

43. l 6 cosh (~ - In 3) dx 44. l 4 cosh (3x - In 2) dx

45. l tanh ~ dx 46. l coth ~ d/:l

47. l sech? (x - ±) dx 48. l csch" (5 - x) dx

49. l sech Vt ~nh Vt dt SO.l csch (In t) ~oth (In t) dt

1'n4 ["251. cothx dx 52. o tanh 2x dxIn2

t: [n253. 2ee cosh /:1d/:l 54. o 4e -e senh /:1d/:l-ln4

ln

/

4 ln

/

2

SS. cosh (tan /:1)sec? /:1d/:l 56. ° 2 senh (sen /:1)cos /:1d/:l-n/412cosh (In t)

58. 148 cosh -r: dx57 . t dt

1 1 Vx

1° cosh/ (~) dx [n 10 ( )59. 60. ° 4 senh? ~ dx-ln2

Evaluación de funciones hiperbólicas inversas e integralesCuando en su calculadora no están disponibles las teclas de funciones hi-perbólicas, aún es posible evaluar las funciones hiperbólicas inversas, loque se logra expresándolas como logaritmos, tal como se muestra aquí.

-00 < x < 00senh " x = In (x + W+l),cosh " X = In (x + ~),

-1 _ 1 1 + xtanh x - "2ln~,

(I+~)sech -1 x = In x '

(1 ~)csch " x = In x + Ixl '

_1 _ 1 x + 1coth x - "2 In x - 1 '

X 2: 1

Ixl < 1

O<x,s

xoftO

[x] > 1

Utilice las fórmulas del cuadro anterior para expresar los números en losejercicios 61 a 66 en términos de logaritmos naturales.

61. senh " (-5/12) 62. cosh " (5/3)

63. tanh-1 (-1/2) 64. coth " (5/4)

65. sech " (3/5) 66. csch " (-I/V3)

Evalúe las integrales en los ejercicios 67 a 74 en términos de

a. funciones hiperbólicas inversas.

b. logaritmos naturales.


12V3d 11

/3

6 dx67.o Y4: x2

68.o ~

69. 12dx 11/2 dx

5/4 I - xZ70. -------;}

o 1-

13/13 d; 12d71.

1/5 xVI ~72.

I xV4x+ x2I6x2

73. 171" cos x dx le dO VI + serr' X

74.I xVI +X(lnxf


ApLicaciones y ejempLos75. Demuestre que si una función f está definida en un intervalo simé-

trico con respecto al origen (de manera que f está definida en -xsiempre que esté definida en x), entonces

80. Volumen La región encerrada por la curva y = sech x, el eje x y lasrectas x = ± In V3 se hace girar alrededor del eje x y genera unsólido. ¿Cuál es el volumen del sólido?

81. Longitud de arco Determine la longitud del segmento de la curvay = (1/2) cosh 2x desde x = O hasta x = In Vs.

82. Utilice las definiciones de las funciones hiperbólicas para determinarcada uno de los siguientes límites.

(a) lím tanhx (b) lím tanhxx--->OO x~-oo

(e) lím senhx (d) Iím senhxx--->oo x---+-oo

(e) lím sechx (f) lím coth xx---+oo x--->OO

(g) Iím cothx (h) lírn cothxx-o+ x---+O-

(i) lím cschxx---+-oo

83. Cables colgantes Imagine un cable, como los de teléfono o televi-sión, que está tendido entre dos postes y cuelga libremente. El pesodel cable por unidad de longitud es w, y la tensión horizontal en elpunto más bajo es un vector de longitud H. Si elegimos un sistemacoordenado para el plano del cable, en el cual el eje x es horizontal,la fuerza debida a la gravedad apunta hacia abajo, el extremo positivodel eje y apunta hacia arriba y el punto más abajo del cable se localizaen y = H/w sobre el eje y (véase la siguiente figura), entonces seráposible demostrar que la posición del cable coincide con la gráficadel coseno hiperbólico

f(x) + f( -x) f(x) - f( -x)f~)= 2 + 2 . (1)

y y = fi cosh ~xw H

76.

Ahora demuestre que (f(x) + f( -x»/2 es par y que(f(x) - f( -x»/2 es impar.

Deduzca la fórmula senh " x = In (x + W+i) para toda x real.Explique por qué al deducida se usa el signo más con la raíz cua-drada, en vez del signo menos.

Salto en caída libre Si un cuerpo de masa m que cae librementedesde el reposo encuentra una resistencia del aire proporcional alcuadrado de su velocidad, entonces su velocidad a t segundos decaída satisface la ecuación diferencial

A veces, una curva como ésta se designa curva de la cadena o cate-naria, término que proviene del latín catena, que significa cadena.

a. Sea P(x, y) un punto arbitrario sobre el cable. La siguiente figurailustra la tensión en P como un vector de longitud (magnitud) T,y la tensión H en el punto más bajo A. Demuestre que la pen-diente del cable en P es

dy wtan <p = dx = senh HX.

y = fi cosh ~xw Hy

-----+----------------~xO

77.

dv 2m-;¡¡ = mg - kv ,

donde k es una constante que depende de las propiedades aerodinámi-cas del cuerpo y de la densidad del aire. (Suponemos que la caída eslo suficientemente corta para que la variación de la densidad del aireno afecte el resultado de manera significativa).

a. Demuestre que

satisface la ecuación diferencial y la condición inicial de quev = O cuando t = O.

b. Calcule la velocidad límite del cuerpo, Iímt--->oov.

c. Para un paracaidista de 160 lb (mg = 160), el tiempo ensegundos y la distancia en ft, un valor común para k es 0.005.¿Cuál es la velocidad límite del paracaidista?

78. Aceleraciones de magnitud proporcional al desplazamientoSupongamos que, en el instante t, la posición de un móvil que sedesplaza sobre una recta coordenada es

a. s = a cos kt + b sen kt.

b. s = a cosh kt + b senh kt.

Demuestre que en ambos casos la aceleración d2s/dt2 es proporcio-nal a s, pero en el primero, el móvil se dirige hacia el origen, mientrasque en el segundo se aleja de él.

79. Volumen Una región del primer cuadrante está acotada arriba porla curva y = cosh x, abajo por la curva y = senh x, y por la izquierday la derecha por el eje y y la recta x = 2, respectivamente. Determineel volumen del sólido que esa región genera al girar sobre el eje x.



"

.,.,",'.

f' ~.!!..

b. Con el resultado del inciso (a) y si sabemos que la tensión en Pdebe ser igual a H (el cable no se mueve), demuestre que T = wy.Por lo tanto, la magnitud de la tensión en P(x, y) es exactamenteigual al peso de y unidades de cable.

(Continuación del ejercicio 83) La longitud del arco AP de la figuradel ejercicio 83 es s = (l/a) senh ax, donde a = w/ H. Demuestre quese pueden expresar las coordenadas de P en términos de s como

84.

x = ~senh-' as, y = )S2 + ~2'Área Demuestre que el área de la región en el primer cuadranteencerrada por la curva y = (l/a) cosh ax, los ejes coordenadas yla recta x = b es la misma que el área de un rectángulo de altura l/ay largo s, donde s es la longitud de la curva desde x = O hasta x = b.Elabore un dibujo que ilustre tal resultado.

Lo hiperbólico en las funciones hiperbólicas Al igual que x =cos u y y = sen u se han identificado con los puntos (x, y) en la cir-cunferencia unitaria, las funciones x = cosh u y y = senh u se iden-tifican con los puntos (x, y) en la rama derecha de la hipérbola uni-taria x2 - y2 = 1.

85.

86.

16014012010080604020

y

-----t--+---'t----"""* x

Ya que cosh/ u - senlr' u = 1, el punto(cosh u, senh u) se encuentra en la ramaderecha de la hipérbola x2 - 1 = lpara todo valor de u (ejercicio 86).

Otra analogía entre funciones hiperbólicas y funciones circu-lares es que la variable u en las coordenadas (cosh u, senh u) para lospuntos de la rama derecha de la hipérbola x2 - y2 = I es el doble delárea del sector AOP de la siguiente figura. Para saber por qué, sigaestos pasos.

a. Demuestre que el área A(u) del sector AOP es

1 (COSh uA(u) = "2cosh u senhu - J, -v?"-=l dx.

b. Derive ambos lados de la ecuación del inciso (a) con respecto a u,para demostrar que

A'(u) = ±.c. Despeje A(u) en esta última ecuación. ¿Cuál es el valor de A(O)?

¿Cuál es el valor de la constante de integración C en su solución?Una vez hallada C, ¿qué puede decir acerca de la relación entreu y A(u)?

y

y

x2+l=l P(cos u, sen u)

~P(cosh u, senh u)

:u es el doble del área, del sector AOP.

~O~-~~~---~x --t---~-7--~-~X

Una de las analogías entre las funciones hiperbólicas y circularesse muestra en estos dos diagramas (ejercicio 86).

7.8 Razones relativas de crecimiento

y

y = eX /

_~=d~~~~_~-L~_"""*xo 2 5 6 7

FIGURA 7.27 Gráficas de e" 2x y x2

En matemáticas, ciencias de la computación e ingeniería con frecuencia es importante com-parar las razones a las cuales las funciones de x se incrementan conforme x aumenta. Lasfunciones exponenciales son importantes en estas comparaciones en virtud de su muy rápidocrecimiento, mientras que las funciones logarítmicas lo son debido a su muy lento crecimiento.En esta sección introducimos la notación o pequeña y o grande para describir los resultadosde tales comparaciones. Restringimos nuestra atención a funciones cuyos valores, con el tiem-po, son positivos y así permanecen cuando x ~ 00 .

Tasas de crecimiento de funciones

Quizá notó que las funciones exponenciales como 2x y eX parecen crecer más rápido que lasfunciones polinomiales y racionales, cuando x toma valores grandes. En realidad, dichas expo-nenciales crecen más rápidamente que x misma y usted puede ver que 2x sobrepasa por muchoa x2 cuando x aumenta en la figura 7.27. De hecho, cuando x ~ 00, las funciones 2x y eX cre-cen más rápido que cualquier potencia de x, incluso que x ',000,000 (ejercicio 19). En cambio, lasfunciones logarítmicas como y = log, X YY = In x crecen más lentamente cuando x ~ 00 quecualquier potencia positiva de x (ejercicio 21).

Para ver qué tan rápido crecen los valores de y = eX cuando x aumenta, piense en graficarla función en un enorme pizarrón, con los ejes marcados en centímetros. En x = 1 cm, la grá-


b. Con el resultado del inciso (a) y si sabemos que la tensión en P debe ser igual a H (el cable no se mueve), demuestre que T = wy. Por lo tanto, la magnitud de la tensión en P(x, y) es exactamente igual al peso de y unidades de cable.

84. (Continuación del ejercicio 83) La longitud del arco AP de la figura del ejercicio 83 es s = ( l / a) senh ax, donde a = w / H. Demuestre que se pueden expresar las coordenadas de P en términos de s como

Otra analogía entre funciones hiperbólicas y funciones circulares es que la variable u en las coordenadas (cosh u, senh u) para los puntos de la rama derecha de la hipérbola x 2 - y2 = 1 es el doble del área del sector AOP de la siguiente figura. Para saber por qué, siga estos pasos.

a. Demuestre que el área A(u) del sector AOP es

1 ( COSh u

x = ~ senh- I as, y = )S2 + ~2 ' A(u) = "2 cosh usenh u - JI ~ dx .

85. Área Demuestre que el área de la región en el primer cuadrante encerrada por la curva y = (l / a) cosh ax, los ejes coordenados y la recta x = b es la misma que el área de un rectángulo de altura l /a y largo s, donde s es la longitud de la curva desde x = O hasta x = b. Elabore un dibujo que ilustre tal resultado.

b. Derive ambos lados de la ecuación del inciso (a) con respecto a u, para demostrar que

A'(u ) = ±. c. Despeje A(u) en esta última ecuación. ¿Cuál es el valor de A(O)?

¿Cuál es el valor de la constante de integración C en su solución? Una vez hallada C, ¿qué puede decir acerca de la relación entre

86. Lo hiperbólico en las funciones hiperbólicas Al igual que x =

cos u y y = sen u se han identificado con los puntos (x, y) en la circunferencia unitaria, las funciones x = cosh u y y = senh u se identif ican con los puntos (x, y ) en la rama derecha de la hipérbola unitaria X2 - y2 = l. y

u y A(u)?

y

160

140

120

100

80

60

40

20

7.8

FIGURA 7.27

y y

P(cos u, sen u)

P(cosh u, senh u) ~ -----I--+---'I------~ x

: u es el doble del área I del sector AO?

~O~-~~~---~ x -+---~-T-~~-~ X

Ya que cosh2 u - senh2 u = 1, el punto

(cosh u, senh u) se encuentra en la rama derecha de la hipérbola x2 - l = 1

para todo valor de u (ejercicio 86). Una de las analogías entre las funciones hiperbólicas y circulares

se muestra en estos dos diagramas (ejercicio 86).

Razones relativas de crecimiento

Gráficas de e" 2x y x2

En matemáticas, ciencias de la computación e ingeniería con frecuencia es importante comparar las razones a las cuales las funciones de x se incrementan conforme x aumenta. Las funciones exponenciales son importantes en estas comparaciones en virtud de su muy rápido crecimiento, mientras que las funciones logarítmicas lo son debido a su muy lento crecimiento. En esta sección introducimos la notación o pequeña y o grande para describir los resultados de tales comparaciones. Restringimos nuestra atención a funciones cuyos valores, con el tiempo, son positivos y así permanecen cuando x - 00 .

Tasas de crecimiento de funciones

Quizá notó que las funciones exponenciales como 2x y eX parecen crecer más rápido que las funciones polinomiales y racionales, cuando x toma valores grandes. En realidad, dichas exponenciales crecen más rápidamente que x misma y usted puede ver que 2x sobrepasa por mucho a x2 cuando x aumenta en la figura 7.27. De hecho, cuando x - 00, las funciones 2x y eX crecen más rápido que cualquier potencia de x, incluso que x 1,000,000 (ejercicio 19). En cambio, las funciones logarítmicas como y = log2 X Y Y = In x crecen más lentamente cuando x - 00 que cualquier potencia positiva de x (ejercicio 21).

Para ver qué tan rápido crecen los valores de y = eX cuando x aumenta, piense en graficar la función en un enorme pizarrón, con los ejes marcados en centímetros. En x = 1 cm, la grá-


y

y = e'70

60

50

40

30

20

10Y = Inx

xO 10 20 30 40 50 60

7.8 Razones relativas de crecimiento 425

fica está e 1 ~ 3 cm por arriba del eje x. En x = 6 cm, la gráfica se encuentra a e6 ~ 403 cm ~4 m de altura (está casi saliendo por el techo, si no es que ya salió). En x = 10 cm, la grá-fica está e 10 ~ 22,026 cm ~ 220 m de altura, más alta que la mayoría de los edificios. Enx = 24 cm, la gráfica está a más de la mitad de la distancia a la Luna y en x = 43 cm del ori-gen, la gráfica tiene una altura suficiente para llegar a la estrella vecina más cercana al Sol,la estrella enana roja Próxima Centauri. En contraste, con los ejes marcados en centímetros,usted debería alejarse casi 5 años luz a lo largo del eje x para encontrar un punto donde la grá-fica de y = In x tenga una altura de y = 43 cm. Observe la figura 7.28.

Estas comparaciones importantes de las funciones exponencial, polinomial y logarítrnicapueden hacerse con precisión definiendo lo que significa para una función f(x) crecer másrápido que otra función g(x) cuando x ----;.00 .

DEFINICIÓN Tasas de crecimiento cuando x ~ 00

Sean f(x) y g(x) positivas para x suficientemente grande.

1. f crece más rápido que g cuando x ----;.00 siFIGURA7.28 Dibujo a escala de lasgráficas de e' y In x.

lím f(x) = 00x->OO g(x)

o, de forma equivalente, si

lím g(x) = O.x->OO f(x)

También decimos que g crece más lentamente que f cuando x ----;.00 .

2. f y g crecen a la misma tasa cuando x ----;.00 si

lím f(x) = Lx->OO g(x)

donde L es finita y positiva.

De acuerdo con tales definiciones, y = 2x no crece más rápido que y = x. Las dos funcio-nes crecen a la misma tasa, ya que

lím ~ = lím 2 = 2,x~oo x~oo

que es un límite finito y positivo. La razón para esta aparente contradicción con el sentido co-mún es que necesitamos que el significado de "f crece más rápido que g" sea que para valoresgrandes de x, g sea despreciable cuando se compara con f.

EJEMPLO 1 A continuación comparamos las tasas de crecimiento de varias funciones co-munes.

(a) eX crece más rápido que x2 cuando x ----;.00 ya que

lím ¿ =x->OO x2~

00/00

lím ¿ = lím ¿ = 00x->OO 2x x->OO 2

00/00

Al aplicar dos veces la regla de Ul lópital

(b) 3x crece más rápido que 2x cuando x ----;.00 ya que

,3X , (3)X11m 2x = 11m -2 00x~oo x~oo


••

(f) En contraste con las funciones exponenciales, las funciones logarítrnicas con bases dife-rentes a > b Y b > a siempre crecen a la misma tasa cuando x ~ 00 :

log, x In x/In a In blím -- = lím ---

x--->OO log, X x--->oo In x/In b In a .

Esta razón límite siempre es finita y nunca es cero. •


(e) x2 crece más rápido que In x cuando x ~ 00 ya que

lím L = lím ~ = lím a2 = oo .x--->oo In X x--->OO l/x x--->OO

In x crece más lentamente que x cuando x ~ 00 para cualquier entero positivo n, ya que

Regla de VHópital

(d)

1, Inx u l/x1m-= un

x--->OO xl/n X--->CXl O/n) x(l/n)-¡ Regla de L'Hópital

= lím -T/ = O.X~CX) X n

n es constante.

(e) Como sugiere el inciso (b), las funciones exponenciales con bases diferentes nunca crecena la misma tasa cuando x ~ oo . Si a > b > O, entonces aX crece más rápido que b=.Ya que (a/b) > 1,

1, ¿ u (a)Xun LX = trn -b 00X~OO u x-+oo

Si f crece a la misma tasa que g cuando x ~ 00 , y g crece a la misma tasa que h cuandox ~ 00 , entonces f crece a la misma tasa que h cuando x ~ 00 . La razón es que

lím _gf = LIx--->OO

y lím fh= L2

x--->OO

implican

l' f l' f g L Lun -h = im -g • -h = ¡ 2·x-+oo x~oo

Si LI y L2 son finitos y distintos de cero, entonces también 10 es L¡L2.

EJEMPLO 2 Demuestre que ~ y (2Vx - l? crecen a la misma tasa cuandox~OO.

SoLución Mostramos que las funciones crecen a la misma tasa al demostrar que ambas cre-cen a la misma tasa que la funciónf(x) = x:

u ~ l' H+5 1un x = im 2 = ,X~OO x-+oo X

(2Vx - 1)2lím

x-+oo xlím (2Vx - 1)2

x-+OO Vx lím (2 __ 1 )2 = 4.x-+OO Vx •

Orden y notación O

DEFINICIÓN Una función f es de orden más pequeño que g cuando x ~ 00 si

lí f(x) O El' di ibi d f (g) ("f - d ")1m -- = . sto o m Icamos escn len o = o es o pequena e g .x--->OO g(x)

La notación "o pequeña" y "O grande", inventada por varios teóricos hace un siglo, ahora es deuso común en análisis matemático y ciencias de la computación.


(e) X2 crece más rápido que In x cuando x ----'> 00 ya que

lím L = lím ~ = lím aZ = OO . x->(XJ In x x-->OO l / x x-->OO

Regla de [;Hópital

(d) In x crece más lentamente que x cuando x ----'> 00 para cualquier entero positivo n, ya que

1, In x l' l / x 1m -= 1m

X--> CXl xl /11 X--> CXl O/n) x(l/n) - l Regla de [;Hópita l

= lím TI = O. X~OO X n

n es constante.

(e) Como sugiere el inciso (b), las funciones exponenciales con bases diferentes nunca crecen a la misma tasa cuando x ----'> oo. Si a > b > O, entonces a X crece más rápido que bX

•

Ya que (a / b) > 1,

1, « l ' (a)X 1m LX = 1m -b 00 X~OO u X~OO

(f) En contraste con las funciones exponenciales, las funciones logarítmicas con bases diferentes a > b y b > a siempre crecen a la misma tasa cuando x ----'> 00 :

loga x In x/ In a lím -- = lím ---

x--> CXl 10gb X X--> CXl In x/In b

Esta razón límite siempre es finita y nunca es cero.

In b In a'

• Si f crece a la misma tasa que g cuando x ----'> 00 , y g crece a la misma tasa que h cuando

x ----'> 00 , entonces f crece a la misma tasa que h cuando x ----'> 00 . La razón es que

lím _gf = LI x --> oo

y lím fh

= L2 x--> OO

implican

1, f l ' f g L L 1m -h = 1m -g • -h = l 2 · x~oo x ---+OO

Si LI y L2 son finitos y distintos de cero, entonces también lo es LIL2.

EJEMPLO 2 Demuestre que ~ y (2Vx - 1)2 crecen a la misma tasa cuando x----'> oo .

SoLución Mostramos que las funciones crecen a la misma tasa al demostrar que ambas cre-cen a la misma tasa que la funciónf(x) = x:

1, ~ 1,8+5 1 1m x = 1m :2 = , x---+ OO x ---+ oo X

(2Vx - 1)2 lím -'-- ..,.,x,----'

x---+ oo

Orden y notación O

lím (2Vx - 1)2 x---+ OO Vx

lím (2 __ 1 )2 = 4 . x - H)O Vx •

La notación "o pequeña" y "O grande", inventada por varios teóricos hace un siglo, ahora es de uso común en análisis matemático y ciencias de la computación.

DEFINICIÓN Una función f es de orden más pequeño que g cuando x ----'> 00 si

1, f(x ) O E l' d ' 'b' d f ( ) (" f - d ") un - - = . sto o m lcamos escn len o = o g es o pequena e g . X-->CXl g(x)



Observe que decir f = o(g) cuando x ~ 00 es otra forma de indicar que f crece más lenta-mente que g cuando x ~ 00 .

EJEMPLO 3 A continuación utilizamos la notación o pequeña.

(a) Inx = o(x) cuando x ~ 00 ya que lím Inx = OX~OO x

(b) ~ = o(x3 + 1) cuando x ~ 00 ya que lím ~ = Ox-->oo x + 1 •

f(x)g(x) ::; M,

DEFINICIÓN Sean f(x) y g(x) positivas para x suficientemente grande. Entoncesfes a lo sumo del mismo orden que g cuando x ~ 00 si existe un entero positivo Mpara el que

para x suficientemente grande. Esto lo indicamos escribiendo f = O(g) ("f es Ogrande de g").

EJEMPLO 4 A continuación utilizamos la notación O grande.

(a) x + senx = O(x) as x ~ 00x + senx .ya que x ::; 2 para x suficientemente grande.

(b) e' + x2 = Oe€!) cuando x ~ 00€!+~

ya que --€!-.- ~ 1 cuando x ~ 00 .

(e) x = O(e'<) cuando x ~ 00 ya que ~ ~ O como x ~ 00 •€!Si analiza de nuevo la definición, verá que f = o(g) implica f = O(g) para funciones que sonpositivas para x suficientemente grande. Además, si f y g crecen a la misma tasa, entoncesf= O(g) y g = 0(/) (ejercicio 11).

Búsqueda secuencial en comparación con búsqueda binariaCon frecuencia en ciencias de la computación la eficiencia de un algoritmo se mide contandoel número de pasos que requiere una computadora para ejecutar el algoritmo. Puede haberdiferencias significativas en la forma como algoritmos diseñados de manera eficiente realizanla misma tarea. Tales diferencias a menudo se describen en notación O grande. A continuacióndamos un ejemplo.

El International Dictionary de Webster lista alrededor de 26,000 palabras que empiezancon la letra a. Una manera de buscar una palabra, o saber si no se encuentra en el diccionario,es recorrer la lista leyendo una palabra a la vez hasta que se encuentre la palabra o se determineque no está. Este método, denominado búsqueda secuencial, no aprovecha el hecho de quelas palabras estén ordenadas alfabéticamente. Usted está seguro de obtener una respuesta, peropodría tomarle 26,000 pasos.

Otra manera de encontrar la palabra o saber que no está es ir directamente a la mitad de lalista (palabras antes o palabras después). Si no está la palabra, entonces habrá que ir a la mitadde la parte que la puede contener y olvidarse de la otra parte que no la tiene. (Usted sabe quémitad la puede tener, ya que sabe que la lista está en orden alfabético). Este método, deno-minado búsqueda binaria, elimina aproximadamente 13,000 palabras en un solo paso. Si noencuentra la palabra en el segundo intento, entonces pase a la mitad de la parte que la puedecontener. Continúe de esta forma hasta que encuentre la palabra o divida la lista en mitades tan-tas veces que no queden palabras por revisar. ¿Cuántas veces tiene que dividir la lista para en-contrar la palabra o saber que no se encuentra? A lo sumo 15, ya que

(26,000/215) < 1.

Esto, desde luego, es mucho mejor que los posibles 26,000 pasos.


Observe que decir f = o(g) cuando x ~ 00 es otra forma de indicar que f crece más lentamente que g cuando x ~ 00 .

EJEMPLO 3 A continuación utilizamos la notación o pequeña.

(a) Inx = o(x) cuando x ~ 00 ya que lím Inx = O X"""" OO x

(b) J? = o(x3 + 1) cuando x ~ 00 ya que lírn ~ = O x-->oo x + 1

DEFINICIÓN Sean f(x) y g(x) positivas para x suficientemente grande. Entoncesf es a lo sumo del mismo orden que g cuando x ~ 00 si existe un entero positivo M para el que

f(x) g(x) ::; M,

para x suficientemente grande. Esto lo indicamos escribiendo f = O(g) ("f es O grande de g" ).

EJEMPLO 4 A continuación utilizamos la notación O grande.

(a) x + senx = O(x) asx~ 00 x + senx .

ya que x ::; 2 para x suficientemente grande.

(b) e" + x2 = OC e") cuando x ~ 00 e"+J?

ya que - -e"-' - ~ 1 cuando x ~ 00 .

•

(e) x = O(e' ) cuando x ~ 00 ya que ~ ~ O como x ~ 00 • e"

Si analiza de nuevo la definición, verá que f = o(g) implica f = O(g) para funciones que son positivas para x suficientemente grande. Además, si f y g crecen a la misma tasa, entonces f= O(g) y g = 0(/) (ejercicio 11).

Búsqueda secuencial en comparación con búsqueda binaria

Con frecuencia en ciencias de la computación la eficiencia de un algoritmo se mide contando el número de pasos que requiere una computadora para ejecutar el algoritmo. Puede haber diferencias significativas en la forma como algoritmos diseñados de manera eficiente realizan la misma tarea. Tales diferencias a menudo se describen en notación O grande. A continuación damos un ejemplo.

El lnternational Dictionary de Webster lista alrededor de 26,000 palabras que empiezan con la letra a. Una manera de buscar una palabra, o saber si no se encuentra en el diccionario, es recorrer la lista leyendo una palabra a la vez hasta que se encuentre la palabra o se determine que no está. Este método, denominado búsqueda secuencial, no aprovecha el hecho de que las palabras estén ordenadas alfabéticamente. Usted está seguro de obtener una respuesta, pero podría tomarle 26,000 pasos.

Otra manera de encontrar la palabra o saber que no está es ir directamente a la mitad de la lista (palabras antes o palabras después). Si no está la palabra, entonces habrá que ir a la mitad de la parte que la puede contener y olvidarse de la otra parte que no la tiene. (Usted sabe qué mitad la puede tener, ya que sabe que la lista está en orden alfabético). Este método, denominado búsqueda binaria, elimina aproximadamente 13 ,000 palabras en un solo paso. Si no encuentra la palabra en el segundo intento, entonces pase a la mitad de la parte que la puede contener. Continúe de esta forma hasta que encuentre la palabra o divida la lista en mitades tantas veces que no queden palabras por revisar. ¿Cuántas veces tiene que dividir la lista para encontrar la palabra o saber que no se encuentra? A lo sumo 15, ya que

(26,000/ 215) < 1.

Esto, desde luego, es mucho mejor que los posibles 26,000 pasos.



Para una lista de longitud n, un algoritmo de búsqueda secuencial tarda del orden de npasos para encontrar una palabra o determinar que no se encuentra en la lista. Una búsqueda bi-naria, como se conoce el segundo método, tarda del orden de log, n pasos. La razón es que si2m-1 < n :S 2m, entonces m - 1 < log, n :S m>, el número de bisecciones requeridas para re-ducir la lista a una palabra será a lo sumo m = IIog2 n 1 , la función entera techo para log, n.

La notación O grande representa una manera compacta de decir esto. El número de pasosen una búsqueda secuencial en una lista ordenada es O(n); el número de pasos en una búsquedabinaria es O(lOg2n). En nuestro ejemplo, hay una gran diferencia entre las dos (26,000 VS. 15);la diferencia sólo puede aumentar con n, ya que n crece más rápido que log, n cuando n --'; co.

Ejercicios 7.8

Comparaciones con la exponencial eX1. Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente que e"

cuando i' como x -'> oo? ¿Cuáles crecen a la misma razón que e"?¿Cuáles crecen más lentamente?

.'a. x - 3 b. x3 + serr' x

c. -r: d.4x

e. (3/2Y f. e'/2

g. e'/2 h. loglOx

•••...,-e. 2. Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente que e"cuando i' como x -'> oo? ¿Cuáles crecen a la misma razón que e"?¿Cuáles crecen más lentamente?

a. IOx4 + 30x +c. v'l+7

"b. xlnx - x

d. (5/2)-'

f. xe'h. i'-l

Comparaciones con la potencia x2

3. ¿Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente quex2 como x -'> CXl? ¿Cuáles crecen a la misma razón que x2? ¿Cuálescrecen más lentamente?

a. x2 + 4x b.X5-x2

C. Vx4 + x3 d. (x + 3)2

e. x lnx f. 2x

g. x3e-x h. 8x2

4. ¿Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente quex2 cuando x -'> CXl? ¿Cuáles crecen a la misma razón que x2? ¿Cuálescrecen más lentamente?

a. x2 + Vx

c. x2e-x

e. x3 - ~

g. (1.1Y

b. IOx2

d. 10glO (~)

f. 0/10)-'

h. ~ + 100x

Comparaciones con ellogaritmo ln x5. Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente que In x

cuando x -'> CXl? ¿Cuáles crecen a la misma razón que In x? ¿Cuálescrecen más lentamente?

a. log- x b. In 2x

c. InVx d. Vx

e. x f. 5lnx

g. l/x h. i'

6. ¿Cuáles de las siguientes funciones crecen más rápidamente que In xcuando x -'> oo? ¿Cuáles crecen a la misma razón que In x? ¿Cuálescrecen más lentamente?

a. log- (~) b. log.¿ lOx

C. I/Vx d. I/~

e. x - 21nx f -x. e

g. In (In x) h. In (2x + 5)

Clasificación de funciones según la razón de crecimiento

7. Ordene las siguientes funciones, de la más lenta a la más rápida, conbase en su crecimiento cuando x -'> 00 .

a. i'c. (ln x)"

b. x"'

d. i'/2

8. Ordene las siguientes funciones, de la más lenta a la más rápida, conbase en su crecimiento, cuando x -'> 00 .

a. 2x b. x2

c. (In 2)-' d. e'

o grande y o pequeña; orden9. ¿Es cierto o falso? Cuando x -'> CXl,

a. x = o(x)

c. x = O(x + 5)

e. i' = o( e2x)

g. lnx = o(ln 2x)

10. ¿Es cierto o falso? Cuando x -'> CXl,

a. x! 3 = O(~)

b. x = o(x + 5)

d. x = 0(2x)

f. x + lnx = O(x)

h. W+5 = O(x)

d. 2 + cosx = 0(2)

e. e' + x = O(e')

g. In (ln x) = O(lnx)

f. xlnx = o(~)

h. ln(x) = o(ln (x2 + 1»

11. Demuestre que si las funciones positivas f(x) y g(x) crecen a lamisma razón cuando x -'> 00 , entonces f = O(g) y g = O(f).

¿En qué caso el polinomio f(x) es de orden menor que el polinomiog(x) cuando x -'> CXl? Justifique su respuesta.

¿En qué caso el polinomio f(x) es a lo sumo del orden del polinomiog(x) cuando x -'> CXl?Justifique su respuesta.

12.

13.


14. ¿Qué revelan nuestras conclusiones de la sección 2.4, sobre loslímites de funciones racionales, acerca del crecimiento relativo depolinomios cuando x ~ oo?

Otras comparacionesO 15. Investigue

In (x + 1)lím----:---

x--->OO Inx yIn (x + 999)

lím .x--->OO Inx

Capítulo 7 Preguntas de repaso 429

Después, utilice la regla de L'Hópital para explicar lo que encontró.

16. (Continuación del ejercicio 15). Demuestre que el valor de

In(x+a)lím

x--->OO lnx

es el mismo, sin importar el valor que se asigne a la constante a. ¿Quérevela esto sobre las razones relativas a las que crecen las funcionesf(x) = In(x + a) y g(x) = Inx?

17. Demuestre que ~ y Vx+l crecen a la misma razóncuando x -> 00; para ello, compruebe que ambas crecen a la mismarazón que Vx cuando x -> 00 .

18. Demuestre que Vx4 + X Y Vx4 - ~ crecen a la misma razóncuando x -> 00 ; para ello, compruebe que ambas crecen a la mismarazón que x2 cuando x -> 00 .

19. Demuestre que e' crece más rápidamente cuando x -> 00, que XII paracualquier entero positivo n, incluso xl,DDD,DDO(Sugerencia: Pregúntesecuál es la n-ésima derivada de x").

20. La función eX sobrepasa a cualquier polinomio. Demuestre queeX crece más rápidamente, cuando x ~ 00, que cualquier polinomio

Xl/I,DDD,DDD> lnx. Podría iniciar si observa que cuando x> I laecuación In x = xl/I,DDD.DDDes equivalente a In(ln x) = (In x)/1,000,000.

O c. Incluso XI/lO tarda mucho en sobrepasar a In x. Experimente conla calculadora para hallar el valor de x donde las gráficas de XI/lO

y In x se cruzan, es decir, donde In x = lO In (In x). Trate delocalizar el punto de intersección entre las potencias de 10 Yafine cada vez más el resultado mediante particiones sucesivasen mitades.

O d. (Continuación del inciso e). El valor de x donde In x = 10 In(ln x)es demasiado lejano para que lo identifiquen algunas graficado-ras y programas para calcular raíces. lnténtelo con el equipodisponible y observe los resultados.

22. La función In x crece más lentamente que cualquier polinomio.Demuestre que In x crece más lentamente cuando x -> 00, quecualquier polinomio no constante.

Algoritmos y búsquedas23. a. Suponga que tiene tres algoritrnos diferentes para resolver un

mismo problema y el número de pasos que requiere cada uno esdel orden de alguna de estas funciones:

n log, n, n3/2, n(log2 n)2.

¿Cuál de los algoritmo s es más eficiente? Justifique su respuesta.

O b. Trace juntas las funciones del inciso a) para apreciar con cuántarapidez crece cada una.

24. Repita el ejercicio 23 con estas funciones:

n, Vn log, n, (log, n)2.

O 25. Suponga que busca un elemento en una lista ordenada de un millónde ellos. ¿Cuántos pasos podría requerir para localizarlo en unabúsqueda secuencial? ¿Y en una binaria?

O 26. Si busca un elemento en una lista ordenada de 450,000 elementos(que es la extensión del Webster' s Third New International Dictio-l1ary), ¿cuántos pasos podría requerir para localizarlo en unabúsqueda secuencial? ¿Y en una binaria?

21. a. Demuestre que In x crece más lentamente, cuando x -> 00, queXl/II para cualquier entero positivo 11, incluso Xl/I,DDD,DDD.

O b. Aun cuando los valores de Xl/I,DDD,DDDsobrepasan finalmentea los de In x, hay que avanzar mucho en el eje x antes de queeso ocurra. Determine un valor de x, mayor que 1, para el cual

7. ¿Qué integrales conducen a logaritmos? Dé ejemplos. ¿Cuáles son lasintegrales de tan x y cot x?

8. ¿Cómo se define la función exponencial eX? ¿Cuáles son su domi-nio, rango y derivada? ¿Qué leyes de exponentes cumple? Comentecon respecto a su gráfica.

9. ¿Cómo se definen las funciones aX y log, x? ¿Existen restriccionessobre a? ¿Cómo está relacionada la gráfica de log, x con la de In x?¿Es verdadera la afirmación de que en realidad sólo existen una fun-ción exponencial y una función logaritmo?

10. ¿Cómo resuelve ecuaciones diferenciales separables de primer orden?

11. ¿Cuál es la ley de cambio de exponenciales? ¿Cómo puede deducirsecon base en un problema de valor inicial? ¿Cuáles son algunas de lasaplicaciones de esta ley?

12. Describa la regla de UHópital. ¿Cómo sabe cuándo utilizar la regla ycuándo detenerse? Dé un ejemplo.

Capitulo Preguntas de repaso

1. ¿Cuáles funciones tienen inversas? ¿Cómo sabe si dos funciones, fy g, son inversas una de la otra? Dé ejemplos de funciones que sean(o no sean) inversas una de la otra.

2. ¿Cómo están relacionados los dominios, los rangos y las gráficas defunciones y sus inversas? Dé un ejemplo.

3. ¿Cómo puede expresar en ocasiones la inversa de una función de xcomo una función de x?

4. ¿En qué circunstancias puede asegurar que la inversa de una funciónfes derivable? ¿Cómo están relacionadas las derivadas de f y f-I?

5. ¿Qué es la función logaritmo natural? ¿Cuáles son su dominio, rangoy derivada? ¿Qué propiedades aritméticas tiene? Comente acerca desu gráfica.

6. ¿Qué es la derivación logarítmica? Dé un ejemplo.

14. ¿Qué revelan nuestras conclusiones de la sección 2.4, sobre los límites de funciones racionales, acerca del crecimiento relativo de polinomios cuando x --> oo?

Otras comparaciones O 15. Investigue

lím In (x + 1)

X~OO Inx y

In (x + 999) lím .

x---> OO Inx

Después, utilice la regla de I:Hópital para explicar lo que encontró.

16. (Continuación del ejercicio 15). Demuestre que el valor de

In (x + a) lím ------'-

x---> OO In x

es el mismo, sin importar el valor que se asigne a la constante a. ¿Qué revela esto sobre las razones relativas a las que crecen las funciones !~,) = In(x + a) y g(x) = In x?

17. Demuestre que ~ y Vx+l crecen a la misma razón cuando x --> 00; para ello, compruebe que ambas crecen a la misma razón que Vx cuando x --> 00 .

18. Demuestre que ~ y Vx4 - Xl crecen a la misma razón

cuando x --> 00 ; para ello, compruebe que ambas crecen a la misma razón que x2 cuando x --> 00 .

19. Demuestre que e' crece más rápidamente cuando x --> 00, que x" para cualquier entero positivo n, incluso xl ,ooo,ooo (Sugerencia: Pregúntese cuál es la n-ésima derivada de XII).

20. La función eX sobrepasa a cualquier polinomio. Demuestre que eX crece más rápidamente, cuando x --> 00, que cualquier polinomio

21. a. Demuestre que In x crece más lentamente, cuando x --> 00, que Xl / II para cualquier entero positivo n, incluso XI / I,OOO,ooo.

O b. Aun cuando los valores de XI / I,OOO,ooo sobrepasan finalmente a los de In x, hay que avanzar mucho en el eje x antes de que eso ocurra. Determine un valor de x, mayor que 1, para el cual

Capitulo Preguntas de repaso

1. ¿Cuáles funciones tienen inversas? ¿Cómo sabe si dos funciones,! y g, son inversas una de la otra? Dé ejemplos de funciones que sean (o no sean) inversas una de la otra.

2. ¿Cómo están relacionados los dominios, los rangos y las gráficas de funciones y sus inversas? Dé un ejemplo.

3. ¿Cómo puede expresar en ocasiones la inversa de una función de x como una función de x?

4. ¿En qué circunstancias puede asegurar que la inversa de una función! es derivable? ¿Cómo están relacionadas las derivadas de! y!- l?

5. ¿Qué es la función logaritmo natural? ¿Cuáles son su dominio, rango y derivada? ¿Qué propiedades aritméticas tiene? Comente acerca de

su gráfica.

6. ¿Qué es la derivación logarítmica? Dé un ejemplo.

Capítulo 7 Preguntas de repaso 429

XI/I ,OOO,OOO > In x. Podría iniciar si observa que cuando x> I la ecuación In x = xl/l ,ooo.oaa es equivalente a In(ln x) = (In x)/ 1,000,000.

O c. Incluso Xl/ lO tarda mucho en sobrepasar a In x. Experimente con la calculadora para hallar el valor de x donde las gráficas de Xl / lO y In x se cruzan, es decir, donde In x = lO In (In x). Trate de localizar el punto de intersección entre las potencias de 10 Y afine cada vez más el resultado mediante particiones sucesivas en mitades.

O d. (Continuación del inciso c). El valor de x donde In x = lO In(ln x) es demasiado lejano para que lo identifiquen algunas graficadoras y programas para calcular raíces. Inténtelo con el equipo disponible y observe los resultados.

22. La función In x crece más lentamente que cualquier polinomio. Demuestre que In x crece más lentamente cuando x --> 00, que cualquier polinomio no constante.

Algoritmos y búsquedas 23. a. Suponga que tiene tres algoritmos diferentes para resolver un

mismo problema y el número de pasos que requiere cada uno es del orden de alguna de estas funciones:

n log2 n, n3/ 2, n(Iog2 n)2.

¿Cuál de los algoritmos es más eficiente? Justifique su respuesta.

O b. Trace juntas las funciones del inciso a) para apreciar con cuánta rapidez crece cada una.

24. Repita el ejercicio 23 con estas funciones:

n, Vn log2 n, (IOg2 n)2.

O 25. Suponga que busca un elemento en una lista ordenada de un millón de ellos. ¿Cuántos pasos podría requerir para localizarlo en una búsqueda secuencial? ¿Yen una binaria?

O 26. Si busca un elemento en una lista ordenada de 450,000 elementos (que es la extensión del Webster's Third New 1ntemational Dictionary), ¿cuántos pasos podría requerir para localizarlo en una búsqueda secuencial? ¿Yen una binaria?

7. ¿Qué integrales conducen a logaritmos? Dé ejemplos. ¿Cuáles son las integrales de tan x y cot x?

8. ¿Cómo se define la función exponencial e'? ¿Cuáles son su dominio, rango y derivada? ¿Qué leyes de exponentes cumple? Comente con respecto a su gráfica.

9. ¿Cómo se definen las funciones aX y log" x? ¿Existen restricciones sobre a? ¿Cómo está relacionada la gráfica de log" x con la de In x? ¿Es verdadera la afirmación de que en realidad sólo existen una función exponencial y una función logaritmo?

10. ¿Cómo resuelve ecuaciones diferenciales separables de primer orden?

11. ¿Cuál es la ley de cambio de exponenciales? ¿Cómo puede deducirse con base en un problema de valor inicial? ¿Cuáles son algunas de las aplicaciones de esta ley?

12. Describa la regla de I:Hópital. ¿Cómo sabe cuándo utilizar la regla y cuándo detenerse? Dé un ejemplo.



13. En ocasiones, ¿cómo puede manejar límites que llevan a las formasindeterminadas 00/00, 00 • O e 00 - m? Dé ejemplos.

14. En ocasiones, ¿cómo puede manejar límites que conducen a las for-mas indeterminadas 100,00 e OOOO?Dé ejemplos.

15. ¿Cómo se definen las funciones trigonométricas inversas? En ocasio-nes, ¿cómo puede utilizar triángulos rectángulos para determinar losvalores de esas funciones? Dé ejemplos.

16. ¿Qué son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas?¿Cómo son los dominios de las derivadas comparados con los domi-nios de las funciones?

17. ¿Qué integrales llevan a funciones trigonométricas inversas? ¿De quéforma la sustitución y completar cuadrados amplían la aplicación deestas integrales?

18. ¿Cuáles son las seis funciones hiperbólicas básicas? Comente acercade sus dominios, sus rangos y sus gráficas. ¿Cuáles son algunas delas identidades que las relacionan?

Ejercicios de prácticaCapitulo

Determinación de derivadasEn los ejercicios I a 24, determine la derivada de y con respecto a la va-riable apropiada.

•• < 1. Y = lOe -x/5

3. y = ± xé' - /6 e4x

5. y = In (serr' e)

7. y = log, (x2/2)

9. y = 8-1

11. Y = 5x36

13. y = (x + 2y+2

15. Y = sen-I~,

16. y = sen " (~).

18. Y = z cos v z - ~

2. Y = V2eV2x

6. Y = In (sec'' e)8. y = log, (3x - 7)

10. Y = 921

12. Y = V2x-V2

14. y = 2(lnxy/2

O<u<1

v> 1 17. Y = Incos-Ix

19 -1 II• Y = t tan t - "2 n t

20. Y = (1 + ?) coel 2t

21. Y = z sec " z -~, z > 1

22. Y = 2~ sec-Iv'X

23. y = csc-I (sec e), O < e < 7T/2

24. Y = (1 + x2)etan-' x

Derivación logaritmicaEn los ejercicios 25 a 30, utilice la derivación logarítmica para determinarla derivada de y respecto de la variable apropiada.

2(x2 + 1)25. y=---

Vcos2x26. Y =

((t + l)(t - 1))5

27. Y =(t-2)(t+3) ,

t> 2

19. ¿Cuáles son las derivadas de las seis funciones hiperbólicas básicas?¿Cuáles son las correspondientes fórmulas de integrales? ¿Qué simi-litudes ve aquí con las seis funciones trigonométricas básicas?

20. ¿Cómo se definen las funciones hiperbólicas inversas? Comente acercade sus dominios, sus rangos y sus gráficas. ¿Cómo puede determinar losvalores de sech -1 x, csch -1 x y coth -1 x por medio de las teclas de lacalculadora para cosh -1 x, senh -1 x y tanh -1 x?

21. ¿Qué integrales llevan de manera natural a las funciones hiperbólicasinversas?

22. ¿Cómo compara las tasas de crecimiento de funciones positivascuando x ---> m?

23. ¿Qué papel desempeñan las funciones e' y In x en las comparacionesde crecimiento?

24. Describa la notación o pequeña y O grande. Dé ejemplos.

25. ¿Qué es más eficiente, una búsqueda secuencial o una búsqueda bi-naria? Explique.

2u2U

28. y=,~V u2 + 1

29. Y = (sene)ve 30. Y = (lnx)I/(lnx)


31. J e sen (e) dx 32. Jet cos (3e' - 2) dt

33. J esec2(e - 7)dx

34. J el' ese (el' + 1) cot (el' + 1) dy

35. J sec2 (x)etanx dx 36.

11 dx37.

-1 3x - 4

39. 1"tan ~ dx

41. r~dtJo ,- 25

J tan (In v)43. v dv

J (In x)":'45. --x-dx

47. J }csc2 (1 + ln r) dr

49. J x3X2

dx

51. 17idx

J ese/ x ecotx dx

38. ¡e v¡;;: dxJI X

40. {1/4 2 cot 7TX dxJI/6

42. {"/6 cos t dtJ-r./2 1 - sen t

44. J v~~v

/

In (x - 5)46.. x _ 5 dx

J cos (1 - In v)48. v dv

50. J 2tanx sec/ x dx

1321-dx

I 5x52.


13. En ocasiones, ¿cómo puede manejar límites que llevan a las formas indeterminadas 00/00, 00 • O e 00 - m? Dé ejemplos.

14. En ocasiones, ¿cómo puede manejar límites que conducen a las formas indeterminadas 100, 00 e OO OO? Dé ejemplos.

15. ¿Cómo se definen las func iones trigonométricas inversas? En ocasiones, ¿cómo puede utilizar triángulos rectángulos para determinar los valores de esas funciones? Dé ejemplos.

16. ¿Qué son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas? ¿Cómo son los dominios de las derivadas comparados con los dominios de las funciones?

17. ¿Qué integrales llevan a funciones trigonométricas inversas? ¿De qué forma la sustitución y completar cuadrados amplían la aplicación de estas integrales?

18. ¿Cuáles son las seis funciones hiperbólicas básicas? Comente acerca de sus dominios, sus rangos y sus gráficas. ¿Cuáles son algunas de las identidades que las relacionan?

Capitulo Ejercicios de práctica

Determinación de derivadas En los ejercicios 1 a 24, determine la derivada de y con respecto a la va

riable apropiada.

1. Y = lOe -x/5

3. y = ± xé' - /6 e4x

5. y = In (sen2 e)

7. y = log2 (x2/2)

9. y = 8- (

11. Y = 5x36

13. y = (x + 2y+2

2. Y = V2eV2x

4. Y = x2e- 2/x

6. y = In (sec2 e)

8. y = log5 (3x - 7)

10. Y = 92(

12. Y = V2x-V2

14. y = 2(lnxy/2

15. Y = sen-I~, O < u < 1

16. y = sen- I (~). v > 1 17. Y = In cos- I x

18. Y = z cos- I z -~

19 - 1 11 . Y = t tan t - "2 n t

20. Y = (1 + 2) coe l 2t

21. y = z sec- I z -~, z > 1

22. Y = 2~ sec-Iv'X

23. y = csc-I (sec e), O < e < 7T/2

24. Y = (1 + x2)etall-1 x

Derivación Logaritmica En los ejercicios 25 a 30, utilice la derivación logarítmica para determinar la derivada de y respecto de la variable apropiada.

2(x2 + 1) 25. Y = -==

Vcos2x

((t + 1)(t - 1))5

27. Y = (t-2)(t+3) ,

26. Y =

t > 2

lO 3x + 4 2x - 4

19. ¿Cuáles son las derivadas de las seis funciones hiperbólicas básicas? ¿Cuáles son las correspondientes fórmulas de integrales? ¿Qué similitudes ve aquí con las seis funciones trigonométricas básicas?

20. ¿Cómo se definen las funciones hiperbólicas inversas? Comente acerca de sus dominios, sus rangos y sus gráficas. ¿Cómo puede determinar los valores de sech -1 x, csch - 1 x y coth - 1 x por medio de las teclas de la calculadora para cosh - ) x, senh - ) x y tanh -1 x?

21. ¿Qué integrales llevan de manera natural a las funciones hiperbólicas inversas?

22. ¿Cómo compara las tasas de crecimiento de funciones positivas cuando x ---> m?

23. ¿Qué papel desempeñan las funciones e' y In x en las comparaciones de crecimiento?

24. Describa la notación o pequeña y O grande. Dé ejemplos.

25. ¿Qué es más eficiente, una búsqueda secuencial o una búsqueda binaria? Explique.

2u2U

28. y = ,~ V u2 + 1

29. Y = (sene)ve

EvaLuación de integraLes

30. Y = (lnx)I /(lnx)

Evalúe las integrales en los ejercicios 31 a 78.

31. J e sen (e) dx 32. J e' cos (3e' - 2) dt

33. J e sec2 (e - 7) dx

34. J el' csc (el' + 1) cot (el' + 1) dy

35. J sec2 (x)etanx dx 36. J csc2 x ecot x dx

37. 11

dx -1 3x - 4

38. 1e~dX ) x

l\an~dx 11

/

4

39. 40. 2 cot 7TX dx 1/6

14

2t 1 7'{/6 cos t

41. ---dt 42. dt o 2 - 25 -r./2 1 - sen t

43. J tan (In v)

v dv 44. J dv vln v

45. J (lnxr3

--x- dx J In(x - 5)

46. x _ 5 dx

47. J }csc2

(1 + lnr) dr 48. J cos (1 - In v)

v dv

49. J x3X 2

dx 50. J 2tall x sec2 x dx

173 51. I x dx 52. 132

1 - dx I 5x


7

Capítulo 7 Ejercicios de práctica 431

97. u 1(1'-198. r 38

- 1lm--- lm---x~o x 9~0 e

99. lím2senx - 1

100. lím2-senx - 1

x~o e' - 1 x~O i' - 1

lím 5 - 5 cosx 2101. 102. l' x senxlm---

X~O e' - x - 1 x~O tan:' x

103. límt - In (1 + 2t)

104. límserr' (7TX)

1---40+ ? x~4i'-4 + 3 - x

105. (el 1) 106. lím e-l/y Inylím ---t~O+ t t y~o+

107. lím (e< + ly"X 108. lím (1 + ~yx~OO i' - 1 x~o+

54. j8 (2 _-ª-) dx1 3x ~

¡-I ¡O e2\V dw55. e-(x+l) dx 56.-2 -ln2lns ln957. o é(3er + 0-3/2dr 58. o e8(e8

- 1)1/2 de

je l (1 + 7Inx)-1/3 dx 1¿59. 60. _l_dx1 X e x~

j3 (In (v + oj262. 14(1 + Int)tlntdt61. 1 dv

1 V +

t= je 8 In 3 log, e63. --de 64. 1 e de1 e

65. ¡3/4 6 dx66. ¡l/S 6 dx

-3/4 Y9 - 4x2 -l/S Y 4 - 25x2

67. l2 3dt 68. J3 d(-24 + 3? V3 3 + (2

69 J dy J 24dy70.. y~ y -v')l--=-i6

J2/3 dy ¡-V6/Ys dy71. 72.

Y2/3IyIV9y2 - 1 -2/Ys Iy IV 5y2 - 3

73. J Y-: - x274. J dx

Y-x2+4x-l

75. ¡-I 2 dv 76. ¡I 3dv-2 V2 + 4v + 5 -1 4v2 + 4v + 4

77 J dt 78 J dt. (t+I)Y?+2t-8 . (3t + OY9? + 6t

Comparación de tasas de crecimiento de funciones109. ¿f crece más rápido, más lentamente o a la misma tasa que g cuando

x ---7 00 ? Justifique sus respuestas.

a. ¡(x) = log2x,

b. ¡(x) = x,

c. ¡(x) = x/100,

d. ¡(x) = x,

e. ¡(x) = csc" x,

f. ¡(x) = senh x,

g(x) = log, X

1g(x) = x + Xg(x) = xe-x

g(x) = tan-I x

g(x) = l/x

g(x) = i'110. ¿f crece más rápido, más lentamente o a la misma tasa que g cuando

x ---7 oo? Justifique sus respuestas.

a. ¡(x) = rx,

b. ¡(x) = In 2x,

c. ¡(x) = 10x3 + 2~,

d. ¡(x) = tan-I(I/x),

e. ¡(x) = sen-I(I/x),

f. ¡(x) = sech x,

g(x) = TX

g(x) = Inx2

g(x) = i'g(x) = l/x

g(x) = l/~g(x) = e-x

Resolución de ecuacionesEn los ejercicios 79 a 84, despeje ay.79. Y = 2y+1 80. 47 = y+2

81. ge2y = x2 82. Y = 31nx

83. In (y - 1) = x + Iny 84. In (lO lny) = In 5x111. ¿Verdadero o falso? Justifique sus respuestas.

a. :2 + ~ = O(~) b. ~ + ~ = O(~)c. x = o(x + Inx) d. In (In x) = o(lnx)

e. tan"! x = 0(1) f. coshx = O(i')

112. ¿Verdadero o falso? Justifique sus respuestas.

a. ~ = O(~ + :4) b. ~ = 0(:2 + :4)c. Inx = o(x + 1) d. In2x = O(lnx)e. sec"!» = 0(1) f. senhx = O(i')

Aplicación de la regla de L'HópitalEn los ejercicios 85 a 108, utilice la regla de L'Hópital para determinar loslímites.

1, x2 + 3x - 485. x~ x - 1 86 1, xa - 1

.lm--x~lxb_l

87. lím tanxX-+']T X

88 1, tan x• x~ x + senx

289. lím sen x

x-e O tan (x2)

, sen mx90. lím sennxx~o

91. lím sec 7x cos 3xx~7T/T

92. lím Vx sec xx-+O+

Teoría y aplicaciones113. Ya que la función f(x) = eX + x es derivable e inyectiva, tiene una

inversa derivable f-I(X). Determine el valor de df-I / dx en el puntof(ln 2).

114. Determine la inversa de la funciónf(x) = 1 + (l/x), x # O. Después,demuestre que f-I(f(X)) = f(f-I(x)) = X Y que

93. lím (cscx - cotx)x-+O

95. x!!.~(Yx2 + x + 1 - ~)

96. lím(~-~)x~OO x2 - 1 x2 + I

dril I----;¡;- ¡(x) = f' (x)"



En los ejercicios 115 y 116, determine los valores máximo absoluto ymínimo absolutos de cada función en el intervalo dado.

115. y = x In 2x - x, [;e' ~ ]

116. Y = IOx(2 - ln x), (O, e2]

117. Área Calcule el área bajo la curva y = 2(1n x)/x y el eje x desdex = I hasta x = e.

118. a. Demuestre que el área que está entre la curva y = l/x y el eje x,desde x = 10 hasta x = 20, es igual al área que está entre la curvay el eje x desde x = I hasta x = 2.

b. Demuestre que el área que está entre la curva y = l/x y el eje xdesde lea hasta kb es igual al área que está entre curva y el ejex desde x = a hasta x = b (O < a < b, le > O).

119. Una partícula viaja hacia arriba ya la derecha sobre la curva y = In x.Su coordenada x crece según la razón (dx/dt) = \IX m/sec , ¿Cuáles la tasa de cambio de la coordenada y en el punto (e2, 2)?

120. Una niña se desliza por un tobogán cuya forma es la curva yse=t>. Su coordenada y cambia según la razón dyidt =

( -1/4) \19 - y ft/ seg. ¿Aproximadamente a qué razón cambiasu coordenada x cuando llega a la parte inferior del tobogán enx = 9 ft? (Considere que e3 es 20 y redondee la respuesta al ft/segmás cercano).

121. El rectángulo de la siguiente ilustración tiene un lado sobre el eje ypositivo, otro sobre el eje x positivo y su vértice superior derechoestá sobre la curva y = e<. ¿Con qué dimensiones alcanza el rec-tángulo su mayor área y cuál es esa área?

y

--4---------~------~xo

122. El rectángulo de la ilustración tiene un lado sobre el eje y positivo,otro sobre el eje x positivo, y su vértice superior derecho está sobrela curva y = (In x)/x2 ¿Con qué dimensiones alcanza el rectángulosu mayor área y cuál es tal área?

Inx

~ll~xD 123. Trace las gráficas de las siguientes funciones y utilice sus observa-

ciones para localizar y estimar los valores extremos para identificarlas coordenadas de los puntos de inflexión, así como para determi-nar los intervalos donde las gráficas son cóncavas hacia arriba yhacia abajo. Después, confirme sus estimaciones; para ello, trabajecon las derivadas de las funciones.

a. y = (Inx)/\IX b. y = e-x' c. y = (I + x)e-X

Trace la gráfica de f(x) = x In x. ¿Le parece que la función tenga unvalor mínimo absoluto? Confirme su respuesta mediante cálculo.

D 124.

En los ejercicios 125 a 128 resuelva la ecuación diferencial.

dy 3y(x + I?125. dx = vY cos" vY 126. y' = y _ I

127. yy' = secl sec2 x 128. Y cos2 x dy + sen x dx = O

En los ejercicios 129 a 132 resuelva el problema de valor inicial.

129. : = e-x-y-2, y(O) = -2

dy130. dx

ylnyy(O) = e2

I + x2 '

131. x dy - (y + vY) dx = O, y(l) =

132. y-2: = e2xe: r y(O) = I

133. ¿Cuál es la edad de una muestra de carbón vegetal en la cual el 90%del carbono 14 original ha decaído?

134. Enfriamiento de una tarta En un plato hondo, una tarta, cuyatemperatura interna era de 220°F al ser sacada del horno, se dejaenfriar en una terraza bien ventilada a 40°F. A los 15 minutos, latemperatura interna de la tarta era de 180°F. ¿Cuánto tiempo mástardará en enfriarse hasta llegar a 70°F?

135. Localización de una estación solar Usted ha firmado un contratopara construir una estación solar al nivel del suelo, con alineacióneste-oeste entre los dos edificios de la ilustración. ¿A qué distanciadel edificio más alto debe ubicar la estación para maximizar elnúmero de horas que recibirá la luz solar en un día cuando el solpase directamente por arriba? Observe primero que

8 - -1 X -1 50 - x- 7T - cot 60 - cot ----:30 .

Después, encuentre el valor de x que maximiza 8.

0060m 00

00 0000 00 30m

xO x 50m

136. Un cable redondo para transmisión submarina está formado por unnúcleo de alambres de cobre, forrado de un aislamiento no conduc-tor. Si x es la razón o el cociente entre el radio del núcleo y el grosordel aislamiento, sabemos que la velocidad de la señal transmitidaestá dada por la ecuación v = x21n (l/x). Si el radio del núcleo es deI cm, ¿qué grosor del aislamiento h permitirá la mayor velocidadde transmisión?

x= i:h


-------------------------------------------------------------------------~----

Capitulo Ejercicios adicionales y avanzados

LímitesDetermine los límites en los ejercicios 1 a 6.

2. lím ~ (X tan-l t dtx~oo lo

Capítulo 7 Ejercicios adicionales y avanzados 433

16. Sea g una función que es derivable en todo intervalo abierto que con-tiene al origen. Suponga que g tiene las siguientes propiedades:

g(x) + g(y)i) g (x + y) = ( ) (y) para todos los números reales x, yl-gxg

y x + y en el dominio de g.

ii) lím g(h) = Oh->O

iii) lím g(h) = 1h->O h

17.

a. Demuestre que g(O) = O.

b. Demuestre que s' (x) = 1 + [g(x) F.c. Determine g(x) resolviendo la ecuación diferencial del inciso (b).

Centro de masa Determine el centro de masa de un placa delgadade densidad constante que cubre una región localizada en el primeroy cuarto cuadrantes, delimitada por las curvas y = 1/(1 + x2) yy = -1/(1 + x2), así como por las rectas x = O y x = 1.

Sólido de revolución La región que está entre la curvay = 1/(2vX) yel eje x, desde x = 1/4 hasta x = 4, girasobre el eje x para generar un sólido.

a. Calcule el volumen del sólido.

b. Determine el centro id e de la región.

Los mejores ángulos para ramificaciones de vasos sanguíneos ytuberías Cuando un tubo pequeño se ramifica en otro más pequeñoen un sistema de flujo, es posible que deseemos darle el ángulo másadecuado desde el punto de vista del ahorro de energía. Se podría re-querir, por ejemplo, que la pérdida de energía a causa de la fricción seminimice en la sección AOB de la siguiente figura. En este diagrama,B es un punto dado al cual debe tener acceso el tubo pequeño; A es unpunto del tubo más grande, corriente arriba de B; y O es el puntodonde se localiza la ramificación. Una ley, enunciada por Poiseuille,establece que, en un flujo no turbulento, la pérdida de energía a causade la fricción es proporcional a la longitud del trayecto recorrido e in-versamente proporcional a la cuarta potencia del radio del tubo. Así,la pérdida a lo largo de AO es (kdl)/R4 y a lo largo de OB es (kd2)/0,donde k es una constante, di es la longitud de AO, d2 es la longitud deOB, R es el radio del tubo grande y r es el radio del tubo pequeño. Esnecesario elegir el ángulo e de manera que se minimice la suma deestas dos pérdidas:

3. lím (cos vX) l/x 4. lím (x + i'?/xx~o+ x-oo

5 lím ( __ 1__ + __1__ + ... + 1-)• n->OO n + 1 n + 2 2n

6. lím 1. (el/n + e2/n + ... + e(n-ll/n + en/n)}/_oo n

7. Sea A(t) el área de la región comprendida en el primer cuadrante yencerrada por los ejes coordenados, la curva y = + e' Y la recta verti-cal x = t, t > O. Sea V(t) el volumen del sólido generado al hacer girarla región alrededor del eje x. Determine los siguientes límites.

a. lím A(t) b. lím V(t)/A(t) c. lím V(t)/A(t)1--:¡'00 /_00 1-0+

8. Variación de la base de un logaritmo

a. Determine lím log, 2 cuando a ~ O+, 1-, 1+ e co,

O b. Trace la gráfica de y = log, 2 como una función de a en elintervalo O < a 05 4.

Teoría y ejempLos9. Determine las áreas entre las curvas y = 2(logl x)/x y y = 2(l0~ x)/x

y el eje x desde x = 1 hasta x = e. ¿Cuál es la razón entre el áreamayor y el área menor?

O 10. Trace la gráfica de f(x) = tan-l x + tan-I(1/x) para -5 05 x 05 5.Después utilice cálculo para explicar lo que observe. ¿Cómo espe-raría que f se comporte fuera del intervalo [- 5, 5]? Justifique surespuesta.

11. ¿Para quéx > O se cumple xv" = (~y? Justifique su respuesta.

O 12. Trace la gráfica de f(x) =(sen x)sen x en [O, 3'lT]. Explique lo queobserve.

13. Determinef'(2) sif(x) = eg(x) y g(x) = (X_t_ dt.J2 1 + t4

18.

19.

di d2L = k4 + k4'

R r

dl~b = d1sen e

A

14. a. Determine dff dx si

f(x) = t=: dt.

b. Encuentre feO).c. ¿Qué puede concluir con respecto a la gráfica de f? Justifique su

respuesta.

15. Descomposiciones par-impar

a. Suponga que g es una función par de x, y h es una función imparde x. Demuestre que si g(x) + h(x) = O para toda x, entoncesg(x) = O para toda x, y h(x) = O para toda x.

b. Si f(x) = fE(X) + fo(x) es la suma de una función parfE(x) y unafunción imparfo(x), demuestre que entonces

1.,...: d_l--a q I+- d2 cos e -:1

En nuestro modelo hemos supuesto que AC = a y BC = b son longi-tudes fijas. Así, tenemos las relaciones

di + dz cos e = a d2 sen é = b

f(x) + f( -x)h(x) = 2

f(x) - f( -x)y fo(x) = 2 .

c. ¿Cuál es el significado del resultado del inciso (b)?

Capítulo 7 Ejercicios adicionales y avanzados 433

CapituLo Ejercicios adicionaLes y avanzados

Límites Determine los límites en los ejercicios l a 6.

2. lím ~ ( X tan- I t dt x-+oo Jo

3. Iím (cos v'X)I/x 4. Iím (x + er?/x x---+O+ x---+OO

5. Iím (_1_ + _1_ + ... + -.L) 11--->00 n + 1 n + 2 2n

6. Iím l (e l / II + e2/ 11 + ... + e(II- I )/n + en/ II ) n -HX) n

7. Sea A(t) el área de la región comprendida en el primer cuadrante y encerrada por los ejes coordenados, la curva y = -eX Y la recta vertical x = t, I > O. Sea V(t) el volumen del sólido generado al hacer girar la región alrededor del eje x. Determine los siguientes límites.

a. Iím A(t) b. lím V(I) / A(I) c. Iím V(I) / A(I) 1---+00 t-l> OO 1---+0+

8. Variación de la base de un logaritmo

a. Determine Iím loga 2 cuando a -+ 0+, 1- , 1 + e oo.

O b. Trace la gráfica de y = lo~ 2 como una función de a en el intervalo O < a :S 4.

Teoría y ejempLos 9. Determine las áreas entre las curvas y = 2(10g2 x)/x y y = 2(10~ x)/ x

y el ej e x desde x = 1 hasta x = e. ¿Cuál es la razón entre el área mayor y el área menor?

D IO. Trace la gráfica de f(x) = tan- I x + tan- I(l/x) para -5 :S x :S 5. Después utilice cálculo para explicar lo que observe. ¿Cómo esperaría que f se comporte fuera del intervalo [- 5, 5]7 Justifique su respuesta.

11. ¿Para qué x > O se cumple x (x') = (KY? Justifique su respuesta.

D 12. Trace la gráfica de f(x) =(sen x)sen x en [O, 37T). Explique lo que observe.

13. Determinef'(2)sif(x) = eg(x)yg(x) = ( X_1_4

dt . J2 l + 1

14. a. Determine df/ dx si

b. Encuentre feO).

f e' 2ln 1 f(x) = I -1- dt .

c. ¿Qué puede concluir con respecto a la gráfica de f? Justifique su respuesta.

15. Descomposiciones par-impar

a. Suponga que g es una función par de x, y h es una función impar de x. Demuestre que si g(x) + h(x) = O para toda x, entonces g(x) = O para toda x, y h(x) = O para toda x.

b. Si f(x) = fE(X) + fo(x) es la suma de una función parfECx) y una función imparfo(x), demuestre que entonces

f(x) + fe - x) !E(x) = 2

f(x) - f( - x) y fo(x) = 2 .

c. ¿Cuál es el significado del resultado del inciso (b)?

16. Sea g una func ión que es derivable en todo intervalo abierto que contiene al origen. Suponga que g tiene las siguientes propiedades:

g(x) + g(y) i) g (x + y) = ( ) para todos los números reales x, y

l - g x)g(y y x + y en el dominio de g.

ii) Iím g(h) = O h--->Q

iii) lím g(h) = l h--->Q h

a. Demuestre que g(O) = O.

b. Demuestre que g' (x) = l + [g(x)J2

c. Determine g(x) resolviendo la ecuación diferencial del inciso (b).

17. Centro de masa Determine el centro de masa de un placa delgada de densidad constante que cubre una región localizada en el primero y cuarto cuadrantes, delimitada por las curvas y = 1/ (1 + x2) Y y = -1 / (1 + x2), así como por las rectas x = O Y x = l.

18. Sólido de revolución La región que está entre la curva y = 1/ (2v'X) Y el eje x, desde x = 1/ 4 hasta x = 4, gira sobre el eje x para generar un sólido.

a. Calcule el volumen del sólido.

b. Determine el centroide de la región.

19. Los mejores ángulos para ramificaciones de vasos sanguíneos y tuberías Cuando un tubo pequeño se ramifica en otro más pequeño en un sistema de flujo, es posible que deseemos darle el ángulo más adecuado desde el punto de vista del ahorro de energía. Se podría requerir, por ejemplo, que la pérdida de energía a causa de la fricción se minimice en la sección AOB de la siguiente figura. En este diagrama, B es un punto dado al cual debe tener acceso el tubo pequeño; A es un punto del tubo más grande, corriente arriba de B; y O es el punto donde se localiza la ramificación. Una ley, enunciada por Poiseuille, establece que, en un flujo no turbulento, la pérdida de energía a causa de la fricción es proporcional a la longitud del trayecto recorrido e inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio del tubo. Así, la pérdida a lo largo de AO es (kd l )/ R4 y a lo largo de OB es (kd2) / r4, donde k es una constante, dI es la longitud de AO, d2 es la longitud de OB, R es el radio del tubo grande y r es el radio del tubo pequeño. Es necesario elegir el ángulo (J de manera que se minimice la suma de estas dos pérdidas:

A

I ~~:::_-_-_-_-__ d_I~~~-a-_-_~ ________ -+

En nuestro modelo hemos supuesto que AC = a y Be = b son longitudes fijas. Así, tenemos las relaciones

d2 sen (J = b


0000000000


da = b csc é ,

di = a - d2 COS O = a - b cot O.

o 20. Jardinería urbana Una hortaliza de 50 ft de ancho se encuentra enel suelo entre dos edificios, que están separados 500 ft a lo largo de lalínea este-oeste. Si los edificios tienen una altura de 200 y 350 ft, res-pectivamente, ¿dónde debe colocarse la hortaliza para que puedarecibir el número máximo de horas de luz solar? (Sugerencia: En lasiguiente figura determine el valor de x que maximiza la exposicióna la luz solar de la hortaliza).

por lo cual

La pérdida total L se puede expresar como una función de O:

L = k(a - beata + bCSCO).R4 r4

a. Demuestre que el valor crítico de O para el cual dL/dO es iguala cero es

200 ft de altura

000000

350 ft de altura

b. Si la razón entre los radios de los tubos es r/R = 5/6, estime elángulo de ramificación óptimo descrito en el inciso (a);redondee al grado más próximo.

El análisis matemático que hemos descrito se usa también para ex-plicar los ángulos en los que se ramifican las arterias en el cuerpode un animal.

Oeste Este

.11

N.'11"

",

t~!I!I",


por lo cual

d2 = b csc(! ,

di = a - d2 cose = a - bcote.

La pérdida total L se puede expresar como una función de e:

L = k (a - b cot e + b csc e) . R4 r4

a. Demuestre que el valor crítico de e para el cual dL/ de es igual a cero es

b. Si la razón entre los radios de los tubos es r/R = 5/6, estime el ángulo de ramificación óptimo descrito en el inciso (a); redondee al grado más próximo.

El análisis matemático que hemos descrito se usa también para explicar los ángulos en los que se ramif ican las arterias en el cuerpo de un animal.

o 20. Jardinería urbana Una hortaliza de 50 ft de ancho se encuentra en el suelo entre dos edificios, que están separados 500 ft a lo largo de la línea este-oeste. Si los edif icios tienen una altura de 200 y 350 ft, respectivamente, ¿dónde debe colocarse la hortaliza para que pueda recibir el número máximo de horas de luz solar? (Sugerencia: En la siguiente figura determine el valor de x que maximiza la exposición a la luz solar de la hortaliza).

200 ft de altura

Oeste

00 00 00

00 00 00 00 00

350 ft de altura

Este


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