TEORÍA FUNCIONES TRASCENDENTES
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FUNCIONES TRASCENDENTES
En el estudio de Funciones Reales, denominamos funciones trascendentes, aquellas funciones que admiten otros operadores diferentes del operador, suma, resta, multiplicación, división y potenciación como son La función Exponencial, Función Logarítmica y Función trigonométrica.
FUNCIONES TRASCENDENTES
Exponencial Logarítmica Trigonométrica
FUNCION EXPONENCIAL y=ax donde a>0 y a≠1
Ejemplos
1 . y=2x Base 2
2 . y=(12 )x
Base12
3 . y=73 x+2 Base 7
Grafica de la Función Exponencial: y=ax donde a>0 y a≠1
Si la base de la función exponencial es mayor que 1 (a>1 ), su gráfica es creciente.
Ejemplo: Graficar y=2x
Tabla de valores
x y
Si la base de la función exponencial es mayor que 0 y menor que 1 (0<a<1 ), su gráfica es decreciente.
Ejemplo: Graficar y=( 1
2 )x
Tabla de valoresX y
PROPIEDADES
1. El Dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.
D= (−∞ , +∞ )2. El Rango o conjunto de imágenes, son los números reales positivos
Rango: (0 , +∞ )3. El eje horizontal o eje x, es una asíntota.
Ejemplo1: Obtener la derivada para y=( 5
3 )x
dydx
=( 53 )
x
ln( 53 )
Ejemplo2: Halle la derivada para
y=x32x
h( x )=x3 h´ ( x )=3 x2
g( x )=2x g ´ ( x )=2x Ln2 Aplicando la derivada de un producto de funciones
dydx
=( x3 )(2x Ln2)+(2x )(3 x2)
dydx
=2x x2 (xLnx+3 )
Derivada de la función Exponencial y=ax donde a>0 y a≠1
dydx
=ax ln ( a)
Se lee “La misma función, por el logaritmo natural de la base”
Ejemplo3
: Halle la derivada para y= 5x
2 x+1
h( x )=5x h´ ( x )=5x Ln5
g( x )=2x+1 g ´ ( x )=2 Aplicando la derivada de un cociente de funciones
dydx
=(2x+1 )(5x Ln5 )−(5x)(2 )(2x+1 )2
dydx
=5x [(2x+1 )Ln5−2 ](2x+1 )2
Aplicación Geométrica
Ejemplo
: Halle la ecuación de la recta tangente en x = 0 a la curva y=3 x+4x
Para hallar la ecuación de la recta tangente, debemos realizar los siguientes pasos.
1.
Determinar la pendiente en el punto de tangencia. La pendiente se obtiene al sustituir
el valor de x en la derivada.
Si y=3 x+4 x entonces y ,=3+4x Ln4Luego para x=0 y ,=3+40 Ln 4=3+Ln4La pendiente m=3+2 Ln2
2.
Determinar el punto de tangencia. Para obtener el punto de tangencia, sustituimos el
valor de x en la función inicial.
Ln4=Ln22=2Ln2ya que LnAB=BLnA
Si x=0 entonces y=3(0 )+40
Luego y=1Punto de tan gencia A (0 , 1 )
3.
Aplicar la fórmula Punto - Pendiente
y− y1=m( x−x1 )
Datos ¿ {m=3+2 Ln2¿ ¿¿
Luego y− y1=m( x−x1)y −1=(3+2 Ln2)( x−0 )y−1=3x+2 xLn2
Ecuación 2xLn2+3 x− y+1=0
Ejemplo1: Halle la derivada para
y=34 x+7
Solución
Si y=34 x−7 entonces u=4 x−7 ydudx
=4
Luego la derivada es y ,=34 x−7 Ln3 (4 )
Derivada de la función Exponencial y=au
donde a>0 , a≠1 y u=g( x )
dydx
=au ln (a ) dudx
Se lee “La misma función por el logaritmo natural de la base, por la derivada del
exponente o argumento”.
Ejemplo2: Halle la derivada para
y=95 x2+3 x−1
Solución
Si y=95 x2−3 x−1 entonces u=5 x2−3 x−1 y
dudx
=10 x−3
Luego la derivada es y ,=95 x2−3 x−1(Ln9)(10 x−3 )y ,=2⋅95 x2−3 x−1 (Ln3 )(10 x−3)
Ejemplo3: Halle la derivada para
y=7 x⋅23 x3
h( x )=7 x h ´ ( x )=7
g( x )=23 x3
g ´ ( x )=23 x3(Ln2 )(9 x2) Aplicando la derivada de un producto de
funciones
dydx
=(7 x )[ 23 x3
(Ln2 )(9x2) ]+(2
3x3
)(7 )
dydx
=7⋅23 x3
(9 x3Ln2+1)
FUNCION EXPONENCIAL NATURAL
y=ex donde e>1 y e=Base de los log aritmos naturales
El número e (Euler) o base de los
logaritmos naturales, tiene como
valor aproximado
e = 2.718281828
Ejemplos
1 . y=e3 x
2 . y=e2 x Base e3 . y=e3 x+2
Grafica de la Función Exponencial: y=ex donde e>1
Como la base de la función exponencial es mayor que 1 (e>1 ), su gráfica es creciente.
Ejemplo: Graficar y=ex
Tabla de valoresx y
PROPIEDADES:
1. El Dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.
D= (−∞ , +∞ )2. El Rango o conjunto de imágenes, son los números reales positivos
Rango: (0 , +∞ )3. El eje x es una asíntota horizontal
Ejemplo1: Halle la derivada de la siguiente función y=4 x2ex
h( x )=4 x2 h ´ ( x )=8 x
g( x )=ex g ´ ( x )=ex Aplicando la derivada de un producto de funciones
dydx
=( 4 x2)( ex)+(ex )(8 x )=4 xex( x+2 )
dydx
=4 xe x( x+2)
Ejemplo2: Halle la derivada de la siguiente función y=3 x2+1
ex
h( x )=3 x2+1 h ´ (x )=6 x
g( x )=ex g ´ ( x )=ex Aplicando la derivada de un cociente de funciones
dydx
=ex (6x )−(3 x2+1 )ex
(e x)2
dydx
=ex [6 x−(3 x2+1)](e x)2
=−3 x2+6 x−1
ex
Aplicación Geométrica
Derivada de la función Exponencial y=ex donde e>1
dydx
=ex ln (e )=e x ya que ln e=1
Se lee “La derivada de la función es la misma función”
Ejemplo: Halle la ecuación de la recta tangente en x = 0 a la curva
y=2xex
Para hallar la ecuación de la recta tangente, debemos realizar los siguientes pasos.
1.
Determinar la pendiente en el punto de tangencia. La pendiente se obtiene al sustituir
el valor de x en la derivada.
Si y=2 xex entonces y ,=e x(2x+2 )Luego para x=0 y ,=e0 (2⋅0+2)=2La pendiente m=2
2.
Determinar el punto de tangencia. Para obtener el punto de tangencia, sustituimos el
valor de x en la función inicial.
Si x=0 entonces y=2(0 )e0
Luego y=0Punto de tan gencia A (0 , 0)
3.
Aplicar la fórmula Punto - Pendiente
y− y1=m( x−x1 )
Datos ¿ {m=2 ¿ ¿¿
Luego y− y1=m( x−x1)y −0=2( x−0)y−0=2 x
Ecuación 2x− y=0
Aplicamos para la
derivada la
Regla del producto.
Recuerde e0 = 1
Ejemplo1: Halle la derivada para la siguiente función y=e1−4 x 2
Solución
Ejemplo2: Halle la derivada de la
siguiente función y=x3 e7 x
Derivada de la función Exponencial y=eu donde e>1 y u=g( x )
dydx
=eu ln( e ) dudx
=eu dudx
ya que ln e=1
Se lee “La derivada de la función es la misma función por la derivada del exponente”
h( x )=x3 h´ ( x )=3 x2
g( x )=e7 x g ´ (x )=7e7 x Aplicando la derivada de un producto de funciones
dydx
=( x3 )(7e7 x )+(e7 x )(3x2 )=x2e7 x(7 x+3 )
dydx
=x2e7 x(7 x+3)
Ejemplo3: Halle la derivada de la siguiente función y= e3 x
x2
h( x )=e3 x h´ ( x )=3e3 x
g( x )=x2 g ´ ( x )=2x Aplicando la derivada de un cociente de funciones
dydx
=x2(3e3 x )−e3 x(2 x )
(x2)2=xe 3 x (3x−2 )x 4
dydx
=e3 x(3 x−2 )x3
FUNCIONES LOGARITMICAS
Importante: Los dos sistemas más comunes que se estudian de los logaritmos, son aquellos que tienen como base el número 10 y se les identifica como logaritmos comunes y los que tienen como base el número e denominado logaritmos naturales o neperianos.
Logaritmos comunes log10 x Base = 10Logaritmos Naturales loge x = ln x Base=e
Im por tan te : La notación loge se exp resa como ln ( log aritmo Natural )
FUNCION LOGARITMO NATURAL
y=ln x donde x>0 y e=Base de los log aritmos naturales
Grafica de y=ln x
Tabla de valoresx y
PROPIEDADES
1. El Dominio de la función logaritmo Natural es el conjunto de los números reales positivos.
D= (0 , +∞ )2. El Rango o conjunto de imágenes, son los números reales.
Rango: (−∞ , +∞ )3. El eje y es una asíntota Vertical.4. Si x > 1 el lnx es positivo.
5. Si 0 < x < 1 el lnx es negativo.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Si A , B son números reales positivos
1 . ln (A⋅B)=ln A+ln B ital El `` log ital aritmo ` ital de ` ital un` ital producto `` ital es ` ital igual `a` ital la `` ital suma ` ital de ` ital los ` log ital aritmos `} {} # size 12{`````````````````````````````````````` ital de ` ital sus ` ital factores .Ejemplo : ln(18 )=ln (9⋅2 )=ln 9+ ln 2
2 . ln(AB )= ln A− lnB ital El ` log ital aritmo` ital de ` ital un ` ital cociente ,`` ital es ` ital igual `` ital al ` log ital aritmo` ital del` ital numerador `} {} # size 12{```````````````````````````````````` ital menos ` ital el`` log ital aritmo` ital del ` ital deno min ital ador .
Ejemplo : ln(18 )=ln(362 )= ln36−ln 2
3 . ln AB=B ln A ital El ` log ital aritmo` ital de ` ital una ` ital potencia ,`` ital es ` ital igual `` ital al ``exp ital onente `` ital por ` ital el ` log ital aritmo `} {} # ``````````````````````````` ital natural ` ital de ` ital la ` ital base . ¿ Ejemplo : ln (16 )=ln (2 )4=4 ln2
4 . lnn√ A=ln A
nsiendo n un número natural (n>1)
Ejemplo : ln3√5=ln 5
3
4 . ln1=0 ital el `` log ital aritmo `` ital natural ` ital del` ital número `1`` ital es `` ital cero
5 . ln e=1
Derivada de la función logaritmo Natural y=ln x donde x>0
dydx
=1x
Se lee “La derivada de la función es igual a 1 dividido por el argumento
Ejemplo1: Halle la derivada de la siguiente función y=x2 ln ( x )
h( x )=x2 h ´ ( x )=2x
g( x )=ln( x ) g´ ( x )=1x Aplicando la derivada de un producto de funciones
dydx
=( x2 )(1x )+( ln x )(2 x )=x+2 x ln x
dydx
=x (1+2 ln x )
Ejemplo2: Halle la derivada de la siguiente función y=ln x
e x
h( x )=ln x h´ ( x )=1x
g( x )=ex g´ ( x )=ex Aplicando la derivada de un cociente de funciones
IMPORTANTE: En el estudio de los logaritmos no se cumple
1 . ln ( A+B )=ln A+ln B ital El `` log ital aritmo ` ital de ` ital una ` ital suma ,` ital es ` ital igual `a` ital la ` ital suma ` ital de ` ital los` log ital aritmos} {} # size 12{``````````````````````````````````` ital de ` ital los` ital sumandos
2 . ln (AB )= ln AlnB
ital El ` log ital aritmo ` ital de ` ital un` ital cociente ,` ital es ` ital igual ` ital al ` log ital aritmo ` ital del ` ital numerador ,` ital dividido} {} # size 12{```````````````````````` ital por ` ital el` log ital aritmo` ital del` ital deno min ital ador .
dydx
=ex (1 x)−( ln x )ex
(e x)2
dydx
=ex [(1 x)−ln x ](e x)2
=
1x
−ln x
ex=1−x ln xxex
dydx
=1−x ln xxex
Ejemplo3: Halle la derivada de la siguiente función y=5 x4+ ln x
dydx
=20 x3+1x=20 x4+1x
dydx
=20 x4+1x
Ejemplo1: Halle la derivada de la siguiente función y=ln (6 x2+x+2 )
dydx
=1
6 x2+x+2(12x+1 )=12 x+1
6 x2+ x+2
dydx
=12x+16 x2+x+2
Ejemplo2: Halle la derivada de la siguiente función
y=ln(13 x2x−3 )
Importante: Cuando el argumento de la función, es un producto o un cociente, podemos
aplicar las propiedades bien sea del logaritmo de un producto o logaritmo de un cociente para
obtener la derivada
y=ln(13 x2 x−3 )=ln (13x )−ln (2x+3 )
dydx
=1313 x
−22 x+3
=13(2 x+3)−2(13x )13 x (2x+3 )
=26 x+39−26x13 x (2x+3 )
=3913 x(2 x+3)
=32 x2+3 x
dydx
=3
2x2+3x
Derivada de la función logaritmo Natural y=ln u donde u=g( x )
dydx
=1ududx
Se lee “La derivada de la función es igual a 1 sobre el argumento, por la derivada del
Recuerde:
ln ( AB )=ln A−ln B
Ejemplo3: Halle la derivada de la siguiente función
y=ln (x3ex )
Aplicando propiedades sobre los logaritmos, tenemos
y=ln (x3ex )=ln (x2 )+ ln (ex )=2 ln x+x ln e=2 ln x+xLuegodydx
=21x
+1=2x
+1=2+xx
dydx
=x+2x
Aplicaciones Geométricas
Ejemplo1: Halle la ecuación de la recta tangente en x =2 a la curva y=ln (3x−5 )
Paso1: Hallamos la derivada de la función
Si y=ln (3 x−5 ) entonces y ,=33 x−5
Valor de la derivada en x=2
y ,=33 (2)−5
=36−5
=31=3
Luego la pendiente m=3
Paso2: Sustituimos x = 2 en la función inicial, para obtener el punto de tangencia
Si x=2 entonces y=ln (3(2 )−5 )=ln(1)=0Punto de tan gencia A (2, 0 )
Paso3: Aplicar la fórmula Punto - Pendiente
y− y1=m( x−x1 )
Datos ¿ {m=3 ¿ ¿¿
Luego y− y1=m( x−x1)y −0=3 (x−2)y−0=3 x−6
Ecuación 3x− y−6=0
Ejemplo2: Halle los valores en los cuales la derivada de la función y=ln (2x3−6 x ) es igual
a cero.
Para hallar los valores en los cuales la derivada es igual a cero, realizamos los siguientes pasos.
Paso1: Derivamos la función
Si y=ln ( 2x3−6 x ) entonces dydx
=6 x2−62 x3−6 x
=6( x2−1)2x ( x2−3)
=3( x2−1)x ( x−3)
dydx
=3( x2−1 )x (x−3)
Paso2: Igualamos a cero la derivada
3( x2−1)x ( x−3 )
=0 ⇒3( x2−1 )=0
Se cumple para x=1 ∨ x=−1
El valor x = 1 no cumple ya que no pertenece al dominio de la función
Geométricamente para x = -1, el punto es A(-1, ln4), es el punto donde al trazar la tangente,
es paralela al eje horizontal (o eje x).
Un logaritmo que tenga como base un número diferente al número e, se puede expresar en términos de logaritmos naturales.
Ejemplo:
log3 12 =ln12ln3 es igual al logaritmo natural del número, dividido por logaritmo natural
de la base
La anterior afirmación nos permite obtener la derivada de la función y=logb x
Si y=logb x entonces y=logb x=
ln xln b ahora aplicamos la regla del cociente
Seleccionando las funciones y sus derivadas
h( x )=ln x h ´ ( x )=1x
g( x )=ln b g´ ( x )=0
Derivada de la función logaritmo en la base b de x y=logb x donde b>0
dydx
= 1x ln b
Se lee “La derivada de la función es igual a 1 sobre el argumento, por el logaritmo
natural de la base”.
dydx
=( lnb )(1x )−( ln x )(0 )
(ln b )2=
lnbx
( lnb )2=ln b
x ( lnb )2=1x lnb
dydx
=1x lnb
Ejemplo2: Halle la derivada de la siguiente función y=2x2 log4 x
Aplicamos la regla del producto de funciones
h( x )=2x2 h ´ ( x )=4 x
g( x )=log4 x g´ ( x )=1x ln 4
dydx
=(2 x2)(1x ln 4 )+(log 4 x) (4 x )
dydx
=(2 x2)(1x ln 4 )+( ln xln 4 ) (4 x )=(1ln 4 )(2x2
x+4 x ln x)
=(1ln 4 ) (2x+4 x ln x )=(2 xln 4 ) (1+2 ln x )
=(2 x2 ln 2 )(1+2 ln x )=(xln 2 )(1+2 ln x )
Ejercicios sobre derivadas: Hallar la derivada para las siguientes funciones
1) y=(3−7 x2 )( ln x ) 2 ) y=(2x+9 x3 )(5x)
3 ) y=(7x)( ex) 4 ) y=8 x2−x4x
5 ) y=20 x4−5 x3
5 x36 ) y=12x
6 x2+7 x
7 ) y=(4−10 x3 )+3x(2x+1 ) 8 ) y=9x+ 4 x
x2+7
9 ) y=6 x−2x
−5 x310 ) y=(3−7 x2 )(e4 x )
11) y=3x3+ ln x 12) y= ln x4 x
13 ) y=5 x4 ln x 14 ) y=2x log10 x
15 ) y=( ln x )(log3 x ) 16 ) y=7 x ln x+ln x
17 ) y=14 x3+log2 x 18 ) y=1−3 xx ln x
19 ) y=4x ln x 20 ) y=1−ln x
3x
21. Halle la ecuación de la recta tangente en x =1 a la curva y=ln (4 x2−3 ).
22. Halle la ecuación de la recta tangente en x =0 a la curva
y=e3 x2−2 x
.
23: Halle la ecuación de la recta tangente para cada una de las curvas en el valor indicado.
a ) y=(3x3−4 )e x en x=0
b ) y= ex
4 x−1en x=0
c ) y=2x+ ln x en x=1
d ) y=x3 ln x en x=1