1. Función trascendente.

1.1Función logaritmo natural.

Definición de la función logaritmo natural.

La función logaritmo natural se define como

1

1ln , 0x

x dt xt

.

El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto todos los

reales positivos.

Gráfica de la función logarítmica.

Teorema 1. Propiedades de la función logaritmo natural.

La función logaritmo natural tiene las siguientes propiedades:

1. El dominio es (0,∞) y el rango es (-∞,∞).

2. La función es continua, creciente e inyectiva.

3. La gráfica es cóncava hacia abajo.

Teorema 2. Propiedades de los logaritmos.

Si a y b son números positivos y n es racional, se satisfacen las

siguientes propiedades.

1. ln1=0

2. ln (ab)= ln a + ln b

3. ln an=n ln a

4. ln (a/b)= ln a – ln b.

El número e.

Definición de e.

La letra e denota el número real positivo tal que

1ln 1

e dtet

La derivada de la función logaritmo natural.

Teorema 3. Derivada de la función logaritmo natural.

Sea u una función derivable en x

11. (ln ) , 0d x xdx x

1 '2. ( ) , 0d du ulu u

dx u dx u

Demostración de la expresión 1.

1 F (x )= ln x =

x d tS e at

Aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo:

1

ln 1'( ) ( )xd x d d tF x f x

d x d x t x

Q.E.D.

Ejemplos: Derivación de funciones logarítmicas.

2) ( ) lna f x x x

Aplicando propiedades logarítmicas, reescribimos antes de derivar:

212( ) ln( )f x x x

Derivando la nueva expresión, tenemos que:

2

1 2 12

d y xd x x x

b.

2 2

3

( 1)( ) ln2 1

x xf xx

Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos y luego

derivamos:

2 312( ) ln 2 ln( 1) ln( 1)f x x x x

Derivando la nueva expresión: 2 2

2 3 2 3

1 2 1 6 1 4 3'( ) 21 2 2 1 1 2 1

x x x xf xx x x x x x

1.2 Derivación logarítmica.

Se llama derivación logarítmica al proceso de utilizar los logaritmos

como ayuda en la derivación de funciones no logarítmicas.

Ejemplo.

Hallar la derivada de 2

2

3 2 , 1( 1)

x xy xx

~(1)

Aplicando logaritmo en ambos lados:

2

2

3 2ln ln( 1)

x xyx

~(2)

Aplicando las propiedades logarítmicas en (2):

12ln 2ln ln(3 2) 2ln( 1)y x x x ~(3)

Derivando la expresión (3):

1 2 1 3 22 3 2 1

dyy dx x x x

Despejando a dydx

:

2 3 26 4 1

dy ydx x x x

~(4)

Sustituyendo a y por su valor en (4): 2

2

3 2 2 3 2( 1) 6 4 1

dy x xdx x x x x

Teorema 4. Derivadas con valores absolutos.

Si u es una función derivable de x tal que u≠0, entonces

'lnd uudx u

Demostración:

Si u>0, entonces u u , y el resultado se obtiene aplicando el teorema

3. Si u<0, entonces u u , y se tiene

' 'ln ln( )d d u uu udx dx u u

Q.E.D

Ejemplo: Hallar la derivada de

coslncos 1

xyx

Aplicando propiedades logarítmicas:

cosln ln cos ln cos 1cos 1

xy x xx

Según el teorema 4, tomamos cosu x y cos 1z x y escribimos:

ln lny u u , derivando la nueva expresión:

' 'dy u zdx u z

, entonces

cos cos 1dy senx senxdx x x

Simplificando tenemos:

tancos 1

dy senxxdx x

1. 3 La función logaritmo natural y la integración.

Teorema 5. Regla logarítmica para integración.

Sea u una función derivable de x.

1. lndxx x c 2. lndu

u u c

Ejemplo. Uso de la regla logarítmica para integración.

212

2

11

1 2

xx udx du

u x du xdx

Despejando a du, tenemos que:

2d u x d x , aplicando la regla logarítmica para la integración:

21 1 12 2 2

1 ln ln 1u du u c x c

Utilizando las propiedades de los logaritmos:

22 21 1

2 211 ln 1 ln 1x

x udx du x c x c

Ejemplo: Dividir antes de integrar.

3 2

3 2 2

- 3 5 - 3- 3

5

x x xx x x

entonces, 2 53

xx

Ahora iniciamos el proceso de integración:

32 233

5 5 ln( 3)3

xdxxx dx x dx x c

x

Ejemplo: Cambio de variable con la regla logarítmica.

3( 2)

( 1)x x

xdx

Haciendo u=x-1, entonces du=dx y x=u+1.

2

33 3 331( 2) ( 1)( 1) ( 1) 1

( 1)( ) du

uux x u u u

ux u udx du du du u du

22

12 2

l n l nuuu c u c

Estrategia para la integración.

1. Memorizar una lista de fórmulas básicas de integración.

2. Buscar una fórmula de integración que se parezca total o

parcialmente al integrando, y por prueba y error elegir una u que

se ajuste el integrando a la fórmula.

3. Si no se puede hallar una sustitución u adecuada, intentar

transformar el integrando. Mediante identidades trigonométricas,

multiplicación y división por la misma cantidad, o suma y resta

de una misma cantidad. Se requiere ingenio.

4. Si se tiene acceso a un software de computadora que resuelva

integrales, es conveniente usarlo.

Integrales de funciones trigonométricas.

Integrales de las seis funciones trigonométricas básicas

cos

tan ln cos

sec ln sec tan

senudu u C

udu u C

udu u u C

cos s

cot ln s

csc ln csc cot

udu enu C

udu enu C

udu u u C

Ejemplo: Usando una identidad trigonométrica

Hallar ∫tanxdx

Utilizando la identidad de la tanx, tenemos que:

costan senxxxdx dx

Tomenos u=cosx y luego derivemos la expresión:

u’=-senx, sustituyendo tenemos:

lndu duu u u C

Sustituyendo a u por su equivalente tenemos que:

tan ln ln cosxdx u C x C

Ejemplo: Hallar 2(tan 1 )x d x

Recordando que 2 2tan 1 secx x , para escribir el integral original

en función de su identidad equivalente:

2 2(tan 1) sec secx dx xdx xdx

Aplicando la tercera fórmula de integrales de las seis funciones

trigonométricas básicas:

sec ln sec tanxdx x x c

Ejemplo: 1c o x

s e n x d x

Hagamos u=senx +1, luego derivemos y después se sustituye al

numerador y al denominador por su equivalente, una vez realizados

estos pasos integramos la nueva expresión:

1 cos

ln ln 1duu

u senx du x

u c senx c

1. 4 Funciones inversas.

Definición de función inversa: Una función g es la función inversa de la

función si f(g(x))=x para todo x en el dominio de g, y g(f(x))=x para

todo x en el dominio de f.

La función g se denota por f-1(se lee como “inversa de f”).

Algunas observaciones relevantes acerca de las funciones inversas.

1. Si g es la función inversa de f, entonces f es la función inversa

de g.

2. El dominio de f-1 es el rango de f y el rango de f-1 es el dominio

de f.

3. Una función puede no tener función inversa, pero si la tiene es

única.

Teorema 6. Propiedad de reflexión de las funciones inversas.

La gráfica de f contiene el punto (a,b) si sólo si la gráfica f-1 de

contiene el punto (b,a).

Demos: Si (a,b) está en la gráfica de f, entonces es f(a)=b y se puede

escribir f-1(b)=f-1(f(a))=a.

Así que (b,a) está en la gráfica de f-1, entonces f(b)=a y se puede

escribir f(a)=f(f-1(b))=b.

Existencia de una función inversa.

Teorema 7. Existencia de la función inversa.

1. Una función tiene función inversa si y sólo si es inyectiva.

2. Si f es estrictamente monótona en todo su dominio, entonces

ésta es inyectiva por lo tanto tiene inversa.

Demos: f es inyectiva si para x1 y x2 en su dominio

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

f x f x x xx x f x f xf x f xf x f x

1 2 1 2( ) ( )f x f x x x

La contrapositiva de esta implicación es lógicamente equivalente y se

estable que

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

Si escogemos x1 y x2 a en el dominio de f. Si 1 2x x , entonces es

estrictamente monótona, se deduce que

1 2( ) ( )f x f x o 1 2( ) ( )f x f x

En cualquier caso, 1 2( ) ( )f x f x . Por tanto, f es inyectiva en el

intervalo.

Gráfica de la función inversa.

Procedimiento para encontrar la función inversa de una función.

1. Determinar mediante el teorema 7 si la función dada y=f(x)

admite inversa.

2. Despejar a x como función de y: x=g(y)= f-1 (y).

3. Intercambiar x y y la ecuación resultante es y= f-1 (x).

4. Definir como dominio de f-1 el recorrido de f.

5. Verificar que f(f-1(x))=x y f-1(f(x))=x.

Ejemplo. Calcular la inversa de.

2 1, 0y x x

1. Aplicando el teorema 7 verificamos si la función admite inversa:

1 22 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0( ) (0) 1 1 ( ) (0) 1 1 ( ) ( )

0, 1 , ( ) 1 ( ) 2( ) ( )

Sean x xf x y f x f x f xx x evaluemos a f f x y f xx x f x f x

1 2 1 2( ) ( )x x f x f x

La función es inyectiva y es monótona creciente.

2. Despejar a x en término de y: 2 1y x

2

2

11

1

y xy x

x y

3. Intercambie a x y y: 1y x .

4. El dominio de f-1 es el codominio de f y codominio de la función

inversa es el dominio de f.

5. La inversa de la función 2( ) 1f x x es la función 1( ) 1f x x

Para comprobarlo, hay que revisar si las dos funciones compuestas

producen la función identidad: 1 2

1 2 2

( ( )) ( 1) 1 1 1

( ( )) 1 1

f f x x x x

f f x x x x

Derivada de la función inversa.

Teorema 8. Continuidad y derivabilidad de las funciones

inversas.

Sea f una función cuyo dominio es un intervalo I. Si f tiene una función

inversa, entonces las siguientes proposiciones son verdaderas.

1. Si f es continua en su dominio, entonces f-1 es continua en su

dominio.

2. Si f es creciente en su dominio, entonces f-1 es creciente en su

dominio.

3. Si f es decreciente en su dominio, f-1 es decreciente en su

dominio.

4. Si f es derivable en c y f’(c)≠0, entonces f-1 es derivable en f(c).

Teorema 9. Derivada de una función inversa.

Sea f una función derivable en un intervalo I. Si f tiene una función

inversa g, entonces g es derivable para todo x tal que f’(g(x))≠0.

Además,

1'( ) , '( ( )) 0.'( ( ))

g x f g xf g x

Demostración:

1

( ( )) ~ (1)Derivando (1):

( )1 '( ( ) ~ (2)

Despejando de (2), tenemos :( ) 1( ) '

'( ( ))

x f g x

dg xf g xdx

dg x fdx f g x

Ejemplo: Calcular la derivada de una función inversa. 3 2

2

2

2

7 2,( 4,1)

3 14 ,evaluando en ( 4,1) :

3(1) 14(1) 11

1como , tenemos que:

1 ,evaluando la derivada de la inversa en ( 4,1)3 14

111

x y ydx y ydydxdy

dydxdx dy

dydx y ydydx

Ejemplo: Encontrar (f-1)’(a) para la función f y el número real a dado.

3

-1 -1

-1

-1

3

3 3

2

( ) 2 1, 2 ( ) ( ) ( ( )), :( ) ( ) , :

1( ) '( )'( )

( ) 2 -1 2, :2 -1- 2 0, 2 - 3 0

:( -1)(

f x x x aComo f b a y f a f f b entoncesa f b y f a b tenemos que

f af b

f b x x de ahíx x x xAhora calculamos los ceros del polinomiox x x

2 2

1

3) 01, 1

'( ) 3 2, '(1) 3(1) 2 51 1( ) '(2)'(1) 5

x entonces bf x x f

ff

1.5 La función exponencial natural.

Definición. La función inversa de la función logaritmo natural f(x)=lnx

se llama función exponencial natural y se denota por 1( ) .

, ln .

x

x

f x eEsto es y e si y sólo si x y

La relación inversa entre las funciones logaritmo natural y exponencial

natural se puede resumir como sigue: lnln( ) x xe x y e x

Gráfica de la función exponencial.

Teorema 10. Operaciones con funciones exponenciales.

Sean a y b dos números reales arbitrarios. ( )

( )

1 .

2 .

a b a b

aa b

b

e e ee ee

Propiedades de la función exponencial natural.

1. El dominio de ( ) xf x e es (-∞,∞), y su rango es (0,∞).

2. La función ( ) xf x e es continua, creciente e inyectiva en todo su

dominio.

3. La gráfica de ( ) xf x e es cóncava hacia arriba en todo su

dominio.

4. lim limx x

x xe o y e

Derivadas de las funciones exponenciales.

Teorema 11. Derivada de la función exponencial natural.

Si u es una función derivable de x.

( )1.

2. ( )

xx

u u

d e edx

d due edx dx

Demostración de la expresión (2):

~ (1)A p licando logaritm o en (1 ):ln ln ~ (2)A p licando las p ro p iedades de los logaritm os:ln ln ~ (3)

~ (3)' ~ 4

D espejando a y en (4 ) :

~ (5)

S ustituyendo a y en (5 ):

;

u

u

u

y e

y e

y u e uD erivandoy duy dx

dy duydx dx

dy duedx dx

. .Q E D

Ejemplo: Hallar la derivada de la función exponencial dada.

2

2 2 2cos 2 (cos 2 )

x

x x x

y e senxdy e x e senx e x senxdx

Otro ejemplo: 2

2

2

( cos )

2 ( cos ) 2 ( cos )

( cos )

ln( tan )

2 cos (1 ) sec ( )tan

senx x x

senx x x x x

senx x x

y e e

dy xe x senx e edx e e

Integrales de funciones exponenciales.

Teorema 12. Reglas de integración para funciones

exponenciales.

Si u es una función derivable de x.

1. 2. x x u ue dx e c e du e c

Ejemplo: Hallar la integral de

cos ~ (1)

~ (2) :

cos ~ (3) (3) :

cos ~ (4) :

(2) (4) (1) :1 1 1

1cos

sen x

u u sen x

sen x sen x

e xdx

Haciendo u sen xDerivando udu xdxDespejando dedu xdx

Sustituyendo y en

e du e c e c

e xdx e c

1.6 Las funciones exponencial y logarítmica en base a.

Definición de una función exponencial base a:

Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real,

entonces la función exponencial de base a se denota por ax y se

define como y=e(lna)x.

Si a=1, entonces y=1x=1 es una función constante.

Algunas propiedades: 0 ( )

( )

1. 1 2.

3. 4. ( )

x y x y

xx y x y xy

y

a a a aa a a aa

Definición de la función logarítmica de base a:

Si a es un número real positivo (a≠1) y x es cualquier número real

positivo, entonces la función logarítmica de base a se denota loga x y

se define como 1log ln

lna x xa

Propiedades de la función logarítmica de base a:

a

a a a

1. log 1 0 2. log log log

3. log log 4. log log log

a a a

na a

xy x yxx n x x yy

Nota: De las definiciones de funciones exponenciales y logarítmicas

base a, se sigue que ( ) y ( ) logxaf x a g x x son funciones inversas una

de otra.

Propiedades como funciones inversas.

log

1. log

2. , 03. log ,

x

xa

a

xa

y a si y solo si x y

a x para xa x para todo x

Derivación e integración.

Teorema 13. Derivadas para otras bases distintas de e.

Sea a un número real positivo (a≠1) y u una función derivable de x.

1. ( ) ln 2. ( ) ln

1 13. (log ) 4. (log )(ln ) (ln )

x x u u

a a

d d dua a a a a adx dx dxd d dux udx a x dx a u dx

Demostración de la expresión (2): (ln )

(ln )

(ln ) (ln ) ( )ln

por definición ~ (1)

Derivando la expresión:

= (ln ) (ln ) (ln ) ~ (2)

Como la función exponencial es inversa de la logarítmica tenemos:

(l

u

u u a u

a u

a u a u

u

a

y a a ey e

dy d du due a u e a e adx dx dx dx

dy adx

n ) ; . .dua Q E Ddx

Demostración de la expresión (4):

log ~ (1) :

ln ~ (2)ln

(2) :1 ; . .

(ln )

aSea y uHaciendo cambio de base tenemos

uya

Derivando ady du Q E Ddx a u dx

Ejemplos: Derivadas de una funciones de base distinta de e. tan

tan 2 tan 2 2

ln

ln 2

1. 3 (ln 3):

3 sec (ln 3)(ln 3) 3 sec (ln 3)

2. log :

ln ln (ln )(ln ) (ln ) exp :

1 12(ln )

x

x x

x

x

yDerivandody x xdx

y xAplicando aritmo en ambos lados

y x x x xDerivando la nueva resión

dy xy dx x

Despejando

ln

:

2 (ln ) x

dyadx

dy x xdx x

25

2 2 2

2

3. y=log sec( 2 )sec( 2 ) tan( 2 )(2 2) 2( 1) tan( 2 )

(ln 5)sec( 2 ) (ln 5)

x xdy x x x x x x x xdx x x

En ocasiones, un integrando contiene una función exponencial en una

base distinta de e. En tal caso, hay dos opciones: (1) pasar a base e

usando la fórmula (ln )x a xa e y entonces integrar o (2) integrar

directamente, usando siguiente fórmula de integración

1ln

x xa dx a ca

Ejemplo: Integración de una función exponencial en base distinta de e. 2

2

2

( )2 ~ (1)

~ (2) a :

2 , :

~ (3)2

(2) (3) (1) :1 1 12 2 2 ; :2 2 ln 2

1 1 1 1 12 22 2 ln 2 2

x

u u udu

u u

x dx

Hacemos u xDeriferenciando udu xdx despejandodu xdx

Sustituyendo y en

du C sustituyendo a u por su valor

du C

2

2ln 2

x C

1. 7 Funciones trigonométricas inversas.

Ninguna de las seis funciones trigonométricas tienen inversas. Esto se

debe a que son funciones periódicas y por tanto ninguna es inyectiva.

Para que tengan funciones inversas es necesario redefinir el dominio

de cada una de ellas.

min

-1 1 -

Definición de las funciones trigonométricas inversasFunción Do io Rango

y arcsenx si y sólo si seny x x

2 2arccos cos -1 1 0

arctan tan - -2 2

cot cot -

y

y x si y sólo si y x x y

y x si y sólo si y x x y

y arc x si y sólo si y x x

0

sec sec 1 0 ,2

csc csc 1 - , 02 2

y

y arc x si y sólo si y x x y y

y arc x si y sólo si y x x y y

Las gráficas de las seis funciones trigonométricas inversas.

Gráfica de la función coseno y su inversa.

f -1(x)=arc tag x

Y=arcsecx

Y=arccscx

Y=arccotx

Propiedades de las funciones trigonométricas

-1 1 - , 2 2( ) ( ) .

- , 2 2tan(arctan ) arctan(tan ) .

1 0 , 2 2sec( sec ) sec(sec )Pr log

Si x y y entonces

sen arcsenx x y arcsen seny y

Si y entonces

x x y y y

Si x y y o y entonces

arc x x y arc y yopiedades aná as

son válidas para las otras funciones trigométricas inversas

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

Teorema 14. Derivadas de las funciones trigonométricas

inversas.

Si u es una función derivable de x.

2 2

2 2

2

' '( ) (arccos )1 1

' '( tan ( cot )1 1

' '( sec ) ( sc )1

d u d uarcsenu udx dxu ud u d uarc u arc udx u dx ud u d uarc u arcc udx dxu u u

2 1u

Demostración:

~ 1Derivando (1)

cos ~ (2)

(2) :

1 ' ~ (3)cos cos

Sea y arcsenu entonces u seny

du dyydx dx

dyDespejando a dedx

dy du udx y dx y

2 2 2

2

2

:

cos 1 cos 1 ~ (4) (1) (4) :

cos 1 ~ (5) (5) (3) :

' ; . .1

Aplicando las propiedades de las identidades trigométricas

sen y y y sen ySustituyendo en

y uSustituyendo endy u Q E Ddx u

Las demás se dejan como ejercicios a los estudiantes.

Ejemplos: Hallar las derivadas de

2 2 2 2

2

1. 2 ( 1)2 2 2 2

1 ( 1) 1 ( 2 1) 1 2 1 22. ( ) (arccos )

cos(arccos ) (arccos )1

y arcsen xdydx x x x x x x x

h t sen tdh d tt tdt dt t

2

3. tan1

2 ( 1)

y arc xdydx x x

2

2

2 2

3. sec1( ) 2 sec 2 sec

1 1

y x arc xdy xx xarc x xarc xdx x x x

1. 7 Funciones hiperbólicas.

El nombre de funciones hiperbólicas proviene de la comparación entre

el área de una región semicircular, con el área de una región bajo una

hipérbola.

Definición de las funciones hiperbólicas.

1 csc ; 02

1cosh sec2 cosh

1tanh coth , 0cosh tanh

x x

x x

e esenhx hx xsenhx

e ex hxx

senhxx x xx x

Identidades hiperbólicas 2 2

2 2

2 2

cosh 1 ( ) cosh coshtanh sec 1 ( - ) cosh - coshcoth csc 1 cosh( ) cosh cosh

x senh x senh x y senhx y xsenhyx h x senh x y senhx y xsenhyx h x x y x y senhxsenhy

2 2

2 2

cosh( - ) cosh cosh -1 cosh 2 1 cosh 2 cosh

2 22 2 cosh cosh 2 cosh

x y x y senhxsenhyx xsenh x x

senh x senhx x x x senh x

Derivación e integración de funciones hiperbólicas.

Teorema 16 Derivadas e integrales de las funciones

hiperbólicas.

Sea u una función derivable de x.

2 2

2

( ) (cosh ) ' cosh

(cosh ) ( ) ' cosh

(tanh ) (sec ) ' sec tanh

(coth ) (csc ) '

d senhu u u udu senhu Cdxd u senhu u senhudu u Cdxd u h u u h udu u Cdxd u u udx

2 csc coth

(sec ) (sec tanh ) ' sec tanh sec

(csc ) (csc coth ) ' csc coth csc

h udu u C

d hu hu u u hu udu hu Cdxd hu hu u u hu udu hu Cdx

ón:

y ~ (1)2

exp (1) :

( ) ~ (2)2 2

cosh ~ (3)2 (3) (2) :

( ) cosh

u u

u u u u

u u

Demostracie eSea senhu

Derivando la resión

dy d d e e e e dusenhudx dx dx dx

e eu

Sustituyendo end dusenhu udx dx

Ejemplos: Derivación de funciones hiperbólicas. 3

32 2 3 2 2

3

2

1. ln (2 tan )

cos (2 tan )' (6 sec ) coth(2 tan )(6 sec )(2 tan )

sec (3 )2. ' 2sec (3 ) tanh(3 )(3) 6sec (3 ) tanh(3 )

y senh x x

h x xy x x x x x xsenh x x

y h xy h x x h x x

Funciones hiperbólicas inversas

Teorema 17. Funciones hiperbólicas inversas.

1 2

1 2

1

1

min

ln( 1) (- , )

cosh ln( 1) [1, ) 1 1tanh ln (-1,1)2 1

coth

Función Do io

senh x x x

x x xxxx

x

21

21

1 1ln (- ,-1) (1, )2 1

1 1sec ln (0,1]

1 1sc ln (- ,0) (0, )

xx

xh xx

xc h xx x

Demostración: 1

- -

2 2 2

~ (1) (1) :

cosh cosh :

-cosh ~ (2)2 2

log (2) :ln cosh ln ~ (3)

cosh 1, cosh 1 ~ (4

y y y yy

y

y senh xDespejando x dex senhy y y xSumando senhy y y

e e e esenhy y e

Aplicando aritmo ensenhy y e y

y senh y entonces y senh y

2

2 1

1 2

) (4) :

cosh 1 ~ (6), :

ln 1

tan ln 1

como senhy x sustituyendo en

y x de ahí tenemos

x x y senh x

Por to senh x x x

Demostración:

1

2

tanh ~ (1), tanhcosh

~ (2)

( ) ,

( 1) (1 ) ~ (3) (3) (1 ) :

1 ~ (4)1

log

y y

y y

y y y y y y y y

y y y y

y y

y

yy

y

senhyy x entonces x yy

e exe e

x e e e e xe xe e exe e e xee x e xDividiendo entre e x

x e ex e

Aplicando aritmo e

2

1

(4) :1ln ln 2 ~ (5)1

(5) :1 1ln ~ (6)2 1

(6) (1) :1 1tanh ln ; . .2 1

y

nx e yx

Despejando a y dexyx

Sustituyendo enxx Q E Dx

Nota: Las demás demostraciones se dejan como ejercicio a los

estudiantes. Deben enviarlas por e-mail o presentarlas en el cuaderno.

Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas se dejan como tarea

para a los estudiantes, también.

Teorema 18. Derivación e integración de funciones hiperbólicas

inversas.

1 1

2 2

1 12 2

1

2

' '[ ] [ ]

1 1' '[tan ] [ t ]

1 1'[sec ]

1

Sea u una función derivable de xd u d usenh u cosh udx dxu ud u d uh u co h udx u dx ud uh udx u u

2 2

2 2

2 2

1

2

2 2

2 2

' [ sc ]1

ln( )

1 ln2

1 ln

duu a

dua u

duu au

d uc h udx u u

a u a c

a u ca a u

a u a ca u