Matemática Básica

INECUACIONES DE PRIMER

GRADO, SEGUNDO GRADO Y

APLICACIONES

DEMETRIO CCESA RAYME

Un empresario de una constructora está en duda

entre alquilar o comprar una camioneta y le

solicita ayuda a uno de sus ingenieros civiles. El

ingeniero hace las siguientes investigaciones:

a)La renta es de 5 000 dólares mensuales, el

mantenimiento diario y pago al chofer es de

50 dólares.

b)Si opta por comprar tendrá una inversión

48 000 dólares y mantenimiento diario y pago

al chofer de 70 dólares.

Sabiendo que la obra se terminará en un año y

que el ingeniero tomó la decisión de alquilar.

¿Qué tipo de análisis matemático utilizó el

ingeniero para tomar esa decisión? Y ¿por qué?

Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25

cada uno. El costo “C” (dado en dólares) para producir las “ x”

unidades a la semana está expresado por: C = 3000 + 20x – 0,1x2

Determine: ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la

semana; de manera que el fabricante obtenga ganancia?

Recordar

Ecuaciones lineales.

Propiedades de las desigualdades.

Intervalos

Simplificar expresiones algebraicas.

Resolver ecuaciones cuadráticas.

Verificar las soluciones de una ecuación

cuadrática.

Encontrar las ecuaciones del costo total, del

ingreso total y de la utilidad total.

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemasaplicados a la ingeniería y gestión empresarial sobreinecuaciones lineales y cuadráticas, aplicando propiedades ycriterios de solución.

Logros de Aprendizaje

Temario

Inecuaciones lineales

Inecuaciones Cuadráticas

Técnica para resolver una I.C.

Caso1: Factorizable

Ejemplos

Caso 2: No factorizable

Ejemplos

Aplicaciones a la gestión-inecuación lineal

Ejemplos de Aplicaciones de las I.C.

Inecuación

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen

una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la

desigualdad es del tipo mayor o menor se denomina inecuación en

sentido estricto y si es del tipo mayor igual o menor igual se

denomina inecuación en sentido amplio.

Ejemplos

322) xa 83) 2 xb 83) 2 xc

Inecuación lineal

Una inecuación lineal es de la forma

0;0 abax

0;0 abax

0;0 abax

0;0 abax

Pasos a seguir para resolver una inecuación lineal:

Simplifique cada lado de la desigualdad , tanto como sea posible, utilizando la propiedad distributiva para eliminar los signos de agrupación y mediante la combinación de términos semejantes.

Utilice la propiedad de la adición de la desigualdad para expresarla convenientemente; los términos que tengan variables queden a un lado y los términos independientes estén al otro lado.

Use la propiedad de la multiplicación para llegar a la desigualdad de la forma x < k.

Se sugiere representar gráficamente la solución y escribir el intervalo correspondiente, como conjunto solución.

22

2

13

3

22

xx

Resolver

Solución

26

2

3

3

42

xx

26

36982

xx

26

192

xx

6

19

22

xx

6

19

2

4

xx

6

19

2

3

x

9

19x

-19/9

x

;9

19..SC

)3

2(24

4

3

)12(4 xxx

Resolver

Solución

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Son inecuaciones que se reducen a cualquiera de las formas:

2

2

2

2

0

0

0

0

; ;

0

:

ax bx c

ax bx c

ax bx c

ax

Observación

bx c

a b c

pero a

Observación: 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0

CASO 1. 2 : 0Factorizaba lx ebx c

Factorizar por el método del aspa simple e igualar a cero cada factor

para obtener los puntos críticos o utilizar la fórmula general.

Ubicar en la recta real los puntos críticos, dividiéndose así la recta

real en varios subintervalos y asignar en cada subintervalo el signo

positivo y negativo de derecha a izquierda en forma alternada.(*)

En el gráfico del paso anterior, elegir aquel o aquellos intervalos

con

el mismo signo de acuerdo a la desigualdad dada ya que estos

formarán el conjunto solución de la inecuación cuadrática.

(*)Si el punto crítico se repite un número par de

veces, se repite el signo anterior.

Ejemplo 1

Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:

0722 xx

Solución:

2 72 0x x + - +

-9 8

. . 9;8C S

P.C. 9;8

9 8 0x x

Ejemplo 2

Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:

081182 xxSolución:

2 18 81 0x x

++

9

𝐶. 𝑆. = ℝ − 9 P.C. 9

9 9 0x x

2

9 0x

CASO 2. 2 : 0NoFactorizabax b c ex l <

CASO 2.1.

CASO 2.2.

2 0 0 0

. .

ax bx c

C S

< <

𝐶. 𝑆. = ℝ

2 0 0 0

. .

ax bx c

C S

> < 2 0 0 0

. .

ax bx c

C S

> <

Ejemplo 3

Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:

Solución:

Por el caso 2.1 C.S.= ℝ

Pero: ∆=(1)2−4(1)(1)= -3<0

𝑥2 + 𝑥 + 1 ≥ 0

𝑥2 + 𝑥 + 1 ≥ 0

Ejemplo 4

Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:

Solución:

2 11 0x x

Por el caso 2.2 C.S.= ф

𝑥2 + 𝑥 + 11 <0

Pero: ∆=(1)2−4(1)(11)= -43<0

APLICACIONES LA GESTIÓNRecordar las siguientes definiciones:

Costo variable.

Es el costo que está relacionado de forma directa con la

producción. Ejemplo, materia prima, mano de obra, etc.

Se calcula, como el producto del costo unitario por la cantidad

producida.

Costo fijo.

Es el costo que no está relacionado de forma directa con la

producción. Ejemplo, Alquiler, vigilancia, etc.

Ingreso = (Precio unitario)(Cantidad vendida)

Costo Total = Costo variable + costo fijo

Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada

ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los

distribuidores es de $1.40 por revista. El ingreso por publicidad es

10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los

ejemplares vendidos por arriba de 10 000. ¿Cuál es el número

mínimo de revistas que deben producirse y venderse de modo que la

compañía obtenga ganancias?

Un elevador de un hospital no puede transportar más de 700 Kg de

carga. Si en el elevador hay una cama con un paciente que pesa 110

kg. Una enfermera de 60 Kg. y un médico con un peso de 80 kg.

¿cuántas personas de 70 kg. , como máximo, podrán ingresar al

elevador?

Se tiene una lámina de metal de dimensiones “x” metros de largo por

“x-1” metros de ancho. Si en cada esquina se recortan cuadrados de

0,5 m de lado y se doblan los bordes hacia arriba; formando así una

caja de volumen no menor de 1 m3. Calcular las posibles

dimensiones de la lámina de metal si se sabe que no exceden de 4

metros de largo.

Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un

costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75%

céntimos en el precio, el peluquero perderá 10 clientes. ¿Cuál es el

precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos

semanales no sean menores que los actuales?