TRANSFORMACIONES EN EL PLANO

Profesor:

Evaluación (de proceso)

Ángel CRISTANCHO

El alumno reconoce el significado de las coordenadas de unvector

El alumno ejecuta el desplazamiento de una figura, a travésde un vector

El alumno reconoce la traslación como una transformacióngeométrica

Transformaciones Isométricas

Es decir, una transformación isométrica convierte una figura en otra que es imagen de la primera, y por lo tanto congruente a la original

Representan movimiento de figuras que conservan susdimensiones (forma y tamaño) cambiando solo de posición(orientación o sentido de ésta)

TRASLACIÓN:

REFLEXIÓN

ROTACIÓNTraslaciónhttps://www.youtube.com/watch?v=C3Ydl25rESg Reflexiones

https://www.youtube.com/watch?v=hHGmnFM-GCk

Rotaciónhttps://www.youtube.com/watch?v=zfl-_6Rt2s4

Y… ¿para qué sirven las transformaciones isométricas?

Una de las aplicaciones más conocidas que puede darse a este tipo de transformaciones es la teselación del plano, que consiste en el cubrimiento del mismo mediante figuras de manera de que no queden ni figuras superpuestas, ni huecos vacíos entre las mismas.

Las teselaciones se utilizan de distintas formas yasea para motivos artisticos o de arquitectura, yaque permiten satisfacer la necesidad de recubrirtotalmente un plano (cuadros, suelos, paredes,etc)También se aplican en diseños decorativos paraobjetos cotidianos : alfombras, tapices,ropas,muebles,etc.

Mosaico romano

Figura presente en la ornamentación mudéjar,Catedral de la Seo de Zaragoza

Y… ¿para qué sirven las transformaciones isométricas?

En el arte……

Maurits Cornelis Escher, arquitecto, 1898

Y… ¿para qué sirven las transformaciones isométricas?

Para la construcción de caminos y calzadas……

Hoy estudiaremos una de las transformaciones isométricas :

LA TRASLACION

la traslación es aquel movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea

recta, manteniendo su forma y tamaño.

¿Cómo representar el movimiento de traslación de una figura, en un plano cartesiano?

Vector

Coordenadas del vector

Sistema de ejes cartesianos

Recuerda

(-5,-3)

En un sistema de ejes cartesianos cadapunto se expresa mediante unacoordenada que tiene dos números(x,y).

La primera o abscisa indica la posiciónsobre el eje horizontal, positiva a laderecha del origen, negativa a laizquierda.

La segunda u ordenada la posiciónsobre el eje vertical, positiva haciaarriba, negativa hacia abajo.

Recuerda

Conceptos previos

Un vector fijo del plano es un segmento orientado que se caracteriza poseer :

Módulo : longitud del segmento

Dirección: orientación de la recta

Sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta

Coordenadas de un vector→

AB está determinado por dos puntos delplano, A(x1,y1) que es su origen y B(x2,y2) que es su extremo.

Las coordenadas de→

AB son las de B menos las de A:

→

AB =(x2 - x1 , y2 - y1).

x2 - x1 : desplazamiento horizontal A (derecha izquierda)

y2 - y1 : desplazamiento vertical de A (arriba abajo) hasta llegar a B

A

B

Conceptos previos

Las coordenadas del vector corresponde a un

par ordenado de números T(a , b), donde:

a representa el desplazamiento horizontal

(derecha izquierda) e

b representa el desplazamiento vertical. (arriba,

abajo)Horizontal

Vertical X

Y

Conceptos previos

¿Cómo representar el movimiento de traslación de una figura, en un plano cartesiano?

Explicación Traslaciónhttps://www.youtube.com/watch?v=C3Ydl25rESg

A(4,6)

A’ (2,3)

1) Trasladar el punto A(4,6)A través del vector T(-2,-3)

2 izquierda y 3 hacia abajo

2) Trasladar el punto B(-5,2)

a través del vector T(4,4)

4 derecha y 4 hacia arribaB(-5,2)

B’(-1,6)

Ejercicio N°1

Ojo : Si sumas las

coordenadas del puntoinicial con las del vectorobtienes la coordenadas delpunto trasladado(homólogo)

A(4,6) +T(-2,-3) = A’ (2,3)

B(-5,2) + T(4,4) = B’ (-1,6)

El VECTOR TRASLACIÓN

Podemos generalizar lo anterior, diciendo

Si conocemos el punto P(x, y) y las coordenadas del vector de

traslación T(a, b), podemos conocer las coordenadas del punto

homologo, las que son P´(x + a, y + b ).

Es decir podemos definir una aplicación T(a, b), llamada vector de

traslación, tal que:

P(x, y)T(a, b)

P´( x + a, y + b )

Ejemplo

P(2, 1)

T(3, 5)

P´(2 + 3, 1 + 5)

P´(5, 6)

Ejercicio N°2P(x, y)

T(a, b)

P´( x + a, y + b )

3) Aplicar el vector de traslación T(3, -5) al punto P(2, 1)

¿ Cuáles son las coordenadas resultantes?

4) Aplicar el vector de traslación T(3, -5)al punto P(-2, -1)¿Cuáles son las coordenadas resultantes?

Desarrollo (3)

P(2, 1)

T(3, -5)

P´(2 + 3, 1 + -5)

P´(5, -4)

-1 1 2 3

3

1

2

4

y

x4 5

-3

-2

-4

-5

P(2, 1)

T(3, -5)

P´(5, -4)

P

P´

La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN”

Desarrollo (3)

Ahora¿Como se podría representar la Traslación de una

figura geométrica en un sistema de ejescoordenados

Ejercicio N°3

5) Dibuje los puntos P(1,2), Q(3,1) y R(4,3)

6) Aplique a cada punto el vector de traslación T(-4,2)

Si aplicamos el vector de traslación T(-4,2) , obtenemos los

siguientes puntos homólogos: P´, Q´ y R´.

P(1,2)

T(-4,2)

P´(-3,4)

Q(3,1) Q´(-1,3)

R(4,3) R´(0,5)

7) Una los puntos PQR ¿Qué figura se obtiene?

8) Una los puntos trasladados u homólogos P’Q’R’ ¿Qué figura se obtiene?

9) Hubo un desplazamiento de T (-4,2) (4 unidades a la izquierda y 2 hacia arriba)

¿Quien se movió? ¿Los puntos o la figura?

Efectivamente se mueven ambos (Puntos y figura), por lo que el triángulo

se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba, de la

siguiente manera:

1

2

3

4

2 3 4-1-2-3

1

5

P(1,2) P´(-3,4)

Q(3,1) Q´(-1,3)

R(4,3) R´(0,5)

T(-4,2)

Entonces….Volvemos a la preguntainicial:¿Cómo representar un movimiento detraslación de una figura, en un planocartesiano?

El movimiento de traslación de una figura en un plano

cartesiano se representa a través de la aplicación de vector

de traslación T(a,b) a todos los puntos pertenecientes a

ésta

a corresponde al movimiento horizontal y b al vertical de

la figura

Y….

La expresión matemática del vector de traslación T(a,b) es una aplicación T(a, b),tal que:

P(x, y)

T(a, b)P´( x + a, y + b )

Todos estos conceptos se aplicaran en las próximas clases cuando se trabajeEn la composición de traslaciones y posteriormente se utilizaran en el capitulocorrespondiente a las teselaciones en el plano

Valoramos vuestra atención

TRASLACIÓN:

REFLEXIÓN

ROTACIÓN

FIN

FIN

NIF

FIN FIN FIN

Reflexioneshttps://www.youtube.com/watch?v=hHGmnFM-GCk

Rotaciónhttps://www.youtube.com/watch?v=zfl-_6Rt2s4

Ejes de simetría https://www.youtube.com/watch?v=b-3JmBwH6BE

Actividad ejes de simetríahttps://es.educaplay.com/juego/1047003-matematicas_4_primaria_u_12_simetrias_numero_de_ejes_de_simetria_de_poligonos.html