Transformada de Fourier de Tiempo Discreto

Transformada

de Fourier de

Tiempo

Discreto

EJERCICIOS “TRANFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO”

5.1 Use la ecuación de análisis (5.9) de la transformada de Fourier para calcular las

transformadas de:

OCTAVE

Forma 1:

n=-6:6;

a=1/2;

un1=(n-1>=no);

xn=un1.*a.^(n-1);

subplot(2,1,1);

stem(n,xn,'m');

title('Senal x(n)');

xlabel('n');

ylabel('x');

w=-4*pi:0.01:4*pi;

tdfp=-1+2./1-(a.*exp(-i*w));

subplot(2,1,2);

plot(w,abs(tdfp),'m');

title('Transformada x(n)');

xlabel('\omega');

ylabel('X(e^j\omega)');

set(gca,'XTick',-4*pi:2*pi:4*pi)

set(gca,'XTickLabel',{'-4pi','-2pi','0','2pi','4pi'})

xlim([-4*pi,4*pi]);

GRÁFICO

Forma 2:

a=1/2;

un1=(n-1>=no);

xn=un1.*a.^(n-1);

subplot(2,1,1);

stem(n,xn,'m');

ylabel('x');

W = -3*pi:0.01:3*pi;

for k=0:20

y=a.^k.* exp(-i*W.*(k+1));

X= X + y;

endfor

subplot(2,1,2);

plot(W,fftshift(abs(X)),'m');

xlabel('\omega');

xlim([-4*pi,4*pi]);

GRÁFICO

OCTAVE

n=-6:6;

a=1/2;

un1=(n+1>=no);

un2=(n-1>=no)

xn=un1+un2;

subplot(2,1,1);

stem(n,xn)

w=-10:0.01:10;

tdfp=exp(-i*w)+exp(i*w);

subplot(2,1,2);

plot(w,abs(tdfp));

xlim([-4*pi,4*pi])

xlabel('\omega')

ylabel('|F(w)|')

title('Transformada x(n)')

GRÁFICO

5.2 Use la ecuación de análisis (5.9) de la transformada de Fourier para calcular las

transformadas de:

OCTAVE

n=-6:6;

u1=heaviside(n+1)

u2=heaviside(n-1);

xn=u1+u2;

subplot(2,1,1);

stem(n,xn,'m')

ylabel('x');

w=-4*pi:0.01:4*pi;

tdfp=exp(-i*w)+exp(i*w);

subplot(2,1,2);

xlabel('\omega')

ylabel('X(e^j\omega)')

GRÁFICO

OCTAVE

n=-6:6;

un1=heaviside(n+2);

un2=heaviside(n-2);

xn=un1 - un2;

subplot(2,1,1);

stem(n,xn,'m')

ylabel('x');

w=-4*pi:0.01:4*pi;

tdfp=exp(2.*-i*w)+exp(2.*i*w);

subplot(2,1,2);

xlabel('\omega')

ylabel('X(e^j\omega)')

GRÁFICO

5.3 Determine la transformada de Fourier para en cada caso de las

siguientes señales periódicas:

OCTAVE

Forma 1:

n=-10:10;

a=pi./3;

b=pi./4;

x= sin(a.*n+b);

subplot(211)

stem(n,x,'m');

ylabel('x(n)');

u1=heaviside(w-2.*pi/6);

u2=heaviside(w+2.*pi./6)

w=-pi:0.01:pi;

X=(2.*pi.*(1/2.*i)*exp(i.*(pi.*/4)).*u1)-

(2.*pi.*(1/2.*i)*exp(-i.*(pi.*/4)).*u2);

subplot(212);

plot(w,abs(X),'m');

set(gca,'XTick',-2*pi:pi:2*pi)

set(gca,'XTickLabel',{'-2pi','-pi','0','pi','2pi'});

xlim([-2*pi,2*pi]);

xlabel('\omega');

GRÁFICO

OCTAVE

Forma 2:

n=-10:10;

a=pi./3;

b=pi./4;

x= sin(a.*n+b);

subplot(211)

stem(n,x,'m');

xlabel('n');

ylabel('x');

y=fft(x,100);

g=fftshift(y);

ww=-pi:0.1:pi;

Fw=1./(1+i*ww).^2;

subplot(212);

plot(ww,abs(Fw),'m');

xlim([-2*pi,2*pi]);

xlabel('\omega');

GRÁFICO

OCTAVE

figure(1);

n=-10:10;

a=pi./3;

b=pi./4;

x= 2+cos(a.*n+b);

subplot(211)

stem(n,x,'m');

ylabel('x(n)');

X=f1+f2+f3;

subplot(212);

plot(w,imag(X),'m');

xlim([-2*pi,2*pi]);

xlabel('\omega');

figure(2);

w=-pi:0.01:pi;

u0=heaviside(w);

u1=heaviside(w-pi/6);

u2=heaviside(w+pi./6)

f1=2.*pi.*2.*u0;

f2=2..*pi.*(0.5.*exp(i.*pi./6)).*u1;

f3=2..*pi.*(0.5.*exp(-i.*pi./8)).*u2;

subplot(311);

plot(w,angle(f1),'m');

title('1er Termino');

xlabel('\omega');

subplot(312);

title('2do Termino');

xlabel('\omega');

subplot(313);

title('3er Termino');

xlabel('\omega');

GRÁFICO

5.4 Use la ecuación de síntesis (5.8) de la transformada de Fourier para calcular las

transformadas inversas de Fourier de:

OCTAVE

w=-4.*pi:0.01:4.*pi;

for k=0:5

u1=2.*pi.*heaviside(w-2.*pi.*k);

u2=pi.*heaviside(w-(pi./2)-2.*pi.*k);

u3=pi.*heaviside(w+(pi./2)-2.*pi.*k);

y=u1+u2+u3;

x= x + y;

endfor

subplot(211);

plot(w,abs(x),'m');

title('Tranformada de Fourier');

xlabel('\omega');

n=-6:6;

X=1+cos(pi.*n./2);

subplot(212);

stem(n,X,'m');

title('Tranformada Inversa de Fourier');

ylabel('x(n)');

xlabel('n');

GRÁFICO

OCTAVE

w=-4.*pi:0.01:4.*pi;

x1=((w>-pi)&(w<=0)).*(-2.*i)

x2=((w<=pi)&(w>0)).*(2.*i);

y=x1+x2;

subplot(211);

plot(w,angle(y),'m');

n=-6:6;

X=-(4./n.*pi).*sin(n.*pi/2).^2;

subplot(212);

stem(n,X,'m');

ylabel('x(n)');

xlabel('n');

GRÁFICO

5.5 Use la ecuación de síntesis (5.8) de la transformada de Fourier para calcular las

transformadas inversas de Fourier de , donde

Use su respuesta para determinar los valores de para los cuales

OCTAVE

w=-4.*pi:0.01:4.*pi;

if (abs(w)>=0)&(abs(w)<pi./4)

elseif (abs(w)>=pi./4)&(abs(w)<pi)

y= y.* (-3.*w./2);

subplot(211);

plot(w,abs(y),'m');

n=-6:6;

a=pi./4;

X=sin(a.*(n-3./2))./(pi.*(n-3./2));

subplot(212);

stem(n,X,'m');

ylabel('x(n)');

xlabel('n');

GRÁFICO

5.6 Dado que tiene transformada de Fourier , exprese las transformadas de

Fourier de las siguientes señales en términos de . Puede usar las propiedades de

la transformada de Fourier enumeradas en la tabla 5.1.

OCTAVE

n=-6:6;

a=1/2;

un1=(1-n>=n0);

un2=(-1-n>=n0);

xn=un1+un2;

subplot(2,1,1);

stem(n,xn,'m');

xlabel('n');

ylabel('x');

w=-4*pi:0.01:4*pi;

dtft=2.*cos(w);

subplot(2,1,2);

plot(w,fftshift(abs(dtft)),'m');

xlabel('\omega');

xlim([-4*pi,4*pi]);

GRÁFICO

5.7 Para cada una de las siguientes transformadas de Fourier, use las propiedades de la

transformada de Fourier (tabla 5.1) para determinar si la señal correspondiente en el

dominio del tiempo es: (i) real, imaginaria o ni lo uno ni lo otro; (ii) par, impar, o ninguna

de las dos. Haga esto sin evaluar la inversa de las transformadas dadas.

Considere la señal con transformada de Fourier

OCTAVE

w=-4*pi:0.01:4*pi;

dtft=0;

for k=0:20

y=sin(k.*w);

dtft= dtft + y;

endfor

plot(w,fftshift(dtft),'m');

title('Transformada y[n]');

xlabel('\omega');

ylabel('Y(e^j\omega');

GRÁFICO

Vemos que es real e impar. De la tabla 5.1, sabemos que la transformada de

Fourier de una señal real e impar es puramente imaginaria e impar. Por lo tanto,

podemos decir que la transformada de Fourier de una señal puramente imaginaria e

impar es real e impar. Usando esta observación, se concluye que es puramente

imaginaria e impar.

Tenga en cuenta que ahora

Por lo tanto, . Por lo tanto, también es puramente imaginario.

Pero no es par ni impar.

OCTAVE

w=-4*pi:0.01:4*pi;

x= i.*sin(w).*cos(5.*w);

plot(w,imag(x),'m');

title('Transformada x[n]');

xlabel('\omega');

GRÁFICO

Observemos que es puramente imaginaria e impar. Por lo tanto, tiene

que ser real e impar.

5.8 Analizar la siguiente transformada de Fourier de:

OCTAVE

figure(1);

w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;

num = [2 1];den = [1 -0.6];

h = freqz(num, den, w);

plot(w/pi,real(h),'m');grid

title('Parte Real H(e^{j\omega})')

xlabel('\omega /\pi');

ylabel('Amplitud');

figure(2);

plot(w/pi,imag(h),'m');

title('Parte Imaginaria H(e^{j\omega})')

ylabel('Amplitud');

figure(3);

plot(w/pi,abs(h),'m');

title('Espectro de Magnitud |H(e^{j\omega})|')

ylabel('Amplitud');

figure(4);

plot(w/pi,angle(h),'m');

title('Espectro de Fase arg[H(e^{j\omega})]')

ylabel('Fase en radianes');

GRÁFICO

5.9 Se dan las siguientes características acerca de una señal particular con

transformada de Fourier :

Determine

De la propiedad 5.3. en la tabla 5.1, sabemos que para una señal real ,

A partir de la información dada,

Por lo tanto,

También sabemos que

Y la para . Por lo tanto,

Ahora solo tenemos que encontrar . Utilizando la relación de Parseval, tenemos

A partir de la información dada, podemos escribir

Esto da . Pero ya que estamos teniendo en cuenta que , concluimos

Por lo tanto,

OCTAVE

n=-6:6;

xn=heaviside(n)+heaviside(n+1)-heaviside(n+2);

stem(n,xn,'m');

title('x[n]');

xlabel('n');

ylabel('xn');

5.10 Sea

Donde denota la convolución . Determine una restricción rigurosa en

La cual asegure que

Considere la señal

De la tabla 5.2, obtenemos la transformada de Fourier de tal que

El argumento es como el que se muestra en la figura S5.12. Ahora consideremos

la señal . Usando la propiedad de multiplicación (Tabla 5.1, Propiedad

5.5), obtendremos la transformada de Fourier de tal que

Está claro que es cero para . Por usar la propiedad de convolución

(Tabla 5.1, Propiedad 5.4), notamos que

El argumento es mostrado en la figura S5.12. Está claro que si

, entonces .

OCTAVE

x=[zeros(1,-3) ones(0,4) zeros(1,3)];

stem(x,'m');

title('Transformada inversa');

GRÁFICO

5.11 Un sistema LTI con respuesta al impulso se conecta en paralelo con

otro sistema LTI casual con respuesta al impulso . La interconexión en paralelo que

resulta tiene la respuesta en frecuencia

OCTAVE

figure(1);

w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;

num = [-12 5];den = [12 -7 1];

ylabel('Amplitud');

figure(2);

ylabel('Amplitud');

figure(3);

ylabel('Amplitud');

figure(4);

GRÁFICO

Determine

Cuando dos sistemas LTI están conectados en paralelo, el impulso que responde de

todo el sistema es la suma de los impulsos que responden del sistema individual. Por lo

tanto,

De la Tabla 5.1, Propiedad 5.3.2,

Dado que , obtenemos

Por lo tanto,

OCTAVE

figure(1);

w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;

num = [-2];den = [1 -0.25];

ylabel('Amplitud');

GRÁFICO

Tomando la transformada inversa de Fourier,

OCTAVE

figure(1);

n=-6:6;

x=-2.*(0.25.^n);

stem(n,abs(x),'m');

title('Tranformada inversa'')

xlabel('n');

ylabel('xn');

GRÁFICO

5.12 Considere un sistema LTI causal y estable cuya entrada y salida estén

relacionadas mediante una ecuación de diferencias de segundo orden

(a) Determine la respuesta en frecuencia del sistema .

(b) Determine la respuesta al impulso del sistema .

a) Tomando la transformada de Fourier de ambos lados de la ecuación diferencial,

tenemos

Por lo tanto,

OCTAVE

figure(1);

w = -4*pi:8*pi/511:4*pi;

num = [1];den = [1 -0.33 -0.33];

subplot(221);

ylabel('Amplitud');

subplot(222);

ylabel('Amplitud');

subplot(223);

ylabel('Amplitud');

subplot(224);

GRÁFICO

b) Usando la expresión de fracción parcial,

Usando la Tabla 5.2, y tomando la transformada de Fourier inversa, obtenemos

OCTAVE

n=-6:6;

x=3./5.*(1./2).^n+2./5.*(-1./3).^n;

stem(n,abs(x),'m');

title('Tranformada inversa');

xlabel('n');

ylabel('xn');

GRÁFICO

5.13 Ejemplo utilizando fft e ifft

OCTAVE

x = [1 2 4 2 6 32 6 4 2 zeros(1,247)];

x1 = [x(1) x(256:-1:2)];

xo = 0.5 *(x - x1);

XF = fft(x);

XOF = fft(xo);

k = 0:255;

subplot(2,2,1);

plot(k/128,real(XF),'m'); grid;

ylabel('Amplitud');

title('Re(DFT\{x[n]\})');

subplot(2,2,2);

plot(k/128,imag(XF),'m'); grid;

ylabel('Amplitud');

title('Im(DFT\{x[n]\})');

subplot(2,2,3);

plot(k/128,real(XOF),'m'); grid;

xlabel('Tiempo n');ylabel('Amplitud');

title('Re(DFT\{x_{o}[n]\})');

subplot(2,2,4);

plot(k/128,imag(XOF),'m'); grid;

xlabel('Tiempo n');ylabel('Amplitud');

title('Im(DFT\{x_{o}[n]\})');

GRÁFICO

OCTAVE

figure;

x=[zeros(1,10) ones(1,7) zeros(1,10)];

y=fft(x);

subplot(2,1,1);

stem(x,'m');

subplot(2,1,2);

plot(abs(y),'m')

figure;

y2=fft(x,64);

y3=fft(x,128);

figure;

subplot(3,1,1);

plot(abs(y),'m')

subplot(3,1,2);

plot(abs(y2),'m');

subplot(3,1,3);

plot(abs(y3),'m');

GRÁFICO

OCTAVE

w=0:0.01*pi:2*pi;

dtft=N.*sinc(w.*N./2./pi)./(sinc(w./2./pi)).*exp(-j.*w.*(N-

1)./2);

subplot(211);

Mag=abs(dtft);

plot(w./pi,Mag,'m');

title('Magnitud');

subplot(212);

Pha=angle(dtft);

plot(w./pi,Pha,'m');

title('Fase');

GRÁFICO

Transformada de Fourier de Tiempo Discreto

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Transformada de Fourier - isa.uniovi.es

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

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