Dr. Alberto Salgado Rodríguez Dr. Alberto Salgado Rodríguez

} La FFT es un algoritmo numérico para calcular las transformadas discretas de Fourier (DFT). La DFT de la secuencia finita Xr, r=0,1,2, …, N-1 es una nueva secuencia finita Xk, definida por: 

1  1 

0 

) / 2 ( = ∑ −

=

− e x N 

X N 

r 

N kr i r k

π

La FFT es un algoritmo numérico para calcular las transformadas discretas de

La DFT de la secuencia finita 1 es una nueva secuencia 

) 1 ( ,..., 2 , 1 , 0 − =  N k 

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} Con el planteamiento directo (tradicional), se requerirían N 2 multiplicaciones para obtener la secuencia completa Xk , la FFT reduce el trabajo a un numero de operaciones del orden de Por ejemplo si N=215, N 2 =1.1x10 9 , mientras que cual representa 1/2000 veces los cálculos directos. Con la FFT se logra una reducción importante del tiempo de cálculo. Adicionalmente mejora la aproximación al existir menos errores por redondeo por realizar menos operaciones.

Con el planteamiento directo (tradicional), se multiplicaciones para obtener la

, la FFT reduce el trabajo a un numero de operaciones del orden de N log 2 N.

, mientras que N log 2 N=4.9x10 5 , lo cual representa 1/2000 veces los cálculos

Con la FFT se logra una reducción importante del tiempo de cálculo. Adicionalmente mejora la aproximación al existir menos errores por redondeo por realizar menos operaciones.

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} La FFT trabaja particionando en un numero de secuencias mas cortas, y en lugar de calcular la DFT de la secuencia original, solo se trabajan las DFT de las secuencias mas cortas.

} Suponga que Xr, r=0,1,2,…,N secuencia, como la de la figura; donde N es un número par, y se particiona secuencias mas cortas

particionando la secuencia Xr en un numero de secuencias mas cortas, y en lugar de calcular la DFT de la secuencia original, solo se trabajan las DFT de las secuencias mas cortas.

, r=0,1,2,…,N-1 es una secuencia, como la de la figura; donde N es

particiona en dos secuencias mas cortas Yr y Zr

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Las DFT de las dos secuencias cortas son: tanto:

Si ahora se considera la secuencia original sumatoria en dos sumas separadas de términos nones y pares, se obtiene lo siguiente:

Las DFT de las dos secuencias cortas son: Yk y Zk, por lo

Si ahora se considera la secuencia original Xr, reordenando la sumatoria en dos sumas separadas de términos nones y pares,

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Al introducir las variables Yr y Zr obtiene:

Zr, se

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Por lo tanto:

Para

La DFT de la secuencia original se puede obtener ahora directamente de las DFT de las dos secuencias medias Zk, de acuerdo a la ecuación A, la cual es la ecuación clave en el método de la FFT. Si el número de puntos de la secuencia original Xr es una potencia de 2, entonces las secuencias medias Yr y Zr pueden subdividirse a si mismas en cuartos de secuencia, y así sucesivamente, hasta que las últimas subsecuencias

Ecuación A

La DFT de la secuencia original se puede obtener ahora directamente de las DFT de las dos secuencias medias Yk y

, de acuerdo a la ecuación A, la cual es la ecuación clave en el método de la FFT. Si el número de puntos de la

es una potencia de 2, entonces las y Zr pueden subdividirse a si mismas

en cuartos de secuencia, y así sucesivamente, hasta que subsecuencias tengan un solo termino.

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La ecuación A aplica sólo para valores de k entre 0 y N/2 decir sólo aplica a la mitad de los coeficientes de las serie se necesitan los valores de Xk para todo el intervalo entre 0 y N Por lo tanto se requiere determinar los valores de intervalo N/2 ≤ k ≤ (N-1), para lo cual se toma ventaja del hecho que Yk y Zk son periódicas en k y se repiten a si mismas con un periodo N/2, de tal forma que

El procedimiento de calculo para determinar los valores de partir de Yk y Zk es el siguiente:

La ecuación A aplica sólo para valores de k entre 0 y N/2 – 1; es decir sólo aplica a la mitad de los coeficientes de las serie Xk, pero

para todo el intervalo entre 0 y N-1. Por lo tanto se requiere determinar los valores de Xk para el

1), para lo cual se toma ventaja del hecho son periódicas en k y se repiten a si mismas con un

El procedimiento de calculo para determinar los valores de Xk a es el siguiente:

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Una forma alternativa a las ecuaciones anteriores es aquella que permite que k vaya solo de 0 a N/2

Ya que

Las ecuaciones anteriores se pueden simplificar a la siguiente forma: 

1 − = − π i e 

Una forma alternativa a las ecuaciones anteriores es aquella que permite que k vaya solo de 0 a N/2

Las ecuaciones anteriores se pueden simplificar a la siguiente forma:

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Finalmente, si se define una nueva variable compleja W, donde

Se obtiene el siguiente algoritmo:

Ejemplo de cálculo: Para ilustrar la forma en que trabaja la FFT, considere una secuencia que cuenta con sólo 4 términos. La secuencia se puede partir en subsecuencias, hasta que estas sólo contengan un solo término

Finalmente, si se define una nueva variable compleja

Para ilustrar la forma en que trabaja la FFT, considere una secuencia que cuenta con sólo 4 términos. La secuencia se

, hasta que estas sólo

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Es evidente que si existe un solo termino en la secuencia

De manera que la DFT de una secuencia de un solo termino es igual al termino mismo. Por lo tanto:

Entonces, se pueden combinar manera similar, combinar

Es evidente que si existe un solo termino en la secuencia Xr, entonces

De manera que la DFT de una secuencia de un solo termino es igual al termino mismo. Por lo tanto:

Entonces, se pueden combinar Tk y Uk para obtener Yk y, de manera similar, combinar Vk y Wk para obtener Zk.

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Ya que en este caso: 

, 1 2 / = = −i e W y N 

Y así sucesivamente, se tiene

Para  W y N =  , 2 2 / 

1 ) / 2 ( − = = − π π  i N i  e 

i e e W  i N i − = = = − −  2 / ) / 2 ( π π

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Finalmente se tiene

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Los pasos para progresivamente combinar los valores simples de la DFT para obtener todos los términos de la DFT de la secuencia original, se pueden mostrar a través de diagramas denominados: diagramas de flujo mariposa

Los pasos para progresivamente combinar los valores simples de la DFT para obtener todos los términos de la DFT de la secuencia original, se pueden mostrar a través de diagramas denominados:

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