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Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad UD 3
Probabilidad
Grado en Ingeniería Informática
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Introducción
Asumamos que el conjunto de los 131 alumnos querespondieron a la encuesta realizada en clase constituyen unamuestra representativa de los estudiantes de la UPV .
El 30% de las chicas y el 20.9% de los chicos encuestadosmanifestaron considerarse de izquierdas.
¿Puede afirmarse a partir de estos datos, con una razonableseguridad de acertar, que en la UPV la tendencia de izquierdaes mayor en las chicas que en los chicos?
Libro
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Introducción
1) No. Teniendo en cuenta sólo los datos de la muestra no es posible. Si tomáramos otra muestra ¿saldrían de nuevo los mismo porcentajes?
2) Seguro que no. En otra muestra los porcentajes serían diferentes. ¿Serían mayores, menores, muy distintos o similares?
3) Salvo alguna anomalía, es decir, si las diferencias son sólo fruto del azar, los porcentajes serían muy parecidos, pero nunca iguales.
Las técnicas de Estadística Descriptiva vistas (UD2) no son suficientes para contestar a este tipo de preguntas
Inferencia Estadística
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Esquema
PoblaciónEstadística descriptiva
gráficos parámetros tablas
muestreo
Inferencia estadística
Muestra
Conclusiones válidas con razonable seguridad Probabilidad
UD2
UD5
UD4
UD3
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
ContenidoIntroducción1.- Sucesos. Operaciones con sucesos2.- Probabilidad: concepto, cálculo y propiedades3.- Probabilidad de los sucesos 4.- Independencia de sucesos5.- Probabilidad Condicional6.- Teorema de la Probabilidad Total 7.- Teorema de BayesEjerciciosResumen y GlosarioFuentes y Enlaces
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
E (Espacio muestral): conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria
A (Suceso): cualquier subconjunto A de E
1 - Sucesos y operaciones con sucesos
• Población: conjunto de individuos acerca de los cuales se quiere obtener información o inferir conclusiones.
• Variable aleatoria: valores que toma la característica a estudiar de los individuos de la población.
¡Recordar! UD2
En UD3 …
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Sitios web para aprender… jugando
Proyecto Descartes
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Azar_y_probabilidad/index.htm#intro
http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/gallery/recursos_atica/IES%20Campo%20Charro/portada.swf
Proyecto ATICA
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo: Lanzamientos de un dado• Población = {todos los lanzamientos que se puedan efectuar con el
dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso A: sacar un número par• Suceso B : sacar un número >3
E1
3 4
5 6
2
B
A
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
• Suceso seguro : es el asociado a E, que es un subconjunto de sí mismo. Para todos los individuos de la población se verifica dicho suceso.
Tipos de sucesos
• Suceso imposible : es el asociado al subconjunto vacío Φ de E. No contiene ninguno de los posibles valores de E, por lo que no existe individuo alguno en la población para el que se verifique dicho suceso imposible.
• Sucesos excluyentes: son aquellos cuya intersección es el suceso imposible Φ.
• Suceso contrario o complementario a uno dado A, es aquél que se verifica si, y sólo si, no se verifica A. Se le representa por No-A(o también por ).
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Tipos de sucesos
• Suma o unión de sucesos A y B : es un nuevo suceso C que se verifica si, y sólo si, se verifica al menos uno de los dos sucesos. La suma de dos sucesos A y B se expresa utilizando el signo ∪ (o +) C = A ∪ B
• Producto o intersección de sucesos A y B : es un nuevo suceso Cque se presenta si, y sólo si, se presentan tanto uno como el otro suceso. El producto de dos sucesos A y B lo representaremos como A∩B (o .) .
Los sucesos complementarios son siempre excluyentes, pero no todos los excluyentes son complementarios
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
• Suceso seguro E• Suceso imposible Φ• Sucesos excluyentes• Suceso contrario o complementario A o No-A• Suma o unión de sucesos A y B A ∪ B• Producto o intersección de sucesos A y B A∩B• Sucesos elementales y compuestos
Tipos de sucesos
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado
Suceso imposible: sacar un 7
E1
345 62Suceso Seguro
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• A todo suceso A se le puede asociar un número comprendidoentre 0 y 1 al que se denomina probabilidad de dicho suceso, yse le representa por P(A)
• Interpretación intuitiva: la probabilidad de un suceso es la proporción de individuos de la población considerada en los que se verifica dicho suceso.
2 - Probabilidad: concepto, cálculo y propiedades
PoblaciónMuestra
Frecuencia relativa (%)
% de veces que sale un 5 al lanzar el dado
Probabilidad (tanto por uno)
P(A) =P(Obtener un nº=5)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(E) = 1 Probabilidad de sacar un 1, 2, 3, 4, 5 o 6
3. P(No-A) = 1 - P(A) Prob. de NO sacar un 6 = 1 – Prob de sacar un 6
4. P(Φ ) = 0 Probabilidad de sacar un 9
2 - Probabilidad: Propiedades
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
• En un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso seaproxima cada vez más a su probabilidad teórica a medida que aumentael número de experiencias que se realizan.
Probabilidad: Ley de los Grandes Números
Ley del Azar o
Ley de los Grandes Números
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Azar_y_probabilidad/azar_probabilidad_2.htm
http://www.math.canterbury.ac.nz/~j.stover/math160081/Applets/probability.html
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Probabilidad Ejem. 1: Lanzamientos de un dado• Población = {todos los lanzamientos de un dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}• Suceso A: sacar un número par
E1
3 4
5 6
2AL1
L2 L3
L4 L5
L6
L7
L8
...
...
Li
...
Lanzamientos en los que ha salido par se satisface el suceso A
proporción de lanzamientos en los que ha salido par
P(A)
Población
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Probabilidad Ejem. 2: Tiempo de búsqueda en HD• Población = {búsquedas de ficheros en un HD}
• Variable aleatoria: tiempo de búsqueda de ficheros en disco duro t
• E (Espacio muestral) = {0,1 0,11, 0,23, …, 0,5} [0,1 , 0,5] seg.
• Suceso A: tiempo de búsqueda menor que 0,23 s t < 0,23
E0,45
0,4 0,16
0,50,01
0,2AB1
B2 B3
B4 B5
B6
B7
B8
...
...
Bi
...
Búsquedas en las que t < 0,23 sse satisface el suceso A
proporción de búsquedas en
las que t < 0,23 s
P(A)
0,21
0,34
...
...
...
...
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Probabilidad: Ejemplo 2 (cont.)• Población = {búsquedas de ficheros en un HD}
• Variable aleatoria: tiempo de búsqueda de ficheros en disco duro t
• E (Espacio muestral) = {0,1 0,11, 0,23, …, 0,5} [0,1 , 0,5] seg.
• Suceso A: tiempo de búsqueda menor que 0,23 s t < 0,23
E0,45
0,4 0,16
0,50,01
0,2AB1
B2 B3
B4 B5
B6
B7
B8
...
...
Bi
...
P(A) = 0,325 0,21
0,34
...
...
...
...
32,5 %
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
¿Cómo se calcula P(A) ?
Cálculo de probabilidades
P( ) = expresión mateA mática
• Existen modelos (expresiones matemáticas) que se adecuan a las diferentes pautas de variabilidad de las variables aleatorias (UD4)
• Binomial
• Poisson
• Exponencial
• Uniforme
• Normal
Pero antes …
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
• E es finito• Por razones de simetría puede asumirse que la probabilidad es la
misma para cada uno de sus valores
Cálculo de probabilidades: Regla de Laplace
Casos favorablesP( ) = Casos pos
Aibles
La probabilidad de un suceso coincide con el cociente entre el número de valores favorables a dicho suceso y
el número de valores posibles.
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Si un dado es simétrico
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzarlo?
¿Por qué?
Ejemplo
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo Regla de Laplace• Población = {todos los lanzamientos que se puedan efectuar con el
dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso A: sacar un número par
E
1
3 4
5 6
2A Casos favorables
al suceso A
Casos posiblesP(A )=3/6
Todos los valores tienen la misma probabilidad
de salir en cada lanzamiento
E es finito
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
3 - Probabilidad de los sucesos
• Unión• Intersección• Producto
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Probabilidad de la unión de sucesos
E1
3 4
5 6
2
B
A
Suceso A: sacar número parSuceso B : sacar número >3
Suceso C = A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
Casos favorables al suceso A
Casos posibles
P(A ∪ B ) = 4/6 = 2/3
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
El caso general unión de 2 sucesos es:
Propiedades P(A∪B)
El caso general probabilidad de la unión de 3 sucesos es:
P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) -P(B∩C) + P(A∩B∩C)
Esta expresión se puede generalizar para la suma de k sucesos
Calcula la P(A ∪ B) del ejemplo anterior con esta expresión y comprueba el resultado obtenido.
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Propiedades P(A∪B)
Si los sucesos son excluyentes :
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)P(A∩B)= O
Calcula la P(A) + P(B).
¿Es la misma que P(A ∪ B)?
EjemploSuceso A: sacar número parSuceso B : sacar número 3
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Probabilidad de la intersección de sucesos
E1
3 4
5 6
2
B
A
Suceso A: sacar número parSuceso B : sacar número >3
Suceso C = A ∩ B = {4, 6}
Casos favorables al suceso A
Casos posibles
P(A ∩ B )=2/6
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo• Población = {todos los lanzamientos de un dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso A: sacar un número par• Suceso B : sacar un número >3
A y B ¿Son excluyentes?
¿Si sale un número par implica que no puede ser mayor que 3?
P(A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
NO
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo• Población = {todos los lanzamientos de un dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso A: sacar un número par• Suceso B : sacar el número 3
A y B ¿Son excluyentes?
¿Si sale un número par implica que no puede ser 3?
P(A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = 3/6 + 1/6 – 0 = 4/6 = 2/3
Sí
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
EjemploSuceso A: sacar número parSuceso D : sacar un 3
E1
3 4
5 6
2D
A
Suceso C = A ∩ D = {Φ}
A y D son excluyentes, pero NO complementarios
Suceso A: sacar número parSuceso No-A : sacar imparSuceso C = A∩No-A = {Φ}
E1
3 4
5 6
2No-A
A
A y No-A son complementarios (y excluyentes, por tanto)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Leyes de Morgan
Ejemplo 1 (cont.)
A B A B=
Suceso A: sacar número parSuceso B : sacar número >3
E1
3 4
5 6
2
B
A
A B A B=
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Supóngase el experimento consistente en lanzar simultáneamente dos dados que sean perfectamente simétricos.
1) ¿Cuál sería la probabilidad del suceso A "en el primer dado se obtiene un 6" ?
2) ¿y la del suceso B "en el segundo dado se obtiene un 6"?
3) ¿Cuál sería el suceso A∪B?
4) ¿Sería su probabilidad mayor, menor o igual que 2/6?
¿Por qué?
Ejemplo
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo
3) P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
1) P(A) = 1/6
2) P(B) = 1/6
P(A∩B) = 1/36 ≠ 0
4) P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 2/6 – 1/36 < 2/6
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio repaso
• P(A), (B)• Ejemplo de sucesos exluyentes• Ejemplo de sucesos complementarios• P(A ∪ B) por la Regla de Laplace• P(A ∩ B) por la Regla de Laplace• P(A ∪ B) a partir de la propiedad de la union
Suceso A: sacar número parSuceso B : sacar número >3Suceso C : sacar número 2
• Población = {todos los lanzamientos que se puedan efectuar con el dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
4 - Independencia de sucesosIntuitivamente:
• A el hecho de que se verifique B no afecta, en absoluto, a que se verifique A.
• Que se cumpla B no modifica la probabilidad de A
Cuando 2 sucesos son independientes:
P(A∩B) = P(A).P(B)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo sucesos NO independientes
A y B ¿Son independientes?
Si se trata de adivinar, ¿el saber que en una tirada ha salido un número mayor que 3,
aporta información sobre la probabilidad de que el número sea par?
P(A) x P(B) = 1/2 x 1/2 =1/4 P(A∩B) = 1/3
NO son Independientes
SÍ
Lanzamos un dado simétrico y sean los sucesos:A = obtener un número parB = obtener un número mayor que 3
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo sucesos independientes
A y B ¿Son independientes?
Si se trata de adivinar, ¿el saber que ha salido un as,
aporta información sobre la probabilidad de que la carta sea de oro?
P(A) x P(B) = 4/40 x 10/40 =1/40 P(A∩B) = 1/40
SÍ son Independientes
NO
Sacamos una carta al azar de una baraja española (40 cartas, 10 de cada palo) y sean los sucesos:
A = sacar un as B = sacar un oro
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
4 - Independencia de sucesos
IndependientesDependientes
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Dados dos sucesos A y B, decimos que la
Probabilidad de A condicionado a B
5 – Probabilidad Condicional
P(A/B)
P(A )P( / B) =B AP(B)
es la probabilidad de que se haya presentado el suceso A sabiendo que se ha presentado el suceso B
Se calcula:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Representa la proporción de individuos que verifican el suceso A en la subpoblación constituida por los individuos que verifican el suceso B
4 – Probabilidad Condicional.
PoblaciónMuestra
Frecuencia relativa condicional (%)
% de veces que se cumple A, sabiendo que
se ha cumplido B
Probabilidad (tanto por uno)
P(A/B)
http://setosa.io/conditional/Explicación visual
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo probabilidad condicional• Población = {todos los lanzamientos de un dado}• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso A: sacar un número par• Suceso B : sacar un número >3
E1
34
56
2
BA/B
Si es >3 3 valores posibles.
De esos 3 valores, hay 2 que son par
P(A/B) = 2/3
¿ P(A/B) ?
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Prob Condicional e Intersección de sucesos
P(A )P( / B) =B AP(B)
¿ P(A∩B) ?
P(A )P( / B) =A BP(A)
¿ P(A∩B) ?
Caso general para obtener la probabilidad del producto de 2 sucesos:
Caso particular, cuando los sucesos son independientes:
P(A∩B) = P(A).P(B/A)
P(A∩B) = P(A).P(B)
P(A∩B) = P(B).P(A/B)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad 45
Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(B/A) P(A) =
1/2 x 2/3 = 2/6A
Par
> 3B
≤ 3
Impar
> 3B
≤ 3
{1,2,3,4,5,6}
{2,4,6}
{1,3,5}
{4,6}
{2}
{5}
{1,3}
probabilidad
P(A∩ ) = P( /A) P(A) = 1/2 x 1/3 = 1/6
P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 1/2 x 1/3 = 1/6
P( ∩ ) = P( / )P( ) = 1/2 x 2/3 = 2/6
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Otras equivalencias sucesos independientesDos sucesos A y B son independientes si se verifica:
P(A/ B) = P(A)
P(B/ A) = P(B)
P(A∩B) = P(A) x P(B)
P( ) = P(A/B A/B)
P( ) = P(B/A B/A)
∩P( ) = P( )xA B A P(B)
∩P( ) = P( )xA B A P(B)
∩P( ) = P( )xA B A P(B)
Puedes Usar el árbol de probabilidades
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
EjemplosEjercicio: Comprobar que cualquiera de las 8 condiciones anterioresimplica a las otras 7
Respuesta en el Anejo al final del tema
Libro(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
Estudiar en casa
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
EjercicioEn una baraja española (40 cartas, 10 de cada palo) sea elexperimento aleatorio sacar una carta al azar y considérense:
Suceso A: sacar un as
Suceso B: sacar un oro
1) Calcular: P(A), P(B), P(A∩B), P(A∪B), P(A/B), P(B/A)
2) ¿Son los dos sucesos independientes?
3) Si se trata de adivinar si ha salido un as ¿sirve para algo saber queha salido un oro? ¿Por qué?
4) Calcular:Libro
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
A B AP( ) B, P ( ), P ( ) y P( )A B
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Otro ejemplo: Categoría laboral y Sexo• Población = {todos los empleados de una empresa}• ESEXO = {mujer, hombre}• ECAT LABORAL = {administrativo, seguridad, directivo}• ECAT LABORALX SEXO = {(administrativo,mujer), (administrativo,hombre) …}
• Suceso A: empleado es directivo• Suceso B : empleado es mujer
directivomujer
empleados
BA¿ P(A/B) ?
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad50
Probabilidad condicional: Categoría laboral y Sexo
Administrativo Seguridad DirectivoFrecuencias Marginales
De SEXO
Hombre157 27 74 258
54,4%
Mujer206 0 10 216
45,6%
Frecuencias Marginales
De CATEGORÍA
363
76,6%
27
5,7%
84
17,7%474
Nº de mujeres encuestadas
Nº de empleados encuestadosSuponemos Población
Nº de mujeres que ocupan cargo de
directivo
Suponemos que los 474 empleados son los datos de TODA laPOBLACIÓN
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad51
Probabilidad condicional: Categoría laboral y SexoFrec. Relativas condicionales de CATEGORÍA en función de SEXO
Administrativo Seguridad DirectivoFrecuencias Marginales
De SEXO
Hombre
157
60,9%
27
10,5%
74
28,7%
258
54,4%
Mujer206
95,4%
0
0%
10
4,6%
216
45,6%
Frecuencias Marginales
De CATEGORÍA
363
76,6%
27
5,7%
84
17,7%474
% de las mujeres que son directivas
(10/ 216)%
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad52
Probabilidad condicional: Categoría laboral y Sexo
Administrativo Seguridad DirectivoFrecuencias Marginales
De SEXO
Hombre157 27 74 258
54,4%
Mujer206 0 10 216
45,6%
Frecuencias Marginales
De CATEGORÍA
363
76,6%
27
5,7%
84
17,7%474
Frecuencia Marginal de sexoCumplen B
Población
FrecuenciaConjunta
Cumplen A y B
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
¿ proporción de individuos que verifican el suceso A en la subpoblación constituida por los individuos que verifican el
suceso B ?
Probabilidad condicional: Categoría laboral y Sexo
P(A )P( / B) =B AP(B)
¿ % de directivos, de entre las mujeres ? (en tanto por uno)
%(A/B) = 10/216 = 4,6 %
P(A/B) = 0,021 / 0,45 = 0,046 Frecuencia
conjunta relativa
Frecuencia relativa marginal de SEXO
Frecuencia relativa condicional
CATEGORÍA / SEXO
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Sucesos excluyentes o independientes• En el Ejemplo:
A = obtener un número parB = obtener el número 3
A y B ¿Son excluyentes?, ¿Son independientes?
• En el Ejemplo:A = obtener un asB = obtener un oro
A y B ¿Son excluyentes?, ¿Son independientes?
Si dos sucesos son excluyentes NO son independientes
SI NO
NO SI
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejemplo de sucesos NO independientes
Problema de Monty Hall
Fragmento película 21 Black Jack (Monty Hall) http://youtu.be/AtFBwUyJJR0
Web explicación y más sobre problema de Monty Hall http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html
Vídeo explicación Problema de Monty Hall http://youtu.be/s4Y7WcTesLM
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
En un servidor de correo electrónico, el 20% de los correos resultan ser SPAM, mientras que el otro 80% no lo es.
Para discernir entre ambas situaciones se instala un filtro que puede dar positivo en SPAM o negativo. Se sabe que la probabilidad de que el filtro resulte positivo es 0,95 cuando los correos son SPAM y 0,10 cuando los correos no lo son.
a) Elegido, al azar, un correo recibido, ¿cuál es la probabilidad de que al pasar el filtro de positivo?
b) Sabiendo que en un correo el filtro lo ha catalogado como SPAM, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente un correo SPAM?
6 – Teorema de la Probabilidad Total
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
6 – Teorema de la Probabilidad TotalA = correo es SPAM
= correo No SPAM
B = filtro da positivo
¿ P(B) ?¿ Probabilidad de que al pasar el filtro resulte positivo ?
P(A) = 0,2
P( ) = 0,8
P(B/A) = 0,95 P(B/ )= 0,1
P(B) = P((A∩B) ∪ P( ∩ B)) = P(A∩B) + P( ∩ B) = excluyentes
P(B/A)P(A) + P(B/ )P( ) = 0,95 x 0,2 + 0,1 x 0,8 = 0,27
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad 58
Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(B/A) P(A) =
0,95 x 0,2 = 0,19A
SPAM
+B
-
No SPAM
+B
-
Probabilidadesenunciado
P(A∩ ) = P( /A) P(A) = 0,05 x 0,2 = 0,01
P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 0,1 x 0,8 = 0,08
P( ∩ ) = P( / )P( ) = 0,9 x 0,8 = 0,72
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad 59
Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(B/A) P(A) =
0,95 x 0,2 = 0,19A
SPAM
+B
-
No SPAM
+B
-
probabilidad
P(A∩ ) = P( /A) P(A) = 0,05 x 0,2 = 0,01
P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 0,1 x 0,8 = 0,08
P( ∩ ) = P( / )P( ) = 0,9 x 0,8 = 0,72P(A∪ ) = P(A) + P( )
= 0,8+0,2 = 1
P(todas las ramas) = 0,95+0,05 = 1
P(todas las ramas) = 0,1+0,9 = 1
P((A∩B)∪ P(A∩ ))=0,19+0,01 = 0,2
P( ∩ B)∪ P( ∩ ))=0,08+0,72 = 0,8
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad 60
Árbol de probabilidad
A = correo es SPAM
= correo No SPAMB = filtro da positivo
¿ P(B) ?
¿ Probabilidad de que al pasar el filtro resulte positivo ?
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad 61
Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(B/A) P(A) =
0,95 x 0,2 = 0,19A
SPAM
+B
-
No SPAM
+B
-
probabilidad
P(A∩ ) = P( /A) P(A) = 0,05 x 0,2 = 0,01
P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 0,1 x 0,8 = 0,08
P( ∩ ) = P( / )P( ) = 0,9 x 0,8 = 0,72
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad 62
Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(B/A) P(A) =
0,95 x 0,2 = 0,19A
SPAM
+B
No SPAM
+B
probabilidad
P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 0,1 x 0,8 = 0,08
P(B) = P((A∩B) ∪ P( ∩ B)) = P(A∩B) + P( ∩ B) = P(B/A)P(A) + P(B/ )P( ) = 0,95 x 0,2 + 0,1 x 0,8 = 0,27
Teorema de la probabilidad total
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
6 – Teorema de la Probabilidad Total
Ai mutuamente excluyentes
P(Ai)
¿P(B)?
P(B/Ai)
P (B) = P (A1) P (B / A1) + ... + P (An) P (B / An)
P(A1) P(A2) P(A3)
P(A4)P(A5)
P(B/A1)P(B/A2)
P(B/A5)
P(B/A3)
P(B/A4)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
En un servidor de correo electrónico, el 20% de los correos resultan ser SPAM, mientras que el otro 80% no lo es.
Para discernir entre ambas situaciones se instala un filtro que puede dar positivo en SPAM o negativo. Se sabe que la probabilidad de que el filtro resulte positivo es 0,95 cuando los correos son SPAM y 0,10 cuando los correos no lo son.
a) Elegido, al azar, un correo recibido, ¿cuál es la probabilidad de que al pasar el filtro de positivo?
b) Sabiendo que en un correo el filtro ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente un correo SPAM?
7 - Teorema de Bayes Ejercicio [Examen]
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad 65
Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(A/B) P(B) = 0,19
B+
SPAMA
No SPAM
-
SPAMA
No SPAM
P(A∩ ) = P(A/ ) P( ) =0,01
P( ∩ B) = P( /B)P(B) = 0,08
P( ∩ ) = P( / )P( ) = 0,72A = correo es SPAM= correo No SPAM
B = filtro da positivo
?
?
?
?
Apartado anterior
Por diferencia
Árbol anterior
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad 66
Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(A/B) P(B)
B+
SPAMA
probabilidad
A = correo es SPAM
= correo No SPAM
B = filtro da positivo
?
P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = 0,19 / 0,27 = 0,703
No lo conozco Lo he calculadoantes
P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = P(B/A) P(A)/P(B) = 0,95 x 0,2 / 0,27 = 0,703
= 0,19
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
7 - Teorema de Bayes
Ai mutuamente excluyentes
P(Ai) P(B/Ai)
P(A1) P(A2) P(A3)
P(A4)P(A5)
P(B/A1)P(B/A2)
P(B/A5)
P(B/A3)
P(B/A4)
B asociado a todos ellos
¿P(Ai/B)?∩
i i
N
j=1
ii
j j
P( ) P( )P( )P( ) = =P( ) P(
///
A B A B AA BB A B A)P( )Teorema de la
Probabilidad Total
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Continuación ejemplo
Supongamos que en el servidor se reciben unos 2000 correos diarios, y que se borran todos aquellos que dan positivo en la prueba mencionada. ¿Cuántos mensajes no SPAM se borrarán diariamente en promedio? ¿Cuántos correos se catalogarán en promedio erróneamente cada día? Si la prueba da negativa en un correo, ¿cuál es pese a ello la probabilidad de que realmente sea un correo SPAM?
Ejercicio [Examen]
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Tengo en cuenta que…..
MONTAJES EN SERIE
Si las K componentes de un dispositivo electrónico se montan en serie, el dispositivo falla cuando falla cualquiera de las componentes
MONTAJES EN PARALELO
Si las K componentes de un sistema se montan en paralelo, el dispositivo funciona mientras funcione al menos una de las K componentes
K
1
2
1 32 K
Fiabilidad dispositivos
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
SUCESOS
A1 = Duración componente 1 > t
A2 = Duración componente 2 > t
..........................................................
An = Duración componente n > t
D = Duración de las n componente > t
MONTAJES EN SERIE P(D)=P(A1∩A2 ∩ ..... ∩An) =si son independientes = P(A1) . P(A2) . ..... . P(An)
MONTAJES EN PARALELOP(D)=P(A1 ∪ A2 ∪ ..... ∪ An)
Cualquier otro montaje será una combinación de la ∪ e ∩ de los sucesos
Fiabilidad dispositivos
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicios
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Unión, Intersección y propiedades
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 1Si la probabilidad de que un estudiante X suspenda un cierto examen es 0’5, la probabilidad de que un estudiante Y suspenda es 0’2 y la probabilidad de que ambos suspendan es 0’1a) ¿Cuál será el espacio muestral asociado a la prueba? Representa gráficamente E, y los sucesos A={el estudiante X suspende} y B={el estudiante Y suspende}b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen?c) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno suspenda el examen?d) ¿cuál es la probabilidad de que solamente uno suspenda el examen?
Sol: b) 0,6, c) 0,4, d) 0,5
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. Supongamos que el 60% de las familias de la ciudad están suscritas al periódico A, el 40% están suscritas al periódico B y el 30% al periódico C. Supongamos también que el 20% de las familias están suscritas a los periódicos A y B, el 10% a A y C, el 20% a B y C y el 5% a los tres periódicos A, B y C.
a)¿Que porcentaje de familias de la ciudad están suscritas al menos a uno de estos tres periódicos?
b)¿Que porcentaje de familias de la ciudad están suscritas únicamente a uno de los tres periódicos?.
Sol: a) 0,85, b) 0,45
Ejercicio 2
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Un determinado dispositivo se fabrica a partir de dos componentes CA y CB.
Sean los siguientes sucesos:
A : la componente CA funciona más de 1000 h sin fallar
B : la componente CB funciona más de 1000 h sin fallar
D : el dispositivo conjunto funciona más de 1000 h sin fallar
1) Si CA y CB se montan en serie (el dispositivo falla en cuanto falle alguna de
ellas) ¿qué relación existirá entre D, A y B?
2) Si CA y CB se montan en paralelo (el dispositivo funciona mientras funcione
al menos una cualquiera de las componentes) ¿qué relación existirá entre
D, A y B?
Ejercicio 3 Fiabilidad
Respuesta en el Anejo al final del tema
Libro
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Sol:1) Si CA y CB se montan en serie (el dispositivo falla en cuanto falle
alguna de ellas) ¿qué relación existirá entre D, A y B?
D = A∩B
2) Si CA y CB se montan en paralelo (el dispositivo funciona mientras funcione al menos una cualquiera de las componentes) ¿qué relación existirá entre D, A y B?
D = A ∪ B
Ejercicio 3 Fiabilidad
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Una industria fabrica componentes electrónicos (C) que se utilizan en el montajede dispositivos como el de la figura:
Ejercicio 4 2) Preg. 2 - Primer parcial. 31-03-2014
Calcula la fiabilidad a los 5 años del dispositivo D que se muestra en la figura, sabiendoque C1, C2 y C3 son componentes electrónicos de funcionamiento independiente y deidéntica fiabilidad (fiabilidad a los 5 años de 0,287). Define y describe las variablesaleatorias utilizadas, así como lo que se entiende por dicha fiabilidad
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Sucesos: • C1= la componente C1 dura más de 5 años• C2= la componente C2 dura más de 5 años• C3= la componente C3 dura más de 5 años• D = el dispositivo dura más de 5 años
Probabilidades:P(C1) = P(C2) = P(C3) = Fiabilidad a los 5 años = 0,287
La fiabilidad a los 5 años del dispositivo (D) se define como:P(D) = P((C1 ∪ C2) ∩ C3) = P(C1 ∪ C2) x P(C3) = = [P(C1) + P(C2) – P(C1 ∩ C2)] x P(C3) = [P(C1) + P(C2) – P(C1 )xP(C2)]xP(C3) = = [2x0,287-(0,287x0,287)]*0,287 = 0,141
Ejercicio 4 2) Preg. 2 - Primer parcial. 31-03-2014
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 5Fiabilidad de componentesUn dispositivo está formado por tres componentes diferentes CA, CB y CC montadas tal como se refleja en el siguiente esquema:
CA CB
CC
Se asume que un dispositivo formado por componentes enserie funciona sólo si lo hacen todas las componentes, mientrasque uno formado en paralelo lo hace si funciona al menos unade las componentes.
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 5 (cont.)Sean los sucesos:A: componente CA funciona correctamente al cabo de 1000 horasB: componente CB funciona correctamente al cabo de 1000 horasC: componente CC funciona correctamente al cabo de 1000 horas
a) Expresar el suceso {Dispositivo sigue funcionando al cabo de1000 horas} a partir de A, B y C.
b) Sabiendo que P(A)=P(B)=P(C)=0,95, calcular la probabilidad de que el dispositivo funcione correctamente al menos 1000 horas, indicando las hipótesis realizadas para dicho cálculo. Sol: 0,995
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Un dispositivo está formado por cuatro componentes diferentes CA, CB, CC y CD montadas tal como refleja el siguiente esquema:
Ejercicio 6
Se conoce que la fiabilidad de las componentes CA, CB y CC es del 80% alas 5000 horas, mientras que la fiabilidad de la componente CD es del 95%a las 5000 horas.Obtener la fiabilidad del dispositivo a las 5000 horas de funcionamiento.Sol: 0,992
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Sea el experimento aleatoria consistente en lanzar 6 veces un dado simétrico.
Calcular la probabilidad de sacar al menos un 6 en las 6 tiradas.
Sol: 0,67
Ejercicio 7
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
La probabilidad de que un alumno apruebe Estadística es 0,6, la de que apruebe Inglés es 0,5 y la de que apruebe las 2 es 0,2.
a) ¿Cuál sería la probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas?
b) ¿y la de que no apruebe ninguna?
c) ¿Cuál sería la probabilidad de que apruebe Estadística y suspenda Inglés?
Sol: a) 0,9, b) 0,1, c) 0,4
Ejercicio 8
Ejercicios
(Martínez, Serra y Debón. Problemas de Introducción a la Estadística)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Probabilidad Condicional e Independencia de Sucesos
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 9• Sean dos sucesos A y B. Se conoce que:
P(A)= 0,7 ; P(B)=0,6 ;
¿Son independientes los sucesos A y B? Justifica tu respuesta.
Sol: sí son independientes
+ = 0, 58 P(A B)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Si A y B son dos sucesos cualesquiera y P(A) y P(B) son distintas de 0 y B ≠ E, ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son falsas?
a) P(A/B)=P(A B)/P(B)
b) Si A y B son independientes P(A/B)=0
c) Si A y B son mutuamente excluyentes P(A/B)=0
d) Si A B P(A/B)=1
e) Si A B P(A/B)=P(A)
Sol: a) Cierto, b) Falso, c) Cierto, d) Falso, e) Falso
Ejercicio 10
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 11Los votantes de derechas de un distrito electoral (suceso D) representan el 2% del total, los de izquierdas (suceso I) el 35% y los de centro (suceso C) el 23%. Por otro lado un 10% de los votantes están afiliados a n determinado sindicato (suceso S). Se sabe asimismo que de los afiliados al sindicato un 80% son de izquierdas y un 20% de centro.Se pide:a) Indicar si son excluyentes los sucesos D y S.b) Indicar si son excluyentes los sucesos I y S.c) Calcular la probabilidad de que un votante sea de centro o esté afiliado al sindicato.d) Indicar si son independientes D y S por un lado de I y de S por el otro.e) Calcular la probabilidad de que un votante sea de izquierdas y esté afiliado al sindicato.
Sol: a) Sí excluyentes, b) Sí independientes, c) 0,31, e) 0,08
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 12
Sea la población constituida por las 50 naranjas de una caja, de las queel 10% están heladas. Se extrae una primera naranja al azar y sea A elsuceso "la naranja está helada". Se extrae a continuación (sin volver areponer la primera naranja extraída) una segunda naranja y sea B elsuceso "la segunda naranja está helada".
Calcular: P(A), P(B), P(B/A), P(B/No-A) ¿Son los dos sucesosindependientes?
Respuesta en el Anejo al final del tema
Libro
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 13A, B y C son tres sucesos:• La probabilidad de que ocurra el suceso B habiendo ocurrido el suceso
C es 0’30. • La probabilidad de que ocurra el suceso A habiendo ocurrido el suceso
C es 0’25.• Los sucesos A y C son independientes. • Los sucesos A y B son igualmente probables.• La probabilidad de que ocurra el suceso C es tres veces la probabilidad
de que ocurra el suceso A. • Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes.
¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ninguno de los tres sucesos ?
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Una empresa que ofrece un determinado servicio por internet trabaja con 3servidores distintos (A, B y C). El 25% de las solicitudes (accesos) de este serviciose ejecutan en el servidor A, el 35% en el servidor B y el resto en el C. Se tieneconstatado que en el caso del servidor A se produce algún error en el 1% de losaccesos, mientras que este porcentaje es del 2% en el caso del servidor B.Además, se sabe que si se elige al azar un acceso, la probabilidad de que tengaalgún error y se haya ejecutado en el servidor C es del 1%.
Ejercicio 14 1) Preg. 2 - Primer parcial. 30-03-2015
a) Dada una solicitud al azar, ¿cuál es la probabilidad de que durante el acceso alservidor se produzca algún error? (5 puntos)
b) Sabiendo que un acceso ha sido correcto, calcula la probabilidad de que éstese haya hecho sobre el servidor A. (5 puntos)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
a) Dada una solicitud al azar, ¿cuál es la probabilidad de que durante elacceso al servidor se produzca algún error?
Sucesos:A: el acceso se realiza sobre el servidor AB: el acceso se realiza sobre el servidor BC: el acceso se realiza sobre el servidor CE: el acceso es erróneo (se produce algún error)
Ejercicio 14 1) Preg. 2 - Primer parcial. 30-03-2015
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 15 (Ejercicio 3 UD)En un fábrica de conservas se utilizan dos llenadoras de botes. La primera, que tiene una capacidad de 500 botes por hora, produce un 1% de botes defectuosos y la segunda, cuya capacidad es 1000 botes/hora, produce un 2% de botes defectuosos.
¿A qué probabilidades condicionales corresponden los valores 1% y 2%?
¿Si las dos máquinas funcionan a pleno rendimiento, cuál será el porcentaje de botes defectuosos producidos en total?
Sol: 1,65%
Libro
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 15 (Ejercicio 3 UD)Se selecciona un bote de la producción final y se constata que es defectuoso.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera de las dos máquinas?
b) Cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda máquina?
Sol: a) 0,2, b) 0,8
Libro
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 15 (Ejercicio 3 UD)Se selecciona un bote de la producción final y se constata que es defectuoso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera de las dos máquinas?b) Cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda máquina?
( )( )
( )
( ) ( )
11 11
1 21 2
1 0 013 0 19960 0167
BP A .P x ,P A .B AAP ,B P B ,B BP A .P P A .PA A
= = = =
+
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 16El 30% de los enfermos de hepatitis que ingresan en un hospital tienen hepatitis obstructiva que exige una intervención quirúrgica, mientras que el otro 70% tienen hepatitis infecciosa que puede curarse con reposo y medicación. Para diferenciar entre las dos situaciones, se realiza una prueba clínica que pude resultar positiva o negativa. Se sabe que la probabilidad que la prueba resulte positiva es 0,95 cuando los enfermos tienen hepatitis obstructiva y 0,10 cuando la tienen infecciosa.
1) Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva, cuál es la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva?
Libro
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 16
A1:”Tener hepatitis obstructiva”A2:”Tener hepatitis infecciosa”B:”la prueba clínica resulta positiva”
P(A1)=0,3P(A2)=0,7P(B/A1)=0,95P(B/A2)=0,1
Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva, ¿cuál es realmente la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva? (P(A1/B))
Aplicando el Teorema de Bayes………
SUCESOS
PROBABILIDADES
= = =+
1 11
( ) ( / ) 0,3 0,95( / ) 0,8( ) 0,3 0,95 0,7 0,1
P A P B A xP A BP B x x
Sol:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 162) Supongamos que en el hospital se producen unos 150 ingresos anuales por hepatitis, y se opera a todos los enfermos que dan positivo en la prueba clínica.
A) ¿Cuántos diagnósticos erróneos se producirán en promedio anualmente?B) ¿Cuántas operaciones innecesarias se producirán anualmente?
Libro
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 161) Supongamos que en el hospital se producen unos 150 ingresos anuales por hepatitis, y se opera a todos los enfermos que dan positivo en la prueba clínica.
A) ¿Cuántos diagnósticos erróneos se producirán en promedio anualmente?B) ¿Cuántas operaciones innecesarias se producirán anualmente?
= = == = =
+ ==
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( / ) 0,3 0,05 0,015( ) ( ) ( / ) 0,7 0,1 0,07
150(0,015 0,07) 12,75150 0,07 10,5
P A B P A P B A xP A B P A P B A x
x
Sol:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 163) Si la prueba da negativa en un enfermo, cuál es a pesar de eso la probabilidad de que realmente tenga una hepatitis obstructiva?
Libro
(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 163) Si la prueba da negativa en un enfermo, cuál es a pesar de eso la probabilidad de que realmente tenga una hepatitis obstructiva?
( )( )
( )( )
11 11
0 3 0 05 0 0231 0 645
BP A .PP A .B A , x ,AP ,B P B ,P B
= = = =
−
Sol:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
El 50% de la población trabajadora de cierta comarca se dedica al sector de servicios, el 12% a la construcción, el 3% al sector primario y el resto al sector industrial. La tasa de desocupación en el sector primario es del 10%, en el sector industrial del 28%, en la construcción del 30% y en el de servicios del 18,6%.
a) Calcular el porcentaje de parados en la población
b) Calcular el porcentaje de parados que pertenecen al sector industrial
Ejercicio 17
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 17
}{}{
0 5 0 186
0 12 0
Sucesos Probabilidades
PASS Ind . S.Servicis P( SS ) , P( ) ,SSPASC Ind . S.Construc P( SC ) , P( ) ,SC
= ∈ = =
= ∈ = =
}{}{
}{
3
0 03 0 1
0 35 0 28
PASP Ind . S.Pr imari P( SP ) , P( ) ,SPPASI Ind . S.Industrial P( SI ) , P( ) ,SI
PA Ind .no trabaja
P( PA)?
PA PA PAP( PA) P( SS ).P( ) P( SC ).P( ) PP( SP ).P( ) P( SSS SC SP
= ∈ = =
= ∈ = =
=
= + + +
0 5 0 816 0 12 0 3 0 03 0 1 0 35 0 28 0 23 23
420 35 0 28 0 098 0 4260 23 0 2
63
PAI ).P( )SI, x , , x , , x , , x , ,
PAP( SI ).P( ) , x , ,SISIP( ) ,PA P( PA) , ,
%
, %
=
= + + + = →
= = = = →
Sol:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Una empresa que se dedica a la fabricación de CD’s, produce un 15% de defectuosos y dispone de tres líneas de producción. La línea A produce 1000 CD’s; la línea B, 1200 CD’s por hora y la línea C, 1250 CD’s por hora. Las proporciones de CD’s defectuosos en cada línea se desconocen. En un estudio sobre los CD’S defectuosos, se ha constatado que el 30% proceden de la línea A y el 35% de la B. Señalar cuál/es de las siguientes afirmaciones es/son falsa/as. Justifica todas tus respuestas.
Ejercicio 18
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
a) La proporción de CD’s defectuosos de la línea A es del 15.5%
b) La proporción de CD’s defectuosos de la línea B es del 15.1%
c) La proporción de CD’s defectuosos de la línea C es del 14.5%
d) La proporción de CD’s correctos y fabricados por la línea A es del 85%
e) La proporción de CD’s correctos es del 85%
Ejercicio 18
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 18
a) La proporción de CD’s defectuosos de la línea A es del 15,5%
}{}{
0 15
1000 0 293450A
Sucesos Pr obabilidades
D CD Defectuoso P( D ) ,
A CD fabricado L P( A ) ,
= =
= = =
}{
}{
0 3
1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450
0 15 0 30
B
C
AP( ) ,D
BB CD fabricado L P( B ) , P( ) ,D
CC CD fabricado L P( C ) , P( ) ,D
AP( D ).P( )P( AD ) , x ,DDP( )A P( A ) P( A ) ,
=
= = = =
= = = =
= = = 0 129
5 555 1 , %,= →
Sol:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 18b) La proporción de CD’s defectuosos de la línea B es del 15,1%
}{}{
0 15
1000 0 293450A
Sucesos Pr obabilidades
D CD Defectuoso P( D ) ,
A CD fabricado L P( A ) ,
= =
= = =
}{
}{
0 3
1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450
0 15 0 350
B
C
AP( ) ,D
BB CD fabricado L P( B ) , P( ) ,D
CC CD fabricado L P( C ) , P( ) ,D
BP( D ).P( )P( BD ) , x ,DDP( )B P( B ) P( B ) ,
=
= = = =
= = = =
= = = 15 10 151348
, %,= →
Sol:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 18
c) La proporción de CD’s defectuosos de la línea C es del 14,5%
}{}{
0 15
1000 0 293450A
Sucesos Pr obabilidades
D CD Defectuoso P( D ) ,
A CD fabricado L P( A ) ,
= =
= = =
}{
}{
0 3
1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450
B
C
AP( ) ,D
BB CD fabricado L P( B ) , P( ) ,D
CC CD fabricado L P( C ) , P( ) ,D
CP( D ).P( )P( DC ) DDP( )C P( C ) P( C )
=
= = = =
= = = =
= = 0 15 0 35 0 145 14 50 362
, %, x , ,,
= = →
Sol:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 18
d) La proporción de CD’s correctos y fabricados por la línea A es del 85%
}{}{
0 15
1000 0 293450A
Sucesos Pr obabilidades
D CD Defectuoso P( D ) ,
A CD fabricado L P( A ) , P(
= =
= = =
}{
}{
0 3
1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450
0 29 1 0 155 0 29 0 845 0 2
B
C
A ) ,D
BB CD fabricado L P( B ) , P( ) ,D
CC CD fabricado L P(C ) , P( ) ,D
DP( D.A ) P( A ). P( ) , .( , ) , x , ,A
=
= = = =
= = = =
= = − = = 45 24 5, %→
Sol:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 18e) La proporción de CD’s correctos es del 85%
}{}{
0 15
1000 0 293450A
Sucesos Pr obabilidades
D CD Defectuso P( D ) ,
A CD fabricado L P( A ) ,
= =
= = =
}{
}{
0 3
1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450
0 15 1 1 0 815 0 85 5
B
C
AP( ) ,D
BB CD fabricado L P( B ) , P( ) ,D
CC CD fabricado L P(C ) , P( ) ,D
P( D ) , P( D ) P( %D ) , ,
=
= = = =
= = = =
= → = − = − = →
Sol:
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
En un fábrica de montaje de chips se dispone de 3 máquinas distintas (M1,M2 y M3). La M1 monta a un ritmo de 200 chips/h y genera un 1% de chipsdefectuosos, la M2, monta a un ritmo de 300 chips/hora y produce un 2,5%de chips defectuosos, la M3 monta 500 chips/hora y genera un 2% de chipsdefectuosos.
• ¿A qué probabilidades condicionales corresponden los valores 1%, 2,5% y 2%?
• ¿Si las tres máquinas funcionan a pleno rendimiento, cuál será el porcentaje de chips defectuosos producidos en total?
Sol: 1,95%
Ejercicio 19
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
En un proceso de fabricación de componentes electrónicos utilizan dos líneas de producción diferentes L1 y L2. La línea L2 tiene el doble de capacidad que la línea L1. Desgraciadamente ambas líneas producen componentes defectuosos. La línea L1 produce 0,2% de componentes defectuosos y la L2 0,5%. a) Si las dos líneas de fabricación funcionan a pleno rendimiento, ¿qué
porcentaje de componentes defectuosos se generan? b) En cierto instante el proceso detecta un componente defectuoso,
¿cuál es la probabilidad de que el componente proceda de la línea L2?
Sol: a) 0,0024, b) 0,83
Ejercicio 20
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
c) ¿Cuál es el porcentaje de componentes correctos fabricados en total por las líneas L1 y L2? Sol: 0,996
d) ¿Cuál es la proporción de componentes defectuosos y fabricados por la línea L1? Sol: 0,0007
e) ¿Cuál es la proporción de componentes defectuosos y fabricados por la línea L2? Sol: 0,003
f) Se ha tomado al azar un componente y ha resultado correcto, ¿cuál es la probabilidad que proceda de la línea L1? Y de la línea L2? Sol: 0,334 y 0,665
Ejercicio 20
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Ejercicio 21En cierta área de investigación hay dos empresas (A y B) que se dedicana proporcionar software. La empresa A proporciona el 60% mientrasque la B suministra el 40% de la producción total del softwareespecífico. Por estudios realizados, se conoce que el 85% del softwaresuministrado por la empresa A se ajusta a la normativa de calidadestablecida, mientras que sólo el 65% del suministrado por la empresa Bse ajusta a las normas.
Calcular la probabilidad de que cierto software lo haya proporcionado laempresa A si se sabe que se ajusta a las normas.
Sol: 0,66
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Resumen
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
ProbabilidadSucesos
• Tipos y operaciones
Probabilidad• Concepto• Propiedades• Cálculo: Regla de Laplace
Independencia de sucesos
Probabilidad condicional
Teorema de la Probabilidad Total
Teorema de Bayes
Fiabilidad dispositivos
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Formulario
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Recuerda
Los sucesos complementarios (o contrarios) son siempre excluyentes, pero no todos los excluyentes son complementarios
Los sucesos excluyentes (incluido contrarios o complementario), NO son independientes y viceversa.
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Glosario UD 3Árbol de probabilidadCasos favorablesCasos posiblesCondicional (probabilidad)Contrarios o complementarios (sucesos)Espacio muestralExcluyentes (sucesos)Imposible (suceso)Independientes (sucesos)ProbabilidadProducto o intersección (sucesos)Regla de LaplaceSeguro (suceso)SucesoSuma o unión (sucesos)Teorema de BayesTeorema Probabilidad Total
DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad
Fin
Fuentes: Romero y Zúnica: “Métodos Estadísticos en Ingeniería” | Instituto Nacional de Estadística (INE) | Martínez, Serra y Debón. Problemas de Introducción a la Estadística |Material docente de R. Alcover (DEIOAC - UPV) | Material docente de V. Giner (DEIOAC - UPV)
Elaborado por E. Vázquez (DEIOAC - UPV)Estas transparencias NO son unos apuntes, son solo un guión de las explicaciones hechas en clase y algunos ejemplos adicionales.
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Probabilidad condicional http://setosa.io/conditional/
http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html
Problema de Monty Hall http://youtu.be/s4Y7WcTesLM
21 Black Jack – Monty Hall http://youtu.be/AtFBwUyJJR0
Enlaces de interés: