Unidad 3: La antiderivada

Aplicaciones de la integral definida:- Cambio Neto

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Desafío

Si tenemos la gráfica del costo marginal en dólares por unidad ¿qué unidades tiene el área bajo ésta curva?

q(unidad)

C´(q) (dólares/unidad)

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En muchas aplicaciones prácticas, se proporciona la razón de cambio Q´(x) de una cantidad y se requiere calcular el cambio neto (CN):

CN = Q(b) – Q(a) =

CN es el cambio generado en Q(x), cuando x varía desde x = a hasta x = b.

b

aQ´ (x)dx

Cambio Neto

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CN

a b X

Y

Q´(x)

b

a

dxxQCN )('

Gráficamente

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En cierta fábrica, el costo marginal es 9(q - 2)2 dólares por unidad cuando el nivel de producción es “q” unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación, si el nivel de producción sube de 10 a 13 unidades?

Ejemplo 1

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Si conocemos las tasas de rentabilidad que generan dos planes de Inversión, ¿cómo saber cual es más conveniente?

La gráfica debajo de la tasa de rentabilidad, ¿qué representa económicamente?

Reflexión

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Si dentro de “t” años dos planes de Inversión generan utilidades a unas tasas Q´1(t), Q´2(t) tal que se cumple que Q´2(t) > Q´1(t) durante los primeros N años, entonces:

El exceso de utilidad neta es:

Exceso de Utilidad Neta

dttQtQENN

0

1'

2' )()(

8

Q2´(t)

Q1´(t)

N

Y (dólares / año)

t (años)

dttQtQENN

0

1'

2' )()(

Gráficamente

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Suponga que dentro de “t” años un plan de Inversión generará utilidades a razón de Q´1(t) = 100 + t2 cientos de dólares al año, mientras una segunda inversión generará utilidades a una razón Q´2(t) = 220 + 2t cientos de dólares al año .

Ejemplo2 (Hoffman)

a) ¿Durante cuántos años la tasa de rentabilidad de la segunda inversión excederá a la primera?

b) Calcule el exceso de utilidad neta durante el periodo determinado en el literal a). Interprete el exceso de utilidad neta como área.

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U´(t) es la tasa de rentabilidad (o tasa de utilidad) para cualquier proyecto de inversión es I´(t)- C´(t).

I´(t) es la tasa a la cual cambian los ingresos de un proyecto o inversión en el tiempo.

C´(t) es la tasa a la cual cambian los costos de un proyecto o inversión en el tiempo.

La utilidad neta a partir de I´(t) y C´(t)

dttCtIENt

0

'' )()(

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C’ > I’ U’ ___0

C’ ___ I’ U’ > 0

Rentabilidad___________

Rentabilidad decrece

I’(t)

C’(t)

TiempoRENTABILIDAD

“U”

N

N

I’(t), C’(t)

Tiempo

Complete lo solicitado en el

siguiente gráfico :

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Ejemplo 3 Suponga que dentro t años una máquina generará ingresos a razón de I´(t) = 5000 - 20t2 dólares al año y que los costos totales se acumulan a una razón de C´(t) = 2000 + 10t2 dólares al año.a)¿Cuántos años transcurren antes que la rentabilidad de la máquina comience a disminuir?b) Calcule las ganancias netas generadas por la máquina durante el periodo determinado en el literal a)c) Si se empleara la máquina durante 15 años, ¿cuánto sería la ganancia que se obtendría?