LA ANTIDERIVADA
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CÁLCULO 2 SESIÓN 1: LA ANTIDERIVADA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA Departamento de Ciencias
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QUE ES.
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CÁLCULO 2SESIÓN 1: LA ANTIDERIVADA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA
Departamento de Ciencias
Temperatura del Cuerpo: 15°C
Temperatura del Refrigerador: 5°C
¿Qué pasa con la temperatura del cuerpo?
Ley de Enfriamiento de Newton
Si la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande
El calor transferido hacia el
cuerpo o viceversa es
)( atTkdtdT
¿ Cuál es la temperatura T(t) del cuerpo en cada instante de tiempo t ?
¿Cuál es la altura h(t) del agua en cualquier instante de tiempo t ?
Un tanque de 50 cm de altura, se encuentra totalmente lleno de agua.Se empieza el vaciado y la altura disminuye a razón de:
Vaciado de un Tanque
5020
251 t
dtdh
Se conoce Piden
RC de la temperatura de un cuerpo Función Temperatura
Razón de cambio de la altura Función Altura
¿Qué tienen en común?
Respondemos
dxdy
yxf ')('
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve problemas vinculados a la
gestión e ingeniería a partir de
Ecuaciones Diferenciales (ED) con una
condición inicial, usando el cálculo de
las integrales inmediatas y las reglas
básicas de integración indefinida.
Distancia Velocidad
Ingresos Ingresos Marginales
Costo Costo Marginal
Población Razón de Crecimiento de la población
Derivada
AntiderivadaAntiderivada
1. Antiderivada
Ejemplo 1.
Una función F recibe el nombre de primitiva o
antiderivada de f en un intervalo I si:
)()(' xfxF
Para , la función es una antiderivada, pues:
23)( xxf 3)( xxF
)(3)'()(' 23 xfxxxF
)()(' xfxF
De la misma forma, son antiderivadas las siguientes funciones:
Puesto que:
donde C es una constante
23)( xxf
1)( 31 xxF
2)( 32 xxF
1)( 33 xxF
2)( 34 xxF
CxxFi 3)(
)()(' xfxF
Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada general de f sobre I es:
donde C es una constante
2. Interpretación Geométrica
CxF )(
Significado geométrico:
Si es una antiderivada de en I,
cualquier otra antiderivada de f en I es
una curva paralela al gráfico de
)(xF )(xf
)(xFy
TEOREMA
23x
3x3x 1
3x - 13x - 2
x
y
En el Ejemplo 1, dando valores a C obtenemos una familia de funciones cuyas gráficas son traslaciones verticales de una a otra. Antiderivadas de
CxxFi 3)(
23)( xxf
Integrando Derivando
Ejemplo 2.
3. La Integral Indefinida
( ) ( )f x x C)d F(x
Constante de Integración
Variable de Integración
Símbolo de Integral
Diferencial de x
Si F(x) es una antiderivada de f (x) en I, la integral indefinida de f (x) es el conjunto de todas las antiderivadas de f (x) y es denotado por:
La Integral Indefinida de una función f (x) es la
antiderivada general de la función.
Conclusión
CxFdxxf )()(
(4 )(.1. ( ) ( ) ))) (( )( fx x g x xg x d dx dxf
f x d x fC dC x x ( ) ( ) (4 ). (2 ).
( ) ( ) ( ) ( )A Af x g x dx f x dx xB dxB g
Las constantes pueden salir y entrar del signo de la integral indefinida.
La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las integrales indefinidas.
4. Propiedad de Linealidad
5. Integrales Inmediatas
ca
adxa
cxdxx
cnx
dxx
xx
nn
ln
ln1
1
1
cxdxctgxx
cxdxxx
cxctgdxx
cxdxx
cxsendxx
cxdxxsen
csccsc
sectansec
csc
tansec
cos
cos
2
2
Encontrar las siguientes Integrales:
PRACTIQUEMOS
dxexx
dxxsenxx
dxex
dxsenxx
dxxxx
dxx
x
45
csc43
sec32
.6
)85cos2(.5
46
.4
)(cos.3
)2354(.2
7.1
22
5
23
5
Ejemplo 3Ecuación Diferencial Condición Inicial
6. Ecuación Diferencial con condición inicial
Es aquella condición que se expresa
Condición Inicial
Esta condición permite determinar la Solución Particular de la ED.
Una ED en x e y, es una ecuación que involucra a x, y y a la derivada de y.
00 )( yxf
42 x
xdxdy 5)0( f
Solución:
Esta solución se denomina Solución General pues depende de una constante C
Para resolverla se integra ambos miembros, obteniendo:
Se reemplaza la CI en la SG:
Obteniendo:
La solución particular es:
42 x
xdxdy 5)0( f
Cxx
xf 63
)(33
Cxx
xf 63
)(33
563
)(33
xxxf
560
30
)0(33
CCf
Se tiene un tanque con área seccional constante de 50 m2 y un agujero de un área seccional constante de 0.05 m2, localizado en la parte inferior del tanque.
h
El tanque se llena con agua hasta una altura de h metros y se deja vaciar, la altura del agua disminuye a razón:
120 ,
25 50
dh t
dt
Determinar la altura del agua en cualquier instante t.
7. Problema: Vaciado de un Tanque
Ecuación Diferencial
Si su altura es de 5 metros.
Condición Inicial
En equipos de 4 estudiantes desarrollar los ejercicios indicados por el docente de los niveles 1, 2 y 3.
TRABAJO EN EQUIPO
# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1515.33 PURC
PURCELL, EDWIN J.
Cálculo Diferencial E Integral
Pearson Educación
2515
STEW/P 2007
STEWART, JAMES
Cálculo De Una Variable:
Transcendentes Tempranas
Thomson Learning
3 515.15/LARS
LARSON, RON Cálculo Mcgraw-Hill
BIBLIOGRAFÍA
