Integrante: Radhames Canigiani

Agosto 2014

Introducción

Se llega a una introducción del concepto de integral definida a partir del problema del

cálculo de áreas porque así es como surgió históricamente, el concepto de integral definida surge

como respuesta al problema del cálculo del área de una determinada región del plano. Su origen

se remonta al saber griego, concretamente a Eudoxio, que da nombre al denominado “método de

exhausción”, posteriormente difundido por Aristóteles, básicamente consiste en dividir la región

en rectángulos y calcular la suma de todas las áreas.

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático.

Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente

pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de

las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y

en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones

y sólidos de revolución, de ah{i su importancia para nuestro estudio en la carrera universitaria.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac

Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton

generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la

integración son procesos inversos. A continuación se hará un desarrollo de su definición,

aplicación por teoremas y principios, por supuesto explicados a través de ejemplos.

Definición De Antiderivada

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste

en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Entonces, la antiderivada o primitiva de una función f(x) es otra función F(x)+C, donde C es una

constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x)

Es decir F’(x) = f(x)

A la funcion F’(x) se le llama una antiderivada de la una funcion f(x).

Su expresión o notación es:

En donde:

f(x) es el integrando;

dx, la variable de integración o diferencial de x, y

C es la constante de integración.

Ejemplo ¿Qué se derivo para que la derivada sea f́ x = 4 ?

Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la funcion que se

derivo es:

f1 (x)= 4x pero también las funciones

f2 (x)=4x+5

f3 (x)=4x-2

f4 (x)=4x-12

f5 (x)=4x+15

f6 (x)=4x+8

F(x) = 4x+C

Origen De La Antiderivada

Teoremas O Propiedades Que Lo Sustentan

Resolución de integrales por partes

De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones, se obtiene el método de integración por partes. Si f y g son funciones diferenciables, entonces:

Ahora, si se aplican integrales a cada miembro de esta ecuación, se tiene que:

Integrando, lo que es posible integrar, se obtiene:

La Ecuación (*) se llama fórmula para integración por partes.

Frecuentemente, se utiliza una expresión equivalente a (*), la cual se obtiene al realizar los siguientes cambios de variable:

y

Al hacer las derivadas de u y v, respectivamente, se obtiene:

y

Así que la ecuación (*) se transforma en:

(Ecuación 1.6)

La Ecuación 1.6 expresa la integral en términos de otra

integral, , la cual por lo general, se resuelve más fácilmente que

la integral original.

Para aplicar la integración por partes, es necesario elegir adecuadamente la parte del integrando que se va a tomar como u.

Es importante resaltar que una vez hecha la elección de u, todo lo que queda dentro la integral es dv. Para efectos de hacer la

mencionada elección, es conveniente tener en cuenta los dos

criterios siguientes:

1. la parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable.

2. no debe ser más complicada que

En la práctica, el proceso de elegir una expresión para u y otra

para dv no es siempre sencillo y no existe una técnica general para efectuar dicho proceso. Sin embargo, en el desarrollo de la presente obra se hará uso de una Regla EMPIRICA de gran ayuda pero de

carácter NO GENERAL, denominada I.L.A.T.E., para hacer la mencionada elección.

La única deficiencia de I.L.A.T.E., es que - en algunos casos -

al hacer la elección de u, indicada por la mencionada regla, el proceso de desarrollo del ejercicio puede entrar en un ciclo infinito,

que no permite obtener la solución correspondiente. Si esto ocurre,

se debe detener el proceso y hacer una elección contraria a la hecha originalmente.

Las siglas de I.L.A.T.E., significan lo siguiente:

I = Funciones Inversas.

L = Funciones Logarítmicas.

A = Funciones Algebraicas.

T = Funciones Trigonométricas.

E = Funciones Exponenciales.

La regla I.L.A.T.E., se utiliza única y exclusivamente para realizar la mencionada elección, teniendo que recurrir a la ecuación

1.6 y los métodos ya expuestos, para resolver cualquier ejercicio

relativo al presente tópico. Por esta razón, es conveniente que el lector haya estudiado - detalladamente - los dos métodos

anteriores, puesto que en la solución de los ejemplos de esta parte

de la obra, no se incluye una explicación específica de esos contenidos.

Para ilustrar como se usa I.L.A.T.E., se presenta la siguiente situación:

Supóngase que piden resolver la siguiente integral:

Obsérvese que el integrando está compuesto por dos funciones,

una Algebraica (x) y otraExponencial (e-x). Se buscan las iniciales A y E en la

palabra I.L.A.T.E. Como en ella, leyendo de izquierda a derecha, aparece primero la

letra A, se elige como u la función Algebraica, es decir, u = x. Por lo tanto, lo que

queda dentro de la integral es dv. Así:

Resolución De Integrales Por Fracciones Simples o Parciales

Este método permite descomponer una integral de la forma:

En integrales cuyo integrando, está constituido por expresiones

fraccionarias, que por lo general son de fácil solución.

Al momento de intentar resolver este tipo de integrales, es

importante tener en cuenta los siguientes criterios:

Criterio1: Si el numerador de la integral dada, es de

menor grado que el denominador, se debe –si es posible-

aplicar el proceso defactorización.

Criterio2: Si el grado del numerador es mayor o igual

que el del denominador, se debe resolver primero la

división de polinomios.

Para aplicar el Criterio2, es necesario recordar la siguiente

información:

En una división, se relacionan el Dividendo (D), el divisor (d), el cociente (c) y el resto (r), mediante la siguiente expresión:

(I)

Si se dividen ambos miembros de (I) entre “d” se obtiene:

Ahora bien, esta última expresión se puede particularizar para

polinomios, así:

Si p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el

resto, entonces

Aplicando el símbolo integral a ambos miembros y los

respectivos diferenciales, se obtiene:

Ecuación1.7

Ahora, para poder aplicar el Criterio1, es necesario recordar

la siguiente información:

Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios

(el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del

denominador), cuyo denominador sea de la forma (ax +

b)n ó (ax2 + bx + c)n si el polinomio ax2 + bx+ c no tiene raíces

reales, y n es un número natural.

Cuando se deba aplicar el Criterio1, se debe proceder del

siguiente modo:

1. Descomponer factorialmente el polinomio q(x), es decir,

se hallan las raíces de la ecuación q(x) = 0.

Es importante saber, que al realizar la mencionada

descomposición, es posible encontrar resultados distintos

y éstos se pueden clasificar en cuatro casos:

Caso1: Factores en el denominador lineales distintos. La

integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto

por: Constantes (A,B,C, etc) en el numerador y dichos factores en el

denominador, como se muestra a continuación:

Caso2: Factores en el denominador lineales repetidos. La

integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto

por: Constantes (A,B,C,etc) en el numerador y dichos factores en el

denominador, como se muestra a continuación:

Caso3: Factores en el denominador cuadráticos distintos. La

integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto

por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en

el denominador, como se muestra a continuación:

Caso4: Factores en el denominador cuadráticos repetidos. La

integral dada debe escribirse en función de un cociente compuesto

por: Polinomios de grado uno, en el numerador y dichos factores en

el denominador, como se muestra a continuación:

la siguiente

integral:

Solución

Método a emplear: Integración por Fracciones Parciales.

Desarrollo:

De acuerdo al Criterio1, se debe factorizar, así se obtiene que:

(1)

Por el caso 1. la expresión (1) , se puede escribir así:

(2)

Ahora se deben calcular las constantes A y B que aparecen en (2), para ello:

Se escribe la expresión (2), sin tomar en cuenta el símbolo integral. Así:

(3)

Se resuelve la adición planteada en el miembro de la derecha de (3). Así:

(4)

En (4), se simplifican los denominadores, obteniéndose:

(5)

La expresión (5), constituye un sistema de ecuaciones. Al

resolverlo da:

Reemplazando A y B en (2) , se obtiene:

Este tipo de integral ya fue resuelta. Así se concluye que:

Resolución de Integrales por tablas

Algunas integrales no pueden resolverse por los métodos vistos hasta el momento por lo que, en este apartado, se presenta un conjunto de integrales que pueden ser resueltas

con la aplicación de una tabla de integrales.

Por lo general - a la integral dada - se le debe aplicar una serie de operaciones algebraicas de tal manera que la

integral dada, se transforme exactamente a una de las formas integrales presentes en la mencionada tabla.

En las tablas de integrales, las letras a, b y n representan

constantes; mientras que la variable se denota con la letra u.

También es importante tener presente que el uso de la

citada tabla, debe ir acompañado de los métodos de integración ya explicados en las sesiones anteriores.

A continuación se presenta la Tabla de Integrales que

será usada en este apartado. Así como también se desarrolla un conjunto de ejemplos, cuya función es introducir este quinto método de integración.

Ejemplo

Resolver la siguiente integral:

Solución

Método a emplear: Integración por Partes.

Regla de integración: Ecuación 1.3 y 1.6

Desarrollo:

Por la teoría expuesta, conviene hacer las siguientes elecciones:

u = x (1) y (2)

Derivar ambos miembros de (1) para obtener: du=dx

Aplicar integrales a ambos miembros de (2), para obtener:

(3)

Usando integración directa en el término de la izquierda y el método

de CDV, en el término de la derecha de (3), para obtener:

(4)

Reemplazar en la Ecuación 1.6, cada uno de sus factores por las

expresiones obtenidas en (1), (2)y (4), para obtener:

= (5)

Para resolver la última integral, se efectúa un CDV y se obtiene una

integral inmediata. Para su solución, se aplica la Ecuación 1.3. Así:

= (6)

Sustituir (6) en (5) y ordenar el resultado usando factorización. Así:

=

Por tanto, se concluye que:

Referencias

Calculo Diferencial E Integral By Edwin Joseph Purcell Dale Varberg. Novena

edicion

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Indefinite integral» (en inglés), Encyclopaedia

of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104