Post on 28-Sep-2020
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
COMPORTAMIENTO MICROMECÁNICO
Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
CONCEPTOS Y TIPOS DE TENSION Y DEFORMACIÓN
0L l
l∆=ε
htg δ
=γ≈γ
AF=σ
ΩF=τ
EFECTO POISSON
RRltransversandeformaci
llallongitudinndeformaci
T
l
∆=
∆=
= ó
= ó0
ε
ε
LT νε−=ε
εEσ =Leyes de comportamiento (material elástico-lineal e isótropo):
Ley de Hooke
γτ G=
( )ν+=
12EG
INTRODUCCIÓN
Fibras largas unidireccionales
Fibras largas con orientación aleatoria
Fibras cortas alineadas Fibras cortas con orientación aleatoria
Partículas
x
y
z
E2 ; Y E1 ; X E1 >> E2
X >> Y
ANISOTROPIA
X,1
Y,2
Z,3
1
23
Direcciones materiales en una lámina
ANISOTROPIA
ANISOTROPIA
ANISOTROPIA
Micromecánica
Macromecánica
Lamina
Laminado
Matriz
Fibras
Estructura
ANISOTROPIA
X,1
Y,2
Z,3
12
3
ANISOTROPIA
322331132112
231312
321
ννννννGGG
EEE
ν ji = −ε jε i
i = dirección de carga
j = dirección perpendicular a la de carga
νjiEi
=νijEj
i, j =1,2,3
ANISOTROPIA
Material heterogéneo Material homogéneo
anisótropo equivalente
Micromecánica
Contenido volumétrico de refuerzo
1=+ mf VV
de fibrasVolumen totalf
VolumenV =
de matrizVolumen totalm
VolumenV =
CONCEPTOS BÁSICOS
Contenido másico de refuerzo
1f mM M+ =
Masa de fibrasMasa totalfM =
de matrizMasa totalm
MasaM =
CONCEPTOS BÁSICOS
Relación Vf y Mf
f
ff
f m
f m
M
V M Mρ
ρ ρ
=+
f ff
f f m m
VM
V Vρ
ρ ρ⋅
=⋅ + ⋅
CONCEPTOS BÁSICOS
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Fibras:
Vf , Mf
ρf, Ef, νf, Gf
Matriz:
Vm, Mm
ρm, Em, νm, Gm
E1, E2, G12, ν21, ν12
Propiedades de los constituyentes
Propiedades de la lámina
FIBRAS
Vidrio E Kevlar Carbono H.R. Carbono H.M.
Efl (MPa) 74000 130000 230000 390000
Eft (MPa) 74.000 5.400 15.000 6.000
Gf (MPa) 30.000 12.000 50.000 20.000
νftl 0,25 0,40 0,30 0,35
MICROMECANICA DE LA LAMINA
1=+ mf VV
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Regla de las mezclas:
mf VmatrizProp.VfibraProp.láminaProp. ×+×=
Densidad de la lámina:
mmff VV ⋅+⋅= ρρρ
PROCESO DE FABRICACIÓN Vf (%)
Por contacto 30
Por presión 40
Por enrollamiento continuo (filament winding) 60-85
Por bolsa de vacío 50-80
MICROMECANICA DE LA LAMINA
mmff VV ⋅+⋅= ρρρ
MV
ρ = ff
f
MV
ρ = mm
m
MV
ρ =
f mM MV
ρ+
=
Regla de las mezclas
CONCEPTOS BÁSICOS
Densidad del material compuesto
CONCEPTOS BÁSICOS
Nivel de porosidad
teo f f m mV Vρ ρ ρ= ⋅ + ⋅
exp% 100teoporos
teo
V xρ ρ
ρ−
=
Afecta a las propiedades mecánicas
Rigidez y resistencia a cortadura
Resistencias a compresión
Resistencia a tracción transversal
Resistencia a la fatiga
Resistencia a la humedad
2-10% ↓
1% ↑ Vporos
)(hexagonal32
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=RrV f
π (cuadrado)4
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=RrV f
π
CONCEPTOS BÁSICOS
Relación Vf - geometría
Vf máximo: 91% aprox. Vf máximo: 78% aprox.
Hipótesis
MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES
Celdilla unidad
MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES
Celdilla unidad
L
w
w
d
r
2mw 2
mwfw
2
2frVw
π ⋅=
2
fdVw
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
f m
ff
w w w
wV
w
= +
=
1
2
3
w
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Hipótesis de Isodeformación:
FF
Consideremos una barra, fabricada de dos materiales distintos, sometidaa tracción:
Alzado Sección
Si las áreas de la sección transversal de cada uno de los materiales son:Aa Aby
el área total será:A = +
a
b
Aa Ab
MICROMECANICA DE LA LAMINA
FF
La tensión uniforme aparente a la que estaría sometida la barra sería:
σσ
σ =FA
L
FF
L L∆
Los dos materiales sufren la misma deformación: ε = LL
∆
MICROMECANICA DE LA LAMINA
σa = LL
∆
Por lo que las tensiones que deben soportar los dos materiales
serán distintas entre sí porque cada uno de ellos tendrá un módulo
de elasticidad diferente:
Ea y
Las tensiones que soportan cada uno de los materiales serán:
= LL
∆
Eb
Ea
Ebσb
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Por lo que las tensiones en cada material quedarán como:
σa σa
σaσa
σb σb
Debiendo cumplirse que:
σa σbAa Ab+ =L
L∆
EbAaL
L∆
Ea Ab+
=
=
σA = A EapL
L∆
Eap= +Aa
A AAbEa Eb
Eap = Módulo de elasticidad aparente del material compuesto
Eap= +Aa
A AAbEa Eb
MICROMECANICA DE LA LAMINA
La ecuación anterior puede escribirse como:
LL
LL
donde:Aa L = Va (Volumen del material a)
Ab L = Vb (Volumen del material b)
A L = V (Volumen total del material)
por lo que:
Eap= +Ea EbVa Vb
LL
1∆
=ε 1ffff EE ε⋅=ε⋅=σ
1mmmm EE ε⋅=ε⋅=σ mmff1
mf
AAAFFF
⋅σ+⋅σ=⋅σ+=
AAE
AAEE
AEAEAE
mm
ff1
m1mf1f11
⋅+⋅=
⋅ε⋅+⋅ε⋅=⋅ε⋅ ( )fmff1 V1EVEE −⋅+⋅=
MICROMECANICA DE LA LAMINAObtención de E1 (Hipótesis de isodeformación)
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Hipótesis de Isotensión:
F
F
Consideremos una barra, fabricada de dos materiales distintos, sometidaa tracción:
a
b
MICROMECANICA DE LA LAMINA
F
F
La tensión uniforme aparente a la que estaría sometida la barra sería:
σ
σ
σ =F
ΩW
σ
σ
Wb
MICROMECANICA DE LA LAMINA
σ
σ
σ
σ
Wa/2
Wa/2
σ =F
Ω
Los dos materiales sufren la
misma tensión:
MICROMECANICA DE LA LAMINA
εa =
Por lo que las deformaciones que sufren los dos materiales
serán distintas entre sí porque cada uno de ellos tendrá un módulo
de elasticidad diferente:
Ea y
Las deformaciones que sufren cada uno de los materiales serán:
Eb
σ / Ea
εb = σ / Eb
MICROMECANICA DE LA LAMINA
La variación de espesor que experimentará el material será:
∆Wa = σ / Ea Wa
∆Wb = σ / Eb Wb
La variación de espesor que experimentará el conjunto vendrá dada por:
∆W ∆Wa ∆Wb= + = / EaWaσ + / EbWb
Si definimos como módulo de elasticidad aparente, en la dirección de
carga a:Eap =
σε
=σ
∆WW
=σ
/ EaWaσ + / EbWb
W
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Eap =/ EaWa + / EbWb
1
W1/
por lo que:
Como: ΩWa = Va (Volumen del material a)
= Vb (Volumen del material b)
= V (Volumen total del material)
ΩWb
ΩW
Wa
W=
Wa
W=
Ω
ΩVa
Vy
Wb
W=
Wb
W=
Ω
ΩVb
V
Eap =/ EaVa + / EbVb
1
f
2f E
σ=ε
m
2m E
σ=ε
2
22 E
σ=ε
mmff2 WWW ⋅ε+⋅ε=⋅ε
mmff2
mm
ff2
VVW
WWW
⋅ε+⋅ε=ε
⋅ε+⋅ε=ε
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
σ+⋅
σ⋅=ε⋅=σ m
m
2f
f
22222 V
EV
EEE
( ) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−=
fm
f
mVEV
EE
f
2
E1
1
Obtención de E2 (Hipótesis de isotensión)
MICROMECANICA DE LA LAMINA
MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES
Obtención de E2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
E 2 (GP
a)
Vf
Datos experimentales
Modelo micromecánico
Material boro/epoxi
Ef = 414 GPa
νf = 0,2
Em= 4,14 GPa
νm = 0,35
Z. Hashin, 1970
NASA Technical Report NAS1-8818
Efecto de la concentración de Poisson
Ecuación de Halpin-Tsai
( )'
2 '
'2
1
1
m f
f f f m
mm
m
E EE
E V V E
EEν
⋅=
⋅ − + ⋅
=−
1 12
1
11
11
fm
f
f m
f m
VE E
V
E EE E
ξ ηη
ηξ
+ ⋅ ⋅= ⋅
− ⋅
−=
+ ⋅
ξ1 = Eficiencia del refuerzo
11 2ξ< <
MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES
Obtención de E2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
E 2 (GP
a)
Vf
Datos experimentales
Modelo micromecánico
Ecuación de Halpin-Tsai
Obtención de E2
Material boro/epoxi
Ef = 414 GPa
νf = 0,2
Em= 4,14 GPa
νm = 0,35
Z. Hashin, 1970
NASA Technical Report NAS1-8818
MICROMECÁNICA DE LAMINAS UNIDIRECCIONALES
1
221 ε
ε−=ν
1212 WWW ε⋅ν⋅=ε⋅−=∆
mf WWW ∆+∆=∆
1mmm VWW ε⋅ν⋅⋅=∆
1fff VWW ε⋅ν⋅⋅=∆( )fmff VV −⋅+⋅= 121 ννν
Obtención de ν21
MICROMECANICA DE LA LAMINA
1
21
2
12
EEνν
=
Teorema de reciprocidad
Obtención de ν12
MICROMECANICA DE LA LAMINA
SISTEMA I SISTEMA II
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Obtención de G12 o G21
τ
τ
τ
τ
τ
τ
mm G
τ=γ
ff G
τ=γ
12Gτ
=γ W⋅γ=∆
WVmmm ⋅⋅γ=∆
WVfff ⋅⋅γ=∆
fm ∆+∆=∆
ffmm VV ⋅γ+⋅γ=γ
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅+⋅=
f
mfm
m12
GGVV
1GG
Obtención de G12 o G21
MICROMECANICA DE LA LAMINA
τ
τ
τ
τ
ff
mm W
FyWF
=−= σσ
0=+ ffmm WW σσ
TE
TE m
m
mf
f
f ∆ασ
∆ασ
ε +=+=1
( )
ff
m
m
mfm
EVV
E
T11
+
−=
∆αασ
T∆αε 11 =
mmff
mmmfff
VEVEVEVE
+
+=
ααα1
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Obtención de α1
( ) ( )mf
m
f
f
m
fmmfffmm
VE
VE
EEVV αα
ννααα −×
+
−++=2
Obtención de α2
MICROMECANICA DE LA LAMINA
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Módulo de elasticidad (dirección 1):
mmff VEVEE ⋅+⋅=1
Módulo de elasticidad (dirección 2):
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
ff
mm
mV
EE
VEE 1
2
En resumen:
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Módulo de corte (direcciones 1-2):
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+==
ff
mm
mV
GG
VGGG 1
2112
Coeficiente de Poisson (ν21):
mmff VV ⋅+⋅= ννν 21
Coeficiente de Poisson (ν12):
1
21
2
12
EEνν
=
MICROMECANICA DE LA LAMINA
Módulo de elasticidad en una dirección cualquiera:
Ex =1
cos4 θE1
+ sen4θE2
+ 2 cos2 θ sen2θ 12G12
− ν21
E1
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
E1
E2