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Tema 3: Análisis de sistemas realimentados

Control Automático

3º Curso. Ing. IndustrialEscuela Técnica Superior de Ingenieros

Universidad de Sevilla

Curso 2008-09

Índice

Función de transferencia del sistema en bucle cerrado

Sintonización de un controlador

Análisis de la estabilidad de un sistema

Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle

cerrado.

Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.

Dependencia de los polos y ceros de la función de

transferencia del sistema realimentado con los parámetros

del controlador.

Control de sistemas SISO

Control en torno a un punto de trabajo (u0,y0)

Planta

+u0

u(t)

-y(t)

Δu(t)Controlador

r(t) e(t)

(Referencia en valor global)

Control automático

Controladore(t)Δu(t)

Controlador

¿Qué valor darle a los parámetros del controlador (Kp y Ti) para que el sistema en bucle cerrado tenga un comportamiento adecuado?

PI


Diseño basado en heurísticaSintonización del controlador por experimentación

Sistema realSistema simulado

Diseño por tablaSintonización del controlador basado en un ensayo experimental

Ziegler-Nichols (Tema 6)Astrom-Hägglund, Ho-Hang-Cao….

Diseño matemáticoAnalizar el sistema dinámico en bucle cerrado y diseñar el controlador para que cumpla una serie de propiedades

Tiempo de subidaError en régimen permanenteRobustez frente a perturbaciones

Diseño analíticoDiseño basado en el lugar de las raícesMoldeo de lazo (diseño en frecuencia)


Planta

+u0

u(t)

-y(t)

Δu(t)Controladorr(t)

e(t)

Sistema en bucle cerrado

Si el sistema es no lineal , es muy difícil analizar las propiedades del sistema en bucle cerrado.

Simplificación: Análisis de la respuesta del modelo en variables de error. (Linealizado).

Modelo en variables de error

Para poder definir una serie de propiedades de un sistema dinámico, se define el modelo en variables de error en torno a un punto de trabajo estable (u0,y0) de la siguiente forma:

Sistema+ -

Modelo en variables de error en (u0,y0)

Nota: El modelo depende del punto de trabajo.

Suposición: Condiciones iniciales en el punto de punto de trabajo.

Modelo en variables de error


Modelo lineal

-

Δu(t)Controlador

e(t)

Análisis de la respuesta del sistema linealizado en bucle cerrado. Tanto el sistema linealizado y controlador son sistemas lineales.


Teoría de sistemas

Hipótesis de diseño: Las propiedades de este modelo nos indican:- Velocidad de respuesta- Capacidad de seguir una señal de referencia que cambia con el tiempo- Robustez frente a perturbaciones- …

Teoría de sistemasTEMA 1. Introducción y fundamentos.

Sistemas dinámicos. Conceptos básicos. Ecuaciones y evolución temporal. Linealidad en los sistemas dinámicos.

TEMA 2. Representación de sistemas.Clasificación de los sistemas. Clasificación de comportamientos. Señales de prueba. Descripción externa e interna. Ecuaciones diferenciales y en diferencias. Simulación.

TEMA 3. Modelado y simulación. Modelado de sistemas. Modelado de sistemas mecánicos. Modelado de sistemas hidráulicos. Modelado de sistemas eléctricos. Modelado de sistemas térmicos. Linealización de modelos no lineales. Modelos lineales. Álgebra de bloques. Simulación.

TEMA 4. Sistemas dinámicos lineales en tiempo continuo. Transformación de Laplace. Descripción externa de los sistemas dinámicos. Función de transferencia. Respuesta impulsional. Descripción interna de los sistemas dinámicos.

TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales. Sistemas dinámicos lineales de primer orden. Ejemplos. Sistemas dinámicos lineales de segundo orden. Respuesta ante escalón. Sistemas de orden n.

TEMA 6. Respuesta frecuencial de sistemas lineales.Función de transferencia en el dominio de la frecuencia. Transformación de Fourier. Representación gráfica de la función de transferencia. Diagramas más comunes. Diagrama de Bode.

TEMA 7. Estabilidad.Estabilidad de sistemas lineales. Criterios relativos a la descripción externa de los sistemas dinámicos. Criterio de Routh-Hurwitz. Criterio de Nyquist. Criterios relativos a la descripción interna.

Análisis de sistemas lineales invariantes en el tiempo

Función de transferencia Gbc(s)

Transformada de Laplace (suponiendo estado inicial nulo)

Nota: Para el resto del tema, las variables “y” y “u” son las variables de error, es decir la desviación de la entrada y la salida del punto de equilibrio

Modelo lineal invariante en el tiempo (LTI)

Propiedades utilizadas: Linealidad, transformada de la derivada

Función de transferencia

Acción proporcional


Incremento de la acción de control proporcional al error


C(s)E(s)U(s)

Dominio temporal

Dominio frecuencial

Parámetro de diseño: Kp

Acción integral




C(s)E(s)U(s)

Dominio temporal

Dominio frecuencialParámetro de diseño: Kp, Ti Propiedad de linealidad y transformada

de la integral

Red de retraso

Controlador con propiedades similares al PI

Acción derivativa




C(s)E(s)U(s)

Dominio temporal

Dominio frecuencialParámetro de diseño: Kp, Td Propiedad de linealidad y transformada

de la derivada

Red de avance

Controlador con propiedades similares al PD

Controlador PID

Controladore(t) Δu(t)

Tiene las tres acciones básicas de controlAmplia aplicación en la industria

Incremento de la acción de control proporcional al error a su integral y a su derivada

Controlador PID




C(s)E(s)U(s)

Dominio temporal

Dominio frecuencialParámetro de diseño: Kp, Td, Ti Propiedad de linealidad y transformada

de la derivada e intregral

Red mixta Controlador con propiedades similares al PID


Álgebra de bloques (Ogata 3.3, Tema 3 de Teoría de sistemas)

+

-S1(s)

S2(s)

S3(s) = S1(s)-S2(s) S1(s) S2(s) = S1(s)

S3(s) = S1(s)

Punto de suma Punto de ramificación

G(s)S1(s) S2(s)=G(s)S1(s) Propiedad de la convolución

Sistema LTI


G(s)

-Y(s)C(s)

E(s) U(s)R(s)

R(s) Y(s)Gbc(s) Gbc(s) modela la respuesta de la salida del sistema en función de cambios en la referencia

Propiedades del controlador las definiremos a través de la respuesta del sistema en bucle cerrado


Otras funciones de transferencia

C(s) G(s)

H(s)

R(s)

Ym(s)

U(s)

Y(s)

Dinámica de los sensores (error de medida)

C(s) G(s)

H(s)

R(s)

Ym(s)

U(s)

Y(s)

Gd(s)

D(s)Perturbación a la salida

-

+

+

++

-

Índice





cerrado.




del controlador.


Diseño de los parámetros de el controlador (C(s)) para que el sistema en bucle cerrado tenga unas determinadas propiedades (especificaciones)

EspecificacionesTiempo de subida frente a un escalón en el incremento de referencia Error en régimen permanenteEstabilidad… ESPECIFICACIONES SOBRE EL

MODELO EN VARIABLES DE ERRORTIENEN EFECTO SOBRE EL SISTEMA

EN BUCLE CERRADO REAL


Gbc(s) no está definida si no definimos los parámetros de C(s)

Ejemplo


¿Comportamiento del sistema? Depende de Kp

Sistema de 3 polos que dependen de KpGanancia estática del sistema depende de Kp

Señal de referencia: Escalón de amplitud 1 en la referencia- Simulamos el comportamiento en Simulink/Matlab

Ejemplo

Kp=0.1

Kp=1

Kp=10

Kp=15

Ejemplo

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1Kp = 0.1, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

u(t)

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

e(t)

0 10 20 30 40 50 600

20

40

∫ 0t e(τ

)dτ

Respuesta del sistema en BC

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

1

u(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

1

e(t)

0 10 20 30 40 50 600

5

10

∫ 0t e(τ

)dτ


0 10 20 30 40 50 600

1

2Kp = 10, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 60−10

0

10

u(t)

0 10 20 30 40 50 60−1

0

1

e(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

1

∫ 0t e(τ

)dτ


0 10 20 30 40 50 60−10

0

10

20Kp = 15, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 60−200

0

200

u(t)

0 10 20 30 40 50 60−20

−10

0

10

e(t)

0 10 20 30 40 50 60−5

0

5

10

∫ 0t e(τ

)dτ


Ejemplo

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1Kp = 0.1, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 600

0.05

0.1

u(t)

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

e(t)

0 10 20 30 40 50 600

20

40

∫ 0t e(τ

)dτ


Ejemplo

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

1

u(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

1

e(t)

0 10 20 30 40 50 600

5

10∫ 0t e

(τ)d

τ


Ejemplo

0 10 20 30 40 50 600

1

2Kp = 10, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 60−10

0

10

u(t)

0 10 20 30 40 50 60−1

0

1

e(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

1

∫ 0t e(τ

)dτ


Ejemplo

0 10 20 30 40 50 60−10

0

10

20Kp = 15, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 60−200

0

200

u(t)

0 10 20 30 40 50 60−20

−10

0

10

e(t)

0 10 20 30 40 50 60−5

0

5

10

∫ 0t e(τ

)dτ


Índice





cerrado.




del controlador.


Diseño de los parámetros de el controlador (C(s)) para que el sistema en bucle cerrado tenga unas determinadas propiedades (especificaciones)

Especificaciones (Teoría de sistemas)EstabilidadTEMA 7. EstabilidadRespuesta transitoriaTEMA 5. Respuesta temporal de sistemas linealesRespuesta en régimen permanente TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales


Gbc(s) no está definida si no definimos los parámetros de C(s)

Tipos de comportamiento

Respuesta al escalón unitarioClasificación de la señal de salida Δy(t) frente a una determinada señal de entrada.

Escalón unitario (la más utilizada).Rampa.Senoide.

Da información sobre las propiedades dinámicas del sistema



Escalón unitario: Comportamiento:• Sobreamortiguado• Subamortiguado• Inestable• Oscilatorio


Sobreamortiguado

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Retraso LGanancia KTiempo de subida ts

Lts

KTiempo de subida: Tiempo en alcanzar el 63% del valor de régimen permanente.

Retraso: Tiempo que tarda en reaccionar la salida después de el cambio en la entrada.

Ganancia: Relación entre el valor de entrada y el valor de salida en el permanente.


Subamortiguado

K

tetpts

Retraso LGanancia KTiempo de subida tsTiempo de pico tpTiempo de establecimiento teSobrepaso MpTiempo de levantamiento: Tiempo en alcanzar el valor de régimen permanente por primera vez.Tiempo de pico: Tiempo en alcanzar el máximo.Tiempo de establecimiento: Tiempo en alcanzar una bande del 5% del valor de régimen permanente.Sobrepaso: Valor del incremento del pico de sobreoscilación en porcentaje del valor de régimen permanente.

Mp


Inestable

Estabilidad (TEMA 7. Estabilidad)

Criterio de estabilidad:Gbc(s) es estable si tiene todos los polos en el semiplano izquierdo

Los polos del sistema son las raíces del denominador (dependen de C(s))

Un sistema en bucle cerrado puede convertirse en inestable si el controlador está mal diseñado

El diseño del controlador tiene que garantizar la estabilidad del bucle cerrado

Ejemplo: Kp=15

Polos: -5.65, 0.0500 + 1.8272i, 0.0500 - 1.8272i

Estabilidad

Método analítico (ensayo y error)• Evaluar los polos del sistema en bucle cerrado para cada combinación de parámetros del controlador (Kp, Td, Ti) usando el modelo del sistema

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz• Permite evaluar si un polinomio tiene raíces en el semiplano derecho• Surge para evitar calcular las raíces de un polinomio de orden superior• Puede usarse para evaluar condiciones que garantizan estabilidad

Criterio de estabilidad de Nyquist (lo veremos en el tema 5)

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

Determinar si existe alguna raíz del siguiente polinomio en el semiplano derecho

Nota: Importante la notación

1 - Si existe algún parámetro negativo o cero, entonces el polinomino tiene al menos una raíz en el semiplano derecho2 - Construir la tabla de Routh-Hurwitz. Si existe algún componente negativo o cero en la primera columna de la tabla, entonces el polinomino tiene al menos una raíz en el semiplano derecho

Nota: Hay reglas para gestionar casos degenerados (ver Tema 7)

Ejemplo


Los polos son las soluciones de la siguiente ecuación (depende de Kp)

Rango de ganancias

Ejemplo


Los polos son las soluciones de la siguiente ecuación (dependen de Kp y Ti)

Técnica poco útil con múltiplesparámetros

Índice




Respuesta en régimen permanente del sistema en bucle cerrado.




del controlador.

Respuesta en régimen permanente

Respuesta del sistema cuando el tiempo tiende a infinito (suponemos que el sistema en bucle cerrado es estable)

Error en régimen permanente

Teorema del valor final (propiedad de la transformada de Laplace)

Importante: Depende de R(s)Diferentes referencias definen diferentes parámetros de error en régimen permanente

Error frente a un escalón

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Error ante una entrada constante (en rég. perm.)

Constante de error en posición

Todo sistema estable tiene error en posición acotadoPara que el error sea nulo (el sistema alcance la referencia)

Error frente a una rampa

Error ante una entrada en rampa (en rég. perm.)

Constante de error en velocidad

Error en velocidad acotado ⇔ Error en posición nulo (C(s)G(s) tiene al menos un integrador)

Para que el error sea nulo (el sistema alcance la referencia)

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

Error frente a una parábola

Error ante una entrada en parábola (en rég. perm.)

Constante de error en aceleración

Error en aceleración acotado ⇔ Error en posición nulo ⇔ Error en velocidad nulo (C(s)G(s) tiene al menos dos integradores)

Para que el error sea nulo (el sistema alcance la referencia)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tabla de errores

Tipo de un sistema = nº de integradores

Parábola

0Rampa

00Escalón

210Error

Tipo

Ejemplo

Sistema de tipo I

Controlador P

El controlador P afecta la ganancia deBode del sistema pero no puedecambiar el tipo del mismo

Mejora (cuantitativamente) el comportamiento en régimen permanente

Dependencia con Kc

Ejemplo

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

1

u(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

1

e(t)

0 10 20 30 40 50 600

5

10

∫ 0t e(τ

)dτ


Error en posición. Referencia constante (escalón)

Ejemplo

Error en velocidad. Referencia creciente (rampa)

0 10 20 30 40 50 600

20

40

60Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0

y(t)

0 10 20 30 40 50 600

5

10

u(t)

0 10 20 30 40 50 600

5

10

e(t)

0 10 20 30 40 50 600

100

200

300

∫ 0t e(τ

)dτ


Ejemplo

Sistema de tipo I

Controlador PI

El controlador PI afecta la ganancia deBode del sistema y aumenta el tipo del mismo

Mejora (cualitativamente) el comportamiento en régimen permanente

Dependencia con Kc y Ti

(La red de retraso permite aumentar la ganancia de Bode de forma arbitraria)

Ejemplo

Error en posición. Referencia constante (escalón)

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0.1

y(t)

0 10 20 30 40 50 60−1

0

1

2

u(t)

0 10 20 30 40 50 60−0.5

0

0.5

1

e(t)

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

∫ 0t e(τ

)dτ


Ejemplo

Error en velocidad. Referencia creciente (rampa)

0 10 20 30 40 50 600

20

40

60Kp = 1, Td = 0, 1/Ti = 0.1

y(t)

0 10 20 30 40 50 600

5

10

u(t)

0 10 20 30 40 50 600

1

2

3

e(t)

0 10 20 30 40 50 600

50

100

∫ 0t e(τ

)dτ


El término integral seintroduce para mejorarla respuesta en régimen permanente

(Puede inestabilizar el sistema, probar simulación con Kc=1Ti=1)

Índice

Función de transferencia del sistema en bucle cerradoSintonización de un controladorAnálisis de la estabilidad de un sistemaRespuesta en régimen permanente del sistema en bucle cerrado.




del controlador.

Respuesta en régimen transitorio

Respuesta al escalón unitarioClasificación de la señal de salida Δy(t) frente a una determinada señal de entrada.

Escalón unitario (la más utilizada).Rampa.Senoide.

Da información sobre las propiedades dinámicas del sistema

Y(s)G(s)

-C(s)

E(s) U(s)R(s)

Respuesta de y(t) al aplicar un cambio en la referencia r(t)

Señal de referencia: Señal escalón. Indica la velocidad de respuesta del sistema

(la señal de referencia real en general será diferente de un escalón)

Respuesta en régimen transitorio

TEMA 5. Respuesta temporal de sistemas lineales. Sistemas dinámicos lineales de primer orden. Ejemplos. Sistemas dinámicos lineales de segundo orden. Respuesta ante escalón. Sistemas de orden n.

Nos interesa la respuesta de y(t) al cambiar r(t) (comportamiento en bucle cerrado)

La respuesta transitoria de un sistema LTI frente a un escalón depende de su función de transferencia (Gbc(s))

Opción ensayo y error Dado un sistema realizar una simulación o antitransformarEs difícil caracterizar el tiempo de subida o la sobreoscilaciónIdentificar el efecto de los parámetros del controlador sobre esta respuesta

Sistemas de primer orden

sK

yuKydtdy

τ

τ

+==

==+

1U(s)Y(s)G(s)

0)0( ,

tiempo)de unidadesen (medida Tiempo de Constante :

salida)y entrada de las a conformes (unidades uy estática Ganancia :K

τ∞

∞

ΔΔ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

tiempo

2=Δu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.51

1.5

22.5

33.5

44.5

5

5.56

6.57

7.58

8.59

9.510

tiempo

y

6=Δy

τ

78.363.0 =Δ⋅ y

Sistemas de segundo orden

rad/s) ( natural frecuencianal)(adimensio iónamortiguac de eCoeficient :

U) Y/dim (dim estática ganancia :K

n :

2 222

2

1212

2

ωδ

ωωωδ uKydtdy

dtyd

ubyadtdya

dtyd

nnn =++

=++

22

2

2U(s)Y(s)G(s)

nn

n

ssK

ωωδω

++==


1:Polos 2 −±− δωωδ nn

Im

Re ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<=>

:1:1 :1

δδδ Sobreamortiguado

Críticamente amort.Subamortiguado.

Im

Re


..=OS(∞yttt

21 δωαπ−

−=

n

st

21 δωπ−

=n

pt

21100.(%). δ

πδ

−−

⋅= eOS

δωnet

3=

Sistema subamortiguado

00

Tiemp

y(t))(

)()(..

∞∞−

=y

ytyOS p

)(∞y

etptst

)(lim

)]1cos()1([)(

)2()(

)('1)(

0

22

11

22

11

1

sGKestáticaganancialaKsiendo

tctsenbeeaKty

ssps

csk

ssY

s

kkkk

r

k

tt

j

tpj

kkk

r

kj

t

j

i

m

i

kkj

→

=

−

=

−

==

=

=

⋅−+⋅−++=

++∏+∏

+∏⋅=

∑∑ δωδω

ωωδ

ωδ

Sistemas de orden superior

nnnn

mmm

mmm

m

m

m

nnn

n

n

n

asasasbsbsbsG

tubdt

tdubdt

tudbdt

tudbyadt

tdyadt

tydadt

tyd

+++++++

=

++++=++++

−−

−

−−

−

−−

−

11

1

110

11

1

1011

1

1

......)(

)()(...)()()(...)()(

En la práctica, se dan situaciones en que algunos polos tienen una influencia en la respuesta del sistema es muy superior a la del resto de polos, a estos polos se les denomina polos dominantes.

Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más lenta.

La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la exponencial (la parte real del polo), recuerde:

Polos dominantes

Dinámicas dominantes: polos cuya respuesta es más lenta

En la práctica, polos dominantes se determinan por la distancia relativa de los mismos al eje imaginario

Re

Imp1

p’1

p2

p’2

d2

d1

Re

Im

p1

p2

p’2

d2

d1

p1 es dominante si d2/d1>5

La ganancia estática debe ser igual

Polos dominantes

12

)17)(16)(1(544

)17)(16)(1(544)(

+=

+≈

+++=

ssssssG

-1 es el dominante el resto se desprecian

Re

Im

-1-16

-17

Tiempo(s)0 1 2 3 4 5 6

0

0.5

1

1.5

2

2.5y(t)

Efecto de los ceros en la respuesta

0 0.5 1 1.50

1

2

3

4

5

6 Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Los ceros afectan a la respuesta


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

y(t)dy(t)/dtyc(t)

De forma cualitativa

Efecto de la adición de un cero


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-20 -15 -10 -5 0 5-1

0

1

x xo o o o

Ceros de fase mínima


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

-20 -15 -10 -5 0 5-1

0

1

x x o o

Ceros de fase no mínima


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-1

0

1

x xo

Cuanto más se acerca el cero al polo, menor será su contribución a la respuesta del sistema

Afecta a la dinámica dominante (en el transitorio)El tiempo de establecimiento varía poco

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

Cancelación de dinámicas

Hipótesis de diseño

Teoría estudiadaRespuesta de sistemas de primer ordenRespuesta de sistemas de segundo ordenRespuesta de sistemas de orden superiorEfecto de los ceros

En general es muy difícil obtener resultados explícitos

Hipótesis de diseñoEn las técnicas de diseño de controladores estudiadas, se desea

obtener una relación explícita de los parámetros de los controladores sobre la respuesta transitoria frente a una referencia escalón

La hipótesis más utilizada es que la dinámica del sistema en bucle cerrado se encuentra dominada por un par de polos complejos conjugados

Los ceros en general son difíciles de tener en cuenta

Esta hipótesis se haceDiseño de controladores utilizando el lugar de las raícesDiseño de controladores en frecuencia

Índice

Función de transferencia del sistema en bucle cerradoSintonización de un controladorAnálisis de la estabilidad de un sistemaRespuesta en régimen permanente del sistema en bucle cerrado.Respuesta en régimen transitorio de un sistema estable.


transferencia del sistema realimentado con los

parámetros del controlador.

Polos y ceros de Gbc(s)


Ceros del sistema en bucle cerrado Mismos ceros que el sistema en bucle abierto más los ceros añadidos por el controlador

Polos del sistema en bucle cerrado Dependen de los parámetros de diseño

En algunos casos es posible obtener los polos de forma explícitaControl de sistemas de segundo orden con P y PD

En general no es posibleTécnicas aproximadas

EjemploControlador P

Los polos dependen de Kp

Representación en el plano complejo

Lugar de las raíces

Ejemplo

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Kp=0.1

Kp=1

Kp=10Kp=15

Ejemplo ilustrativo: Sistema de levitación magnética

Descripción ValorNúcleo AceroDiámetro del núcleo 25 mmDiámetro de la bobina 80 mmNúmero de espiras 2850Resistencia 22 ΩInductancia 277 mH a 1 kHz

442 mH a 120 kHz

Ejemplo ilustrativo: Sistema de levitación magnética

Modelo no lineal del sistema

2

2

XIkmgXm −=&&

m : Masa de la bolag : cte de gravedadX : Distancia de la bola al electroimán

(variable a controlar)I : Corriente en la bobina (acción de control)K : coeficiente constante

X Fm

Fg

Linealización del sistemaSuponemos un punto de trabajo X0 para el que la acción de control vale I0 y trabajamos en variables de error

XXXIIIΔ+=

Δ+=

0

0

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