UNIVERSIDAD CÉSAR UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOVALLEJO

Facilitador:Facilitador:Lic. Mat. Patricia Isabel Lic. Mat. Patricia Isabel Aguilar Incio.Aguilar Incio.

Objetivo de hoyObjetivo de hoy

Determinar cuando una expresión o un Determinar cuando una expresión o un diagrama representa una funcióndiagrama representa una función

Diferenciar los tipos de funcionesDiferenciar los tipos de funciones

Bosquejar la gráfica de una funciónBosquejar la gráfica de una función

Determinar el Dominio y el Rango de Determinar el Dominio y el Rango de Funciones Funciones

PREVIO: Repaso de Fórmulas de PREVIO: Repaso de Fórmulas de Álgebra BásicaÁlgebra Básica

Ejercicios de FactorizaciónEjercicios de FactorizaciónResolución de EcuacionesResolución de Ecuaciones

Resolución de InecuacionesResolución de Inecuaciones

Fueron realizados en la Pizarra

Revisión de Algunos ConceptosRevisión de Algunos Conceptos

Función y RelaciónFunción y RelaciónDominio y Rango de una FunciónDominio y Rango de una FunciónSistema de Coordenadas CartesianasSistema de Coordenadas CartesianasFunción: Constante, Lineal, Cuadrática, Función: Constante, Lineal, Cuadrática, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Cúbica, Polinómica, Raíz Cuadrada, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Potencial, Exponencial, Logarítmica, Racional.Racional.Gráfica de Funciones por tablasGráfica de Funciones por tablasGráfica de funciones pos softwareGráfica de funciones pos software

FUNCIÓN REALFUNCIÓN REAL

Una función es una regla f,que asigna a cada número de entrada “x X” ∈exactamente un número de salida “y Y”.∈Al conjunto de números de entrada X a los cuales se les aplica la regla se le llama dominio de la función. El conjunto de números de salida Y es llamado el rango.En este curso X e Y serán subconjuntos de R (conjunto de los números reales)

xxf deexpresión )(

)(xfy 1

13)(

2

x

xxfEjemplo:

YXf :

Elementos básicos en el estudio de una función.

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

RECORRIDO o IMAGEN

GRÁFICA o GRAFO

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA

RECORRIDO o IMAGEN

El recorrido es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar y, los cuales son imagen de algún valor x

GRÁFICA o GRAFO

Funciones Lineales: Funciones Lineales: y = mx + ny = mx + n

Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Todas las funciones polinómicas tienen dominio

3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3

3ª) y = (1/3)x +1

1ª) y = 2x +1

2ª) y = 5x +1D f =

A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontalOrdenada en el origen no cambia

D f = 1ª) y = -3x + 1

2ª) y = -3x + 5

3ª) y = -3x + 2

Igual pendiente: paralelas

Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

RESUMEN:

Funciones lineales: y = mx + n

D f =

R f =

¡Ojo! Si m=0, R f = {n}

R f = {-2}

Ejemplos de aplicaciones de la función lineal:

A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt

B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante)

C) Dilatación: L = L0(1 + kt)

D) DEMANDA LINEAL, OFERTA LINEAL, DEPRECIACIÓN LINEAL, COSTO.

Funciones cuadráticasFunciones cuadráticas

y = axy = ax22 + bx + c + bx + c

Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Como todas las funciones polinómicas

D f =

5

36x

5

32x

5

4y 2

Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es

significativo y que puede llamar a

confusiones

Cambiamos el rango de representación y observamos las

variaciones que se producen

Ahora observamos la gráfica con toda su

significación

Las claves están en los siguientes

elementos:

Cortes con el eje OX

Vértice

Funciones cuadráticas D f = y = ax2 + bx + c

Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática:

1. Hallar los puntos de corte con el eje OX

ax2 + bx + c = 0 x1 y x2 (x1, 0) y (x2, 0)

2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)

3. Completar, si es necesario, con una tabla

Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

a

acbyv 4

42

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

1) y = x2 -8x - 9

Vértice (4, -25)

R f = [-25, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX

Obsérvense los coeficientes de x2

9

100x

9

80x

9

20y

9

25x

9

20x

9

5y

5x4xy

2

2

2

V(2, -9) R f = [-9, +)

V(2, -5) R f = [-5, +)

V(2, -20) R f = [-20, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

y = x2 - 3x + 2

y = 3x2 + 2x +1

y = 20x2 - 20x + 5

Ejemplos de funciones cuadráticas D f =

Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo:

y = - 3x2 + x - 2

y = - 3x2 – x + 2

y = - x2 + 7x - 10

¡Ojo! En este caso:

Rf = (-∞, xv]

Funciones polinómicas Funciones polinómicas Grado >2 Grado >2

D f =

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = x3y = 2x3

y = 5x3

Obsérvese el efecto y = c·f(x)

D f =

R f =

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = x3 + 1 y = x3

y = x3 - 2

y = x3 + 3

D f =

R f =

Obsérvese el efecto y = f(x) + c

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x3 - 4x2 + x +6

D f =

R f =

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = (x + 1)2(x - 2) = x3 - 3x - 2

D f =

R f =

Solución doble

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = (x2 + 1)(x - 2) = x3 - 2x2 + x - 2

Raíces complejas

D f =

R f =

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

y = (x -1)(x - 2)(3 - x) = -x3 + 6x2 -11x + 6

D f =

R f =

Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo

Funciones cuárticas: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

y = (x +1)x(x - 1)(x -2) = x4 - 2x3 - x2 + 2x

D f =

Funciones fraccionarias Funciones fraccionarias

D f = - {x/ Qm(x) = 0}

Funciones fraccionarias

Asíntotas verticales

Asíntota horizontal y = 0

x = 3x = 0

x = -3/4R f = - {0}

Gráfica: HIPÉRBOLA

Funciones fraccionarias

Gráfica: HIPÉRBOLA

5x + 10 = 0 x = -2

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

D f = - {-2}

R f = - {3/5}

Funciones fraccionarias

Asíntota horizontal y = 1

Asíntotas verticales

x = -1 x = 4

D f = - {-1, 4}

Funciones trascendentes Funciones trascendentes

ExponencialLogarítmicaTrigonométricas··· ··· ···

Función exponencialFunción exponencial

y = ax a>0

Función exponencial

y = 2xy = exy = 10x

D f =

R f = (0, +)

Asíntota horizontal y = 0

e 2’718281828459045235360... Función monótona creciente

Función exponencial

y = 0’5x y = 0’1xy = (1/e)x

D f =

R f = (0, +)

Asíntota horizontal y = 0

Función monótona decreciente

Función exponencialFunción exponencialy = ax a>0

RESUMEN

Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial

Función logarítmicaFunción logarítmica

y = loga(x) a > 0

Función logarítmica

como función inversa de la función exponencial

Función exponencial y = ax

Bisectriz y = x

Función logarítmica y = loga(x)

R f = (0, +)

R f =

D f = (0, +)

a0 = 1Loga(1) = 0

Función logarítmica

y = log2(x)y = ln(x)

y = log(x)

Función logarítmica

y = log0’1(x)

y = log1/e(x)

y = log0’5(x)

DEMANDADEMANDALa La demandademanda en economía se define como la cantidad y calidad de bienes y servicios que en economía se define como la cantidad y calidad de bienes y servicios que pueden ser adquiridos a los diferentes precios del mercado por un consumidor (demanda pueden ser adquiridos a los diferentes precios del mercado por un consumidor (demanda individual) o por el conjunto de consumidores (demanda total o de mercado). La demanda individual) o por el conjunto de consumidores (demanda total o de mercado). La demanda es una función matemática expresada de la siguiente manera:es una función matemática expresada de la siguiente manera:

QdxQdx = = FF((PP,,II,,GG,,NN,,PsPs,,PcPc))DondeDondeQdx = es la cantidad demandada del bien o servicio. Qdx = es la cantidad demandada del bien o servicio. P = precio del bien o servicio. P = precio del bien o servicio. I = ingreso del consumidor. I = ingreso del consumidor. G = gustos y preferencias. G = gustos y preferencias. N = número de consumidores. N = número de consumidores. Ps = precio de bienes sustitutos. Ps = precio de bienes sustitutos. Pc = precio de bienes complementarios. Pc = precio de bienes complementarios.

La demanda puede ser expresada gráficamente por medio de la curva de la demanda. La La demanda puede ser expresada gráficamente por medio de la curva de la demanda. La pendiente de la curva determina cómo aumenta o disminuye la demanda ante una pendiente de la curva determina cómo aumenta o disminuye la demanda ante una disminución o un aumento del precio. Este concepto se denomina la elasticidad de la curva disminución o un aumento del precio. Este concepto se denomina la elasticidad de la curva de demanda. de demanda. Ley de la DemandaLey de la Demanda

Siempre y cuando no se modifiquen los demás factores determinantes la cantidad Siempre y cuando no se modifiquen los demás factores determinantes la cantidad que se demanda de un bien en el mercado varía en razón inversa a su precio.que se demanda de un bien en el mercado varía en razón inversa a su precio.

Fuente: WikipediaFuente: Wikipedia

EJEMPLOS y EJEMPLOS y CONTRAEJEMPLOS DE CONTRAEJEMPLOS DE

FUNCIONFUNCION

HECHOS EN LA PIZARRA