Explorando el área entre curvas

Miguel Angel Hernández de la Torre;

Departamento de Ciencias Básicas

México

Objetivos

Los estudiantes

è Identificaran el área entre curvas

è Comprenderán el concepto de intersección entre curvas

è Resolverán de manera ordenada el problema de calcular el área usando tecnología

Ejemplo clave

Encontrar el área encerrada por las curvas y = x3 + x

2 - 6 x y y = 6 x

Lectura rápida

Así que las áreas por encima del eje x son positivas y las áreas por debajo son negativas, ¿verdad? ¡Falso! Nos mintieron! Bueno, la

primera vez que aprendes el concepto de integración, lo anterior es una ficción conveniente aunque no sea cierto. Pero ahora vamos a

nivelar esto y sabremos toda la verdad.

Los límites para un área que está dada por una integral son la gráfica de una función, dos líneas verticales y, hasta ahora el cuarto límite

ha sido el eje x. Ahora vamos a generalizar este cuarto límite para la gráfica de una segunda función. Observemos que puede tomar la

segunda función y = 0 y esto de manera inmediata nos lleva al eje x. Pero que pasa cuando deja de ser el eje x uno de nuestro límites.

Vamos a desarrollar una fórmula para el área entre dos curvas. Habrá una “y la parte superior” y una “y para la parte de abajo”. “Arriba”

y “abajo” se refieren a que tiene los mayores valores de y. Por supuesto, las curvas pueden cruzar y esto hace que el problema sea un

poco más complicado, pero no mucho.

Así que las áreas por encima del eje x son positivas y las áreas por debajo son negativas, ¿verdad? ¡Falso! Nos mintieron! Bueno, la

primera vez que aprendes el concepto de integración, lo anterior es una ficción conveniente aunque no sea cierto. Pero ahora vamos a

nivelar esto y sabremos toda la verdad.

Los límites para un área que está dada por una integral son la gráfica de una función, dos líneas verticales y, hasta ahora el cuarto límite

ha sido el eje x. Ahora vamos a generalizar este cuarto límite para la gráfica de una segunda función. Observemos que puede tomar la

segunda función y = 0 y esto de manera inmediata nos lleva al eje x. Pero que pasa cuando deja de ser el eje x uno de nuestro límites.

Vamos a desarrollar una fórmula para el área entre dos curvas. Habrá una “y la parte superior” y una “y para la parte de abajo”. “Arriba”

y “abajo” se refieren a que tiene los mayores valores de y. Por supuesto, las curvas pueden cruzar y esto hace que el problema sea un

poco más complicado, pero no mucho.

El área sombrada es lo que buscamos. Ahora Ÿa

bf HxL „ x nos representa el área entre f HxL y el eje x de la misma manera Ÿ

a

bg HxL „ x.

Claramente el área buscada es la diferencia de estas integrales, Ÿa

bf HxL „ x - Ÿ

a

bg HxL „ x.

Area = ‡a

bH f HxL - g HxLL „ x; si f HxL ¥ gHxL para a § x § b

Ejemplos

1.- Encontrar el área entre las curvas y = 2 x2 - 6 y y = -2 x

2 + 10. Primero localice los puntos de intersección entre estas curvas. Use

WolframAlpha

2 areawolframalpha.nb

areawolframalpha.nb 3

Finalmente encuentre el área

4 areawolframalpha.nb

2.-Encuentre el área encerrada por y=-4 sin(x) y y=sin(2x) para 0§x§p. Usando WolframAlpha

areawolframalpha.nb 5

Activida para el estudiante

Encuentre el área encerrada por las curvas. Usando WolframAlpha .

è y = -x3 + x

2 + 16 x and y = 4 x.

è y = -x4 and y = x

2 - 2 x.

è y = -CosHxL and y = Cos2HxL for -p

2§ x §

p

2.

è y = CosHxL, y = Sec2HxL , x = 0 and x =p

4.

è Encuentre el área “triangular” que se encuentra en el primer cuadrante acotado arriba por y = ‰3 x, por debajo

y = ‰x , y a la derecha de x = ln 5.

Cierre

Sin ningún esfuerzo para frenar el crecimiento de la población, un gobierno estima que su población crecerá a una tasa de 60 e.02 t mil

personas por año. Sin embargo, creen que un programa de educación va a alterar la tasa de crecimiento de - t2 + 60 mil personas por año

durante los próximos 5 años. ¿Cuántas personas menos, habría en el país, si el programa de educación se aplica y tiene éxito?

Herramientas de apoyo

è Area Between Curves.

è Area Under a Curve.

è Signed and Unsigned Area under a Curve.

6 areawolframalpha.nb