· Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 1 9.- LÍMITES Y CONTINUIDAD 1.- Funciones reales...

BLOQUE TEMÁTICO III:

ANÁLISIS

Matemáticas Apl. CC. Sociales II: Análisis 1

9.- LÍMITES Y CONTINUIDAD

1.- Funciones reales

Una función es una relación de dependencia entre dos conjuntos en la que a cada elemento x del conjunto inicial le corresponde un único elemento y del conjunto final. Se simboliza mediante la notación:

:( )

f A Bx y f x→→ =

Si A y B son conjuntos de números reales, se habla de función real de variable real.

La expresión gráfica de una función permite interpretar algunas de sus características, como monotonías, extremos relativos, continuidad, etc. Sin embargo, esta forma de expresión presenta generalmente mucha dificultad para encontrar la ley matemática que la define.

No todas las gráficas corresponden a una función; para que así sea, a cada valor de x debe corresponderle un único valor de y. Así estas gráficas no corresponden a una función:

Las funciones las podemos clasificar en:

Algebraicas:

Constantes: ( ) 2=f x

Polinómicas: 2( ) 3 5 7= + −f x x x

Racionales: ( )2

= −−xf x

x

Irracionales: 2( ) 4= − −f x x

Transcendentes:

Exponenciales: 2( ) 3 += xf x Logarítmicas: ( ) log( 7)= +f x x Trigonométricas: ( ) (3 6)= −f x tg x

Empíricas (definidas a trozos)


2.- Tipos de funciones. Cálculo del dominio

Se llama dominio de definición de una función al conjunto de valores de x, para los cuales existe la función. En una función real de variable real: { }| ( )Dom f x f x= ∈ ∈

El recorrido o imagen de una función es el conjunto de números reales que toma la variable dependiente. Mientras que el dominio lo buscamos en el conjunto inicial, el recorrido lo buscaremos en el conjunto final. Se designa por Im f(x), Rec f(x).

Ejemplo - Ejercicio

1.- Analiza y describe, en las siguientes funciones, el dominio y el recorrido.

a) b)

Veamos el dominio de las funciones anteriores:

a) Polinómicas

Son aquellas cuya expresión es un polinomio. Su dominio coincide con el conjunto de los números reales, ( )Dom f x = .

b) Racionales

Son aquellas cuya expresión es una fracción algebraica, es decir, el cociente entre dos

polinomios: ( )( )( )

P xf xQ x

=

El dominio es el conjunto de los números reales, excluidos los números para los que se anule el denominador (ceros o raíces):

{ }( ) | ( ) 0Dom f x x Q x= − ∈ =

{ }( ) valores que anulan el denominadorDom f x = −


Ejemplo resuelto

Dada la función ( )2

xf xx

= −−

, su dominio es { }( ) 2Dom f x = − , ya que el

número 2 es el cero del denominador.

Ejercicio

2.- Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) 3 1( )5

xf xx+

=−

b) 2

2

4 3( )2

x xf xx x

−=

−

c) 3

4 2( )4

xf xx x

−=

−

d) ( ) 3 7f x x= −

e) 2( ) 5 2f x x x= − +

c) Funciones definidas a trozos

Son aquellas que poseen una expresión analítica diferente para distintos valores o subconjuntos reales. En este tipo de funciones la expresión analítica depende de los tramos del dominio en los que se encuentre la variable independiente.

Ejemplo

2.- Halla el dominio de definición de las funciones:

a) 2 5 2

( ) 7 22 6

x si xg x x si x

x

⎧ − <⎪= ⎨ −

>⎪ −⎩

b) 2

3 1( ) 5

3 1

x si xg x x

x si x

⎧ <⎪= +⎨⎪ + >⎩

c) 2

5 1( ) 7

6 1

x si xg x x

x si x

⎧ <⎪= −⎨⎪ − ≥⎩


3.- Límite de una función Límite de una función es el valor hacia el que tiende o se aproxima una función

cuando la variable independiente, x, se acerca a un punto o a ∞. Escribiremos:

lim ( )x a

f x L→

=

a y L pueden ser un número real, +∞ o −∞ .

Para calcular el límite de una función, sustituimos el valor al que tiende x en la función f(x). Según que el resultado tenga sentido o no, existen dos posibilidades:

Obtener un valor real, que será el valor del límite.

Ejemplos

4.- Calcula el límite de las siguientes funciones:

a) 2( ) 2f x x cuando x= →

b) ( ) 13

xf x cuando xx

= →−

Obtener una expresión indeterminada, en cuyo caso el límite se calcula transformando la expresión de la función dada en otra equivalente en la que sí tengan sentido las operaciones.

Ejemplo

5.- Calcula el límite de la siguiente función: 2 1( ) 1

1xf x cuando xx−

= →−


a) Límites laterales

Son los valores hacia los que tiende una función cuando la variable independiente, x, se acerca por la izquierda (x → a -) y por la derecha (x → a+) a ese punto. Escribiremos:

lim ( )x a

f x−→

o lim ( )x a

f x+→

a - es un número próximo a a, pero menor que a. Igualmente, a+ está próximo a a, pero mayor que a.

Para que exista el límite de una función en un punto, deben existir los límites laterales en ese punto y ser iguales:

lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x f x f x− +→ → →

∃ ⇔ =

Ejemplo – Ejercicio

6.- Dada la gráfica de f(x), calcula los siguientes límites:

3 4 4

4

) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )

) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )x x x

x x x

a f x b f x c f x

d f x e f x f f x− +→ → →

→ → +∞ → −∞

7.- Dada la gráfica de f(x), calcula los siguientes límites:

2 1 2

1

) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )

) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )x x x

x xx

a f x b f x c f x

d f x e f x f f x− − +

+

→ → − →

→ +∞ → −∞→ −


4.- Propiedades algebraicas de los límites 1. El límite de una función en un punto, si existe, es único.

Si lim ( )x a

f x→

y lim ( )x a

g x→

existen, entonces se cumple:

2. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

± = ±

3. [ ]lim ( ) lim ( )x a x a

k f x k f x→ →

⋅ = ⋅

4. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

⋅ = ⋅

5. lim ( )( )lim , lim ( ) 0

( ) lim ( )x a

x a x ax a

f xf x si g xg x g x

→

→ →→

= ≠

6. lim ( )

( )lim ( ) lim ( ) , lim ( ) 0x ag x

g x

x a x a x af x f x si f x→

→ → →

⎡ ⎤= >⎢ ⎥⎣ ⎦

5.- Cálculo del límite de una función en un punto Distinguiremos si la función está definida a trozos o no.

a) Si f(x) es una función elemental Para calcular el límite en un punto de una función elemental, sustituimos el valor al

que tiende x en la función f(x).

lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

Ejercicios

8.- Halla los siguientes límites en los casos en los que sea posible:

a) 2

2

3 1lim2 4x

x x→−

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 2

0lim

3 1x

x xx→

++


b) Si f(x) es una función definida a trozos

Sea 1

2

( )( )

( )

f x si x cf x

f x si x c

≤⎧⎪= ⎨>⎪⎩

, consideraremos dos casos:

Cálculo de lim f(x) en el punto de ruptura

Para calcular lim ( )x c

f x→

calcularemos 1lim ( ) ( )x c

f x f c−→

= y 2lim ( ) ( )x c

f x f c+→

= .

Si coinciden, éste es el valor del límite. Si no coinciden, éste límite no existe.

Cálculo de lim f(x) en otro punto cualquiera del dominio

Para hallar lim ( )x a

f x→

, a ≠ c, procederemos así:

Si a < c, 1lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

Si a > c, 2lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

Ejemplos-Ejercicios

9.- Hallar los límites de la función f(x) en los puntos 3, 1 y 7:

2 5 3( )

7 3x si x

f xx si x− <⎧

= ⎨− + ≥⎩

10.- Halla el límite cuando x → 2 en cada una de estas funciones:

a) 23 1 2

( )9 2

x si xf x

x si x⎧ − <

= ⎨+ ≥⎩

b) 3 2 2

( )5 2

x x si xf x

si x⎧ − ≠

= ⎨=⎩

c)

1 21( )

1 21

x si xxf x

si xx

−⎧ <⎪⎪ += ⎨⎪ >⎪ −⎩

11.- Halla el valor de k para que exista 1

lim ( )x

f x→ −

, siendo:

2 2 1( )

1x si x

f xx k si x

⎧ + ≤ −= ⎨

+ > −⎩


6.- Cálculo de límites en el infinito Para calcular el límite de una función polinómica cuando x → + ∞, nos fijaremos en

su término de mayor grado, pues para valores grandes de x, el valor de las potencias de grado inferior es insignificante comparado con el suyo.

Para cualquier función polinómica 1 0( ) , 0nnf x a x a x a n= + + + >… , se cumple:

0lim ( )

0n

xn

si af x

si a→ +∞

+∞ >⎧⎪= ⎨−∞ <⎪⎩

El cálculo de límites en menos infinito se reduce al caso anterior, ya que:

lim ( ) lim ( )x x

f x f x→ −∞ → +∞

= −

O bien, tendremos en cuenta la regla de los signos.

Ejemplos

12.- Calcular los siguientes límites:

a) 2lim ( 3 5 1)x

x x→+∞

− + −

b) 2lim ( 2 8)x

x x→−∞

+ +

c) 7lim ( 2 3 5)x

x x→−∞

− + −

d) 3lim (5 1)x

x→−∞

−

Ejercicios


a) 3 2lim (2 7 4)x

x x→+∞

− +

b) 5 4lim ( 3 7 )x

x x→−∞

− +

Operaciones con el infinito serían:

L∞± = ∞ L−∞± = −∞ ∞+∞ = ∞ −∞−∞ = −∞ ( )∞− −∞ = ∞

L∞⋅ = ∞ ( )L∞⋅ − = −∞ L−∞⋅ = −∞ ( )L−∞⋅ − = ∞ ( )±∞⋅ ±∞ = ±∞ ( )±∞⋅ ∞ = −∞∓

L∞= ∞

L∞

= −∞−

L−∞

= −∞ L

−∞= ∞

− 0L

=±∞

Observa que en el producto y en el cociente con el infinito se aplica la regla de los signos de la forma habitual.


7.- Indeterminaciones Al operar con límites tanto finitos como infinitos nos podemos encontrar con

expresiones en las que el resultado tenga sentido o no, es decir, nos podemos encontrar casos en los cuales no es posible hallar directamente el límite. Se dice entonces que el límite está indeterminado.

Límite indeterminado no significa que no exista, sino que no se puede calcular directamente. En estos casos, el límite se calcula transformando la expresión de la función dada en otra equivalente en la que si tengan sentido las expresiones.

Las expresiones que indican indeterminación son:

0 00 ; ; ; 0 ; 1 ; 0 ;0

∞∞∞ −∞ ⋅∞ ∞

∞

Cuando al sustituir aparece 0k

, con k ≠ 0, no se trata de una indeterminación. Su valor

será +∞ o −∞ . Escribir que lim ( )x a

f x→

= ∞ , es una manera de decir que f(x) no tiene límite,

que f(x) es ilimitada.

a) Resolución de indeterminaciones

Indeterminaciones del tipo 00

Aparecen al calcular los límites de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) o de funciones irracionales.

Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) se resuelven factorizando numerador y denominador mediante la regla de Ruffini y simplificando.

Las indeterminaciones de cocientes de funciones irracionales se resuelven multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve raíz.

Ejemplo


a) 2

22

2 8lim2x

xx x→−

−+ −

b) 1

1lim2 2x

xx→

−−


Ejercicio


a) 2

1

1lim1x

xx→ −

−+

b) 2

3 6lim9 18x

xx→ −

++

Indeterminaciones del tipo ∞∞

Las indeterminaciones de funciones racionales (cocientes de funciones polinómicas) se resuelven dividiendo numerador y denominador por la máxima potencia del denominador, o bien, aplicando la regla de los grados:

, ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (lim , ( ) ( ))( )0 , ( ) ( )

x

asi grado de P x grado de Q x el signo es el deb

P x a si grado de P x grado de Q x siendo a y b loscoeficientes de los términos principales de P x y Q xQ x bsi grado de P x grado de Q x

→∞

⎧±∞ >⎪⎪⎪∞ =⎛ ⎞= = ⎨⎜ ⎟∞⎝ ⎠ ⎪⎪ <⎪⎩

Las reglas utilizadas para el cociente de polinomios son también válidas para los cocientes de funciones irracionales.

Ejemplo


a) 4 2

4

3 2 5lim4 7x

x xx→+∞

− + −−

b) 2 3lim5x

xx→+∞

+−

c) 5lim6 1x x→−∞ −

Ejercicio


a) 3

2

2 5 3lim7 1x

x xx→+∞

+ −− +

b) 5lim2 3x

xx→−∞

−− +


8.- Asíntotas de una función

Las asíntotas de una función son rectas a las que se aproxima la función cuando x tiende hacia un valor real a, a +∞ o −∞ . Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales y

oblicuas.

a) Asíntotas verticales

Son rectas paralelas al eje de ordenadas.

La recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si cuando x se acerca al

valor real a la función se acerca a la recta, ya sea con valores mayores o menores que dicho valor. Es decir, x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si existe alguno de los límites siguientes:

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a x a

f x f x f x f x− − + +→ → → →

= +∞ = −∞ = +∞ = −∞

Así pues, para calcular las asíntotas verticales de una función (si es que tiene) se localizan los valores de la variable x que hacen tender la función a +∞ o −∞ .

Las curvas nunca cortan a las asíntotas verticales.

Una función puede tener infinitas asíntotas verticales; p.e., la función tangente.

Las funciones polinómicas no tienen asíntotas verticales.

En las funciones racionales cuya fracción sea irreducible, las asíntotas verticales son los valores de x que anulan el denominador (se resuelve la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador); es decir, tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas tenga el denominador y que no lo sean del numerador.

Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical , hay que hallar el valor de los límites laterales en el punto:

lim ( )x a

f x+→

y lim ( )x a

f x−→

Supongamos que la asíntota es x = 7; calculamos f(7,01) y f(6,99) y obtenemos, p.e., f(7,01) = - 2300 y f(6,99) = 2320, de estos resultados deducimos que por la derecha de la asíntota la gráfica tiende a −∞ , puesto que el valor obtenido es negativo y por la izquierda

tiende a +∞ , puesto que el valor es positivo.


b) Asíntotas horizontales

Son rectas paralelas al eje de abscisas.

La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si cuando x tiende a +∞ o −∞ la función se acerca a la recta (asíntota por la derecha y asíntota por la izquierda).

Es decir, y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si existe alguno de los límites laterales siguientes:

lim ( ) lim ( )x x

f x b f x b→+∞ →−∞

= =

Así pues, para calcular las asíntotas horizontales de una función (si es que tiene) se hace tender x hacia +∞ o −∞ , y si este límite es un valor real, diremos que y = b es una

asíntota horizontal.

La gráfica de una función puede cortar a sus asíntotas horizontales.

Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales, correspondientes a los límites laterales.

Las funciones polinómicas no tienen asíntotas horizontales.

Una función racional sólo puede tener una asíntota horizontal (en caso de existir, será la misma cuando x tienda hacia +∞ o −∞ ). Esto ocurrirá, si el grado del denominador es

mayor o igual que el grado del numerador.

Para hallar la asíntota horizontal, y = b, se halla: ( )lim( )x

P x bQ x→±∞

=

Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota horizontal, calculamos la imagen de un valor muy grande y de un valor muy pequeño.

Supongamos que la asíntota es y = 4; calculamos f(1000) y f(- 1000) y obtenemos, p.e., f(1000) = 3,980 y f(- 1000) = 4,001, de estos resultados deducimos que por la derecha la gráfica se acerca a la asíntota por abajo, puesto que el valor obtenido es menor que el valor de la asíntota y por la izquierda la gráfica se acerca a la asíntota por arriba, puesto que el valor obtenido es mayor que el valor de la asíntota.


Ejemplo

18.- Determina las asíntotas de las funciones y haz un esbozo de sus gráficas:

a) 2( )1

xf xx+

=−

b) 2( )2 3

xf xx

− +=

−

c) 2 4( )2

xf xx−

=−

d) 3( )5

f xx

=−

Ejercicio

19.- Determina el dominio y las asíntotas de las funciones:

a) 2( )2 4

f xx−

=−

b) 3 1( )2

xf xx−

=+

En las funciones definidas a trozos, hemos de tener cuidado a la hora de buscar las asíntotas, ya que, aunque un tramo pueda tener una asíntota, es posible que la tenga en un valor de x que no intervenga en la definición de la función.

Las asíntotas verticales debemos buscarlas en los puntos que no pertenezcan al dominio y en los puntos de ruptura (calculando los límites laterales).

Ejemplo

20.- Determina las asíntotas de las funciones:

2

1 1) ( ) 1 2

4 2

si xxa f x x si x

si x

⎧ < −⎪⎪= − ≤ ≤⎨⎪ >⎪⎩

3 15) ( )

3 15

si xxb f x

x si xx

⎧ ≤⎪⎪ += ⎨−⎪ >

⎪ −⎩

Ejercicio

21.- Determina el dominio y las asíntotas de las funciones:

a)

2 4 3( ) 22 3

1

x si xf x

si xx

⎧ − ≤⎪= ⎨

− >⎪ −⎩

b)

3 02( )

01

x si xxf x

x si xx

−⎧ ≤⎪⎪ += ⎨⎪ >⎪ +⎩


9.- Continuidad de una función

Una función f(x) es continua en un punto a si se verifica que:

1. Existe f(a). 2. Existe lim ( )

x af x

→.

3. Se cumple que: lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

Si alguna de estas condiciones no se cumple, diremos que la función es discontinua en a.

En la práctica no es necesario comprobar las tres condiciones, ya que estas se resumen en la tercera condición.

Las funciones elementales (constantes, polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas), son continuas en sus respectivos dominios de definición, por tanto, para estudiar su continuidad hallaremos su dominio de definición.

a) Tipos de discontinuidades Según la condición de continuidad que no se cumpla, las discontinuidades pueden

clasificarse de la siguiente forma:

Discontinuidad evitable

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto, x = a, cuando el límite de la función en x = a existe y es finito, pero no coincide con el valor de la función en a, o bien, la función no está definida en x = a.

lim ( ) ( )x a

f x f a→

≠ o lim ( ) ( )x a

f x y f a→

∃ ∃

1lim ( ) 2 ; (1) 2x

f x f→

= − = ( )no f c∃

Esta discontinuidad se evita redefiniendo la función en a y haciendo que en este punto tome el valor del límite.


Ejemplos

22.- Estudia la continuidad de la siguiente función: 2 4 2

( ) 21 2

x si xf x x

si x

⎧ −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

23.- Estudia la continuidad de la siguiente función: 2 6 9 2

( )5 2

x x si xf x

si x

⎧ + + ≠ −⎪= ⎨= −⎪⎩

Discontinuidad no evitable (o esencial)

• Una función presenta una discontinuidad no evitable con salto finito en un punto, x = a, cuando existen los límites laterales, son finitos y distintos.

lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x+ −→ →

≠ ≠ ±∞

1

11

lim ( ) 2lim ( ) ; (1) 2lim ( ) 1

x

xx

f xno f x ff x

−

+

→

→→

= − ⎫⎪⇒ ∃ = −⎬= ⎪⎭

Ejemplo

24.- Estudia la continuidad de la siguiente función:

1 0( ) 0 0

1 0

si xf x si x

si x

− <⎧⎪= =⎨⎪ >⎩


• Una función presenta una discontinuidad no evitable con salto infinito o asintótica en un punto, x = a, cuando uno o los dos límites laterales son +∞ o

−∞ .

lim ( ) lim ( )x a x a

f x o f x es+ −→ →

±∞

1

11

lim ( )lim ( ) ; ( 1) 0,5lim ( ) 0,5

x

xx

f xno f x ff x

−

+

→−

→−→−

= −∞⎫⎪⇒ ∃ − =⎬= ⎪⎭ 3

lim ( )

(3)x

no k x

no k→

∃

∃

• Una función presenta una discontinuidad no evitable de segunda especie en un punto, x = a, cuando uno o los dos límites laterales no existen:

lim ( ) lim ( )+ −→ →

∃ ∃x a x a

f x o f x

En resumen, los tipos de discontinuidad en un punto son:

Discontinuidad evitable Discontinuidad no evitable de salto finito

Discontinuidad no evitable de salto infinito


Ejemplo resuelto

Clasifica las discontinuidades que presenta la siguiente función:

• En x = -4, es discontinua no evitable con salto infinito o asintótica, al cumplirse:

4 4lim ( ) lim ( )x x

f x f x− +→ →

= +∞ = −∞

• En x = -2, la función es discontinua no evitable con salto finito, por existir los límites laterales, ser finitos y distintos.

• En x = 1, la función es continua por la izquierda. Podría decirse que presenta una discontinuidad no evitable de segunda especie al carecer de límite lateral por la derecha.

• En x = 3, la función es continua por la derecha. Como el caso anterior podría ser considerada como discontinua no evitable de segunda especie al no tener límite lateral por la izquierda.

• En x = 5, la función es discontinua evitable. Evitamos la discontinuidad redefiniendo la función en x = 5, haciendo f(5) = 4.

• En x = 8, la función es discontinua no evitable con salto infinito al ser un límite lateral finito y otro infinito.

• En x = 10, la función es discontinua evitable. Evitaremos la discontinuidad definiendo f(10) = 2.


Ejercicios

25.- Estudia la continuidad y las asíntotas de las funciones siguientes:

a) 3( ) 3 5f x x x= − + b) 5( )3

xg xx+

=+

c) 2

2( )2

x xg xx x

+=

− − d)

2 2( )2

x xf xx−

=−


0 0( ) 1 0

si xf x

si xx

≤⎧⎪= ⎨

>⎪⎩

27.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos de ruptura y calcula las asíntotas:

a) 1 0

( ) 12 1 0

si xf x x

x si x

⎧ ≤⎪= −⎨⎪ − >⎩

b) 2 2 5

( )8 5

x si xf x

x si x⎧ − < −

= ⎨+ ≥ −⎩

28.- Estudia la continuidad y calcula las asíntotas de la función:

2

2 21

( )3 2 2

2

x si xx

f xx x si xx

+⎧ ≤⎪ −⎪= ⎨−⎪ >⎪ +⎩

29.- Halla el valor que deben tener a y b para que la siguiente función sea continua en :

2

5 1( ) 1 2

3 2 2

x si xf x ax b si x

x si x

≤ −⎧⎪= + − < ≤⎨⎪ − >⎩

30.- Halla el valor de a y b para que las funciones sean continuas en :

a) 2

4 2( ) 2 2

5 2

x a si xf x b x si x

x a si x

+ ≤ −⎧⎪= − − < <⎨⎪ − ≥⎩

b) 2

2

1( ) 1 1

( ) 1

x b si xg x a x si x

b x si x

+ ≤ −⎧⎪= + − < ≤⎨⎪ − >⎩

31.- Halla el valor de a y b para que la función sea continua en :

2

2 01

( ) 2 0 25 2

a x si xx

f x x b si xax si x

−⎧ <⎪ +⎪= − ≤ <⎨⎪ + ≥⎪⎩


Ejercicios finales 32.- Calcula lim ( )

xf x

→∞ cuando:

a) 2 3( )4 5

xf xx+

=−

b) 2( )5

xf xx

=+

33.- Determina el dominio y las asíntotas de las funciones y haz un esbozo de sus gráficas:

a) 2

1( )9

xf xx+

=−

b) 2 1( )

2xf xx−

=−


2

0 1( ) 1 1 3

5 3

si xf x x si x

x si x

≤ −⎧⎪= + − < ≤⎨⎪ − >⎩

35.- Dada la función: 2

0 0( ) 0 2

2

si xf x x si x

x si x

<⎧⎪= < <⎨⎪ ≥⎩

, estudia la continuidad en x = 0, x

= 1 y x = 2.

36.- Calcula el dominio, las asíntotas y estudia la continuidad de la siguiente función:

4 25

( ) 3 1 2 32 2 3

si xx

f x x si xx si x

⎧ <⎪ +⎪⎪= − ≤ <⎨⎪ + ≥⎪⎪⎩

37.- Estudia la continuidad de la siguiente función: 2 1 0

( )1 0

x si xf x

x si x

⎧ + ≥⎪= ⎨− <⎪⎩

38.- Estudia la continuidad de la función:

[ ]

2

2

1 0( ) 1 0, 2

4 2 2

x si xf x x si x

x x si x

⎧ + <⎪

= − + ∈⎨⎪ − + >⎩

39.- Halla el valor de m y n para que f(x) sea continua en :

2

1 1( ) 4 2 1 3

10 3

mx si xf x x si x

n si x

− ≤⎧⎪= + < ≤⎨⎪ + >⎩


10.- DERIVADAS

1.- Tasas de variación media e instantánea

En muchas situaciones reales interesa conocer propiedades relativas al cambio o variación que experimenta una variable respecto a otra. Esta variación se puede evaluar a través del cociente entre el incremento que sufre la variable dependiente y el incremento de la variable independiente. A este cociente le llamamos tasa de variación media (T.V.M.) de la función.

La tasa de variación media (T.V.M.) de una función f(x), en el intervalo [a, b], viene dada por la expresión:

( ) ( ). . . f b f aT V Mb a−

=−

Geométricamente, la T.V.M. de la función f en el intervalo [a, b] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

También podríamos expresarlo como: ( ) ( ). . . f a h f aT V M

h+ −

= siendo h la

amplitud del intervalo.

Ejemplo

1.- Calcula la T.V.M. de la función 2( ) 2f x x x= − en el intervalo [ ]1, 3 .


La T.V.M. de una función nos informa acerca de su variación en un intervalo, pero no nos da información sobre la variación de la función en un punto. Si h es muy pequeño, o próximo a cero, obtenemos una información más precisa sobre cómo varía la función en el punto a. Por ejemplo, a la policía de tráfico en carretera le importa más la velocidad de un vehículo al atravesar un núcleo urbano que su velocidad media por hora; por eso, se instalan radares que detectan velocidades en un punto concreto del trayecto. Esta velocidad es, de hecho, una velocidad media entre dos puntos muy próximos; en la práctica es la que marca el cuentakilómetros en un instante determinado.

La tasa de variación instantánea (T.V.I) en el punto a sería, pues, la variación media entre los puntos a y a + h, muy próximos:

0

( ) ( ). . . limh

f a h f aT V Ih→

+ −=

Ejemplo

2.- Calcula la T.V.I. de la función 2( ) 2f x x x= − en el punto x = – 1.

2.- Derivada de una función en un punto

T.V.I. de la función f(x) en el punto x = a se le llama derivada de f(x) en el punto x

= a, y se denota por f´(a) (otras formas: y´, Df(a), ( )df adx

). Por tanto:

0

( ) ( )( ) limh

f a h f af ah→

+ −′ =

Ejemplos

3.- Dada la función ( ) 3 2f x x= − , calcula la derivada en los puntos de abscisa x = – 1 y x = 2:

4.- Calcula la derivada de la función 2( ) 2 3f x x x= + − , en los puntos x = 1 y x = – 2.


3.- Función derivada

El cálculo del valor de la derivada de una función en un punto a exige la resolución de un límite, en muchos casos engorroso. Sí, además, para una misma función tenemos necesidad de calcular su derivada en distintos puntos, esta dificultad se acrecienta. La manera de simplificar el proceso es hallar, de una vez, otra función genérica que nos dé el valor de la derivada en cualquier punto con sólo sustituir en ella. Esta función recibe el nombre de función derivada.

La función derivada de una función f es una función que asocia a cada valor de x, su derivada. Se denota por f´(x), o por y´:

0

( ) ( )( ) limh

f x h f xf xh→

+ −′ =

A partir de la función derivada se puede definir, si existe, también su derivada, y recibe el nombre de derivada segunda, se representa por f´´(x).

Análogamente se definen las funciones derivada tercera, cuarta,…

Ejemplo

5.- Dada la función 2( ) 3 2f x x x= − , calcula su función derivada, aplicando la definición.

Observa que el cálculo de la función derivada de una función f simplifica el proceso de cálculo del valor de la derivada de f en diferentes puntos.

Así, para calcular f´(– 1), siendo f la función del ejemplo anterior, bastará sustituir x por 0 en la función derivada f´(x): f´(– 1) = 3 – 4·(– 1) = 7


4.- Operaciones con derivadas

Producto de un número por una función

( ) ( ) ( ) ( ),f x k u x f x k u x k′ ′= ⋅ ⇒ = ⋅ ∈

Suma o resta de funciones

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x q x f x u x q x′ ′ ′= ± ⇒ = ±

Producto de funciones ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x u x q x f x u x q x u x q x′ ′ ′= ⋅ ⇒ = ⋅ + ⋅

Cociente de funciones [ ] 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

u x u x q x u x q xf x f xq x q x

′ ′⋅ − ⋅′= ⇒ =

5.- Derivadas de las funciones elementales

Para calcular la función derivada de una función dada no aplicaremos la definición, sino que usaremos la siguiente tabla de derivadas:

Función Forma simple Forma compuesta

Constante ( ) ( ) 0f x K f x′= ⇒ =

Identidad ( ) ( ) 1f x x f x′= ⇒ =

Potencial 1( ) ( )n nf x x f x n x −′= ⇒ = ⋅ [ ] [ ] 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x n g x g x−′ ′= ⇒ = ⋅ ⋅

Exponencial ( ) , 0 ( ) lnx xf x a a f x a a′= > ⇒ = ⋅

( ) ( ) lnx x xf x e f x e e e′= ⇒ = ⋅ =

( ) ( )( ) , 0 ( ) ( ) lng x g xf x a a f x g x a a′ ′= > ⇒ = ⋅ ⋅( ) ( )( ) ( ) ( )g x g xf x e f x g x e′ ′= ⇒ = ⋅

Logarítmica

1( ) ln ( )f x x f xx

′= ⇒ =

1( ) log( ) log

1( )ln

a

a

f x ex

f x xf x

x a

⎧ ′ = ⋅⎪⎪= ⇒ ⎨⎪ ′ =⎪ ⋅⎩

( )( ) ln ( ) ( )( )

g xf x g x f xg x′

′= ⇒ =

( )( ) log( )

( ) log ( )( )( )

( ) ln

a

a

g xf x eg x

f x g xg xf x

g x a

′⎧ ′ = ⋅⎪⎪= ⇒ ⎨

′⎪ ′ =⎪ ⋅⎩


Ejemplos

6.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican:

5 3

) ( ) 6 ) ( ) 5 ) ( ) 3

2) ( ) ) ( ) ) ( )4 7

a f x b f x c f x x

xd f x e f x x f f x x

=− = =−

= = =


5 3 2

3 2 2 4

2) ( ) 2 4 ) ( ) 3( 1)5

) ( ) 2(3 5) ( 1) ) ( ) 7( 5 )

a f x x x b f x x x

c f x x x d f x x x

= − − = + +

= − + − = −

8.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 2 3 3 3) ( ) ( 1) ( 2 ) ) ( ) ( 2 ) ( 5 7)a f x x x x b f x x x x= − ⋅ + = − ⋅ − −


4

2 3

2

2 2) ( ) ) ( )3 2

3 5) ( ) ) ( )4 5 ( 1)

xa f x b f xx xx x xc f x d f x

x x

+= =

−

−= =

+ −

10.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 55 2) ( ) ) ( )

2 3 4x xa f x b f x

x x−⎛ ⎞= + =⎜ ⎟+⎝ ⎠

11.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 3

2 3 2

9 4

3 5

) ( ) ) ( ) ) ( ) 3

) ( ) 2 ) ( ) 2 ) ( ) 8 5

x x x

x x x

a f x e b f x e c f x

d f x e f x e f f x−

= = =

= =− = ⋅


5 2

2 5 3 3 4

4 6 2 4

) ( ) (1 ) (1 ) ) ( ) (2 1)

) ( ) 2 (7 2 ) ) ( ) 5

x x

x x x

a f x e x b f x e x

c f x x x d f x e

−

−

= + ⋅ + = ⋅ −

= ⋅ − = ⋅

13.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 2 1

5 3

23

) ( ) ) ( )(2 1)

3 1) ( ) ) ( ) 4 5

x

x

x

x

x ea f x b f xe x

xc f x d f x x xx e

+

= =−

−= = − +


5 2 5 3

) ( ) log( ) ) ( ) 5ln(2 )

) ( ) 4 3 log(3 1) ) ( ) 2( ln )x

a f x x b f x x

c f x x e x d f x x x+

= =

= − + − = +



{ }

2 3 2

2 3

) ( ) ln(5 ) ) ( ) (1 ) ln(2 )

) ( ) ln( ) ) ( ) ln (1 ) ( )x

a f x x x b f x x x

c f x e x d f x x x x

= ⋅ = − ⋅

= ⋅ = + ⋅ +


3 2

log (2 ) ln) ( ) ) ( )2 1 x

x xa f x b f xx e

= =− −

17.- Halla la derivada de esta función en el punto que se indica: 2( ) ( 1) (0)xf x x e f ′= + ⋅ → =

18.- Halla las derivadas 1ª y 2ª de la función: 6( ) 3 2 1f x x x= − +

Ejercicios


91 2) ( ) ) ( ) ) ( ) 83 5

a f x b f x x c f x x= = =

20.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 4 4 2 3) ( ) 3 10 ) ( ) (2 3 3)a f x x b f x x x= + = − +

21.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 5 6 2 4 2) ( ) ( 3) ) ( ) (5 3 ) (7 3 )a f x x x b f x x x x x= ⋅ − = − ⋅ −


2

1 5 1) ( ) ) ( )3 5 6 5 1

xa f x b f xx x x

−= =

+ + +

23.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 32 2 2

4

3 2 1) ( ) ) ( )5 2x x xa f x b f x

x x x⎛ ⎞− +

= − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

24.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 5 4 7 2) ( ) ) ( ) 5 ) ( ) 3x x xa f x e b f x c f x e −= = =

25.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 4 3) ( ) ( 1) ) ( ) 2 (5 4 )x xa f x e x b f x x= ⋅ − = ⋅ −


23 1

2 3 54) ( ) ) ( ) 5 3

2 3

xx xea f x b f x e x

x x

− −−= = − +

+

27.- Calcula las derivadas de las funciones que se indican: 3) ( ) 6log ) ( ) ln (3 )a f x x b f x x= =



2 2 3

) ( ) ln( 7 ) ) ( ) 4 ln( 1)

) ( ) ln( 3) ( 5)x

a f x x x x b f x x x

c f x e x

= ⋅ − = ⋅ −

= − ⋅ +


2 3

ln ln( 2)) ( ) ) ( )( 2)

x xa f x b f xx x

−= =

−

30.- Halla la derivada de esta función en el punto que se indica: 2

2

3( ) (1)1

xf x fx− ′= → =+

31.- Halla las derivadas 1ª y 2ª de la función: 3( ) xf x e=

6.- Derivadas laterales

Sabemos que para que un límite exista es necesario y suficiente que existan los límites laterales y que sean iguales. Por tanto, y puesto que la derivada es un límite, estos límites dan lugar a las derivadas laterales por la izquierda, f´(a - ), y por la derecha, f´(a + ), y se definen así:

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim ( ) limh h

f a h f a f a h f af a f ah h− +

− +

→ →

+ − + −′ ′= =

Diremos por tanto, que una función es derivable en un punto si, y solo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden:

( ) ( )( )

( ) ( )

f a y f af a

f a f a

− +

− +

′⎧∃ ∃⎪′∃ ⇔ ⎨′ ′=⎪⎩

Desde el punto de vista gráfico, que ( ) ( )f a f a− +′ ′= significa que la recta tangente

a f(x) en el punto (a, f(a)) es única.


7.- Continuidad y derivabilidad

Para que una función sea derivable en un punto antes debe ser continua en ese punto.

El recíproco de esta propiedad o teorema no es cierto, es decir, la continuidad no garantiza la derivabilidad.

Las funciones elementales no presentan, en general, dificultades de derivabilidad en los puntos de su dominio. Por lo tanto, para calcular la derivabilidad de dichas funciones, hallaremos su dominio de definición.

Para las funciones definidas a trozos, primero hay que estudiar su continuidad, después su derivabilidad. En el primer caso hay que comparar los límites laterales; en el segundo, las derivadas laterales.

La característica de la gráfica de una función derivable es una curva continua que no tiene picos.

Gráficamente, la derivabilidad puede calificarse como “suavidad”, como ausencia de cambios bruscos. En la siguiente figura observados como la función f(x) es derivable en todos sus puntos; en cambio, g(x) no es derivable en los puntos a , b y c. En el punto a , por no estar definida; en b , por no ser continua; en c , por no ser “suave”, es un punto anguloso. La tercera función no es derivable en x0 , por ser un punto de tangente vertical

Ejemplos

32.- Estudia la derivabilidad de la función: 5( )2

xf xx

=−

33.- Averigua si la siguiente función es derivable en x = 2: 23 1 2

( )12 2x si x

f xx si x

⎧ − ≤⎪= ⎨>⎪⎩

34.- Estudia la derivabilidad de la función:

23 3( ) 4 3

1

t si tB t t si t

t

⎧ − ≤⎪= ⎨ −

>⎪ −⎩

35.- Indica para qué valores de a y b es derivable la función: 3

2

1( )

1x x si x

f xax bx si x

⎧ − < −⎪= ⎨+ ≥ −⎪⎩


36.- Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en x = 1: 2

2

5 1( )

1x x m si x

f xx nx si x

⎧ − + ≤⎪= ⎨− + >⎪⎩

Ejercicios

37.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función: 2 5 218( ) 2 3

2 12 3

x si x

f x si xx

x si x

⎧ + ≤ −⎪⎪= − − < ≤⎨⎪⎪− − >⎩

38.- Halla el valor de a y b para que la siguiente función sea derivable en todo (recuerda que antes debes asegurarte de que la función sea continua)

32 3 1( )

2 1x x a si x

f xbx si x

⎧ − + ≤⎪= ⎨− >⎪⎩

8.- Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

Hemos visto que la T.V.M. de la función f en el intervalo [a, a+h] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos P y Q.

Cuando h tiende a 0, es decir, cuando Q se acerca a P, la recta

secante se convierte en la recta tangente a la curva en el punto P y la pendiente de la recta secante en la pendiente de la recta tangente. Por tanto, la pendiente, m, de la recta tangente en el punto P es la T.V.I. en el punto P, es decir, la derivada f´(x) de la función f(x) en x = a:

0

( ) ( )lim ( ) recta tangenteh

f a h f a f a m en ah→

+ − ′= =

Si tenemos en cuenta que la ecuación punto – pendiente de una recta es:

0 0( )y y m x x− = ⋅ − , donde (x0, y0) es un punto de la recta y m, su pendiente; y puesto que

f´(a) nos da la pendiente de la recta tangente a f en el punto (a, f(a)), se tiene que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en dicho punto es:

( ) ( ) ( )y f a f a x a′− = ⋅ −


Ejemplos

39.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función 2( ) 2f x x x= − en el punto de abscisa x = – 1.

40.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función 2( )1

xf xx

=−

en el punto

de abscisa x = 2.

41.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función 2( ) 3 xf x e −= en el punto de abscisa x = 0.

42.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:

2

3 5 2( )

7 4 2x si x

f xx x si x

− <⎧= ⎨

− + − ≥⎩ , en el punto de abscisa x = 4.

43.- Dada la función 2( ) 3 2 1f x x x= + + , halla el punto de la gráfica en el que la recta tangente tiene de pendiente – 4.

Ejercicios

44.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 2( ) 3f x x x= − en el punto de abscisa x = 2.

45.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función ( ) 4ln 2f x x= − en el punto de abscisa x = 1.

46.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función 2 3( )

2 4xf xx−

=−

en el punto

de abscisa x = – 1.

47.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: 2

2

0( )

2 1 0

xe si xf x

x x si x

⎧ <⎪= ⎨− + + ≥⎪⎩

, en el punto de abscisa x = – 1.

48.- Dada la función 3( )f x x x= − , halla los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 11.


Ejercicios finales

Derivadas de funciones elementales 49.- Calcula la derivada de las siguientes funciones:

4

5 1 2 4

5 1) ( ) ) ( )2

) ( ) 5(2 4 ) ) ( ) (2 3 1)

a f x x b f xx

c f x x x d f x x x−

−= =

= − = + +

50.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: 4 3 2 6

4 3

) ( ) ( 3 )(4 2) ) ( ) ( 2 9 )( 5 )

) ( ) (5 2) (2 8)

a f x x x x b f x x x x x

c f x x x

= + + = − + −

= − −

51.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: 2

2

2 1 (1 ) 2) ( ) ) ( ) ) ( )3 2 2 (3 )

x x xa f x b f x c f xx x x+ − −

= = =− −


3

6

5 3 7

1) ( ) ) ( ) 3

) ( ) 2 ) ( ) 5 4

xx

x x

a f x b f x ee

c f x d f x−

= =−

= = ⋅


3 3 6

) ( ) ln2 ) ( ) log (2 3)

) ( ) (1 ln ) ) ( ) 7log (5 )

x

x

a f x b f x x

c f x x d f x

+

−

= = −

= + =

54.- Calcula la derivada de las siguientes funciones:

22

2 2

42

1 1) ( ) 2 ln ) ( )2

1 2 1) ( ) 5 ) ( ) 42

1) ( ) 3

x

x

x

xa f x x b f xx x

c f x x d f x x xx x e

e f xx

−

−

= + + = +

= + − = − −

= −

55.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: 22 3 3 7 3

6 3 3 5 2

5 3 2 3

) ( ) (5 ) (7 2 ) ) ( ) (2 5)

) ( ) (5 ) ) ( ) (2 7) ln ( 1)

) ( ) ln ( 4 ) ) ( ) (7 1) ln

x x

x

a f x x e x b f x e x

c f x e x x d f x x x

e f x x x x f f x x x

−= + ⋅ − = ⋅ −

= ⋅ − = + ⋅ −

= ⋅ − = − ⋅


56.- Calcula la derivada de las siguientes funciones:

{ }

3

2 5

3 2 2

7 1 2

6 2 3

32

2 2

3 2 2) ( ) ) ( ) ) ( )5 ( 4)

ln( 3 4 ) 5log7) ( ) ) ( ) ) ( )5 8 5 2

ln 2 1) ( ) ) ( ) ln ) ( ) ln (2 3 )( 1) 2

x

x x

x

x x ea f x b f x c f xe x

e x x xd f x e f x f f xx x x x

x xg f x h f x i f x x xx x

−

+

− −= = =

+

− − −= = =

− −

+⎛ ⎞= = = ⋅ −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

57.- Halla la derivada de estas funciones en los puntos que se indican en cada caso:

2 5) ( ) ( 1) ( 1)

3) ( ) ln (6)2

a f x x f

xb f x fx

′= + → − =

−⎛ ⎞ ′= → =⎜ ⎟+⎝ ⎠

58.- Halla las derivadas 1ª y 2ª de cada una de estas funciones:

3

1) ( )2

) ( ) x

a f xx

b f x x e

=+

= ⋅

Derivabilidad

59.- Estudia la derivabilidad de la función: 8 4( )2 5

xf xx−

=+

60.- Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones: 2

2

2 1 1( ) 2 2 1 2

8 2

x x si xf x x si x

x x si x

⎧ + + < −⎪

= + − ≤ ≤⎨⎪ − + >⎩

61.- Estudia la derivabilidad de la siguiente función: 2

2

3 2 0( ) 2 0 3

3 3

x x si xf x x si x

x si x

⎧ + ≤⎪

= < ≤⎨⎪ − >⎩

62.- Estudia la derivabilidad de la función:

[ ]

2

2

1 0( ) 1 0, 2

4 2 2

x si xf x x si x

x x si x

⎧ + <⎪

= − + ∈⎨⎪ − + >⎩


63.- Representa la función [ )[ )[ ]

6 6, 3( ) 3 3, 3

6 3, 6

x si xf x si x

x si x

⎧ + ∈ − −⎪

= ∈ −⎨⎪ − ∈⎩

. Halla el conjunto

donde está definida la derivada y representar la función f´(x).

64.- Una función f(x) está definida: 2

2

0( )

0x x si x

f xx ax b si x

⎧ + ≤⎪= ⎨− + + >⎪⎩

. Halla a y b

para que f(x) sea continua y derivable en x = 0.

65.- Calcula los valores que deben tomar los parámetros a y c para que la función

f(x) sea derivable en x = 1:

2 1( ) 2 1

1

ax c si xf x

si xx

⎧ + ≤⎪= ⎨

>⎪ +⎩

. Calcula la ecuación de

la recta tangente a la gráfica de f en x = 2.

66.- Dada la siguiente función, calcula el valor de m y de n para que sea derivable:

0( ) 1

3 0

m si xf x x

x n si x

⎧ ≤⎪= −⎨⎪ + >⎩

67.- Calcular m y n para que la siguiente función sea derivable en x = 1: 23 1

( ) 2 1

mx si xf x

si xmx

⎧ − ≤⎪= ⎨

>⎪⎩

68.- Si la función f está definida mediante: 3 0

( )0

x x si xf x

ax b si x

⎧ − ≤⎪= ⎨+ >⎪⎩

Calcula a y b para que sea continua.


Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

69.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función 5( )f xx

= en el punto de

abscisa x = – 3.

70.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función 3( )1

f xx−

=−

en el punto

de abscisa x = – 1.

71.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:

3

2

3 0( ) 1

2 1 0

xx si xf x x

x x si x

⎧ − <⎪= −⎨⎪− + + ≥⎩

en el punto de abscisa x = – 1.

72.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

2

3 3( ) 1

2 3

x si xf x x

x si x

−⎧ <⎪= −⎨⎪ − ≥⎩

en el punto de abscisa x = 2.

73.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función: 2 3 6

( ) 52 5 6

x si xf x x

x si x

⎧ −<⎪= −⎨

⎪ + ≥⎩

en el punto de abscisa x = 2.

74.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 2

2( )1

xf xx

=+

en el

punto de abscisa x = 1. ¿En qué punto la tangente es paralela al eje de abscisas?

75.- Determina los puntos de la curva de ecuación 3( ) 12f x x x= − en los que la recta tangente es paralela al eje de abscisas.

76.- Dada la función 3( ) 2 23 1f x x x= − + , halla los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 1.

77.- Considérese la curva de ecuación 3 2( ) 6 18f x kx x kx= + − −

a) ¿Cuánto debe valer k si las tangentes en los puntos A (1, f(1)) y B (– 2, f(– 2)) son paralelas?

b) Determinar las ecuaciones de ambas tangentes.

78.- Dada la función 2( ) 1f x x x= + + se ha trazado una recta tangente a ella que tiene por ecuación 5 3y x= − . ¿En qué punto se ha trazado?

79.- Escribe la ecuación de la tangente a la curva 2( ) 3f x x x= + que es paralela a la recta 7 1 0x y+ + = .


80.- Dada la función 3 2( ) 2 3 1f x ax x x= + + − ¿cuál debe ser el valor de a para que la pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x = – 1 sea 11?

81.- Calcula el punto de corte de las tangentes a las curvas 2( ) 5 11f x x x= − + y 1( )g xx

= en x = 1.

82.- Halla en qué punto (puntos) la recta tangente a la curva 3( ) 3 1f x x x= − + es paralela al eje OX; y encuentra la ecuación de esas rectas.

83.- Una recta tangente a la curva 3( )f x x= tiene pendiente 3 y pasa por el punto (0, – 2). ¿Cuál es el punto de tangencia?

84.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función 2

( )2

xf xx

=+

en el punto de

abscisa x = 1 que es paralela a la recta de ecuación 3 1x y+ = .

85.- Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva 2( ) 3f x x x= − que es paralela a la recta 3 2 1 0x y+ + = .

86.- Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 2( )1

f xx

=+

que son

paralelas al segmento que une los puntos (1, – 1) y (3, – 5).

87.- Halla la ecuación de las rectas tangentes a 3 2( ) 3 9f x x x x= − − que son paralelas al eje OX.

88.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función 2 3( )4 5

xf xx+

=−

en el punto de

abscisa x = 1 que es paralela a la recta de ecuación 7 3 0y x− + − = .


11.- APLICACIONES DE LA DERIVADA AL ESTUDIO DE FUNCIONES.

1.- Monotonía: crecimiento y decrecimiento

La monotonía se basa en estudiar cómo aumenta o disminuye la variable dependiente y, al aumentar o disminuir la variable independiente x.

En la figura se observa que f(x) es creciente para valores de x menores que x1 ; decreciente, entre x1 y x2 , y nuevamente creciente para valores de x mayores que x2 .

En la misma figura se han trazado rectas tangentes a f(x), en los puntos a , x1 , b , c , x2 y d , para los cuales puede verse que donde la función es creciente la tangente tiene pendiente positiva; donde es decreciente tiene pendiente negativa y en x1 y x2 , que son donde la función toma sus valores máximo y mínimo, las tangentes son rectas horizontales y, por tanto, de pendiente cero.

Teniendo en cuenta que el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) viene dado por su derivada, ( )f x′ , en el punto correspondiente, en la práctica, para determinar los puntos en los que una función crece o decrece bastará con estudiar el signo de la derivada.

Si 0( ) 0f x′ > ( )f x⇒ es creciente en x0.

Una función es creciente en un intervalo cuando lo es en cada uno de sus puntos. Por tanto, si ( ) 0 ( , ) ( )f x x a b f x′ > ∀ ∈ ⇒ es creciente en el

intervalo (a, b).

Si 0( ) 0f x′ < ( )f x⇒ es decreciente en x0.

Una función es decreciente en un intervalo cuando lo es en cada uno de sus puntos. Por tanto, si ( ) 0 ( , ) ( )f x x a b f x′ < ∀ ∈ ⇒ es decreciente en el

intervalo (a, b).


Para calcular la monotonía de una función f(x), supuesta la existencia de la derivada, conviene seguir estos pasos:

1. Calculamos ( )f x′ .

2. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, ( ) 0f x′ = . Determinamos

también los puntos de discontinuidad de ( )f x .

3. Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de ( ) 0f x′ = y los

puntos de discontinuidad de ( )f x .

4. Calculamos el signo de ( )f x′ en dichos intervalos:

Si 0( ) 0f x′ > 0, ( , )x a b∀ ∈ , entonces f(x) es creciente en (a, b).

Si 0( ) 0f x′ < 0, ( , )x a b∀ ∈ , entonces f(x) es decreciente en (a, b).

Ejemplos

1.- Determina los intervalos de monotonía de las funciones:

a) 2( )f x x=

b) 3( )f x x=

c) 3( ) 3f x x x= −

d) 3( )f x x x= +

2.- Halla los intervalos de monotonía de las funciones:

a) 1( )3

xf xx+

=−

b) 4( ) 23

f xx

= −+

Ejercicios


a) 2( ) 1f x x= +

b) 3 2( ) 2 1f x x x= − −


a) 3( )2

xf xx+

=−

b) 3( ) 1f xx

= −


2.- Extremos relativos: máximos y mínimos

Un punto crítico de una función es un punto donde la derivada vale cero,

0( ) 0f x′ = , o la derivada no está definida, 0( )f x′ no existe.

Los máximos y mínimos relativos de una función sólo pueden darse en los puntos críticos; sin embargo, no todo punto crítico es necesariamente un máximo o un mínimo.

Si una función tiene en x = x0 un extremo relativo, entonces 0( ) 0f x′ = .

La determinación de los extremos relativos la haremos en base al siguiente criterio:


2. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, ( ) 0f x′ = .

3. Calculamos ( )f x′′ y sustituimos en ella los valores de x que han anulado la

primera derivada y estudiamos el signo de 0( )f x′′ :

Si 0( ) 0f x′′ < en x = x0 hay un máximo relativo.

Si 0( ) 0f x′′ > en x = x0 hay un mínimo relativo.

Si 0( ) 0f x′′ = , este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el

signo de la primera derivada para valores muy próximos por la izquierda y por la derecha del punto, de forma que:

♦ Si ( )f x′ es positiva a la izquierda de un punto crítico y negativa a la

derecha, el punto crítico es un máximo relativo.

♦ Si ( )f x′ es negativa a la izquierda de un punto crítico y positiva a la

derecha, el punto crítico es un mínimo relativo.

Para que una función tenga un máximo o un mínimo no es necesario que ( ) 0f x′ = .

Por ejemplo, ( )f x x= tiene un mínimo en x = 0 y, sin embargo, (0)f ′ no está definida.

Por tanto, la caracterización dada se refiere a funciones derivables.


Ejemplos

5.- Calcular los extremos relativos de las funciones:

a) 3( ) 3f x x x= −

b) 7 3( )2 4

xf xx+

=−

c) 2( ) 2 1f x x x= + +

6.- Hallar los extremos relativos de la siguiente función: 4( ) 23

f xx

= −+

7.- Dada la función 3 2( ) 5f x x ax= + + , hallar el valor de a para que tenga un extremo relativo (máximo o mínimo) cuando x = 2. Averiguar si es un máximo o un mínimo relativo.

Ejercicios

8.- Hallar los extremos relativos de las funciones:

a) 2( ) 2 3 2f x x x= − +

b) 3( ) 1f xx

= −

c) 3( )2

xf xx+

=−

9.- Calcula los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la siguiente función:

3 2( ) 3 4 3f x x x x= − − +

10.- Determinar el parámetro c para que el mínimo de la función 2( ) 2f x x x c= + + sea igual a 8.


3.- Concavidad o curvatura de una función

Diremos que una función es cóncava en un intervalo, si las pendientes de las rectas tangentes trazadas a la curva van disminuyendo. Por el contrario, si las pendientes van aumentando, diremos que la función es convexa en ese intervalo.

El estudio de la derivada segunda, ( )f x′′ , de una función ( )f x nos va a permitir deducir la curvatura de la gráfica asociada a la función.

La concavidad y la convexidad dependen de la posición desde la que se observa la gráfica. Nosotros seguiremos el siguiente criterio:

Una función f(x) es cóncava en un intervalo (a, b) si la gráfica de la función queda debajo de la recta tangente en cada uno de los puntos del intervalo.

Una función f(x) es convexa en un intervalo (a, b) si la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en cada uno de los puntos del intervalo.

Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad procederemos del siguiente modo:

1. Calculamos ( )f x′′ .

2. Hallamos los puntos que anulan la 2ª derivada, ( ) 0f x′′ = . Determinamos


3. Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de ( ) 0f x′′ = y los

puntos de discontinuidad de ( )f x .

4. Calculamos el signo de ( )f x′′ en dichos intervalos:

Si ( ) 0f x′′ < , ( , )x a b∀ ∈ , entonces f(x) es cóncava en (a, b).

Si ( ) 0f x′′ > , ( , )x a b∀ ∈ , entonces f(x) es convexa en (a, b).

Ejemplos

11.- Estudia el tipo de concavidad que presenta la función: 3 2( ) 6 9f x x x x= − +

12.- Estudia la concavidad de la función: 4( ) 23

f xx

= −+


Ejercicio

13.- Determina los intervalos de curvatura de las siguientes funciones:

a) 3 2( ) 8f x x x x= − −

b) 3( )2

xf xx+

=−

4.- Puntos de inflexión

Una función tiene un punto de inflexión en un punto, si la función cambia de curvatura en dicho punto.

La tangente a la función en un punto de inflexión atraviesa la gráfica de la misma.

Si una función tiene en x = x0 un punto de inflexión, entonces 0( ) 0f x′′ = .

El teorema recíproco no es cierto.

Ejemplo resuelto

14.- La derivada segunda de la función 4( )f x x= es 2( ) 12f x x′′ = , luego (0) 0f ′′ = y como se puede observar en la figura, en el punto (0, 0) la función no tiene un punto de inflexión.

La determinación de los puntos de inflexión la haremos en base al siguiente criterio:


2. Hallamos los puntos que anulan la 2ª derivada, ( ) 0f x′′ = .

3. Calculamos ( )f x′′′ y sustituimos en ella los valores de x que han anulado la

segunda derivada:

Si 0( ) 0f x′′′ ≠ , entonces diremos que la función tiene un punto de

inflexión en x = x0 .


Si 0( ) 0f x′′′ = , este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el

signo de la segunda derivada para valores muy próximos por la izquierda y por la derecha del punto, de forma que:

♦ Si ( )f x′′ es positiva a la izquierda del punto y negativa a la derecha, se trata de un punto de inflexión convexo - cóncavo.

♦ Si ( )f x′′ es negativa a la izquierda del punto y positiva a la derecha, se trata de un punto de inflexión cóncavo - convexo.

Ejemplos

15.- Estudia monotonía, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de las siguientes funciones:

a) 3 2( ) 3 9 22f x x x x= − + +

b) 4 3 21( ) 2 3 1f x x x xx

= − + +

c) 2 3( )1

xf xx−

=+

16.- Halla a, b y c de modo que la función 3 2( )f x x ax bx c= + + + tenga un mínimo para x = 3 y un punto de inflexión en (0, 2).

17.- Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 3( ) 2f x x x= + + en su punto de inflexión.

Ejercicio


a) 3( ) 3 4f x x x= − +

b) 2( )1xf x

x−

=+


Ejercicios finales

Estudio de funciones

19.- Dada la función 2 2 1 1

( )1 1

⎧ + − ≤⎪= ⎨+ >⎪⎩

x x si xf x

x si x

a) Halla su función derivada.¿Tiene f(x) algún punto en el que f´(x) = 0 ? b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f(x). c) Escribe la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 0.

20.- Dada la función f(x), estudiar la monotonía de f(x) y calcular la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2.

2 1( ) 2 1

⎧ <⎪= ⎨

≥⎪⎩

x si xf x

si xx

21.- Dada la función

3 2

2

5 0 3( ) 12 9 3 5

2 16 5 10

⎧ − + ≤ <⎪

= − + − ≤ ≤⎨⎪ + < ≤⎩

t t si tf t t t si t

t si t

a) Continuidad y derivabilidad de f(t) en t = 3 y en t = 5. b) Razona si f(t) tiene algún punto de inflexión y calcúlalo, en caso

afirmativo.

22.- Dada la función 2

2

16 2 2( )

2 3

⎧ − − ≤ <⎪= ⎨≤ ≤⎪⎩

x si xf x

x si x

a) Estudia la derivabilidad de f(x). b) Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x

= 1. c) Determina los extremos absolutos de la función.


3 2

2

6) ( ) 2 4 10 12 ; ) ( )3

2 5) ( ) 3 2 5 ; ) ( )2

−= − − + =

−

− += − + + =

− −

xa f x x x x b f xx

xc f x x x d f xx

24.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 3 2( ) 4 12 10= − −f x x x en su punto de inflexión.


Con parámetros 25.- La función 2( ) 3 8= + +f x x mx presenta un mínimo en x = 1. Calcular m y el

valor del mínimo.

26.- Calcula p y q de modo que la curva 2( ) = + +f x x px q contenga al punto (–2, 1) y presente un mínimo en x = –3.

27.- Obtener los valores de a y b para que la función 3 2( )f x x ax b= + + tenga un mínimo relativo igual a 3 en x = 2.

28.- Hallar el valor de b y m para que la curva 3 2( ) 1= + + +f x x bx mx tenga en x = –1 una inflexión y la pendiente de la recta tangente en ese punto valga 1.

29.- ¿Qué valores deben tomar b y c para que 3 2( ) 1= + + +f x x bx cx tenga un punto extremo en x = 1 y un punto de inflexión en x = 3 ? El extremo que se obtiene en x = 1, ¿es un máximo o un mínimo?

30.- La función 3 2( ) 4= − + +f x x ax x b corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en x = 2/3. Hallar a y b.

31.- Hallar a y b para que la función 3( ) = + +f x x ax b tenga un mínimo en el punto (–2, 5).

32.- Dada la función 3 2( ) = + +f x ax bx cx , calcular a, b, c para que el punto A (1, 5) y el punto de abscisa x = 2 sean extremos relativos.

33.- Hallar a y b para que la función 2( ) ln= ⋅ + +f x a x bx x tenga extremos en los puntos x = 1 y en x = 2. Para esos valores de a y b, ¿qué tipo de extremos tiene la función en x = 1 y en x = 2?

34.- Dada la función 3 2( ) = + + +f x ax bx cx d , halla los coeficientes a, b, c y d para que se cumplan las siguientes condiciones: la gráfica de la función tiene un punto de inflexión en (–1, 1), siendo la tangente en este punto paralela a la recta 4 5− =x y y, además, pasa por el punto (0, 1).

35.- Una función polinómica de tercer grado verifica que su gráfica pasa por el punto (–1, 0) y tiene tangente paralela al eje OX en el punto (0, 4). Sabemos también que el coeficiente de tercer grado de la función es 2. Determina la función.

36.- La función 3 2( )f x x ax bx c= + + + , verifica que su gráfica pasa por el punto (–1, 0) y tiene tangente paralela al eje OX en el punto (0, 4).

a) Calcula a, b y c. b) Calcula la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa 3. c) Calcula el punto de inflexión de f(x).

37.- Dada la función 8( )f x ax bx

= + + , calcula a y b para que la gráfica de f(x)

pase por el punto (–2, –6) y tenga, en ese punto, tangente horizontal.


38.- Sea la función

3 3 2 3( ) 10 3

x x si xf x

si xa x

⎧ − + <⎪= ⎨

≥⎪ −⎩

a) Calcula los valores de a para que f(x) sea continua en x = 3. b) Para a = 0 calcular los intervalos de monotonía. c) Para a = 4 calcular las asíntotas.

39.- Sea la función 3 2( )f x x ax bx c= + + + . Sabemos que tiene un máximo en x = 1, un punto de inflexión en x = 2 y corta al eje OY en el punto de ordenada – 1. Calcula el valor de los parámetros a, b y c.


12.- APLICACIONES DE LA DERIVADA. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE

FUNCIONES

1.- Estudio y representación de funciones

Para hacer un estudio completo de una función y representarla gráficamente conviene ser sistemático a la hora de obtener la información sobre ella, y es necesario interpretar gráficamente los resultados que se van obteniendo.

No siempre son necesarios todos los cálculos, pero un posible esquema para realizar el estudio de una función es el siguiente:

1. Dominio

Calcular el conjunto de números reales que puede tomar x, para los cuales está definida la función:

{ }| ( )Dom f x f x= ∈ ∈

Hacer también un estudio de posibles discontinuidades.

2. Puntos de corte con los ejes de coordenadas

a) Puntos de corte con el eje X (abscisas)

Son las soluciones del sistema: }( )0

y f xy= ⇒=

( ) 0f x =

b) Puntos de corte con el eje Y (ordenadas)

Son las soluciones del sistema: }( ) (0)0y f x y fx= ⇒ ==


3. Asíntotas. Ramas infinitas

a) Asíntotas verticales

La recta x = a es una asíntota vertical de la función f(x) si existe alguno de los límites siguientes:

lim ( ) ( ) ; lim ( ) ( ) ; lim ( ) ( )x a x a x a

f x f x f x+ −→ → →

= +∞ −∞ = +∞ −∞ =+∞ −∞

Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota vertical , hay que hallar el valor de los límites laterales en el punto:

lim ( )x a

f x+→

y lim ( )x a

f x−→

Supongamos que la asíntota es x = 7; calculamos f(7,01) y f(6,99) y obtenemos, p.e., f(7,01) = - 2300 y f(6,99) = 2320, de estos resultados deducimos que por la derecha de la asíntota la gráfica tiende a −∞ , puesto que el valor obtenido es negativo y por la izquierda tiende a +∞ , puesto que el valor es positivo.

b) Ramas infinitas. Asíntotas horizontales

Estudiamos el comportamiento de la función cuando x tiende a −∞ y a +∞ :

lim ( ) lim ( )x x

f x f x→−∞ →+∞

La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f(x) si existe alguno de los límites laterales siguientes:

lim ( ) ; lim ( )x x

f x b f x b→−∞ →+∞

= =

Para estudiar la situación de la gráfica de la función respecto de la asíntota horizontal, calculamos la imagen de un valor muy grande y de un valor muy pequeño.

Supongamos que la asíntota es y = 4; calculamos f(1000) y f(-1000) y obtenemos, p.e., f(1000) = 3,980 y f(-1000) = 4,001, de estos resultados deducimos que por la derecha la gráfica se acerca a la asíntota por abajo, puesto que el valor obtenido es menor que el valor de la asíntota y por la izquierda la gráfica se acerca a la asíntota por arriba, puesto que el valor obtenido es mayor que el valor de la asíntota.


4. Monotonía: crecimiento y decrecimiento

Para calcular la monotonía de una función f(x), supuesta la existencia de la derivada, conviene seguir estos pasos:


2. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, ( ) 0f x′ = . Determinamos


3. Consideramos los intervalos determinados por los puntos anteriores.

4. Estudiamos el signo de ( )f x′ en dichos intervalos:

Si 0( ) 0f x′ > 0, ( , )x a b∀ ∈ , entonces f(x) es creciente en (a, b).

Si 0( ) 0f x′ < 0, ( , )x a b∀ ∈ , entonces f(x) es decreciente en (a, b).

5. Extremos relativos: máximos y mínimos relativos

La determinación de los extremos relativos la haremos en base al siguiente criterio:


2. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, ( ) 0f x′ = .

3. Calculamos ( )f x′′ y sustituimos en ella los valores de x que han anulado la

primera derivada y estudiamos el signo de 0( )f x′′ :

Si 0( ) 0f x′′ < en x = x0 hay un máximo relativo.

Si 0( ) 0f x′′ > en x = x0 hay un mínimo relativo.

Si 0( ) 0f x′′ = , este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el

signo de la primera derivada para valores muy próximos por la izquierda y por la derecha del punto, de forma que:

♦ Si ( )f x′ es positiva a la izquierda de un punto crítico y negativa a la

derecha, el punto crítico es un máximo relativo.

♦ Si ( )f x′ es negativa a la izquierda de un punto crítico y positiva a la

derecha, el punto crítico es un mínimo relativo.


6. Curvatura: tipo de concavidad

Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad procederemos del siguiente modo:


2. Hallamos los puntos que anulan la 2ª derivada, ( ) 0f x′′ = . Determinamos


3. Consideramos los intervalos determinados por los puntos anteriores.

4. Estudiamos el signo de ( )f x′′ en dichos intervalos.

Si ( ) 0f x′′ < , ( , )x a b∀ ∈ , entonces f(x) es cóncava en (a, b).

Si ( ) 0f x′′ > , ( , )x a b∀ ∈ , entonces f(x) es convexa en (a, b).

7. Puntos de inflexión

La determinación de los puntos de inflexión la haremos en base al siguiente criterio:


2. Hallamos los puntos que anulan la 2ª derivada, ( ) 0f x′′ = .

3. Calculamos ( )f x′′′ , y sustituimos en ella los valores de x que han anulado la segunda derivada:

Si 0( ) 0f x′′′ ≠ , entonces diremos que la función tiene un punto de

inflexión en x = x0 .

Si 0( ) 0f x′′′ = , este criterio no puede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el

signo de la segunda derivada para valores muy próximos por la izquierda y por la derecha del punto, de forma que:

♦ Si ( )f x′′ es positiva a la izquierda del punto y negativa a la derecha, se trata de un punto de inflexión convexo - cóncavo.

♦ Si ( )f x′′ es negativa a la izquierda del punto y positiva a la derecha, se trata de un punto de inflexión cóncavo - convexo.

8. Tabla de valores

Puede resultar conveniente construir una tabla de valores en el caso de no haber obtenido suficientes datos en los apartados anteriores, o bien, si queremos hacer una representación gráfica más precisa.


2.- Estudio de funciones polinómicas

Las funciones polinómicas, 1 0( ) nnf x a x a x a= + + +… , son continuas y derivables

en todo , es decir, su dominio es:

( )Dom f x =

por tanto, no tienen asíntotas de ningún tipo.

Para representar una función polinómica:

1.º Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes.

2.º Hallar sus dos ramas infinitas: lim ( ) , lim ( )x x

f x f x→−∞ →+∞

3.º Estudiar la monotonía de la función y hallar sus extremos.

4.º Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de inflexión.

5.º Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla de valores.

Veamos la gráfica de algunas funciones polinómicas:

Constantes

Lineales Afines

Parabólicas

Polinómicas de 3er grado

3 23 4y x x= − +


Para dibujar una parábola, vamos a tener que calcular varios puntos:

• Puntos de corte con los ejes

Con el eje OX: 20 0y ax bx c= ⇒ + + =

Con el eje OY: ( )0 0,x y c Punto c= ⇒ = ⇒

• Coordenadas del vértice

La abscisa del vértice de la parábola es 0 2bxa

= − ; para calcular la ordenada

sustituimos este valor en la función.

Ejemplos

1.- Estudia y representa las funciones:

a) 2( ) 3 2f x x x= − +

b) 2( ) 6 4f x x x= − + −


a) 3( ) 3 2f x x x= − +

b) 3 2( ) 2 5 4f x x x x= + −

Ejercicios


a) 2( ) 4f x x= −

b) 2( ) 5 6f x x x= − +

4.- Estudia y representa las funciones siguientes:

a) 3 2( ) 6 9 5f x x x x= − + +

b) 3( ) 3f x x x= −


3.- Estudio de funciones racionales

Una función racional es aquella que puede escribirse como cociente de polinomios, ( )( )( )

P xf xQ x

= , donde P y Q son polinomios.

El dominio es el conjunto de los números reales, excluidos los números para los que se anule el denominador (ceros o raíces):

{ }( ) | ( ) 0Dom f x x Q x= − ∈ =

{ }( )Dom f x valores que anulan el denominador= −

Las funciones racionales son continuas y derivables en su dominio de definición.

Para representar una función racional:

1.º Calcular el dominio.

2.º Calcular, si es posible, los puntos de corte con los ejes.

3.º Hallar las asíntotas verticales y horizontales (existe A.H. cuando el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador, en cuyo caso, es la misma tanto en −∞ como en +∞ ).

4.º Estudiar la monotonía de la función y hallar sus extremos.

5.º Estudiar la curvatura de la función y hallar sus puntos de inflexión.

6.º Para obtener mayor precisión en la representación gráfica construir una tabla de valores.

Las gráficas de las funciones racionales pueden ser:


Funciones de proporcionalidad inversa. Son funciones racionales cuyo

numerador es una constante, ( ) kf xx

= . Las gráficas de estas funciones son

hipérbolas equiláteras.

Ejemplo


a) ( )2

xf xx

−=

−

b) 3 9( )5

xf xx−

=−

Ejercicio


a) ( )1

xf xx

=+

b) 5( )2 4

f xx−

=−


4.- Estudio de funciones definidas a trozos

En este tipo de funciones la expresión analítica depende de los tramos del dominio en los que se encuentre la variable independiente. Habrá que hacer el estudio de cada una de las funciones y adaptarlo a su dominio de definición.

Debemos tener especial cuidado en los puntos de ruptura. Estudiaremos la continuidad y la derivabilidad en dichos puntos. Puede ocurrir que la función sea continua y no derivable en un punto de ruptura y que tenga un máximo o un mínimo relativo en dicho punto. Por ejemplo, ( )f x x= tiene un mínimo en x = 0 y, sin embargo, (0)f ′ no está

definida.

Ejemplo


a) 22 1 1

( ) 4 1 12 1

x si xf x x si x

si x

− < −⎧⎪= − − < <⎨⎪ − ≥⎩

b) 2

2 2 0( )

3 2 0

x si xf x

x x si x

+ ≤⎧⎪= ⎨− + >⎪⎩

c) 2

2 3 01( )

2 3 0

x si xxf x

x x si x

−⎧ ≤⎪ += ⎨⎪ + − >⎩

Ejercicio


a) 0

2( )

02

x si xx

f xx si x

x

−⎧ <⎪ −⎪= ⎨⎪ ≥⎪ −⎩

b) 2 9 3

( )3 3

x si xf x

x si x

⎧− + ≤⎪= ⎨− >⎪⎩

c) 2

2

1( )

4 1

x si xf x

x si x

⎧ − ≤⎪= ⎨− >⎪⎩


5.- Estudio de una función a partir de su función derivada

Para hacer el estudio de una función f(x) a partir de su función derivada ( )f x′ ,

haremos la representación gráfica de esta última, y tendremos en cuenta lo siguiente:

1.º Sabemos que los extremos relativos de f(x) se encuentran entre los ceros de ( )f x′ . Por tanto, resolveremos la ecuación: ( ) 0f x′ =

2.º Los intervalos de monotonía de f(x) coinciden con los intervalos de signo constante de ( )f x′ . Es decir, en los intervalos en los que:

( )f x′ sea positiva, la función f(x) será creciente.

( )f x′ sea negativa, la función f(x) será decreciente.

3.º Los intervalos de curvatura de f(x) coinciden con los intervalos de monotonía de ( )f x′ . Es decir, en los intervalos en los que:

( )f x′ sea creciente, la función f(x) será convexa.

( )f x′ sea decreciente, la función f(x) será cóncava.

Ejemplos

9.- De las funciones f(x) y g(x) se sabe que sus funciones derivadas son, respectivamente, ( ) 2 4′ = +f x x y ( ) 3′ = −g x . Estudia su monotonía y sus extremos relativos.

10.- De la función f(x) se sabe que su función derivada es 2( ) 3 3′ = −f x x .

a) Estudiar la monotonía, la curvatura, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x).

b) Sabiendo que la gráfica de f(x) pasa por el punto (2, 2), calcula la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

11.- La figura muestra la gráfica de una función polinómica de segundo grado que pasa por el origen y que es la derivada de una función f(x). Resuelve los apartados siguientes:

a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). b) Determina los máximos y los mínimos relativos y los puntos de inflexión

de f(x). c) Traza un esbozo de la gráfica de f(x). Justifícalo.


Ejercicios finales

Funciones polinómicas 12.- Estudia y representa las funciones:

a) 2( ) 4 5f x x x= − +

b) 2( ) 3 2 2f x x x= + −


a) 3 2( ) 6 12 5f x x x x= − + −

b) 3 2( ) 6f x x x= − −


a) 3 2( ) 3 24 3f x x x x= + − +

b) 3 2( ) 2 21 60 32f x x x x= − + −

Funciones racionales 15.- Estudia y representa las funciones siguientes:

a) 4( ) 21

f xx

= −+

b) ( )3

xf xx

=−

Funciones definidas a trozos

16.- Dada la función 2 1 0

( )1 0

⎧ + ≥⎪= ⎨− <⎪⎩

x si xf x

x si x

a) Dibuja la gráfica. b) Estudia continuidad, asíntotas, monotonía y extremos.

17.- Dada la función 0 2

4( )1 2

⎧− ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪− <⎪⎩

x si xf x

si xx


18.- Dada la función

2 8 50 0 10( ) 38 100 10

0, 4

⎧ − + ≤ <⎪= ⎨ −

>⎪⎩

x x si xf x x si x

x




3

1 5 22

( ) 2 1

3 1

⎧ + < −⎪⎪⎪= − − ≤ <⎨⎪⎪ − ≥⎪⎩

si xx

f x x si x

x si x

a) Analiza sus extremos. b) Estudia continuidad, derivabilidad y monotonía. Calcula sus asíntotas. c) Gráfica de la función.


2

2

22

( ) 4 2 4

( 4) 4

⎧<⎪

⎪= − + ≤ <⎨⎪⎪ − ≥⎩

x si x

f x x si x

x si x

a) Continuidad y derivabilidad y monotonía. b) Represéntala.

21.- Dada la función 2

3 0( ) 1 0 2

2

− ≤⎧⎪= + < ≤⎨⎪ + <⎩

x si xf x x si x

x a si x

a) Calcula a para que sea continua en x = 2. b) Estudia la continuidad y la derivabilidad si a = 3. c) Analiza sus extremos para a = 2. d) Dibuja la gráfica si a = 2.

22.- Sea la función 2

2 21

( ) 2 2 02 0

1

−⎧ < −⎪ +⎪⎪= − − + − ≤ <⎨⎪⎪ ≥⎪ +⎩

si xx

f x x x a si x

si xx

a) Hallar a para que sea continua. ¿Es derivable para dicho valor de a ? b) En el caso de a = 2, dibuja la función.


Estudio de f(x) a partir de f´(x) 23.- De una función conocemos que su derivada es ( ) 1′ = −f x x . Estudiar los

intervalos de monotonía de la función y los extremos relativos.

24.- De una función sabemos que su derivada es la recta que pasa por los puntos (2, 0) y (3, 1). Estudiar la monotonía de dicha función.

25.- De una función conocemos que su derivada es 2( ) 1′ = −f x x . Estudiar los intervalos de monotonía y la curvatura de la función. Sabiendo que la gráfica de f(x) pasa por el punto (2, 3), calcula la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

26.- Sea f(x) una función polinómica de la que se conoce la gráfica de su función derivada f´(x), representada en la figura. Determina:

a) Extremos relativos e intervalos de monotonía de f(x).

b) Puntos de inflexión e intervalos de curvatura de f(x). c) La gráfica aproximada de ( )f x .

27.- La figura muestra la gráfica de la función derivada ( )f x′ de la función ( )f x . Determina, a partir de la gráfica, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de ( )f x , y haz su representación aproximada.


13.- APLICACIONES DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN

1.- Optimización de funciones

En el tema anterior hemos tratado una de las aplicaciones más usuales de la derivada, la representación gráfica de curvas, en este tema veremos otra aplicación, la optimización.

Respecto a la optimización, todos sabemos que uno de los retos permanentes de la Humanidad es el máximo aprovechamiento de los recursos: alimentos, materias primas, espacio y tiempos disponibles, etc.

A las empresas dedicadas a la fabricación de recipientes les interesa conocer las dimensiones de los envases que, manteniendo la misma capacidad, necesitan menos material para su construcción.

Los avances técnicos y los modelos matemáticos son algunas de las respuestas que el ser humano ha sabido dar al problema.

Hallar máximos y mínimos de funciones es un problema que se plantea frecuentemente, no sólo en matemáticas, sino también en numerosos ámbitos: social, económico, tecnológico... Así, es frecuente oír expresiones como mínimo consumo, máximo rendimiento… Son problemas de optimización de funciones.

Con los problemas de programación lineal, resolvimos un tipo particular de problemas de optimización: aquellos cuya función objetivo era lineal y estaba sujeta a una serie de restricciones, también lineales, que aparecían siempre en forma de desigualdades. Ahora trataremos problemas más libres, no lineales y donde las restricciones, si existen, estarán ligadas por una igualdad.

Pero, tanto aquí como allí, se trata de encontrar la solución óptima: la que da mayor beneficio o la que cuesta menos. En este caso utilizaremos el cálculo de derivadas que, como sabemos, da las condiciones de existencia de máximos y mínimos.

Los pasos para resolver estos problemas son:

1. Hallar la expresión algebraica de la función que se debe optimizar.

2. Si la función depende de más de una variable, hay que buscar una relación entre ellas; esta relación siempre es una igualdad. Expresaremos una variable en términos de la otra y la sustituiremos en la función a optimizar, con lo que obtendremos una función de una sola variable.

3. Se halla la derivada primera y se calculan los valores que la anulan: ( ) 0f x′ = . Entre estos valores se hallan los máximos y mínimos de la función.

4. Comprobar que los resultados obtenidos tienen sentido y son válidos en el contexto del problema.


Ejercicios

1.- Halla dos números positivos cuya suma es 30 y el producto de uno por el cuadrado del otro es máximo. Razona la respuesta.

2.- Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior han de ser de 2 cm de altura y los laterales de 1 cm de anchura. Halla las dimensiones de la hoja para que el coste del papel sea mínimo.

3.- Se desea construir, al lado de una carretera, una zona de descanso para automovilistas. Tendrá forma rectangular y estará vallada por los tres lados no adyacentes a la carretera. Si su superficie es de 7200 m2, ¿qué dimensiones debe tener para que el coste de la valla sea mínimo?

4.- Una discoteca abre a las 10 de la noche y cierra cuando se han marchado todos sus clientes. La expresión que representa el número de clientes en función del número de horas que lleva abierta, t, es 2( ) 80 10N t t t= − .

a) ¿A qué hora el número de clientes es máximo? ¿Cuántos clientes hay en ese momento?

b) ¿A qué hora cerrará la discoteca?

5.- Un artículo ha estado 8 años en el mercado. Su precio P(t), en miles de euros, estaba relacionado con el tiempo, t, en años, que este llevaba en el mercado por la función:

24 4 0 2( )

(5 / 2) 25 2 8

t si tP t

t si t

⎧ + ≤ ≤⎪= ⎨− + < ≤⎪⎩

a) Estudia la monotonía de P(t). b) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo?

6.- Las ganancias de una empresa, en miles de euros, se ajustan a la función 50 100( )

2 5tG tt−

=+

, donde t representa los años de vida de la empresa, cuando t

> 0.

a) Representa gráficamente la función, indicando: dominio, corte con los ejes, asíntotas y monotonía.

b) ¿A partir de qué año la empresa deja de tener perdidas? c) A medida que transcurre el tiempo, ¿están limitados sus beneficios? En

caso afirmativo, ¿cuál es su límite?


7.- Una empresa estima que los ingresos y los gastos anuales (en euros) que genera la fabricación y venta de x unidades de un determinado producto, vienen dados por las funciones:

Ingresos: 2( ) 28 36000I x x x= +

Gastos: 2( ) 44 12000 700000G x x x= + +

a) Halla el número de unidades que ha de vender para que el beneficio sea máximo.

b) Halla el valor de dicho beneficio máximo.

8.- El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora, la siguiente función indicará en cada momento (t, medido en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesidad de entrar en lista de espera:

2 8 50 0 10( ) 38 100 10

0,4

t t si tP t t si t

t

⎧ − + ≤ ≤⎪= ⎨ −

>⎪⎩

a) Estudia la continuidad de la función. b) Estudia la derivabilidad en t = 10. c) Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no se llegará nunca? d) ¿En algún momento el porcentaje será igual a 85?

9.- Las ganancias y pérdidas f(x), en millones de euros, de una empresa fundada hace 2 años, siguen la evolución siguiente:

21 2 2 12

( )3 1

2 4

x si xf x

x si xx

⎧ − − ≤ < −⎪⎪= ⎨⎪ ≥ −⎪ +⎩

donde x indica el número de años transcurridos, si consideramos x = 0, como el momento actual.

a) Representa gráficamente la función f(x) y estudia la continuidad. b) Indica el momento en que las pérdidas de la empresa han sido más

grandes y la situación económica en que se encuentra la empresa hoy.

10.- Una emisora de radio local ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la sintonizan entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la función 2 3( ) 660 231 27S t t t t= − + − , donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la mañana.

a) ¿A qué hora tiene máxima y mínima audiencia? b) ¿Cuántos ciudadanos sintonizan la emisora a esas horas?


11.- Una empresa de automóviles ha estimado que su beneficio B en millones de euros, depende del tiempo t, en minutos, que se dedica a publicidad, según la función:

2( ) 1,5 168 954B t t t= − + −

a) Calcula los minutos de publicidad para obtener beneficio máximo. b) Calcula en qué intervalo debe estar comprendido el tiempo de

publicidad para que la empresa obtenga beneficio positivo.

12.- El índice de audiencia (evaluado en una escala de 0 a 10) de cierto programa de televisión de 30 minutos de duración se comporta de acuerdo con la siguiente función 2( ) , 0 30, ( 0)f t at bt c t a= + + < ≤ ≠ . Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar el programa se alcanza un índice de audiencia 10 y que el programa se inicia con un índice 6, calcular el valor de a, b y c.

13.- El número total de m3 de agua que contiene un pantano en cada instante de tiempo h (medido en horas) viene dado por 2( ) 80 10N h h h= − .

a) ¿Al cabo de cuánto tiempo el pantano tendrá 100 m3 de agua? b) ¿En qué instante el pantano contiene un mayor número de m3 de agua?

¿Cuántos son? c) Representa la gráfica de la función.

14.- En una empresa de producción y venta de ordenadores, el beneficio viene

dado por la expresión 3

2( ) 8 55 203xf x x x= − + + (x es el número de unidades

producidas).

a) Esboza la gráfica de la función. b) ¿Qué número de unidades vendidas produce el máximo beneficio,

teniendo en cuenta que no se producen más de 12 ordenadores por día?

15.- El índice de crecimiento de un bacilo viene dado en función de la temperatura t, expresada en grados centígrados, por la expresión

32( ) 10

3 2t af t t bt= − + − . Se sabe que a la temperatura de 6 oC el índice

alcanza un máximo local y que a 12 oC alcanza un mínimo local.

a) Hallar a y b. b) Sabiendo que el bacilo sólo puede vivir entre 4 oC y 16 oC halla la

temperatura para la que el índice es máximo. c) Esboza la gráfica.


16.- Una industria fabrica un cierto producto cuyo precio por unidad depende de la cantidad producida al día. La función que determina el precio en euros es:

( ) 3 462 , 0 132f x x x= − + < ≤ . El ingreso total por la venta viene dado por la función ( ) ( )I x x f x= ⋅ .

a) Representa la función ingreso y calcula la cantidad producida, x, para la que se obtiene un ingreso máximo.

b) Calcula el precio por unidad para el que se obtiene dicho ingreso máximo.

c) Halla dicho ingreso máximo.

17.- El precio en Bolsa de las acciones de una empresa durante las cinco horas que dura una jornada bursátil, medido en euros, viene dado por la función C: [0, 5] → , 2( ) 100( 6 25)C t t t= − + , donde t representa el tiempo medido en horas.

a) Dibuja la función. b) Máximo y mínimo que alcanzan las acciones. c) Si la sesión durara tres horas más, ¿cuál sería la tendencia?

18.- Sea x, en euros, el precio de venta del litro de aceite de oliva virgen extra.

Sea 4( ) 21

f xx

= −+

, con 0x ≥ , la función que representa el balance

económico quincenal, en miles de euros, de una empresa agrícola:

a) Representa f(x). b) ¿A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta

empresa a tener beneficios? c) ¿Están limitadas las ganancias quincenales de esta empresa? ¿Y las

pérdidas?

19.- El consumo de gasolina de cierto coche viene dado por la función 2 9 113( )

400 20 4x xf x = − + , donde x es la velocidad en km/h y f(x) es el consumo

en litros cada 100 km.

a) Calcula cuál es el consumo mínimo y a qué velocidad se obtiene. b) Estudia el consumo de gasolina en función de la velocidad.

20.- Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kg de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función

2( ) 2 0,84B x x x= − − , siendo B(x) el beneficio por kg, expresado en euros, cuando x es el precio de cada kg también expresado en euros.

a) ¿Entre qué precios por kg se producen beneficios para el almacenista? b) ¿Qué precio por kg maximiza los beneficios para este? c) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, ¿cuál será el beneficio total

máximo que podría obtener?


21.- La función 21( ) ( 100 1600)90

f x x x= − + − , representa el beneficio, expresado

en millones de euros, que obtiene una empresa por la fabricación de x unidades de un determinado producto.

a) Representa la función. b) ¿Cuántas unidades hay que fabricar para que no se produzcan

perdidas? c) ¿Cuál es el mayor beneficio posible? ¿Cuántas unidades deben

fabricarse para obtenerlo?

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