Modelos probabilisticos (revision continua).

Modelos Probabilsticos (Revisin Continua): Sistema P y Q

Instituto Tecnolgico de Morelia Jos Mara Morelos y Pavn

MATEMTICAS PARA LA TOMA DE DECISIONES

MODELOS DE REVISIN CONTINUAEsta seccin presenta dos modelos: (1) una versin probabilizada del modelo EOQ determinstico que utiliza existencias de reserva para satisfacer las demandas probabilsticas, y (2) un modelo EOQ probabilstico ms exacto que incluye la demanda aleatoria directamente en la formulacin.MODELO EOQ ProbabilizadoPara representar de forma aproximada la naturaleza probabilstica de la manda. El periodo crtico durante el ciclo de inventario ocurre entre la colocacin y la recepcin de pedidos. Este es el lapso de tiempo en que se podra presentar los faltantes (agotamiento de las existencias). La idea entonces es mantener existencias de seguridad constantes que eviten la probabilidad de faltantes. Por intuicin, una probabilidad de pocos faltantes implica mayores existencias de reserva, y viceversa.

Ntese en la figura: Las existencias de reserva, B, y los parmetros del modelo EOQ determinstico que incluyen el tiempo de espera, L; la demanda promedio durante el tiempo de espera, m, y la cantidad econmica de pedido (EOQ), y*. Observe que L es el tiempo de espera efectivo.

La demanda durante el tiempo de espera L tambin debe ser normal con media uL=DL y desviacin estndar . La frmula para supone que L es (representado de forma aproximada si es necesario por) un valor entero. Este tipo de inventario se debe determinar el punto R, cuando el inventario cae al nivel de punto de pedido, se ordenar un pedido de tamao constante Q (ver figura 2), en cuanto a la revisin, sta se realiza cada vez que se hace un retiro o una adicin, lo que implica la inversin de una considerable cantidad de tiempo en el mantenimiento del inventario.

El sistema de revisin continua tiene dos variantes: el control de inventario con nuevos pedidos donde se encuentran dos modelos: Costo con faltante. Nivel de servicio.Y el control de inventario sin nuevo pedido, el cual cuenta con tres modelos: Mtodo marginal Costo de la mala disposicin del cliente (prdida de Goodwill) Distribucin de probabilidad continua.Se conoce adems como modelo de punto de pedido o cantidad fija. El pedido se hace en el momento en que el nivel de inventario llega a tener cobertura en das suficiente para esperar la llegada del nuevo lote que ser, como siempre, por la misma cantidad de pedidos anteriores. El tiempo entre pedidos es variable aunque, de manera fortuita, puede coincidir.

El mtodo se emplea generalmente cuando: Los artculos son fciles de contabilizar. Los productos son de costo elevado. Requieren un estricto control. No presentan una gran variedad de surtidos y El proveedor o cliente se encuentra relativamente cerca.

Formulas: Cantidad optima del pedido

Nmero de pedidos esperados

Tiempo esperado entre cada pedido

D = Demanda anual E = Coste de preparacin por pedido. A = Coste de almacenamiento d = Demanda diaria L = Plazo de entrega en das.

Punto de Reorden:

Modelo Probabilstico de cantidad de ordenar fija ciclo variable (punto dereorden, Sistema Q)Este mtodo consiste en una estimacin de la demanda, con lo cual se determina una cantidad de reabastecimiento para el prximo periodo, as como el momento en que debe realizarse el pedido en funcin a una cantidad fija.Este sistema cada vez que se requiere reabastecer un material o un producto se ordena la misma cantidad. La frecuencia de las rdenes es variable debido a las fluctuaciones del consumo en las existencias. Las rdenes de reabastecimiento se formulan por una cantidad predeterminada que no necesariamente tiene que ser la del lote econmico calculado.La orden de compra de un material se formula cuando la existencia ha llegado a la cantidad determinada como mnimo. (Punto de reorden) que normalmente representa la cantidad de unidades razonables suficiente para aguantar en el almacn durante el tiempo de reposicin o entrega, ms una cantidad de reserva (inventario de seguridad), que est disponible en el promedio a lo largo del ao.Las cantidades de reposicin por lo general son fijas y recalculadas slo cuando se esperan cambios significativos en la demanda (estos cambios pueden verificarse mediante los consumos en las salidas anotadas en las tarjetas de existencias y pronosticarse por medio de las tcnicas de promedio mvil y aproximacin exponencial).Es importante llevar los registros de existencias con los datos que proporcione la disponibilidad, esta consiste en la existencia fsica en el almacn ms rdenes de compra pendientes surtidas, menos las salidas pendientes por programas de produccin o requisiciones rezagadas.El tiempo de adquisicin o tiempo de entrega se considera desde que se comienza a elaborar una orden hasta que entra al almacn lo ordenado, este sistema tiene la siguiente grfica:

Nota: Este sistema utiliza las frmulas (reposicin instantnea, no instantnea, de escasez), para determinar las cantidades de reposicin o de ordenar (el tamao del lote).En la determinacin de este sistema se emplean las siguientes frmulas: Nivel de servicio: n.s. X100 % Dnde : N = Nmero de pedidos anuales N = D / Qo F = Faltantes de pedidos anuales D = Demanda anual Qo = Cantidad ptima a pedir

Inventario de Seguridad I.S. (b):

= Desviacin estndar Z = Valor de las tablas de la normal con respecto al nivel de servicio L = Tiempo de entrega, expresado en unidades. T = Tiempo considerado para el pronstico expresado en unidades.

Punto de Reorden (P.R) :P.R = D (L) + I.S (b)

Inventario Promedio (Ip): Ip = Qo / 2 + I.S (b)

Inventario Mximo (Imax): Imax = Qo + I.S ()

EJEMPLOUna empresa enfrenta una demanda anual de 1.000 unidades de su principal producto. El costo de emitir una orden es de $10 y se ha estimado que el costo de almacenamiento unitario del producto durante un ao es de $2,5. Asuma que el Tiempo de Espera desde que se emite una orden hasta que se recibe es de 7 das. Determine la cantidad ptima de pedido utilizando EOQ que minimiza los costos totales. Cul es el punto de reorden (PR)?1.-Lo primero que se debe hacer es sacar los datos.D= Demanda anual = 1000 unidadesE = Costo de pedir = $10.00A = Costo de almacenar una unidad por ao = $2.5 unidad/aoL= Tiempo de espera o tiempo de entrega = 7 das.2.- Qu cosas piden pide el problema.Qo = Cantidad optima de pedido que minimiza los costos totales.P.R = Punto de Reordn.3.-Formulas a utilizar.

4.- Sustituir los valores en la formula para sacar , estos son:La demanda anual (D), el costo por pedir (E) y costo de almacenar una unidad por ao(H).

5.- Para corroborrar que estan bien nuestras unidades finales en la formula que se acaba de sustituir se debe hacer el analisis dimencional.

6.- Ahora se debe calcular cuantas unidades se consumen al da, para sacar el valor de punto de reordn (cada cuantos das se debe de pedir) para esto se divide la demanda anual (1000 unidades), entre los das los das laborables. Suponiendo que el ao tiene 365 das laborables o 365 das que estn en servicio.Demanda por da = Despus que se tiene el nmero de unidades por da se dividen entre 7 das, estos son los das de espera (tiempo de espera) de las unidades pedidas.Punto de reordn= #NOTA: Haciendo el anlisis dimensional se eliminan los das y el resultado queda en unidades.

Cada 20 unidades consumidas se debe de hacer un pedido.

Graficando el punto de reordn y la cantidad ptima de las unidades as queda el tringulo.El tamao ptimo de pedido (Qo) que minimiza los costos totales es 90 unidades. Adicionalmente, cada vez que el inventario llega a 20 unidades se emite un nuevo pedido por 90 unidades.

Modelo Probabilstico de cantidad de ordenar variable, ciclo fijo(Revisin peridica, Sistema P).En este sistema los ciclos de abastecimiento estn controlados por periodos preestablecidos. La periodicidad puede ser semanal, quincenal, mensual o de acuerdo con cualquier otro ciclo, segn la poltica que se debe establecer. El tamao de la orden vara en cada ciclo para absorber las fluctuaciones del consumo entre un periodo, y la cantidad de materiales calculada para el periodo de abastecimiento se aumenta con una cantidad razonablemente calculada de reserva (inventario de seguridad).El sistema de tiempo fijo y cantidades variables se aplica cuando la incertidumbre de las fluctuaciones, debidas a causas internas y externas, no permite establecer un patrn de cantidades de reorden uniformes. En este sistema la revisin de los saldos se hace peridicamente, existiendo una variedad de maneras y procedimientos para efectuar las revisiones peridicas, pero la base es el control; esta consiste en una revisin en los periodos calculados y establecidos, y en formular una orden de compra basada en la cantidad consumida desde la ltima revisin.Este sistema permite establecer polticas de reabastecimiento automtico en periodos cclicos uniformes, para lo cual cuenta con la siguiente grfica:

En la grfica, el periodo de revisin es de cada 3 unidades de tiempo. El tiempo de entrega es de 1 unidad de tiempo.Adems se puede apreciar claramente que los lotes a pedir son diferentes en cantidad cada vez.El sistema de cantidad variable se elimina o reduce a un mnimo la costosa y continua vigilancia de los saldos en las existencias, que se lleva a cabo con el sistema de cantidades de reorden fijas. En el sistema de tiempo fijo la revisin de saldos se hace peridicamente, cada semana o cada mes.

Puede haber una variedad de maneras y procedimientos para efectuar las revisiones peridicas, pero la base es el control, este consiste en una revisin en los periodos calculados y establecidos y en formular una orden de compra basada en la cantidad.

Formulas:

Nivel de servicio: n.s

N = nmero de revisiones anuales. F = Faltantes anuales.

La determinacin del periodo ptimo de revisin es simplemente r < L, calculada mediante las frmulas de la cantidad ptima esperada. En el caso de productos individuales puede determinarse con metodologas ms precisas. Inventario de Seguridad: L: Tiempo de entrega expresado en unidades T: Tiempo considerado para el pronstico expresado en unidades Y: Tiempo de revisin o tipo de revisin expresado en unidades Z: Valor de las tablas de la normal, en base al nivel de servicio.

Inventario de seguridad: Este inventario se mantiene constante por si se presenta un agotamiento de existencias durante el ciclo, ello podra suceder antes de la recepcin del pedido, o inmediatamente antes de la recepcin del siguiente pedido, + L unidades de tiempo ms tarde. Aunque se formule un segundo pedido unidades de tiempo despus del primero, no se cambia la posibilidad del agotamiento de existencias durante + L, puesto que no se recibir el pedido sino hasta el final del ciclo. Inventario Promedio:

Inventario Mximo:

Cantidad a Pedir:

O.. = ordenes colocadas o en trnsito al momento de la revisin. I. F. = Inventario fsico al momento de la revisin.

Ejemplo:Sistema P (Tiempo de anticipacin Variable. / Demanda constante)Se desea un sistema de inventario sabiendo que cada producto vale $2, el costo de una compra es de $ 160, y el costo de almacenamiento de 1 unidad es de 10 centavos por semana.

Sistema P.

Demanda: 200 unidades por semana

Tiempo de anticipacin aleatorio, expresado en semanas:

VERIFICAR EL STOCK, Y SIEMPRE QUE LLEGUE A 500 UNIDADES,HACER UN PEDIDO DE 800

Cantidad deSemanas Probabilidad1 0.252 0.53 0.25

Cantidad a Pedir (unidades):

Q = ( 2*C2*D / C3) = (2*160*200/0,1) = 800

Tiempo promedio entre pedidos (semanas):

T = Q / D = 800 / 200 = 4

Tiempo promedio de anticipacin (semanas)

Lp = 1 * 0,25 + 2 * 0,50 + 3 * 0,25 = 2

Demanda en el tiempo de anticipacin y entre pedidosTiempo deAnticipacin Intervalo entre pedidos + tiempo de anticipacin Demanda probabilidad

1 5 1000 0.252 6 1200 0.503 7 1400 0.25

El riesgo de dficit es: 1 Probabilidad acumulada.

Existencia de seguridad (unidades), depende del dficit pretendido

*Si no se quiere dficit, (dficit = 0), se elige el stock que corresponde a la mayordemanda en el perodo de anticipacin. (en el ejemplo 1400)

Is = D d 0% D * ( L + Tp ) = 1400 200 * 6 = 200

La regla de pedido (para un riesgo nulo de dficit) es:

En el ejemplo se piden 800 unidades.

El costo total esperado es (considerando 50 semanas por ao):

D = 200, Q = 800, Is = 200

CTE = (C1 * D) + (C2 * D / Q) + (C3 * Q / 2) + C3 * Is

CTE = 2*200 + 160*200 / 800 + 0,1* 800/ 2 + 0,1*200

CTE = 400 + 40 + 40 + 20 = 500

CTA = CTE * 50 = 500 * 50 = $ 25000

Matemticas para la Toma de Decisiones1