SOFTWARE CIENTÍFICO

ERACLIO CASTILLO VIDAL14/09/2014

Contenido del bloque III

Calculo Numérico y Análisis Estadístico• Introducción al Calculo numérico.

• Ejercicios y Algoritmo.

• Creación de programas simuladores.

Calculo numérico• El Cálculo numérico, o como también se le denomina, el Análisis

numérico, es la rama de las Matemáticas que estudia los métodos numéricos de resolución de problemas, es decir, los métodos que permiten obtener una solución aproximada que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

OBJETIVO

• Es el desarrollo de técnicas de análisis y de algoritmos que sirven para obtener soluciones numéricas de problemas matemáticos o bien obtener información de tipo matemática cuando estas soluciones no son posibles.

PROBLEMAS

Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:

• Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc.

• Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc.

CLASIFICACIÓN ATENDIENDO A SU NATURALEZA O MOTIVACIÓN

Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del cálculo numérico:

• Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.

• Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la práctica.

• Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva; mayor que la necesaria para un método numérico.

ÁREAS DE ESTUDIO

• El análisis numérico se divide en diferentes disciplinas de acuerdo con el problema que resolver.

CÁLCULO DE LOS VALORES DE UNA FUNCIÓN

• Uno de los problemas más sencillos es la evaluación de una función en un punto dado. Para polinomios, uno de los métodos más utilizados es el algoritmo de Horner, ya que reduce el número de operaciones a realizar. En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo que se producen por el uso de la aritmética de punto flotante.

DESCOMPOSICIÓN ESPECTRAL Y EN VALORES SINGULARES

• Bastantes problemas importantes pueden ser expresados en términos de descomposición espectral (el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz) o de descomposición en valores singulares. Por ejemplo, el análisis de componentes principales utiliza la descomposición en vectores y valores propios.

OPTIMIZACIÓN

• Los problemas de optimización buscan el punto para el cual una función dada alcanza su máximo o mínimo. A menudo, el punto también satisface cierta restricción.

• Ejemplos de ,problemas de optimización son la programación lineal en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Un método famoso de programación lineal es el método simplex.

• El método de los multiplicadores de Lagrange puede usarse para reducir los problemas de optimización con restricciones a problemas sin restricciones.

EVALUACIÓN DE INTEGRALES

• La integración numérica, también conocida como cuadratura numérica, busca calcular el valor de una integral definida. Métodos populares utilizan alguna de las fórmulas de Newton–Cotes (como la regla del rectángulo o la regla de Simpson) o de cuadratura gaussiana. Estos métodos se basan en una estrategia de "divide y vencerás", dividiendo el intervalo de integración en subintervalos y calculando la integral como la suma de las integrales en cada subintervalo, pudiéndose mejorar posteriormente el valor de la integral obtenido mediante el método de Romberg. Para el cálculo de integrales múltiples estos métodos requieren demasiado esfuerzo computacional, siendo útil el método de Monte Carlo.

ECUACIONES DIFERENCIALES

• El análisis numérico también puede calcular soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales, bien ecuaciones diferenciales ordinarias, bien ecuaciones en derivadas parciales. Los métodos utilizados suelen basarse en discretizar la ecuación correspondiente. Es útil ver la derivación numérica.

• Para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias los métodos más utilizados son el método de Euler y los métodos de Runge-Kutta.

• Las ecuaciones en derivadas parciales se resuelven primero discretizando la ecuación, llevándola a un subespacio de dimensión finita. Esto puede hacerse mediante un método de los elementos finitos.

EJERCICIOS Y ALGORITMOS

• Los diferentes problemas que trata el Cálculo Numérico son en procedimientos de aproximación que consisten en sucesiones de cálculos. Estos procedimientos se llaman algoritmos.

ALGORITMO

• Es un procedimiento que describe, sin ambigüedad posible, una sucesión infinita de pasos que hay que realizar en un orden preciso, desde la introducción de datos hasta la obtención de resultados.

• Un software de simulación (como su propio nombre indica). Es un programa o juego en el que "practicas" una cosa sin peligro antes de ponerte a trabajar o a ello.

CREACIÓN DE PROGRAMAS SIMULADORES

• La formación basada en la simulación permite a los empleados aprender haciendo o lo que es lo mismo, tomando decisiones en escenarios reales. Es lo que se conoce como learn by doing es decir, aprender experimentando situaciones que parecen reales. Este tipo de aprendizaje facilita esa adhesión o retención de la información y permite aprender más rápido a la vez que facilita el desarrollo de una mayor intuición a la hora de tomar decisiones reales.