0 10 20 30 40 50 tiempo msec

0 10 20 30 40 50

10

5

0

5

10

tiempo msec

voltaje

V

current

mA

58.7

Autora: Norecsy Gómez Portela Tutor: Yoan Hernández Rodríguez

Universidad Central “Marta Abreu” de las Villas Facultad Matemática Física y Computación

Licenciatura en Matemática

Trabajo de Diploma

EDOs :

“Modelos y Aplicaciones”

2008

Hago constar que el presente trabajo fue realizado en la Universidad Central Marta Abreu de Las

Villas como parte de la culminación de los estudios de la especialidad de Licenciatura en

Matemáticas, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución, para los fines que

estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en

eventos ni publicado sin la autorización de la Universidad.

_____________________

Firma del autor

Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdos de la

dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta

envergadura referido a la temática señalada.

________________ _________________________

Firma del tutor Firma del jefe del Seminario

Pensamiento

“Si el hacha no tiene filo y esta mellada, hay que redoblar los

esfuerzos; el éxito esta en utilizarla con habilidad.”

Eclesiastés 10 10

Dedicatoria

A mis padres.

Agradecimientos

Ante todo darles gracias a Dios.

A mis padres por estar siempre a mi lado.

A mi tutor Yoan Hernández Rodríguez.

Índice

Resumen………………………………………………………………………………………………………………………………………..…... 1

Summary……………………………………………………………………………………………………………………………………………..2

Introducción………………………………………………………………………………………………………………………….……………..3

1. Las Ecuaciones diferenciales como modelos de sistemas…………………………………………………………….……5

1.1. Introducción…………………………………………………………………………………………………………………………………..5

1.2. Sobre el arte de modelizar……………………………………………………………………………………………………………..5

1.2.1. Análisis matemático del modelo………………………………………………………………………………………….………9

1.2.2. Tratamiento numérico: Simulación y Validación…………………………………………………………………..……11

1.2.3. Predicción y Control……………………………………………………………………………………………………………….…13

1.2.4. Resumen del proceso de Modelización…………………………………………………………………………….………14

1.3. Objetivos y Resumen de Principios empleados…………………………………………………………………….….....15

2. Modelos y Aplicaciones de EDOs de primer orden…………………………………………………………………..……..20

2.1.1. Ecuaciones de la forma ………………………………………………………………………………………………...20

2.1.1.1. Caída libre………………………………………………………………………………………………………………….….……….21

2.1.1.2. Administración de medicamentos……………………………………………………………………………….…………26

2.1.2. Ecuaciones de la forma …………………………………………………………………………….…….29

2.1.2.1. Caída con resistencia………………………………………………………………………………………………………..…….32

2.1.2.2. Ley de enfriamiento de Newton………………………………………………………………………………………..……34

2.1.2.3. Desintegración Radiactiva. Datación de radiocarbono……………………………………………………..…….37

2.1.2.4. Interés Continuo……………………………………………………………………………………………………………….……44

2.1.2.5. Farmacocinética…………………………………………………………………………………………………………….……….46

2.1.2.6. Balance de masa……………………………………………………………………………………………………….……………52

2.1.2.7. Balance de energía ………………………………………………………………………………………………………….…….57

2.1.2.8. Modelo de Malthus………………………………………………………………………………………………………….…….60

2.1.2.9. Ecuación de Von Bertalanffy………………………………………………………………………………………….……….63

2.1.2.10. Modelo de Harrod-Domar …………………………………………………………………………………………..………66

2.1.2.11. Circuitos eléctricos……………………………………………………………………………………………………….………68

2.2. EDOs no lineales de primer orden ………………………………………………………………………………………….…..72

2.2.1. Ecuaciones de la forma …………………………………………………….…………………..72

2.2.1.1. Propagación de rumores ………………………………………………………………………………………………….…..73

2.2.1.2. Eficacia de la Publicidad …………………………………………………………………………………………………….…..74

2.2.1.3. Propagación de enfermedades………………………………………………………………………………………….…..75

2.2.1.4. Ley de Verthulst……………………………………………………………………………………………………………….…….76

2.2.2. Ecuaciones de la forma (Bernoulli)………………………..……………….………….…….….79

2.2.2.1. Modelo de crecimiento económico de Solow………………………………………………………….……….…….79

2.2.2.2. Ecuación de crecimiento en peso de Von Bertalanffy……………………………………………………….……82

2.3. Misceláneos …………………………………………………………………………………………………………........................83

2.3.1. Lineales y no lineales …………………………………………………………………………………………..….……………....83

2.3.1.1. Flujo calorífico estacionario ……………………………………………………………………………..…….……………..83

2.3.1.2. Vaciado de tanques a través de un orificio……………………………………………………………….…………….85

2.3.1.3. Oferta y demanda …………………………………………………………………………………………………….……………87

2.3.1.4. Inventarios ……………………………………………………………………………………………………….......................89

2.3.1.5. Problemas Geométricos …………………………………………………………………………………….………………….91

2.3.1.6. Reacciones Químicas ……………………………………………………………………………………….…………………...97

2.4. Ejercicios Propuestos …………………………………………………………………………………………………………….….100

3. Modelos y Aplicaciones de EDOs de orden superior……………………………………………………………….…….111

3.1. EDOs lineales de orden superior………………………………………………………………………………………….…...111

3.1.1. Ecuaciones de la forma ……………………………………………………………………..……..….111

3.1.1.1. Movimiento armónico simple (sistema masa-resorte)………………………………………………….…...…111

3.1.1.2. Curvatura de una cuerda que gira ……………………………………………………………………………………….114

3.1.2. Ecuaciones de la forma ………………………………………….……………………..….115

3.1.2.1. Ley de Enfriamiento. Recinto de tamaño finito…………………………………………………………….………116

3.1.2.2. Movimiento amortiguado libre (sistemas-masa resorte)………………………………………………………119

3.1.3. Ecuaciones de la forma ………………………………………………………..…121

3.1.3.1. Movimiento forzado con amortiguamiento (sistema masa-resorte)……………………....121

3.1.3.2. Movimiento forzado sin amortiguamiento (sistema masa-resorte)……………………….……………..123

3.1.3.3. Circuitos eléctricos LRC……………………………………………………………………………………………..……...…125

3.2. EDOs no lineales de primer orden…………………………………………………………………………………..………….127

3.2.1. Misceláneos………………………………………………………………………………………………………………..……..……127

3.2.1.1. El péndulo simple…………………………………………………………………………………………………………..……127

3.2.1.2. Movimiento de un cohete………………………………………………………………………………………………..….128

3.2.1.3. Viaje a Martes ………………………………………………………………………………………………………..………..…129

3.2.1.4. El cable colgante………………………………………………………………………………………………………..…………131

3.2.1.5. Deflexión de vigas ………………………………………………………………………………………………….…………….134

3.3. Ejercicios Propuestos …………………………………………………………………………………………………………...…..140

Conclusiones…………………………………………………………………………………………………………………………..……..…146

Recomendaciones……………………………………………………………………………………………………………………..……..147

Referencias Bibliográficas…………………………………………………………………………………………………………..…….149

Bibliografía Consultada……………………………………………………………………………………………………………….……150

Anexos Programación dinámica de las soluciones. ……………………………………………………………….…………152

1

Resumen

En el presente trabajo se exponen un conjunto de aplicaciones y modelos formulados por EDOs que

responden a problemas reales. Inicialmente se realiza un estudio de los pasos a seguir en cualquier

proceso de modelación matemática y se propone una metodología que permita modelar con EDOs.

Estos modelos expuestos se encuentran estructurados según la linealidad, orden, etc, de la ecuación o

ecuaciones diferenciales involucradas siguiendo el orden de un curso básico de EDOs y permitiendo así

construir un material de apoyo. Se proponen además una serie de ejercicios que responden a cada uno

de los modelos propuestos y se estructuran por niveles de complejidad para así completar el estudio de

esta importante rama de la matemática.

2

Summary

In the present work exposes a set of applications and models formulated by EDOs that responds to real

problems. Initially a study of them is made step to follow in any process of mathematical modeling and a

methodology sets out that allows to model with EDOs. These exposed models are structured according

to the linearity, order, etc, of the equation or equations involved differentials following the order of a

basic course of EDOs and thus allowing the construction of support material. A series to exercises sets

out in addition that respond to each one of the models proposed and structured by complexity levels

thus to complete the study of this important branch of the mathematic.

3

Introducción

as ecuaciones diferenciales facilitan extraordinariamente el análisis de relaciones entre funciones,

y es tan vasto el campo de sus aplicaciones, que el lado práctico llega a tener tanta importancia

como el estudio puramente teórico.

En las carreras de ingeniería, ciencias y en particular en la nuestra (incluyendo maestrías) se imparten

cursos de ecuaciones diferenciales en los cuales el objetivo fundamental es el de resolución y

modelación. Existen muchos libros dedicados a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, y

aunque existen varios que también tratan aspectos de modelación la mayoría se enfocan en

determinados problemas. Por ésto y por la falta de bibliografía suficiente en nuestro centro se decidió

elaborar un material que tiene como objetivo proporcionar un conjunto de modelos y aplicaciones que

sirvan de apoyo a la docencia para los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas y que además

contemple el uso de software profesionales.

Para alcanzar este propósito el material ha sido escrito con los siguientes objetivos:

1. Demostrar como las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en las soluciones de variados tipos de

problemas, en particular mostrar al estudiante:

a) Traducir problemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales.

b) Resolver la ecuación diferencial resultante sujeta a condiciones dadas.

Inicialmente se resuelve el problema general usando la teoría propia o haciendo uso del software

profesional “Mathematica”, luego se le dan solución a los ejemplos ilustrativos propuestos

particularizando en la solución general ya vista; usando así uno de los principios didácticos “de lo general

a lo particular”.

c) Simular las soluciones obtenidas como una herramienta potente en la interpretación y comprobación

de los resultados.

2. Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un mayor entendimiento de dicha signatura y se

desarrolle un interés por el estudio y profundización de ésta. Esto se hace mediante “Ejemplos

Ilustrativos de Motivación” y problemas para discusión.

3. Proporcionar al estudiante que desee investigar ideas o problemas mas complicados una oportunidad

para que lo haga. Esto se logra al exponer una serie de modelos no tratados de forma habitual en la

bibliografía y al ofrecer una serie de ejercicios ordenados en dificultad.

4

Los ejercicios del Nivel A son en su mayoría fáciles y están concebidos para propósitos de práctica. Los

ejercicios del Nivel B son de mayor originalidad y los ejercicios del Nivel C exigen un alto grado de

originalidad y conocimiento, diseñados para desafiar al estudiante.

El presente trabajo está dividido en tres capítulos:

El Capítulo 1 “Las ecuaciones diferenciales como modelos de sistemas”, comienza con los aspectos mas

relevantes que se deben tener en cuenta para modelar un problema con EDOs. Al final de éste se

resumen aquellos principios más empleados que serán tratados en capítulos posteriores, para así guiar a

los estudiantes en el estudio de los modelos tratados.

En el Capítulo 2 se exponen aquellos modelos y aplicaciones que corresponden a EDOs de primer orden,

separando estas en lineales y no lineales.

Además como es conocido un mismo tipo de ecuación puede modelar varios fenómenos distintos por tal

razón los modelos presentados se agrupan por la forma especifica que tienen las ecuaciones

diferenciales que representan.

El Capítulo 3 se dedica a presentar los modelos y aplicaciones correspondientes a EDOs de orden

superior y se estructuran de la misma forma anteriormente dicha.

5

Capítulo 1. Las ecuaciones diferenciales

como modelos de sistemas.

1.1. Introducción

ado que las ecuaciones diferenciales aparecen de modo natural como modelos matemáticos

para analizar problemas del mundo físico, químico, biológico, etc., empezaremos dedicando unos

párrafos a esta cuestión general muy importante.

Hoy en día todo el mundo habla de modelos matemáticos. Aparecen por doquier. Lo curioso del

caso es que siempre han estado presentes en todas las ciencias que emplean las matemáticas. Pero en

los últimos veinticinco años se ha reconocido la necesidad de dedicarles una atención específica en la

enseñanza, habiéndose impartido muchos cursos sobre “Modelación Matemática”.

Nos proponemos en este primer capítulo iniciar, la introducción de los primeros conceptos y técnicas de

la modelización o construcción de modelos.

1.2. Sobre el arte de Modelizar

La primera de las etapas a la hora de abordar un problema “real” la constituye la modelización

matemática. Modelizar matemáticamente un problema del mundo real significa aplicar conceptos,

objetos y herramientas matemáticas que permitan expresar el mismo en el lenguaje simbólico

propio de esta ciencia.

Un modelo no es más que un conjunto de relaciones utilizado para representar y estudiar de forma

simple y comprensible un objeto o fenómeno de la realidad.

La experiencia muestra que obtener un modelo “correcto”, en los términos de los que nos ocuparemos

más tarde, no es siempre una tarea fácil y de hecho puede equivaler a haber resuelto ya más de la

mitad del problema. Existen algunos recursos para afrontar esa difícil tarea pero su carácter

constructivo involucra inevitablemente otras componentes ligadas a la experiencia, intuición y sentido

estético. Éstas son quizás las razones por la que numerosos autores se refieren a ese proceso como “el

arte de modelizar”.

No es difícil encontrar antecedentes del proceso de modelización. Aristóteles [1] afirmaba ya:

“El hombre es el más mimético de todos los animales y gracias a ese mimetismo adquiere todos sus

conocimientos”.

6

Ésta capacidad le lleva a intentar repetir con su cuerpo y en su mente el mundo exterior. Su oído y su

garganta le permiten reproducir los sonidos. La dualidad repetición-retroacción es uno de los

fundamentos del aprendizaje individual que se extiende más tarde por la dimensión social del hombre.

Perrier [2] sugiere ver la capacidad innata de simulación del mundo exterior en las admirables danzas

de caza de los pueblos llamados primitivos. En ellas ya hay una racionalización del proceso de

extrapolación- generalización. Apunta este autor que uno de los problemas abiertos de la antropología

(de la sociología y de la psicología) radica en justificar la “visión anticipada” de los hechos que con

frecuencia se presenta en la conducta humana una vez que ha tomado conciencia de una situación.

La pintura y la escultura son artes en los que no es difícil ver actitudes con muchos puntos comunes con

las que se desarrollan en la modelización. ¿Como no ver en los impresionantemente bellos y precisos

dibujos de los remolinos de agua de Leonardo da Vinci la esencia del espíritu científico observando una

compleja realidad e intentando reproducirla para así comprenderla mejor? ¿Como no ver en la sonrisa

de su Gioconda, o en tantas obras del Greco y de Goya, la representación materializada de un mundo

interior inmaterial? ¿Cómo no asombrarse ante la genialidad de Velázquez para captar el sentido de la

luz?

Semánticamente la palabra “modelo” tiene una rica acepción. El Diccionario de la Real Academia de la

Lengua, en su vigésima primera edición, le asigna hasta diez significados1. Además del que otorga

al ámbito propiamente matemático, nos parece especialmente indicativo otro de ellos, el cuarto, en el

que se le da el significado de “representación en pequeño de una cosa”. Esta acepción está más cercana

de los llamados modelos icónicos de los que los mapas, las fotografías y las maquetas son excelentes

ejemplos. El modelo matemático también se puede entender unido a esa idea de cambio de escala,

aunque la escala aludida no sea la espacial sino la de la abstracción2. Pero además la modelización debe

completarse con el proceso de la experimentación, para lo que es de gran utilidad la maqueta a

pequeña a escala.

El proceso de modelización es de naturaleza pluridisciplinar pues requiere un conocimiento del objeto a

modelizar y una cierta experiencia en las técnicas matemáticas que hacen coherente un modelo. Con

frecuencia este proceso es el fruto de la colaboración de matemáticos con otros científicos. Para

1 Debemos fijar la atención en como la palabra “modelo” puede tener acepciones bien diferentes a la que utilizamos en el

ámbito matemático. Así, por ejemplo, en pintura, el modelo es la persona que posa y no el cuadro en sí mismo que reproduce

la realidad. Algo parecido ocurre también en el ámbito de la confección. Ambos casos corresponden a la décima acepción del

Diccionario.

2 Un detallado y muy documentado análisis de la relación entre el modelo matemático y otros usos de esa palabra puede

encontrarse en la monografía de Aris [3].

7

comenzar el proceso de modelizar, un fenómeno o proceso, se deben fijar hipótesis, las cuales

pueden ser conjeturas que simplifiquen o acoten el problema, por ejemplo si se estudia la evolución

de la población de una especie animal, se puede suponer que la población habita en un ambiente

donde abunda el alimento y que por lo tanto no hay competencia entre individuos de la misma especie.

Luego se establecen las variables dependientes a estudiar, las variables independientes y parámetros

del sistema. En este material trabajaremos generalmente con sistemas evolucionando en el

tiempo, de aquí que en la mayoría de los problemas a resolver la variable independiente sea el tiempo.

Los parámetros pueden ser constantes o variables y representan una característica propia del sistema,

por ejemplo el valor de la resistencia en un circuito eléctrico, la cual puede ser constante o

variable.

Los principios básicos de las distintas ciencias conducen a una serie de ecuaciones.

En muchos problemas, al traducir al lenguaje matemático las relaciones previamente establecidas

entre variables y parámetros, se obtiene una ecuación diferencial. En los modelos de fenómenos

físicos, términos como velocidad y aceleración pueden expresarse matemáticamente como la derivada

primera y segunda respectivamente, de la función que describe el desplazamiento en el tiempo. En

otros casos aparecen términos como “razón de cambio de...” o “tasa de crecimiento de...”, los cuales

equivalen, en lenguaje matemático a derivadas. Además se obtienen unas condiciones auxiliares

(información de lo que sucede en un tiempo inicial donde se estudia el fenómeno, etc.).

La modelización puede necesitar grandes dosis creativas y ha marcado grandes avances de la ciencia. Es

el arte de hallar el lenguaje matemático subyacente en el universo que nos preconizaba Galileo.

Más tarde nos referiremos a otros ejemplos en los que la modelización alcanza una gran finura

matemática.

El modelo matemático se introduce como “prototipo”, bajo unas simplificaciones necesarias. Según la

naturaleza de las simplificaciones supuestas se puede obtener una familia de modelos susceptibles de

ser ordenados jerárquicamente según su distinta complejidad. Esa jerarquía aparece, por ejemplo, si al

estudiar una variable física, como la temperatura de un medio continuo, la suponemos homogénea

espacialmente, es decir constante para todos los puntos, o por el contrario la suponemos distribuida

espacialmente, es decir variando de un punto a otro del medio continuo. En el primer caso

obtendremos un modelo dado por una ecuación diferencial ordinaria; en el segundo el modelo será

notablemente más complicado por contener una ecuación en derivadas parciales. A su vez, esos

modelos admiten varias subjerarquías según que nos interese la evolución en el tiempo o no. Los

primeros son denominados modelos en régimen transitorio, o modelos de evolución, y los segundos

modelos de equilibrio, o modelos estacionarios. Todos los modelos aludidos anteriormente son

llamados modelos continuos dado que las incógnitas en estudio están definidas con continuidad. Su

8

aproximación numérica conduce inevitablemente a modelos discretos dados por ecuaciones en

diferencias.

Los modelos antes mencionados responden a un cierto tipo genérico. Son los llamados modelos

directos pues su planteamiento presupone conocidos todos los datos del problema y su solución es la

incógnita a determinar.

Pero volvamos a la descripción genérica de la tarea de la modelización. El modelo nunca es “idéntico” al

objeto en consideración, no podremos obtener de él todas las propiedades y particularidades del objeto

de partida. Al modelizarlo se obtiene su reflejo aproximado, por lo que las consecuencias derivadas solo

pueden tener un valor aproximativo. La exactitud de esas consecuencias depende, íntimamente, de las

simplificaciones realizadas inicialmente y ha de ser necesariamente contrastada: es la etapa de

validación a la que nos referiremos más tarde.

Las simplificaciones introducidas son claramente función de los objetivos que se desea alcanzar. La

jerarquía de los modelos que aproximan a un objeto, o a un fenómeno, suele partir de la “sana” filosofía

que aconseja proceder de lo sencillo a lo complicado. La necesidad de revisar un modelo inicialmente

aceptado puede venir motivada por diferentes razones: las respuestas obtenidas de modelos sencillos

pueden ser extremadamente vagas y se desean respuestas más precisas, o bien porque se posea una

nueva información sobre el objeto y ésta no se derive del modelo inicial, o bien porque se tenga interés

en ciertos valores de los parámetros que queden fuera de la aplicabilidad del modelo de partida, etc. La

construcción de un nuevo modelo suele apoyarse en la experiencia obtenida del modelo

jerárquicamente anterior y a menudo, el proceso de desarrollo y mejora del modelo se repite varias

veces. Jerarquías de modelos se presentan en numerosos campos de la ciencia3.

La revisión de un modelo no tiene por que ir, necesariamente, en la dirección de aumentar su

complejidad o aumentar el número de parámetros y variables. A veces el modelo de partida es muy

complejo y lo que interesa es obtener alguna información orientadora, aunque sea al precio de

considerar únicamente algún caso particular relevante que corresponda a una cierta simplificación.

Una primera herramienta para “despreciar” alguno de los términos que aparecen en una complicada

ecuación es el análisis de los órdenes de magnitud de cada uno de los términos en función de las

unidades características que aparecen en el problema. Para ello se introducen cambios de variables

que pasan el problema a su formulación adimensional haciendo aparecer una serie de parámetros. De

esta manera ya no hablaremos de un medio concreto asociado a una geometría particular sino de un

caso universal que, recuperadas las magnitudes con sus dimensiones, lleva a una aplicación concreta. El

3 Exposiciones detalladas ilustrando esa filosofía se pueden encontrar, por ejemplo, en Aris [3], Denn [4] y Liñan [5], quienes lo ilustran mediante problemas de ingeniería química y de combustión, y Henderson-Sellers y McGuffie [6], quienes abordan diversos modelos climáticos.

9

análisis dimensional, cuyos orígenes se remontan ya a J. B. Fourier, conduce a la búsqueda de

soluciones auto semejantes, válidos frente a adecuados cambios de escala en todas las magnitudes.

Otro género de problemas, en el que el reduccionismo es fundamental, de gran relevancia actual, tanto

por sus aplicaciones como por la riqueza de las técnicas matemáticas desarrolladas, nace de la conexión

entre fenómenos microscópicos y macroscópicos. Problemas de esta naturaleza aparecen en el estudio

de “nuevos materiales” (los llamados materiales compuestos) de gran interés por sus propiedades

elásticas, térmicas, magnéticas y acústicas; en filtración de fluídos en medios porosos, etc. De nuevo, el

proceso de modelización dista de ser una operación rutinaria. Lo que ahora se pretende obtener son

unas leyes homogeneizadas para un objeto “virtual”, que por un lado tengan en cuenta las características

del enorme número de sus componentes elementales pero que sea “manejable” y no precise distinguir

entre los distintos puntos del objeto global. Las técnicas empleadas en estos procesos, tales como las de

homogeneización (o desarrollos “en dos escalas”), de promedios y otras, forman parte del llamado

análisis asintótico: el número de componentes es tan elevado que la modelización se realiza suponiendo

que tal número crece hasta infinito.

El proceso de formulación matemática culmina cuando el modelo contiene “implícitamente” la

información buscada: algo que se dilucida mediante otro tipo de técnicas matemáticas que detallaremos

en la siguiente sección.

1.2.1. Análisis matemático del modelo

El tratamiento matemático de un modelo pretende deducir de éste una serie de propiedades

cuantitativas y cualitativas. En primer lugar, esas propiedades deben justificar, de manera simple, las

observaciones y medidas realizadas sobre el “sistema” modelado, ya sea un objeto o un fenómeno. Pero

además, y más importante aún, deben conducir a informaciones complementarias prediciendo posibles

comportamientos del sistema.

Las importantes limitaciones a la hora de encontrar soluciones explícitas a las ecuaciones de los

modelos han estado presentes en las mentes de los matemáticos desde antes de Newton. Una de las

principales razones de esas limitaciones, aunque no la única, radica en el carácter no lineal de la inmensa

mayoría de los modelos relevantes en las aplicaciones.

Relaciones no lineales, aparecen ya en las leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. No lineal

es la ley de gravitación universal de Newton que conduce a la modelización del movimiento de esos

planetas.

Tampoco era muy extraño para ellos el hecho de que si las variaciones de las magnitudes modeladas

eran pequeñas se podía reemplazar los términos no lineales por otros lineales, obteniéndose respuestas

10

satisfactorias. El proceso de linealización es bien antiguo en la historia de las matemáticas.

Hoy día es bien conocido que la estructura lineal de las ecuaciones puede conducir a su resolución

mediante formulas explícitas de las soluciones.

El comienzo de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias estuvo unido a la búsqueda de la

“solución general por cuadraturas”, de lo que se ocuparon Euler, Ricatti, Lagrange, D’Alembert y muchos

otros.

El desarrollo de la teoría de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes tuvo una gran

influencia en el del algebra lineal. Un resultado que contenía un importante mensaje premonitorio sobre

las limitaciones de ese modo de enfrentarse a las ecuaciones vino de Liouville, quien, en 1841, mostró

que mediante un sencillo cambio de variable las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

(las más relevantes en las aplicaciones) se transformaban en otras no lineales, denominadas de Ricatti,

que, en general, no podían ser resueltas por “cuadraturas”.

La entrada en escena, a mediados de este siglo, de los potentes ordenadores abre unas posibilidades

impensables para aquellos matemáticos gloriosos. Las informaciones cuantitativas, tan soñadas por

Fourier, ya están al alcance de nuestra mano. Pero todo esto no se obtiene gratis. Hacen falta algoritmos

que guíen al ordenador, y esos algoritmos son solo ilusiones, “castillos en el aire”, si no se tiene la certeza

de que nuestro modelo admite solución.

El capítulo de la existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales no posee una sana reputación

entre los ingenieros o los científicos que cultivan otras disciplinas. En honor a la verdad, es algo bien

ganado a pulso, pues numerosos especialistas de épocas pasadas, e incluso recientes, han visto en este

tipo de resultados un mundo sin fin en el que ninguna otra respuesta matemática podía hacerle sombra.

Esto obviamente no es así si lo que uno tiene en mente es una matemática del mundo en

conexión con el exterior al mundo de las matemáticas. En todo caso, es justo “dar al César lo que es del

César”. Si bien los teoremas de existencia de soluciones no son más que la primera de las muchas etapas

que debe acarrear el tratamiento matemático de un modelo, es también obvio que un teorema

demostrando la no existencia de soluciones para una ecuación representa su “lápida mortuoria”, al

menos para el rango de valores de los parámetros y exponentes de los términos no lineales para el que

no hay existencia de soluciones. Lo que quizás ignoren muchos de los ingenieros y científicos es que

existen muchas ecuaciones, con apariencia inocente, para las que se conoce que no admiten solución.

Una gran parte de esas ecuaciones corresponden a ciertas elecciones particulares de los parámetros, de

los exponentes de los términos no lineales de las condiciones de contorno o de las condiciones iniciales,

en las ecuaciones genéricas que aparecen en problemas relevantes en las aplicaciones.

Pero, ¿hay un único sentido para asignar la palabra solución a una ecuación? Es muy indicativo que

habiendo comenzado esta vieja polémica a mediados del siglo XVIII tenga aún una vibrante actualidad.

11

Una vez mostrado que existe al menos una función que verifica nuestro modelo, al menos en algún

sentido adecuado, cabe preguntarse cuántos de esos objetos existen. En realidad, el estudio de la

unicidad o multiplicidad de soluciones es un capítulo independiente del de la existencia, pues las técnicas

involucradas son de diferente naturaleza. De hecho, en el ámbito de las ecuaciones no lineales, este

último estudio no suele admitir métodos generales, siendo necesario analizar las peculiaridades que se

presentan en cada ecuación.

En los problemas de evolución, la unicidad de soluciones suele obedecer a la propia presencia del

término de la derivada temporal.

El estudio de la existencia y unicidad (o multiplicidad) de las soluciones de un modelo dista mucho de

agotar su tratamiento matemático.

Así, por ejemplo, si el modelo es evolutivo es de gran importancia analizar el paso a régimen permanente

o estacionario. Esta es una investigación capital en la moderna teoría de los sistemas dinámicos, des-

arrollada a partir de los trabajos de Poincaré y que ha cobrado una gran actualidad con el estudio de la

formación de caos.

Muchas otras propiedades cualitativas son también objeto del análisis matemático del modelo.

1.2.2. Tratamiento numérico: Simulación y Validación

Para obtener la información inicialmente requerida de los modelos matemáticos es preciso terminar

presentando repuestas cuantificadas. El objetivo del análisis numérico es exactamente ése: el estudio

de algoritmos para los problemas de la matemática continua. Esos algoritmos son procesos infinitos

convergentes a alguna de las soluciones. Los algoritmos han de ser constructivos y al detener los cálculos

en distintas etapas obtendremos diferentes aproximaciones de la solución en cuestión. Un algoritmo

convergente suministra un teorema de existencia de soluciones alternativo al que pueda encontrarse por

otros métodos no constructivos. A la hora de evaluar la eficacia de los métodos numéricos hay que tener

en cuenta su universalidad, la sencillez de la organización del proceso de cálculo y del control de la

exactitud, y, por último, la velocidad de convergencia.

El afán de culminar el tratamiento matemático con cálculos aproximativos estaba ya presente en Euler,

Lagrange, Gauss y tantos otros matemáticos de épocas pasadas. Los algoritmos requerían grandes

cálculos incluso aun simplificando la formulación de los modelos.

La trascendente aportación de los ordenadores consiste en proporcionar esa enorme capacidad de

cálculo que permite aplicar sofisticados algoritmos para modelos muy complejos. El análisis numérico se

extendía así al Cálculo Científico, esto es, a la utilización del ordenador como herramienta de trabajo en

cualquier disciplina científica.

12

La posibilidad de representar sobre una pantalla los resultados suministrados por los modelos

matemáticos es un elemento de gran importancia. La visualización de los resultados numéricos nos

sumerge en una especie de realidad virtual que nos puede permitir una experimentación difícil o costosa

y a veces imposible de llevar a cabo sobre el proceso real (caso de problemas en medio ambiente,

economía, astrofísica etc.). Se puede observar como varían las soluciones, en qué región espacial ocurre

algún fenómeno interesante. Se puede utilizar distintos colores para visualizar los valores de variables

complicadas, se puede cambiar de sistema de referencia, utilizar el “zoom”, simular dinámicamente los

movimientos. Las posibilidades de aplicaciones científicas e industriales son inmensas. En esa realidad

virtual es fácil observar los cambios originados por modificaciones de los parámetros o de los datos.

La simulación mediante ordenador permite explorar a gran velocidad la compatibilidad entre el

comportamiento de un gran número de partes y el comportamiento del todo que las integra. La

simulación puede nutrirse indistintamente de la teoría o de la experiencia. En el primer caso, el resultado

puede poner de manifiesto una incompatibilidad con la realidad y entonces juega el papel reservado

históricamente a las experiencias. En el segundo caso, si la simulación se nutre de datos experimentales

el resultado ofrece predicciones de la globalidad o confirma la viabilidad de las individuales y esto puede

significar la propuesta de nuevas experiencias. En ese caso la simulación juega el papel histórico de la

teoría.

Una etapa que no siempre recibe la atención que se merece en el mundo académico se refiere a la

validación. Se hace poco menos que imprescindible estudiar las condiciones de aplicabilidad de los

modelos, confrontando los resultados matemáticos obtenidos con el conocimiento accesible por otros

métodos: soluciones exactas en casos particulares, tratamiento analítico, mediciones experimentales etc.

Resulta curioso observar que ese contraste entre resultados de la mente y la realidad está a veces más

presente en la obra de pensadores filosóficos que la de los propios científicos. Ortega y Gasset escribe en

[7] lo siguiente:

…Entonces es cuando salimos se nuestra soledad imaginativa, de nuestra mente pura y aislada, y

comparamos esos hechos que la realidad imaginada por nosotros produciría con los hechos efectivos que

nos rodean. Si casan unos con otros es que hemos descifrado el jeroglífico, que hemos descubierto

la realidad que los hechos cubrían y arcaizaban…

Ese jeroglífico al que se refiere Ortega, es tan complejo que nuestra “modesta” declaración de objetivos

es la que debe servir para dar como adecuados o insuficientes los resultados obtenidos. A veces, el

modelo es el adecuado, pero es necesario ajustar los parámetros que intervienen en él. Otras veces, se

hace imprescindible acudir a otros modelos de la jerarquía correspondientes a una mayor complejidad.

Aparecen dificultades en esa tarea. No siempre es posible tener acceso ni multiplicar las mediciones. Es

el caso de modelos de aplicación en astrofísica, economía, medicina y muchas otras ciencias. La

13

validación se analiza, en esos casos, confrontando los resultados particularizados a submodelos en los

que es posible disponer de mediciones experimentales.

1.2.3. Predicción y Control

La predicción y el control pueden ser entendidos como la culminación del largo proceso descrito

anteriormente. Ya nos hemos referido a la primera motivación de ése tipo de matemáticas: comprender

el mundo. Otra motivación es intentar controlarlo. En otras ciencias alguna de esas dos motivaciones

puede predominar sobre la otra: en cosmología lo hace la primera, en medicina la segunda. Una vez más

dos actitudes pueden presentarse como antagonistas. Esto no es así en el caso de las matemáticas del

mundo.

La previsión, fruto de la predicción y el control, es considerada por muchos cómo el máximo baremo del

desarrollo. Incluso los efectos de las ingobernables catástrofes naturales pueden ser, en algún modo,

amortiguados. Un terremoto de grado moderado provoca normalmente una inmensa cifra de muertos

en la paupérrima Armenia. En Tokio, esa misma fuerza sísmica no suele pasar de ser un susto.

La cuestión de cómo actuar sobre los sistemas para alcanzar estrategias deseadas es el objeto de la

optimización y de la teoría de control. Son parcelas en un rápido progreso por la creativa interacción de

matemáticos, ingenieros y especialistas de ciencias de la computación. La necesidad de controlar un

sistema o un proceso se manifiesta en muchas áreas de la actividad humana, desde la tecnología a la

medicina y la economía.

Los ingredientes básicos de la teoría de control son: un modelo o ecuación de estado, unas variables o

acciones posibles y unos criterios que se intentan optimizar. Comenzando con los primeros resultados

matemáticos sobre control óptimo de sistemas diferenciales lineales de los años cincuenta y sesenta, la

teoría de control ha crecido enormemente en numerosas direcciones alcanzando incluso a los más

complejos modelos no lineales. Así el control de la turbulencia es uno de los problemas centrales que

esperan aún una respuesta matemática satisfactoria. Las cuestiones matemáticas abordadas encierran

una gran dificultad pues exigen la utilización de técnicas de muchos otros campos. Es como si nos

enfrentásemos a unas pruebas de decatlón o si como si se tratase de componer un concierto, no ya para

un instrumento, ni para un cuarteto de cámara, sino para una gran orquesta. Además de su papel

fundamental en la elaboración de previsiones y actuaciones, la teoría de control es un área de

integración en la que las barreras de comunicación entre científicos e ingenieros han de ser

necesariamente superadas.

14

1.2.4. Resumen del Proceso de Modelización.

La formulación de un modelo matemático (que implica una ecuación diferencial) consta de las

siguientes fases [8]:

Identificar las variables que causan el fenómeno. Puede ocurrir que algunas variables no se

tengan en cuenta si se quiere simplificar el modelo.

Se establecen las hipótesis que tiene que cumplir el fenómeno.

Se plantea la ecuación diferencial o ecuaciones diferenciales.

Resolver la ecuación diferencial.

Comprobar que el modelo es razonable con los hechos conocidos del fenómeno.

Si las predicciones son deficientes, podemos aumentar el número de variables a tener en cuenta

o mejorar las hipótesis.

Repetir los pasos anteriores hasta obtener unas predicciones aceptables.

Figura 1: El proceso de modelización

Predicciones

sobre el

mundo real

1. Definir variables dependientes, variables independientes y parámetros. 2. Establecer Hipótesis 3. Establecer relaciones entre las variables.

Problema

del mundo

real

Modelo

Matemático

Conclusiones

Matemáticas

Resolver Probar

Interpretar

Formular

15

1.3. Objetivos y Resumen de principios empleados.

Según diferentes expertos se sugiere que en el aprendizaje del modelado se deben de considerar los

siguientes objetivos [9]:

Encauzar a los estudiantes en que el entendimiento del mundo físico se da por la construcción y

uso de modelos científicos para describir, explicar, predecir, diseñar y controlar fenómenos

físicos, químicos, biológicos, etc.

Proveerse con herramientas básicas conceptuales para modelar objetos físicos y procesos,

especialmente herramientas conceptuales matemáticas, y representaciones gráficas y

diagramáticas.

Familiarizarse con un “pequeño” conjunto de modelos básicos que representan el contenido

“núcleo” de diferentes ramas de la vida.

Atender el análisis sobre la estructura del conocimiento científico para examinar como los

modelos encajan en las teorías.

Comprender como el conocimiento científico es validado y aplicar ese conocimiento para evaluar

los modelos contrastando lo predicho con los datos empíricos.

Desarrollar habilidades en todos los aspectos del modelado considerando que éste es el núcleo

del conocimiento científico.

Partiendo de estos objetivos, se estudiará la forma de análisis de un conjunto de modelos básicos.

Resumen de principios empleados en los diferentes modelos.

Al analizar la bibliografía y conjuntos de problemas resueltos y propuestos se pueden localizar los

siguientes principios:

1. Proporcionalidad directa entre la variación y la cantidad presente :

Este principio está presente en toda situación de crecimiento o decrecimiento, en la que la cantidad

presente de una sustancia, población, objetos, etc.; provoca que la misma sustancia crezca a una

velocidad que crece si la cantidad presente crece y de igual manera a la inversa, si la cantidad presente

decrece la velocidad de decrecimiento decrece en una misma proporción.

Ejemplos de este principio se dan de manera general en:

Tamaño y velocidad de crecimiento de una población.

Cantidad presente de una sustancia radioactiva y su velocidad de descomposición.

16

El capital P en una inversión con una tasa de interés , luego .

2. Proporcionalidad inversa entre la variación y la cantidad presente

Principio que se emplea cuando se observa que la cantidad presente de una sustancia, población u

objetos, provoca que entre más grande sea más lentamente crece y a la inversa cuando la cantidad

presente es muy pequeña la velocidad de crecimiento es más grande.

Ejemplos de este principio se pueden observar de manera general en:

La generación de productos en una reacción química.

Entre más se reduce el desperdicio en un proceso industrial más difícil resulta seguirlo disminuyendo.

3. Proporcionalidad directa entre la velocidad de la variación y la diferencia entre la

cantidad presente y la inicial – :

Este principio se puede observar por ejemplo en la ley del enfriamiento de Newton que establece que la

temperatura de un cuerpo caliente decrece (o a la inversa un cuerpo frío se calienta) en proporción

directa a la diferencia entre la temperatura actual y la temperatura ambiente.

4. Proporcionalidad directa entre la variación de una variable o la variable misma y otra

diferente:

Normalmente esta proporcionalidad se expresa mediante Leyes físicas, por ejemplo podemos tener:

Segunda Ley de Newton en cualquiera de sus versiones: , .

Amortiguamiento viscoso: la Fuerza que se opone a desplazamiento de un cuerpo es proporcionalidad a

la velocidad que presenta .

Variación de la cantidad de movimiento (otra versión de la 2ª Ley de Newton) .

Ley de Hooke: La fuerza de deformación en un resorte es proporcional a su deformación: .

La energía potencial de un cuerpo es proporcional a su masa y a su distancia al nivel de referencia:

Si una variable es proporcional a otra se tiene que luego la variación de una es proporcional a la

variación del otro respecto de una variable común .

Principio de flotación – Ley de Arquímedes – la fuerza de empuje que recibe un cuerpo al sumergirse en

un líquido es igual al peso del volumen del líquido desplazado: , donde es la densidad del fluido

y V es el volumen desplazado.

17

Deflexión en vigas: . Donde y es la flecha (deformación de la viga respecto de su forma

recta original) y es la distribución de fuerzas perpendiculares al eje recto de la viga, E es el módulo

de Young del material e I el momento de Inercia de la sección de la viga.

5. Proporcionalidad directa entre una variable y una función de otra variable:

Si una variable es proporcional a una función de otra se tiene , luego la variación de A

respecto de la misma variable es proporcional a la variación de f, esto es .

Por ejemplo considera la expresión escalar para el trabajo: , luego – .

La energía Cinética es proporcional a la velocidad al cuadrado del móvil: .

Ley de Torricelli: – , la velocidad con que se vacía un tanque es proporcional a la altura de

la columna de líquido por encima del orificio. Más específicamente la velocidad de salida del fluido por

un orificio corresponde a la velocidad de caída libre ,donde es la altura de la columna de

líquido por encima del orificio.

Ecuación logística: – .

Caída de potencial V (en Voltios) en un elemento de un circuito: , donde es el valor de una

resistencia medida en Ohms e la corriente en el circuito en Amperios. , es la caída de

potencial en una bobina (inductancia en Henrios). , donde q es la carga en Coulomb y C es la

capacitancia en Faradios, además . Ley de Kirchhoff en una malla “la suma de las caídas de

potencial en el circuito es igual a el voltaje de la fuente”: .

Difusión de la energía a través de un muro: – , donde Q es el calor difundido en ,

A es el área de la cara perpendicular al flujo en cm2, T es la temperatura a x cm de la cara y k es la

conductividad del material.

6. Conversión de una Ley física a problemas de variación.

Cualquier ley física se puede convertir en una ecuación diferencial si una variable se puede hacer variar

en términos de otra presente en la misma ley, o dos variables presentes varían respecto de otra ajena a

la ley.

Por ejemplo considere la Ley de Coulomb , podrá ser convertida a o bien

en .

Otro caso muy similar en estructura lo representa la Ley de la Gravitación Universal .

7. Consideración de elementos diferenciales.

18

En lo general un elemento diferencial proviene de la definición de derivada ya que , luego

.

Por ejemplo la definición de área de una superficie rectangular plana será , luego para una base

constante un elemento diferencial de área será .

Un elemento diferencial de arco de una curva será .

Elemento diferencial de volumen de un prisma de sección fija A: .

8. Concentración de una sustancia x en una mezcla de la sustancia x y otra sustancia z.

Resulta típica en problemas de mezclas de sustancias químicas, para lo que la concentración de la

sustancia x en la mezcla es: donde x y z corresponde con la cantidad en masa, peso o

volumen de las sustancias.

9. Gasto o flujo en una tubería u orificio.

El gasto o cantidad de fluido que circula sobre una tubería de área seccional A corresponde a ,

donde v es la velocidad del fluido. Esto es, el volumen que circula por una sección de la tubería en el

tiempo , es , ya que .

10. Tasas de cambio o Ley del equilibrio.

Lo que entra menos lo que sale corresponde a la variación total, luego las velocidad de variación o tasa

de cambio total será tasa de cambio = tasa de entrada – tasa de salida, o bien – .

Que no es otra que la propiedad aditiva de la derivada, y se emplea de manera común en problemas de

flujo.

11. Aplicación de la regla de la cadena.

Se aplica para convertir expresiones diferenciales en una variable a otra, por ejemplo consideremos la 2ª

Ley de Newton o finalmente .

12. Simplificación por condiciones límite.

Se genera una condición ideal bajo una condición límite cuando una variable se hace tender a algún valor

específico (al cero es un caso muy común) o bien se considera infinita. Por ejemplo la expresión

, siempre que , lo cual es una simplificación enorme y es equivalente a afirmar

que es casi a, si x es pequeña. Un caso muy importante que se puede considerar es

para valores pequeños de α.

19

13. Principios económicos

La demanda de un artículo es una función de su precio actual y de la variación del precio a lo largo del

tiempo. , f se llama función de la demanda.

14. Curvas ortogonales.

Dos curvas son ortogonales en un punto si f’(x) = – 1/g’(x). En donde f’(x) y g’(x) son las pendientes de

las tangentes a las curvas en el punto común x.

15. Principios geométricos que involucran a la derivada.

En algunos problemas geométricos se pueden considerar los elementos de la construcción siguiente:

La ecuación de la recta tangente en el punto es – – , de donde la recta normal

en el mismo punto es – – – ).

Los segmentos intersecados en los ejes x e y por la tangente son respectivamente – ;

– . Mientras los segmentos intersecados por la normal son ; .

La longitud de los segmentos sobre la tangente desde el punto hasta el eje x e y respectivamente

son: ; .

Mientras los segmentos correspondientes para la normal son: ;

Las longitudes de la subtangente y la subnormal son .

20

Capítulo 2: Modelos y Aplicaciones de EDOs de Primer Orden.

as ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden representan las ecuaciones diferenciales

más sencillas pues en ellas aparecen solamente la primera derivada. Por tanto todo curso básico

de EDOs comienza por éste tema. En este capítulo expondremos una serie de aplicaciones que pueden

ser modeladas por este tipo de ecuaciones.

2.1. EDOs lineales de primer orden.

2.1.1. Ecuaciones de la forma

¿Qué forma tienen las soluciones?

Consideremos la ecuación diferencial

(2.1.1.1)

En primer lugar debemos considerar la condición inicial pues la función no evolucionará igual si la

condición inicial es una u otra .Al problema de hallar la o las soluciones de la ecuación (2.1.1.1) sabiendo

que se le llama problema de condiciones iniciales (problema de Cauchy) para la ecuación

(2.1.1.1), y lo escribimos de la siguiente forma:

Cálculo analítico de las soluciones

Integrando la ecuación (2.1.1.1) encontramos

(2.1.1.3)

que aplicando la condición se puede expresar en la forma

(2.1.1.4)

Estas soluciones representan una familia de rectas donde si dicha recta es creciente y si

decreciente.

La función obtenida se llama solución del problema de condición inicial y también solución

particular de la ecuación diferencial. El conjunto de funciones se llama solución general

21

de la ecuación diferencial (2.1.1.1) porque podemos usarla para encontrar cada solución particular

correspondiente a cualquier problema de condición inicial.

En el Anexo 1.1 podemos ver la solución que ofrece el “Mathematica” y su simulación dinámica donde

podemos variar los parámetros en un intervalo dado.

2.1.1.1. Caída libre

El tema de la física trata de la investigación de las leyes que gobiernan el comportamiento del universo

físico. El estudio del movimiento de los objetos en nuestro universo es una rama de la mecánica llamada

dinámica. Las leyes del movimiento de Newton, conocidas por los estudiantes en física elemental,

forman la base fundamental para su estudio. Resulta, sin embargo, que para los objetos que se mueven

muy rápido (por ejemplo cerca a la velocidad de la luz, 186 000 millas por segundo) no podemos usar las

leyes de Newton. En vez debemos usar una versión revisada de estas leyes, desarrolladas por Einstein y

conocidas como mecánica relativista, o mecánica de la relatividad. Para objetos de dimensiones

atómicas, las leyes de Newton tampoco son válidas. De hecho para obtener descripciones precisas del

movimiento de objetos de dimensiones atómicas, necesitamos establecer un conjunto de leyes

estudiadas en un tema conocido como mecánica cuántica.

Afortunadamente, para estudiar el movimiento de los objetos que encontramos en nuestra vida diaria,

objetos que ni alcanzan velocidades cercanas a la de la luz ni objetos con dimensiones atómicas, no

necesitamos mecánica cuántica o relativista. Las leyes de Newton son lo suficientemente precisas en

éstos casos.

Ejemplo Ilustrativo de Motivación.

Una masa de gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad partiendo del

reposo. Asumiendo despreciable la resistencia del aire establezca la ecuación diferencial y las

condiciones asociadas que describen el movimiento y resuélvala.

Fundamento Teórico.

Leyes de Newton:

Las tres leyes de Newton permiten resolver muchos de los problemas de la Mecánica Clásica (de los

cuerpos rígidos), dichas leyes pueden ser enunciadas:

1ª Ley: Un cuerpo en estado de reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, no modifica dicho estado a

menos que exista una fuerza externa (resultante) no nula actuando sobre él. Esta Ley es la base de las

ecuaciones de la estática y se modela con

22

2ª Ley: La razón de cambio del momentum de un cuerpo en el tiempo, es proporcional a la fuerza neta

que actúa sobre el cuerpo y tiene la misma dirección de dicha fuerza. Esta ley puede expresarse

mediante la ecuación diferencial , en particular cuando la masa del cuerpo es

constante se tiene el modelo más conocido de esta Ley: , donde la constante de

proporcionalidad es la masa del cuerpo y es la aceleración del mismo, recordando que

3ª Ley: A toda acción corresponde una reacción de igual intensidad pero de sentido contrario. De forma

típica las acciones consideradas en la mecánica se refieren a fuerzas aplicadas, luego el principio

establece que para el logro del equilibrio (estático o dinámico) para cada fuerza se da una equilibrante

– de tal forma que , en acuerdo con la primera Ley, en cambio si la resultante de las fuerzas

no es nula, la reacción corresponde con el vector de inercia – , de acuerdo con su segunda Ley, de tal

forma que – .

Para la aplicación de estas tres leyes se considera como supuesto básicos que el cuerpo rígido bajo

estudio sufre la acción de fuerzas concurrentes de tal manera que puede ser sustituido por un punto

material o partícula en el modelo. En el caso que dicho supuesto no se cumpla, sobre el cuerpo actúan,

fuerza no concurrentes y el efecto adicional de estas fuerzas es generar momentos (torques) sobre el

cuerpo rígido, cuyo efecto es provocar la tendencia del giro sobre el cuerpo rígido; y bajo estas nuevas

condiciones la geometría del cuerpo rígido es importante y no puede ser sustituido por una partícula en

su estudio. En este caso las tres Leyes de Newton se modifican como modelo teniendo los siguientes

efectos formales:

1ª Ley: , donde se refiere a los momentos aplicados sobre el cuerpo rígido, de

acuerdo con la definición vectorial , donde es el vector de brazo de palanca de la fuerza.

2ª Ley: provocando movimiento de translación, mientras que , donde es el

momento de inercia de masa y es la aceleración angular del movimiento de rotación del cuerpo.

3ª Ley: No sufre modificaciones pero implica según sea el caso , , – ó

– .

Comúnmente el análisis de situaciones que implican la aplicación de las leyes de Newton, comienzan

realizando un diagrama de cuerpo libre de cada cuerpo rígido involucrado en la situación, en el cuál se

explicitan todas las fuerzas y aceleraciones que actúan sobre el cuerpo. Es común partir del supuesto de

que el sentido que se le supone a la aceleración define el sentido de las fuerzas “positivas”, obviamente

en el sentido opuesto se tienen las acciones opuestas al movimiento. Puesto que las ecuaciones

mostradas implican magnitudes vectoriales, es típico escribir las ecuaciones escalares correspondientes a

los tres ejes coordenados definidos en el sistema bajo estudio (o dos si el sistema se considera plano).

23

De la segunda ley de Newton vimos que

(2.1.1.1.1)

Introduciendo la constante de proporcionalidad , obtenemos

Si es una constante, donde es la aceleración. Así vemos que

(2.1.1.1.2)

El valor de k depende de las unidades que deseemos usar. Hasta el momento se usan dos sistemas

principales.

a) El sistema CGS o sistema centímetro, gramo, segundo. En este sistema la longitud se mide en

centímetros (cm), la masa en gramos (g), y el tiempo en segundos (seg). El valor mas simple para k es

k = 1, de modo que la ley (2.1.1.1.2) es (2.1.1.1.3) como habíamos mencionado.

Si una fuerza produce una aceleración de un centímetro por segundo cuadrado ( ) en una masa

de 1g, entonces de (2.1.1.1.3)

Llamaremos tal fuerza una dina. El sistema cgs también se llama sistema métrico.

b) El sistema PLS, o sistema Pie, Libra, Segundo. En este sistema también podemos usar , de

modo que la ley es . Si una cierta fuerza produce una aceleración de un pie por segundo

cuadrado en una masa de una libra (lb), llamamos esta fuerza un poundal. Así, de tenemos

.

Otra manera de expresar la ley de Newton es usar el peso en vez de la masa del objeto. Mientras que la

masa de un objeto es la misma en toda parte de la tierra (o realmente en cualquier parte del universo)4

el peso cambia de lugar. Se observara que para que un cuerpo actúe solo por su peso , la aceleración

correspondiente es aquella debida a la gravedad g. La fuerza es , y la ley de Newton es

(2.1.1.1.4)

Dividiendo la ecuación (2.1.1.1.3) por la ecuación (2.1.1.1.4), tenemos

(2.1.1.1.5)

4 Estamos hablando sobre “masa en reposo”, porque en la teoría de la relatividad cuando un objeto esta en movimiento su

masa cambia.

24

Podemos usar la ecuación (2.1.1.1.5) ya sea con unidades cgs o pls. En tal caso es claro que F y W tienen

las mismas unidades si y las tienen.

Con unidades CGS: Si W esta en gramos peso, y en , entonces F esta en gramos peso. Si W

esta en dinas, y en , entonces F esta en dinas. En la superficie de la Tierra g = 980

, aproximadamente.

En ciertos campos es costumbre usar el sistema cgs junto con la ley , y usar el sistema pls junto

con la ley . Algunas veces se hace uso de masa en términos de slugs.5

Cuando se desean otras unidades, se pueden hacer los cambios apropiados. Si en un problema las

unidades no se especifican, cualquier sistema se puede usar siempre y cuando se mantenga la

consistencia.6

Formulación Matemática.

En la formulación matemática de problemas de física (o para tal propósito, cualquier problema) es útil

dibujar diagramas cuando sea posible. Estos ayudan a fijar ideas y consecuentemente ayudan a traducir

las ideas de física en ecuaciones matemáticas. Sea A (figura 2.1) la posición de la masa en el tiempo

, y sea P la posición de m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que

involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales

necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de

coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En el presente problema sea A

el origen de nuestro sistema de coordenadas y escojamos el eje x como la vertical con “abajo” como la

dirección positiva (y por consiguiente con “arriba” como la dirección negativa). La velocidad instantánea

en P es . La aceleración instantánea en P es

5 El número de libras peso dividido por g se conoce como el número de slugs. Así, la masa de un peso de 64 lb es 2 slugs. 6 Para algunos propósitos se puede usar una variación del sistema CGS conocido como sistema metro, kilogramo, segundo o

sistema MKS. Aquí la longitud esta en metros, la masa en kilogramos y el tiempo en segundos. La fuerza requerida para mover

una masa de 1kilogramo a una aceleración de se llama Newton (N).

25

Figura 2.1 Figura 2.2

. La fuerza neta actúa verticalmente hacia abajo (considerada positiva como se muestra en el

diagrama de fuerzas de la figura 2.2). Su magnitud es . Por la ley de Newton tenemos

Puesto que la masa cae desde el reposo vemos que cuando , o en otras palabras

. Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial

(2.1.1.1.6)

Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida.

Solución del Ejemplo Ilustrativo.

Según (2.1.1.4) la solución del problema propuesto es .

Si queremos determinar además la posición hacemos e integramos de nuevo por lo que

finalmente obtenemos .

Como una aplicación, supóngase que deseamos conocer donde está el objeto después de .

Entonces, por el sistema ,

.

Para encontrar la velocidad después de escribimos

El signo “mas” indica que el objeto se esta moviendo en la dirección positiva, esto es, hacia abajo. Se

debería notar que si hubiéramos tomado la dirección positiva hacia arriba la ecuación diferencial hubiera

sido , esto es,

26

Esto conduciría, por supuesto, a resultados equivalentes a los obtenidos.

2.1.1.2. Administración de medicamentos.

En esta sección, vamos a considerar un fármaco administrado por alguna vía, y vamos a separar el

proceso de absorción del resto de los procesos, por conducir a comportamientos distintos en la

concentración del fármaco en el individuo. El proceso de absorción conduce a un comportamiento

creciente de la concentración, mientras que los otros procesos la mantiene constante o decreciente.

Hay diferentes tipos de modelos farmacocineticos, en función de la distribución del fármaco en el

cuerpo.

Se asume que transcurrido un tiempo corto, tras la administración, el fármaco se distribuye con

concentración uniforme. Si el fármaco no puede atravesar el endotelio capilar, se distribuye en un único

compartimento, la sangre. Estos casos se simulan mediante los llamados modelos

monocompartimentales.

En el caso de que el fármaco puede atravezar el endotelio capilar y pasar al líquido intersticial, entonces

el fármaco se distribuye en dos compartimentos, la sangre y el líquido intersticial. Estos casos se simulan

mediante los llamados modelos bicompartimentales.


Determinar el intervalo de tiempo durante el cual, la concentración de un fármaco se encuentra en la

zona terapéutica. Este fármaco sigue un modelo monocompartimental, y la eliminación se produce

siguiendo un proceso cinético de orden cero, cuya velocidad es por hora. Consideremos que la

zona de eficacia del fármaco es cuando está entre el 20% y el 80%.


Modelo de eliminación

Empezamos por estudiar los procesos de distribución, metabolización y eliminación.

Para construir modelos matemáticos de farmacocinéticas monocompartimentales, necesitamos precisar

el proceso cinético de eliminación del fármaco.

Proceso cinético de orden 0.

27

Este caso corresponde a fármacos que no se metabolizan y que se eliminan por vía renal con

transportadores. Esto quiere decir que la cantidad de fármaco que se elimina por unidad de tiempo es

constante o lo que es lo mismo que la velocidad de eliminación es constante.

Obtención del modelo.

Denotemos por la concentración del fármaco en el organismo en el tiempo t, y por denotemos la

cantidad de fármaco que se elimina por unidad de tiempo. Supongamos que la eliminación es uniforme

en todo el organismo, entonces la variación de la concentración cuando ha pasado un intervalo de

tiempo se escribe como:

y en consecuencia la ecuación diferencial que gobierna la eliminación del

fármaco es:

(2.1.1.2.1)

Si suponemos que empezamos a contar el tiempo en el momento en el que la concentración ha llegado a

su máximo, entonces , midiendo en tantos por ciento.

La solución es:

en general esta solución es:

(2.1.1.2.2)

La vida media de un fármaco es el tiempo que tarda la concentración en reducirse a la mitad.

Podemos determinar la vida media en términos de la velocidad de eliminación del fármaco como sigue:

Hay que buscar tal que , y como conocemos la solución entonces

de donde obtenemos una relación directa entre la velocidad de

eliminación y la vida media del fármaco:

y en consecuencia

Modelos de absorción

Los procesos de absorción normalmente, son bastantes mas complicados que los procesos de

eliminación, aunque en algunos casos sencillos pueden ser modelados de la misma forma que los

procesos de eliminación, mediante procesos cinéticos de orden 0 y de orden 1. La única diferencia es el

signo correspondiente a la velocidad de absorción para orden 0 y a la tasa de absorción para orden 1.


28

En te caso corresponde a una absorción constante por unidad de tiempo, llamamos a la velocidad de

absorción. Entonces, el modelo se escribe:

(2.1.1.2.3)

corresponde a la dosis administrada al paciente, este valor se calcula en función de la máxima

cantidad de fármaco que puede soportar el organismo , y el tiempo que se tarda en alcanzarla

.

En este caso también conocemos la solución exacta, que es:

Si conocemos y podemos calcular cuanto debe ser la dosis inicial que hay que suministrar.


Nuestro problema corresponde a un modelo de eliminación con un proceso cinético de orden cero, por

tanto conduce al problema de valor inicial dado en (2.1.1.2.1)

Solución del Ejemplo Ilustrativo

Como en este caso conocemos la solución exacta podemos calcular exactamente, éstos tiempos. La

concentración estará entre el 20% y el 80% cuando

y como sólo hay que calcular los valores de tales que:

o lo que es lo mismo

En nuestro caso, tendríamos:

Esto quiere decir, que cunado ha pasado una hora del valor máximo ha entrado en la zona de eficacia,

entre la hora 1 y la hora 4 se mantiene en la zona de eficacia. A partir de la hora 4 ya no es efectivo.

Cuando no conocemos la solución exacta, calculamos la solución aproximada del modelo y obtenemos

los siguientes valores:

Tiempo estimado en que la concentración entra en zona terapéutica: 1.0081

Tiempo estimado en que la concentración entra en zona de ineficacia: 4.0150

En la gráfica 2.3, podemos ver la concentración obtenida mediante el modelo y la distinción de las zonas

de toxicidad, terapéutica e ineficacia.

29

Figura 2.3. Modelo monocompartimental con eliminación constante


¿Cómo obtener información sobre las soluciones?

Análisis Cualitativo

Consideremos la ecuación diferencial

(2.1.2.1)

Sabiendo que entonces el problema de Cauchy lo podemos escribir de la siguiente forma:

Nuestro objetivo es tener tanta información como sea posible de la solución de este problema de

condiciones iniciales.

Lo ideal sería tener una expresión explicita de la función y . Veremos más adelante que en este caso

es posible, pero salvo que necesitemos saber con precisión extrema el valor de para un concreto

valor un simple análisis de la ecuación a partir del significado del concepto de derivada, es suficiente

para obtener información muy valiosa sobre la solución.

Observamos en primer lugar que si en todo instante, entonces y, al sustituir en

la ecuación, . Por lo tanto es una solución de la ecuación. Este tipo especial de

soluciones reciben el nombre de soluciones de equilibrio porque son constantes para todo .

Si en algún instante entonces en el momento inicial

y en consecuencia hay variación de la función .

30

Si entonces y la función estaría decreciendo y por tanto la ecuación

diferencial modela un problema de decrecimiento; es decir, para pero muy próximo a

y . Por lo tanto,

(pues )

Si está próximo a , la función decrecerá, pero no lo suficiente como para que sea inferior a . Así

pues, . Es decir, la derivada será negativa, por lo que la función

seguirá decreciendo. Así si y es próximo a tendremos que , y un análisis como

el que hemos hecho para y nos permitirá concluir que

Podría pensarse que es posible que . La observación de la realidad nos dice que esto nuca

ocurre. Ahora no lo vamos a demostrar aunque esto se deduce de las propiedades de las ecuaciones

diferenciales. Vamos a seguir suponiendo que de modo que . Y

podríamos seguir el análisis con un pero próximo a .

En conclusión, la derivada siempre es negativa, cada vez mayor y, por lo tanto, cada vez más

próxima a 0. Esto significa que la gráfica de es una curva decreciente pero que este decrecimiento

es cada vez menor a medida que el tiempo x aumenta (Ver graf 2.4).

Si la condición inicial y entonces haciendo un análisis como el de mas arriba

tenemos que en y la función a es creciente (Ver figura 2.5).

Igualmente cuando , y , la función solución será

decreciente y creciente respectivamente.

31


Este análisis de la manera en la que evoluciona cuando aumenta se llama análisis cualitativo de la

ecuacion diferencial.

Cálculo análitico de soluciones.

Ahora bien, si lo que necesitamos es saber el valor de , el análisis cualitativo no es

suficiente; necesitamos una información más precisa de la función . Lo ideal sería obtener una

“fórmula” explicita para .

Una solución del problema de condiciones iniciales ( ) es una función que satisface ambas

ecuaciones. En primer lugar, debemos encontrar una función que sea solución de la ecuación

diferencial . Es decir (recordemos la definición de solución de una ecuación

diferencial), debemos encontrar funciones cuyas derivadas sea el producto de por .

La solución de la ecuación diferancial ( ) se puede obtener separando variables y luego integrando,

es decir,

(2.1.2.3)

,resulta que todas las funciones de la forma , con una constante cualquiera, son

soluciones de la ecuación diferencial (2.1.2.1). Podemos comprobarlo directamente:

Observamos, además, que para obtenemos la solución de equilibrio

Hemos encontrado un número infinito de soluciones de la ecuación diferencial, una para cada valor .

Una pregunta natural es si habrá mas soluciones de las que hemos encontrado. Veremos que la

respuesta es negativa, pero en este documento no vamos a justificarlo pues es esto conduce a la teoría

de “existencia y unicidad” de las ecuaciones diferenciales. Para determinar cual de todas las soluciones

32

encontradas cumple la segunda condición del Problema de Condición Inicial debemos encontrar aquella

que verifica la segunda ecuación

Por lo tanto , y una solución del problema de condición inicial es

(2.1.2.4)

Hemos obtenido una fórmula para nuestra solución, no solo una imagen cualitativa de su gráfica.

En el Anexo 1.2 se puede ver la programación dinámica con el Mathematica de ésta solución con

lavariacion de los diferentes parámetros.

2.1.2.1. Caída con resistencia


Un paracaidista (y por supuesto su paracaídas) cae desde el reposo. El peso combinado del paracaidista y

su paracaídas es . El paracaídas tiene una fuerza actuando sobre el (debido a la resistencia del aire) la

cual es proporcional a la velocidad en cualquier instante durante la caída. Asumiendo que el paracaidista

cae verticalmente hacia abajo y que el paracaídas ya esta abierto cuando el salto ocurre, describa el

movimiento resultante.


Dibujamos, como de costumbre, un diagrama físico y de fuerzas (figuras 2.7 y 2.8). Asuma A como el

origen y AB la dirección del eje positivo. Las fuerzas de resistencia R del aire actuando hacia arriba. La

fuerza neta en la dirección positiva (hacia abajo) es . Puesto que la resistencia es proporcional a la

velocidad tenemos

o donde es la constante de proporcionalidad. Puesto que v es siempre

positiva, no necesitamos el signo de valor absoluto, y podemos escribir simplemente . De donde

la fuerza neta es , y obtenemos por la ley de Newton

Figura 2.6

33

(2.1.2.1.1)

Puesto que el paracaidista empieza en el reposo, . Así la formulación matemática

completa está dada por el problema de valor inicial,


La ecuación diferencial tiene sus variables separables. Así,

Puesto que en , y así,

De donde (2.1.2.1.2)


34


Se nota que a medida que , tiende a , una velocidad constante límite. Esto registra lo que

observamos en los paracaídas que viajan a velocidades muy aproximadamente uniformes después de

transcurrido cierto tiempo. También podemos determinar la distancia recorrida por el paracaidista como

una función del tiempo.

De

tenemos

Usando el hecho de que en , encontramos . De donde,

(2.1.2.1.3)

Los gráficos de y como funciones de t se muestran en las Figuras 2.9 y 2.10

2.1.2.2. Ley de enfriamiento de Newton

El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a

la ciencia.

Newton a comienzos del siglo XVIII, utilizando un horno a carbón de una pequeña cocina, realizó el

siguiente experimento. Calentó al rojo un bloque de hierro. Al retirarlo del fuego lo colocó en un lugar

frío y observó cómo variaba su temperatura en función del tiempo. Sus resultados empíricos dieron

lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de “ley de enfriamiento de Newton”.

Los comentarios previos acentúan la genialidad de Newton, interesado por estos problemas de

termodinámica mucho tiempo antes de que el concepto de calor fuera entendido. Destacamos que

Sadi Carnot publicó sus estudios fundamentales sobre el “poder motor del fuego” (La puissance motrice

du feu) cien años después de la muerte de Newton.

35

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. El asesinato de “Edu el comadreja”

William Dunhan, en su libro El universo de las matemáticas, nos cuenta cómo Clara, la novia de “Edu el

comadreja”, se libró de la acusación por el asesinato de éste: Clara pasó la tarde en el bar de Luisa,

bebiendo mucho y amenazando con matar a Edu; a las once y cuarto salió del local maldiciendo,

completamente fuera de sí.

A las 12 de la noche la policía entraba en el apartamento de Edu, tras recibir una llamada anónima,

encontrando su cadáver. Un oficial tomó nota de que la temperatura ambiente era de 68 ºF y la del

cadáver de 85 ºF. Al finalizar el trabajo, dos horas más tarde, se volvió a tomar la temperatura de “el

comadreja”, que había descendido hasta los 74 ºF.

a) Averigua, con los datos anteriores, la constante de enfriamiento del finado Edu, y halla la hora de su

fallecimiento, para comprobar que la despechada Clara tenía una coartada perfecta.


Supongamos que queremos conocer la evolución, a lo largo del tiempo, de la temperatura de un cuerpo

que se encuentra una cierta temperatura en un habitáculo que se mantiene a una temperatura

constante tal. Podemos pensar que la temperatura de dicho objeto depende de la diferencia de la

temperatura del propio objeto y la temperatura ambiente (del habitáculo).Si el cuerpo está muy caliente

y el habitáculo muy frío la pérdida de calor del cuerpo será muy rápida; si por el contrario las

temperaturas del cuerpo y del habitáculo son casi iguales, el cuerpo perderá calor muy lentamente.

Esto es lo que deduce precisamente la ley de enfriamiento de Newton: Cuando la diferencia de

temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, la variación en el tiempo

del calor transferido hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y/o radiación es

aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo y a la

superficie del cuerpo. ¿Cómo podemos expresar esta ley matemáticamente?.Si representa la

cantidad de calor del objeto en el instante t ¿qué concepto matemático nos da una idea de la variación

del calor; es decir de la variación de la función Q? No es otro sino el de derivada. En efecto, sabemos que

la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto a la curva que

representa dicha función. Si la pendiente es grande la función crece muy rápidamente, y si es pequeña la

función apenas crece. Así pues, la derivada de una función en un punto mide la variación de la función en

dicho punto y, aplicando ésto a nuestro caso, la variación de la función calor, , en cada instante t es

. La ley de enfriamiento de Newton se expresa, entonces, mediante la fórmula

(2.1.2.2.1)

36

donde es el coeficiente de transmisión (o intercambio) de calor y A el área del cuerpo.

Por otra parte, si se transfiere una pequeña cantidad de calor, , entre un sistema (en nuestro caso el

cuerpo de Edu) de masa m y su entorno y el sistema experimenta una pequeña variación de

temperatura, , entonces se define la capacidad calorífica especifica, , del sistema(también llamada

calor especifico) como

(2.1.2.2.2)

o, equivalentemente,

. Así pues

(2.1.2.2.3) o más simplificadamente:

(2.1.2.2.4) siendo una constante asociada al material y superficie del

cuerpo.

Como además se cumple que entonces el problema queda formulado a partir del sistema

que coincide con el sistema (2.1.2.2) anteriormente visto.

Vemos de esta forma que la variación de la temperatura del objeto es directamente proporcional a la

diferencia de las temperaturas del objeto y el medio ambiente; ley que concuerda completamente con

nuestra intuición y experiencia.

Solución del Ejemplo Ilustrativo:

La temperatura del cuerpo de “Edu el comadreja” se puede obtener para cualquier instante de tiempo

por la relación

solución de la ecuación diferencial (4)

Sabiendo que , y que podemos calcular la constante de

enfriamiento mediante la relación que en este caso no da

Y por tanto

Para hallar la hora de fallecimiento de Edu, supongamos que la tmeperatura de éste antes de su muerte

es de ( ) por lo que que equivale a

37

-65,53 minutos, es decir Edu murió aproximadamente 5 minutos antes de las once de la noche y por

tanto Clara no pudo habelo asesinado pues a esta hora estaba todavía bebiendo en el bar.

2.1.2.3. Desintegración Radiactiva. Datación de radiocarbono

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. El falso “Discípulos de Emaús7”

Luego de la liberación de Bélgica en la II Guerra Mundial, El Cuerpo de Seguridad Holandés se dio a la

caza de colaboradores nazis. En los registros de una firma que había vendido numerosas obras de arte a

los alemanes, descubrieron el nombre de un banquero que había actuado como intermediario en la

venta a Goering del cuadro “Mujeres sorprendidas en adulterio” del famoso pintor holandés del siglo 17,

Jan Vermeer. Por su parte, el banquero reveló que había actuado en nombre de un pintor holandés de

tercera categoría, H. A. Van Meegeren y, el 29 de mayo de 1945, Van Meegeren fue detenido bajo la

acusación de colaboración con el enemigo. El 12 de julio de ese mismo año, Van Meegeren sorprendió al

mundo anunciando desde su celda que él nunca había vendido “Mujeres sorprendidas en adulterio” a

Goering. Por añadidura, declaró que ese cuadro, y el mucho más famoso y bello “Discípulos de Emaús”,

así como otros presuntos Vermeers y dos de Hooghs (pintor holandés del siglo 17), habían salido de su

propia mano. Para probar este punto, Van Meegeren comenzó, en prisión, a falsificar el cuadro de

Vermeer “Jesús entre los doctores” para mostrar a los escépticos cuán buen falsificador de Vermeer era

él. El trabajo estaba casi listo cuando Van Meegeren supo que una acusación de falsificación había

sustituido a la de colaboración. Por este motivo, él se negó a terminar y a envejecer la pintura, de forma

que los investigadores no pudieran descubrir su secreto de envejecimiento de las falsificaciones. Para

solucionar esta cuestión, se organizó una comisión internacional de ilustres químicos, físicos e

historiadores del arte para investigar el asunto. La comisión aplicó rayos X a los cuadros para saber si

había otras pinturas debajo de ellas. Además, analizó los pigmentos (materiales colorantes) usados en la

tinta, y examinó los cuadros por ciertas señales de vejez.

Ahora bien, Van Meegeren conocía bien esos métodos. Para evitar ser descubierto, raspó la tinta de

viejos cuadros de escaso valor, precisamente para obtener la tela, e intentó usar los pigmentos que

Vermeer hubiera usado. Ademas mezcló en la tinta un producto químico, el fenol formaldehido para

endurecer la pintura.

A la vez, van Meegeren fue descuidado con muchas de sus falsificaciones y la comisión de especialistas

encontró rastros del moderno pigmento azul cobalto. Además, también descubrieron en muchos de los

cuadros el fenol formaldehido, que no había sido descubierto sino hacia fines del siglo 19. Sobre la base

7 Tomado del libro “Diferential Equations and their Applications, Martin Braun.

38

de estas evidencias, Van Meegeren fue declarado culpable de falsificación el 12 de octubre de 1947 y

sentenciado a un año de prisión. Todavía en prisión, sufrió un ataque cardíaco y murió el 30 de diciembre

de 1947.

Mientras, aún a pesar de la evidencia presentada por la comisión de especialistas, muchos aún se

rehusaban a creer que el afamado “Discípulos de Emaús” hubiera sido falsificado por Van Meegeren. De

hecho, el “Discípulos de Emaús” fue certificado como un auténtico Vermeer por el célebre historiador

del arte A. Bredius y fue comprado por la Sociedad Rembrandt por U$S 170000.

Recientemente científicos de la Carnegie Mellon University desarrollaron una pueba científica y

concluyente para probar la falsedad del cuadro.


La clave para establecer la fecha de cuadros y otros materiales tales como rocas y fósiles está en el

fenómeno de la radioactividad, descubierto al final del siglo XIX. El físico Rutherford y sus colegas

mostraron que los átomos de ciertos elementos “radioactivos” son inestables, y que dentro de un

período de tiempo dado, una proporción fija de los átomos se desintegra, para formar átomos de un

nuevo elemento.

Antes de formular matematicamente esta ley, consideremos el fenómeno de radioactividad con algún

detalle. Cuando un elemento radioactivo como el radio o el uranio se desintegra, emite partículas de una

manera aleatoria. Cada una de éstas partículas tiene una masa definida, la cual es pequeña. Si

empezamos con una masa de 1g del material radioactivo y consideramos lo que sucede cunado se

emiten las partículas, encontramos una situación similar a la que muestra la figura 2.11. Aquí, es la

cantidad de sustancia que queda después del tiempo , asumiendo que empezamos con 1 g en .

Cada vez que hay una baja en el valor de significa que se han emitido partículas; entre mas grande sea

la baja, mayor sera el número de partículas emitidas. Así, la cantidad de la sustancia radioactiva es, en

realidad, una función discontinua en t. Entonces, ¿qué se quiere decir con ?.Para obviar esta

dificultad matemática aproximamos la curva verdadera por una curva continua(punteada en la figura

2.11). Así, no cometemos mucho error, y al mismo tiempo aseguramos tener un gráfico para el cual

existirá en toda parte. Aquí estamos construyendo una abstracción matemática de una situación

física debido al tamaño finito aún de la partícula mas pequeña, en otras palabras debido a la teoría

atomica. Como una consecuencia uno debe siempre estar alerta en casos donde estas ideas sean

importantes.

39

Figura 2.11

La ley que gobierna la desintegración radiactiva establece que el número de átomos de una sustancia

radiactiva que se desintegra por unidad de tiempo, la tasa de desintegracion, depende exclusivamente

del número de átomos existentes en ese momento, y que además la cantidad de átomos decrece con el

tiempo.

Por tanto, si es la masa de la sustancia, que es directamente proporcional al número de átomos y

es la tasa de desintegración, entonces la variación de la masa debe satisfacer la ecuación

diferencial

(2.1.2.3.1)

Es razonable suponer que la tasa de desintegración es una función continua que además

satisface que y que , si . Observar que el modelo solo tiene sentido cuando

N , aunque desde el punto de vista matemático la ecuación (4) es válida para cualquier valor de

N . Diremos que la sustancia se desintegra en tiempo finito si existe tal que ,

mientras que diremos que la sustancia se desintegra en tiempo infinito si .

Es claro que los diferentes modelos de desintegración estarán determinados por la correpondiente tasa

de desintegración. El mas usual es el denominado lineal, en el que la tasa de desintegracion es

proporcional al número de átomos existentes, es decir , donde . La constante k recibe

el nombre de constante de desintegración radioactiva y es un parámetro propio de cada sustancia.

Cuánto más grande es k; tanto mas rápido la sustancia se desintegrará.

Así pues en el modelo de desintegración lineal, la ecuación diferencial que determina la variación de la

masa de una sustancia radiactiva está dada por

(2.1.2.3.2)

40

Un párametro importante asociado a cada elemento radiactivo lineal es su semivida, , que es el tiempo

necesario para que la masa de la sustancia se reduzca a la mitad.

Para calcular la vida media de una sustancia en términos de , supongamos que en el instante ,

N .

Entonces la solución del problema de valor incial

es, según vimos

o bien

Tomando logaritmos en ambos miembros, obtenemos

Ahora, si , entonces

De modo que

(2.1.2.3.3)

Por lo tanto, la vida media de una sustancia es dividida por la constante de decaimiento . De aquí

que existe una relación entre la semivida y la constante de desintegración que permite calcular uno de

los dos parámetros conocido el otro. Normalmente, la semivida de una sustancia se determina en un

laboratorio mediante medidas experimentales.

En muchas ocasiones el modelo lineal no es capaz de describir adecuadamente el proceso de

descomposición de una sustancia por lo que debe recurrirse a modelos asociados a tasas de

desintegración diferentes de la lineal y que se denomina genéricamente modelos no lineales.

El tipo mas utilizado es el corresponde a tasas de crecimiento de la forma

, donde

Observar que cuando el modelo corresponde básicamente al caso lineal.

Datación

El hecho de que la constante de desintegración de una sustancia radiactiva no varíe a lo largo del tiempo,

permite elaborar métodos para determinar fechas de sucesos que ocurrieron hace miles o incluso

millones de años. Así, si para una sustancia radiactiva que se desintegra según el modelo lineal (2.1.2.3.2)

se sabe que en los instantes la masa de la sustancia, o el número de átomos de la misma, es

41

, respectivmante, o bien son conocidas las tasas de desintegración de la sustancia, por

ejemplo , respectivamente, entonces la semivida esta determinada por la expresión

(2.1.2.3.4)

Observar que la importancia de las desigualdades anteriores se encuentra en el hecho que conociendo

, o bien , podemos determinar , es decir conociendo la semivida de una

substancia y la cantidad presente en dos momentos concretos, o las tasas de desintegración en dos

momentos concretos, entonces podemos determinar el lapso de tiempo transcurrido entre ambos. A

este proceso se le denomina datación.

Alrededor de 1950, el químico estadounidense Willard F. Libby (1908-1980) inventó un método que

emplea el carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de los fósiles y que le valió el

Premio Nobel de Química en 1960. La teoría de la datación con radiocarbono se basa en que el isótropo

Carbono 14, cuya semivida es de aproximadamente 5570 años, se produce en la atmósfera por acción de

la radiación cósmica sobre el nitrógeno. Dicho isotopo es muy inestable y se desintegra rápidamente,

incorporándose al dióxido de carbono, con lo que se desplaza por la atmósfera para ser absorbido por los

vegetales, de donde pasan a los animales cuando éstos los ingieren. En los tejidos vivientes, la tasa de

ingestión de esta en equilibrio con la tasa de desintegración. Cuando el organismo muere, cesa la

incorporación de , de manera que la concentración del mismo empieza a decrecer.

La suposición fundamental de este método es que la tasa de bombardeo de la atmosfera por rayos

cósmicos es constante en el tiempo, lo que implica que la tasa actual de desintegración de en los

organismos vivos es idéntica a la que se produjo en cualquier instante anterior. Así por ejemplo, si un

fragmento antiguo de madera tiene la mitad de que un árbol vivo, procede un árbol talado hace

5570 años, mientras que si tiene la cuarta parte de el árbol del que fue extraída vivió hace 11140

años. Este método de datación fue usado, por ejemplo, para fechar los muebles de madera en las

tumbas egipcias y las envolturas de lino en los rollos del Mar Muerto. Pese a algunas dificultades

técnicas, el método se considera actualmente capaz de dar una precisión razonable en períodos de

tiempo superiores a 200 años e inferiores a los 40 millones años.

En la mayoría de los casos, la constante de decaimiento es conocida o puede ser calculada. Por lo

demás, podemos usualmente calcular muy fácilmente.

Por lo tanto, si conociéramos , entonces podríamos determinar la edad de la sustancia.

Pero ésta es, exactamente, la dificultad real, ya que usualmente no conocemos .

En algunos casos, sin embargo, podemos o bien determinar indirectamente, o bien determinar

ciertos valores convenientes de , y este es el caso para las falsificaciones de Ven Meegeren.


42

Casi todas las rocas de la corteza terrestre contienen una pequeña cantidad de uranio. El uranio de la

roca se descompone en otro elemento radioactivo, y éste se descompone en otro, y este en otro, y así

sucesivamente formando una cadena que termina en plomo, que no es radioactivo. El uranio (cuya vida

media esta por encima de los cuatro billones de años) es el responsable del mantenimiento de la cadena,

pues a medida que ellos se descomponen son sustituidos por los elementos anteriores a ellos.

Ahora bien, todos los cuadros tienen una pequeña cantidad del elemento radioactivo plomo 210 y una

menor cantidad de radio 226, toda vez que éstos elementos están presentes en la cerusa o albayalde

(óxido de plomo), colorante usado por los artistas desde hace más de 2000 años. Para el análisis que

sigue, es importante observar que el albayalde esta hecho del metal plomo, el que a su vez, es extraído

de una roca llamado reducción. En éste proceso, el plomo 210 del mineral acompaña al metal plomo.

Entretanto, 90/95% de radio y sus descendientes son transformados en otros residuos de fabricación, un

material llamado lava. Por lo tanto, la mayor parte de la dotación de plomo 210 es eliminada y ella

comienza a descomponerse hasta que el plomo 210 del albayalde queda, una vez mas, en equilibrio

radioactivo con la pequeña cantidad de radio presente, ésto es, la desintegración del plomo 210 es

exactamente equilibrada por la desintegración del radio.

Vamos a usar la ahora esta información para calcular la cantidad de plomo 210 presente originariamente

en el instante de su formación.

Sean:

la cantidad de plomo 210 por gramo de albayalde en el instante t.

la cantidad de plomo 210 por gramo de albayalde en el instante de su formación.

el número de desintegraciones de radio 226 por minuto, por gramo de albayalde, en el instante t.

Si es la constante de decaimiento para el plomo 210, entonces

8 (2.1.2.3.5)

y como habíamos visto,

(2.1.2.3.6)

Ahora bien, pueden ser fácilmente medidos. Por lo tanto, si pudiéramos conocer , podríamos

usar la ecuación (2.1.2.3.6) para calcular y consecuentemente, terminaríamos determinando la

edad del cuadro.

Una manera posible de salir de esa dificultad es usar el hecho de que la cantidad inicial de plomo 210

estaba en equilibrio con la mayor cantidad de radio 226 en la misma del cual el metal fue extraído.

8 Notar que la ecuación (2.1.2.3.5) es equivalente a la ecuación diferencial (2.1.2.1) vista, con

43

Tabla 1. Muestras de minerals concentrados. Las tasa d edesintegracion son por gramo de albayalde.

Tomemos, para eso, muestras de diferentes minas y calculemos el número de desintegración del radio

226 en las minas. Esto fue hecho para una serie de minas y los resultados se encuentran en la Tabla 1.

Esos números varían de 0,18 a 140.

Consecuentemente, el número de desintegraciones de plomo por minuto, por gramo de albayalde, en el

instante de la formación podrá variar de 0,18 a 140. Esto implica que podrá variar también en un

intervalo muy grande, ya que el número de desintegraciones de plomo 210 es proporcional a la cantidad

presente. Por lo tanto, no podemos usar la ecuación (2.1.2.3.6) para obtener una evaluación precisa, ni

siquiera aproximada, de la edad del cuadro.

Entretanto, podremos no obstante usar la ecuación (2.1.2.3.6) para distinguir entre un cuadro del siglo

XVII y una falsificación moderna. La base de esa afirmación es que la simple observación de que si la tinta

es muy antigua comparada con los 22 años de la vida media del plomo, entonces la radioactividad del

plomo 210 en la tinta será aproximadamente igual a la radioactividad del radio presente en la tinta. Por

otro lado, si el cuadro es moderno (aproximadamente 20 años de edad, o cerca) entonces la

radioactividad del plomo 210 será mucho mayor que la radioactividad del radio.

Tornaremos preciso ese argumento del siguiente modo. Admitamos que el cuadro en cuestión es o muy

nuevo, o tiene cerca de 300 años. Pongamos años en (2.1.2.3.6). Entonces, después de

algunos cálculos simples, vemos que

(2.1.2.3.7)

Si el cuadro es de hecho una falsificación moderna, entonces podrá ser absurdamente grande.

Para calcular , debemos calcular la actual tasa de desintegración , del plomo 210, la tasa de

desintegración r del radio 226, y . Como la tasa de desintegración del polonio 210 es igual a la del

plomo 210 luego de muchos años, y como es más fácil medir la tasa de desintegración del polonio 210,

44

sustituimos estos valores por los del plomo 210. Para calcular , observamos de (3) que

. Por lo tanto

La tasas de desintegración del polonio y de radio 226 fueron medidas para el “Discípulo de Emaús” y

varias otras falsificaciones alegadas y se dan en la Tabla 2.

Tabla 2. Cuadros de audoeoria cuestionada. Las tasas de desintegracion son por minuto y por gramos de albayalde

Si calculamos ahora de (2.1.2.3.7) para el albayalde del cuadro “Discípulos de Emaús” obtenemos

que es inaceptablemente grande. Por lo tanto este cuadro debe ser una falsificación moderna.

2.1.2.4. Interés Continuo

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. El Testamento de Benjamín Franklin

Entre otras cosas afirmaba en su testamento:

Nací en Boston, y debo mi inicial instrucción literaria a las escuelas públicas de primera enseñanza

establecidas allí, por tanto, en mi testamento he tenido en cuenta a esas escuelas, ... Considero que,

entre los artesanos, son los buenos aprendices los más idóneos para hacerse buenos ciudadanos ...

Quiero ser útil incluso después de mi muerte, si ello es posible, para la formación y el progreso de otros

jóvenes que puedan ser útiles a su país, tanto en Boston como en Filadelfia. A tal fin dedico dos mil libras

esterlinas, de las cuales doy mil a los habitantes de la ciudad de Boston en Massachusets, y las otras mil a

los habitantes de la ciudad de Filadelfia, en fidecomiso y para los usos, intereses y propósitos aquí

mencionados y declarados.

Franklin tenía la idea de prestar dinero a jóvenes aprendices a un interés del 5% con la indicación de que

cada beneficiario debería pagar cada año.

45

...junto con el interés anual, una décima parte de la principal, la suma de la principal y los intereses se

prestará a nuevos beneficiarios. Si este plan se ejecuta y realiza como se ha proyectado durante cien años

sin interrupción, la suma será entonces de ciento treinta y una mil libras, de las cuales nombro

administradores de la donación a los habitantes de la ciudad de Boston, que pueden gastar a su

discreción cien mil libras en obras públicas, ... Las treinta y una mil libras restantes se pondrán a interés

de la manera indicada anteriormente durante otros cien años... Al final de este segundo periodo, si

ningún accidente desafortunado ha estorbado la operación, la suma será de cuatro millones sesenta y

una mil libras.

Los prestatarios no fueron siempre tan numerosos como hubiese deseado Franklin. Al cabo de un siglo,

en enero de 1894, el fondo había crecido hasta unas noventa mil libras, en lugar de las ciento treinta y

una mil previstas.

a) ¿Qué tasa de interés compuesto, de manera continua durante cien años, habría dado lugar a las

noventa mil libras del testamento de Franklin?


El interés que gana una cuenta de ahorros, a menudo se capitaliza o se compone trimestralmente o

hasta mensualmente. No hay razón para detenerse en esos intervalos; el interés también podría

componerse cada día, hora, minuto, segundo, medio segundo, microsegundo, etcétera; es decir, se

podría componer continuamente. Para modelar el concepto de la composición continua del interés

supongamos que es la cantidad de dinero acumulada en una cuenta de ahorros al cabo de t años, y

que r es la tasa de interés anual, compuesto continuamente. Si h > 0 representa un incremento en el

tiempo, el interés que se obtiene en el intervalo es igual a la diferencia entre las

cantidades acumuladas:

(2.1.2.4.1)

Dado que el interés está definido por (tasa) x (tiempo) x (capital inicial), podemos determinar el interés

ganado en ese mismo intervalo mediante , o también mediante

(2.1.2.4.2)

Vemos intuitivamente que las cantidades en (2.1.2.4.2) son las cotas inferior y superior, respectiva-

mente, del interés real en la expresión (2.1.2.4.1); esto es,

o sea

(2.1.2.4.3)

Como queremos que sea cada vez menos, podemos tomar el límite de (2.1.2.4.3) cuando

46

y de este modo se debe cumplir

o sea (2.1.2.4.4)

La ecuación diferencial obtenida tiene la misma forma que la ecuación (2.1.2.1), salvo la constante “ ”

que en este caso es cero.


Haciendo igual cero en la expresión (2.1.2.4) y cambiando “ ” por S, por , “ ” por r y la variable

independiente “ ” por t, tenemos que la solución de la ecuación diferencial deducida para le caso

anterior es .

Ahora, como lo que nos interesa calcular es la tasa de interés entonces de donde

sustitiyendo los datos proporcionados obtenemos ; es decir se pagó

aproximadamente a 3,8% de interés.

2.1.2.5. Farmacocinética

En el apéndice 2.1.1.2 tratamos procesos farmacocinéticos de orden cero para casos de eliminación y

absorción en un solo compartimento en este epígrafe vamos a considerar procesos de orden uno ya que

éstos son mucho mas realistas.

Ejemplo Ilustrativo de Motivación: Estudio farmacocinético del Espidifen

La información completa de este fármaco puede encontrarse en [10]

Espidifen Ibuprofeno

Ficha técnica:

1. Nombre del medicamento: Espidifen 400 mg Espidifen 600 mg

2. Composición cualitativa y cuantitativa: Espidifen 400 mg: Por sobre: Ibuprofeno, 400 mg (arginato).

Espidifen 600 mg: Por sobre: Ibuprofeno, 600 mg (arginato).

3. Posología y forma de administración:

La posología media recomendada es de 1200 mg al día, repartidas de 3 a 4 tomas. Si se detectan

molestias gástricas tras la ingesta del fármaco, se administrara conjuntamente con leche o durante las

comidas. En la artritis reumatoide, puede requerirse dosis superiores pero, en cualquier caso, se

recomienda no sobrepasar la dosis diaria de 2400 mg de Ibuprofeno, teniendo en cuenta que se debe

administrar la dosis menor que se considere efectiva.

47

En la dismenorrea primaria, la dosis recomendada es de 400 mg cada 4horas hasta el alivio del dolor,

también administrando la dosis menor que se considere efectiva.

En los pacientes ancianos la posología debe ser establecida por el médico, ya cabe la posibilidad de que

se necesite una reducción de la dosis habitual. En caso de insuficiencia renal, deberán ajustarse las dosis

ya que el fármaco se elimina preferentemente por esta vía.

4. Propiedades farmacológicas.

4.1. Propiedades farmacodinámicas:

El Ibuprofeno es un fármaco analgésico – antiinflamatorio que también posee propiedades antipiréticas.

Es un derivado del ácido fenil- propiónico, su acción analgésica no es del tipo narcótico y su actividad

farmacológica se basa en la inhibición de la síntesis de prostaglandinas a nivel periférico.

4.2. Propiedades farmacocinéticas:

La especialidad Espidifen permite una absorción del Ibuprofeno elevada y rápida gracias a la presencia

del aminoácido L-arginina, que favorece su solubilización y mejora su biodisponibilidad, alcanzando picos

de concentración plasmática de 25 mg/ml a los 20 minutos de su administración. La administración de

Espidifen no ha evidenciado acumulo de fármaco ni de sus metabolitos, su semivida plasmática es de

unas 2 horas y la excreción del fármaco es prácticamente completa a las 24 horas desde la última dosis

administrada.

El volumen aparente de distribución tras la administración del ibuprofeno por vía oral es de 0,15l/kg, con

una fuerte unión a proteínas plasmáticas en torno al 99%.

4.3. Datos preclínicos sobre seguridad:

En algunos estudios de reproducción en animales se ha observado un incremento en las distocias y

retrasos en el parto, relacionado con la propia acción inhibidora de la síntesis de prostaglandinas de los

antiinflamatorios no esteroideos.

Con toda esta información pretendemos estudiar el comportamiento farmacocinético del ibuprofeno.

Supongamos que el fármaco es eficaz cuando la concentración está entre el 15% y el 85%.

a) Analizar el comportamiento durante las 6 horas posteriores a la administración del medicamento para

poder comprobar que es posible tomar otra dosis.

b) Comprobar que ha desaparecido completamente a las 24 horas de haber tomado la última dosis.

Formulación Matemática

En el caso del ejemplo ilustrativo el fármaco puede distribuirse uniformemente por todos los tejidos, y

por tanto correponde a un modelo monocompartimetal donde el compartimento es todo el organismo.

Modelo de eliminación

48


En este proceso la velocidad de eliminación del fármaco depende de la concentración de éste que hay en

el organismo. Esta dependencia es de tipo lineal y la constante de proporcionalidad es la que llamamos

tasa de eliminación que denotaremos por .

Obtención del modelo:

Denotemos por la concentración del fármaco en el organismo en el tiempo t. Supongamos que la

eliminación es uniforme en todo el organismo, entonces la variación de la concentración cuando ha

pasado un intervalo de tiempo se escribe como:

Y en consecuencia la ecuación diferencial que gobierna la eliminación del fármaco es:

Si suponemos que empezamos a contar el tiempo en el momento en que la concentración ha llegado a

su máximo, entonces , midiendo en tantos por ciento.

La solución de este problema es:

De nuevo, podemos determinar la vida media en términos de la velocidad de eliminación del fármaco

como sigue:

Hay que buscar tal que , y como conocemos la solución entonces

, de donde obtenemos:

,

y en consecunecia

Modelos de absorción


Este caso corresponde a una absorción proporcional a la concentración de fármaco que hay en cada

instante. El modelo se escribe en éste caso como:

donde es la tasa de absorción. Y la solución exacta es:

49


Primeramente estudiamos los datos del proceso de absorción proporcionados:

De los datos farmaconcinéticos: … absorción del Ibuprofeno elevada y rápida gracias a la

presencia del aminoácido L-arginina, que favorece su solubilización y mejora su

biodisponibilidad, alcanzando picos de concentración plasmática de 25mg/ml a los 20 minutos

de su administración…

Aquí nos están dan dando la concentración máxima y el tiempo que tarda en

alcanzarlo minutos. Lo primero como el tiempo lo estamos midiendo en horas pasamos el

tiempo a horas, entonces horas.

De la posología:…La posología media recomendada es de 1200 mg al día, repartidas de 3 a 4

tomas…

de aquí obtenemos un dato que nos va a proporcional en cierto sentido la concentración inicial.

Supongamos que repartimos en 4 tomas, entonces la primera dosis corresponden a 300 mg. La

concentración se calcula a partir de la cantidad de fármaco suministrado y del volumen de distribución

aparente(es el volumen del líquido del cuerpo en el cual el fármaco aparentemente se disuelve), según la

relación:

Cantidad de fármaco = Concentración plasmática X Volumen de distribución aparente.

de donde

Concentración plasmática = Cantidad de fármaco/ Volumen de distribución aparente.

De las propiedades farmacocinéticas…El volumen aparente de distribución tras la administración

del ibuprofeno por vía oral es de , con una fuerte unión a proteínas plasmáticas

entorno al 99%...

De aquí podemos obtener la concentración plasmática inicial, normalmente los cálculos para adultos se

hacen para una media de 60kg de peso, entonces:

Volumen de distribución aparente = 0,15*60 = 91

Una vez conocido el volumen de distribución podemos calcular la concentración inicial:

50

Una vez conocido el valor de la concentración inicial, la concentración máxima y el tiempo

, podemos calcular la velocidad de absorción si utilizamos un modelo de orden 0, y la tasa

de absorción si utilizamos un modelo de orden 1.

Para el modelo de orden 0:


Estudiamos ahora el proceso de eliminación:

De las propiedades farmacocinética… La administración de ESPIDIFEN no ha evidenciado acúmulo de

fármaco ni de sus metabolitos, su semivida plasmática es de unas 2 horas y la excreción del fármaco es

prácticamente completa a las 24 horas desde la última dosis administrada…

A partir de la vida media calculamos la velocidad de eliminación para el modelo de orden 0, y la tasa de

eliminación para el modelo de orden 1.



Con estos datos ya podemos reproducir todo el proceso y contestar a todos nuestros objetivos:

1. Comportamiento durante las 6 horas posteriores a la administración del medicamento. Para poder

comprobar que es posible tomar otra dosis.

En la figura 2.12, vemos las gráficas correpondientes al modelo de orden 0 en rojo, y el modelo de orden

1 en azul. En el prceso de absorción como es bastante rápido en realidad no hay grandes diferencias

entre utilizar el orden 0 o el orden 1. Sin embargo en el proceso de eliminación si que son importantes

las diferencias. Aunque los resultados obtenidos son realistas ya que que se conoce que el proceso de

eliminación del ibuprofeno es lineal (orden1).

51

Figura 2.12. Proceso farmacocinético del ibuprofeno

A partir de ahora nos centramos solo en orden 1, para ambos procesos. Supongamos que cuando la

concentración está por debajo del 15% ya es inefectiva. Hemos calculado gráficamente este valor y

corresponde a 5,5922 como vemos en la figura. Por otro lado, esta figura nos permite comprobar que es

posible suministrar otra dosis, cuando haya pasado 6 horas de la última dosis.

Figura 2.13

2. Comprobar que ha desaparecido completamente alas 24 horas de haber tomado la última dosis.

Como vemos en la figura, efectivamente a las 24 horas ha desaparecido completamente, a partir de las

18 horas prácticamente ya ha desaparecido.

52

Figura 2.14. Proceso farmacocinético dle ibuprofeno a las 24 horas

2.1.2.6. Balance de masa

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. Un problema de mezcla.

Considere un CSTR9 que contiene 1000 L de agua limpia, hacia el que una solución salada de salmuera

empieza a fluir a una velocidad constante de . La solución fluye hacia el exterior del tanque a la

velocidad de . Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de

determínese cuando será de la concentración en el tanque (véase figura 2.15)

Figura 2.15


El principio de conservación de la masa establece que si la cantidad de contaminante en el tanque

aumenta, entonces este incremento no puede haberse producido “milagrosamente” sin ningún

9 Reactor de tipo tanque contaminante agitado(o por sus siglas en ingles CSTR, Continuosly Stirred Tank Reactor)

53

causante; o bien ha venido de algún sitio o bien ha sido producido a partir de alguna reacción química de

otros componentes que ya estaban en el tanque o ambas cosas a la vez. Además si el aumento de

contaminaste ha sido como consecuencia de una reacción química, esta ha tenida que producir, al

mismo tiempo, un decrecimiento en la cantidad de algún otro componente. Por lo tanto, si medimos la

cantidad de contaminante en un instante y volvemos a hacerlo después de pasado un cierto tiempo ,

el principio de conservación de la masa establece que se da el siguiente balalnce:

Nótese que cada término en esta ecuación tiene unidad de masa. Esta forma de balance de masa es útil

cuando el periodo d tiempo en el que se realizan las mediciones está perfectamente establecido.de

forma se podría hacer una tabla con la variación de la cantidad de de contaminante a intervalos fijos de

. Sin embargo, en ingeniería química se trabaja con flujos de masa en vez de con masa propiamente. El

flujo de masa es la cantidad de materia por unidad de tiempo. Para obtener un balance de flujo de masa

(que seguiremos llamando balance de masa) dividimos por y pasamos el primer sumando a la

izquierda:

Ahora las unidades de cada término son masa/tiempo. La parte de la izquierda de esta ecuación

podemos escribirla como donde m significa la cantidad de materia, que se mide en unidades de masa.

Tomando límites cuando , tenemos que

54

A ésta expresión se le denomina acumulación de masa. Además, cuando los dos primeros

sumando de la derecha son los flujos de masa que entra y sale del tanque, respectivamente, y el tercer

sumando es la variación de la masa generada por las reacciones químicas en función del tiempo. La

ecuación resultante se puede resumir como

Acumulación = entrada - salida + generación

O bien (2.1.2.6.1)

Donde es la cantidad de contaminante que entra al tanque por unidad de tiempo, es la cantidad

de contaminante que sale del tanque por unidad de tiempo y es la variación de cantidad de

contaminante que se produce por reacción química en función del tiempo.

Así pues el principio de conservación de la masa expresa en términos cuantitativos un balance de

cantidad de materia que toma en cuenta todas las fuentes y depósitos de un fluido que entra y sale de

un volumen.

Antes de proseguir hay que hacer dos observaciones:

En todos los problemas de balance de masa hay una referencia explícita o implícita a una región

limitada en el que tiene lugar. En nuestro ejemplo anterior, esa región es el tanque. En otro ejemplo

puede ser una región delimitada de un rio, o un lago o un reactor químico. Esa región contiene un

volumen de materia (en estado liquido o gaseosos, normalmente) que puede ser constante o varía

con el tiempo (podemos pensar por ejemplo, que el lago es una presa en el que se retiene el liquido

que entra hasta que alcanza un cierto nivel, y entonces se desagua). A esta región la podemos

llamar región de control del volumen.

En la realidad la cantidad de contaminante puede variar de un punto a otro de la región de

control del volumen. Lo habitual, sin embargo, suele ser simplificar este modelo real y hacer la

suposición de que en todos los puntos de concentración de contaminante es la misma. Esto permite

medirla tomando una muestra en cualquier punto.

La figura 2.17 muestra una representación esquemática del balance de materia.

55

Figura 2.16. CSTR Figura 2.17. Balance de materia

Tomando como modelo el CSTR, teniendo en cuenta que la concentración de materia en todos los

puntos es la misma y usando unidades de concentración de materia, masa/volumen, la cantidad total de

materia presente en el CSTR en el instante es , donde representa la concentración de

contaminante en el instante y es el volumen del liquido presente en el CSTR en el instante . Así

pues la acumulación de masa será:

(2.1.2.6.2)

Los problemas de balance de masa se pueden dividir en dos clases: los que están en estado estacionario

y los que están en estado no estacionario. Un estado estacionario es aquel es el que la concentración y el

volumen no cambien con el tiempo: la concentración y caudal de salida es constante e igual al de

entrada, y por lo tanto la concentración en la región de control del volumen es constante. Así pues, para

los sistemas estacionarios . Los estados no estacionarios son aquellos en los que los caudales

de entrada y salida comienzan o paran en un cierto momento a otro, o hay variación de volumen en la

región de control de volumen. Para los sistemas no estacionarios de modo que la

acumulación mide la variación de la cantidad de materia en relación al tiempo.

Para medir el flujo de masa entrante se usa también la concentración medida en unidades de

masa/volumen. Habitualmente se conoce el caudal de entrada por unidad de tiempo medido en

unidades de volumen/tiempo y la concentración de entrada todo ello en cada instante . De modo

Nótese que las unidades son masa/tiempo.

De forma similar, el flujo de salida de materia es el producto del caudal de salida, multiplicado por

la concentración en le punto de salida. En un CSTR la concentración se supone que es la misma en todos

los puntos de la región do control de volumen . Por lo tanto es la cantidad de

materia que sale del CSRT por unidad de tiempo en el instante .

56

El término generación se refiere a la cantidad de materia (contaminante en el caso del tanque) producida

por reacción química y medida en unidades de masa/tiempo. Esta generación puede ser positiva o

negativa: si os componentes reaccionan para producir contaminante, la generación será positiva; y si lo

hacen para destruir contaminante, será negativa. Esta ganancia o pérdida de contaminante por reacción

química se suele medir, de nuevo, en términos de concentración, no de masa. Por lo tanto, si

representamos con la cantidad de materia producida por reacción química, tenemos que

Donde es la concentración de materia generada por reacción química.

En definitiva, la ecuación del balance de masa es

(2.1.2.6.3)

Por lo general los caudales de entrada y salida y la concentración de entrada son constantes. En tal caso

(2.1.2.6.4)

Finalmente, suele haber un cierto conocimiento de cómo se produce la generación de materia por

reacción química. Las situaciones más habituales son las siguientes, supuestos el volumen constante:

1. Materia conservativa. Cuando no hay generación de materia por reacción química, la materia se dice

que es conservativa. En este caso y la ecuación (2.1.2.6.4) se puede escribir como

(2.1.2.6.5)

2. Decaimiento de orden 0. La pérdida de materia (contaminante) es constante. con

positiva para que la generación sea negativa. Así , por lo que la ecuación (2.2.5.4) se

reduce a

(2.1.2.6.6)

3. Decaimiento de orden 1. La pérdida de materia es proporcional a la concentración de ésta en el

CSTR . En este caso y la ecuación resultante es,

(2.1.2.6.7)

Claramente vemos que las tres situaciones mencionadas responden a una ecuación diferencial de la

forma (2.1.1.1) anteriormente discutida.


Este ejemplo corresponde a un estado no estacionario en un CSTR con sustancia conservativa y el

volumen constante.

57

La cantidad de sal en el CSTR no es conservativa porque esta variando continuamente. En efecto,

inicialmente no hay sal en el tanque, así que si representa la concentración (en kgr / l) de sal en el

tanque en le instante (es decir, después de t minutos desde que empieza a entrar la solución salada de

salmuera), tenemos que . Pero en el “instante siguiente” ya hay una pequeña cantidad de sal en

el tanque. Por lo tanto hay acumulación de sal.

Por otra parte, no hay generación de sal reacción química o de otra naturaleza. El balance de masa viene

dado en este caso por

Además

Porque constante ya que el caudal de entrada y salida es el mismo.

Finalmente

Y la salida es la cantidad de sal que sale por minuto:

Así pues, la ecuación diferencial que rige la evolución de la concentración de sal en el interior del tanque

es: (2.1.2.6.8)

Con la condición inicial .


La solución del problema de condiciones iniciales es:

Como nos piden cuando será la concentración

y por lo tanto

Es decir la concentración de sal en el interior del tanque será de al cabo de 115’52 minutos.

2.1.2.7. Balance de energía

Los balances de energía tienen su funadamentación en le ley de conservación de la energía. Se trata, en

realidad, de la primera ley de la termodinámica que popularmente es conocida bajo la forma: la energía

si se crea ni se destruye se transforma. Por ejemplo, cuando se quema carbón en una planta térmica

para producir electricidad, la energía presente de el carbón se convierte en calor, que a su vez es

convertida en energía eléctrica. Esta energía posiblemente será convertida de nuevo en calor para

acondicionar una casa o usada para hacer funcionar un motor. Por otra parte, los flujos de energía y su

58

trasformación son a menudos la causa de problemas medioambientales. La energía térmica de la planta

eléctrica puede provocar un aumanto de la temperatura del agua de los ríos que a menudo se usan para

enfriar el agua; los cotaminantes que provocan el efecto invernadero en la atmósfera alteran el balance

de energía de la tierra y pueden ser la causa de un aumento significativo de la temperatura global del

planeta, y muchos de nuestros usos de la energía pueden estar asociados a la emisión de dichos

contaminates.

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. Enfriamiento de ácido sulfúrico en un CSTR

Han de enfriarse de ácido sulfúrico, (calor específico y densidad

relativa ) en un CSTR como el que se muestra en la figura 2.18. El ácido a se introduce

en el tanque donde es bien agitado en contacto con un serpentín refrigerante de área y que se

mantiene constante a la misma temperatura de . La capacidad del tanque es de 4536 l de ácido y el

coeficiente de trasmisión de calor entre el serpentín y el ácido es de y se puede

suponer constante. Suponiendo que el caudal de salida del ácido sulfúrico del tanque es el mismo que el

de entrada. ¿A qué temperatura sale el ácido sulfúrico del tanque en cada instante de tiempo?

Figura 2.18.Enfriamiento de ácido sulfuric o en un CSTR


Podemos llevar la cuenta de los movimientos de energía y sus cambios de forma utilizando los balances

de energía. Estos son análogos a los balances de masa que ya hemos discutidos en la sección anterior.

Ahora bien, en los balances de energía no hay un término análogo al de la reacción química que

aparecen al los balances de masa. Es decir, podemos tratar la energía como una sustancia conservativa:

el término “generación” de los balances de masa es siempre 0. Por consiguiente, un balance de energía

se expresa mediante la ecuación:

o equivalentemente

59

donde son los flujos de energía (energía por unidad de tiempo) que entran y salen del sistema

Las formas de energía que interviene pueden ser diferentes y hacer difícil el planteamiento de uno de

estos balances. Nuestro objetivo es plantear un par de ejemplos sencillos en los que la energía involucra

el calor.


De forma evidente el recipiente de control de volumen es el tanque de enfriamiento del ácido sulfúrico y

vamos a suponer que la capacidad calorífica de ácido sulfúrico permanece constante a lo largo de todo el

proceso. Presentamos de nuevo un balance de energía:

y el flujo de de energía es debido al flujo de calor aportado por el ácido sulfúrico:

En este caso debemos calcular porque este dato viene dado en forma de caudal en unidades .

Pero

Siendo la densidad relativa de ácido sulfúrico y el caudal de entrada. Así .

Analizando ahora el flujo de energía saliente. Esta es la energía aportada por el ácido sulfúrico en el

interior del tanque, la cual, a su vez, es debido al calor del acido sulfúrico y al calor (en realidad

enfriamiento) aportado por el serpentín. Según la ley de Newton de enfriamiento): siendo

el coeficiente de trasmisión de calor y el área del serpentín. Y el flujo de calor aportado por el ácido

sulfúrico en el tanque: siendo la temperatura del acido sulfúrico en el interior del tanque.

Además, como más arriba . Entonces

Finalmente, el ácido en el interior del tanque no está en estado estacionario porque está continuamente

cambiando de temperatura por la acción del serpentín que lo enfría. Por lo tanto, hay acumulación. Esta

es la variación del calor del ácido sulfúrico. Recordemos que , de modo que

Ahora bien así que

El balance de energía proporciona la siguiente ecuación deferencial:

o, equivalentemente,

60

que es una ecuación lineal homogénea y también una ecuación en variables separables equivalente a la

ecuación (2.1.2.1) tratada.

Veremos esto mejor dando los valores correspondientes a cada uno de los símbolos:

, , , , ,

, , , ,

Así

Teniendo en cuenta que la temperatura en el tanque antes de poner en marcha el serpentín es la de

entrada, tenemos que . Resolviendo éste problema de condiciones iníciales, obtenemos

La temperatura del ácido sulfúrico después de, por ejemplo, una hora sería .

2.1.2.8. Modelo de Malthus.

El estudio de la evolución de poblaciones representa un problema complejo que puede ser abordado

mediante ecuaciones en tiempo continuo o ecuaciones en tiempo discreto (Fulfor y otros, 1997).

Cuando se trata de modelar una población, donde los individuos solo se aparean en periodos del año

espaciados regularmente (este es el caso de muchas especies de mamíferos), se emplean

aproximaciones en tiempo discreto.

Por el contrario, cuando se trata de modelar poblaciones con gran número de individuos, que se

pueden aparear o morir en cualquier momento, puede realizarse una aproximación y considerar que la

reproducción o la muerte de individuos tiene lugar de forma continua. Esta última situación es la que se

estudia en este apartado.


Sir William Petty trabajaba en el registro de defunciones de la ciudad de Londres a finales del siglo XVII.

Observó que el tiempo de duplicación de la población en esta ciudad era de unos 40 años, pero que éste

valor era debido en buena medida a la inmigración. La población mundial en el año 1700 se estimaba en

320 millones de personas. Si consideramos como Petty que los únicos 8 supervivientes del diluvio

61

universal abandonaron el arca de Noé el 2700 aC. ¿Cuál fue el tiempo de duplicación de la población

mundial entre éste momento y el 1700 dC?


El problema consiste en encontrar una función que represente el número de habitantes que

componen la población en el instante de tiempo . puede tomar cualquier valor real; esto no supone

ningún inconveniente ya que la población se considera tan grande que la diferencia entre uno o dos

individuos no trae ningún tipo de consecuencias.

Como es lógico, las ecuaciones que se presentan aquí representan situaciones ideales, aunque son la

base de modelos más realistas que han tenido mucho éxito a la hora de estudiar diversos tipos de

poblaciones animales.

Las hipótesis de trabajo son las siguientes:

Como el número de pobladores es muy alto, la población se considera como un todo, sin

distinguir entre individuos, se entiende que el crecimiento de la población se modela mediante

un comportamiento que representa la media de los componentes de la población.

Cada individuo tendrá la misma probabilidad de procrear y de morir.

Para asegurar la anterior hipótesis, la relación entre machos y hembras ha de mantenerse

constante y han de ser igual en número.

No es tenida en cuenta la diferencia de edad entre los miembros de la población.

La población está aislada.

Si denota la cantidad de individuos en la unidad de tiempo, que generalmente se toma como un año,

se define la tasa de crecimiento T como la diferencia entre las tasas de natalidad y la tasa de

mortalidad , que por supuesto, dependen del número de individuos de la población. Así pues, y

representan el número total de nacimientos y muertes en la unidad de tiempo, dividida por la

población total al comienzo del periodo. Si el tamaño de la población es suficientemente grande, es

razonable suponer que la cantidad de individuos varía de forma continua e incluso diferenciable con el

tiempo. Entonces, la tasa de crecimiento dependerá continuamente de la población y la tasa de

crecimiento instantánea estará determinada por la relación

. En definitiva, el tamaño de

la población esta regido por la ecuación diferencial

(2.1.2.8.1)

62

Es claro que los diferentes modelos de crecimiento estarán determinados por la elección de la tasa de

crecimiento instantánea.

En este tipo de modelos no está contemplada la condición, contrastada por la experiencia, de que para

que una población pueda sobrevivir es necesario que su tamaño supere un valor, que denominaremos

umbral de subsistencia y que denotaremos por . La incorporación de este umbral al modelo anterior

conduce a la ecuación diferencial

(2.1.2.8.2)

En particular, si la población umbral se toma como cero recuperaremos el modelo inicial (2.1.2.8.1).

Observar que si la tasa de crecimiento es no negativa, entonces el tamaño de la población disminuye

para valores inferiores a la población umbral.

Recursos ilimitados (Modelo de Malthus):

En este modelo se supone que se dispone de recursos ilimitados y que la tasa de mortalidad y natalidad

se mantienen constantes y por tanto da lugar a la ecuación diferencial

(2.1.2.8.3)


En el caso en que y , obtenemos un crecimiento (exponencial) ilimitado de la población,

siguiendo la curva (figura 2.19). Para la población tiende a extinguirse a medidas

que el tiempo avanza, mientras que si , la población se mantiene constante igual a su valor inicial

.

Del problema se sabe que en el momento inicial correspondiente al año 2700 aC existen 8

personas, sobrevivientes del diluvio, por tanto . Ahora, se sabe también que después de 4400

años es decir en el año 1700 dC la población era de 320 millones por tanto,

de aquí que,

Por lo que .

Para darle solución a nuestro problema hay que calcular t para (el doble de la población

inicial).

De aquí que años.

63

Figura 2.19

La mismas soluciones a la ecuación nos indican algunas de las limitaciones del modelo.

En efecto, estamos suponiendo:

i) El hábitat considerado es cerrado, es decir no permite interacciones con el exterior, por

ejemplo de inmigración o emigración de individuos.

ii) La tasas de crecimiento y muerte son constantes, en realidad no tiene porque ser así

necesariamente, entre otras razones porque a mayor población, si el hábitat es cerrado,

menos recursos, lo que debe suponer menor ritmo de crecimiento, o mas muertes. Por otro

lado, el medio natural siempre supondrá una limitación al crecimiento de una especie.

iii) Es evidente que una especie no puede crecer hasta el infinito, por lo que la simplificación

que supone el modelo aporta resultados irrealistas.

En realidad, este tipo de modelo solo es válido en experimentos controlados en laboratorio y para

algunas especies de microorganismos, y solo en sus etapas iniciales de desarrollo. Podemos afirmar, por

tanto, que se trata más de un modelo académico que real.

2.1.2.9. Ecuación de Von Bertalanffy

En pesquerías, el estudio del crecimiento de los organismos es uno de los temas de investigación de

mayor importancia. Varios han sido los autores que mediante métodos matemáticos han tratado de

describir el crecimiento animal; entre ellos, Von Bertalanffy (1938) es quien ha logrado desarrollar la

formulación matemática que mejor satisface ciertas condiciones primordiales, como son, por ejemplo,

que: a) la ecuación matemática sea coherente con el proceso biológico del crecimiento, b) la formulación

64

se pueda incorporar fácilmente en los modelos de dinámica de poblaciones y de administración de

recursos pesqueros, y, lo más importante, c) la ecuación se ajuste bien a la mayor parte de los datos

observados acerca de crecimiento en peces.

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. Crecimiento de peces.

En la presa “Minerva” de nuestra provincia de Santa Clara existe una población de tilapias cuyo factor de

crecimiento es de 0,5 por año. Para un años construya una tabla que represente la evolución

de su crecimiento a través de 5 años.

Figura 2.20


Sea el crecimiento (la talla) de una especie a través del tiempo, y aceptando de manera natural que

este crecimiento no es constante puesto que la propia talla de la especie regulará su crecimiento,

podemos concluir la siguiente ecuación dinámica:

(2.1.2.9.1)

Digamos que la constante a es una tasa "normal" de crecimiento, donde a > 0, y esta constante de

crecimiento es "retardada" por la propia talla, y que supondremos que el "efecto de retardo" será

proporcional a la talla anterior, de modo que la expresión completa " " es la tasa de aumento

de la talla, donde (para que tenga el efecto de reducir el valor de a), y las unidades de a y b son

cms/año (rapidez) y 1/año (frecuencia), respectivamente.

De la expresión (2.1.2.9.1) podemos concluir que el aumento por unidad de tiempo es

(2.1.2.9.2)

y el primer miembro de esta última igualdad, para pequeño, es igual a la derivada ,

Por tanto, la ecuación que describe el crecimiento en longitud está dada por:

65

(2.1.2.9.3)

que es una ecuación diferencial lineal cuya solución se calcula fácilmente por el método de separación

de variables como ya habíamos visto. La solución de (2.1.2.9.3), conocida como ecuación de crecimiento

en longitud, de Von Bertalanffy, está dada por:

(2.1.2.9.4)

donde

: denota la longitud (talla) del pez a la edad t.

: es una constante, que representa la longitud asintótica o la talla teórica máxima que el pez puede

alcanzar cuando t tiende a infinito.

: representa la constante de crecimiento.

: representa la edad.

: “ parámetro de condición inicial" y no tiene un significado biológico directo, puesto que

necesariamente debe ser negativo, si bien es cierto que su unidad es la unidad de tiempo (por lo general

años), ya que si no es negativo, entonces la variable t que indica la edad del pez en algún momento

alcanzará el valor de (si lo suponemos positivo), y en ese valor tendríamos el absurdo que


Según vimos, la ecuación d ecrecimiento de longitud para un pez es que en

nuestro caso queda como

, por lo que la evolución de las tilapias en la presa “Minerva” a lo largo de

5 años sería:

edad del pez

(años)

talla del pez

(cms)

0.5 14.7655

1 22.5594

1.5 28.6292

2 33.3564

2.5 37.0379

3 39.9051

3.5 42.1381

4 43.8771

66

4.5 45.2315

5 46.2863

2.1.2.10. Modelo de Harrod-Domar.

El crecimiento económico es tal vez uno de los aspectos más relevantes al interior de la sociedad.

Salai-Martín [11] en su libro Apuntes de Crecimiento Económico, dice: “Sin ningún género de dudas, la

teoría del crecimiento económico es la rama de la economía de mayor importancia y la que debería ser

objeto de mayor atención entre los investigadores económicos”.

Cabe destacar que luego de una fase en la cual la teoría del crecimiento económico prácticamente

desapareció del espacio de interés de los académicos a finales de la década del sesenta del siglo pasado,

lo cual obedeció a una estructura formal bastante compleja y rigurosa, sin ningún sentido práctico en los

modelos desarrollados, este fructífero campo ha resurgido con una fuerza inusitada a partir de la

segunda mitad de la década de los ochenta, gracias a la tesis doctoral del señor Romer(1986), y la

posterior bendición de Lucas(1988). Hoy en día es un espacio académico e investigativo bastante

promisorio.

En esencia, el fenómeno del crecimiento económico ha estado presente al interior de los desarrollos

teóricos de los primeros intelectuales que se preocuparon por problemas de índole económico, es el

caso de Adam Smith (1776), David Ricardo (1817) y Thomas Malthus (1798), los cuales establecieron los

cimientos del moderno enfoque que se ha determinado para la teoría del crecimiento económico; sus

planteamientos básicos se fundamentan en las hipótesis de rendimientos marginales decrecientes,

estructuras de mercado competitivas y equilibrios dinámicos. Pero es Ramsey (1928), el que establece el

primer modelo de crecimiento económico fundamentado en el cálculo de variaciones.

A partir del marco teórico implementado por Ramsey, surge a finales de la década de los años treinta, el

modelo desarrollado por Harrod (1939) y Domar (1946), dichos autores establecieron un punto de

referencia lógico que esbozó la situación evidenciada por la coyuntura económica de la época, la cual se

reflejó en los desastres económicos ocasionados por la gran depresión de finales de la década de los

veinte.


Considerese una economía que evoluciona según los supuestos del modelo de crecimiento de Harrod –

Domar. Obtenga una ecuacion diferencial que modele dicho fenómeno.


67

La historia económica lleva a concluir que los trabajos de crecimiento económico de Harrod en 1939 y

posteriormente de Domar en 1946, pueden ser considerados como los precursores en el inicio del

interés contemporáneo por las teorías modernas del crecimiento económico hecho que, sin lugar a

dudas, lleva a que el punto de partida del estudio de los modelos de crecimiento económico, sea el

análisis de lo que comúnmente se conoce como el modelo de crecimiento de Harrod-Domar. Dicho

marco se considera el punto de inicial de referencia, dada la poca aceptación y difusión en el medio

académico del esquema pionero implementado por Ramsey (1928).

Es posible aseverar que el enfoque dado por Harrod a su modelo de crecimiento, enfoque similar

tomado por Domar en el suyo, es eminentemente keynesiano pues fue este planteamiento el que lo

inspiró para tratar de dinamizar la macroeconomía, intento que en el momento se constituía en la

panacea de la teoría económica.

Hay dos versiones matemáticamente equivalentes de este modelo: la primera parte de una relación

técnica entre capital y producto que supone constante, mientras que la segunda invierte la lectura de

esta misma relación y la interpreta como un multiplicador del aumento de capital deseado

correspondiente al aumento planeado en la producción.

Los supuestos clave de este modelo son los de pleno empleo de los factores disponibles (explícito para el

capital en la primera variante e implícito en la segunda, y explícito en ambas variantes para la fuerza de

trabajo o empleo), y el supuesto de ausencia de inversión autónoma, es decir, la identidad entre ahorro

previo e inversión.

El modelo Harrod-Domar establece que un cambio en la tasa del flujo de inversión producirá un doble

efecto. El primero se da a través del acelerador al alterar la capacidad productiva de la economía, en

tanto que el segundo opera a través del multiplicador, y afecta a la demanda agregada. En efecto,

tomando cada uno de estos operadores y repasándolos con algún grado de profundidad se tiene:

• El acelerador:

Este principio señala que un aumento del capital necesario para incrementar la capacidad productiva en

una cuantía dada, es un valor constante, es decir, la variación en la producción ante cambios en el capital

se mantiene inalterada a través de la trayectoria temporal de las variables en cuestión.

(2.1.2.10.1)

El hecho de que aparezca explícitamente sólo el factor productivo capital en el principio del acelerador,

no implica que la función de producción dependa únicamente de este factor, sino que la relación

implícita entre los factores productivos es complementariamente perfecta. La función de producción que

recoge explícitamente éste hecho es la función de coeficientes fijos de Leontief. Debido a la existencia de

68

esta proporción fija, todo aumento de uno de los factores sin el consiguiente aumento del otro deja la

producción inalterada. En tal caso y de manera formal se tiene:

en donde son los coeficientes técnicos (constantes) del capital y el trabajo efectivo,

respectivamente.

Ahora, suponiendo una tasa de crecimiento para la población (n) constante10, al igual que la tasa de

crecimiento de la eficiencia laboral (g) se tiene.

Es preciso anotar, además, que otra característica de la función de producción es la presencia de

rendimientos constantes a escala:

(2.1.2.10.2)

Teniendo en cuenta que se cumple (2.1.2.10.1), nos econontramos con que el stock de capital que se

genera debe ser aquel que los empresarios consideran adecuado en función de las necesidades que se

derivan del Nuevo nivel d eproduccion y d erenta. Ademas, al no existir depreciacion, nos encontramos

con que la tasa de variación del capital K dería igual al nivel de inversión, por lo que la ecuación

(2.1.2.10.1) queda de la siguiente forma:

• El multiplicador:

Principio basado en el hecho de que los agentes consumen (o ahorran) una proporción constante de su

ingreso, es decir

(2.1.2.10.3)

Bajo un entorno de economía cerrada y sin gobierno (ó saldo de exportaciones netas igual a cero y un

gobierno que mantiene su presupuesto equilibrado mediante unos impuestos de suma fija “no

distorsionadores” en cada instante del tiempo) se cumple la igualdad macroeconómica entre inversión y

ahorro.

(2.1.2.10.3) obteniéndose así la ecuación diferencial que modela

dicho fenómeno.

2.1.2.11. Circuitos eléctricos.

10 Dado el supuesto del pleno empleo, la fuerza laboral ocupada es igual al tamaño de la población.

69

En mecánica clásica hemos tratado de obtener el conjunto mínimo y más compacto de ecuaciones o

leyes que no permitieran analizar el comportamiento de los sistemas físicos. Las tres leyes de Newton

proporcionan el marco o sistema de referencia.

Las ecuaciones básicas del electromagnetismo se conocen como las ecuaciones de Maxwell, en honor del

físico escoses James Clerk Maxwell (1831-1879).

Así como no podemos entrar en una discusión de mecánica relativista o cuántica debido a la

insuficiencia de conocimentos previos de los estudiantes tampoco podemos entrar en la discusión de las

ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, así como las leyes de Newton son suficientes para el movimneto

de “objetos de diario”, la ley de Kirchchoff es ampliamente adecuada para estudiar las propiedades

simples de los cicuitos eléctricos.

Ejemplo Ilustrativo de Motivación

Un generador con una fem de 100 voltios se conecta en serie con una resistencia de 10 ohmios y un

inductor de 2 henrios. Si el interruptor K se cierra en el tiempo , establezca una ecuación

diferencial para la corriente y determine la corriente en el tiempo t.

Fundamento Teórico

En la mayoria de los circuitos se requiere una fuente de energía externa para mover cargas dentro del

circuito. Por tanto, el circuito debe incluir un dispositivo que mantenga una diferencia de potencial entre

dos puntos del mismo. Cualquier aparato que lleve a cabo ésta tarea en un circuito eléctrico recibe el

nombre de fuente de furerza electromotriz (E, abrev fem).

En física elemental encontramos que la fem esta relacionada con el flujo de corriente en el cicuito. En

forma simple, la ley dice que la corriente instantanea (en un circuito que contien solo una fem y una

resitencia) es directamente proporcional a la fem.

de donde, (2.1.2.11.1)

donde es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resonancia o, simplemente,

resistencia. Las unidades, generalmente conocidas como “unidades prácticas” son tales que está en

vlotios, está en amperios y en ohmios. La ecuación (2.1.2.11.1) es familiar al estudiante de física

elemental bajo el nobre de Ohm.

Circuitos más complicados, pero para muchos casos más prácticos, son circuitos que contienen otros

elementos distintos a resitencias. Dos elementos importantes son inductores y condensadores.

70

Un inductor se opone a cambios en corriente. Tiene un efecto de inercia en elctricidad de la misma

manera que una masa tiene un efecto de inercia en mecanica. De hecho la analogía es bastante, y se

podría decir mucho acerca de esto. Un condesador es un elemento que almacena energía.

En física hablamos de una caída de voltaje a través de un elemento. En la práctica podemos determinar

esta caída de voltaje, o como se llama comunmente, caída de potencial o diferencia de potencial, por

medio de un instrumento llamado voltímetro. Experimentalmente las siguientes leyes se cumplen.

1. La caída de voltaje a través de una resistencia es proporcioanl a la corriente que pasa a través de la

resistencia.

Si es la caída de voltaje a través de una resistencia e es la corriente, entonces o

donde es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o simplemente

resistencia.

2. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instántanea de cambio

de la corriente.

Si es la caída de voltaje a través de un inductor, entonces

o (2.1.2.11.3) donde es la constante de proporcioanlidad llamada el coeficiente

de inductancia o simplemente la inductancia.

3. La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctrica instantánea en el

condensador.

Si es la caída de voltaje a través de un condensador, y Q la carga instántanea, entonces

o (2.1.2.11.4)

donde hemos tomado como la constante de proporcionalidad, C se conoce como el coeficiente de

capacitancia o simplemente capacitancia.

En la Tabla 3 se muestra como se indican y se calculan los diferentes elementos de un circuito:

Elementos del

circuito Unidades Tensión Intensidad Potencia

Ohmios ( )

(Ley de Ohm)

71

Henrios (H)

Faradios (F)

Tabla 3. Elementos de un circuito

Primera ley de Kichchoff

La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero. (Es decir, el

voltaje suministrado fem es igual a la suma de las caídas de voltaje)


Considerando la figura 2.22, y llamando a la corriente en amperios que fluye como se ilustra, tenemos:

Figura 2.22

1) Voltaje suministrado igual a 100 voltios.

2) Caída de voltaje a través de la resistencia

3) Caída de voltaje a través del inductor ( ). De donde por la ley de Kirchhoff,

(2.1.2.11.5)

Puesto que el interruptor se cierra en , debemos tener .


72

La ecuación (2.1.2.11.5) puede también resolverse por separación de variables. El grafico de contra t se

muestra en la figura 2.23.

Note que la corriente es cero en y crece hacia un máximo de 10 amperios aunque teóricamente

nunca lo alcanza.

Figura 2.23

2.2. EDOs no lineales de primer orden.


La ecuación diferencial propuesta es una ecuación diferencial no lineal de primera orden utilizada por

primera vez por Verhulst para modelar dinámica de poblaciones como veremos mas adelante. Éstos

modelos se llaman logísticos (de la palabra griega logistikos, que significa racional) y son ampliamente

usados en las ciencias de la vida.

Solución Analítica.

Consideremos el problema de Cauchy siguiente,

(2.2.1.1)

Separando variables e integrando por el método de fracciones simples tenemos,

y como para entonces,

de donde

de aquí que,

y finalmente (2.2.1.2)

73

Esta solución se conoce como la función logística, la cual esta acotada ya que

En este tipo de curvas cuando , y si , éstas curvas tienen un punto de

inflexión, donde la concavidad cambia de signo, en el cual la velocidad de crecimiento adquiere su valor

máximo, dicho punto se encuentra pues, en el máximo de la función

y como esta representa una parábola que se abre hacia abajo, y corta al eje horizontal en 0 y en , su

máximo se encuentra en el vértice o sea cuando .

2.2.1.1. Propagación de rumores

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. Exámen de ecuaciones diferenciales

El 2% de los alumnos de la asignatura Ampliación de Matemáticas difunden a las 12h de un lunes el

rumor de que el martes a las 11h tendrá lugar un examen sorpresa de ecuaciones diferenciales

ordinarias. Sabiendo que el lunes a las 14h la noticia es conocida por el 5% de los alumnos, ¿ cuál es el

porcentaje de alumnos que a la hora de comienzo de la clase del martes conocen la noticia?


Suponemos que en una pequeña comunidad en la que todos los individuos se conocen, una noticia se

transmite de boca a oreja. Se supone ademas que la notica no se olvida y que el numero de personas que

se enteran de ella por primera vez en un instante dado depende primero de la posibilidad de encuentro

entre los individuos que la conocen y los que no la conocen y tambien de la intencion de trasmitir el

rumor por parte del individuo informado así como del interés por oirlo por parte del no informado.

Si es el tamaño de la población y denotamos por a la cantidad de individuos informados en el

instante , la probabilidad de encontrar un individuo informado y la de encontrar uno desinformado son

, respectivamente y por tanto la probabilidad de encuentro de tal tipo de individuos esta

dada por . Agruparemos la cosntante en un parámetro que recoja tambien el

resto de consideraciones planteadas para la difusión del rumor. Así pues la ecuación que determina el

número de individuos informados está dada por

(2.2.1.1.1)

En este caso si planteamos resolver un problema de valores iniciales con , aunque

matematicamente tiene sentido tomar cualquier valor de , para que el problema no pierda significado

debe satisfacerse que .

74

Para el caso del ejemplo ilustrativo propuesto tenemos que,


Sabemos que la solución de la ecuación logística para viene dada por (2.2.1.2)

Luego para nuestro problema donde tenemos,

. Aplicando la condición de que a las 14 h del lunes la noticia es conocida por el 5%

entonces encontramos el valor de . De aquí que la cantidad de personas que concen del

exámen sorpresa en cualquier timepo es,

. Sustituyendo por último en esta última ecuación , obtenemos

Es decir el 99,9% de los estudiantes concen la noticia.

2.2.1.2. Eficacia de la Publicidad.


Una persona vende en su casa piezas de computadoras a un precio determinado el cual para acelerar la

venta pone un anuncio en un programa de la emisora CMHW. Supongamos que que solo compran estas

piezas aquellos que la necesitan para arreglar sus computadoras rotas. Si se sabe que existen 5000

personas que necesitan algún tipo de pieza (pueden pagarlas) y además en el momento del anuncio solo

conocen de ésta venta 10 personas, Determine en que tiempo el anuncio es conocido por 4000 de éstas

personas si al cabo de 3 horas lo conocen solo 15 personas.


Supongamos que unos establecimintos comerciales venden la producción B, lo cual en el instante solo

se sabe por compradores entre un número de compradores potenciales. Supongamos luego que

para acelerar la venta de la producción B ha sido organizada la radio y teledifusion comercial. La

información ulterior se difunde entre los compradores mediante sus contactos personales. Con un grado

suficientemente grande de seguridad se puede considerar que después de los anuncios de reclamo la

velocidad con que varía el número de personas que saben de la producción B, es proporcioanl tanto al

número de compradores que saben de esta mercancía, como al número de compradores que todavía no

la conocen.

Si se conviene en que el tiempo se cuenta después de los anuncios de reclamo, cuando personas se

enteraron de la mercancía, entonces llegamos a la ecuación diferencial

(2.2.1.2.1)

75

Con las condiciones iniciales de que para . En la ecuación (2.2.1.2.1) es el coeficiente de

proporcionalidad positivo.


En nuestro ejemplo como , y entonces .Utilizando la condición

encontramos y cuando personas, .

Es decir en aproximadamente 56 h , 4000 de las 5000 personas conocen de la venta.

2.2.1.3. Propagación de enfermedades.

Un problema importante de biología y medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una

enfermedad contagiosa, esto es una enfermedad que puede trasmitirse de un individuo a otro. La ciencia

que estudia éste problema se llama epidemiologia, y si un porcentaje grande no común de una población

adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.

Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados. Por

ejemplo, se sabe que algunos individuos pueden no adquirir realmente una enfermedad auún cuando

estén en contacto con personas enfermas por un periodo largo de tiempo. Se dice en tales casos que el

individuo tiene una inmunidad a la enfermedad ya sea porque ha adquirido la enfermedad antes

desarrollando defensas contra la recurrencia o porque tenga una resistencia inicial (inmunidad natural)

para no adquirir la enfermedad de ninguna manera. En algunos casos hay individuos que son inmunes a

la enfermedad pero aun son capaces de trasmitirla a otros; en tales casos ellos se llaman “trasmisores”.


Una epidemia se desarrolla en una población de forma tal que, en cada momento del tiempo, la

velocidad de desarrollo de la infección es directamente proporcional al número de personas enfermas

por el numero de personas sanas. Si la población tiene 10000 habtiantes, y se sabe que el número de

personas infectadas inicialmente era de 50 junto con que al cabo de tres días había 250 enfermos.

Averiguar el número de enfremos que habrá al cabo de 12 días.

Formulación matemática.

Supóngase que en cualquier tiempo t hay personas infectadas y personas no infectadas. Entonces

si N es el número total de la poblacion, asumiendo constante, tenemos

(2.2.1.3.1)

La tasa de cambio en el número de personas infectadas está dada entonces por la derivada .

Ésta derivada debería depender de alguna manera de y así de en virtud de (16). Asumiendo que

, como una aproximación, es una función cuadrática de tenemos

76

(2.2.1.3.2)

donde son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de , esto es, sea

cero donde , esto es, no hay personas infectadas, y donde , ésto es, todos las personas

estén infectadas. Entonces de (2.2.1.3.2) tenemos

y o

Así que (17) se convierte en o

esto es, (2.2.1.3.3)

donde es una constante. Si suponemos que inicialmente, , hay personas infectadas,

entonces

en (2.2.1.3.4)

Así, nuestra formulación matemática corresponde a un problema de valor inicial dado por (2.2.1.3.3) y

(2.2.1.3.4).


La ecuación diferencial (2.2.1.3.3) es separable y su solución ya la habíamos discutido.

De aquí que, tomando y obtenemos,

. Considerando que podemos hallar el valor , luego

y en un periodo de 12 días hay contagiadas 7661 personas.

2.2.1.4. Ley de Verthulst.

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. Censo de población

De acuerdo a la Oficina de censos, la población de los Estados Unidos en el periodo, 1790-1810 esta dada

por la Tabla 2. Usando éstos datos, estime para una población máxima de 180 millones la población en el

año 1920.

Año Población

(millones)

1790 3,93

1810 7,24

77


Recursos limitados

En un modelo más elaborado, es razonable tener en cuenta que en tamaños suficientemente grandes de

poblaciones aparecen problemas de conflictividad social tales como superpoblación, escasez de

alimentos y por tanto competencia por los mismos, etc, que deben conducir por tanto a una

modificación de la ley de Malthus.

Diremos que es una función de conflictividad social si es continua, estrictamente

creciente y satisfacer además que y . Observar que las propiedades de

esta función responden al hecho en ausencia de población no existe conflictividad, y también a que la

conflictividad aumenta con el tamaño de la población.

En corrección del modelo malthusiano conocido como Ley de Verhults, la tasa de crecimiento de la

población tiene en cuenta los fenómenos de conflictividad social y esta determinada por la expresión

, donde y es una función de conflictividad que satisface que , lo

que significa que la conflictividad es moderada en el entorno de la población umbral. Así pues el tamaño

de una población que evoluciona según la Ley de Verhults es solución de la ecuación diferencial

con (2.2.1.4.1)

Donde f es una función de conflictividad. Observar que desde este punto de vista el modelo malthusiano

corresponde a considerar nula la conflictividad social, aunque naturalmente la función nula no satisface

los requerimientos impuestos a una función de conflictividad.

Uno de los modelos más realistas es aquel en el que la tasa decrece linealmente en función de la

densidad de la especie debido a la limitación de recursos ((o incluso a razones de índole cultural), es

decir , donde recibe el nombre de coeficiente de conflictividad, que debe satisfacer

que . En este caso particular el modelo de Verhults recibe el nombre de Modelo Logístico, y se

expresa mediante la ecuación diferencial

con (2.2.1.4.2)

que cuando resulta ser un tipo de Ecuación Logística, similar a la que ya apareció al modelar la

propagación de rumores, es decir de la forma

(2.2.1.4.3)

que a su vez haciendo es equivalente a

(2.2.1.4.4)

78


Usando la expresión (2.2.1.4.4) y los datos del problema encontramos que . Pero

sabemos además que al cabo de 20 años, es decir en 1810 la población era de 7,24 millones por lo que

y por tanto al cabo de 130 años (1920) la población era de 109,68 millones.

Es interesante que la población real de los Estados Unidos en 1920 según la Oficina de censos fue de

105,71 millones.

Esta formulación ha sido utilizada para modelar distintos tipos de poblaciones animales, como es el caso

de la mosca de la fruta en un recipiente cerrado.

Uno de los argumentos utilizados para criticar la aplicación del modelo logístico, consiste en la

suposición de que el aumento de población afecta inmediatamente a la variación de nacimientos, sin

considerar el tiempo que necesitan las crías para crecer y poder reproducirse. Una solución a este

problema ha sido tratado, introduciendo un retardo en la parte del modelo que afecta a la tasa de

nacimiento pero que en este documento no será tratada por su complejidad.

Podemos elaborar igualmente unas notas criticas del modelo logístico:

i) Hemos supuesto que los factores medioambientales no influyen, de manera que las tasas de

crecimiento y muerte son constantes.

ii) Las limitaciones al crecimiento vienen dadas solo por la saturacion de las especies. Es decir,

de nuevo, como en el modelo de Malthus, estamos suponiendo un habitat cerrado, y sin

interferencia con el exterior(migraciones de la especie).

iii) La densidad de población la suponemos uniformemente distribuida.

iv) La poblacion tiene una distribucion de edades estable. No estamos considerando las

influencias de la edad de los individuos en las tasa de crecimento y muerte. Tampoco

consideramos posibles dificultades a la hora de reproducción, como distinguir el numero y

dsitribución de hembras y machos de la especie.

v) Despreciamos todas las limitaciones o ptencialidades que brinda el medio fisico en el que

habita la especie.

Todos estos factores son los que van complicando el modelo, con la intención de hacerlo mas realista. El

equilibrio entre realismo y tratamiento matemático de modelos simplificados es una constante en toda

esta rama aplicada de las matemáticas.

79

2.2.2. Ecuaciones de la forma (Bernoulli)

Consideremos la ecuación (2.2.2.1) y la condición inicial .

Esta ecuación diferecial es no lineal de primer orden y fue propuesta por James Bernoulli en 1695. Un

año después, en 1696, G. Leibniz muestra que que puede ser reducida a una ecuación lineal por un

cambio de variables de la forma .

Poco después surge otro método el método de variables elegantes usado comúnmente y aplicado en

algunos modelos de crecimiento, tanto en ecología como en economía.

Solución Analítica.

Método de variables elegantes.

Hagamos primero, , bajo la condición: .

Al introducir éste parámetro en la ecuación (2.2.2.1) se obtiene:

(2.2.2.2)

Para resolver la ecuación (2.2.2.2) se considera la existencia de una Variable Elegante, dada por:

(2.2.2.3)

que transforma la ecuación (2.2.2.2) en un modelo como el que vimos en la sección (2.1.2), de fácil

solución. La demostración se basa en la derivación con respecto a de la variable introducida (2.2.2.3),

de manera conjunta con la ecuación (2.2.2.2); la expresión resultante es:

(2.2.2.4)

cuya solución está dada por:

(2.2.2.5)

donde . Al igualar (2.2.2.5) con la expresión (2.2.2.3) y resolviendo y se obtiene la

solución de la ecuación (2.2.2.2):

(2.2.2.6) donde

80

2.2.2.1. Modelo de crecimiento económico de Solow

Ante la enorme restricción del modelo Harrod-Domar, Solow11 (1956) y Swan (1956) desarrollaron un

modelo de crecimiento exógeno “ad hoc” en el cual se alcanza un equilibrio estacionario estable. La

clave para dicho equilibrio es la función de producción Neoclásica, en la cual se establece cierto grado de

sustitución entre los factores productivos, hecho que no se presenta en la función de producción

Leontief en la cual la elasticidad de sustitución entre los factores productivos es cero, tal como se

manifestó con anterioridad.

El planteamiento convencional del modelo de Solow contiene todos los elementos típicos de un modelo

neoclásico: competencia perfecta y pleno uso de los factores, función de producción que representa la

frontera tecnológica para cada combinación posible de los factores, y un proceso de acumulación que

depende del ahorro (equivalente a la fracción no consumida del producto corriente). Se supone que el

dinero es neutral y, de hecho, todo el modelo se plantea en términos reales. El único aspecto no

neoclásico consiste en suponer que la tasa de ahorro es una constante dada (inconsistencia que elimina

la variante dinámica conocida como modelo de Ramsey-Cass-Koopmans).

Consecuente con el supuesto de competencia perfecta, están presentes muchas unidades de producción

que operan con el tamaño óptimo y la tecnología más adecuada (si ofrecen un mismo producto, tienen

que producirlo en condiciones idénticas, ya que no hay restricciones de acceso a capital o tecnología

para ningún agente y, por ende, cualquier posible ventaja de economías de escala tiene que haber sido

incorporada por todos y cada uno de ellos). Una consecuencia inmediata de este supuesto es que el

crecimiento debe producirse exclusivamente por adición de nuevas unidades de producción iguales a las

ya existentes, por lo cual la función de producción agregada debe ser homogénea de primer grado.

Adicionalmente existe un cambio técnico exógeno que modifica la productividad de los factores, pero

que también es igual para todos los agentes. Dicho cambio tiene que ser exógeno porque no es posible

representar la inversión en conocimiento abstracto, ni en diseños que podrían ser utilizados por

cualquiera sin pagar nuevamente su costo de desarrollo. Esto es consecuencia de que la función de

producción sea homogénea de primer grado, por lo cual la remuneración de los dos factores, capital y

trabajo, agota el producto (teorema de Euler) y no deja remanente alguno para remunerar la generación

de conocimiento.

11

En 1987, Solow obtuvo el premio Nobel de Economía por su trabajo sobre el crecimiento económico. El modelo fue

presentado en: Solow, R. M., "A Contribution to the Theory of Economic Growth". En: Quarterly Journal of Economics, febrero

de 1956.

81


Considerese una economia que evoluciona según los supuestos del modelo de crecimiento de Solow, la

cual presenta las caracteristicas expuestas en el siguiente cuadro.

Parámetros Magnitud

Propension marginal al ahorro (s) 0,18

Tasa de crecimiento de la población (n) 0,02

Tasa de crecimiento de la tecnolgía (g) 0,03

Coeficiente técnico del trabajo (b) 1

Pérdida periódica de capital por desgaste ( ) 0,03

Determine como evoluciona el capital en función del tiempo si se sabe que esta determinada por una

función de Cobb-Douglas homgenea de grado .


Si , donde representa un conocimiento que tiene costo generar, pero que luego puede

usarse indefinidamente sin costo adicional, entonces . De acuerdo con éste

resultado, A no puede aparecer como un factor de producción adicional porque no sería posible

remunerarlo, así que debe incluirse en el modelo como un cambio exógeno de la productividad, en cuyo

aumento ningún empresario está dispuesto a invertir.

Formalmente, el modelo se plantea para un solo producto que es al mismo tiempo bien de consumo y

bien de capital (aunque luego se utiliza con datos de cuentas nacionales que representan una mezcla de

productos y de procesos de producción heterogéneos).

Las ecuaciones de equilibrio son:

1. Pleno empleo de la población, que crece a una tasa exógena, .

2. Pleno uso de la capacidad instalada, determinada por la función de producción agregada:

, donde A representa un aumento exógeno de productividad del trabajo a tasa

exponencial, .

3. Ahorro como una fracción constante del producto, que se traduce automáticamente en inversión

bruta, .

La inversión así definida es el motor de la acumulación, de acuerdo con la ecuación diferencial:

, donde δ representa una pérdida periódica de capital por desgaste (no existe un concepto

de obsolescencia, a pesar del cambio técnico, porque éste es exógeno y se aplica por igual a todas las

unidades de producción).

82

Obsérvese que, en la segunda condición de equilibrio, el cambio técnico representado por A aumenta

directamente la productividad del trabajo (cambio técnico neutral de Harrod). Escribir con

creciendo exponencialmente implicaría que la relación capital/producto se acercara exponencialmente

a cero, mientras que escribir con implicaría un aumento de la remuneración del capital,

, a un ritmo exponencial. Ambas consecuencias serían inaceptables en el largo plazo. En cambio,

usar significa que el salario real del trabajador crecerá exponencialmente, a la par con su

productividad; el producto podrá ser consumido sin problema alguno y los demás parámetros y

relaciones entre variables permanecerán acotados en el largo plazo.

Como la función de producción es homogénea de primer grado, podemos definir las variables reducidas:

y , con lo cual la función de producción es y la ecuación diferencial del

modelo se convierte en:

, donde s es la prpoension marginal al ahorro, n la tasa de crecimiento de la

población y g la tasa de crecmiento de la tecnología.

El análisis de esta ecuación muestra que existe un estado estacionario, definido por , que es

estable, es decir, que si la economía comienza con un capital inferior al determinado por esa condición,

crece hasta alcanzarlo y, viceversa, si comienza con una dotación superior de capital, la reduce hasta

regresar al nivel estacionario de capital per cápita.

Podemos encontrar de inmediato una relación interesante:

(2.2.2.1.1)

Esto significa que la relación capital/producto es constante apenas se alcanza el estado estacionario de

. Y cuando el capital reducido, , permanece constante, el capital y el producto crecen a la misma

tasa, que es la de crecimiento de , es decir, .

Utilizamos una función Cobb-Douglas, , la función reducida equivalente adopta una

forma exponencial .Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial obtenemos:

(2.2.2.1.2)

Para el ejercicio anterior, la ecuación diferencial (2.2.2.1.2) quedaría (2.2.2.1.3)

(tomando ).


La solución de la ecuación diferencial (2.2.2.1.3) con la condición se puede obtener a partir

de la relación (2.2.2.7), la cual queda en este caso

83

2.2.2.2. Ecuación de crecimiento en peso de Von Bertalanffy

En el apartado (2.1.2.9) vimos la formulación de la ecuación de Von Bertanffy para la talla de un pez.

Veamos ahora cómo se modela el crecimiento en peso.

Ejemplo Ilustrativo de motivación. Crecimiento en peso para la “lisa blanca” (Mugil curema)

Considerese que la “lisa blanca” evoluciona según los supuestos del modelo de crecimiento de Von

Bertalanffy, la cual presenta las características expuestas en el siguiente cuadro.

Parámetros Magnitud

Tasa de metabolismo (x) 0,3

Tasa de metabolismo ( ) 0,2

2

Determine como evoluciona el crecimiento en peso en función del tiempo.


La ecuación para el crecimiento isométrico en peso viene dada por

(2.2.2.2.1)

está basada en hipótesis que reflejan básicamente que la densidad y la forma de un organismo se

mantienen esencialmente iguales dentro de su ciclo de vida, aunado a que el aumento de peso por

unidad de tiempo se debe al ritmo de anabolismo-catabolismo, y que el ritmo de anabolismo es

proporcional a la superficie del organismo.

Un caso más general de la ecuación (2.2.2.2.1) es el siguiente:

(2.2.2.2.2)

donde

representan las tasas de metabolismo, es el exponente de la relación entre la anchura (altura) y

la longitud del organismo:

(2.2.2.2.3)

El modelo anterior se ha utilizado extensamente en varias regiones para diferentes especies, como:

Sardina pilchardus; Thunnus thynus ; Phycis blenoides y Limanda limanda.


Para los datos dados en la tabla la ecuación diferencial (2.2.2.2.2) se transforma en

, la cual tiene como solución,

84

(se obtiene a partir de la solución vista en (2.2.2))

2.3. Misceláneos

2.3.1. Lineales y no lineales

2.3.1.1. Flujo calorífico estacionario


Una tuberia cilindrica de longitud esta compuesta de dos superficies metalicas y un material separador

entre ellas(una sección transversal de la misma se representa la figura 2.24). Por el interior de la tubería

circula aire caliente de modo que la pared interior de la tuberia se mantiene a una temperatura

constante igual a . La parte exterior de la misma tambien se mantiene a una temperatura .

Supondemos que y se pretende estimar la distribución de temperatura en el interior del

material separador.

Figura 2.24. Flujo radial de calor a través de una tubería cilíndrica.


Para llegar a una ecuación matemática (el modelo matemático del problema real) vamos a hacer algunas

suposiciones (simplificaciones del fenómeno real) bastantes naturales en nuestro problema: la

temperatura en cada punto de la tubería se mantiene constante a lo largo del tiempo (la tubería esta en

estado estacionario) y el flujo de calor es radial; es decir, el calor se propaga perpendicularmente a las

paredes de la tubería de la que tiene una mayor temperatura a la que tiene una temperatura menor (tal

y como muestran las flechas gruesas de la figura 2.24)

85

Ahora debemos aplicar el modelo físico. En este caso, aplicamos la Ley de Fourier del calor12: La corriente

calorífica (o flujo de calor) que pasa por una sección de una superficie perpendicular a la trayectoria del

calor (por unidad de tiempo) es directamente proporcional al área de dicha sección y a la variación de la

temperatura respecto a la distancia de la sección al foco de calor. Es decir, si representa el flujo

calorífico en todos los puntos de la superficie separadora que están a una distancia r del eje central de la

tubería, la temperatura en esos puntos y el área de la sección longitudinal de la tubería (que seria un

cilindro) a una distancia del eje, entonces:

(2.3.1.1.1)

Siendo k una constante positiva denominada conductividad térmica del material. El signo menos se debe

a que el flujo de calor es, como hemos dicho, en la dirección en la que disminuye la temperatura. Las

unidades de son energía por unidad de tiempo (o potencia); en unidades del sistema internacional la

unidad de seria . Y en este mismo sistema la unidad de sería .

Ahora bien, como estamos suponiendo que la tubería esta en estado estacionario, no hay variación de la

energía calorífica en el tiempo. Por lo tanto, , el flujo total de calor, es el mismo a través de cualquier

superficie que rodea el tubo (como la del cilindro imaginario de radio de la figura).Así pues, la ecuación

(1.3) da lugar a la siguiente ecuación diferencial (recuérdese que el área lateral de un cilindro de radio r y

altura L es ):

(2.3.1.1.2)

donde son constantes.


Separando variables e integrando encontramos que la solución de la ecuación diferencial (2.3.1.1.2) es

Si ademas conocemos que T entonces la temperatura de la tubería en función de su radio es

(2.3.1.1.3)

2.3.1.2. Vaciado de tanques a través de un orificio


Un depósito de forma conocida, se llena hasta una altura medida por encima de un orificio de área

, desde el cual escapa el líquido que contiene el depósito. Encuentre la altura del agua en cualquier

tiempo y encuentre el tiempo para vaciar el tanque.

12

En 1822, el matemático francés Joseph Fourier dio una expresión matemática precisa que hoy se conoce como ley de Fourier

de la conducción del calor.

86

Figura 2.25. Vaciado de un tanque


En este modelo se presentan los siguientes supuestos:

Se puede expresar el área de la sección del depósito en función de la altura , esto es

El área del orificio es constante.

Se cumple la Ley de Torricelli, en el sentido de que la presión del fluido provoca la velocidad de

vaciado por el orificio, y ésta depende de la altura de la columna de líquido y por conservación

de la energía se satisface finalmente 13.

No hay pérdidas de velocidad (energía cinética) debido al rozamiento en los “filos del orificio”.

El fluido no presenta resistencia a “fluir”; es decir, se desprecia la viscosidad.

No hay presiones ajenas a la atmosférica sobre el espejo del líquido.

Dados estos supuestos consideremos que en un instante , la altura del líquido es medida a partir del

orificio. Luego cuando el espejo del líquido en el tanque disminuye una altura , el volumen que se ha

vaciado en el tanque es , en donde es el área de la sección del tanque en esa

posición . Por otro lado, puesto que la cantidad que se ha vaciado del tanque escapa por el orificio,

se tiene que el gasto desalojado en un tiempo es , por lo que

igualando ambos volúmenes se tiene:

(2.3.1.2.1)

Puesto que la altura es inicialmente H, tenemos

El signo negativo en la ecuación se debe a que h disminuye conforme t crece.

13

Esto se cumple puesto que la energía potencial de una masa m de agua es igual a la energía cinética .

87


La separación de variables en (2.3.1.2.1) produce

, si es constant entonces,

.Usando , encontramos , de modo que

(2.3.1.2.2)

lo cual expresa la altura como una función de .

El tiempo para vaciarse el tanque se obtiene al encontrar donde . Obtenemos

(2.3.1.2.3)

Si , , , , entonces , ó .

2.3.1.3. Oferta y demanda.

Según se sabe, la demanda y la oferta son categorías económicas de la producción mercantil que surgen

y funcionan en el mercado, en la esfera del intercambio de mercancías. Además la demanda es la

necesidad de mercancías existente en el mercado y la oferta es el producto que hay en el mercado o

puede suministrarse a éste. Una de las leyes económicas de la producción mercantil es la ley de

demanda y oferta que consiste en la unidad de la oferta y la demanda y su tendencia objetiva a

corresponder.


La demanda y oferta de un cierto bien están dadas en miles de unidades por – ,

, respectivamente. Si en el precio del bien es 10 unidades, encuentre:

a) el precio en cualquier tiempo

b) si hay estabilidad o inestabilidad de precio.


Supongamos que en el transcurso de un tiempo un campesino vende en el mercado unas frutas, además

las vende después de la cosecha, con intervalos de una semana. Entonces, debido a las reservas de frutas

que tiene el campesino, la oferta de cada semana dependerá tanto del precio esperado en la semana

entrante, como del supuesto cambio del precio en las semanas ulteriores.

88

Si se designa por el precio de las frutas en la semana entrante y por , la llamada tendencia de

formación de precios, entonces tanto la oferta como la demanda serán funciones de las magnitudes

indicadas; es decir, pueden escribirse como:

(2.3.1.3.1)

(2.3.1.3.2)

Al hacer las observaciones anteriores implícitamente hemos asumido lo siguiente:

a) Una economía competitiva o libre. El sitio de mercado es aquel en el cual los consumidores y

productores compiten para determinar los precios. Debido a esto, los productores se preocupan de

hasta donde deben subir los precios, puesto que los consumidores pueden negociar con otros que

ofrezcan precios más bajos o pueden reducir su demanda.

b) No hay demora en el suministro. La ecuación (2) asume que los productores usan la tasa de cambio de

precio en tiempo t, esto es, , para decidir sobre la oferta que este disponible. Esto es una

aproximación a la realidad, puesto que en la práctica hay una demora entre el tiempo de producción

real y el mercadeo al consumidor.

c) No se considera los precios de otros bienes o el ingreso. Los precios de otros bienes en el mercado

además de aquel bajo consideración o el ingreso promedio de los consumidores en varios tiempos

pueden afectar la oferta o la demanda. En el modelo económico anterior esto no se tiene en cuenta.

d) Los precios, demanda, y oferta son continuos. En la práctica, no podemos subdividir indefinidamente

los precios o los números de un bien. Por ejemplo, no tiene sentido hablar del número de platanos entre

240 y 241, o que el precio de un bien asumirá todos los valores entre dos valores dados. A pesar de esto,

adoptamos el supuesto de que tales variables discretas se pueden aproximar con un buen grado de

precisión por variables continuas de la misma manera como se indicó en el problema de la

radioactividad.

Ahora si la oferta S excede a la demanda D, hay una tendencia para que los precios se ajusten a sí

mismos en el sitio de mercado hasta que la oferta se reduzca para igualar la demanda, esto es, hasta que

. Esto es especialmente cierto, por ejemplo, cuando existe la posibilidad que un bien se deteriore,

como los bananos. Similarmente, si la demanda D excede la oferta S, los precios tenderán a ajustarse

hasta que la oferta iguale a la demanda, esto es, . Esto nos lleva a adoptar el siguiente

Principio económico de la oferta y la demanda. El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es,

está determinado por la condición de que la demanda en sea igual a la oferta en . o usando (1) y (2)

(2.3.1.3.4)

La ecuación (2.3.1.3.5) es una ecuación diferencial de primer orden para determinar . Si se conocen

las formas de las funciones f y g.

89

Naturalmente surge ahora la pregunta sobre qué formas deberían tomar f y g en (4). Las más simples son

funciones lineales en , y , pero en sentido general polinómicas.


El precio está determinado al igualar la oferta y la demanda, esto es

ó (2.3.1.3.6)

Resolviendo la ecuación de primer orden lineal sujeta

a obtenemos (2.3.1.3.7)

b) De (2.3.1.3.7) vemos que, si , . Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de

equilibrio es 6 unidades.

2.3.1.4. Inventarios.

En los problemas de oferta - demanda se examinó la situación donde la oferta y la demanda son ya

iguales para determinar un precio. Sin embargo, no se examinó la situación dinámica donde la oferta y la

demanda no son iguales pero la oferta cambia con el tiempo para satisfacer la demanda. Si, por ejemplo,

la oferta es mayor que la demanda, entonces los productores tienen una cierta cantidad de bien en su

posesión, la cual se llama su inventario del bien, el cual esperan vender. Por otro lado, si la demanda es

mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario. Nuestro problema es formular

matemáticamente cómo el inventario cambia con el tiempo como un resultado de la oferta y la

demanda.


Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios p por

, — , respectivamente, con una constante de proporcionalidad .

a) Escriba la ecuación diferencial para p.

b) Determine el precio en cualquier tiempo asumiendo que en .


Para conseguir esto, sea la cantidad o número de unidades de un bien disponible en tiempo t.

Entonces es la cantidad disponible en tiempo . Así, tenemos que la

cantidad acumulada en el intervalo (2.3.1.4.1)

Si,

S = número de unidades de C ofrecidas por unidad de tiempo por los productores en tiempo t.

D = número de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores en tiempo t.

90

Entonces el número de unidades ofrecidas por los productores y demandadas por los consumidores

entre están dados aproximadamente por y respectivamente, donde los resultados

son precisos excepto por términos que involucran y mayores.

Así, la cantidad acumulada en el intervalo = términos con o mayores.

(2.3.1.4.2)

De (2.3.1.4.1) y (2.3.1.4.2) -términos con o mayores (2.3.1.4.3)

Así, + términos con o mayores (2.3.1.4.4)

Tomando el límite cuando , (2.3.1.4.4)

En el caso especial donde es constante tenemos .

la ecuación (2.3.1.4.4) forma la base para análisis posteriores sobre precios. Como una ilustración,

supongamos que un productor desea proteger sus utilidades al requerir que la tasa a la cual

incrementará el precio sea proporcional a la tasa a la cual declina el inventario. En este caso

(2.3.1.4.5)

donde es la constante de proporcionalidad que se asume conocida, de modo que usando

(2.3.1.4.4)

(2.3.1.4.6)

Puesto que se pueden expresar en términos de , la ecuación (2.3.1.4.6) es una ecuación

diferencial para .


a) De (2.3.1.4.6) la ecuación diferencial requerida para es

ó (2.3.1.4.7)

b) Resolviendo (2.3.1.4.7) como una ecuación diferencial lineal de primer orden (o una con variables

separables) se obtiene:

Usando en da , y así

El ejemplo Ilustrativo corresponde a un problema donde la oferta y demanda son funciones lineales pero

éstas pueden ser también cuadráticas por lo que conduciría a ecuaciones diferenciales no lineales.

91

2.3.1.5. Problemas Geométricos.

En una ecuación diferencial debe aparecer al menos una derivada de la función incógnita. Si recordamos

que la interpretación geométrica de la primera derivada de la función en un punto dado es el límite

(único) de las pendientes evaluadas en dicho punto es evidente que habrá una conexión entre problemas

geométricos y problemas diferenciales.

Muchos problemas de Geometría se pueden resolver expresando una relación geométrica mediante una

ecuación diferencial y hallando su solución. Dicha ecuación diferencial puede ser lineal o no lineales es

por ésto que las tratamos en este apartado.

1. Ecuación diferencial de primer orden e interpretación geométrica

a) Formación de una ecuación diferencial de primer orden

Ejemplo Ilustrativo de Motivación #1

Encuentre la ecuación diferencial que representa la familia de curvas , donde :

parámetro y (fijo).

Consideremos una familia de curvas dependiendo de un parámetro c de ecuación

(2.3.1.5.1)

A cada valor de c corresponde una curva de la familia.

Suponiendo que la función F Admite derivadas parciales respecto a y a , sabiendo además que y es

función de , se obtiene:

(2.3.1.5.2)

La eliminación del parámetro c entre las ecuaciones (2.3.1.5.1) y (2.3.1.5.2) conduce a una relación

(2.3.1.5.3)

que representa la ecuación diferencial de primer orden asociada a la familia de curvas definida por

(2.3.1.5.1).

Así tenemos el siguiente resultado:

Dada una familia de curvas dependiendo de un parámetro, todas estas curvas son las curvas integrales

de una misma ecuación diferencial bajo las hipótesis precedentes. Recíprocamente, la resolución de una

ecuación diferencial de primer orden da una familia de curvas dependiendo de un parámetro.

92


Si entonces,

La eliminación de c entre estas dos ecuaciones nos da la ecuación diferencial de primer orden

que admite una infinidad de soluciones.

La figura 2.26 representa la familia de curvas soluciones si .

Figura 2.26

b) Interpretación geométrica de una ecuación diferencial de primer orden

Ejemplo Ilustrativo de Motivación #2

Si en cada punto de una curva la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa,

determinar la curva que pasa por el punto .

Sea la ecuación diferencial escrita bajo la forma resuelta

(2.3.1.5.4)

siendo f una función definida y continua sobre una parte D del plano.

Sea un punto de la curva integral (Г) de (2.3.1.5.4). Esta curva admite en M una tangente

. Entonces tenemos el siguiente resultado:

5 5

40

20

20

40

60

93

Para que una solución definida en un intervalo I sea solución de , es necesario y

suficiente que su grafo admita en todo punto M una tangente de pendiente .

Esta es la base de la integración gráfica de una ecuación diferencial. La función f define un campo

tangente en la región en la cual está definida.

Esta interpretación geométrica puede extenderse a sistemas de ecuaciones de primer orden.

Algunas propiedades de las curvas en el plano

Supongamos que tenemos una curva en el plano definida por la ecuación . Recordemos que

si es un punto cualquiera de dicha curva se pueden definir conceptos tales como pendiente,

rectas: tangente, subtangente, normal, subnormal (Ver fig. 2.27 y 2.28). Estas nociones involucran a la

derivada. Así, por ejemplo:

(i) es la pendiente de la tangente (normal) a la curva en

(ii) son las intercepciones de la recta tangente con los ejes x e y respectivamente.

(iii) son las intercepciones de la recta normal con los ejes x e y respectivamente.

(iv) son las longitudes de la subtangente y la subnormal.


Éstas y otras nociones relacionadas pueden expresarse igualmente en coordenadas polares.

Una fórmula fundamental concerniente a las curvas en coordenadas polares , es

(2.3.1.4.5) donde, como se indica en la Figura 2.29, representa el ángulo que forman la tangente a la

curva en ( ). Esta fórmula facilita la obtención de la ecuación de muchas curvas que cumplen

interesantes propiedades geométricas.

Recta

norm

al m

= -

dx/d

y

Recta tangente m=dy/dx

x

y

. m

=x/

y

x

y

O

tangente

norm

al

subtangente

subnormal

(x, y)

O T M N

x

y

y

a

a

94


De la figura 2.30 se deducen fácilmente las formulas (2.3.1.4.5) y siguientes:


Usando la definición (iv) y la condición del problema obtenemos la ecuación:

, donde es el factor de proporcional.

Resolviendo por variables separadas se obtiene la solución general:

donde es la constante a definir a partir de la condición . La curva requerida es:

2. Trayectorias ortogonales y sus aplicaciones.

Una curva C situada en un plano al que pertenece un sistema S de curvas es una trayectoria ortogonal de

S si cada punto de C es un punto donde C encuentra una curva de S bajo ángulo recto, y si cada

intersección de C con una curva de S se efectúa ortogonalmente (Ver figura 2.31).

Figura 2.31

95

Las aplicaciones de trayectorias ortogonales son numerosas en física e ingeniería. Como una aplicación

muy elemental, considere la figura 2.32. Aquí se representa una barra magnética, siendo N su polo norte,

y S su polo Sur. Si limaduras de hierro se esparcen alrededor del magneto encontramos que ellas se

ordenan así mismas como las curvas punteadas de la figura 2.32. Estas curvas se llaman líneas de fuerza.

Las curvas perpendiculares a estas (líneas gruesas) se llaman líneas equipotenciales, o curvas de igual

potencial. Aquí, también los miembros de una familia constituyen las trayectorias ortogonales de la otra

familia.

Figura 2.32


Encuentre las trayectorias ortogonales de .


Consideremos la figura 2.33, la cual representa un mapa del clima tan familiar en muchos de nuestros

periódicos diarios. Las curvas representan isobaras, las cuales son curvas que conectan todas las

ciudades que reportan la misma presión barométrica a la oficina meteorológica. Las trayectorias

ortogonales de la familia de isobaras indican la dirección general del viento desde áreas de alta a baja

presión. Dado un punto , teóricamente podemos encontrar la presión en ese punto.

Así podemos decir que , esto es, la presión es una función de la posición. Haciendo igual a

un valor definido, digamos , vemos que representa una curva, todos los puntos que

tienen presión siendo así una isobara.

96

Figura 2.33

Dando otros valores a P, se obtienen otras isobaras. Es claro que estas isobaras no se podrían

intercectar, puesto que si lo hicieran, entonces los puntos de intersección tendrían dos presiones

diferentes, y esto sería imposible. Si usamos c en vez de P vemos que

(2.3.1.5.6)

Donde c puede tomar valores dentro de un conjunto dado, representa una familia de isobaras. En el

primer capitulo aprendimos como encontrar una ecuación diferencial para una familia de curvas

derivando hasta eliminar las constantes arbitrarias (c en nuestro caso). El problema que enfrentamos

ahora es como obtener la familia de trayectorias ortogonales. Realmente esto es sencillo puesto que la

ecuación diferencial de la familia (2.3.1.5.6) esta dada por

(2.3.1.5.7)

Ahora la pendiente de las trayectorias ortogonales debería ser el reciproco negativo de la pendiente en

(2), esto es

Así, la ecuacion diferencial para la familia de trayectorias ortogonales es

(2.3.1.5.8)

Al resolver esta ecuación se obtienen las trayectorias ortogonales. Ahora se darán algunas ilustraciones

al procedimiento. Un error común de los estudiantes es olvidarse de eliminar las constantes arbitrarias al

hallar la ecuación diferencial de la familia.

Formulación matemática

Hay dos maneras de determinar la ecuación diferencial de la familia.

Primera manera.

97

Resuelva para obtener

Derivando con respecto a , tenemos

Segunda manera.

Derivando con respecto a x, encontramos

Eliminando c entre esta última ecuación y la dada, encontramos la ecuación como antes.

La familia de las trayectorias ortogonales tiene así la ecuación diferencial

(2.3.1.5.9)


Para resolver (2.3.1.5.9), note que es una ecuación homogénea. Haciendo , se puede mostrar

que . La solución también se obtiene al notar que (2.3.1.5.9), sin fracciones, tiene un

factor integrante dependiendo de una variable .

Las dos familias ortogonales se muestran en la Figura 2.34. La familia dada originalmente se muestra

punteada.

Figura 2.34

2.3.1.6. Reacciones Químicas.


Se combinan 260 gr de (acetato etílico) con 175 gr de (hodróxido de sodio) en una

solución acuosa de litros para producir (acetato de sodio) y (alchol etílico)

tomando la reacción:

98

como irreversible. Al cabo de 10 minutos se han

formado 60 gr de acetato de sodio. Se quiere saber la cantidad de acetato de sodio y de alchol etilico que

habrá al cabo de media hora.


Una reacción química es un proceso en el que una o más sustancias denominadas reactivas se combina o

separan para formar otras sustancias denominadas productos. En las reacciones que consideremos aquí

supondremos que la masa se conserva y que se absorbe o disipa energía.

Una reacción química en la que reactivos se combina para dar a lugar a productos ,

de manera que para formar moléculas de son precisas moléculas de una sustancia

, se denomina reacción de orden m y suele representarse mediante la notación14

(2.3.1.6.1)

En cinética química, a las reacciones representadas mediante éste tipo de esquemas se les llama

ecuaciones estequiométricas y a los números estequiométricos.

Estas ecuaciones suelen representarse agrupando todas las sustancias en una parte de la ecuación

Por otra parte, de la misma forma que en el que en otros ejemplos disponíamos de una ley como modelo

del fenómeno que se producía, en este problema de cinética química necesitamos de un modelo que

explique lo que sucede en el interior de la reacción química. Corresponde a los ingenieros químicos la

experimentación que permita llegar a modelos que se ajustan a la realidad. Por ahora, nosotros vamos a

suponer que el modelo por el que se rige nuestra reacción es la Ley de Acción de Masas:

Si la temperatura se mantiene constante, la velocidad de una reacción química es proporcional al

producto de las concentraciones de las sustancias que toman parte en la reacción. La Ley de de Acción

de Masas no es más que un caso particular de un modelo más general para las reacciones químicas. En

cualquier caso, aparece un nuevo concepto: “velocidad de reacción”. Ésta es la variación de la

concentración de cada sustancia (moles/cm3) dividida por el correspondiente número estequiométrico.

Para todas las sustancias presentes en la reacción esta cantidad es la misma. En general, y en relación a

la ecuación estequiométrica (2.3.1.6.1), si escribimos etc para representar la

concentración de las sustancias (lo que es bastante habitual) entonces la variación de

la concentración de la sustancia es , la variación de la sustancia es , etc. Por lo tanto

14

La unidad habitual en química es el mol equivale N moléculas o átomos de sustancia, donde es el número de Avogadro. Si se utilizan moles en lugar de moléculas como unidad de medida, la reacción de orden puede expresarse diciendo que moles de la sustancia , reaccionan para formar moles de .

99

es la velocidad de dicha reacción.

Estamos ya en condiciones de exponer la ecuación la ecuación que representa lo que sucede en una

reacción química. El primer paso, y uno de los más importantes, consiste en decidir cual es la función

incógnita. En nuestro caso, esta viene determinada por el modelo que vamos a utilizar: Ley de Acción de

Masas. Esta ley establece una relación entre la velocidad de reacción (variación de la concentración de

cada sustancia) y las concentraciones de las mismas, medida ésta en moles/cm3. Por lo tanto nuestra

función incógnita debe ser la concentración de cada sustancia en cada instante t. El modelo mas simple

(acorde a la ley de acción de masas) es aquel en el que se supone que la velocidad de la reacción

depende de la cantidad de reactivos y no de los productos. Una reacción de éste tipo la podemos

representar como:

En tales casos, para las llamadas reacciones elementales, la velocidad de reacción tiene la forma

, donde k es la constante de velocidad de la reacción, y los números definen el

orden de la reacción. El exponente se llama orden con respecto al reactivo , el orden con respecto

a , etc., y la suma es el orden de la reacción. Así una reacción de primer orden con un solo

reactivo sería de la forma . Una reacción de segundo orden con un solo reactivo sería

de la forma y una reacción de segundo orden con dos reactivos

Formulación matemática.

Así pues el problema de cinética visto corresponde a una reacción de segundo orden con dos reactivos.

Ahora bien, teniendo en cuenta que en el problema se nos pide la cantidad de cada sustancia presentes

en la reacción al cabo de un cierto tiempo, es conveniente considerar como funciones incógnita las

cantidades de moles de cada sustancia que han reaccionado después de t minutos. Así, si y

representan estas cantidades y y los moles iniciales de estas sustancias, tenemos que

Además, dado que la ecuación es de la forma , por cada mol de A que reacciona,

reacciona uno de B tenemos que para todo t.

Debe observarse, finalmente que porque hasta que no comienza la reacción ningún mol ha

reaccionado todavía. Así pues:

Si ponemos la ecuación anterior queda:

100

Así la ecuación diferencial para el ejercicio propuesto queda en la forma


Separando variables, descomponiendo en factores e integrando obtenemos que para ,

. Pero como se sabe además que entonces podemos calcular la

constante que en nuestro caso es . Por tanto la solución general queda en la forma,

y para , encontramos

2.4. Ejercicios Propuestos

Nivel A

1. Una masa de 25 g cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad.

a) Establezca una ecuación diferencial y condiciones para el movimiento.

b) Encuentre la distancia viajada y la velocidad conseguida 3 después de empezar su movimiento.

c) ¿Cuánta distancia recorre la masa entre 30 y 40 ?¿Entre 40 y 50 ?

2. Un peso de 6 lb se deja caer desde una cima de millas de alto. Asumiendo ninguna resistencia del

aire. ¿En que tiempo y con que velocidad llega a la Tierra?

3. Una pequeña gota de aceite, de 0,2 g de masa, cae en el aire desde el reposo. Para una velocidad de

, la fuerza debida a la resistencia del aire es 160 dinas. Asumiendo que al fuerza de

resistencia del aire es proporcional a la velocidad:

a) Encuentre la velocidad y la distancia recorrida como una función del tiempo.

b) Encuentre la velocidad límite.

4. La fuerza de resistencia del agua que actúa sobre un bote es proporcional a su velocidad instantánea,

y es tal que a la resistencia del agua es 40 lb. Si el bote pesa 320 lb y el único pasajero pesa

160 lb, y si el motor puede ejercer una fuerza estable de 50 lb en la dirección del movimiento:

a) Encuentre la máxima velocidad a la cual el bote puede viajar.

b) Encuentre la distancia recorrida y la velocidad a cualquier tiempo, asumiendo que el bote parte del

reposo.

5. Un paracaidista y su paracaídas pesan 200 lb. En el instante en que el paracaídas se abre, el esta

viajando verticalmente hacia abajo a . Si la resistencia del aire varia directamente

101

proporcional a la velocidad instantánea y la resistencia del aire es de 80 lb cuando la velocidad es de

:

a) Encuentre la velocidad límite.

b) Determine la posición y la velocidad a cualquier tiempo.

6. En una fem de 20 voltios se aplica a un circuito consistente de un inductor de 2 henrios en serie

con una resistencia de 40 ohmios. Si la corriente es cero en , ¿Cuál es en cualquier tiempo

7. Una resistencia de 20 ohmios y un inductor de 5 henrios se conectan en serie en un circuito eléctrico

en el cual hay un flujo de corriente de 20 amperios en el tiempo . Encuentre la corriente para

si la fem es cero para .

8. Una resistencia de 4 ohmios y un inductor de 1 henrio se conecta en serie con un voltaje dado por

.Encontrar si .

9. Una resistencia de 20 ohmios se conecta en serie con un condensador de 0,01 faradios y una fem en

voltios dada por . Si , muestre que la caída máxima en el condensador es de 0,25

culombios.

10. Un tanque tiene 40 gal de agua pura. Una solución de agua salada con 1 lb de sal por galón entra a

2gal/min y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

a) ¿Cuánta sal hay en el tanque en cualquier tiempo?

b) Cuando el agua que sale tendrá ½ lb de sal por galón?

11. Un tanque tiene 100 gal de agua con 140 lb de sal disuelta. Agua pura entra a 2 gal/min y sale con la

misma tasa. ¿Cuándo la concentración de sal será 0,2 lb/gal?. ¿Cuando la concentración será menor que

0,01 lb/gal?

12. Una pieza de metal tiene un espesor de 200 cm, y otras dos dimensiones son muchos más grandes.

Las caras planas de la pieza se mantienen a , respectivamente.

a)Encuentre la temperatura de estado estacionario en un plano a un distancia x de la cara de .

b)Construya un grafico que muestre la distribución de la temperatura del estado estacionario.

c)¿Cuánto calor atraviesa un centímetro cuadrado del plano por segundo, asumiendo que la

conductividad térmica del plano es 0,15 unidades cgs?

13. Un tubo de acero, de conductividad térmica unidades cgs, tiene un radio interior de 20 cm

y un radio exterior de 30 cm. La superficie exterior se mantiene a , y la superficie interior a .

a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje común de los cilindros

concéntricos.

b) Encuentre la temperatura donde .

14. Una pieza de metal de 500 cm de espesor y con sus otras dos dimensiones mucho mas grandes tiene

una cara a y la cara opuesta a . Si la conducción térmica es 0,005 unidades cgs.

102

a) Encuentre la temperatura en la pieza como una función de la distancia x desde la cara con la

temperatura mas baja.

b) ¿Cuánto calor se trasmite por hora a través de una sección transversal paralela a las caras y con una

área de ?

15. Agua a una temperatura de se enfría en 10 min a en un cuarto con temperatura de .

a) Encuentre la temperatura del agua después de 20 min.

b) ¿Cuándo la temperatura será de ¿

16. Si la vida media del radio es de 1,700 años. ¿Qué porcentaje de radio se puede esperar que quede

después de 50, 100, y 200 años?

17. Si el 30% de una sustancia radioactiva desaparece en 10 días. ¿En cuanto tiempo desaparecerá el

90%?

18. Bacterias en un cierto cultivo incrementan a una tasa proporcional al número presente. Si el número

original se incrementa en un 50% en ½ h. ¿En cuanto tiempo se espera tener tres veces el numero

original?¿Cinco veces el número original?

19. Un cultivo de bacteria “enferma” crece a una tasa que es inversamente proporcional a la raíz

cuadrada del numero presente. Si hay inicialmente 9 unidades y 16 unidades están presentes después de

2 días. ¿Después de cuántos días habrá 36 unidades?

20. La longitud de la línea normal desde cualquier punto de una curva al eje es siempre igual a una

constante . Muestre que la curva es un círculo de radio a.

21. La Tabla 4 muestra el crecimiento de una colonia de bacterias sobre un periodo de un número de

días medido por su tamaño en centímetros cuadrados.

a) Encuentre una ecuación para el área y en términos del tiempo t.

b) Usando la ecuación hallada en (a), compare los valores calculados de con los valores reales.

c) ¿Cuál es el tamaño máximo teórico de la colonia?¿Esperaría usted que tal máximo exista en la

realidad?.Explique.

Tabla 4. Crecimento de una colona de bacterias

22. La altura promedio de u cierto tipo de planta después de 16, 32 y 48 días esta dado respectivamente,

por 21,6, 43,8 y 54,2 cm. Asumiendo que el patrón de crecimiento sigue la cuerva logística, determine:

103

a) La altura máxima teórica esperada.

b) La ecuación de la curva logística.

c) Las alturas teóricas después de 8, 24 y 60 días.

23. Si el 8% de los estudiantes de una universidad tienen una enfermedad contagiosa y 1 semana mas

tarde un total de 15% han adquirido la enfermedad, ¿que porcentajes la habrán adquirido 2, 3,4 y 5

semanas mas tarde asumiendo que no hay cuarentena? Grafique los resultados.

24. Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de de volumen a una tasa de

y sale a la misma tasa. La concentración de la droga en el líquido es de .

Asumiendo que inicialmente la droga no esta presente en el órgano, encuentre:

a) La concentración de la droga en el órgano después de y , respectivamente.

b) La concentración del estado estacionario.

25. La oferta y la demanda de un cierto bien están dadas en miles de unidades, respectivamente, por

.En t = 0 el precio del bien es 5 unidades.

a) Encontrar el precio en cualquier tiempo posterior y obtenga su gráfico.

b) Determine si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe.

26. La oferta y la demanda de un bien están dadas en miles de unidades, respectivamente por

. En t = 0 el piecio del bien es 20 unidades.

a) Encuentre el precio en cualquier tiempo posterior y obtenga su gráfico.

b) Determine si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe.

27. Para proteger sus ganancias, un productor decide que la tasa a la cual incrementará los precios

debería ser numéricamente igual a tres veces la tasa a la cual decrece su inventario. Asumiendo que la

oferta y la demanda están dadas en términos del precio p por

y que en , encuentre el precio en cualquier tiempo.

28. Supongamos que entra en una granja española de 40000 aves un pollo contagiado con la

denominada fiebre del pollo asiática. Si suponemos que la rapidez de contagio es directamente

proporcional tanto al numero de animales contagiados como no contagiados, siendo su tasa de

expansión , determinar en cuanto tiempo todos los pollos de la granja quedarían infectados.

29. Entre los alumnos de ésta asignatura se extiende el rumor de que el examen de problemas va a ser

muy difícil. Si hay 1000 alumnos de dicha asignatura y el rumor se extiende de manera conjuntamente

proporcional al número de alumnos que lo conoce y a los que no lo han oído todavía, ¿cuántos días

tardarán en saberlo 950 alumnos sabiendo que a los dos días los habían 850 alumnos?

104

30. En un determinado cultivo de bacterias en un recipiente de 0,1 litros se sabe que la tasa de

crecimiento de la población es directamente proporcional al número de bacterias existentes,

duplicándose la población cada 3 horas. Si inicialmente introducimos 2,5, millones de bacterias, calcula la

concentración existente al cabo de 11 horas.

31. Un cultivo bacteriano tiene una densidad de población de 100 mil organismos por pulgada cuadrada.

Se observo que un cultivo que abarcaba un área de una pulgada cuadrada a las 10:00 A.M del martes a

aumentado a 3 pulgadas cuadradas para medio día del jueves siguiente. ¿Cuántas bacterias habrá en el

cultivo a las 3:00 P.M del domingo siguiente, suponiendo que la densidad de población cambia a una

tasa proporcional a simio misma ¿Cuántas bacterias habrá el lunes a las 4:00 P.M.

32. En una excavación arqueológica se ha encontrado una momia que contiene 4/7 partes de la cantidad

de carbono 14 que contiene un hombre vivo con las mismas características. Calcula la fecha en la que se

produjo la defunción del ahora momia, sabiendo que la vida media del carbono 14 es de 5600 años.

Nivel B

1. Una masa se lanza hacia arriba con una velocidad inicial . La resistencia del aire es proporcional a

su velocidad instantánea, siendo k la constante de proporcionalidad. Muestre que la máxima altura

conseguida es

2. Un paracaidista y su paracaídas pesan . Cuando el paracaídas se abre el esta viajando

verticalmente hacia abajo a . Si la fuerza de resistencia del aire varia proporcional al

cuadrado de la velocidad instantánea y si la resistencia del aire es , donde la velocidad es

:

a) Escriba las ecuaciones diferenciales para la velocidad y el desplazamiento como una función del

tiempo.

b) Encuentre la velocidad después de abrirse el paracaídas y la velocidad límite. ¿Qué

simplificaciones resultan si ?

c) Encuentre la velocidad como una función de la distancia recorrida.

3. Un objeto de 10 lb se deja caer verticalmente hacia abajo desde una cima muy alta. La ley de

resistencia en el sistema esta dada por , donde v es la velocidad instantánea. Determine:

a) La velocidad como una función de la distancia.

b) La velocidad como una función del tiempo.

c) La velocidad del objeto después de haber caído 500 pies.

105

d) La velocidad limite.

e) La distancia recorrida después de .

4. Una partícula se mueve en una línea recta hacia un punto fijo O en la línea con una velocidad

instantánea proporcional a la n-ésima potencia de su distancia instantánea de O.

a) Muestre que si la partícula nunca alcanzara O.

b) Discuta los casos donde

5. Una resistencia ohmios varia con el tiempo (segundos) de acuerdo a

Se conecta en serie con un condensador de 0,1 fradios y una fem de 100 voltios. La carga inicial en el

condensador es de 5 culombios. Encuentre:

a) La carga y la corriente como una función del tiempo.

b) La carga máxima teórica.

6. Una fem de voltios, donde son constantes, se aplica en a un circuito en serie

consistente de ohmios y faradios, donde y son constantes. Si , muestre que la

carga en es

7. Un inductor de henrios varía con el tiempo (segundos) de acuerdo a

. Se conecta en serie una fem de 40 voltios y una resistencia de 10

ohmios. Si en , encuentre:

a)

b) La corriente máxima teórica.

8. Muestre que la familia donde a y b son cosntantes dadas, es “así mismo ortogonal”.

Esta se llama una familia de “conicas confocales”. Grafique algunos miembros de la familia.

9. Un tanque tiene 10 gal de agua con 2 lb de sal disuelta. Agua salada con 1,5 lb de sal por galon entra a

3 gal/min, y la mezcla bien agitadsa sale a 4 gal/min.

a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

b) Encuentre la concentracion de sal despues de 10 min.

c) Dibuje gráficas de la cantidad y concentración de sal contra el tiempo y obtenga el máximo en cada

caso.

10. Un tanque tiene 60 gal dea gua pura. Una solución con 3 lb de sal por galón entra a 2 gal/min y sale a

2,5 lb/min.

a) Encuentre la concentración de sal en el tanque en cualquier tiempo.

b) Encuentre la concentración de sal cuando el tanque tenga 30 gal de agua salada.

c) Encuentre la cantidad de agua en el tanque cuando se tenga la máxima concentración.

106

d) Determine la máxima cantidad de sal presente en cualquier tiempo.

11. Cuando de un químico se colocan en b galones de agua. A libras del químico se disuelven en el

tiempo T. Si una solución saturada contiene S libras del químico por galón (es constante), muestre que la

cantidad de químico no disuelto en el tiempo t es

donde

Muestre que si la cantidad de químico que permanece sin disolverse tiende a .

12. Los neutrones en una pila atómica incrementan a una tasa proporcional al número de neutrones

presente en cualquier instante (debido a la fisión nuclear). Si inicialmente hay presente neutrones, y

neutrones están presentes en tiempos T1 y T2 , respectivamente, muestre que

13. Encuentre la ecuación de la curva que pasa por (3, 4) tal que la longitud de su subtangente a

cualquier punto es igual a la distancia del punto al origen.

14. Una curva en el primer cuadrante pasa por (0, 1). Si la longitud del arco de (0, 1) a cualquier punto

es numéricamente igual al área limitada por la curva, el eje x, el eje y, y la ordenada en

muestre que la curva es una parte de una catenaria.

15. Una familia de curvas tiene la propiedad de que la línea tangente a cada curva en el punto , el

eje x, y la línea que une con el origen forma un triangulo isósceles con la línea tangente como

base.

a) Determine una ecuación para la familia.

b) Aquel miembro particular que pasa por el punto (2, 0).

16. Un animal de laboratorio infectado se introduce en una población de 24 animales no infectados.

Después de 3 días otro animal resulta infectado. ¿En cuántos días mas se puede esperar que todos los

animales estén infectados excepto uno? ¿Que supuestos hace usted?

17. Suponga que los porcentajes acumulados de animales infectados en alguna población en los

extremos de tres intervalos iguales de tiempo son , respectivamente, donde

.

a) Muestre que,

b) Use esto para mostrar que si y solo si , y explique el significado.

c) Muestre que si entonces debemos tener y dé una interpretación de estos

resultados.

18. Suponga que la concentración máxima de una droga presente en un órgano dado de volumen

constante V debe ser . Asumiendo que el órgano inicialmente no contiene la droga, que el líquido

107

que transporta la droga en el órgano tiene una concentración . Y que las tasas d entrada y de

salida son ambas iguales a b, muestre que no se debe permitir entrar el líquido por un tiempo mayor que

19. La fisión nuclear produce neutrones en una pila atómica a un ritmo proporcional al número de

neutrones presentes en cada instante. Si inicialmente existen neutrones y en los instantes

existen neutrones respectivamente, demuéstrese la identidad

20. El se desintegra en la madera viva a un ritmo de 15,3 desintegraciones por minuto (dpm) y

gramo de carbono. Hacer una estimación sobre la edad de cada uno de los objetos cuyos resultados en el

análisis radiactivo, efectuado en el año 2005, son los siguientes:

a) Un fragmento de una talla de madera en la tumba de Tutankhamon, 10,09 dpm.

b) Un trozo de viga de la techumbre de una casa de Babilonia construida durante el reinado de

Hummurabi, 9,57 dpm.

c) Una flecha de madera encontrada en el yacimiento de Atapuerca, 6,34 dpm.

21. El carbón extraído de una clavera contiene solo un sexto de de lo que contiene el carbón

extraído de un hueso de nuestra época. ¿Cuál es la edad de la calavera?

Nivel C

1. Muestre que un peso , dada una velocidad inicial , se desliza una distancia abajo por un plano

inclinado sin fricción de inclinación en el tiempo

2. Un objeto de masa se lanza hacia arriba por un plano inclinado con inclinación . Asumiendo que

no hay fricción, muestre que la máxima distancia alcanzada es .

3. Si se tiene en cuenta la resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea (constante de

proporcionalidad ), muestre que el objeto en el Ejercicio 2, alcanza una distancia máxima hacia arriba

en el plano inclinado dada por

108

Verifique que esa distancia tiende a la del Ejercicio 3 a medida que .

4. Un peso se le da una velocidad inicial hacia abajo en un plano inclinado de ángulo . Si el

coeficiente de fricción entre el peso y el plano es , muestre que después de un tiempo T el peso viaja a

una distancia

5. Un inductor de 0,1 henrios, una resistencia de 10 ohmios y una fem de voltios, donde

Se conecta en serie. Encuentre la corriente , asumiendo I .

6. Determine la familia de curvas en la cual cada uno de sus miembros corta a cada miembro de la familia

de líneas rectas a un ángulo de .

7. Muestre que si una ecuación diferencial de una familia de cuervas en coordenadas polares esta

dada por

entonces una ecuación diferencial para la familia de trayectorias ortogonales es

(Sugerencia: Use el resultado del cálculo elemental que en coordenadas polares la tangente del ángulo

formado por el radio vector y la línea tangente a la curva es ).

8. Las sustancias A y B reaccionan químicamente para producir P y Q de acuerdo a la reacción de

segundo orden . En el tiempo se combinan. Si

reaccionan en el tiempo t y si la ley de reacción de masa se cumple:

a) Muestre que

donde y son los pesos moleculares de A y B, respectivamente.

b) Muestre que el numero de gramos de P y Q producidos después del tiempo t son , donde

y donde se asume que . Note que . Derive un resultado similar para el

caso

109

9. La cantidad del isotopo radioactivo (carbono 14) presente en toda la materia orgánica viviente

presenta una razón constante a la cantidad del isótopo estable . Un análisis de los restos fósiles de un

dinosaurio muestra que la razón es solamente 6,24 % de aquella para materia viviente. Asumiendo que

la vida media del es aproximadamente 5,600 años, determine cuando estuvo vivo el dinosaurio.

Este método de fecha de carbono se usa con frecuencia por científicos, tales como físicos, químicos,

biólogos, geólogos y arqueólogos quienes están interesados en determinar la edad de varios materiales,

tales como rocas, reliquias antiguas, pinturas, etc.

10. El agua del río Aguadulce fluye hacia el lago Magdalena a razón de 300 gal/min (un galón es una

medida inglesa de capacidad que equivale a 4,5459 litros; en Estados Unidos equivale a 3,7853). El lago

Magdalena contiene aproximadamente 100 millones de galones de agua. La fumigación de los naranjales

cercanos ha ocasionado que la concentración de plaguicidas en el lago llegue a ser de 35 partes por

millón. Si se suspende la aplicación de plaguicidas, ¿Cuánto tiempo transcurrirá antes de que al

concentración de los mismos en el lago este por debajo de 10 partes por millón? (Se supone que el rio no

contiene plaguicidas y que el volumen del lago es constante.)

11. Con motivo de una obras de mejora de los accesos a la parte externa de la muralla de Girona,

realizadas a mediadados del año 2005, se ha descubierto una fosa común con huesos de

aproximadamente 500 esqueletos humanos. Los cadáveres se encontraron sin ropas que permitieran

identificar su procedencia, pues aparecieron cubiertos por algún tipo de tosco sudario, prácticamente

desecho por la acción del tiempo. La disposición de los cadáveres y el haberse encontrado relativamente

cerca del yacimiento algunos restos de lo que parece un campamento que albergó una milicia, hace

pensar en un entrenamiento apresurado de soldados, victimas de algún tipo de epidemia.

Un análisis del de los huesos encontrados determina una tasa de desintegración de 6,108 dpm.

Sabiendo que la tasa de desintegración del en los huesos de un organismo vivo es de 6,68 dpm.

¿Qué grado de verosimilitud tiene afirmar que los soldados eran franceses?

12. En 1947 fueron encontrados unos 800 rollos de papiros, incluyendo los manuscritos más antiguos del

Antiguo Testamento en 11 cuevas cercanas a la rivera noroccidental del Mar Muerto, que se conocen

como “los papiros de Qumram”. El manuscrito que contiene el libro de Isaías fue datado en 1994 a partir

de la técnica del carbono 14. Se observo que tenia entre un 75 y un 77 % del nivel inicial de . ¿Entre

que fechas podemos decir entonces que fue escrito el manuscrito?

13. En una cueva de Sudáfrica se encontró un cráneo humano junto a los restos de una fogata. Los

arqueólogos creen que la edad del cráneo es igual a la de la fogata. Sabiendo que solo un 2% de la

cantidad original de queda en la madera y la edad media del es aproximadamente de 5600 años,

calcula la edad aproximada del cráneo.

110

14. Se utilizó un contador Geiger para medir la tasa de desintegración de en fragmentos de carbón

vegetal encontrados en la gruta de Lascaux en Francia, donde hay pinturas prehistóricas. El contador

registró 1,69 desintegraciones por minuto y por gramo de carbono, mientras que para tejido vivo el

número de desintegraciones, medido en 1950, fue de 13,5 por minuto y gramo de carbón. ¿Hace cuántos

años se formó el carbón vegetal y, presumiblemente, fueron dibujadas las pinturas?

15. La proliferación de la granja dedicada a la explotación porcina genero una contaminación por purina

en la cuenta del rio Ter, cuya concentración, medidas en el aguas del pantano de Sau, alcanzo nivele

alarmantes. esta situación genero una actividad legislativa que produjo normativas reguladoras del

tamaño de las exploraciones y estableció la obligatoriedad del tratamiento de las purinas. Como

consecuencias de la aplicación de las disposiciones establecidas, las aguas que entran en el pantano

dejaron de estar contaminadas a partir de cierto momento, que denotaremos por .

Supondremos para simplificar que tanto volumen de agua en el pantano como flujo de entrada son

constantes y mediremos el volumen en metros cúbicos y la concentración de purinas en gramos por

metros cúbicos.

Encontrar la ecuación diferencial que satisface la concentración de purinas a partir del instante .

Determinar el tiempo que ha de transcurrir para que el nivel de contaminación se reduzca a 5%. ¿Cuanto

tiempo ha de pasar para que se reduzca a la mitad? ¿Quedara limpio el pantano en un tiempo finito?

16. El Amparax es un ansiolítico indicado para el alivio a corto plazo de la ansiedad. Se administra por via

oral, y se absorbe perfectamente. Las concentraciones plasmáticas máximas tienen lugar unas 2 horas

después de la administracion. La vida media del Amparax no conjugado, en el plasma humano, es de

aproximadamente 12-16 horas. El principal camino para la metabolizacioón es la comobinación con

ácido glucurónido para formar el glucurónido inactivo. El 70-75 por ciento de la dosis administrada es

excretrado como glucurónido en la orina. Los niveles plasmáticos son proporcionales a la dosis

adminstrada. Estimar el tiempo a partir del cual su concentración esta por debajo del 10%.

17. Un hombre parte del origen y camina con velocidad constante por el eje OX. Su perro sale del punto

(1, 0) con velocidad doble y mirando siempre a su dueño. Halle la ecuación diferencial de la trayectoria

del perro y el punto de encuentro.

18. Se arrastra un punto P a lo largo del plano por medio de una cuerda PT de longitud a. Si T parte del

origen y se desplaza a lo largo deleje positivo y si P parte de (a, 0). ¿Cuál será la trayectoria de P? Esta

cuerva se llama tractiz.

111

Capítulo 3: Modelos y Aplicaciones de

EDOs de Orden Superior.

as ecuaciones diferenciales vistas se pueden complicar si se consideran ahora derivadas de

segundo o más orden las cuales aparecen de forma natural en la vida diaria fundamentalmente en

problemas físicos. Es por eso que en éste capítulo se expongan una serie de modelos que conducen a

ecuaciones diferenciales de orden superior.

3.1. EDOs lineales de orden superior.


Consideremos la ecuación diferencial (3.1.1.1) donde .

Al igual que hicimos en el Capítulo 2, vamos a considerar condición de la forma . Como la

ecuación diferencial es de segundo orden debemos consider además que para garantizar

existencia y unicidad.

La ecuación diferencial (3.1.1.1) es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, homogénea de

coeficientes constantes y su solución se puede obtener a partir de su polinomio característico .

En el Anexo 1.4 podemos ver la solución que nos brinda el Mathematica,

(3.1.1.2)

3.1.1.1. Movimiento armónico simple (sistema masa-resorte).

Ejercicio Ilustrativo de Motivación.

Supongamos que tenemos un cuerpo con una masa que colgado de un resorte lo estira

. Si el peso se hala 4 ft por debajo de la posición de eqilibrio y se suelta:

a) Establezca una ecuación diferencial y condiciones asociadas que describan el movimiento.

b) Encuentre la posición del peso como una función del tiempo.

c) Determine la posición, velocidad y aceleración del peso ½ seg. Después de haberse soltado.

O ut [1 ]= yxy0 Cosx Cosx1 y1 Cosx0 Sinx y1 Cosx Sinx0 y0 Sinx Sinx1

Cosx0 Cosx1 Sinx0 Sinx1

112


Supongamos que, como en la figura, una masa , esta unida a un resorte flexible colgado de un soporte

rígido. Cuando el peso está en reposo describimos su posición como la posición de equilibrio. Si el peso

se hala hacia abajo una cierta distancia y luego se suelta, estará bajo un movimiento vibratorio alrededor

de la posición de equilibrio (Ver figura 3.1).

Para estudiar el movimiento del peso en éste y similares casos tendremos que conocer primero las

fuerzas que actúan sobre el peso durante su movimiento. Es claro que hay una fuerza tendiente a

regresar o restaurar un peso desplazado a su posición de equilibrio. La ley que gobierna esta fuerza es un

caso especial de la ley de Hooke.

Figura 3. 1

Según la ley de Hooke el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución , opuesta a la dirección del

alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento. En concreto , donde k es una

constante de proporcionalidad llamada constante del resorte.

Después de unir una masa a un resorte, ésta lo estira una longitud y llega a una posición de

equilibrio, en la que su peso , estará equilibrado por la fuerza de restauración . De aquí que la

condición de equilibrio es o . Si la masa se desplaza una distancia respecto de

su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es . Suponiendo que no hay

fuerzas de retardo que actúan sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas

(movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante,

de la fuerza de restitución y el peso.

(3.1.1.1.1)

El signo negativo de la ecuación (3.1.1.1.1) indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la

dirección opuesta del movimiento. Además, podemos adoptar la convención que los desplazamientos

medidos debajo de la posición del equilibrio son positivos (Ver figura 3.2)

113

Figura 3.2

Si dividimos la ecuación (3.1.1.1.1) por la masa , obtendremos la ecuación diferencial de segundo

orden, o sea (3.1.1.1.2) donde

La ecuación (2) describe el movimiento armónico simple o movimiento no amortiguado.


a) Por la ley de Hooke, o ; esto es, . La ecuación diferencial que describe el

movimiento es por tanto,

o (3.1.1.1.3)

Puesto que inicialmente ( ) el peso está por debajo de la posición de equilibrio, tenemos

También, puesto que el peso se suelta (esto es, tiene velocidad cero) en ,

en (3.1.1.1.4)

b) Usando (2.1.1.2) encontramos, .

c) Diferenciando (3.1.1.1.4) con respecto a , vemos que

,

Colocando y calculando el seno y el coseno en radianes encontramos

; ;

Así después de ½ seg el peso está a 2,16 pies por encima de la posición de equilibrio y está viajando hacia

abajo con velocidad y aceleración .

Si consideramos la misma ecuación diferencial cambiando las condiciones como se muestran a

continuación vemos que en éste tipo de sistemas cambios en la posición inicial no afectan la frecuencia

natural (Ver figura 3.3)

114

Figura 3.3. Oscilador armónico libre. Cambios en la posición inicial no afectan la frecuencia natural.

3.1.1.2. Curvatura de una cuerda que gira.

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. Juego de la cuerda.

Supongamos que una cuerda de longitud y densidad lineal constante (masa por unidad longitud) se

estira a lo largo de eje x y se fija en y . A continuación, esa cuerda se pone a girar respecto a

su eje a una velocidad angular constante y uan tensión tangencial igual a T. Determine la ecuación

diferencial que modele dicha situación.


Examinamos un tramo de de la cuerda, en el intervalo , donde es pequeño. Si la magnitud T

de la tensión que actúa en dirección tangencial a la cuerda es constante en su longitud, podemos

obtener la ecuación diferencial que deseamos igualando dos expresiones de la fuerza neta que actúa

sobre la cuerda en el intervalo . Primero, vemos en la figura (3.4) que la fuerza neta vertical

es,

115

(3.1.1.2.1)

Figura 3.4

Cuando los ángulos , expresados en radianes, son pequeños, y .

Además, puesto que son, a su vez, las pendientes de las lineas que contienen a los

vectores , también podremos escribir

y

De esta forma, la ecuación (3.1.1.2.1) se transforma en (3.1.1.2.2)

Luego podemos obtener una forma distinta de la misma fuerza neta recurriendo a la segunda ley de

Newton, . En este caso, la masa de la cuerda en el intervalo es ; la aceleración

centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular en un círculo de radio es . Si es

pequeño, podemos hacer . Así, la fuerza vertical neta también esta expresada aproximadamente

por

(3.1.1.2.3)

Donde el signo menos proviene de que la aceleración apunta en dirección opuesta a la dirección positiva

de las y. Ahora, igualando las ecuaciones (3.1.1.2.2) y (3.1.1.2.3),

o sea

(3.1.1.2.4)

Cuando entonces legamos al modelo, o sea

(3.1.1.2.5)

Dado que la cuerda está fija en sus extremos , esperamos que la solución satisfaga

las condiciones y .

Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.


Consideremos el problema,

116

(3.1.2.1) donde y .

Igualmente que en el caso anterior la ecuación diferencial (3.1.2.1) es una ecuación diferencial de

segundo orden, lineal, homogénea de coeficientes constantes y su solución se puede obtener a partir de

su polinomio característico.

En el Anexo 1.5 podemos ver la solución que nos brinda el Mathematica,

3.1.2.1. Ley de Enfriamiento. Recinto de tamaño finito.

En páginas anteriores, hemos aplicado la ley de enfriamiento de Newton a un cuerpo caliente que pierde

calor y como consecuencia disminuye su temperatura. La atmósfera que le rodea gana el calor perdido

por el cuerpo, pero no incrementa su temperatura ya que consideramos que tiene un tamaño infinito.

En esta página, vamos a estudiar la situación en la que un cuerpo caliente se coloca en un recinto de

tamaño finito aislado térmicamente, tal como se muestra en la figura 3.5.

Figura 3.5

Ejemplo Ilustrativo de Motivación. ¿Que café está más caliente?

117

Propongamos el siguiente problema15:

Anatoli y Vladimir pidieron café y crema de leche en un café. Cuando les sirvieron su pedido, actuaron de

la manera siguiente. Anatoli agregó al café un poco de crema, cubrió la taza con una servilleta de papel y

salió para llamar por teléfono. Vladimir cubrió inmediatamente su taza con la servilleta de papel y agregó

la misma cantidad de crema solo al cabo de 10 min de regresar Anatoli, y los dos comenzaron a tomar

café. ¿Quién tomó café más caliente?


El cuerpo caliente tiene una masa m1 y su calor específico es c1, por tanto, su capacidad calorífica

es . En el instante t su temperatura es T1

El recinto tiene una masa m2 y su calor específico es c2, por tanto, su capacidad calorífica es

. En el instante t su temperatura es T2 < T1.

El cuerpo caliente en el intervalo de tiempo entre y pierde una cantidad de calor , su

temperatura disminuye

(3.1.2.1.1)

Como el recinto está térmicamente aislado, en el mismo intervalo de tiempo gana una cantidad de calor

y su temperatura aumenta

(3.1.2.1.2)

El calor perdido por el cuerpo es igual al ganado por el recinto, la temperatura del cuerpo disminuye, la

temperatura del recinto aumenta

(3.1.2.1.3)

Supondremos que la pérdida de calor del cuerpo caliente obedece a la ley del enfriamiento de Newton

(3.1.2.1.4)

La ecuación que nos da la variación de la temperatura del cuerpo con el tiempo es

(3.1.2.1.5)

Para eliminar la variable , derivamos con respecto al tiempo

, (3.1.2.1.6) donde

La solución de la ecuación diferencial es

15

Tomado del libro “Ecuaciones diferenciales aplicadas a la practica, Amelkin”

118

(3.1.2.1.7)

La temperatura del recinto en función del tiempo se calcula del siguiente modo

Las constantes y se determinan a partir de las condiciones iniciales, la temperatura inicial y su

derivada. En el instante , la temperatura del cuerpo es

Su derivada en el instante vale

La temperatura del recinto en función del tiempo es

(3.1.2.1.8)

En la figura 3.6, se muestra la evolución de temperaturas del cuerpo y del recinto en función del

tiempo .

Figura 3.6

Cuando , el cuerpo y el recinto alcanzan la misma temperatura que es la media ponderada.

En la práctica, se alcanza el equilibrio al cabo de cierto tiempo que depende del valor de la constante de

tiempo . Si la constante de tiempo τ es pequeña, el estado de equilibrio se alcanza después de

poco tiempo.

Las temperaturas del cuerpo y del recinto se expresan en función del tiempo t.

,

119

Cuando la capacidad calorífica del recinto es muy grande

,


Resolvamos el problema tomando en consideración las suposiciones naturales, que reflejan el contenido

físico de los procesos que tienen lugar.

Consideremos que el intercambio de calor a través de la superficie de la mesa y la servilleta es mucho

más inferior al intercambio de calor a través de las paredes de las tazas; la temperatura del vapor en la

taza sobre la superficie del líquido es igual a la temperatura del líquido.

Examinemos ¿Cuál será la ley de la variación de la temperatura del café después de que Vladimir ha

agregado la crema a la taza? Para esto aprovechemos la ecuación (3.1.2.1.8)

donde

La ley de la variación de la temperatura del café en la taza de Anatoli se da analíticamente mediante

la fórmula (3.1.2.1.7)

De esta manera para responder a la pregunta planteada en el problema solo nos queda recurrir a las

formulas (3.1.2.1.7) y (3.1.2.1.8) y hacer los cálculos numéricos, teniendo en cuneta que

y haciendo, para precisar,

Los cálculos muestran que el café más caliente lo tomó Anatoli.

3.1.2.2. Movimiento amortiguado libre (sitemas-masa resorte)


Asumamos que una fuerza amortiguadora, dada en libras numericamente igual por 24, 16 y 4 veces la

velocidad instantánea en pies/seg actúa sobre el peso del ejemplo ilustrativo de la sección (3.1.1.1).

a) Establezca la ecuación diferencial con sus condiciones asociadas.

b) Encuentre la posicion del peso como una función del tiempo t.


Losa resortes vibrantes acabados de considerar no son muy realistas, puesto que las oscilaciones no

disminuyen como se espera por experiencia, sino por el contrario se mantienen por siempre. En la

120

práctica, fuerzas de fricción y otras (tales como la resistencia del aire) actúan para decrecer la amplitud

de las oscilaciones y finalmente traer el sistema al reposo. Una manera para obtener una mejor

aproximación de la realidad es asumir una fuerza amortiguadora. En mecánica, se considera que la

fuerza de amortiguamiento, que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la

velocidad instantánea. En particular, supondremos que esta fuerza esta expresada por un múltiplo

constante de . Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue de la segunda

ley de Newton,

(3.1.2.2.1)

donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de

que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento.

Al dividir la ecuación (3.1.2.2.1) por la masa , la ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre

es,

, (3.1.2.2.2)


Teniendo en cuenta la fuerzas amortiguadoras que se dan como datos, encontramos las ecuaciones de

movimiento siguientes,

121

Figura 3.7. Oscilaciones libres amortiguadas y no amortiguadas.


Consideremos la ecuación diferencial (3.1.3.1) donde y

con las condiciones, y

La ecuación diferencial (3.1.3.1) es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, no homogénea de

coeficientes constantes y su solución se puede obtener de acuerdo utilizando el principio de

superposición como una suma de la solución homogénea y la solución particular.

Utilizando el “Mathematica” podemos ver la solución que en éste caso queda como,

(3.1.3.2)

3.1.3.1. Movimiento forzado con amortiguamiento (sistema masa-resorte)

Ejemplo Ilustrativo de motivación

En el ejemplo ilustrativo de la sección (3.1.2.2) asumamos que está actuando una fuerza periódica de

y respectivamente, que la fuerza amortiguadora, dada en libras es

122

numericamente igual a 4 veces la velocidad instantánea en pies/seg ,además sabemos que se cumple

que,

a) Establezca la ecuación diferencial con sus condiciones asociadas.



En apéndices previos discutimos el problema de un resorte donde solo se consideraron la fuerza

restauradora y amortiguadora. Consideremos ahora casos donde pueden actuar otras fuerzas externas

que varían con el tiempo. Tales fueras pueden ocurrir, por ejemplo, cuando el soporte que sostiene el

resorte se mueve arriba y abajo en una manera especificada tal como el movimiento periódico o cuando

el peso se le da un pequeño empuje cada vez que alcanza la posición mas baja. La inclusión de en la

formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferencial del movimiento forzado:

o (3.1.3.1.1)

En la mayoría de los poblemas físicos que surgen de las aplicaciones, .

La ecuación (3.1.3.1.1) tiene como solución

una vez mas se puede convertir en

(3.1.3.1.2)

donde

y

Es claro que el término homogéneo en todos sus casos tiende a cero, por ello se considera un término

transitorio, no así el termino inhomogeneo que permanece oscilando. En términos físicos se pude decir

que el término transitorio representa la disipación de la energía inicial que se le provee al sistema a

través de la posición y la velocidad inicial de lanzamiento. Esta energía inicial se expresa a través de las

condiciones iniciales. Si no existiera disipación esta energía inicial permanecería por siempre en el

sistema. Finalmente el termino inhomogeneo, a través de la fuerza de excitación, impone el movimiento

al sistema. Nótese además que el término inhomogeneo nunca se hace infinito, ni siquiera para el caso

123

para el cual tiene un máximo y es aquel en el cual la frecuencia de excitación coincide con la frecuencia

natural del sistema.


Utilizando los datos del problema obtenemos,

, donde ,

Utilizando la expresión (3.1.3.1.2) y las condiciones adecuadas encontramos,

3.1.3.2. Movimiento forzado sin amortiguamiento (sistema masa-resorte)


En el ejemplo ilustrativo de la sección (3.1.1.1) asumamos que está actuando una fuerza periódica de

y respectivamente además sabemos que se cumple que,

a) Establezca la ecuación diferencial con condiciones asociadas.



Cuando se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria

en la solución de un problema.

En éste caso, (3.1.3.2.1)

Separemos los dos casos siguientes:

Amplitud modulada

En éste caso la ecuación (3.1.3.2.1) tendrá como solución,

124

con lo cual es la suma de dos movimientos armónicos con distintas frecuencias y amplitudes. Si el cuerpo

cumple: entonces,

Dado que

(3.1.3.2.2)

Resonancia

En el caso que la frecuencia de la fuerza de excitación coincida con la frecuencia natural del sistema, se

tiene

(3.1.3.2.3)

Cuando ocurre éste fénomeno se puede originar un grave problema en un sistema mecánico oscilatorio,

tal es el caso del derrumbre del puente Tacoma Narrows, estado de Washington en el verano de 1940.


Utilizando las expresiones (3.1.3.2.2) y (3.1.3.2.3) obtenemos,

125

Figura 3.8. Oscilador armónico forzado

3.1.3.3. Circuitos eléctricos LRC.


Un inductor de 0,5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios, un condensador de

0,02 faradios, un generador con un voltaje alterno dado por , t ≥ 0, y un interruptor (figura

3.9).

Figura 3.9

a) Establezca una ecuación diferencial para la carga instantánea en el condensador.

b) Encuentre la carga y la corriente al tiempo si la carga en el condensador es cero cuando el

interruptor se cierra en t = 0.


Considere el circuito de la figura 3.10. Cuando el interruptor K está cerrado, fluye una corriente

instantánea. Si Q es la carga instantánea en el condensador C, entonces por la ley de Kirchhoff,

126

(3.1.3.3.1)

donde , la fem, puede depender del tiempo, pero donde son constantes. Puesto que

, (1) se convierte en

(3.1.3.3.2)

La comparación con la ecuación general, de las vibraciones forzadas, muestra la impresionante analogía

entre cantidades mecánicas y eléctricas.

Figura 3.10

La carga Q corresponde a la posición x.

La inductancia L corresponde a la masa m o W/g.

La resistencia R corresponde a la constante de amortiguamiento β.

La capacitancia inversa 1/C corresponde a la constante del resorte k.

La fuerza electromotriz E(t) corresponde a la fuerza externa aplicada F(t).

La corriente corresponde a la velocidad

Debido a la marcada analogía entre las cantidades mecánicas y eléctricas, la cual se cumple aun en casos

más complicados, muchos de los enunciados hechos para sistemas mecánicos se aplican a sistemas

eléctricos y viceversa. En efecto, la analogía es a menudo usada en la industria para estudiar sistemas

mecánicos los cuales pueden ser muy complicados o costosos de construir, o cuando las consecuencias

pueden ser muy peligrosas.

En particular, el fenómeno de resonancia ocurre en sistemas eléctricos. Sin embargo, contrario a los

efectos peligrosos que pueden resultar en resonancia mecánica, los efectos de resonancia eléctrica son

principalmente muy útiles. Los campos de radio, televisión, radar y comunicaciones serían virtualmente

imposibles si no fuese por la resonancia eléctrica. En tales casos la corriente y consecuentemente la

potencia generada pueden alcanzar grandes cantidades necesarias en estos campos. Es debido a la

resonancia eléctrica que sintonizamos nuestro radio a la frecuencia de la estación de radio transmisor

para conseguir la recepción.

127


La caída de voltaje a través de la resistencia es . La caída de voltaje a través del inductor es .

La caída de voltaje a través del condensador es Q/0,02= 50Q.

Por tanto por la ley de Kirchhoff.

o puesto que , ó

(3.1.3.3.3)

Las condiciones son e .

Solución del Ejmplo Ilustrativo.

Utilizando el Mathematica vemos que la solución requerida es

Se notará que el término con es la solución transiente; que pronto se hace despreciable. El término

es la solución de estado estacionario; permanece después de que el término transiente

virtualmente ha desaparecido.

3.2. EDOs no lineales de primer orden.

3.2.1. Misceláneos

3.2.1.1. El péndulo simple.

Todo objeto que oscila se llama péndulo físico. El péndulo simple es un caso especial de péndulo físico y

consiste en una cuerda de longitud con una masa (peso W = mg) unida a su extremo inferior.


Un objeto de masa m cuelga en el extremo inferior de una cuerda de longitud . Mientras se mantiene

tensa la cuerda por el peso del propio cuerpo se separa un pequeño ángulo de la vertical. ¿Cuál el

modelo que describe ésta situación?

128

Figura 3.11


Al describir el movimiento de un péndulo simple en el plano vertical, se establecen las hipótesis

simplificadoras de que la masa de la varilla es insignificante y que no actúan fuerzas externas de

amortiguamiento ni de impulso.

Una vez trazado el diagrama de cuerpo libre, se observa que se han trazado dos nuevos ejes

coordenados; el eje radial en la dirección de la cuerda y un eje tangencial en la dirección perpendicular al

eje radial. Luego por la segunda Ley de Newton se tiene que en el eje tangencial:

– , en donde el signo menos es porque la fuerza se opone al

crecimiento de y se utilizó el hecho de que

. Luego se tiene (3.2.1.1.1)

Solución del Ejemplo de Ilustrativo

Ahora como es pequeña se tiene que de donde finalmente se obtiene:

ó , en términos de la velocidad angular .

Aquí se supone también que el ángulo θ siempre se mantiene pequeño. Obsérvese que en la dirección

radial se tiene – , que permite conocer la tensión en la cuerda.

3.2.1.2. Movmiento de un cohete.

En la sección (2.1.1.1) expusimos que la ecuación diferencial de un cuerpo en caída libre de masa

cercano a la superficie de la Tierra, es

que considerando se puede escribir como , donde s representa la

distancia de la superficie terrestre al objeto y se considera que la dirección positiva es hacia arriba. En

W

θ θ

θ

T

mg

an

at

Péndulo Diagrama de cuerpo libre

129

otras palabras se supone que las distancias que recorre el objeto es pequeña en comparación con el

radio R de la Tierra. Si por otro lado, la distancia y del centro a un objeto como un cohete o una sonda

espacial es grande en comparación con R, se puede combinar la segunda ley del movimiento de Newton

con la ley de la gravitación universal, para deducir una ecuación diferencial en la variable .

Supongamos que se dispara un cohete en dirección vertical desde la superficie terrestre (Ver fig 3.12). Si

la dirección positiva es hacia arriba y no se toma en cuenta la resistencia del aire, la ecuación diferencial

del movimiento después de quemar el combustible, es

o sea (3.2.1.2.1)

Figura 3.12

Donde es una constante de proporcionalidad, es la distancia del centro de la Tierra al cohete, M es

la masa de la Tierra y m es la masa del cohete. Para calcular la constante k aprovechemos que cuando

, , o bien, . Entonces, la ultima de las ecuaciones (3.2.1.2.1) se transforma

en (3.2.1.2.2)

3.2.1.3. Viaje a Martes.


Supongamos que podemos disparar un proyectil con un gran cañón, por ejemplo, verticalmente hacia

Martes. Estimar la velocidad de salida que éste cañón debiera tener.


Al intentar resolver éste problema hacemos los siguientes supuestos:

1. La Tierra y Martes son esferas perfectas con radios respectivamente , con masas y , y

con la distancia entre sus superficies igual a

130

2. El proyectil (o nave) de masa, se dispara verticalmente hacia arriba hacia el centro de Martes con

velocidad inicial .

3. Las rotaciones de la Tierra y de Martes no se tienen en cuenta.

4. La influencia del Sol y otros planetas no se considera.

5. La resistencia del aire no se tiene en cuenta.

Incialmente anunciemos la siguiente ley conocida como “Ley de la gravitación universal de Newton”. Dos

objetos cualesquiera en el universo están atraídos entre sí con una fuerza que varía directamente al

producto de sus masas e inversamente al cuadrado de la distancia entre ellos. En símbolos

(3.2.1.3.1)

donde son las masas de los objetos; es la distancia entre ellos; es la fuerza de atracción; y

es la constante de proporcionalidad.

Refiriéndonos a la figura 3.13. Tomando la dirección de la Tierra hacia Martes como positiva y r como la

distancia de m a la superficie de la Tierra en el tiempo , tenemos por la ley de Newton y (3.2.1.3.1),

(3.2.1.3.2)

Figura 3.13

mostrando que los resultados son independientes de la masa del proyectil. Es posible remplazar , por

cantidades más familiares. Para ver esto, note que la atracción de una masa m a la Tierra es su peso mg.

Así, de (3.2.1.3.1),

(3.2.1.3.3)

De manera similar, denotando por , la aceleración debida a la gravedad en Martes

(3.2.1.3.4)

usando (3.2.1.3.3) y (3.2.1.3.4) en (3.2.1.3.2), se tiene

131

(3.2.1.3.5)

Las condiciones iniciales son y , donde .

Determinemos la velocidad de salida de nuestro cañón que se necesita para alcanzar el punto neutral (el

lugar entre la Tierra y Martes donde la gravedad es cero) con velocidad cero. La posición neutral

denotada por se determina de la ecuación

(3.2.1.3.6)

obtenida al hacer el lado derecho de (3.2.1.3.2) igual a cero. Puesto que deseamos cuando

, tenemos de (3.2.1.3.5),

(3.2.1.3.7)

3.2.1.4. El cable colgante.


Una cuerda flexible con densidad constante cuelga entre dos puntos fijos. Determine la forma de la

cuerda.


Consideremos un cable o una cuerda que cuelga de dos puntos, (figura 3.14), no necesariamente

al mismo nivel. Asumaos que el cable es flexible de modo que debido a su carga (la cual puede ser debida

a su propio peso, o a las fuerzas externa actuantes, o a una combinación de estas) toma la forma como

se muestra la figura.

Considere aquella parte del cable entre el punto mas bajo y cualquier punto P en el cable con

coordenadas Esta parte estará en equilibrio debido a la tensión T en P (figura 3.15), la fuerza

horizontal H en C, y la carga vertical total en el segmento CP del cable denotada por la cual se

asume que actúa en algún punto Q, no necesariamente en el centro del arco CP. Para e equilibrio, la

suma algebraica de las fuerzas en la dirección x (u horizontal) debe ser igual a cero, y la suma algebraica

de fuerzas en el eje y (o vertical) debe ser igual a cero.

132


Descompongamos la tensión T en dos componentes, la componente horizontal con magnitud , y

la componente vertical con magnitud .

Las fuerzas en la dirección son hacia la izquierda y hacia la derecha, mientras que las fuerzas

en la dirección y son W hacia abajo y hacia arriba. De donde,

(3.2.1.4.1)

Dividiendo, y usando el hecho que , tenemos

(3.2.1.4.2)

En esta ecuación, H es una constante, puesto que es la tensión en el punto mas bajo, pero W puede

depender de x. Por diferenciación de (3.2.1.4.2) con respecto a x,

(3.2.1.4.3)

Ahora representa el incremento en W por unidad de incremento en x; esto es, la carga por

unidad de distancia en la dirección horizontal.

En donde es la variación en la distribución de carga sobre el cable. Y la ecuación obtenida

corresponde al modelo de la forma del cable para diferentes distribuciones de carga.

Ahora nos queda determinar para nuestro caso. Para ello, consideremos un segmento de la

cuerda. Éste segmento, supuestamente infinitesimal, está ampliado en la figura 3.16. El peso está

uniformemente distribuido sobre el arco PQ. Es fácil ver que si la densidad de la cuerda es (una

constante) entonces . Sin embargo, deseamos .

133

Figura 3.16

Esto se consigue al escribir

(3.2.1.4.4)

Puesto que

Así, (3.2.1.4.5)

Denotando por a la distancia dle punto más bajo del cable desde el puente, tenemos como condiciones

para para .


La ecuación (3.2.1.4.5) carece de . Haciendo , tenemos

Y

Esto es,

donde , tenemos , así que

(3.2.1.4.6)

Resolviendo para al aislar el radical y elevando al cuadrado tenemos

de donde, por integración

(3.2.1.4.7)

134

Usando donde , hallamos . Si escogemos , por un cambio del eje x,

entonces y tenemos

(3.2.1.4.8)

Si usamos la notación de funciones hiperbólicas, se obtiene

(3.2.1.4.9)

El grafico de (3.2.1.4.8) o (3.2.1.4.9) se llama una catenaria (del latín, significando “cadena”)

Figura 3.17

3.2.1.5. Deflexión de vigas.

Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se desvian o distorcionan

por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos, esta desviacion y(x) esta

determinada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden, relativamente sencilla.


Una viga horizontal, simplemente apoyada, de longitud se dobla bajo su propio peso, el cual es por

unidad de longitud. Encuentre la ecuación de su curva elástica.


Para empezar, consideremos la viga horizontal AB de la figura 3.18a, uniforme en su seccion transversal

y fabricada de un material homogeneo. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la

curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama “eje de simetria”

(fig 3.18a). Si la viga esta sometida a fuerzas, las cuales se asumen que estan en un plano que contiene al

eje de simetria, la viga debido a su elasticidad, sufre una distorsion en su forma como se muestra en la

figura3.18 b). Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas externamentes, o

una combinacion de ambas. La curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva

elastica o simplemente elástica. La determinación de esta curva es de importnacia en la teoría de

elasticidad pues aproxima la forma de la viga.

135

Figura 3.18

Notemos que existen diferentes tipos de vigas en función de los procedimientos empleados para fijarlas

o apoyarlas.

Por ejemplo, la figura 3.19 a) muestra una viga en la cual el extremo A esta rígidamente fijo, mientras

que el extremo B esta libre para moverse. Esto se llama una viga en “voladizo o cantiléver”. En la figura

3.19b) la viga esta apoyada en los extremos A y B. Esta se llama viga simplemente apoyada. En tales

casos la viga esta asegurada en los extremos A y B de modo que aunque este fija en estos extremos, la

rotación se puede dar alrededor de los extremos. Un tipo mas de de viga con apoyos se muestra en la

figura 3.19c)

Figura 3.19

Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes maneras de aplicar fuerzas de

carga externa. Por ejemplo, en la figura 3.19c) hay una carga uniformemente distribuida sobre toda la

viga. Puede haber una carga variable sobre toda la viga o solo en una parte de ella como en la figura

3.19b). Por otro lado puede haber una carga concentrada como se indica en la Figura 3.19c).

Consideremos la viga horizontal OB de la figura 3.19 a). Coloque el eje de simetría (línea punteada) en el

eje x tomando como positivo a la derecha y con origen en 0. Escoja el eje y como positivo hacia abajo.

Debido a la acción de las fuerzas externas , (y si es apreciable el peso de la viga) el eje de simetría

se distorsiona en la curva elástica que se muestra punteada en la figura 3.20b), donde hemos tomado la

viga como fija en 0. El desplazamiento y de la curva elástica desde el eje se llama la deflexión de la viga

136

en la posición x. Así si determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la deflexión de la viga.

Figura 3.20

Sea el momento flexionante en una sección transversal vertical de la viga en . Este momento

flexionante se fine como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que actúan sobre un lado

de x, los momentos se toman sobre una línea horizontal en la sección transversal en x. Al calcular los

momentos adoptaremos la convención de que fuerzas hacia arriba producen momentos negativos y

fuerzas hacia abajo producen momentos positivos, asumiendo por supuesto que el eje y se toma hacia

abajo como se menciono antes.

Consideremos ahora un elemento pequeño de una curva entre , como se indica, con gran

aumento en la figura 3.22. En esta figura, ABCDA representa la sección media la cual contiene la curva

elástica. Una fibra tal como GH, ilustrada debajo de la sección media, se estira debido al doblamiento de

la viga, mientras que fibras por encima de la sección media se contraen. Las fibras en la sección media,

sin embargo, no se estiran ni se contraen. El elemento de viga de la figura 3.22 se muestra en una

sección transversal longitudinal en a figura 3.23. En esta figura AB representa una parte de la curva

elástica de longitud l. La curva GH, la cual representa una fibra estirada, tiene longitud , donde

es la magnitud del estiramiento. La distancia entre AB y GH se denota por .

Hacemos ahora uso de una generalización de la ley de Hooke debido a los varios casos especiales que

pueden surgir.


137

Ley generalizada de Hooke. Suponga que un material elástico una fuerza actúa perpendicular a una área

y que la fuerza por unidad de área, llamado el esfuerzo se denota por P. Suponga que debido a este

esfuerzo, un elemento de longitud se estira en la dirección de la fuerza en una cantidad . La razón

se llama la tensión. Entonces, asumiendo que no se excede el límite elástico del material, el

esfuerzo será proporcional a la tensión. En símbolos esto se expresa por

(3.2.1.5.1)

Donde la constante de proporcionalidad, denotada por , se llama el modulo de elasticidad de Young16.

Ahora, si la fibra tiene una sección transversal (Ver figura 3.23), entonces la fuerza que actúa sobre la

fibra es . El momento de esta fuerza alrededor de la sección media, esto es,

(3.2.1.5.2)

Si R denota el radio de curvatura de la viga, vemos de la Figura 3.23 que

(3.2.1.5.3)

Así que (3.2.1.5.1) se convierte en (3.2.1.5.4)

Usando (3.2.1.5.4) en (3.2.1.5.2), encontramos (3.2.1.5.5)

Así el momento total es (3.2.1.5.6)

Donde la integral se toma sobre la sección transversal completa de la viga, incluyendo las fibras por

encima y por debajo de la sección media.

La integral en (3.2.1.5.6) es el momento de inercia de la viga alrededor de la sección media, el cual se

denota por . Así, (3.2.1.5.6) se puede escribir

(3.2.1.5.7)

Pero el radio de curvatura se conoce del cálculo como

(3.2.1.5.8)

Usando esto en (21) se obtiene,

(3.2.1.5.9)

donde es el modulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseño de la viga, e

es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en x con respecto a una línea horizontal que

pasa por el centro de gravedad de esta sección transversal. El producto se llama rigidez flexural, y se

considerara como una constante.

16

Note que tenemos estiramiento si y contracción si . Un ejemplo de un caso donde se excede el limite elástico

seria el de un resorte que se estira tanto que sus propiedades cambian (y como resultado, el modulo de Young). Si ocurre

demasiada fuerza y estiramiento resultante el resorte finalmente se romperá.

138

Si asumimos que la viga se dobla solo levemente, lo cual es valido para muchos propósitos prácticos, la

pendiente de la curva elástica es tan pequeña que su cuadrado es despreciable comparado con 1, y la

ecuación (3.2.1.5.9) se puede remplazar por la buena aproximación

(3.2.1.5.10)

Las condiciones adicionales vienen dadas según el caso de vigas que se quiera modelar.


En la figura 3.24 se muestra la curva elástica de la viga (línea punteada) relativa a un conjunto de ejes

coordenados con origen en 0 y direcciones positivas indicadas. Puesto que al viga esta simplemente

soportada en 0 y en B, cada uno de estos soportes lleva la mitad del peso de la viga, o sea . El

momento flexionante M(x) es la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas actuando a un lado

del punto P. Escojamos primero el lado izquierdo de P. En este caso actúan dos fuerzas:

1. La fuerza hacia arriba , a una distancia x de P, produciendo un momento negativo.

2. La fuerza hacia abajo , a una distancia de (centro de gravedad de OP) de P, produciendo

un momento positivo.

El momento flexionante total en P es así

(3.2.1.5.11)

Si hubiéramos escogido el lado derecho de P, actuarían dos fuerzas:

1. La fuerza hacia abajo , a una distancia , de P, produciendo un momento positivo.

2. La fuerza hacia arriba , a una distancia de P, produciendo un momento negativo.

139

Figura 3.24

En este caso el momento flexionante es

(3.2.1.5.12)

Lo cual concuerda con (3.2.1.5.11) y muestra que al calcular el momento flexionante no importa cual

lado de P se use.

Con el valor de , la ecuación fundamental es

(3.2.1.5.13)

Dos condiciones son necesarias para determinar y. Estas son

donde puesto que la viga no se deflecta en los extremos.


Integrando (3.2.1.5.13) dos veces se obtiene

Puesto que cuando , tenemos . De donde,

Puesto que cuando , y tenemos, finalmente,

(3.2.1.5.14)

como la ecuación requerida de la curva elástica. Es de interés práctico usar (6) para hallar la máxima

deflexión. De la simetría o por el calculo, el máximo ocurre en . De donde,

deflexión máxima

140

3.3. Ejercicios Propuestos.

Nivel A:

1. Una fem de 500 voltios está en serie con una resistencia de 20 ohmios, un inductor de 4 henrios y un

condensador de 0,008 faradios. En , la carga y la corriente I son cero.

a) Encuentre para t = 0.

b) Indique los términos transiente y de estado estacionario en .

c) Encuentre después de un largo tiempo.

2. Un inductor de 0,1 henrios, un condensador de 4 x 10-3 faradios, y un generador teniendo una fem

dada por 180, t = 0, se conectan en serie. Encuentre la carga instantánea y la corriente si

.

3. Una resistencia de 50 ohmios, un inductor de 2 henrios y un condensador de 0,005 faradios están en

serie con una fem de 40 voltios y el interruptor abierto, Encuentre la carga instantánea y la corriente

después de que el interruptor se cierre en t = 0, asumiendo que a ese tiempo la carga en el condensador

es 4 columbios.

4. Las oscilaciones pequeñas de un péndulo simple tienen un período de 2 seg. Determine la longitud del

péndulo. Encuentre la longitud correspondiente de un péndulo simple que tiene dos veces este período.

5. El medallón de un péndulo simple de 2 pies de longitud se desplaza de manera que la cuerda del

péndulo forma un ángulo de con la vertical. Si el péndulo se suelta de ésta posición:

a) Encuentre el ángulo que la cuerda forma con la vertical en cualquier tiempo.

b) Determine la frecuencia de la vibración.

c) Calcule la distancia recorrida por el medallón del péndulo durante un periodo.

d) Encuentre la velocidad y aceleración del medallón en el centro de su trayectoria.

6. Un peso de 2 lb. Suspendido de un resorte lo estira 1,5 pul. Si el peso se hala 3 pul. Por debajo de la

posición de equilibrio y se suelta:

a) Establezca una ecuación diferencial y condiciones que describan el movimiento.

b) Encuentre la velocidad y posición del peso como una función del tiempo.

c) Encuentre la amplitud, período y frecuencia del movimiento.

d) Determine la posición, velocidad y aceleración seg después de soltar el peso.

141

7. Un resorte suspendido de un techo tiene una constante de . Un peso de . Se coloca en el

resorte, y cuando se alcanza el equilibrio, el peso se eleva 5 pul por encima de la posición de equilibrio y

se suelta. Describa el movimiento dando la amplitud, período y frecuencia.

8. Un peso de 256 lb. Está suspendido de un resorte vertical el cual tiene una constante de 200 lb/pie. Si

el peso se eleva 3 pul por encima de su posición de equilibrio y se suelta:

a) Encuentre la posición del peso en un tiempo 1/3 seg después y determine en cual dirección y que tan

rápido se está moviendo el peso en este tiempo.

b) Encuentre la amplitud, período y frecuencia de la vibración.

c) ¿En que tiempos está el peso 1,5 pul por debajo de la posición de equilibrio y moviéndose hacia abajo?

9. Una partícula parte del reposo a una distancia de 10 cm de un punto fijo 0. Se mueve a lo largo de

una recta horizontal hacia 0 bajo la influencia de una fuerza de atracción en 0. Esta fuerza en cualquier

tiempo varía con la distancia de la partícula de 0. Si la aceleración de la partícula es dirigida

hacia cero cuando la partícula esta a un centímetro de 0, describa el movimiento.

10. Una partícula parte del reposo a 20 cm de un punto fijo 0. Se mueve a lo largo de una línea horizontal

hacia bajo una fuerza de atracción en 0 la cual varía directamente con su distancia de 0. En su velocidad

es de .

a) Encuentre su velocidad y aceleración a 10 cm de 0.

b) Determine la amplitud, período y frecuencia del movimiento.

c) Encuentre su posición, velocidad y aceleración después de seg.

d) Encuentre los tiempos cuando la partícula pasa por 0.

11. Un peso de 4 lb suspendido de un resorte lo estira 3 pul. El peso se hala 6 pul por debajo de su

posición de equilibrio y se suelta a , donde es la velocidad instantánea en pies por segundos.

a) Establezca una ecuación diferencial y condiciones, que describan el movimiento.

142

b) Determine la posición del resorte para cualquier tiempo después de haber soltado el peso. (c) Escriba

el resultado de (b) en la forma . Así, determine la amplitud, tiempo variante, cuasi

período, y el ángulo de fase.

12. Un peso de 64 lb está suspendido de un resorte con constante 50 lb/pie el peso está bajo la

influencia de una fuerza resistente numéricamente en libras igual a 12 veces la velocidad instantánea en

pie por segundo. Si el peso se hala 6pul por debajo de la posición de equilibrio y se suelta, describa el

movimiento, dando la amplitud, tiempo variante, y el cuasi período del movimiento.

13. Un resorte vertical con constante de 5 lb/pie tiene suspendido un peso de 16 lb. Se aplica una fuerza

externa dada por . Se asume que actúa una fuerza amortiguadora dada

numéricamente en libras por donde es la velocidad instantánea del peso en pies por segundo.

Inicialmente el peso está en reposo en su posición de equilibrio.

a) Determine la posición del peso en cualquier tiempo.

b) Indique las soluciones transientes y de estado estacionario.

c) Encuentre la amplitud, período y frecuencia de la solución de estado estacionario.

14. Un resorte vertical con constante de tiene suspendido un peso de . Se aplica una

fuerza dada por , . Asumiendo que al peso, inicialmente en la posición de

equilibrio, se le da una velocidad hacia arriba de y que la fuerza amortiguadora es

despreciable, determine la posición y velocidad del peso en cualquier tiempo.

15. Un resorte se estira 10 cm por una fuerza de 500 dinas. Una masa de 2 g está suspendida del resorte

y le permite que legue al equilibrio. Luego se le aplica una fuerza dada en dinas por

. Asumiendo que hay una fuerza amortiguadora dada numéricamente en

dinas por donde es la velocidad instantánea en centímetros por segundo, encuentre la posición de

la masa

a) En cualquier tiempo;

b) Después de un tiempo largo.

16. Un resorte vertical con constante de tiene acoplado un peso de . Se aplica una fuerza

dada por , . Asumiendo que en el peso está en reposo en la posición de

equilibrio y que la fuerza amortiguadora es despreciable.

a) Establezca una ecuación diferencial y condiciones que describan el movimiento.

b) Determine la posición y velocidad del peso en cualquier tiempo.

c) Muestre que el movimiento es de resonancia.

17. Una viga en voladizo uniforme de longitud L y de peso despreciable tiene una carga concentrada S en

el extremo libre. Encontrar:

a) La ecuación dela curva elástica.

143

b) La deflexión máxima.

18. Una viga de longitud y de peso despreciable esta apoyada simplemente en ambos extremos. Una

carga concentrada actúa en su centro. Encuentre:

a) La ecuación de la curva elástica.

b) La deflexión máxima.

c) El valor numérico de la pendiente en los extremos.

19. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad

inicial igual a la velocidad de escape. Despreciando la influencia de la Luna y otros planetas:

a) Muestre que la velocidad del proyectil a la distancia de su punto de partida es:

donde es el radio de la Tierra.

b) Calcule la velocidad del proyectil después de viajar 120.000 millas.

c) Muestre que el tiempo empleado por el proyectil para viajar la distancia es

20. Un cable de un puente colgante tiene sus soportes al mismo nivel, separados a una distancia de 500

pies. Si los soportes están a 100 pies más altos que el punto mínimo del cable, use un conjunto

apropiado de ejes para determinar una ecuación para la curva en la cual el cable cuelga, asumiendo que

el puente es de peso uniforme y que el peso del cable es depreciable. Encuentre la pendiente del cable

en los soportes.

Nivel B:

1. Un inductor de 0,5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 5 ohmios y un condensador

de 0,08 faradios. En t = 0 la corriente es 10 amp, y la carga en el condensador es cero. Muestre que la

carga se eleva al máximo en 0,2 seg y determine el valor del máximo.

2. Un péndulo simple vibra en un medio en el cual el amortiguamiento es proporcional a la velocidad

instantánea. Si el medallón del péndulo pasa a través de la posición de equilibrio con

velocidad , muestre que el ángulo que forma la cuerda del péndulo con la vertical es

donde es la constante de amontiguaminento y es la longitud del pendulo.

a) Encuentre si la distancia recorrida durante un ciclo completo es la mitad de la del ciclo previo.

b) ¿Cuál es el cuasi periodo y la frecuencia?

144

3. Un peso W suspendido de un resorte vertical produce un estiramiento de magnitud a. Cuando el peso

está en equilibrio se le aplica una fuerza que le da una velocidad hacia abajo. Muestre que el peso

viaja una distancia por un tiempo antes de que empiece a regresar.

4. Cuando un peso al extremo de un resorte se pone en movimiento, el período es 1,5 seg. Después de

añadirle 1 peso de 8 lb, el período es de 2,5 seg. ¿Cuánto peso estaba originalmente en el resorte?

5. Un resorte oscila verticalmente. La velocidad y aceleración máximas estas dadas respectivamente, por

. Muestre que el período de oscilación es de

, y la amplitud de .

6. El movimiento de una masa en un cierto resorte vertical está descrito por

en

donde es la distancia instantánea de la masa desde la posición de equilibrio, la dirección positiva se

toma hacia abajo.

a) diga una interpretación física al problema.

b) Muestre que la solución puede escribirse .

c) Muestre que el gráfico de x como una función de t es similar al de la Figura 5.11.

7. La ecuación de vibración forzada de una masa en un resorte vertical es

donde es el desplazamiento de la masa de su posición de equilibrio y son constantes

positivas.

a) Muestre que una oscilación de estado estacionario está dada por

b) Muestre que las oscilaciones máximas (resonancia) ocurrirán si se toma tal que:

con tal que .

c) Muestre que es resonancia, la amplitud de la oscilación varía inversamente con la constante de

amortiguamiento .

145

8. Una viga de longitud L y peso uniforme w por unidad de longitud tiene sus dos extremos

horizontalmente fijos empotrados. Determine la ecuación de la curva elástica y encuentre la deflexión

máxima. (Sugerencia: Asuma que el momento desconocido en cualquier extremo es A, y determine A de

las condiciones de frontera.)

9. Un extremo de una viga de longitud L y de peso uniforme w por unidad de longitud esta simplemente

apoyado, mientras que el otro extremo esta horizontalmente fijo.

a) Encuentre la ecuación de la curva elástica.

b) Muestre que la deflexión máxima ocurre a una distancia , aproximadamente, del

extremo fijo y tiene una magnitud aproximada de .

10. Una viga de longitud L y peso despreciable esta simplemente apoyada en ambos extremos y en el

centro. Soporta un peso uniforme de por unidad de longitud. Determine la ecuación de la curva

elástica.

11. Un objeto se proyecta verticalmente desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de v0 de

magnitud menor a la velocidad de escape. Si solamente se tiene en cuenta la influencia de la Tierra,

muestre que la máxima altura alcanzada es .

12. Un cable pesa 0,5 lb/pie. Cuelga de dos soportes que están a un mismo nivel y a 100 pies de

separación. Si la pendiente del cable en uno de los soportes es .

a) Encuentre la tensión del cable en su punto mas bajo

b) Determine una ecuación para la curva en la cual el cable cuelga.

13. Un cable de un puente colgante tiene sus soportes en el mismo nivel, separados a una distancia de L

pies. Los soportes están por encima del punto mínimo de cable. Si el peso del cable es

despreciable pero el puente tiene un peso uniforme de w libras por pie muestre que:

a) La tensión en el cable en el punto mas bajo es .

b) La tensión en los soportes es .

Nivel C:

1. Una fuerza horizontal constante se aplica al extremo libre de una viga en voladizo de longitud y

peso .

a) Muestre que la deflexión “y” está dada por la ecuación

b) Encuentre la deflexión máxima de la viga.

146

2. Un resorte reposa tenso pero sin estirar en una mesa horizontal. Un extremo esta acoplado a un punto

0 en la mesa y el otro a un peso . El peso se desplaza para que el resorte se estire a una distancia a,

luego se suelta. Si el coeficiente de rozamiento entre el peso y la masa es y si la constante del resorte

es , muestre que cuando el resorte regrese a su posición sin estiramiento la magnitud de su velocidad

es

y que esto toma un tiempo dado por

3. Cuando el resorte del ejercicio anterior está en su posición sin estiramiento, al peso se le da una

velocidad alejándolo de 0. Muestre que viaja una distancia

Antes de empezar a regresar, y que esto toma el tiempo dado por

5. Una masa m está suspendida verticalmente de un resorte con constante k. La masa se hala 0x por

debajo de su posición de equilibrio y se le da una velocidad hacia abajo. Una fuerza amortiguadora

, donde v es la velocidad instantánea y es una constante positiva, actúa sobre la masa. Muestre que

si la masa se escoge tal que , entonces viaja hacia abajo por un tiempo dado por

y luego regresa gradualmente a su posición de equilibrio.

6. Un cable de densidad tiene 250 pies de largo. Cuelga de dos soportes que están al mismo

nivel y separados 200 pies. Calcule:

a) La distancia de los soportes por encima del punto mas bajo del cable.

b) La tensión en ese punto.

7. Un cable de densidad cuelga de dos soportes que están al mismo nivel y separados 50

pies. Los soportes están a 10 pies por encima del punto mas bajo del cable. Encuentre:

a) La longitud del cable.

b) La tensionen el punto mas bajo del cable.

c) La tensión en los soportes del cable.

147

Conclusiones

El material aquí expuesto sería de gran apoyo a la docencia para cursos de EDOs que se imparten a

estudiantes de ingeniería, ciencias y matemática.

El material confeccionado sería de ayuda en los proyectos de orientación vocacional en la carrera de

matemática.

Los modelos programados en el “Mathematica” sirven como material didáctico en el estudio y

profundización de las EDOs.

Se elaboró un folleto que consta de 111 ejercicios propuestos organizados por nivel de complejidad y

sirven a los estudiantes para su preparación.

148

Recomendaciones.

Continuar enriqueciendo el material con modelos, aplicaciones y ejercicios; organizados según la

clasificación de las EDOs involucradas y complejidad.

Incluir modelos que conduzcan a sistemas de ecuaciones diferenciales.

Someter a valoración de expertos los modelos y aplicaciones tratadas.

Continuar con la programación dinámica en el software “Mathematica” de cada uno de los modelos

tratados.

Elaborar un paquete “Modelos y Aplicaciones” en el “Mathematica” que pueda ser insertado en

éste y funcione como parte de él.

149

Referencias Bibliográficas

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http://www.zambon.es/

150

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Zill, D. G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.

152

Anexo 1. Programación dinámica de las soluciones.

A1.1. Simulación Dinámica de la solución del problema de Cauchy,

Paso 1. Resolvemos la ecuación diferencial

Paso 2. Se implementa un código para simular la solución en función de los parámetros .

153




x0 0.

y0 0.

k 0.38

muestra la familia de curvas

4 2 0 2 4 6 8 10x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

yx

154

x0 0.276

y0 0.394

k 0.46

a 0.33


4 2 0 2 4 6 8 10x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

yx

155




156

A1.4. Simulación Dinámica de la solución del problema,


Paso 2. Se implementa un código para simular la solución en función de los parámetros

.

x0 0.134

y0 0.34

k 0.36

a 0.38


4 2 0 2 4 6 8 10x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

yx

157

x0 0.25

y0 0.25

x1 0.25

y1 0.25

1


4 2 2 4 6 8 10x

1.0

0.5

0.5

1.0

yx

158

A1.5. Simulación Dinámica de la solución del problema,

Paso 1. Resolvemos la ecuación diferencial (utilizamos en vez de por razones de cómputo).

159

Paso 2. Se implementa un código para simular la solución en función de los parámetros

(utilizamos por razones de cómputo)

160

x0 0.25

y0 0.25

x1 0.285

y1 0.25

1

k 0.3


4 2 2 4 6 8 10x

3

2

1

1

2

3

yx

Solución de algunos de los Ejemplos

Ilustrativos

Fecha: 29 / 06 / 2008 6:04 pm

Exámen de ecuaciones diferenciales

DSolveB:x'@tD � k x@tD 1 -x@tD100

, x@0D � 2>, x@tD, tF

Solve::ifun :

Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use

Reduce for complete solution information. �

::x@tD ®100 ãk t

49 + ãk t>>

NBSolveB100 ã2 k

49 + ã2 k� 5, kFF

88k ® 0.473691<<

y@t_D := 100ã0.47 t

49 + ã0.47 t

[email protected]

Venta de piezas

DSolveB:x'@tD � Α x@tD 1 -x@tD5000

, x@0D � 10>, x@tD, tF

::x@tD ®5000 ãt Α

499 + ãt Α>>

NBSolveB 5000 ã3 Α

499 + ã3 Α� 15, ΑFF

88Α ® 0.135489<<

NBSolveB 5000 ã0.1355 t

499 + ã0.1355 t� 4000, tFF

88t ® 56.0804<<

Propagación de enfermedades

DSolveB:x'@tD � k x@tD 1 -x@tD10000

, x@0D � 50>, x@tD, tF

::x@tD ®10000 ãk t

199 + ãk t>>

NBSolveB10000 ãk 3

199 + ãk 3� 250, kFF

88k ® 0.543248<<

m@t_D :=10000 ã0.54 t

199 + ã0.54 t

m@12D

7661.49

Censo de población

2 Ejemplos Ilustrativos .nb

Censo de población

logist@t_, PM_, t0_, P0_, Α_D :=

PM � H1 + HHPM - P0L �P0L *Exp@-Α * Ht - t0LDLlogist@t, 180, 0, 3.93, ΑD

180

1 + 44.8015 ã-t Α

NBSolveB 180

1 + 44.8015 ã- 20 Α� 7.24, ΑFF

88Α ® 0.031498<<

logist@130, 200, 0, 3.93, 0.03149D

109.168

Flujo calorífico estacionario

DSolveB:T'@rD � - k1

r, T@r0D � T0>, T@rD, rF

88T@rD ® T0 - k Log@rD + k Log@r0D<<

Reacciones químicas

DSolve@8x'@tD � k H260 - x@tDL H175 - x@tDL, x@0D � 0<, x@tD, tD

::x@tD ®

9100 I-1 + ã85 k tM

-35 + 52 ã85 k t>>

Ejemplos Ilustrativos .nb 3

NBSolveB9100 I-1 + ã850 kM

-35 + 52 ã850 k� 60, kFF

88k ® 0.000185282<<

r@t_D :=9100 I-1 + ã0.000185´850 tM

-35 + 52 ã0.000185´850 t

r@30D

174.486

Modelo de crecimiento de Solow

DSolveA9k'@tD � 0.18 k@tD2 - 0.008 k@tD, k@t0D � k0=, k@tD, tE

::k@tD ®

-5.8111´10

142.71828

0.008 t0

-1.3075´10162.71828

0.008 t0+ 1. 2.71828

0.008 t J -5.8111´1014+1.3075´1016 k0

k0N1.

>>

FullSimplify@%D

::k@tD ®1

22.5 - 1.72085´10-15

ã0.008 t-0.008 t0 J1.3075´1016

-5.8111´1014

k0N1.

>>

Modelo de crecimiento en peso

DSolveA9W'@tD � 0.2 W@tD2 - 0.3 W@tD, W@t0D � W0=, W@tD, tE

::W@tD ® -3.3777´10

152.71828

0.3 t0

-2.2518´10152.71828

0.3 t0+ 1. 2.71828

0.3 t J -3.3777´1015+2.2518´1015 W0

W0N1.

>>

4 Ejemplos Ilustrativos .nb

FullSimplify@%D

::W@tD ®1

0.666667 - 2.96059´10-16

ã0.3 t-0.3 t0 J2.2518´1015

-3.3777´1015

W0N1.

>>

Circuitos LRC

DSolve@8Q''@tD + 12 Q'@tD + 100 Q@tD � 48 Sin@10 tD,Q@0D � 0, Q'@0D � 0<, Q@tD,tD

:: Q@tD ® -1

20ã-6 t I-8 Cos@8 tD + 9 ã6 t Cos@2 tD Cos@8 tD -

ã6 t Cos@8 tD Cos@18 tD + 3 ã6 t Cos@8 tD Sin@2 tD - 6 Sin@8 tD +

3 ã6 t Cos@2 tD Sin@8 tD + 3 ã6 t Cos@18 tD Sin@8 tD - 9 ã6 t Sin@2 tD Sin@8 tD -

3 ã6 t Cos@8 tD Sin@18 tD - ã6 t Sin@8 tD Sin@18 tDM >>

FullSimplify@%D

:: Q@tD ®1

10I-4 Cos@10 tD + ã-6 t H4 Cos@8 tD + 3 Sin@8 tDLM >>

El cable clgante

DSolveB:y''@xD ==w

H 1 + y'@xD2 ,

y@0D � b, y'@0D � 0>, y@xD, xF

::y@xD ®

H + b w - H CoshA w x

HE

w>, :y@xD ®

-H + b w + H CoshA w x

HE

w>>

Ejemplos Ilustrativos .nb 5

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