01a Sistemas de Proyección

7/28/2019 01a Sistemas de Proyeccin

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Dr. H. Jaime Hernndez P. Sistemas de Proyeccin de 111

Sistemas de Proyeccin

Los mapas son planos y la superficie terrestre es curva. La transformacin de un espaciotridimensional en uno bidimensional es lo que se conoce como proyeccin. Las frmulas deproyeccin son expresiones matemticas que se utilizan para convertir los datos de posicionesgeogrficas (latitud y longitud) sobre una esfera o esferoide en posiciones sobre un plano. Esteproceso distorsiona al menos una de las siguientes propiedades: forma, superficie, distancia odireccin. Debido a que es frecuente realizar mediciones de alguna de stas propiedades, losusuarios de los mapas deberan saber que propiedades son afectadas por un sistema de proyeccindeterminado y en que medida. En resumen, los mapas conformes conservan las formas locales,mapas equivalentes mantienen todas las reas a la misma escala, mapas equidistantes conservan lasdistancias, y mapas de direccin verdadera contienen las direcciones geogrficas en forma precisa.

1. La forma de la Tierra

Aunque la tierra es realmente un esferoide muchas veces se trata como si fuera una esfera con elobjetivo de facilitar los clculos matemticos. El radio de sta esfera es de 6.370.997 metros.Suponer a la tierra como una esfera no tiene mayores inconvenientes en mapas de escala pequea(menores a 1:5.000.000) debido a que no se detecta la diferencia entre una esfera y un esferoide. Sinembargo, para escalas grandes (1:1.000.000 o ms) la tierra debe ser tratada como un esferoide paramantener la precisin de los mapas.

Al igual que una esfera se basa en un crculo, un esferoide (o elipsoide) esta basado en una elipse.La forma de una elipse esta definida por dos radios. Los respectivos radios de cada eje se

denominan eje semi-menor eje y semi-mayor.La diferencia de magnitud entre los dos ejes de una elipse pueden ser expresados como una fraccino como un decimal. Este valor es usado para definir su grado de elipticidad o aplanamiento.

Los valores de elipticidad pueden variar de cero a uno, donde una elipticidad de cero significa quelos dos ejes son iguales y la elipse se transforma en un crculo. Una elipticidad de uno significa quela figura tendra solo un eje, apareciendo como una lnea, cuya longitud sera igual al largo del ejemayor. Un elipsoide que se aproxima a una esfera es llamado esferoide, un elipsoide que seaproxima a la forma de la tierra puede ser formado por rotacin sobre el eje menor.


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La elipticidad de una esfera es cero, mientras que la elipticidad de la tierra es aproximadamente0,003353. Un fenmeno de achatamiento es observado en los polos y una mayor curvatura ocurreen el Ecuador. De esta forma el semi-eje mayor describe el radio ecuatorial, y el semi-eje menorrepresenta el radio polar.

Definicin de diferentes esferoides para cartografa de precisin

La tierra ha sido cartografiada muchas veces para lograr un mejor entendimiento de los elementossobre su superficie y sus peculiares irregularidades. De estos estudios se han definido muchosesferoides para representar la tierra. Los semi-ejes mayor y menor que mejor describen la forma dela tierra en una zona geogrfica no son necesariamente los mismos para otra zona. Hasta hace pocolos valores determinados por Clarke en 1866 fueron usados para describir el esferoide de mayor usoen Norteamrica, el cual es conocido como North American Datum 1927 (NAD27). El semi-ejemayor de este esferoide es de 6.378.206,4 metros, y el semi-eje menor ha sido calculado como6.356.583,8 metros.

Debido ha variaciones gravitacionales y variaciones en los elementos superficiales, la tierra no es niuna esfera perfecta, ni un esferoide perfecto. La tecnologa satelital a revelado la presencia deseveras desviaciones elpticas. Por ejemplo el polo Sur esta ms cerca del Ecuador que el poloNorte. En los ltimos aos esferoides calculados usando tecnologa satelital han reemplazado aesferoides calculados en tierra.

2. Mediciones del globo terrqueo

Aunque grado de latitud y de longitud pueden ser usados para localizar en forma exacta posicionessobre el globo, no constituyen unidades uniformes de medida sobre la superficie terrestre, sloalrededor del Ecuador la distancia representada por un grado de longitud es aproximadamente igual


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a la distancia representada por un grado de latitud. Esto es debido a que el Ecuador es el nicoparalelo tan largo como un meridiano.

Los grados de latitud y longitud no estn asociados a un largo estndar y por lo tanto no pueden serusados para hacer mediciones precisas de las distancias. Adems, debido a que es un sistema dereferencia basado en ngulos medidos desde el centro de la tierra, y no mediciones de distanciasobre la superficie de ella, no es un sistema de coordenadas plano. De la misma forma, debido a queel sistema de coordenadas global es usado para representar la superficie curva de la tierra, no puedeser llamado un sistema de proyeccin. Sera ms exacto decir que los valores de latitud y delongitud sirven como posiciones de referencia sobre la superficie de la tierra para todos los sistemasde proyeccin de mapas disponibles. Debido ha esta habilidad de referenciar posiciones especficas,el sistema de coordenadas esfricas es tambin conocido como Sistema de Referencia Global(Global Reference System). Las unidades de grados, minutos, y segundos son usadas parageorefenciar puntos sobre los mapas base.

Mediciones Esfricas

Aunque es fcil de conceptualizar la cartografa de superficies planas, o la geometra planar, laproyeccin de los sistemas de proyeccin comienza entendiendo la geometra esfrica. En unsistema esfrico todas las lneas horizontales son llamadas latitudes o paralelos. Las lneasverticales son llamadas longitudes o meridianos. Estas lneas envuelven el globo formando unagrilla.

Por encima y debajo del Ecuador, los crculos que definen los paralelos se van reduciendo detamao en forma gradual hasta que se convierten en un nico punto, el Polo Norte o el Polo Sur.

Los polos son tambin el lugar donde los meridianos convergen. Dado que los meridianosconvergen en estos puntos, la distancia representada por una grado de longitud va disminuyendohasta que es igual a cero. En el esferoide de Clarke 1866, un grado de longitud en el Ecuador esigual a 111,321 Km., mientras que a una latitud de 60 es de slo 55,802 Km.

Observando el Polo Norte arriba , el eje horizontal es llamado Ecuador y el eje vertical es llamadoprimer meridiano de Greenwich. El origen es definido por la interseccin de ambos, y al igual queel sistema cartesiano sus coordenadas son (0,0). La esfera es entonces dividida en cuatro cuadrantesgeogrficos basado en las direcciones definidas por una brjula en el origen. Arriba y bajo elEcuador son llamados Norte y Sur respectivamente, y a la derecha y a la izquierda del meridiano deGreenwich se les denominan Este y Oeste.


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Latitud y longitud son ngulos medidos desde el centro de la tierra, los cuales definen la posicin depuntos sobre el globo. Ellos corresponden al ngulo de una lnea que se extiende desde el centro dela tierra hasta su superficie entendida como un sistema esfrico de coordenadas.

Una crculo puede ser dividido en 360 unidades llamadas grados, cada grado puede ser subdivididoen 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Latitud y longitud son tradicionalmente medidos engrados, minutos y segundos. Para la latitud, 0 est en el Ecuador, 90 en el Polo Norte, y 90 en elPolo Sur. Para la longitud, 0 es el meridiano de Greenwich (Inglaterra), comienza en el Polo Nortepasa por Greenwich, y termina en el Polo Sur. La longitud es medida en forma positiva hasta 180,

cuando se viaja desde Greenwich al Este, y en forma negativa hasta 180 cuando se viaja deGreenwich al Oeste. Por ejemplo, Australia est al Sur del Ecuador y al Este de Greenwich, tienelongitud positiva y latitud negativa.

Mediciones en el plano

Debido a la dificultad de realizar mediciones en coordenadas esfricas, los datos geogrficos sonproyectados a un sistema de coordenadas plano. Una vez que la esfera, o una parte de ella, esproyectada sobre una superficie plana los valores esfricos cambian. Sobre un plano, las posicionesson indicadas por el par de coordenadas (x,y) sobre una grilla, con el origen en el centro de lamisma. Cada posicin tiene dos valores, uno indicando su posicin horizontal (eje x) y el otro suposicin vertical (eje y). Las coordenadas del centro son (0,0). La ventaja de un sistema planar, es

que las medidas de largos, ngulos y reas se mantienen constantes a lo largo de las dos direcciones.


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Propiedades de los sistemas de proyecciones cartogrficas

Ya sea que se trate a la tierra como una esfera o como un esferoide, se debe transformar su

superficie tridimensional para crear un mapa plano. Esta transformacin usualmente usandoecuaciones matemticas, es conocida comnmente con el nombre de sistemas de proyeccin. Unaforma ms fcil de entender como los sistemas de proyeccin alteran las propiedades espaciales eshacer una visualizacin de la proyeccin de un haz de luz a travs de una superficie esfrica(proyeccin superficial), tal como se observa en la siguiente figura.

La proyeccin de un mapa involucra el uso de coordenadas que son definidas por frmulas deproyeccin. Las frmulas pueden transformar una cobertura de origen en una cobertura de salidaque luce similar, pero esta dibujada sobre una proyeccin completamente diferente. El resultadomuestra que las intersecciones, entre meridianos y paralelos, se mantienen pero los ngulos en losque estas intersecciones ocurren son diferentes. El siguiente diagrama muestra como lascaractersticas tridimensionales son comprimidas para que calcen sobre la superficie plana. Tambinpuede ocurrir un estiramiento.


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Proyecciones conformes

Las proyecciones conformes preservan las formas locales. Las lneas de la grilla sobre el globo

forman ngulos perpendiculares. Para preservar los ngulos individuales que describen lasrelaciones espaciales, una proyeccin conforme debe presentar una grilla de lneas que seintercepten en ngulos de 90 sobre el mapa. Esto se logra manteniendo todos los ngulos,incluyendo aquellos entre las intersecciones de los arcos. El problema es que el rea encerrada poruna serie de arcos ser distorsionada en el proceso. No existe un sistema de proyeccin que puedapreservar la forma cuando se trabaja con grandes regiones.

Proyecciones de rea equivalentes

Este tipo de proyecciones preservan el rea con que los elementos son representados. Para ello, laspropiedades de forma, ngulos, escala, o cualquier combinacin de ellas ser distorsionada enalguna medida. As en este tipo de proyecciones los meridianos y los paralelos podran no presentar

ngulos rectos en sus intersecciones. En algunos casos, especialmente en mapa para pequeasregiones, no ser tan obvia la distorsin de la forma, y ser difcil entre un sistema de proyeccinconforme y uno de rea equivalente.

Proyecciones Equidistantes

Los mapas equidistantes preservan las distancias entre ciertos puntos. La escala no puede sermantenida correctamente para la totalidad del mapa por ningn sistema de proyeccin. Sin embargoexisten en algunos casos, una o ms lneas sobre el mapa sobre las cuales la escala s se mantienecorrectamente. La mayora de los sistemas de proyeccin tienen una o ms lneas para las cuales sulargo sobre el mapa es el mismo (a escala) que su lnea de referencia sobre el globo, sin importar sies un crculo grande o pequeo, recto o curvo. Tales distancias son llamadas verdaderas.

Proyecciones de direccin verdadera

El camino ms corto entre dos puntos sobre una superficie curva, como la de la tierra, es a lo largodel equivalente esfrico de una lnea recta sobre una superficie plana. Esto es, el crculo sobre elcual los dos puntos se encuentran. Los sistemas de proyeccin de distancia verdadera o acimutalesse usan para rectificar alguno de los arcos de los crculos del globo, entregando la direccin oacimut de todos los puntos sobre el mapa correctamente con respecto al centro. Existen sistemas deproyeccin de este tipo que tambin son conformes, rea equivalentes o equidistantes.

3. Tipos de Proyeccin

Debido a que los mapas son planos, algunos de los sistemas de proyeccin ms simples se hacensobre formas geomtricas que pueden aplanar, sin estirar, sus superficies. Ejemplos comunes deformas que usan este criterio son conos, cilindros, y planos. En realidad, los cilindros y planos sonformas limitadas de un cono. Una expresin matemtica que proyecta sistemticamente lasposiciones de la superficie de una esfera para representarlas en un plano es llamada un sistema deproyeccin.

El primer paso para proyectar de una superficie a otra es crear uno o ms puntos de contacto. Cadauno de estos puntos se denominapunto de tangencia. Como se observa en la figura, una proyeccinplanar tiene slo un punto de tangencia. Por otra parte, un cono o un cilindro tienen lneas


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tangenciales sobre el globo. Si el plano de proyeccin intercepta al globo en vez de tocarlotangencialmente, la proyeccin resultante involucra clculos de secantes ms que de tangentes. Yasea que el contacto es secante o tangente, su localizacin es de importancia debido a que definen

posiciones de distorsin nula. Estas lneas son de escala verdadera y se les conoce como lneasestndar. En general, la distorsin aumenta en forma proporcional a la distancia a stas lneas decontacto.

La mayora de los sistemas de proyeccin pueden ser clasificados de acuerdo al tipo de superficiede proyeccin a utilizar: cnica, cilndrica y plana.

Proyecciones cnicas

La proyeccin cnica ms simple es aquella en que el plano cnico es tangente al globo a lo largode una lnea de latitud. En una proyeccin dada esta lnea es llamada paralelo estndar. Losmeridianos se proyectan en la superficie y se unen en el pice. Las lneas de paralelos se proyectan

sobre la superficie cnica como anillos consecutivos. A continuacin, se corta el plano del cono enun meridiano conocido, se abre, y se obtienen la proyeccin final, la cual tiene meridianos rectosque convergen y arcos de crculos concntricos como paralelos. El meridiano opuesto a meridianode corte se conoce como meridiano central.

En general, las distorsiones aumentan al norte y al sur del paralelo de tangencia. Por ello, truncandoel cono se obtienen proyecciones ms precisas. Ello puede ser logrado, al no incluir las regionespolares en la proyeccin.

Se pueden desarrollar Proyecciones ms complejas si se tienen dos lneas de contacto para lasuperficie cnica. stas proyecciones son llamadas secantes cnicas y estn definidas para dosparalelos estndar. La distorsin de las proyecciones secantes no es la misma para las regiones quese encuentran entre los paralelos estndar que para aquellas que estn ms all de ellos. Puedendesarrollarse proyecciones cnicas ms complejas en donde el eje del cono no est alineado con el

eje polar, en cuyo caso se denominan oblicuas.


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La representacin de los parmetros geogrficos depende de la separacin entre lneas paralelas.Cuando estn a igual distancia, la proyeccin es equidistante en la direccin Norte-Sur pero no esconformal ni rea equivalente, como es el caso de la Proyeccin Cnica Equidistante. Para reas

pequeas, la distorsin total es mnima. En la Proyeccin Cnica de Lambertlos paralelos centralesestn menos distanciados que los paralelos cercanos a los polos, y formas geogrficas pequeas semantienen en mapas de escalas grandes y pequeas. Finalmente, en la Proyeccin AreaEquivalente de Albers, los paralelos cerca de los bordes del Sur estn menos distanciados que loscentrales, y la proyeccin resultar del tipo rea equivalente.

Proyecciones cilndricas

Las proyecciones cilndricas tambin pueden tener una lnea de tangencia o dos lneas secantesalrededor del globo. La proyeccin de Mercator es una de las proyecciones cilndricas mscomunes, y el Ecuador es usualmente su lnea de tangencia. Los meridianos son proyectadosgeomtricamente en la superficie del cilindro, produciendo un ngulo de 90 en las intersecciones

con los paralelos. El cilindro puede ser cortado a los largo de un meridiano, y abierto, paraproducir la proyeccin cilndrica final. Los meridianos estn equi-distanciados, mientras que eldistanciamiento entre los paralelos disminuye hacia los polos. Esta proyeccin es de tipo conformaly representa direcciones verdaderas a lo largo de lneas rectas.

Cuando el cilindro se hacer rotar se obtienen proyecciones cilndricas ms complejas, debido a quese cambian las lneas de tangencia o de secante. Proyecciones cilndricas transversales tales como laTransversal de Mercatorusan los meridianos, o lneas paralelas a ellos, como lneas de tangencia.Estas lneas corren de Norte a Sur y se representan a escala verdadera. Cilindros oblicuos sonobtenidos por rotacin a lo largo de un gran crculo sobre el globo localizado en cualquier puntosobre el Ecuador y los meridianos. En estos sistemas complejos, la mayora de los meridianos y laslneas de latitud no son lneas rectas.

En todas las proyecciones cilndricas, las lneas de tangencia o de secante no tienen distorsin y deesta forma constituyen lneas de equidistancias. Las restantes propiedades geogrficas varandependiendo del tipo especfico de proyeccin.


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Proyecciones planas

Las proyecciones de este tipo proyectan la informacin sobre superficies planas que tocan

tangencialmnte el globo. Una proyeccin planar es del mismo tipo que las proyecciones acimutaleso las proyecciones cenitales. En esta clase de proyecciones se usan planos que son tangentes alglobo slo en un punto, pero tambin podran ser de tipo secante. El punto de contacto puede ser elPolo Norte, el Polo Sur, un punto sobre el Ecuador, o algn punto intermedio. Este punto determinael foco de proyeccin que definirn la orientacin y las funciones a utilizar. El foco se identificapor una longitud y latitudes centrales, y las orientaciones posibles son:polar, ecuatorial y oblicuo.

Las orientaciones polares son las ms sencillas. Los paralelos corresponden a crculos consecutivosa partir de los polos, y los meridianos corresponden a lneas rectas que se interceptan en el Polo conngulos de interseccin verdaderos. Para todas las orientaciones, la proyeccin planar tiene unagrilla con ngulos de interseccin rectos (90) y las direcciones son precisas desde el foco (paralelo

de mayor radio). Crculos sobre el globo que pasan por el foco estn representadas por lneas rectas,as la distancia ms corta entre desde un punto sobre el foco y cualquier otro punto es una lnearecta sobre el plano proyectado. Los patrones de distorsin de rea y de forma son de tipo circularcerca del foco. Por esta razn, las proyecciones acimutales se acomodan mejor para larepresentacin de regiones polares. Las proyecciones planares son de uso frecuente en la cartografade las regiones cercanas a los polos.

Algunas proyecciones planares visualizan la informacin a partir de un punto especfico en elespacio. Estepunto de vista determina el lugar sobre la superficie plana en donde se proyectarn losobjetos sobre la superficie esfrica. La perspectiva desde la cual todas las posiciones son observadasvara en los diferentes tipos de proyeccin acimutales. Los puntos de vista o de perspectiva puedencoincidir con el centro de la tierra, un punto sobre la superficie directamente opuesto al punto de

tangencia, o a un punto externo, como si estuviera montado sobre un satlite o en otro planeta.

Las proyecciones acimutales son diferenciables entre ellas en parte a la utilizacin de diferentesfocos, y en algunos casos por el punto de perspectiva. La siguiente figura compara tres tipos deproyecciones con orientacin polar pero con diferentes puntos de perspectiva. La ProyeccinGnomnica, proyecta la informacin desde el centro de la tierra. La Proyeccin Estereogrficaproyecta la informacin desde un Polo hacia su opuesto. Por ltimo, la proyeccin Ortogrfica,proyecta la informacin desde un punto ubicado a una distancia infinita en el espacio. Observecomo el tipo de punto de perspectiva determina la cantidad de distorsin alrededor del Ecuador.


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Otras Proyecciones

Los sistemas de proyeccin presentados hasta ahora pueden, conceptualmente, ser creadosproyectando una forma geomtrica (una esfera) sobre otra (un cono, cilindro, o plano). Existenmuchos otros sistemas que pueden ser relacionados de la forma anterior de forma fcil.

Las proyecciones Modificadas son versiones modificadas de algn tipo conocido. Por ejemplo:Space Oblique Mercator es una modificacin de la Proyeccin de Mercator. Las modificacionesson incluidas para disminuir las distorsiones, y a menudo incluyen lneas estndaradicionales opatrones de distorsin diferentes.

Las Pseudo-Proyecciones tienen slo algunas caractersticas de algn tipo de proyeccin conocido.

Por ejemplo, la Proyeccin Sinusoidal es llamada Proyeccin Pseudo-cilndrica debido a que todaslas lneas paralelas y meridianas estn igualmente espaciadas. Sin embargo, No es una proyeccincilndrica verdadera debido a que todas las lneas de meridianos, excepto la central, son curvas. Loanterior resulta en una apariencia oval ms que rectangular.

4. Universal transversal de Mercator (UTM)

La llamada UTM corresponde a un sistema deproyeccin cilndrico transversal, concaractersticas de conformal a nivel local. Eneste sistema el globo se divide en 60 zonas ohusos, cada una abarcando 6 de Longitud.Cada zona tiene su meridiano central. Loslmites en el eje ordenado se establecen en 84N y 80 S (ver figura).

En la prctica la UTM es un sistema secantecon lneas (meridianos) de distancia verdadera aambos lados del meridiano central (180 Km acada lado).


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La escala es 0.9996 en el meridiano central y a lo ms 1.0004 en los bordes de la zona. Lascoordenadas UTM estn definidas en metros, y se fija la coordenada X del meridiano central en500.000 m, y la coordenada del ecuador (eje Y) se fija en 10.000.000 m bajando hacia el Polo Sur

(hemisferio sur). Tpicamente las coordenadas UTM tienen 6 dgitos en el eje X y 7 dgitos en eleje Y. Por ejemplo, si consideramos el hemisferio sur para el caso de Chile, la coordenada (x, y) =(680.450 m, 5.306.560 m) significa que el punto en cuestin se encuentra 180.450 m al este delmeridiano central (x=500.000 m) y 5.306.560 m al sur del Ecuador.

Referencias

ESRI. 1994. Map Projections. Georeferencing spatial data.

Preguntas:a) Qu sistemas de coordenadas proyectadas se usan en Chile?, describa brevemente cada unode ellos.b) Qu husos de la UTM pueden ser usados en Chile?d) Por qu es necesario ms de un huso?d) Cules son, en grados, los meridianos centrales de dichos husos?

e) De Norte a Sur, en qu rango de coordenadas UTM (eje Y) se encuentra Chile?f) Para la localidad de Teno, VII Regin, A qu distancia se encuentra del meridiano central ydel Ecuador? Asuma el huso adecuado.


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UTM y Coordenadas

Geogrficas (LAT / LONG)

CHILE

En cada Huso la coordenada de l Husocentrlal es de 500.000 m

La lnea del Ecuador tiene coordenada(Y) 10.000.000. Este eje va

disminuyendo hacia el polo Sur.

Huso 18

Meridiano Central = 75

Huso 19

Meridiano Central = 69

78 72 66(LONGITUD)

24

32

40

48

(LATITUD)

Coordenadas UTM extremas (eje Y):

8.065.620 N (Borde con Per)

3.738.099 N (Islas Diego Ramrez)

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