Pedro Fernndez Dez http://libros.redsauce.net/

MECNICA DE

FLUIDOS

I.- INTRODUCCIN A LOS FLUIDOShttp://libros.redsauce.net/

I.1.- PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Los fluidos son agregaciones de molculas, muy separadas en los gases y prximas en los lquidos,

siendo la distancia entre las molculas mucho mayor que el dimetro molecular, no estando fijas en una

red, sino que se mueven libremente.

Un fluido se denomina medio continuo, cuando la variacin de sus propiedades es tan suave que se

puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo.

En Mecnica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias, de las que se derivan todas las de-

ms, a saber, masa, longitud, tiempo y temperatura.

Las propiedades de los fluidos ms interesantes son:

a) La isotropa, por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones.

b) La movilidad, por cuanto carecen de forma propia, por lo que se amoldan a la del recipiente que los

contiene; a un esfuerzo infinitamente pequeo le corresponde una deformacin infinitamente grande.

c) La viscosidad, que constituye una resistencia a la deformacin, la cual no sigue las leyes del roza-

miento entre slidos, siendo las tensiones proporcionales, en forma aproximada, a las velocidades de las

deformaciones; esta Ley fue formulada por Newton, que deca que, cuando las capas de un lquido desli-

zan entre s, la resistencia al movimiento depende del gradiente de la velocidad dv/dx, y de la superficie:

F = S dvdx

siendo h la constante de proporcionalidad; ahora bien, la velocidad va variando progresivamente de capa

en capa, y no bruscamente.

Si la velocidad relativa de desplazamiento es nula, la tensin tambin lo ser.

d) La compresibilidad, segn la cual, para cualquier esfuerzo a que se someta al fluido, su volumen

prcticamente no vara. As, para el caso del agua, por cada kg/cm2 que aumente su presin, se comprime

1/20.000 de su volumen. Para los fluidos compresibles, el volumen especifico ser funcin de la presin y

de la temperatura, siendo complicadas las expresiones que ligan estas variables

La expresin del coeficiente de compresibilidad es: k = - 1v (

vp)T

I.-1

Fig I.1.- Isotaquias de velocidades

Fig I.2.- Comportamiento de algunos fluidos

Los fluidos perfectos tienen:

- Isotropa perfecta

- Movilidad perfecta

- Fluidez perfecta, es decir, ausencia de viscosidad

- Compresibilidad nula

De la ausencia de rozamiento en un fluido perfecto, resulta que:

- Toda deformacin se efectuara sin trabajo

- Todo elemento de un fluido, puede ejercer solamente esfuerzos normales sobre un elemento veci-

no, o sobre una pared prxima

En la Fig I.2 se representan las grficas cartesianas de algunos de los diferentes tipos de fluidos, to-

mando como eje de ordenadas dvdx y como eje de abscisas el esfuerzo cortante.

I.2.- VISCOSIDAD DINMICA Y CINEMTICA

En la Ley de Newton enunciada anteriormente, es la viscosidad absoluta o coeficiente de viscosi-

dad dinmica; despejando este valor en dicha ecuacin se tiene:

= FS

dxdv =

dxdv

siendo la relacin FS el rozamiento por unidad de superficie.

El rozamiento en los lquidos se corresponde con el esfuerzo cortante en los slidos. Se sabe que, el

esfuerzo cortante en los slidos, origina a veces otros esfuerzos como los de traccin y compresin; lo

equivalente en los lquidos es que originan variaciones de presin, de tal modo, que la presin media sobre

I.-2

un elemento considerado, puede verse afectada por una pequea variacin en ms o en menos.

La relacin entre la viscosidad dinmica y la densidad del fluido es la viscosidad cinemtica =

Unidades.- El Poise es la viscosidad absoluta o dinmica de un fluido en el cual, la fuerza de una dina actuando sobre una capa de 1 cm2 de superficie, le imprime una velocidad de 1 cm/seg a otra capa

paralela a la misma superficie, situada a 1 cm de distancia.

En consecuencia se tiene:

Sistema cegesimal: 1 Poise = dinas. segcm 2

Sistema tcnico: 1 U.T.M. = 98 Poises 1 Poise = 198

kg segm2

La viscosidad dinmica del agua a 20C es igual a 0,01 Poises, 1 Centipoise

La viscosidad cinemtica se define en la forma =

, siendo la densidad.

El coeficiente de viscosidad cinemtica del agua para 0C y 760 mm de presin es:

a = 0,0178 Stokes = 1,78.10-6

m2

seg

mientras que a 20C es de 0,01 Stokes o un Centistoke.

I.3.- MEDIDA DE LA VISCOSIDAD

Viscosmetro absoluto calibrado.- Mediante un viscosmetro absoluto calibrado, se determina el tiempo de derrame del volumen constante de lquido cuya viscosidad se desea conocer.

Si el derrame es debido a la accin de su propio peso, se determina la viscosidad cinemtica.

Si el derrame es debido a una diferencia de presin, se determina la viscosidad dinmica.

El fluido circula a temperatura constante, bajo una diferencia de presin tambin constante, a tra-

vs de dos tubos capilares calibrados, Fig I.3.a.

El capilar A se mantiene a temperatura constante; el lquido fluye a travs del capilar, desde la bu-

reta graduada cilndrica B al embudo E, por rebosamiento del tubo grueso C.

En el instante t, si la diferencia de nivel del lquido en los dos tubos comunicantes B y C es h, la dife-

rencia de presin que rige el flujo es: h = g h.

El volumen de lquido dV que fluye durante el tiempo dt viene dado por la expresin:

dV = Q dt =

( p0 - p1 ) R4

8 l dt = h g R4

8 l dt

siendo R el radio del capilar, l la longitud del mismo y Q el caudal de fluido que circula.

Llamando V al volumen que fluye entre los instantes t1 y t2 correspondientes a los niveles h1 y h2, y

dado que la bureta graduada es cilndrica, se tiene:

- dVdh =

Vh1- h2

dV = - Vh1- h2 dh =

h g R4

8 l dt

V

h1- h2 dhh =

g R4

8 l dt V

h1- h2 ln

h1h2

= g R4

8 l (t2 - t1 )

I.-3

por lo que la viscosidad cinemtica es:

=

= g R4( h1- h2 ) ( t2- t1 )

8 l V ln h1h2

que permite hacer una medida absoluta de la viscosidad cinemtica, lo cual comporta la determinacin

de todas las magnitudes que intervienen en la expresin anterior.

Tambin es fundamental definir la temperatura para determinar el estado del fluido.

Viscosmetro emprico.- El viscosmetro emprico se basa en el derrame de lquidos por un pequeo orificio calibrado, Fig I.3.b. Aplicando la ecuacin de Poiseuille se puede medir la viscosidad del lquido co-

nociendo su densidad y el tiempo que tardara en pasar entre dos graduaciones fijas del tubo graduado A

y B, conociendo la viscosidad de un lquido patrn ' con el que se le compara, su densidad y el tiempo que

tardara en pasar entre los mismos puntos.

Fig I.3.- Viscosmetros

Segn la ecuacin de Poiseuille: Q =

p R4

8 l = 2 pl (

R2 )

4 1

= VolumenTiempo

( m3

seg)

El volumen del lquido a medir es:

V = 2

pl (

R2)

4 t

= p = h = (h"- h') = g h = 2 g h

l (R2 )

4 t

El volumen del lquido patrn es:

V = 2

p'l (

R2)

4 t'

= p'= ' h = ' g h = 2 ' g h

l (R2)

4 t''

Dividindolas miembro a miembro resulta: 1 =

t '' t'

' =

t' t'

' =

tt'

La cubeta M tiene que ser lo suficientemente grande como para que el aumento de nivel en la mis-

ma sea despreciable; ademas, acelera el paso del lquido por la pipeta, evitando la formacin de gotas a

la salida por tensin superficial. Para calcular la variacin de la presin se toma un valor medio en altu-

ras. Las viscosidades medidas con estos aparatos oscilan entre 0,01 y 15 Poises, oscilando el tiempo de

paso entre 70 y 700 segundos.

I.-4

Viscosmetro de cilindros coaxiales.- Para dar una primera definicin de la viscosidad basta con medir la fuerza necesaria para desplazar, en su plano, una placa plana paralelamente a otra, pero las

dificultades prcticas que comportara la realizacin de dicha medida, hace que, en la prctica, se reem-

placen las dos placas por dos cilindros coaxiales, de radios r1 y r2, dejando entre ellos un ligero espacio

(r1 - r2 = e) que contiene el fluido a estudiar, Fig I.4.

Si se hace girar el cilindro exterior alrededor de su eje a velocidad constante, el cilindro interior tiende

a girar en el mismo sentido, por lo que si se desea mantenerlo inmvil, es necesario ejercer sobre l un

par M en sentido inverso al del movimiento del cilindro exterior.

Fig I.4.- Viscosmetro de cilindros coaxiales

En rgimen permanente, este par resistente C debe equilibrar el par motor que provoca la rotacin

del cilindro exterior, ya que no existe ninguna aceleracin de la masa del fluido a la cual se apliquen los

dos pares; la determinacin del par C permite determinar la medida absoluta de la viscosidad del fluido.

En el fluido, la velocidad angular vara progresivamente de, 0 2 n, a lo largo de los radios de los

cilindros, siendo n el nmero de revoluciones por minuto del cilindro exterior. Si se consideran dos circunferencias concntricas de radios r y r +dr en las que el fluido se mueve con

velocidades angulares respectivas, w y w + dw, y si se toman dos partculas de fluido cuyos centros res-

pectivos estn sobre estas dos circunferencias, en el instante t, puntos A y B sobre el mismo radio; du-rante el tiempo dt, si la partcula que estaba en A pasa a A', la partcula que estaba en B pasar a B'.

La partcula cuya velocidad angular sea mayor, est mas lejos que el punto B'', situado sobre el radio

que pasa por A; el deslizamiento durante el tiempo dt de la partcula exterior, en relacin a la partcula

interior, est representado por B"B' y la diferencia de velocidades en el deslizamiento del espesor de la

capa fluida que contiene las partculas es:

BB'dt = ( r + dr ) dw

El gradiente de esta velocidad relativa siguiendo el radio es, despreciando los trminos de segundo or-

den: r dwdr .

La tensin tangencial en el lquido es: =

FrozS =

dvdr = r

dwdr

El par M es el mismo a lo largo del radio r, ya que debe tambin equilibrar, en rgimen permanente, el

par motor C, por lo que, M = C.

Si la longitud vertical de los dos cilindros en contacto con el lquido es L, el momento de las fuerzas de

viscosidad respecto al eje es:

M = F r = ( 2 r L ) r = 2 r3 L dwdr ; M = C ; dw =

C dr2 r 3L

I.-5

La integracin de la ecuacin anterior, permite obtener la velocidad angular, que queda en la forma:

w = - C4 r 2 L

+ Cte = Para: r = ri ; w = 0

Cte = C4 ri

2L = - C

4 r 2 L + C

4 ri2L

= C4 L (1

r12 -

1r 2

)

Para,

r = r2w = n/30

, con n el n de rpm del cilindro exterior, despejando la viscosidad se obtiene:

= C4 L w (

1r1

2 - 1r2

2 ) = 15 C

2 2L n ( 1

r12 -

1r2

2 )

El clculo precedente no tiene en cuenta la existencia de las secciones rectas inferiores de los cilin-

dros, por lo que suele introducirse un trmino correctivo que introduce el fondo circular, de forma que,

aproximadamente, se pueda considerar que el fondo se comporta como una altura suplementaria h, que-

dando la expresin de la viscosidad en la forma:

= 15 C

2 2 ( L + h) n ( 1

r12 -

1r2

2 )

En este mtodo, la determinacin de se limita a realizar una serie de medidas geomtricas (r1, r2,

L), cinemticas n y mecnicas C. Es evidente que adems, la temperatura y la presin del fluido tienen

que ser conocidas y medidas.

El aparato debe estar situado en un recinto a temperatura regulable, de forma que se pueda mante-

ner fija en el transcurso de la medida.

Por convenio internacional, existen unidades basadas en el tiempo que tarda el lquido en pasar a

travs de un orificio perfectamente calibrado.

En Europa se utilizan los grados Engler

En USA se utilizan los segundos Saybold

En Inglaterra se utilizan los segundos Reedwood

Los grados Engler se obtienen dividiendo el tiempo de vaciado del lquido problema a travs del orificio

calibrado y el tiempo que tardara por el mismo orificio un lquido patrn, agua destilada, efectuando am-

bas mediciones a la misma temperatura; en consecuencia:

Et =

ttagua

siendo las temperaturas ms usuales para realizar estas mediciones de 20C, 50C 100C.

Los segundos Saybold se obtienen midiendo el tiempo que 60 cm3 de fluido tardaran en circular por

un orificio calibrado siendo las temperaturas ms usuales de 70F, 100F, 130F y 210F.

Los segundos Reedwood se obtienen midiendo el tiempo que 50 cm3 de lquido tardaran en circular

por un orificio calibrado, siendo las temperaturas mas usuales de 70F, 100F, 140F y 200F.

Los coeficientes de viscosidad de los aceites lubricantes se expresan en unidades arbitrarias; en USA

se utiliza el nmero S.A.E., iniciales de Society of Automotive Engineers.

A 130F, la viscosidad de algunos aceites es:

SAE 10, est comprendida entre 160 y 220 centipoises SAE 20, est comprendida entre 230 y 330 SAE 30, est comprendida entre 360 y 430

I.-6

I.4.- INFLUENCIA DE LA PRESIN Y TEMPERATURA EN LA VISCOSIDAD

Para temperaturas elevadas, la viscosidad de los lquidos es muy pequea; para un valor de tempe-

ratura tendiendo a infinito, se corresponde con un valor cero de la viscosidad. La ecuacin que liga la

temperatura con la viscosidad es de la forma, Fig I.5:

log

t0

= CT - T0 t = 0 10

CT - T0

siendo 0, C y T0 valores caractersticos para cada lquido.

Para lquidos, la variacin de la viscosidad con la presin viene dada por: p = 0 ap , con 0 y a par-

metros caractersticos para cada lquido.

Para los gases, la ley de dependencia entre la viscosidad y la temperatura se puede expresar bastan-

te bien por la frmula de Sutherland:

T = 0 ( 1 + C

273) T

273

1 + CT

, en la que los valores de 0 y C vienen

dados en la Tabla I.1 y sirven para valores de T comprendidos entre 100K y 1500K.

Por lo que respecta a las presiones, la viscosidad depende de ellas segn la expresin:

p = 0 (1 + p)

siendo pocas las experiencias que permitan calcular .

Algunos valores de son: Para el CO2 a 25C... = 7470.10-6

Para el benzol a 20C = 930.10-6

Para el agua.............. = 17.10-6

Se observa que cuando la temperatura del fluido aumenta, la influencia de la presin disminuye.

Tabla I.1.- Valores de C y 0 de la frmula de Sutherland

Fluido C

Aire 114 0,166Oxgeno 128 0,18

Hidrgeno 74 0,083Nitrgeno 110 0,16

Anhidrido carbnico 260 0,137Monxido de Carbono --- 0,16

Vapor de agua 673 0,087

0 (kg.seg/m2 )

Fig I.5.- Influencia de la presin y la temperatura en la viscosidad

I.-7

Fig I.6.- Viscosidad dinmica para algunos lquidos Fig I.7.- Viscosidad dinmica para algunos gases a patm

Fig I.8.- Viscosidad del agua y de lquidos derivados del petrleo

Fig I.9.- Viscosidad cinemtica del aire, agua y vapor de agua en funcin de la temperatura y presin

I.5.- INDICE DE VISCOSIDAD

Para definir el ndice de viscosidad se parte de dos tipos de

aceite patrn:

- Un aceite parafnico al que se asigna el ndice 100 (Pensilva-

nia)

- Un aceite asfltico al que se asigna ndice 0 (Gulf Coast)

Mezclando estos aceites patrones en diferentes porcentajes,

se obtienen otros ndices comprendidos entre 0 y 100; el lqui-

do problema se compara con el ms prximo a uno de estos I.-8

Fig I.10.- Indice de viscosidad

indices, obtenindose de esta forma el indice del lquido problema.

V .I. ( Viscosity index ) = 100 ABAC = 100

L - L - H , si:

L ; V .I. = 0 H ; V .I. = 100

Tabla I.2.- Valores de H y L para a 100C

Viscosidad cinemtica a 100 Viscosidad cinemtica a 100 Viscosidad cinemtica a 100 Viscosidad cinemtica a 100 H L H L H L H L

8,00........63,72...108,86 8,00........63,72...108,86 9,00........76,35...135,17 9,00........76,35...135,17 10,00.......89,18...162,49 10,00.......89,18...162,49 11,00......102,54...191,85 11,00......102,54...191,85 8,10........64,97...111,42 8,10........64,97...111,42 9,10........77,61...137,84 9,10........77,61...137,84 10,10.......90,46...165,36 10,10.......90,46...165,36 11,10......103,91...194,90 11,10......103,91...194,90 8,20........66,25...114,06 8,20........66,25...114,06 9,20........78,88...140,51 9,20........78,88...140,51 10,20.......91,81...168,30 10,20.......91,81...168,30 11,20......105,30...197,96 11,20......105,30...197,96 8,30........67,50...116,65 8,30........67,50...116,65 9,30........80,18...143,28 9,30........80,18...143,28 10,30.......93,13...171,19 10,30.......93,13...171,19 11,30......106,72...201,15 11,30......106,72...201,15 8,40........68,75...119,30 8,40........68,75...119,30 9,40........81,45...145,99 9,40........81,45...145,99 10,40.......94,46...174,07 10,40.......94,46...174,07 11,40......108,10...204,24 11,40......108,10...204,24 8,50........70,04...121,92 8,50........70,04...121,92 9,50........82,71...148,69 9,50........82,71...148,69 10,50.......95,82...177,07 10,50.......95,82...177,07 11,50......109,49...207,34 11,50......109,49...207,34 8,60........71,29...124,53 8,60........71,29...124,53 9,60........83,98...151,41 9,60........83,98...151,41 10,60.......97,15...179,98 10,60.......97,15...179,98 11,60......110,89...210,47 11,60......110,89...210,47 8,70........72,54...127,15 8,70........72,54...127,15 9,70........85,26...154,15 9,70........85,26...154,15 10,70.......98,49...182,90 10,70.......98,49...182,90 11,70......112,27...213,60 11,70......112,27...213,60 8,80........73,79...129,78 8,80........73,79...129,78 9,80........86,57...156,98 9,80........86,57...156,98 10,80.......99,82...185,85 10,80.......99,82...185,85 11,80......113,71...216,83 11,80......113,71...216,83 8,90........75,09...132,51 8,90........75,09...132,51 9,90........87,85...159,72 9,90........87,85...159,72 10,90......101,20...188,87 10,90......101,20...188,87 11,90......115,11...219,9811,90......115,11...219,98

I.3.- Correlaciones entre diversas unidades de viscosidad dinmica y cinemtica

Viscosidad absoluta o dinmicaViscosidad absoluta o dinmicaViscosidad absoluta o dinmicaPa.seg Centipoise

0,01 gr/cm.seg lb/ft.seg lb/ft.hora1 1000 2420

0,001 1 2,421,49 1488 1 3600 0,0311

0,413 147,9 47900 32,2 115900 1

Viscosidad cinemticaViscosidad cinemticaViscosidad cinemticaCentistoke

1 106 10,8 388001 0,0388

92900 1 360025,8 1

8,6.106

Nseg/m2 = kg/m-seg

413.106

672.103

672.106

278.106

lb.seg/ft2

20,9.103

20,9.106

0,01 cm2/seg

m2/seg ft

2/seg ft2/hora

10-6

92,9.10-3

25,8.10-6

10,8.10-6

278.10-6

I.6.- TENSIN SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD

La diferencia entre las molculas que estn dentro de un lquido y las que estn en la superficie es

que, en las primeras, las fuerzas atractivas que actan en el pequeo espacio en que se manifiestan, se

contrarrestan, mientras que en las segundas no sucede lo mismo, por cuanto existir una resultante r R

que se dirige hacia el seno del lquido, Fig I.11.

Fig I.11.- Fuerzas de tensin superficial Fig I.12.- Esquema para la determinacin del trabajo

Por lo tanto, si se quiere aumentar la superficie libre del lquido, ser a expensas de llevar molculas

I.-9

del mismo, a dicha superficie, tomndolas del interior del lquido, lo cual requiere un consumo de energa.

para poder evaluar el consumo de energa por unidad de superficie aumentada, que se conoce como ten-

sin superficial, se forma una laminilla jabonosa que al aplicarla un esfuerzo r F avanzar una cierta

longitud l, Fig I.12, obtenindose as un trabajo equivalente al necesario para llevar molculas a la su-

perficie; cualquiera que sea el grado de estiramiento la fuerza aplicada r F ser siempre constante, en

contra de lo que ocurre con una membrana, que sigue la ley de Hooke.

El trabajo realizado es proporcional a S siendo la constante de proporcionalidad la tensin superfi-

cial :

Trabajo: F l = = F2 a F = 2 a = 2 a l = S

siendo la tensin superficial, que es una fuerza por unidad de longitud perpendicular a la fuerza r F ,

tambin, el trabajo realizado por unidad de superficie, al aumentar la superficie.

El aumento de superficie se consigue al aplicar la fuerza r F , ya que la lmina al estar formada por

un volumen de lquido limitado por dos capas superficiales cuyo espesor es de algunas molculas, al apli-

car la fuerza r F habr molculas de este volumen de lquido que se desplazaran hacia las capas superfi-

ciales. El conjunto de fenmenos que vienen ligados a la tensin superficial se conocen como efectos de

superficie.

Ampliando los efectos de superficie a lminas que separan una pared slida y un lquido, o una pared

solida y un gas, tendremos los fenmenos de capilaridad.

Si llamamos:

1, tensin superficial entre slido y lquido

2, tensin superficial entre lquido y vapor

3, tensin superficial entre vapor y slido

, el ngulo de contacto o ngulo de capilaridad

fa, la fuerza adherente o fuerza de atraccin entre la porcin aisla-

da y la pared

resulta, Fig I.13:

fa= 2 sen 3 - 1 = 2 cos

tg = fa

3 - 1

sen = fa 2

cos = 3 - 1 2

(fa 2

)2 + ( 3 - 1 2

)2= 1 22 = fa2+ ( 3 - 1 )2 = 3- 1=

fatg =

= fa2 + (

fatg )

2 = fa2 ( 1 + 1

tg 2) =

fa2

sen 2

Como conclusin se puede decir que, si:

3 > 1 tg (+) el lquido moja 3

na lquida con el tubo, Fig I.14.

A partir de la componente vertical r F se obtiene el de h:

F = 2 r cos = r 2 h h = 2 cos r

siendo el coeficiente de tensin superficial, h la altura alcanzada

por el lquido en el interior del capilar, que es directamente propor-

cional al coeficiente de tensin superficial, y est en razn inversa

de la densidad del lquido y del radio del tubo r.

Si est muy prximo a 0, a expresin anterior permite medir el

coeficiente de tensin superficial en la forma:

=

h r g2

Si admitimos que el menisco tiene forma esfrica de radio R, el valor de la presin interior ser:

h = p = 2 cos r =

2 R

que es una depresin, para cuando el menisco tenga forma cncava, y una sobrepresin para cuando

tenga forma convexa.

Tabla I.4.- Valores del coeficiente de tensin superficial , dinas/cm

Lquido Tensin superficial Lquido Tensin superficialdinas/cm dinas/cm

Mercurio en aire 523 Aceite lubricante 35,7-38,7Mercurio en agua 401 Aceite crudo 23,8-38,7Mercurio en vaco 495 Benzol 29,4Agua 72,5 Petrleo 26Glicerina 30 Alcohol etlico 22Aceite de ricino 36,4 Tetracloruro de carbono 27,2

I.-11

Fig I.14.- Altura alcanzada en un capilar por tensin superficial